（管理科学与工程专业论文）随机利率下寿险精算的建模与仿真.pdf

随机利率下寿险精算的建模与仿真 摘要 本文在对国内外相关文献进行归纳总结的基础上，对随机利率环境下寿险精 算理论中的均衡保费和准备金的确定、生存年金组合的给付现值、社会养老保险 体制中的隐性债务以及基于多生命状态的寿险产品精算模型进行了定量研究，具 体工作如下： ( 1 ) 在随机利率环境下，建立了一个具有一般性的n 年两全同质寿险保单组 的均衡保费模型，定期寿险的情形是该模型的一个特例。证明了当保单数趋丁二无 穷多时，仞始时刻的平均未来损失随机变量( p r o s p e c t i v el o s sr a n d o mv a r i a b l e ，以 下简称损失变量) 按概率收敛于某一个随机变量，得到了该随机变量的一、二阶 矩与分布函数的近似递推关系式，通过计算两类相关系数证明了分布函数近似递 推式的合理性。利用该模型可以计算得到不同保费确定原则下的均衡保费，然后 采用计算得到的结果，研究了该保单组的准备金计提问题，得到了在未来h 时刻 平均损失变量的极限分布。 ( 2 ) 在随机利率环境下，建立了一个具有一般性的非同质生存年会组合的给 付现值模型，年金产品中考虑了延付期限与受益期限，因此许多年余产品都可以 包含在该组合中，如即期给付年金和终身年会等。利用分组的方法计算得到了组 合总给付现值的一、二阶矩，同时从现金流的角度得到了总给付现值的另一种表 达式。以此为基础，证明了当保单数趋于无穷多时，平均死亡率风险趋于0 ，而 平均利率风险保持不变，从而得到了总给付现值的近似替代随机变量，然后采用 m o n t ec a r l o 仿真的方法得到了这两个随机变量的经验分布。 ( 3 ) 在随机利率环境下，研究了社会养老保险制度中的隐性债务问题。对于 政府而言，隐性债务产生于社会养老保险体制的转轨之际。对隐性债务进行研究， 有助于促进现行养老保险制度向良性方向发展，因而具有重要的现实意义。本文 依据现行政策规定，建立了符合现实情况的精算模型，并且通过m o n t ec a r l o 仿 l i 东北大学博士论文摘要 真技术得到了有意义的结果，可以为政府部门建立与隐性债务相对应的基金积累 提供重要的决策支持。 ( 4 ) 在随机利率环境下，针对一个具有普遍性的多生命状态寿险产品进行讨 论，建立了精算模型，得到了保险人给付现值的一、二阶矩的一般表达式。对利 率以w i e n e r 过程建模，并采用m o n t ec a r l o 仿真的方法得到了保险人给付现值的 经验分布。由于所讨论的寿险产品具有普遍性，因而所建立的精算模型也相应地 具有普遍适用性。 论文最后指出了今后进一步研究的问题和方向。 关键词：精算；随机利率；m o n t ec a r l o 仿真 均衡保费；准备金；生存年金；死 亡率风险；利率风险；社会养老保险；隐性债务；多生命状态 1 耋i ! 苎耋堡圭童耋 垒：l ! ! 竺! ! m o d e l i n ga n ds i m u l a t i n gf o ra c t u a r i a ls c i e n c eo f l i f e i n s u r a n c ew i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s a b s t r a c t b a s e do nt h er e v i e wo ft h eo v e r s e a sa n dd o m e s t i cs t u d yo na c t u a r i a ls c i e n c eo f l i f ei n s u r a n c e ，t h i sd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e st h ed e t e r m i n a t i o n so ft h el e v e lp r e m i u m s a n dt h er e s e r v e s ，t h ep r e s e n tv a l u eo fp a y m e m so fap o r t f o l i om a d eu po fd i f f e r e n tl i f e a n n u i t i e s ，t h ei m p l i c i tp e n s i o nd e b t ( i p d ) i ns o c i a lp e n s i o ns y s t e mi nc h i n aa n dt h e m o d e lo fi n s u r a n c ep r o d u c tb a s e do dm u l t i p l el i f ei nt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s e n v i r o n m e n tq u a n t i t a t i v e l y t h ed e t a i l e dw o r ki sa sf o l l o w s ： ( 1 ) al e v e lp r e m i u m sm o d e lo f ap o r t f o l i oo f h o m o g e n e o u sf - y e a re n d o w m e n tl i f e i n s u r a n c ew i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e si sp r e s e n t e da n dt h e 7 - y e a rt e r ml i f ei n s u r a n c e i sas p e c i a lc a s eo ft h i sm o d e l i ti sp r o v e dt h a ta st h en u m b e ro fi n s u r e dt e n d st o i n f i n k yt h ea v e r a g ep r o s p e c t i v el o s sr a n d o mv a r i a b l eo ft h i sp o r t f o l i oa ti n i t i a lt i m e t e n d si np r o b a b i l i t yt oac e r t a i nr a n d o mv a r i a b l eo fw h i c ht h ef i r s tt w om o m e m sa n d t h ea p p r o x i m a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o n j u s t i f i e db yl o o k i n g a tt w oc o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t sa r ed e r i v e d t h el e v e lp r e m i u m sm a yb ed e t e r m i n e du n d e rd i f f e r e n t p r i n c i p l e sw i t ht h i sp r e s e n t e dm o d e l t h e nb a s e do nt h er e s e a r c ht h ed e t e r m i n a t i o no f t h er e s e r v e so ft h i sp o r t f o l i oi ss t u d i e da n dt h el i m i td i s t r i b u t i o no ft h ea v e r a g e p r o s p e c t i v el o s sr a n d o mv a r i a b l ea tt i m ehi sd e r i v e d ( 2 ) am o d e lo ft h ep r e s e n tv a l u eo fp a y m e n t so fap o r t f o l i om a d eu po f n o n h o m o g e n e o u sl i f ea n n u i t i e sw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e si sd e v e l o p e d b e c a u s et h e d e f e r r e dt e r ma n db e n e f i tt e r ma r ec o n s i d e r e dm a n yl i f ea n n u i t i e sp r o d u c t ss u c ha s n o n d e f e r r e da n dw h o l el i f el i f ea n n u i t i e sc a i lb ei n c l u d ei nt h i sp o r t f o l i o t h ef i r s tt w o m o m e n t so ft h ep r e s e n tv a l u eo fp a y m e n t sa r ed e r i v e db yg r o u p i n gt h ep o r t f o l i oa n d 圭i ! i ；! ! i i ! 圣 ；：尘：! ! j 莲圣 t h eo t h e re x p r e s s i o nf o rt h ep r e s e n tv a l u eo fp a y m e n t so ft h ep o r t f o l i oi sp r e s e n t e d f r o mt h ep o i n to fv i e wo fc a s hf l o w b a s e do nt h i si ti sp r o v e dt h a ta st h es i z eo ft h e p o r t f o l i ot e n d st oi n f i n i t y t h ea v e r a g em o r t a l i t yr i s kt e n d st o0w h i l et h ea v e r a g e i n t e r e s tr i s ks t a y st h es a i n e s ot h ea p p r o x i m a t i o no ft h ep r e s e n tv a l u eo fp a y m e n t so f t h ep o r t f o l i oi sd e f i n e da n dt h em o n t ec a r l om e t h o di su s e dt og e tt h ee m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n so f t h e s et w or a n d o mv a r i a b l e s ， ( 3 ) t h ei m p l i c i tp e n s i o nd e b ti ns o c i a lp e n s i o ns y s t e mi nc h i n ai sr e s e a r c h e d 谢m s t o c i m s t i ci n t e r e s tr a t e s f o rt h eg o v e r n m e n tt h ei m p l i c i tp e n s i o nd e b ti sg e n e r a t e d w h e nt h es o c i a lp e n s i o ns y s t e mi ss h i f t e d i t ss i g n i f i c a n tt os t u d yt h ei p dw h i c h c o n t r i b u t e st ot h ei m p r o v e m e n to ft h ec n i ”e n ts o c i a lp e n s i o ns y s t e m a c c o r d i n gt ot h e a c t u a lp o l i c i e s ，t h i sd i s s e r t a t i o nd e v e l o p sa na c t u a r i a lm o d e lw h i c ha c c o r d sw i t ht h e c u r r e n ts i t u a t i o na n dt h em e a n i n g f u lo u t c o m ei sa c q u i r e db yt h eu s eo f t h em o n t ec a r l o m e t h o dw h i c hc a np r o v i d ei m p o r t a n ts u p p o r t st od e t e r m i n et h el e v e lo ft h ef u n du s e d f o rt h ep a y m e n to f1 p df o rt h eg o v e r n m e n t ( 4 ) a na c t u a r i a lm o d e lf o rag e n e r a li n s u r a n c ep r o d u c tb a s e do nm u l t i p l el i f ew i t h s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e si sd e v e l o p e d b ya n a l y s i s ，t h ef i r s tt w om o m e n t so f t h ep r e s e n t v a l u eo ft h eb e n e f i ta r n o u r l t sa r ea c q u i r e d t h ei n t e r e s tr a t em o d e li sc o n s t r u c t e db y w i e n e rp r o c e s sa n dt h em o n t ec a r l om e t h o di su s e dt og e tt h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o n s o ft h ep r e s e n tv a l u eo ft h eb e n e f i ta m o t i n t a st h ei n s u r a n c ep r o d u c td i s c u s s e di s g e r e n a l ，c o r r e s p o n d i n g l yt h ea c t u a r i a lm o d e lp r e s e n t e di sg e n e r a l a tt h ee n dt h i sd i s s e r t a t i o ns e tf o 曲t h eq u e s t i o n sa n dd i r e c t i o n so ft h ef u r t h e r r e s e a r c hi nf u t l l i f e k e y w o r d s ：a c t u a r i a ls c i e n c e s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s ；m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ：l e v e l p r e m i u m s ；r e s e r v e s ；l i f ea n n u i t y ；m o r t a l i t yr i s k ；i n t e r e s tr i s k ；s o c i a l p e n s i o ns y s t e m ；i m p l i c i tp e n s i o nd e b t ；m u l t i p l el i f es t a t u s v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成 果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也 不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 一躲豸、胡 同 期： 细夕、9 、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规 定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索、交流。 学位论文作者签名 日期： 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 一躲，缘嘲 签字日期：伽只吁、 剥磁名- 郭亚复 签字嗍：渺夕、州 圭i ! 盔童堡圭鎏查 董= 耋些童 1 1 寿险精算概述 1 1 1 寿险精算的内涵 第一章绪论 精算学( a c t u a r i a ls c i e n c e ) 是通过对未来不确定性事件的分析，研究不确定 性对未来可能造成的财务影响的学科【1 ，。精算学中的不确定性，包括人的寿命的 不确定性或患病的不确定性、车辆因发生事故而造成的损失程度的不确定性以及 房屋建筑由于火灾造成的损失的不确定性等。诸如此类的事件，可能发生，也可 能不发生。精算学是依据数学( 主要是概率统计) 、金融学和计算机技术等，对这 些不确定性进行数量分析与预测，从而为实际的运作提供科学的依据。传统的精 算学，主要讨论保险中的不确定性。 1 1 1 1 保险的分类 按照保险标的的不同，保险可分为人寿保险和非人寿保险i * 7 。 ( 1 ) 人寿保险 人寿保险是以人的寿命、身体或健康为保险标的的保险。按照保障的范围来 划分，人寿保险可分为生存保险、死亡保险、两全保险、人身意外伤害保险和健 康保险。 生存保险是以被保险人的生存作为保险事故的保险。生存保险又可以分为 两类：一类是单纯的生存保险，另一类是生存年金保险。单纯的生存保险是以被 保险人在规定期限内生存作为给付保险金条件的保险，即被保险人要生存到约定 期满时，保险人才给付保险金。如果在此期间被保险人死亡，所缴保险费不予退 还，其所缴保费将充作所有到约定期满时，仍然生存的被保险人的保险金。因此， 生存者所得的保险金除本人所交的保险费以外，还包含死亡者已缴付，但保险人 未返还的保险费。生存年金保险即保险人在约定的期限内，按照一定的周期给付 年金领取者定保险金的保险。在生存年金中，保费可以采取一次缴清的方式， 也可以采取分期缴付的方式。但不论采取哪一种方式，在开始领取年金之前，投 童i ! 盔耋堡圭丝耋 董：耋塑篁 保人都要缴清所有保费，而不能边缴保费边领取年金。生存年金的保险责任与单 纯生存保险是相同的：如果被保险人在约定的保险期内生存，保险人给付保险金， 反之，保险人则不给付保险金。与单纯的生存保险不同的是，保险金的给付方式 不同；单纯的生存保险通常是一次性给付保险金，而生存年金通常是采取周期给 付的方式。投保人投保生存年金的目的通常是为了使晚年的经济生活得到保障。 死亡保险是提供死亡保障的险种。若被保险人在保险期内死亡则保险人支 付保险金，否则保险人不予给付。按照保险期限的不同，死亡保险可以分为定期 寿险和终身寿险两种。定期寿险是一种以被保险人在规定期限内发生死亡事故为 前提而由保险人负责给付保险金的人寿保险。如果期限届满，被保险人仍然生存， 保险人不再承担保险责任，也不退还保险费。终身寿险是一种不定期的死亡保险， 只要投保人按时缴纳保费，自保单生效之日起，被保险人不论何时死亡，保险人 都给付保险金。 两全保险是指被保险人无论在保险期内死亡还是生存到保险期届满，保险 人都负责给付保险金的保险。在两全保险中，一般规定一个保险期限，被保险人 在规定的保险期限内或生存或死亡，二者必居其，因此，只要投保人按期缴纳 了保费，总会得到一笔保险金。这在形式上与银行储蓄具有一定的相同之处，因 而，两全保险又称之为储蓄保险。 人身意外伤害保险是指被保险人在保险有效期间，因遭遇非本意的、外来 的、突然的意外事故，致使其身体蒙受伤害而残疾或死亡时，保险人依照合同规 定给付保险金的保险。人身意外伤害保险只承担意外伤害责任，不承担因病死亡 等其他保险事故的给付义务。与生存保险、死亡保险和两全保险相比，意外伤害 险的主要特点是：被保险人所面临的风险程度并不因被保险人的年龄、性别不同 而有太大的差异。被保险人不论是男是女，年长年幼，体格健壮还是体弱多病， 在相同的环境中，他们的身体遭受意外伤害的可能性大体上都是相同的。 健康保险是指被保险人在保险有效期间因疾病、分娩等所致残疾或死亡 时，由保险人给付保险金的保险。相较于生存保险、死亡保险和两全保险而言， 健康保险有以下特点：期限一般较短，通常为1 年左右的时间；费率计算的依据 是被保险人的职业、性别、年龄和保额，其中职业是最主要的因素，而年龄因素 2 奎些垄耋堡圭耋耋 堇= 童些耋 不像在生存保险、死亡保险和两全保险中那样重要；保单没有现金价值，如果被 保险人在保单期满前退保，保险人退还已缴纳的保险费；保险人对保险金的给付 有一定的控制，这个控制是通过等待期进行的。等待期是指从被保险人患病起， 至获得保险金之目的这段时间。被保险人患病以后，必须等到约定的等待期满后， 才能获得保险金。这样规定的目的是为了防止被保险人刚有轻微疾病就想获取保 险金，同时可以使保险人获得一定的时间，对被保险人的患病情况进行调查。 ( 2 ) 非人寿保险 非人寿保险包括汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保 证保险等。其中，汽车保险和屋主保险是非寿险中业务量较大的险种。汽车保险 是指对由汽车事故带来的损失( 车主、第三者的身体伤害及财产的损失等) 进行 部分或全部保障的保险险种。屋主保险( h o m e o w n e r si n s u r a n c e l 6 】) 是一种复合的 保险，这种保险承保多种风险事故( 如火灾、暴风雨、偷窃等) 造成的损失。 1 1 1 2 本文对寿险精算的界定 相对于保险的分类，精算学又分为寿险精算学i g - t 0 1 和非寿险精算学【1 1 1 4 1 。 寿险精算学主要是以人寿保险中的不确定事件为对象，建立数理模型，综合 考虑被保险人的寿命因素及保险人的投资收益状况，从而为实际的寿险操作提供 理论的依据。其中，关于生存保险、死亡保险、两全保险的精算理论与关于人身 意外伤害保险、健康保险的精算理论有较大的差别。前者的保险事故为个体的死 亡或生存期满，可以直接基于被保险人的生存规律和保险人的投资状况来讨论。 丽人身意外伤害保险考虑的是意外事故是否发生，这些意外事故包括如飞机失事、 火车碰撞等，人身意外伤害保险的精算理论接近于非寿险精算的范畴。健康保险 不仅要考虑被保险人残疾的程度，还需要考虑医疗费用的支出等，与前两者也有 较大的区别。 非寿险精算通过研究自然灾害、意外事故的出险频率和损失幅度的分布以及 由此而产生的一系列计算问题，为实际的保险运作提供依据。非寿险精算包含有 两个重要分支：一是损失分布理论，研究在过去统计资料的条件下，未来损失的 分布状况以及损失与赔款的相互关系等问题，以此作为预测的依据与基础，提高 经营决策的科学性：二是风险理论，即通过分析出险频率与损失幅度的分布，研 耋些苎耋量圭垒耋 堑：耋鎏i 竺 究这种出险次数与每次损失大小的复合随机过程，以期洞察保险应具备多大的基 金，方可不至于发生破产，若有可能发生破产，评估这一破产的概率大小等问题。 本文所讨论的寿险精算仅指关于生存保险、死亡保险和两全保险的精算理论， 这与众多已有的研究 1 , 2 , 8 q 0 1 是一致的。 1 1 2 寿险精算的起源 寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的一门学科。寿险的前身是欧洲中 世纪的g u i l d 制度“1 ，在这种制度下，众多的职业相同者组成了社团，从而对社 员遭受的死亡、火灾、疾病和盗窃等灾难共同出资救助。这种社团以后逐渐发展 成为近似保险的组织，如英国普遍设立的友爱社，对相互救助的专项范围和社员 缴纳的社费有了明确的规定，主要对社员及其配偶的死亡、年老和疾病等给予经 济上的资助f 】6 i 。 1 5 世纪后半期在意大利北部及中部各城市，也曾出现过一种称之为公典 ( m o u n t o f p i e t y ) 的慈善性质的金融机构，其目的在于以低利息贷款给普通工人、 商人、和一般平民，以对抗当时犹太人的高利贷。开始时，公典的资金完全由捐 赠而来，以后经营发生了困难，才开始有计划地吸收资金。存款人在最初的一段 时间不收利息，经过一定期间后，可以收取几倍于存入资金的金额。例如在女儿 出生时，缴存一定金额入公典，等到女儿结婚时( 1 8 年以后) ，就可以收取l o 倍 于当初缴存的金额。但如果该女不到1 8 岁就死亡，或没有结婚，那么缴存的金额 就归公典所有i ”j 。 年金制度在中世纪也已经实行。1 6 8 9 年法国实行的所谓t o n t i n e 养老金制， 就是一种特殊的年金制度，由银行家l o r e n z ot o m i 提出建议，是为救助法国贫穷 的财政而实行的一种募集公债的方法。政府通过向不同年龄段的会员销售会员票 来筹集款项，政府每年支付利息时给不同年龄组各支付一个总额，这个总额只在 该年龄组活着的会员中分配。当某一年龄组的会员全部死亡时，支付就停止，政 府对这年龄组会员的债务就算全部偿清了【”1 。 以上组织和制度仅仅是人寿保险思想的萌芽，它们缺乏科学的计算基础。从 1 7 世纪6 0 年代开始，对人的死亡记录的研究引起了学者的重视。英国数学家j o h n 查i ! 叁兰堡圭鎏圭 茎= 圭塑：耋 g r a u n t 于1 6 6 2 年出版了基于死亡证明书的自然与政治的观察报告7 1 , g r a u n t 的观察包括：“一些是关于贸易和政府，另一些则是关于大气、国土、季节、 收成、健康、疾病、寿命及人类性别、年龄问的比例。”更重要的是，他给出一张 1 0 0 个人的生命表，定出了3 6 人将在前6 年死去，并假定了此后每十年死去的人 数直到最后一人死于7 6 岁。这张表成为现代生命衰的先驱。荷兰数学家j a nd ew i t t 首次将概率论应用于人寿保险，他于1 6 7 1 年向议会提出依据人的死亡概率计算终 身年金现值，并以此决定年金的价格，但可惜并未被采纳。1 6 9 3 年，英国数学家、 天文学家e d m u n dh a l l e y 利用德国b r e s l a n 市n e v m a nc a s p e r 所搜集整理的该市 1 6 8 7 1 6 9 1 五年间按年龄分类的死亡记录，统计出按不同年龄和性别分类的死亡 人数和出生人数，编制好一份完整的b r e s l a n 市生命表。h a l l e y 在其中对死亡率、 生存率以及死亡率随年龄不同而异等概念的研究，为后来精算的产生奠定了科学 基础。法国数学家a b r a h a md em o i v t e 对死亡率及其模型进行了大量的研究，并 于1 7 2 4 年提出了一个死亡法则，即将一定年龄对应的生存人数看作这一年龄的函 数，模型为，。= 后 一x ) ，其中x 代表年龄，1 2 z ) x 0 ( 2 2 ) 即s ( x ) 等于新生儿活到x 岁( 即石岁以后死亡) 的概率。生存函数是精算学及人 口学研究的出发点，其所起的作用与分布函数在概率统计中所起的作用相当。由 ( 2 ，1 ) 和( 2 2 ) 式知 j ( 工) = p ( x x ) = 1 一p ( x x ) = 1 一f ( x ) 有了对生存函数的定义，与寿命相关的概率可以表示的更加简洁，例如，x 岁的 个体在未来一年内死亡的概率可以表示为 p ( x 工)s ( x ) 在购买保险时被保险人往往是已经活到某个年龄x 岁的人，这时保险人关心 的是被保险人未来能活多久，也就是被保险人的剩余寿命x x 的分布如何。用( x ) 表示一个x 岁的个体，7 1 ( x ) = x - x 。，。表示其剩余寿命，简称余命。记r ( x ) 的分 布函数为辱( f ) ，对于f 0 ，有 东北大学博士论丈第= 章寿险精算理论基础 辱( ，) = p ( r ( x ) x )s ( x ) 地2 ( x ) 的密厦函数为r o ) ，对于f 0 ，碉 邡) 堋归一等 在精算学中，通常用一套国际通用的符号来表示丁( x ) 的各种概率，具体有： ，q 。= p ( r ( x ) f )( 2 3 ) ，n = p ( 7 1 ( x ) f ) = 1 一，q ，( 2 4 ) 巾q 。= p ( u x ) ：s ( x ) - 了s ( _ x + t ) ( 2 6 ) s i xj 以司一凰= 等 ( 2 ，) 。，= 。p ，- - u + t q n = 堕专笋业 ( 2 8 ) w ，2 。n 2 2 二_ 。 ，” 根据( 2 7 ) 和( 2 8 ) 式，可以得到两个常用的关系式： 。只= # = 等- 等等t = 肘以， 亿，“，。 s ( x )s ( x )5 ( x + ) 一1“一。+ ， 、7 “r t q x：! ! ! 1 2 = ! ! 兰! ! ! ：! ! ! ! ! s ( x + u ) - s ( x + u + t )= 。p x ，吼+ 。( 2 1 0 ) ( 2 9 ) 式表明 ) 还能活过t + , 年的概率等于其还能活过，年的概率与其到z + f 岁时 2 4 圭垩垄兰堇圭垒耋 堑三兰耋坠塑苎堡誊垄璺 还能活过u 年的概率之积。( 2 1 0 ) 式表明( x ) 在未来“到“+ f 年之间死亡的概率等于 该人活过“年的概率与其活到“年后在之后，年内死亡的概率之积。 2 1 3 取整余命 t ( x ) 是一个连续型随机变量，它的取值可以带有小数。有时候保险人只需关 注( x ) 未来能够活过的整年数，即( x ) 的取整余命，记为k ( x ) 。k ( x ) 和t ( x ) 的关 系可以表示为 ( x ) = r ( x ) 】 即k ( x ) 是不超过t ( x ) 的最大整数，其概率分布为 p ( ( 工) = 七) = p ( r ( x ) 七+ 1 ) = m 吼= 三二1 1 1 掣k = o , 1 , , c o - x - 1 其中甜代表人的极限年龄。 2 1 4 生命表 表2 11 9 9 0 - - 1 9 9 3 年中国人寿保险业经验生命表( 男女混台) 的一部分 t a b l e2 1as e c t i o no f c h i n e s el i f et a b l ef o r1 9 9 0 1 9 9 3 ( m a l e sa n df e m a l e s ) 年龄x 死亡率吼 生存人数f 。 死亡人数或 00 0 0 2 9 0 91 0 0 0 0 0 02 9 0 9 l0 0 0 2 0 1 69 9 7 0 9 i2 0 1 0 2o 0 0 1 4 7 09 9 5 0 8 l1 4 6 3 30 0 0 1 1 1 4 9 9 3 6 1 8 1 1 0 7 40 0 0 0 8 7 29 9 2 5 1 18 6 5 50 0 0 0 7 0 29 9 1 6 4 66 9 6 数据来源：文献【9 】。 对保险人来说，一个最重要的也是最基本的统计数据是某个人在未来一年内 死亡的概率吼，这个概率在各个年龄是不同的，生命表通常按照周岁年龄列出这 东北大学博士论文 第：章寿险精算理论基础 些概率值。表2 1 是1 9 9 0 1 9 9 3 年中国人寿保险业经验生命表( 男女混合) 的一 部分，其中第二列列出了各年龄的死亡率，据此，可以计算出各种有用的概率。 以3 岁的个体为例，在4 岁时仍活着的概率为岛= l q 。= 0 9 9 8 8 8 6 ；根据( 2 9 ) 式， 在两年后仍活着的概率为：仍= p 3 p 。= p 3 t ( 1 一目。) = 0 , 9 9 8 0 1 5 ；在两年之内死亡的 概率为：q ，= l - ：岛= 0 0 0 1 9 8 5 ；根据( 2 1 0 ) 式，在4 岁到5 岁之间死亡的概率为 1 1 碍3 = p 3 t 9 4 = 0 0 0 0 8 7 1 a 一般地，由( 2 9 ) 式可以得到 t p x = n 。艮“p x + 一1 = ( 1 一q x ) ( 1 一吼“) ( 1 一以+ t 一，) ( 2 1 1 ) i q x = 1 一 n = 1 一( 1 一吼) ( 1 一q x * 1 ) ( 1 一吼+ t1 ) ( 2 1 2 ) 由( 2 1 0 ) 式可以得到 坼瓯= i b 。吼+ 女= ( 1 一吼) ( 1 一以+ i ) ( 1 一吼+ n ) 1 一( 1 一蟊+ i ) ( 1 一致+ m ) ( 1 一以+ 一i ) 】 ( 2 1 3 ) 根据( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 2 戈，只要知道各个年龄的基本概率吼，就可以求得其他与寿命 相关的概率。 除了基本概率吼外，生命表还会借助一个由毛个0 岁的个体组成的假想群体 来说明死亡规律。可以知道，该假想群体到x 岁时还活着的人数服从二项分布， 由于0 岁的个体到x 岁时还活着的概率为s ( x ) = ，p 。，因此二项分布的参数为f o 和 ，p 。用i 表示假想群体到x 岁时还活着的人数的期望值，则= f o ，p 。同样地， 该群体在x 岁到x + r t 岁死亡的人数也是一个服从二项分布的随机变量，参数为l o 和。吼，用。吐表示这个随机变量的期望值，则。吐= f o 咖9 0 = 乇- ( ，岛一。p 。) = i k ， 当n = 1 时，。以简记为吱。在这样一个随机生存群体中，死亡规律是用期望值来 2 6 奎些耋兰童圭耋耋 堑三耋耋坠鉴墨圣墼! 逖； 描述的，表2 1 的第三列和第四列列出7 这些期望值，但习惯上省略“剐矍“一 字，例如，t 就称为x 岁的生存人数，吨就称为工岁到x + 1 岁之间的死亡人数。 生命表中列有和d x 的值会给计算各种概率带来方便，【2 6 ) ( 2 8 ) 式可以推导 为 胪学= 警= 半年 亿 淑= 等= 幽l o s ( x ) 寺 ( 2 - 1 5 ) “。 s ( z ) 、 冲吼= 堕铲= 挫等型= 气竽= 争 b 旧 f 2 1 4 卜( 2 1 6 ) s - 比起相应的( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 式要计算简便。 2 1 5 分数年龄上的寿命分布假设 生命表并不能完整的给出个体未来的生存分布，它只给出了每个整数年龄段 的死亡概率，而对于非整数年龄，即对于分数年龄上的生存分布则无法通过生命 表得到。由于分数年龄实在太多，运用统计列表的方法已不切实际。一种可行的 方法是在分数年龄上对生存函数做出一定的假设，通常有三种假设：年龄间均匀 分布假设、年龄间常数死力假设和b a l d u c c i 假设，本文仅介绍最常使用的年龄间 均匀分布假设( u n i f o r md i s t r i b u t i o no f d e a t h so v e re a c hy e a ro f a g e ，u d d ) 。 在年龄间均匀分布假设下，对于整数年龄x 和0 ， 1 ，定义生存函数s “+ f ) 满足 s ( x + t ) = ( 1 一t ) s ( x ) + t s ( x + 1 ) ( 2 ，t 7 ) 根据( 2 1 7 ) 式，可以推导得到 叽2 同理可以推导得到 占( x )s ( x ) ，n = 1 一，q x = 1 一t q x f 吼 耋些苎耋丝圭垒耋 量三薹耋坠踅篓矍耋l 坠 旭矿尚 1 ，哪引 矧 在u d d 假设下，( z ) 的密度函数再( f ) 在0 ，) q , y = e ( t ( x ，y ) r ) r 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ，p t v = e ( t ( x ，_ y ) f ) ( 2 2 1 ) ，q 五= p ( t ( x ，y ) 茎f ) ( 2 2 2 ) 即，和，砖分别表示( z ，y ) 和( 历) 在未来f 年之后仍然存在的概率，和，分 别表示( x ，y ) 和( 而) 在未来f 年之内消失的概率。在r ( x ) 和7 ，( y ) 相互独立的假设 f ，( 2 1 9 ) - ( 2 2 2 ) 式可以推导为 r 2 p ( r a i n 阶) ，驯 ) = p ( 7 t ( x ) ，m f 1 3 ) = p ( 了1 ( x ) f ) p ( r ( j ，) f ) = ，p x ，p y 、 ，= 1 一，p 。= 1 一( 1 一，吼) ( 1 一。q y ) = ，可，+ ，q y 一，q ，q ， ( 2 2 4 ) ，砖= p ( m a x t ( x ) ，丁( y ) 】 f ) = p ( 丁( x ) 域7 1 ( y ) ) = p ( 丁( 功 f ) + p ( 丁( y ) f ) 一p ( 丁( x ) r ，( y ) f ) ( 2 2 5 ) 2 i p + t py t p l lt p y r 2 p ( 懈 t ( x ) ，= p ( 荆，m 伽6 1 = p ( 了1 ( x ) f ) p ( r ( y ) f ) = ，q ，。g ， 、。 ( 2 2 3 ) ( 2 2 6 ) 式说明在个体成员的寿命相互独立的假设下，多生命状态的相关 概率可以通过相应的单生命状态概率值计算得到。 2 3 寿险与生存年金的给付现值 2 3 1 死亡后立即给付的寿险 考虑保额为1 单位的h 年定期寿险，保险金在被保险人死亡后立即给付。设 被保险人投保时的年龄为x 岁，只有当( x ) 在n 年内死亡时，保险人才给付1 单位 圭些苎兰堇圭童耋 量i 兰童坠鉴耋詈立兰璺 保险金，其他情况不予给付。令z 表示保险金的给付现值，则 z ：“，r ( x ) 【0 ，7 ( x ) 胛 其中v 2 壶，代表年利率。可以得到 e ( z ) = r v 再( r ) 出 e ( z ) 在精算学里称之为精算现僮( a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e ，a p v ) 。z 代表保险人的 支出，如果保险人按照等值原则确定保费，并采取趸缴的方式，则在保单签发时 刻保险人应收取的趸缴保费为e ( z ) 。在精算学里，以爿：a 表示”年定期寿险的趸 缴保费，即- - 一，i 司= e ( z ) = v h ( o a t 。 对于保额为1 单位的终身寿险，( x ) 在任何时候死亡保险人都给付1 单位，所 以保险金的给付现值z ；v m ) ，相应的趸缴保费记为j ：，则 互= e ( z ) = f - x v t 再( f ) 础 对于保额为1 单位的n 年两全保险，当( x ) 在竹年内死亡时，保险人给付死亡 保险金1 单位，当( x ) 在n 年后仍生存时，保险人在第n 年末给付生存保险金1 单 位，因此一个，z 年两全保险可看作一个珂年定期寿险加上一个 年生存保险。对于 保额为1 单位的门年生存保险，给付现佰为 趸缴保费记为4 ：；，则 z 书 t ( x 1 ” r ( x ) h a ；= e ( z ) = f v ”五( ，) 西= v nn p ， 单位保额的门年两全保险的趸缴保费记为j ，：i ，那么 b =