（光学专业论文）xuv光栅系统波像差理论的研究.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 近年来，真空紫外和软x 射线) 在生物、材料、微加工、超大规模集成 电路和空间光学研究领域得到了广泛的应用，这些领域的应用及研究对x l r v 光学系统的设计、装置的性能都提出了很高的要求。然而，由于x u v 波段对 于空气和几乎所有的材料都是吸收的，因此工作在该波段的光学元件常采用反 射元件，同时为了得到高的能量反射率，往往采用掠入射光学结构，这就使得 光学系统的像差非常严重，极大的影响到仪器的能量分辨率和空间分辨率。耳 前存在的像差理论大多针对单元件系统，而实际应用中，x u v 光学装置都是由 若干个元件组合而成。为了满足实际应用的需要，更好的开发、设计x u v 高 性能的复杂光学系统，有必要开发适用于多元件系统的像差理论。 本课题在m ec h r i s p 超环面全息光栅波像差理论的基础上，对x u v 多 元件光学系统的波像差理论、优化设计方面进行拓展往的研究。具体工作如下： 1 、基于m ec h r i s p 波像差理论，仍采用像散面为参考波阵面，然后应 用多项式形式表示光栅的面形方程，推导出般面形光栅的十六项波 像差系数，使波像差理论可以对超环、椭球、抛物面等面形在内的光 栅进行像差分析；同时，推导了全息和机械刻划光栅的刻槽分布函数； 并且分别讨论了光栅面形、亥稽分布和孔径光阕位置移动对波像差的 影响。 2 、以像散面作为参考波阵面，得到出射波面为像散面、像平面放在任意 位置处的几何像差表达式，克服了m ec h r i s p 工作中出射波阵面只能 是球面且像面位置在焦平面的限制。 3 、把拓展后的波像差理论运用到光栅和光栅系统的实践中，模拟其成像 情况，结合光线追迹程序s h a d o w 的拟合结果，从数值上对所得结论 进行验证。 4 、分析光栅波像差理论的误差和误差存在的原因，简单讨论该理论的适 用范围。 以上各项工作，拓展了波像差理论的应用范围，为x t j v 多元件系统 的像差分析和优化设计提供了理论依据。 关键词：波像差，光栅成像，多元件系统，光线追迹 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，v a c u u m u l t r a v i o l e ta n ds o f tx - r a y ( ) ( u h a v eb e e nw i d e l yu s e d i nv a r i o u sr e s e a r c hf i e l d s ，s u c ha sb i o l o g y , m a t e r i a l ，m i c r o m a n u f a c t u r i n g ，s l s ia n d s p a c eo p t i c se t c t h ea p p l i c a t i o na n dr e s e a r c hi nt h e s ef i e l d sp a yh i g ha t t e n t i o no n t h ed e s i g no fo p t i c a ls y s t e ma n di n s t r u m e n tp e r f o r m a n c e b e c a u s ex u v l i g h t nb e a b s o r b e db yt h ea i ra n da l m o s ta l lt h em a t e r i a l s , t h er e f l e c t i o no p t i c si sa d o p t e di n x u vo p t i c a ls y s t e m s f u r t h e r m o r e ，t h ec o n f i g u r a t i o n so fg r a z ei n c i d e n c ea r c f r e q u e n t l yu s e dt oo b t a i nh i g he n o u g he n e r g yr e f l e e t i v i t y f o rt h e s et w or c a s o u s ，t h e a b e r r a t i o no f t h eo p t i c a ls y s t e mi sv e r yl a r g e ，w h i c hm a ys e r i o u s l ya f f e c tt h ee n e r g y a n ds p a t i a lr e s o l u t i o no fx u vs y s t e m s t h ec u r r e n ta b e r r a t i o nt h e o r i e sa r eo n l y s u i t a b l ef o ra l lo p t i c a ls y s t e mw i t ha s i n g l ee l e m e n t w h i l ei np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s , m o s to ft h ep r a c t i c a lx u vs y s t e m sa r cc o m p o s e do fs e v e r a lo p t i c a le l e m e n t s t o s a t i s f yt h ep r a c t i c a ln e e d ，a n dt ob e t t e rd e v e l o pa n dd e s i g nh i g hp e r f o r m a n c ex u v c o m p l i c a t e do p t i c a ls y s t e m ，i ti sn e c e s s a r yt od e v e l o pa na b e r r a t i o nt h e o r ya p p l i c a b l e t om u l t i - c l e m e n to p t i c a ls y s t e m s i nt h ep a p e r , b a s e do nt h ea b e r r a t i o nt h e o r yo ft o r o i d a lh o l o g r a p h i cg r a t i n g p r o p o s e db ym p c h r i s p ，w ee x t e n s i v e l ys n i d yt h ea b e r r a t i o nt h e o r ya n d o p t i m i z a t i o nd e s i g no fx l nm u l t i e l e m e n to p t i c a ls y s t e m s t h em a i nw o r k s 黜a s f o l l o w s ： 1 、b a s e do nt h ea b e r r a t i o nt h e o r yo fme c h r i s p , w ea d o p t 舫a s t i g m a t i c s u r f a c ea st h er e f e r e n c es u r f a c e ，a n dt h e nu s eap o l y n o m i a lt oe x p r e s st h e f i g u r eo fau s u a lg r a t i n g ，t h u sw eg e tt h es i x t e e nw a v e - f r o n ta b e r r a t i o n c o e f f i c i e n t so fag r a t i n g ，w h i c hm a k e st h ea b e r r a t i o nt h e o r ya p p l i c a b l et o a n a l y z et h ea b e r r a t i o n so ft o r o i d , p a r a b o l o i d , a n de l l i p s o i dg r a t i n g s ；i n c o m p u t a t i o n , w ed e d u c et h eg l o o v ep a t t e r nf u n c t i o n so ft h eh o l o g r a p h i c a n dm l e dg r a t i n g sa n dd i s c u s st h ei n f l u e n c e so ft h eg r a t i n gf i g u r e t h e g r o o v ep a t t e r na n dt h ep o s i t i o no fa p e r t u r eo nw a v e - f r o n ta b e r r a t i o n r e s p e c t i v e l y 上海大学硕士学位论文 2 、a d o p t i n ga l la s t i g m a t i cs u r f a c ea st h er e f e r e n c es u r f a c e ，w eo b t a i nt h e t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l af r o mt h ew a v e f r o n ta b e r r a t i o nt oi r d i s v e r s e a b e r r a t i o nw h e nt h ee x i tw a v ef r o n ti sa s t i g m a t i ca n dt h ei m a g ep l a n ei s o u to ff o c u s t h u si to v e r c o m e st h el i m i t a t i o no fm p c h r i s p sw o r k , i n w h i c ht h ee x i tw a v ef r o n ti ss p h e r ea n dt h ei m a g ep l a n ei s0 1 1f o c u s 3 、w ea p p l yo u rw a v e - f r o n ta b e r r a t i o nt h e o r yt op r a c t i c a lg r a t i n gs y s t e m , a n d t h e nc o m p a r et h er e s u l t so fs p o td i a g r a mb yo u rt h e o r yw i t ht h er a yt r a c i n g r e s u l t sf r o ms h a d o w t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a to u ri m p r o v e m e n ti s c o r r e c t 4 、f i n a l l y , w ed i s c u s st h ee r r o ro fo u rw a v ef r o n ta b e r r a t i o nt h e o r ya n dt h e c a u s eo f i t , a n dt h e nd i s c u s si t sa p p l i c a t i o nr a n g e o u rw o r ke x t e n d st h ew a v e - f r o n ta b e r r a t i o nt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nr a n g e ， t h u si tp r o v i d e sab a s i ct h e o r yf o ra n a l y z i n ga n dd e s i g n i n gt h ex u vs y s t e m k e y w o r d s ：w a v e - f r o n ta b e r r a t i o n ，g r a t i n gi m a g i n g ，m u l t i - e l e m e n ts y s t e m s ， r a y - t r a c e 1 i l 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明共表示了谢意。 签名：至塑日期：塑立：盥 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 上海大学硕士学位论文 i i 课题来源 第一章绪论 本课题来源于国家自然科学基金资助项目建立真空紫外软x 射线多元件 光学系统的研究平台，项目编号：6 0 5 7 8 0 4 0 。 1 2 课题研究的目的和意义 真空紫外及软x 射线( x u v ) ，光谱范围一般认为是从0 3 r i m 到大约2 0 0 h m ， 属于短波段和超短波段光学研究范畴，是光学学科中的新研究领域之一。这个 波段研究的波长要比可见光或紫外辐射短的多( 短几百倍) ，因而其分辨本领也 较可见光和紫外辐射大的多，利用这个波段设计制造的显微镜可以看到更细微 的结构，用这个波段光实现的光刻可以写下更精细的图案。这个光谱区的波长 很短，但可以进行直接成像，实现高空间分辨率的光谱研究，其空间分辨率可 达到几十个纳米，大约是可见光光谱仪器分辨率的十倍。目前由于该波段中高 分辨率的光谱仪和高反射率的镜片等光学技术已经得到了一定水平的发展【1 4 j ， 使得利用这个波段甚至可以做到更短波长的光都还不能做到的事情，创造了更 多的科学和技术发展的机遇，因此近年来广泛应用于生物、材料、微加工、超 大规模集成电路和空间光学研究领域。同时，这些研究应用的发展对x u v 光 学元件和系统的精度提出了更加高的要求，对光学系统的设计、研制提出了不 同程度的挑战，例如高性能的x u v 光谱仪的能量分辨率要求达到1 0 0 0 0 以上； x u v 微聚焦系统的空间分辨达到亚微米；应用于空间观测的望远镜往往要应用 复杂的非球面光学元件，在足够的光学传输效率前提下，得到尽可能高的空间 分辨能力。提高我国高性能x u v 光学仪器的设计、研制水平将会有力地推动 上述各领域的研究水平，更好的满足生产力的发展需求。 由于x u v 波段射线，尤其是软x 射线，在通过空气和各种材料后都有很 明显的吸收，目前根本找不到适合于制造x u v 厚透镜的材料，工作在该波段 上海大学硕士学位论文 的光学元件通常采用反射式结构；另外，由于此波段的波长很短，光线正入射 时光学元件的反射率很低，因此常采用掠入射方式，即光线在镜面( 光栅) 等 光学元件上的入射角通常大于8 0 0 ( 甚至接近9 0 0 ) ，这是确保反射光束具有足够 能量的唯一途径【i , 4 1 。基于以上两个原因，目前的x u v 光束线装置、光谱仪和 单色器等通常都采用掠入射的反射光学结构【1 - f l ，如图1 1 所示两个例子删。 超环面镜狭缝 探测嚣 ( a ) 软x 射线扫描显微光束线光学示意图 ( b ) 软x 射线傅里叶变换光谱仪原理图，b s 为分束器，m i - m 4 为平面反射镜； m 5 为球面镜；p 为探测器。 图1 1 两个软x 射线光学系统的结构图 掠入射反射光学结构存在的最大问题是：光学系统的像差非常严重。对光 谱仪来说，像差是影响仪器分辨率的最重要因素，由于像差的影响会造成仪器 的能量和空间分辨率不能满足实际精度的需要；加上x u v 光学装置结构复杂， 造价昂贵，如何有效地解决像差问题在光学系统设计中是不容忽视的。因此， 光学系统的像差分析和成像理论的研究是一个十分有意义的研究课题。许多科 学家在这方面作了大量的研究，取得一系列理论成果，并在实践中得到应用和 检验。但是，这些理论原则上仅适用于单元件光学系统( 在下面的叙述中会介 绍到) ，目前还没有形成较完善的x u v 多元件像差分析理论。而实际应用中， x u v 光学装置，例如高能量分辨率的单色器系统和高空间分辨率的显微成像系 2 上海大学硕士学位论文 统，都是由若干个单元件组合而成， 验来完成对这些多元件系统的调节。 人们仍然靠着对各光学元件成像性能的经 为了满足实际应用的需要，更好的开发、 设计这些高性能的复杂系统，有必要发展适合于多元件系统的像差理论。 1 3 研究概况 真空紫外和软x 射线光学系统一般由多个衍射光栅( 镜面可以看作光栅的 特例，即取光栅线密度为零的情况) 组成，其像差由光栅基底的面形，光栅条 纹的分布以及系统元件间的组合结构共同来决定。衍射光栅的像差直接影响到 仪器的分辨率，是设计中需要考虑的主要问题之一，对此的研究很早就开始了。 影响衍射光栅像差的两个要素是光栅基底面形以及光栅刻槽分布。通过改 变面形消除像差始于h a r o w l a n d 对凹球面光栅的研究，随后许多人都对此进 行了不同程度的研究。a d a n i e l s o n 和p l i n d b l o m 、s m o r o z u m i 和e i s h i g u r o 等讨论了凹面光栅的像散特性【9 - 1 2 】，b e w o o d g a t e 讨论了柱面光栅的成像特性 1 1 3 ，h h a b e r 较早的研究了超环面光栅的成像特性0 4 1 ，t n a m i o k a 建立了 椭球面光栅的像差理论，对椭球面光栅的成像性质进行了详细分析 t s q 6 ow c c a s h 17 】和d c o n t e n t t 体19 1 在考察椭球面常规刻录光栅时，发现了面形函数的三 次项、四次项细微变形后具有消彗差、球差的优越性。随着理论的发展，各种 不同面形的消像差光栅，如柱面光栅、椭球面光栅、超环面光栅等陆续研制出 来，并取得了成功的应用 2 0 - 2 2 。但非平面基底的加工精度要求高，成本高昂， 安装调试困难，因此其应用局限在高端光谱仪器上。 通过改变光栅刻线形状与刻槽分布消除像差始于1 8 9 5 年c o m u 发明的平面 变间距光栅。他认识到准直光入射到线密度变化的平面光栅时，会改变衍射波 前的形状，具有自聚焦能力。但这一阶段光栅加工工艺的研究重点在于如何控 制刻刀，使得刻线间距更加均匀，因此c o m u 的工作并没有引起重视。全息加 工技术的发展为变间距光栅的实现提供了条件，使得曲面变间距光栅得以实现， 并应用到实践。1 9 7 4 年，h n o d a 等人提出了使用球面波干涉形成变线距弯曲 条纹的方法 2 3 - 2 5 ，该方法记录的全息光栅具有四个可调的记录参数，具有一定 的像差校正能力；他们还比较了全息光栅和机械刻划光栅之间的成像性能，在 上海大学硕士学位论文 理论上找出了二者之间的联系，建立了全息光栅的一般成像理论，给出了数值 光线追迹的算法。m s i n g h 和gr e d d y 研究了全息凹面光栅在s e y a - n a m i o k a 单色器中的应用。p d a v i l a 和s s 缸曲考虑了椭球面光栅全息刻录方法及 相关应用1 2 7 - 2 钔。m k o i k e 与m d u b a n 进一步提出了使用非球面波记录变线距 全息光栅的思想 2 9 - 3 0 ，使得变线距光栅具有很强的像差校正能力，在高分辨率 光谱仪与同步辐射光束线中取得了广泛的应用。 与此同时，随着自动控制和精密仪器技术的进步，机械刻划光栅也开始向 着变间距消像差的方向发展，机械刻划消像差光栅已经可以达到十纳米级的刻 槽定位精度例- 3 3 ，促进了光栅像差理论的迸一步发展 3 4 - 3 7 】。 目前存在四种主流的光栅像差理论： ( 1 ) 光程函数理论( l i g h tp a t hf u n c t i o n , l p f ) 。h gb e u t l e r 等在h a r o w l a n d 凹球面光栅研究的基础上，运用f e r m a t 原理，给出了第一个比较完整 的凹面光栅成像理论p 蜘，后来经过t n a m i o k a t 3 9 - 4 0 ，h n o d a f 2 习等进一步发展， 形成了比较完善的光程函数理论。该理论的历史最为悠久，公式简洁，使用广 泛。但仅能用来分析单元件光学系统，并且像面上的成像误差较大，精度不够。 ( 2 ) 解析点阵图理论( s p o td i a g r a m ，s d ) 。该理论是由t n a m i o k a ，m k o i k c 和s m a s u i 等发展下来的f 4 1 删，是目前高分辨率光栅成像性能分析的主流方法。 开始时只能处理单个光栅，后来虽然发展出适合于平面对称双元件系统的三阶 像差理论，但公式繁杂，要推广到更多的光学元件难度很大，因此本质上仅适 用于单元件的分析和设计。 ( 3 ) 李变换理论( l i et r a n s f o r m a t i o n ，l a 3 。日本学者kg o t o 和t k u r o s a k i 最早将非线性动力学常用的l i e 代数方法运用到光栅光学系统的像差分析中 洲，c p a l m e r 进一步发展和运用了这种基于l i e 变换的像差理论1 4 5 - 4 6 1 。该理论 采用数学运算方法，误差较小，可以比较精确的模拟像面上的成像情况。但是 公式的计算量太大，还停留在处理单元件的阶段，并且只给出了球面光栅的结 果，目前还没有应用的实例报导。 ( 4 ) 波像差理论( w a v ef r o n t a b e r r a t i o n , w f a ) 。该理论是m p c h r i s p 于 1 9 8 3 年在分析全息超环面光栅的像差时提出的【4 引，他定义了一个不在光栅中 4 上海大学硕士学位论文 心的孔径光阑，采用像散面作为参考波阵面，运用近基理论对光学系统的坐标 实行归一化处理，成功地使得波像差理论可应用于多元件光学系统的像差分析 和优化设计。该理论是第一个多元件像差理论，波像差系数公式简洁，物理意 义明确，实用性强，其显著的优点是，可以通过调整系统元件间的组合结构来 实现消像差。但在他的研究中，仅给出了超环面一种面形的全息光栅的波像差 系数；并且在计算像平面上的几何像差分布时，只分析了出射波阵面是球面， 像平面位置在焦平面处的成像情况，当系统的成像位置偏离焦平面和出射波面 为非球面时，计算结果与实际严重不符【4 2 】。 本课题将在m p c h r i s p 工作的基础上，对多元件光栅系统的波像差理论进 行拓展性研究。首先拓展波像差理论适用的光栅面形范围，使该理论适用于一 般面形光栅的像差分析；推导了全息和机械刻划光栅的刻槽分布函数，并分别 讨论光栅面形、刻槽分布和孔径光阑位置移动对像差的影响；其次，研究如何 克服m ec h r l s p 波像差理论中出射波阵面和像面位置的限制，得到光学系统出 射波阵面为像散面，像面位置不在焦平面的成像情况。通过上述工作，有效地 扩大了波像差理论的应用范围，完善了适用于多元件系统的波像差理论。 1 4 论文的主要研究内容 本论文是以作者攻读硕士学位期间承担课题的工作为基础，对x u v 多元 件光学系统的波像差理论进行了拓展性的研究。全文共分五章，具体内容如下： 第一章说明了课题研究的来源、阐述了对x u v 多元件系统的像差分析和 优化设计进行理论研究的必要性及其意义，介绍了该项研究的概况和研究内容。 第二章介绍了m p c h r i s p 波像差理论，并在其基础上，应用多项式形式表 示光栅的面形方程，推导出光栅的四阶波像差系数( 十六项) ；推导了全息和机 械刻划光栅的刻槽分布函数，并分别讨论光栅面形、刻槽分布和孔径光阑对成 像特性的影响。 第三章推导了出射波面为像散面，像平面位置在任意位置处的几何成像表 达式。 第四章用光线追迹程序s h a d o w ，对上述所得的波像差公式和几何成像表达 上海大学硕士学位论文 式进行数值验证。并简单地讨论了该理论存在的误差和产生误差的原因，说明 该理论适用的范围。 第五章对全文进行了总结，并对后续研究需要解决的问题进行了展望。 6 上海大学硕士学位论文 第二章多元件光栅系统的波像差系数 2 1 引言 本论文主要是在m p c h r i s p 光栅波像差研究的基础上，对x u v 多元件光 学系统的像差分析和成像理论进行拓展性的研究，在这一节中，我们首先介绍 一下m p c h r i s p 波像差理论的基本思想和内容h 明。 2 1 1m p c h r i s p 波像差理论的基本思想 在绪言中提到过，光程函数理论，解析点阵图理论等像差理论仅适用于单 元件光栅系统的像差分析，无法满足复杂光学系统的实际需要。主要原因有两 个：( 1 ) 这些理论都假设光瞳位置在光栅的中心，而实际的多元件系统，光瞳 不一定在元件的中心位置；( 2 ) 复杂的x u v 光谱仪器，通常由一系列具有平 面对称特性的镜面和光栅组成，而对于平面对称光学系统，如果光束以掠入射 方式入射到光栅表面时，衍射光会产生很大的像散现象，实际出射波阵面比较 接近环面或柱面形状，如果仍采用传统的球面波作为参考波阵面，就会造成像 差处理的结果严重偏离实际情况【4 2 】。要发展多元件光学系统的像差理论首先要 克服这两个问题。 1 9 8 3 年，m p c h r i s p 发展了波像差理论，他定义了一个任意位置的孔径光 阑，这样光瞳的位置就不仅位于元件的中心；在计算波像差时，不再运用传统 的球面波作为参考波阵面，而是采用像散面为参考波阵面( 该像散面的所有法 线皆通过子午和弧矢焦线) ，见图2 1 所示，定义实际波面与参考波阵面之间的 距离为波像差，克服了上述第( 2 ) 个限制。另外，他采用近基理论归一化坐标， 使各个单元件的波像差可以相加，得到光学系统总的波像差，使得该理论可以 应用到多元件系统的设计。 上海大学硕士学位论文 2 1 2 m p c h r i s p 波像差理论 图2 1 m p c h r i s p 渡像差理论原理图 图2 1 为m p - c h r i s p 波像差理论原理图，以像散面为参考波阵面，光束通 过一个平面对称系统的入射和出射路径见图2 1 所示。坐标系x o + y 为入射光瞳 坐标系，x o y 为出射光瞳坐标系，对称面为水平面( x ，一轴所在的平面) ，像 散面+ 为物方参考波阵面，最，e ，最7 ，c 分别为物空间和像空间的子午 和弧矢焦线。任意一条入射光线由物方子午和弧矢焦线出发，分别与+ 面、光 栅表面、像方实际波阵面和像方参考波阵面交于点矿、p 、q 和q 。m 、 m 分别表示该入射光线与物方和像方子午焦线的交点。实际波面与参考波阵面 之间的距离定义为波像差，用字符形表示，则， 形= ( 绞q ) = ( q + q z ) 一( q + q ) ( z - o 上式中，用( ) 表示光程。 物、像方参考波阵面之间的任何光线的光程相等，( c r d ) = ( 矿q ) ，代入 到式( 2 1 ) 中，有， 形= ( d + d ) 一( 矿q ) ( 2 - 2 )，、 一， 因为四个焦线昂，e ，己7 ，c 的位置易知，想办法把波像差用这四个焦线 上海大学硕士学位论文 的位置来表不。现分别在x o + y 和，g 少7 坐标系的纵坐标轴上取两点g + ，g ， 其中点秽与矿的纵坐标相同，点q ，与q 的纵坐标相同。通过这两点，在弧 矢面内做一条通过四个焦线的辅助线5 锄谚叫s 7 ，见图2 1 所示。借助该辅 助线，可把波像差表达式( 2 - 2 ) 表示为， 彤= ( 6 卜功一( g + g ) + ( g + g ) 一( q + q ) ( 2 - 3 ) ( ( 广d 一( g + g ) 表示主光线与辅助线之间的光程差，( g + g ) 一( 矿q ) 表 示辅助线与实际光线之间的光程差。 由图2 1 不难知道， ( s o = ( 踢) ， - ( s o ，s ) ( 2 - 4 ) ( g + g ) 一( q + 功= ( 蚴已肘) 一( 埘2 膨7 ) ( 2 - 5 ) 把式( 2 - 4 ) 、( 2 5 ) 代入式( 2 3 ) 中，可以把波像差表示成， w ：( s o s 7 ) 一( s 9 s ) + ( 锡m 7 - w e m ) ( 2 - 6 ) 这样，光栅的波像差在形式上表示成光线在四个焦线之间的子午光程差与 弧矢光程差的和，但物理意义上仍然表示实际的波阵面与参考波阵面之间的距 离差值。 2 2 光栅系统的波像差系数 2 2 1 光栅波像差的表达式 图2 2 是一个平面对称光栅的成像示意图，光阑位置不在光栅中心，以像 散面为参考波阵面，光束入射和出射路径如图所示。z 玎z 为光栅表面坐标系， 9 上海大学硕士学位论文 x y z 为孔径光阑坐标系，光阑中心声偏离光栅中心。距离歹。焦线f m ，b ， ，c 对应的焦距分别为o m o = ，o s o = r s ，o m o = 0 ，o s ；= ( 点 m o ，晶是m ，在对称平面上的投影，图中没有标出) 。入射角为口，入射 中心光线腰与对称平面夹角为矿，交对称平面一点，该点与原点之间距离为， 此图中， 0 。 图2 2 以像散面为参考波阵面，光栅的成像不意图 任意一条入射光线脚交光栅上一点p ，在y 轴上引入与尸点高度相同的 点弓，过该点作辅助线s l , , s 和坶m ，按照m p c h d s p 所得方程式( 2 。6 ) ， 可把该光栅的波像差近似表示为， v 矿= ( s p s ) 一( 哆s ) + ( c 毋 彳) 一( j 口? 彳) ( 2 - 7 ) 考虑到光栅衍射对光程的影响，上式中，实际的光程应该为， t s p y s t 、= s p y s t + n r m a ( 毋硝) = 毋m + ，彬 l o 上海大学硕士学位论文 ( m p m 7 ) = 尥m 7 + n m 2 甩，是光栅在只、卢两点间的刻槽数；刀是光栅在p 、歹两点间的刻槽数；埘为 衍射级次，五为入射光线波长把以上各式代入到式( 2 - 7 ) 中，消掉b ，得到， 矽= 5 i 可一向；十 毋 ，一 口z 谚一，所以( 2 8 ) 取f = 庙9 一咒，+ 坦l ，一删，则波像差表达成， w = f n m l ( 2 9 ) 式( 2 9 ) 中，第一项，为几何光程部分，与光栅的面形相关，如平面、球面、 椭球面、超环面、抛物面等，它表示光栅基底面形对波像差的影响。第二项n m a 与光栅刻槽分布相关，表示刻槽分布引起的衍射波前与参考波阵面之间的差值。 2 2 2 光栅波像差中几何光程f 的级数展开 波像差表达式( 2 9 ) 中的几何光程项，与光栅的面形息息相关，本文中我们 应用广义多项式表示光栅的面形方程。在光栅表面坐标系z r l z 中，光栅面形表 达式【4 9 】， z = 矿+ 铴矿+ q 钟2 + “矿+ 鼍弛矿+ q + 矿+ c - l o ) 在上式中，常见面形光栅的面形系数的表达式见表2 1 ，表中的抛物面、椭 球面的相关面形参量见图2 3 ( a ) 、( b ) 所示。 ， 窬 、1 6 - c 一 ： i 口 ( a ) 图2 3 ( a ) 抛物面的面形参量示意图，( b ) 椭球面的面形参量示意图 上海大学硕士学位论文 表2 i 常见光栅的面形系数 面形系数超环面抛物面椭球面 1 1l 嘞2 2 p 4 r c o s 0 4 f c o s 0 1c o s 口 c o s 0 口2 0 2 r 4 r 4 f 1 3 s i n 2 0 刀b 酬2r s i 厂n ：8 + 爿 a 2 2 4 r 2 ，3 2 r oc o s 8 l 一t a r i 口 塑皇( e 2 - s ：护t 口柏 8 f 2c o s 0 - s m 8 月8 r 7 2 1s i n 矽c o s 0 矿s i n 8 。2 _ s i n 20 茹 a 0 4 8 跏2 5 c o s o s i n 20 炉f 5 血2 目毋口5 s i n 2 0 1 a i 2 o 6 4 ， o o s 口l 6 2 矿。_ j s i n 2 护 d l j孑b ( 1 一互i 五百 ( 1 一舄i o 6 4 r ”c 0 s 3 0 注：超环面系数中，r ，p 分别为超环面的主半径和次半径； 抛物面系数中，a 点为焦点，r 为抛物面焦点和元件中心之间的焦半径； 椭球面系数中，点墨，五为两个焦点，厂= b + 爿。，、，为椭球的焦半径， a ，b 为椭球面的长、短半轴，椭球离心率e - - ( 1 - b 2 4 2 ) - 。 系， 从图2 2 中可以看出，坐标系z r z 和坐标系毋2 、场角“之间存在坐标关 z = x ，r = y + y = y - u l tz = z 上海大学硕士学位论文 萝= 讲是光阑中心偏离光栅中心的距离，取“一”是因为， 0 。 不难知道，在光阑坐标系x y z 中，光栅面形表达成， z = c j 幻j 2 + c k 秒一谢) 2 + q 2 】o 一讲) 2 + ( y 一讲) 2 + c 矿+ c 一+ q 叫一l d ) 4 + ( 2 - 1 1 ) 考虑到物、像空间相关参量具有对应性，可以写成： f = f 。+ f ( 2 1 2 ) 上式中，r o = s p - 皿+ 彻；一 护，l = f f 号+ j j l 仍一 f 分别表示物光束和 像光束对波像差的贡献。物光束和像光束的作用方式相同，差别仅仅是光束的 参量表示不同，只要得到物光束对波像差的影响，改变一下相应的参量，就可 以得到像光束对波像差的影响。下面我们求解物光束对波像差的影响。 在图2 2 中，在z 节z 坐标系中，p 点坐标以薯j ，+ 瓦力，m 的坐标 m h s i l l 。，y + y ( 1 一孑) + _ “，。c o s d 】，其中“= t a n 矿，那么入射光线在子午焦 线和光栅表面之间的距离m p ， 御= ( x - r = s i n a ) 2 + p 。2 舻似毋 1 2 把式( 2 11 ) 代入式( 2 1 3 ) ，级数展开，保留到四阶，其结果为， 显然， 毋= 【叫瑚= 砖少矿 码= 岘屯= 荟4 锄 鬈 驴= 【脚k - o ，一2 掣h “ 把式( 2 1 4 ) ，式( 2 1 5 a , 2 - 1 5 b ，2 1 5 c 冰入到l = 妒一皿十 毋一肋中， ( 2 - 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) ( 2 1 5 c ) j g 矿 x 。叶 = 御 上海大学硕士学位论文 l = 辜【。】。矿一毒 p ，胛：。，+ 霉p y 一丢4 石y 把式( 2 1 6 ) 整理成一个统一的幂级数形式， r 。= 一k 班a c k x y 矿 撕 式( 2 - 1 7 ) 中，口摊= 厶位，) ，称为物光束波像差系数 当f = o ，= 0 时，i = 0 当，：。，。时，d o 肛：i e x o j k - r , 翔o 一0 时，2 乏 ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 口弘的具体表达式和其对应的数值常系数k 孵见表2 2 ，表2 2 中引入的字 符表达式见表2 3 。当光源在光阑对称平面位置时( u ：o ) ，表中仅有左边八项起 作用，故在表中用“i n p l a n e ”表示。光源不在光阑对称平面位置( 1 l o ) ，而是偏离 一个高度时，右边的八项才起作用，故在表中用“o f f - p l a n e ”来表示。 表2 2 物光束波像差系数口m 的表达式 ，h k t a ，k ，r l ，1 ) i n - p l a n e k i j a o f f - p l e k i j k o o s l n 口 1 五0 2 咖口一2 1 2c o s 口+ 竺些) l 一 2 矿+ 村2 f 色a a 缸s 1 。rd k 蛐譬。口 ，2 ， 1 疋0 2 o l - z c o s 引萼叫2 褰缸， 一 2 4 1 4 上海大学硕士学位论文 如os 1 ，0 2 2 邕葛鼍 1 2 4 矗” ts - i n o e 一2 6 3 0c o s 口 1 矗“- l + 2 a l c o s a 1 ，擅 2 2 0 笔坚一2 口1 2c o s t 2 l 1 一，o o s 口严c o s 口2 f 3 咖2 9 1 一 矗” ，崩 一 2 q - 1 3 x 3 s a 2 望韭j + 土( 4 。一西 l 8 毗l2 ，s 口s i m 2 ，c o s 口 l k ，r _ 2名 一 一 石】l r 卅 一2 1 2s i n2 0 0 - 4 a 2 2c o s a 4 了4 t s j n 2 + ( 4 一4 血缸 l 兀3 1 咄等“竿口瞄功 l 一 ，枷 o 一 82 严) 一8 c o s 。 矗o 4 a _ e z 2 _ _ 雪一z 一c o s 口 l一! + 卫r 比k 瞄“砜豳l 弘2 如盯淄口 1 一 疋1 1 82 + 2 勉s 口， 表2 3表2 2 中t ，v ，s ，童，雪的表达式 州栌警毛c o s 口 附川啦0 c o s q - - 。1 _ + 警 s ( 口，7 ；) ：上一2 口c 。s 口 文口，。) ：三一2 c o s 口 j ( 盯，k ，j ) = ；丢一2 口。：c o s 口 超环面是x u v 光谱仪器中常用元件的面形，为了使用上的方便，我们在 表2 1 中取超环面的面形系数，代入到表2 2 中，整理出超环面光栅的波像差系 数，见表2 4 。 上海大学硕士学位论文 表2 4 超环面光栅的物光束波像差系数 ，忸r m ，r 1 n i n - p l a n e k 1 ko f f p l a n ek ii k 正 一s i n 口 l 石0 2s i n a ( 1 一她 l 一 2 ，卅p 厶” l l 一 矿+ 一v c o s a ) 4丁2厶” p 、r c o s 口34 ，c o s 口，2 矗2 0 1 p r p p l s 矗2 2 一 2 已+ c o s a ) 一一2 2 c o s 2 4 尸 r p 1 厶0 0 ts i n 口 1 + i c o s al 2兀l l r 册p js i n 口 1 i c o s a ，2 c o s 口 1 1 p r , p 2 正2 0 2 厶1 3 2 k 乓( 一堕) p 疋2 0 2 s i n 2 口t 吞 s l 4石1 ls i l l 口( 1 f c 0 5 口) l 0o r pp m 4 t s i n 2 球t 2s 1l s lf 。c o s n 、 一 2。r 2 8 矗3 1 7 r , p 、p 2 一旦一三4 一v c o s 口) 1 o j 旁一争 8五1 l p 、r 2 注：伊口雩口，班雩口乏3 8 警口， s c 口，。，一未。嚣口，雪c 口，：。豸口，蜃c 口，k ，季c o p s 口 足p 分别为超环面的主半径和次半径。r = p ，为球面；r ，p 中任一个为无 穷大，为柱面；二者都取无穷大，为平面。 1 6 上海大学硕士学位论文 像光束波像差系数与物光束波像差系数表达式在形式上是一样的，故在表 2 2 用像光束参量，0 ，分别代替物光束参量睇，o ，就可得到， r 。= 一0 k 耻x 甜“，= 矗( 夕，k ，0 ，) 参量肛0 ，分别表示像方出射角、像方子午焦距和弧矢焦距，为像方中 心光线在对称平面上的截距。 综上所述，光栅波像差中的几何光程，的幂级数展开式表示为， 44 f = x u y = - ( a v , u + u 硅) x 7 ，( 2 - 1 8 ) 神辨 2 2 3 光栅刻槽分布函数的级数展开 光栅刻槽分布是光栅表面坐标的函数= n o ，r ，z ) ，对于给定的基底面形 有z = z 乜，r ) ，因此刻槽分布函数简化为n = l v ( z ，r ) 。光栅刻槽分布与光栅的 制作方式相互关联，下面推导全息光栅和机械刻划光栅刻槽分布函数的级数展 开式。 1 、全息光栅刻槽分布函数的级数展开 图2 4 全息凹面光栅的构造示意图 1 7 c 上海