（计算数学专业论文）吴方法及其在偏微分方程中的应用.pdf

摘要 本文共分两部分，第一部分讨论微分特征列法的理论和应用问题，涉及到微分方程， 抽象代数，计算机代数等重要学科。将吴方法应用到具有物理意义的线性偏微分方程上 去，我们给出了j 型序，验证了张鸿庆教授八十年代给出的恰当解的概念，刻戈i 了解的 规模并给出了形式幂级数解。第二部分以构造性的变换及符号计算特别是( 吴代数消元 法) 为工具，来研究非线性演化方程中的一些问题：精确解( 如孤子解、周期解、有理解 和雅可比椭圆函数解( 双周期解) 等) 、b a c k l n n d 变换、h o p f 变换，d r o m i o n 解及衰变结 构等 第二章介绍了求解p d e s 的a c = b d 模式及其在偏微分方程中的作用。首先给出了 c d 对和c d 可积系统的基本理论，然后是具体研究了它们的应用。如何找到变换是这 一章的一个重点内容。 第三章介绍了吴微分特征列法的最基本理论和它的应用。我们把它应用到线性偏微 分方程上去得到了解的规模和形式幂级数解。因此验证了张鸿庆教授8 0 年代的结果。 第四章讨论了双曲函数变法及其应用推导出了双曲函数变换，利用此方法探讨了 一类反应扩散方程，b r u s s e l a t o r 反应扩散方程这些具有物理、化学、生物意义的方程的 精确解( 包括奇性孤波解，周期解和有理函数解) 。我们还研究了k d v ，耦合k d v 方程及 一类组合k d v b u r g e r s 方程，一类非线性演化方程精确解，这些解包括奇性孤波解，周期 解和有理函数解。在解决问题的过程中吴代数消元法是最重要的基本工具。 第五章考虑了非线性偏微分方程的雅可比椭圆函数解( 双周期解) 精确解的机械化算 法：基于著名的s i n e g o r d o n 方程和s i n h g o r d o n 方程，我们获得两种雅可比椭圆函数的 的机械化算法。称之为雅可比椭圆函数扩展法，它是一种比s i t t e c o s i n e 方法和s n c n 函数法，双曲函数法更有效和简单的方法。我们分别把它应用于一类非线性演化方程， r l w 和组合k d v 方程上去，获得了许多雅可比椭圆函数解和其它精确解。 第六章研究了齐次平衡法新的应用，把它应用到w b k 方程上去得到了许多新的精 确鼹。把它应用到b o u s s i n e s q 方程上去并和吴方法结舍在一起获得了新的精确解。把齐 次平衡法应用到b k 和d l w 方程上去，我们的到了许多衰变解和衰变结构。 第七章利用闰博士提出的两种扩展的r i c c a t i 方法讨论了b k ，d l w ，k u p e r s h m i d t 等 方程的精确解。我们获得了许多新解。与此同时我们也提出了一种寻找( 2 + 1 ) 维或 ( 3 + i ) 一维n l e e 类孤子解的机械化算法，应用此方法求出了( 2 + 1 ) 一维k d 方程 的许多新的类孤子解。因此我们的算法推广了范和s ae l w a k i l s 的r i c c a t i 方法。 关键词：特征列；非线性演化方程；非线性波方程；吴代数消元法；精确解；行波解 ；孤波解；周期解；有理解；d r o m i o n 饵；类孤子解；类多孤子解；c d 对，b a c k l u n d 变换；c o l e - h o p f 变换；齐次平衡法；p d c c a t i 方程；分离变量；解的规模；恰当解；标准 5 大连理工大学博士学位论文 型；契子；可积条件；形式幂级数解；型序 中图分类号：0 1 7 5 2 9 a m $ ( 2 0 0 0 ) 主题分类二3 5 q 5 1 ；3 5 q 5 33 5 q 9 9 ；3 4 a 0 5 ；3 5 q 3 0 ，3 5 g 2 5 6 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc h a n g e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r t ，t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n a b o u t w u - r i t td i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e q u e n c em e t h o da r ed i s c u s s e d ，w h i c hi n v o l v e st h et h e o r i e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a b s t r a c ta l g e b r aa n dc o m p u t e ra l g e b r ae t c w ea p p l yw u r i t td i f f e r e n t i a l c h a r a c t e r i s t i cs e q u e n c em e t h o d ( a b b r w u - r i t tm e t h o d ) t - ol i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h i c hh a sp h y s i c ss i g n i f i c a n c ea n dg i v et h es i z eo fs o l u t i o n sa n df o r m a lt a y l o rs o l u t i o n s w e p r e s e n t1 1f o r m a lo r d e r i n g sb yu s i n gi if o r m a lo r d e r i n g s ，w em a k e s u r ez h a n g sc o n c l u s i o no f p r o p e rs o l u t i o n s t h es e c o n dp a r t ，w i t ht h ea i do fm a n yt y p e sc o n s t r u c t i v et r a n s f o r m a t i o na n d s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ( e s p e c i a l l yw ua l g e b r a i ce l e m i n a t i o nm e t h o d ) ，s o m et o p i c si n n o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o na r es t u d i e d ，i n c l u d i n ge x a c ts o l u t i o n ( s o l i t a r ys o l u t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，r a - t i o n a lf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dj a c o b i a nf u n c t i o ns o l u t i o n ) ，b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，c o l e h o p f t r a n s f o r m a t i o n ，d r o m i o ns o l u t i o na n di t sc o n s t r u c t i o ne t a c h a r t e r2i n t r o d u c e sa c = b dm o d e la n di t sa p p l i c a t i o na b o u tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t l y , w eg i v eab a s i cn o t i o na n d b a s i ct h e o r yo fc dp a i ra n dc di n t e g r a b l es y s t e ma n dt h e n w es t u d yt h e i ra p p l i c a t i o n sh o wt os e e kf o rt r a n s f o r m a t i o nu ：c vi sa ni m p o r t a n ta s p e c ti n c h a r t e r2 c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d y i n gb a s i ct h e o r yo fw u r i t tm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n w e a p p l yw u r i t tm e t h o dt ol i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dg a v et h es i z eo fs o l u t i o na n d f o r m a lt a y l o rs o l u t i o n st h e r e f o r ew em a k es u r ez h a n g sr e s u l t s c h a p t e r4g i v e sh y p e r b o l i cf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n s f i r s t l y w ed e d u c eh y p e r b o l i cf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o na n dt h e na p p l yt oac l a s so fr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o na n db r u s s e l a t o rr e a c t i o nd i f f u s i o nm o d e lw h i c hh a sp h y s i c s c h e m i s t r ya n db i o l o g y s i g n i f i c a n c e t h u sw eo b t a i nm a n yn e we x a c ta n de x p l i c i ts o l u t i o n s ( i n c l u d i i l gs o l i t a r yw a v e s o l u i t o n ，p e o i o d i cw a v es o l u t i o na n dr a t i o n a lf u n c t i o n ss o l u t i o n s ) t oa b o v ee q u a t i o n s f i n a l l y w ea l s od i s c u s se x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so fk d v ，c o u p l e dk d va n dac o m p o u n dk d v b u r g e r s e q u a t i o n se t a w ua l g e b r a i ce l i m e n a t i o nm e t h o di sm o s ti m p o r t a n tb a s i ct o o ld u r i n gt h ec o u r s e o fs o l v i n gp r o p l e m c h a p t e r5c o n s i d e r st w om e c h a n i z a t i o na l g o r i t h mo fj a c o b i a nf u n c t i o ns o l u t i o n sb a s e d o ns i n e - g o r d o na n ds i n h g o r d o ne q u a t i o n s w ec a l la b o v et w om e c h a n i z a t i o na l g o r i t h ma s j a e o b i a nf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o dt h ej a c o b i a nf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o di sa ne f f e c t i v e m e t h o dt h a nt h es i n e - c o n s i n em e t h o da n dt h es n c nm e t h o d f i n a l l yw ea p p l yj a c o b i a nf u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o dt o ac l a s so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，r l wa n dac o m p o u n dk d v e q u a t i o n sa n dg e tm a a l yn e wj a c o b i a nf u n c t i o ns o l u t i o n sa n ds o l i t a r yw a v es o l u t i o n s 大连理工大学博士学位论文 i nc h a p t e r6 ，w es t u d yn e wa p p l i c a t i o n so fh o m o g e n o u sb a l a a c em e t h o da n da p p l yt h e m e t h o dt ow b k e q u a t i o na n do b t a i nm a n yn e we x a c ts o l u t i o n s w ea p p l yt h em e t h o dt o b o u s s i n e s qe q u a t i o na n d c o m b i n ew u a l g e b r a i ce l i m i n a t i o nm e t h o d ，m a n yn e w e x a ts o l u t i o n s a r eo b t a i n e d a p p l y i n gt h em e t h o dt ob k e q u a t i o na n dd l we q u a t i o n w eg e tm u l i t s o l i t i o n o l i k e s o l u t i o n sa n dm a n yd r o m i o ns o l u t i o n sa n dt h e i rc o n s t r u c t i o n s i nc h a p t e r7 ，w ed i s c u s se x a c ts o l u t i o n so fb k ，d l w ，k u p e r s h m i d te q u a t i o n sb yu s i n g e x p a n s i o nr i c c a t im e t h o dw h i c h1 1a n dz h a n gd e v e l o p e d a l s oi nc h a p t e r7 w ep r e s e n ta m e c h a n i z a t i o n a l g o r i t h m o fs e a r c h i n gf o rs o l i t o n l i k es o l u t i o n sa n d a p p l yt h ea l g o r i t h m t of 2 + l 】 d i m e n s i o n a lk d e q u a t i o n sa n d w eo b t a i nm a n yn e ws o l i t o n 1 i k es o l u t i o n s ，t h e r e f o r ew ee x t e n d f a n sa n ds a e l w a k i l sa l g o r i t h m s k e y - w o r d s ：c h a r a c t e r i s t i cs e q u e n c e s ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；n o n l i n e a rw a v ee q u a - t i o n ；w ua l g e b r a i ce l i m i n a t i o nm e t h o d ；e x a c ts o l u t i o n ；t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n ；s o l i t a r yw a v e s o l u t i o n ；p e r i o d i cw a v es o l u t i o n ；r a t i o n a lf u n c t i o ns o l u t i o n ；d r o m i o ns o l u t i o n ；s o l i t o n - l i k es o l i t o n s ；m u l i t s o l i t i o n - l i k es o l u t i o n s ；c dp a i r ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；c o l e - h o p ft r a n s f o r m a t i o n ： h o m o g e n o u sb a l m _ l c em e t h o d ；r i c c a t ie q u a t i o n ；t h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ；t h es i z eo f s o l u t i o n ： p r o p e rs o l u t i o n ；s t a n d a r df o r m ；w e d g e s ；i n t e g r a b i h t yc o n d i t i o n s ；f o r m a lt a y l o rs o l u t i o n ；p r o p e r s o l u t i o n ；i if o r m a lo r d e r i n g s 8 第一章绪论 本课题共分两部分，第一部分以计算机代数为工具，微分代数为理论背景，研究微分 特征列法的相关理论和算法问题。微分方程组的约化及解的规模，恰当解，序的优化，形 式幂级数解是第一部分研究的主要内容。第二部分以源于物理、力学、光学等领域中的 非线性问题所对应的非线性演化方程( 组) 为研究对象，以多种构造性的形式变换及符号 计算为工具，来研究它们的很多好的性质，如精确解( 孤子解、周期解、有理解、d r o m i o n 解及c o m p a c t o n 解等) 、b a z & l u n d 变换、h o p f 变换，d a r b o u x 变换、对称( 相似约化) 、 条件对称、n h a m i l t o n 结构、l a x 表示、r 矩阵及新的可积耦合系统下面介绍一下这 方面的国内外发展的情况及本文的主要工作： 1 - 1计算机代数与微分方程问题 计算机代数是致力于数学求解问题准确计算自动化的学科它研制，开发和维护符 号软件并研究其数学理论。计算机代数系统是为那些基本运算，如化简，微分，积分，因 式分解等提供算法模型，这些算法是构造其它软件包的基本构件。 1 9 5 3 年，在美国发表的两篇关于形式微分的论文( 分别由j f n o l a 和h g k a h r i m a n i a 撰写) 导致了一些计算机代数程序。与此同时，英国的h a z e l g r o r e 利用e d s a c 一1 进行群论 中t o s s c o x t e x 计算六十年代早期，用于表处理的计算机语言l i s p 在美国开发成功 j a m e ss l a g l e 写了第一个符号积分程序。此外，其他一些专业化程序也相继产生。如关于 初等函数运算，天文学和相对论的计算，高能物理学中的数学计算等。至1 9 7 1 年，经n i l 1 i a mm a r t i n 等人的努力，第一个基于l i s p 的通用计算机代数软件问世。后来许多通用软 件相继出台。特别值得一提的是r e d u c e ，m u m a t h ，s c a r t c h p a d ，m a p l e ，m a t h e m a t i c a ， c a y l e y 等。后三个软件均是用c 一语言编写。是一个应用最为广泛的符号运算软件， 它由加拿大w a t e r l o o 大学k e i t hg e d d e s 和g a s t o ng o n n e t 在八十年代初发起的一个科研 项目演变而成。该项目的目的是为用户提供应用计算机代数工具。与其它计算机代数系 统相比，m a p l e 效率较高m a t h e m a t i c a 是最引人注目的商业系统，由s t e p h e nw o l f r a m 组织编写，有很新颖的特点，综合了符号计算，数值计算和作图等多项功能。 在计算机代数中，键盘和显示器替代了传统的纸和笔。交互计算机程序，称为计算 机代数系统，使用户不仅可以进行数值计算，而且可以进行符号，公式，方程等的运算。 许多数学运算，如，微分，积分，级数展开，符号矩阵的求逆等都可以很快获得准确结 果计算机代数促使研究者改进已知的算法和发明新的算法。从某种意义上说，它恢复 了研究有效方法的理论需求，即：对于哪一类问题可以通过算法求解 1 1 。 计算机代数在微分方程研究领域的一个重要的应用就是处理超定方程组问题。如， 各种对称的确定方程组化简和求解，大量程序化运算必须由而且应该由计算机来完成陋2 9 查垄里三盔鲎整主兰堕堡茎 6 11 9 8 2 年，fs c h w a r z 首先用r e d u c e 语言写出求古典l i e 对称程序包，后如不断改进 和扩充f 7 - 9 1 ；1 9 8 7 年d wr a n d 等人用p a s c a l 语言给出识别代数的程序 1 0 ； 1 9 8 9 年，ph m k e r s t e n 用m a t h e m a t i c a 语言写成计算外微分系统无穷小对称的软件【1 1 1 ； 1 9 9 3 年，g f r e i d 等人及e m a n s f i e l d 分别用m a p l e 语言给出计算微分方程对称及化简 微分方程组的程序包f 1 2 ，6 】，此外还有用m a c s y m a ，m u m a t h 等其他语言编写的程序包 f 1 3 ，1 0 ，1 4 1 。可见，微分方程的对称以及超定方程的约化问题已经成为计算机代数的重要 组成部分。然而，符号计算占用较大空间和较长时间，算法的改进更为必要对于有理 运算，模运算值得进一步研究和开发 1 5 。 1 2 微分g a l o i s 群与微分代数 同样是由于受到g a l o i s 理论的影响，在p a r i s 的e p i c a r d 与m e v e s s i o t 发起创立常 微分方程组的求解理论他们引进微分域，微分g a i o i s 群等概念，将g a l o i s 的思想方法 差不多平行的推广导常微分方程理论上去，取得了某些突破f 1 6 ，1 7 】。按照所属的微分扩 域的不同，微分理论将方程的解分成：有理解，代数解，l i o u v i l l e 解三种。1 9 4 8 年， e r k o l c h i n 给出判定l i o u v i l l e 解的充要条件1 8 1 ，1 9 7 9 年，m f s i n g e r 给出代数解的 一般算法f 1 9 】，1 9 8 6 年，给出二维l i o u v i l l e 解的算法，并在计算机上实现 2 0 。这种方 法受到广泛重视，先后被许多研究者推广和改进f 2 1 2 3 1 在微分g a l o i s 理论的发展过程 中，k o l c h i n 和k a p l a n s k y 起了重要作用2 4 2 6 】现在，微分g a l o i s 理论已经在线性微分 方程及微分算子理论领域取得很大进展。 ”微分代数”一词首先出现在j f r i t t 的著作”d i f f e r e n t i a la l g e b r a ”中2 7 1 ，这一条 研究路线是从研究微分方程解的存在性出发的。由于受到e n o e t h e r 思想方法的影响， r i t t 等人在前人工作的基础上更加强调了代数性 微分方程解的存在性与特征理论的联系应追溯到s k o v a l e v s k a y a 的工作f 2 8 1 。b o u r l e t 首先提出不能用c a u c h y k o v a l e v s k a y a 定理处理的微分方程组的存在f 2 9 1 。在这之后， e d e l a s s u s ，c h r i q u i r e 开始推广c a u c h y k o v a l e v s k a y a 定理，获得了一些非常深刻的存在性 结果 3 0 一3 2j _ 提出了方程组的标准形式，并讨论了这种标准型的解的存在条件，即可积条 件( 参看本文第三章) 。m j a n e t 用其优美的单项式理论精化r i q u i r e 了理论。1 9 3 7 年， jt h o m a s 推广了r i q u i r e 的结论在t h o m a s 的理论中，不要解出主导数，但需要将微分 方程组扩张。r i q u i r e 等人的理论在微分多项式理论中得到发展。本世纪初，j f ，p d t t 等 人继t r e s s e jd r a c h 等人的研究成果，借鉴p i c a r d v e s s i o t 微分g a l o i s 理论的研究方式，引 进了微分理想，微分代数流形( 本文称微分代数簇) 等概念，讨论了微分理想的分鳃， 有限基存在定理，微分方程组零点定理，r i q u i r e 标准形及可积条件等问题，到四十年代 末，微分代数理论基本成形 微分代数贯穿代数消元和约化的思想，其中所提出的特征列方法起着核心作用，现 1 0 星壁盛! 堕二兰堕堡 在看来，这些思想方法无论对于研究微分方程问题还是深化普通多项式理论，都是十分 重要的然而r i t t 等人的理论真正被重视起来却是从八十年代开始的。著名数学家吴文 俊院士在研究几何定理的机械化证明问题时，首先发现了r i t t 等人的特征列方法在交换 代数中的巨大作用，发掘并为之赋予了许多新的重要的思想。吴将自己建立的多项式消 元法与r i t t 的特征列法结合起来，形成了r i t t w u 特征列法。在微分多项式理论方面， 吴弱化了r i t t 理论的解析性，更加强化代数性和几何性，提出了吴微分特征列法，为微 分几何定理的机械化证明和自动推理系统的研究奠定了理论基础。吴及其后来研究者的 研究成果，不仅延伸了传统的数学理论，而且渗透到诸如控制理论，系统工程，人工智 能等重要应用领域，继国家8 5 ，9 5 攀登项目之后，”数学机械化与计算机自动推理平 台”又成为国家重点项目一9 7 3 项目的重要课题之一。 同b b u c h b e r g e r 等人创立的g r o b n e r 基理论相呼应，吴方法在多元多项式理论中扮 演着重要角色，在计算代数几何及几何定理的机械化证明方面都取得了丰硕的成果此 外r i t t w u 微分特征列法也开始被用于处理微分方程问题朝鲁首先用吴方法给出了求 古典对称，非古典对称，及条件对称的算法与程序包，并将吴方法用于求解力学方程及 某些力学方程的推导方面【3 3 微分代数的理论和方法重新被重视是由于微分方程理论和应用两个方面研究迅速发 展的需要。例如，在对称分析中，需要处理大量的线性或非线性超定方程组，而这些方程 组多数是多项式形式的。微分代数的约化方法比较适合处理这类问题。但是关于r i t t w u 方法的算法研究表明，现有的许多算法都不是”好算法”即步数不是多项式的特别对 于微分代数运算，中间表达式膨胀及运算时间超限问题更为严重，所以算法的改进更为 必要。有效算法的产生不仅仅是经验和技巧的积累，还需要深刻的理论背景。发展微分 代数理论是十分必要和非常有意义的工作。 l 3 孤立子研究的历史背景 英国物理学家js c o t tr u s s e l l 罗素于1 8 3 4 年最先发现孤立子( s o h t o n ) 现象他f 3 4 1 在1 8 4 4 年9 月英国科学促进会第1 4 次会议上作了论波动的报告，报告中讲述了他 于1 8 3 4 年8 月在运河里发现了一个波形不变的水团，该水团在一两英里之外的河道转弯 处消失了他凭借物理学家的敏锐的观察力意识到这种现象绝非一般的水波运动，之后 r u s s e l l 为了更加仔细地研究这种现象，在实验室里进行了很多实验也观察到了这样的 波一孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 该水波具有浅长的性质另外在深度为h 的河道中，该孤立 波行进的速度c 满足关系式c 2 = g ( h + q ) ，其中q 为波的振幅，g 为重力加速度 随后，a i r y ( i s 4 5 ) ，s t o k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) 和r a y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 对这种波作了进 一步的研究为了近似地描述孤立波，b o u s s i n e s q 提出了一个一维非线性演化方程，即 后来被人们命名的b o u s s i n e s q 方程 大连理工大学博士学位论文 r u s s e l l 等人观察到的孤立波到底存在于什么样的水波方程中? 或者说什么样的水波 方程拥有那样的孤波解? 这一直困绕着人们，直到1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和他的博士生d e v r i e s 3 5 1 提出了一个非线性演化方程( 人们简称为k d v 方程) 他们用该方程的一个孤波 解来解释r u s s e l l 观察到的浅水波，但是并没有发现该方程的新的应用这似乎说明发现 k d v 方程并没有太大的价值到了。山穷水尽疑无路”的地步 直到2 0 世纪5 0 年以后，1 9 5 5 年著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 3 6 】提出了著名 的f p u 问题，即将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时，这些谐 振子的所有能量都集中在一质点上，即其它6 3 个质点的初始能量为零经过相当长的时 间后，几乎全部能量又回到了原来的初始分布这与经典的理论相矛盾当时，由于只 在频率空间来考虑问题，未能发现孤立波解因此该问题未能得到正确的解释 1 9 6 2 年，p e k i n g 和s k y r m e 3 7 l 在研究基本粒子模型时，对s i n e - g o r d o n 方程作了数 值实验，结果表明：这个方程产生的孤波解也不分开，即使碰撞后两个孤立波也保持着 原来的形状和速度 为了解释f p u 问题中的现象，1 9 6 5 年k r u s k a l 和z a b u s k y 3 8 1 从连续统一体的观点 来考虑f p u 问题在连续的情况下，f p u 问题近似地可用k d v 方程来描述他们对 k d v 方程两个波速不同的孤波解进行研究若这两个孤波开始分开且波速大的在左边， 那么在相互碰撞后，波速大的在右边且保持最初的高度和速度，仅仅发生变换的是相的 转移这两个孤波的碰撞是弹性碰撞，又类似于粒子，因此他们称它为孤立于( s o l i t o n ) 孤立子有时也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解， 以及与之相应的物理现象，用物理的语言来说，这些性质是：( 1 ) 能量比较集中于狭小 的区域；( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到最初这 揭示了孤立渡的本质从此以后，孤立子理论的工作开始蓬勃发展，孤立子已经渗透到 了很多领域，如物理学的许多分支( 基本粒子、流体物理、等离子体物理、凝聚态物理、 超导物理、激光物理、生物物理等) 、生物学、光学、天文学等在世界范围内掀起了孤 立子研究的热潮f 3 9 4 5 孤立子的发展大致分为以下三个阶段：第一阶段从1 8 3 4 年到1 9 5 5 年主要的成就 为： ( 1 ) r u s s e l l 发现孤立波( 1 8 3 4 ) ；( 2 ) s i n e - g o r d o n 方程的b a c k l u n d 变换的发现( 1 8 8 5 ) ； ( 3 ) k d v 方程及其孤波解的提出( 1 8 9 5 ) ；( 4 ) c o l e h o p f 变换( 1 9 5 0 1 9 5 1 ) 第二阶段从1 9 5 5 年到1 9 7 0 年主要的贡献为： ( 1 ) f p u 问题的提出( 1 9 5 5 ) ；( 2 ) 孤立子的命名( 1 9 6 5 ) ；( 3 ) 反散射法( 1 9 6 7 ) ；( 4 ) m i u r a 变换( 1 9 6 8 ) ；( 5 ) l a x 对( 1 9 6 8 ) 第三个阶段从1 9 7 0 年至今，这 个阶段发展的特别讯速 1 4 孤立子基本概念及分类 在绪论中我们已经叙述过孤立子的发现及其发展过程，孤立子往往也称为孤立波( 孤 1 2 夏铁成：第一章绪 论 渡) 。什么是孤立子? 目前还没有一个确定的定义。李政道指出： “在一个场论系统中， 若有一个经典解，它在任何时间都束缚于空间的一个有限区域内，那么，这样的解叫做 经典孤子解。很显然这只是给出一个描述性定义。为了更深入的理解孤立子，以下三点 是基本的3 9 ，4 3 4 4 j ： 孤立子 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 能量比较集中于一个较小的区域( 或能在给定区域内稳定存在) ； ( i i i l 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象( 即波形和波速能恢复到最初) 。 孤立子可分为两大类：一类是拓扑性孤子；一类是非拓扑性孤子。拓扑性孤子稳定 存在的必要条件是篱并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的边界 条件。有孤子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤子解时不同。非拓性孤子不需要兼 并真空态，无论有无孤立子，在无穷远处都有同样的边界条件。般来说，钟型分布的正 负孤波及其序列都是非拓扑的，但是扭性孤渡是拓扑孤子。 1 5 非线性演化方程( 组) 的解发展情况 对自然科学中很多问题的研究大致分为两大类：一是定性研究；二是定量研究在定 量研究中又可细分为数值近似研究和精确构造性研究对于出现在很多领域( 如物理，化 学，光学等) 中非线性演化方程( 组) 的许多性质的精确构造性研究，我们想从以下几个 方面来阐述其国内外的发展情况 1 2 1 非线性演化方程解的构造性方法 自从1 8 9 5 年k d v 方程被提出以来，在很多领域的人们获得了大量的具有实际意义 的非线性演化方程许多数学家和物理学家对于这些方程的精确解做了大量的工作，所 用的方法各有千秋，但没有一种方法能包罗万象正如k l e i n 所说：微分方程求解只是 技巧的汇编一般来说，直接寻找非线性演化方程的精确解是非常困难的往往首先须 对方程进行变形( 或称变换) ，将原方程变为简单的，易解的方程例如b a c k l u n d 变换， d a r b o u x 变换，相似约化等 b a c k l u n d 变操祁d m b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b a c k l u n d 4 6 在研究负常曲率曲面时，发现s i n e - g o r d o n 方程 眦。= s i n u 的两个不同解u 和u 之间有如下的关系式 t 。；地卅s i n ( 半) ，“；= 一蜥+ 扣( - ”- 一7 。) ( 1 ) 此即为b a c k t u n d 变换另外还得到了一个非线性叠加公式 毗。= a 删a n 糍叫半。 ( 2 ) 盔姿墨三盔兰堡主兰垡堡奎 其中。o 为s i n e - g o r d o n 方程的解这个公式在非线性理论中具有重要的作用但由于这 个变换没有别的应用，因此被冷落了近百年直到2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学，晶 体位错等许多领域的研究都与s i n e - g o r d o n 方程有关，这对b a c k u n d 变换才受到重视、 1 9 7 3 年w a h l q u s t 和e s t a b r o o k 4 7 1 发现k d v 方程也具有b a c k l u n d 变换，也有类似的叠加 公式1 9 7 6 年他们提出了求非线性方程的b a c k l u a d 变换的延拓结构法，将b a c k l u n d 变 换，守恒律及反散射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a i e ( 4 8 i 推 广了常微分方程的p a i n l e v e 可积的判定法，提出了偏微分方程的p a i n l e v e 可积的判定法， 并用其来获得可积方程的b a c k l u n d 变换与b a c k l u n d 变换具有同等重要的是d a r b o u x 变 换，1 8 8 2 年，o a r b o u x f 4 9 】研究了一个一维s c h r o d i n g e r 方程的特征值问题( h = 0 ) 一曲。一u ( x ，t ) 咖= a 西( 3 ) d a r b o u x 发现：若u 和西是满足( 3 ) 的两个函数，对任意给定的常数a o ，令，( g ) = 咖( 。，a o ) 即，是( 3 ) 当a = 。的一个解，则由 7 = u + 2 ( i n ，) 。，母7 扛，a ) = 蚀( z ，a ) 一( 如i n ，) 币( z ，a ) ，0( 4 ) 所定义的函数“7 ，西一定满足( 3 ) ，( 4 ) 就称为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变换的基 本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来获得非 线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b a c k l u a d 变换， 或者称为求b a c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法关于b a c k l u n d 变换的早期工作可参考文献 3 4 ，4 2 ，4 5 1 9 7 5 年，w a d a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e g o r d o n 方程f 5 0 1 1 9 8 6 年，中科院院士谷趣豪等人将d a r b o u x 变换推广到k d v 族，a n k s 族及( 1 + 2 ) 维， 高维方程组，并且将d a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中另外，延 拓法及局部高阶切丛法等也能获得b a c k l u n d 变换 4 4 ，5 0 ，5 l 】最近关于有限维可积系统的 的b a c k h m d 变换有引起了人们的高度重视f 5 2 5 5 1 对称( 相似约化) 和相似解 自从n e w t o n 时代以来，寻找微分方程的精确解在对自然的数学描述中的一个最重 要的课题三百多年来，很多有效的方法用于解微分方程，如变量分离法，p o i s s o n 法， f o u r i e r 级数法， b a c k l u n d 变换等若翡们从群论的观点来研究这些方法，不难发现它 们都是基于“对称”关于微分方程的对称性质，很多大数学家都曾使用过，如b e r n o u l l i ， e u l e r ，l a p l a c e ，d a l e m b e r t ，f o u r i e r ，l a m e ，r i e m a n n 及l i o u v i l l e 等但是直到1 9 世纪后期 才由s o p h u sl i e 5 6 】给出微分方程对称的理论基础，即连续群( 或称对称群，l i e 群，不 变群) l i e 主要是受s y l o u 和a b e t 的工作启发为了推广并统一以前各种解常微