（应用数学专业论文）对流扩散方程的径向基函数法.pdf

摘要 内容摘要：本文主要对一种真正的无网格法径向基函数配点法进行了研 究，并将此方法应用于求解对流扩散方程，重点求解了非线性对流扩散方程 本文共分四章第一章概述了径向基函数配点法的研究背景第二章首先回顾 了求解偏微分方程的一种有效方法一配点法，然后推导了近似方案，即径向 基函数配点法第三章我们将径向基函数配点法用于求解一维和二维线性对 流扩散方程，着重求解了非线性对流扩散方程，针对具体的模型编制了算法 的实现程序，通过计算机上的计算对所得的算法进行了检验，讨论了径向基 函数的选取及基函数中参数的调整对精度的影响，实验表明所获得的近似解 可以达到较满意的精度第四章我们对该方法作了总结与展望 关键词：无网格方法，径向基函数，配点法，对流扩散方程 a b s t r a c t c o n t e n t ： t h i sp a p e rs t u d i e sr a d i a lb a s i sc o l l o c a t i o nm e t h o d ，w h i c hi sat r u l ym e s h l e s sm e t h o d b a s e do nt h i s ，i ta p p l i e st h i sm e t h o dt os o l v i n gl i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o ne s p e c i a l l yn o n l i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n t h e r ea r e f o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do ft h er a d i a lb a s i s c o l l o c a t i o n t h es e c o n dc h a p t e ri sp r e l i m i n a r yo fk n o w l e d g e f i r s t l y , w er e v i e w a n i m p o r t a n t a n db a s i cm e t h o do fn u m e r i c a l l ys o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n - - c o l l o c a t i o n m e t h o d s e c o n d l y , t h e r a d i a lb a s i sf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o ni sg i v e n i nc h a p t e rt h r e e ，w ea p p l yr b c t os o l v et h e1 da n d2 d l i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o ne s p e c i a l l yn o n l i n e a re q u a t i o n f u r t h e r , i t g i v e st h ea l g o r i t h mo ft h i sm o d e li nt h i sp a p e r , a n dc h e c k st h ee x p e r i m e n tr e s u l t t h r o u g hc a l c u l a t i n go nc o m p u t e r n u m e r i c a ls t u d i e ss h o wt h a t t h em e t h o d i m p r o v e st h ea p p r o x i m a t i o ns i g n i f i c a n t l y i nt h el a s tc h a p t e r , i tr e c o u n ts u m m a r y a n df o r e c a s to frb c k e yw o r d s ：m e s hl e s sm e t h o d ，r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，c o l l o c a t i o nm e t h o d ， c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n 对流扩散方程的径向基函数法 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论 文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或 发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的其实和所提供的帮助，均 已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：j 勃 吼厶毋年碉 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留，使用学位论文的规定， 及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库检索，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存，汇编学位论文保 密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： j 筋 指导教师签名： 日 i 刁防 期： 2b 。扩。厂 对流扩散方程的径向基函数法 对流扩散方程的径向基函数法 第一章引言 1 1 无网格方法的研究与发展 近几十年来有限元法取得了巨大的发展，已成为计算力学中解决工程问 题的主要数值计算方法然而，在应用有限元法求解金属冲压成形等大变形问 题中，有限元网格可能会产生严重扭曲，不仅需要网格重构，大大地增加了 计算量，而且严重地影响解的精度鉴于有限元的这些缺陷，近几年来国内外 许多著名的计算力学专家对无网格法进行了研究，无网格法的近似函数基于 点，可以彻底地或部分地消除网格，因此在处理问题时可以完全抛开网格的 重构无网格方法是目前工程计算方法研究的热点，也是科学和工程计算发展 的趋势 无网格法真正产生于上世纪7 0 年代，1 9 7 7 年l u c y 提出了光滑质点流体 动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ，并成功地用于研究无 边界天体问题后来，s w e g l e ，d y k a 和c h e n 等人提出了该方法不稳定的起因 及稳定化方案。同时，j o h n s o n 等人提出了一些提高计算精度的方案，l i u 等 人也提出了对s p h 核函数的修正方案 构造无网格法可用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 来近 似，它是通过互不相关的节点上的插值得到一个函数，该函数光滑性好且导 数连续1 9 9 2 年，n a y r o l e s 等人最早将移动最d , - 乘法引入g a l e r k i n 方法中， 并称之为扩散单元法，分析了p o s s i o n 方程和弹性问题 b e l y t s c h k o 等人在1 9 9 4 年对扩散单元法进行了改进，提出了无单元 g a l e r k i n 法( e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g ) 这些改进主要包括： ( 1 ) 对形函数导数考虑得更全面：( 2 ) 采用高阶高斯积分进行区域积分；( 3 ) 引入拉氏乘子处理本质边界条件这些改进也使得漫射元法( d i f f u s ee l e m e n t m e t h o d ，d e m ) 求解精度更高整体来说，这类方法比s p h 方法计算费用高， 但具有较好的协调性及稳定性 b e l y t s c h k o 等对e f g 方法中的数值积分以及近似函数的计算方法进行了 深入的研究，并成功地将该方法用于求解断裂力学问题，给出了e f g 方法的 对流扩散方程的径向基函数法 任意l a g r a n g i a n e 1 e u r i a n 公式，掀起了无网格方法的研究热潮 a t l u r i 等提出了局部边界积分方程法( 1 0 c a lb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nm e t h o d ，l b i e ) 和无网格局部p e t r o v g a l e r k i n ( m e s hl e s sl o c a l p e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ，m l p g ) 这两种方法都是用移动最小二乘法建立场 函数的近似，用局部p e t r o v g a l e r k i n 法建立无网格格式，积分时不需要背 景网格 径向基函数法对一些特殊问题有较高的精度，在最小二乘法或其它方法 中均获得了成功的应用w a n g 和l i u 讨论了径向基函数的形式参数优化及点 插值径向基函数法l i e w 等人利用径向基函数的无网格配点法讨论了板的弯 曲问题本文将径向基函数用于配点法，求解对流扩散方程，重点求解了非线 性对流扩散方程，并得到了较好的结果 随着无网格法的研究和发展，目前国际上也已经开始研究无网格方法的 数学理论m a r i a ，c a r l o sz u p p a 对移动最小二乘法的误差估计进行了研究； k r y s l 和b e l y t s c h k o 研究了e f g 法中连续的和不连续的形函数的收敛性：l i u 讨论了重构核粒子法的收敛性，h a n 对重构核粒子法的误差分析进行了研究： f r a n k e 研究了基于径向基函数方法的误差估计相对于无网格本身的研究来 说，其数学理论的研究还远远还不够 1 2 无网格径向基函数配点法 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 具有形式简单，各向同性等 优点，数学界对其进行了大量的研究，成功地应用于多变量插值中f r a n k 比 较了2 9 种离散数据插值方法，发现h a r d y 提出的多平方基( m q ) 函数和d u c h o n 提出的薄板样条( t p s ) 函数的插值精度最高这两类函数是常用的径向基函 数k a n s a 首次将径向基函数引入配点法，这种方法采用径向基函数作为试函 数，并采用配点法的权函数作为加权残量法的权函数其基本思想是，在求解 域内随机布置结点( 布点时要有利于求解方程) ，在每个结点构造径向基函数， 将径向基函数代入到所求的方程，通过在计算机编制m a t l a b 程序最终求得方 程的近似解 与其他无网格法相比，径向基函数配点法有以下优点：( 1 ) 该方法是真 正的无网格法，不需要任何网格；( 2 ) 对支撑域和边界不作要求，只要以节 点为中心的子域并集覆盖了整体域，就能得到精确的结果；( 3 ) 径向基函数 2 对流扩散方程的径向基函数法 与空间维数无关，仅依赖于结点间的距离，其收敛率为d ( 庇1 ) ，其中h 为配 点密度，d 为空间维数，所以可以用来求解高维问题 1 3 对流扩散方程数值方法的研究 对流扩散方程在实际问题中有着广泛的应用，从人类排放的各种污染物 在大气及水体中的扩散到人体器官对药品的吸收，从多孔介质中的渗水追踪 到可溶物在河口和近海的扩散，从大气中温度到密闭容器中的热传递，都与 对流和扩散过程密切相关所有的这些流体流动与传热和污染物的输运扩散等 现象都受制于对流扩散方程，其一般形式为 i o u + 否伍跖) v u v 簟 ，u ) v u ) t ， ，越) ( 1 - 1 ) d r 其中6 g ，“) 是对流系数，云 ，“) 是扩散系数，i 是空间的坐标，t 代表时间， 厂何，口) 为源项，h 为通量，可以代表流体的速度矢量在空间坐标系上的分量或 温度，浓度等待求量 由于该方程可表示众多物理现象，因此稳定快速实用的数值解法有着重 要的理论和实际意义解析法是求解数学模型方程最经济的方法，不需要高度 逼真的模拟实验环境和复杂的数值计算程序对于上述对流扩散问题，数学界 已经发展了不少获得其精确解的数学方法但解析法只适用于少量简单的情 形，对于大量具有工程实际意义的对流扩散方程，数值方法得到越来越广泛 的应用在数值计算中应用较广泛的是有限差分法，有限元法和有限体积法 从数值计算结果而言，对流项离散方式的构造是否合适影响到以下三个 方面的特性：( 1 ) 数值解的准确性；( 2 ) 数值解的稳定性；( 3 ) 数值解的经 济性 但是，无论是有限差分法，还是有限元方法，用来求解复杂的物理现象 时，由于这时物体会产生巨大形变，而上述等方法都要依赖背景网格，所以 得到的数值解的误差较大，而且求解过程极其复杂，存储空间极大，花费时 间较长因此，研究运用无网格法求解对流扩散方程是必要的本文将径向基函 数配点法用来求解对流扩散方程，可以完全脱离背景网格，仅依赖于节点， 计算时间合理，而且计算实例证实，计算结果精度也较高，符合物理领域的 精度要求 3 对流扩散方程的径向基函数法 1 4 本文的研究工作 本文首先回顾了径向基函数配点法的基本原理，总结了怎样利用径向基 近似函数作为试探函数，求解线性对流扩散方程，并引用地下水溶质运移的 一维和二维对流扩散方程的实例主要讨论并求解了非线性对流扩散方程 b u r g e r s 方程作者对具体b u r g e r s 方程利用m a t l a b 编制了算法的实现程 序，并研究了径向基函数的选取及基函数中参数的调整对精度的影响，通过 计算机对所得的算法进行检验 4 对流扩散方程的径向基函数法 第二章基本原理 2 1 加权残量法 加权残量法 1 卜一 4 是求解偏微分方程的一种有效方法，但其试函数多 为全域函数，因而系数矩阵为满阵，计算量大文 5 将紧支函数引入加权残 量法中，得到了紧支试函数加权参量法，其数值格式具有和有限元相似的稀 疏系数矩阵，提高了加权残量法的计算效率紧支试函数加权残量法可以作为 系统评述和归纳无网格法的统一理论基础，目前现有的各种无网格法都可以 由紧支试函数加权残量法导出，同时也可以由此导出许多新的无网格格式本 文中介绍了由紧支试函数加权残量法导出了径向基函数配点法的基本原理， 并成功求解了非线性对流扩散方程 许多问题往往可归结为给定边界条件与初始条件的微分方程求解问题， 即未知函数u ( x ) 应满足微分方程组 a u ) 卜 a 。阻0 ) 】 a ：瞳o ) 】 a m 。阻o ) 】 即例：j 及b 掣 f 。陋o ) 】 ib 朋：融o ) 】 - 0 ( 在q 内) = 0 ( 在r 上) ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 其中r 是域q 的边界，工一i x ，y ，z 1 表示空间点待求函数“ ) 可以是标量场 ( 例如温度) ，也可以是几个变量组成的向量场( 例如位移，应变，应力等) 微分方程可以是单个方程，也可以是联立方程组，因此上面采用了矩阵符 号彳。和b 。是独立变量( 如空间坐标，时间坐标等) 的微分算子 由于式( 2 - 1 ) 在域q 内任意点都满足，式( 2 - 2 ) 在边界r 上任意点都满 足，因此对任意函数，和歹都有： f v t a “o ) p q + 何1 b u ( x ) d r 一0 ( 2 3 ) 5 对流扩散方程的径向基函数法 反过来，如果对任意函数y 和歹式( 2 - 3 ) 都成立，则式( 2 1 ) 必定在域q 内任意点满足函数 ，和矿称为检验函数( t e s tf u n c t i o n ) 或权函数，它们分 别是加。和m ：阶的函数矩阵式( 2 3 ) 称为微分方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的等 效积分形式 对复杂问题而言，式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 无法精确求解，只能近似求解设比6 0 ) 为式( 2 - 1 ) 和( 2 - 2 ) 的一个近似解，称为试探函数( t r i a lf u n c t i o n ) ，它 可以表示为一组已知函数； ) 的线性组合，即 “ ) 一u 6 0 ) 一善。o ) 比；一o 扣 ( 2 4 ) 其中“= k ，“三，川t 】1 ，o ) 一i n 。o ) ，n ：o ) ，。 ) 】，u i 是待定参数。 试探函数的项数厅越多，近似解的精度就越高当项数n 趋于无穷大时，近似 解将收敛于精确解 显然，近似解比6 0 ) 一般不能精确满足微分方程( - 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) ， 它们将产生残量尺和夏： r 0 ) 一彳k ) 】瓦o ) - b u 6 0 ) 】 ( 2 5 ) 为得到未知场函数u ( x ) 的最佳近似解，应以某种方式使残量尺和瓦为零 由式( 2 - 3 ) 可知，如果对任意检验函数v 和矿，式 少k o 矽q + ，_ 1 蠢。矽r 一0 ( 2 6 ) 都成立，则残量尺在域q 中任意点必定为零，而残量夏在变界r 上任意点必 定为零 实际上，不可能也不需要在式( 2 6 ) 中取无穷多个检验函数，而是一般 将检验函数 ，和矿取为一组基函数的线性组合，即 ，= 善6 ，形，矿2 丢6 矾 ( 2 7 ) 其中，以将式( 2 7 ) 代入到( 2 6 ) 中，并考虑到系数6 ，的任意性，得 6 对流扩散方程的径向基函数法 f w ：r ( x ) d q + f w ( x ) d r l o - 1 ，2 ，厂 ( 2 8 ) qr 上式的意义是通过选择合适的待定参数距j ，强迫残量足和豆在某种平均意义 上等于零在极限的情况下，残量r 和瓦在整个求解域内及其边界上趋于零 式( 2 8 ) 给出了厂个求解方程，用以求近似解的一个待定系数“；，从而得到 原问题的近似解当， n 时，方程( 2 - 8 ) 是超定的，需要用最d x - 乘法求解 在上面的讨论中，隐含假设了( 2 8 ) 中的积分是可以计算的，这就对形， 矿，和配“o ) 的选取施加了一定的限制在式( 2 8 ) 中，形，旷，只需是 有限单值函数即可，而比 ) 的选取取决于算子4 和b 中所含导数的阶次如 果算子a 和b 中所含导数的最高阶次是玎，函数比6 0 ) 必须在求解域q 内具有 刀一1 阶连续的导数，即具有c ”1 ( q ) 连续性 在许多情况下，可以对式( 2 - 8 ) 进行分部积分，表示为 广咿j 】d h o ) v q + ，e 听巧f 眦o ) f r o f = 1 ，2 ，r ( 2 9 ) 其中c 和d 所含导数的阶次比a 中的低，算子e 和f 所含导数的阶次比b 低 与式( 2 8 ) 相比，式( 2 9 ) 降低了对函数比6 0 ) 的连续性要求，但提高了对 形j 和旷的连续性要求式( 2 9 ) 称为微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) 的弱形式从形式上看，弱形式对函数“( x y 的连续性要求降低了，但对实际 问题往往能给出较原微分方程更好的近似解这是因为原始微分方程往往对 解提出了过分光滑的要求在由式( 2 8 ) 建立弱形式( 2 - 9 ) 时，利用分部积 分降低了积分项中导数的阶次如果弱形式不能精确积分，将可能使解产生较 7 对流扩散方程的径向基函数法 大的误差 在经典的加权残量法中，试函数是定义在整个求解域上的，这给定义在形 状复杂的区域上的微分方程的求解带来了很大的困难目前使用的试函数有 2 0 多种，如双三角函数，多项式幂函数，双调和函数，正交多项式 6 一 7 等。这些函数大都是定义在全求解域中，因此所得方程的系数矩阵为满阵， 计算量较大如果采用紧支函数作为加权残量法的试函数，则可得到紧支试函 数加权残量法，其系数矩阵为稀疏阵在紧支试函数加权残量法中选择不同的 检验函数和试探函数，就得到不同的近似求解方法只要试探函数是利用离散 点来建立的，则由紧支试函数加权残量法导出的所有方法都成为无网格法 除了最小二乘法，配点法，伽辽金法，子域法和矩量法等基本方法外，我 国学者提出了许多有效的新方法，如样条加权残值法，摄动加权残值法，随 机加权残值法，线性规划加权残值法，配线法，配面法，配域法等，极大地 丰富了加权残值法的内容 2 2 配点法 取6 函数作为检验函数 盱一0 西粥厩= k 0 ”甏主鬻 沿 将( 2 - 1 0 ) 代入式( 2 - 8 ) 中，得 逐r i2 爿k ：，) 】o 歹_ 啦，厂t ( 2 1 1 ) i 尺，= b 眦“b ) 】= 0 j 一1 ，2 ，： 式中厂。和，：分别为计算微分方程残量和边界条件残量的配点个数，且 r ；r l + 厂：配点法的实质是强迫残量在，个点上等于零当配点数r 等于试探 函数的项数n 时，式( 2 - 1 1 ) 中的方程数和未知数相等，可以求出试探函数中 的n 个待定系数此时残量r 和页在n 个配点处等于零 如果配点数，大于试探函数中的项数n ，将导致超定方程组： g u = p( 2 - 1 2 ) 其中系数矩阵g 为r 以阶矩阵，j p 为，阶列阵。此时通常不可能求得一组系数 “；使得残量在配点处等于零式( 2 1 2 ) 可以利用最小二乘法求解，即令式 8 对流扩散方程的径向基函数法 ( 2 1 2 ) 中每个方程的误差的平方和取最小： 亳u c u - p t 陬一p 】一。 或 k u 一| 其中 k - g t g ，- g t p ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 2 3 近似方案 紧支函数是定义在局部区域( 支撑域) 中的函数，它只在其支撑域中有 定义，而在其支撑域外为零在二维问题中，支撑域取为圆形域或矩形域，它 与求解域q 相比，是一个很小的区域函数“0 ) 可以用与一组离散节点x ， ( i 一1 2 ，n ) ，相对应的紧支函数n ， ) 的线性组合近似为 “o ) 一“6 0 ) 一n ，o ) 跖，- n 1 “ ( 2 1 6 ) 式中重复指标，在取值范围内求和，n 是求解域q 中节点的总数，u ，是函数 口o ) 在节点x ，处的值，虽pu ( x ，) = “，和h 分别为 - 【。o ) ，n ：o ) ，n g ) 】 ( 2 1 7 ) “一函1 泓2 ，琵“ ( 2 1 8 ) 紧支函数n ， ) 也称为形函数与有限元不同，各节点对应的紧支函数的 支撑域是相互重叠的，因此这里“，一般不再是试函数“o ) 在节点x ，处的值， 即比( x ，) 一比，故，( 勋) 一6 上， 对多维问题，式( 2 - 1 6 ) 可以写成 “，o ) 一比? o ) = ，o ) 比盯 ( 2 1 9 ) 其中u 玎表示第，个节点的第f 个方向的函数分量对二维问题将上式写成矩 9 对流扩散方程的径向基函数法 阵的形式，有 ， “o ) 一比o ) = u ，- n d ( 2 2 0 ) 式中 ，一 7 甜胪黝 n i 【n 。，：，n 】 ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) d ；k11 , u2 1 ，“1 2 ，u2 2 ，配2 1 ，u2 2 i ( 2 2 3 ) 目前在无网格法中使用的近似函数主要有移动最d x - - 乘近似，核函数近 似，重构核近似，单位分解函数，径向点插值及径向基函数等本文采用径向 基函数插值近似，求解非线性对流扩散方程 2 3 1 移动最, j 、- - 乘近似 假设待求函数口o ) 在求解域q 中的n 个节点x ，( ，一1 ，2 ，j r ) 处的函数值 u ，一u ( x ，) 是已知的，我们的目的是在域q 内构造待求函数“o ) 的全局近似函 数比6 ) 待求函数“o ) 在计算点x ( 配点型无网格法中为结点) 的邻域q ，内 可以局部近似为 u h o ，习t p ，( x - ) a ；o ) - p 1 回口o ) ( 2 2 4 ) 其中i i x ，y ，z 】是计算点x 的邻域q ，内各点的空间坐标， p 1 回- p 。回，p ：( x - 3 ，p 。固】，p 。回是基函数，m 是基函数的个数， 口o ) 一【以1 ) ，口2 ，口肌 ) r ，口，o ) 是待定系数 将求解域q 用n 个结点离散，在每个节点新( ，= l 2 ，) 处定义一个权 函数( 也称为窗函数 8 ) 们，o ) - o d ( x - x ，) 权函数，o ) 只在节点勋周围的 一个有限区域q ，中大于零，而在该邻域外为零，即该函数是紧支的区域q ， 称为权函数， ) 的支撑域，也称为节点x ，的支撑域或节点新的影响域设 计算点x 的邻域q ，包括个节点，近似函数“0 ，习在这些节点i ；x 。处的 1 0 对流扩散方程的径向基函数法 误差的加权平方和为 ，。兰缈；o ) k ，x j ) 一u ( x j ) 】2 i - 1 ；荟n ， f m 邑p i 加r ) 咖】 ( 2 2 5 ) 令j 取最小值，即 羽o j 一2 薹劬g ) ：| ；只& ，k ；阱比，p ，_ 。 j 一1 ，2 ，m 由此得 善【荟，o ) p 。，) p j ，) l a ；o ) - 【荟， ) p j 川配， 即彳0 o ) = b ( x ) u 式中 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 彳o ) 。荟劬o ) p b 即1 )( 2 棚) b o ) 一 c o 。o ) p ( x 1 )：0 ) p ( x ：) o ) p ( x ) 】 由式( 2 2 8 ) 可得待定系数向量口0 ) ： 口o ) a 以o 归o 弘 ( 2 3 0 ) 将( 2 - 3 0 ) 代入到( 2 2 4 ) 中，得 u h ，习= p t 4 d o 归 ；0 ，z ) u ( 2 3 1 ) 其中形函数n ( x ，x - ) 为 n ( x ，习；p ( x ) t a ( x ) b o ) ( 2 - 3 2 ) 近似函数比6 0 ，x - ) 是待求函数“o ) 在计算点z 邻域q ，内的加权最小二乘 1 1 对流扩散方程的径向基函数法 意义下的局部最佳近似对求解域q 中的所有点x 都可以在邻域q 。内建立待 求函数“0 ) 的局部最佳近似，这些局部近似函数比6 0 ，x - ) 在点i 一石处的值的 集合就构成了待求函数“ ) 在求解域q 内的全局近似函数“6 0 ) ，即 h g ) 一比6 0 ) 一u 6 0 ，习l - n ( x ) u ( 2 - 3 3 ) 其中o ) 为 o ) = n ( x ，刁l ，一p 1o ) 4 。1 0 ) 召o ) ( 2 3 4 ) 2 3 2 径向基函数近似 1 径向基函数 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 是一类以点x 到节点x ，的 距离d ，刮x - x ，为自变量的函数用径向基函数进行插值在多变量逼近理 论中已成为一种强有力的工具，它具有形式简单，与空间维数无关，各向同 性等优点常见的定义在全域上的以节点x ，为中心的全局径向基函数有 m u l t i q u a d r i c s ( m q ) ：咖= g 2 + d 力龙( 2 - 3 5 ) r e c i p r o c a lm u l t i q u a d r i c s ( r m q ) ：咖。( c 2 + d 力嘭( 2 - 3 6 ) g a u s s i a n s ：矽，一e x “一c d ( 2 - 3 7 ) t h i n p l a t es p l i n e s ( t p s ) ：咖- d y l 。g d ， ( 2 3 8 式中c 为大于零的常数，户为整数 近年来提出的正定紧支径向基函数具有系数矩阵稀疏，带状分布的特点， 利于求解大型问题吴宗敏 1 0 提出的正定紧支径向基函数为： c s r b f l ：矽，o ) z0 一厂) ：( 4 + 1 6 r + 1 2 r 2 + 3 厂3 ) ( 2 - 3 9 ) 1 2 对流扩散方程的径向基函数法 c s r b f 2 ：矽，o ) ；( 1 一厂) ：( 6 + 3 6 ，+ 8 2 厂2 + 7 2 ，3 + 3 0 ，4 + 5 r 5 ) ( 2 - 4 0 ) 式中厂，d ，d 村，d 村是定义在节点x ，处的径向基函数的支撑域半径， + 厂1 定义为 、，+ o - r ) + t s - 姜蓄。墨，s 砒对 b u h m a n n 1 1 提出的正定紧支径向基函数为： c s r b f 3 ：矽，一j 1 + 厂2 一詈，3 + 2 厂2 m 厂2 ( 2 - 4 2 ) c s r b f 4 ：矽f 一西1 + i 1 9 厂2 一了1 6 ，3 + 3 厂4 一石1 6 厂s + 否1 厂6 + 2 ，2 h 1 厂2 ( 2 - 4 3 ) w e n d l a n d 1 2 提出的正定紧支径向基函数为 c s r b f 5 ：矽，o ) ；0 一厂) ：( 3 5 ，2 + 1 8 r + 3 ) c s r b f 6 ：，o ) 一( 1 一厂) ：( 3 2 厂3 + 2 5 r a + 8 r + 1 ) 2 径向基函数插值 ( 2 - 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) 将求解区域q 用n 个节点x ，( ，- 1 , 2 , ，) 离散，函数“o ) 在域q 中的近 似函数矽，0 ) 表示为： “6 = 耋以，矽，g ) 一中t o ) 口 其中a 歹为待定系数， 口一k 1 ，口2 ，口】t m ) 一矽，o ) ，：g ) ，o ) 】 式中径向基函数矽j o ) 可以取式( 2 3 5 ) ( 2 4 5 ) 中的任何一个 ( 2 - 4 6 ) 对流扩散方程的径向基函数法 式( 2 4 6 ) 有个未知数，令近似函数比6 0 ) 的值等于函数“o ) 在该节点 处的值琵，o ou ( 勋) = 琵，可得到个线性方程组： a a 。“ ( 2 4 7 ) 式中 a m t 。) m t ：) 矽( x ) 矽，1 ) 矽：) 魄) 矽。2 ) 矽：b ：) 矽抚：) 。) 矽：b 知) b 知) ( 2 - 4 8 ) “= 吮。，比：，比】 ( 2 4 9 ) 由式( 2 - 4 7 ) 解出系数列阵a ，代入式( 2 - 4 6 ) 中，得： 比6 ) = 巾t o ) 4 “1 v ( x ) u 式中形函数矩阵为 i v ( x ) 币t o ) 4 以 ( 2 - 5 0 ) ( 2 - 5 1 ) 径向基函数插值满足条件比( 新) = “( x ，) = 比，形函数，( 勋) 一6 口，因 此很答易施加本庾边界条件运一特性是m l s 和r k 所个具备的 形函数的导数为 ) ，一西l o ) 彳一= 【矽。 ) ，矽：。o ) ，( x ) l a 以 ) 珂= 巾t 河彳- 1 一【矽。珂o ) ，矽：珂 ) ，矽珂o ) 】彳。1 式中的下标“，i 表示对坐标的导数，而 “p ；掣专 ( 2 - 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) 对流扩散方程的径向基函数法 其中 童三亟攀三三+ 翌盟立( 2 - 5 4 ) a x a x 7a 7 2a x a x o r a a x ff a r x x l a x d ，d 村 ( 2 - 5 5 ) 南t 壶存。毛埘却 5 6 ， 式中薪为节点新的坐标 m i c c h e l l i 1 3 从理论上证明t p s 是正定的，而m q 是条件正定的增加 线性多项式基后，m q 插值即变为正定的，并可提高多项式类函数的插值精度 引入多向式基后，径向基函数插值可表示为： “6 0 ) ；耋口，矽，o ) + 薹反p ，。) = m t o ) 口+ p t g 弘 ( 2 5 7 ) 其中p ；o ) 是多项式基函数，p o ) = 【p 1 ) ，p 2 ) ，一，p m o ) 】1 ，h i 是待 定系数，b = 函1 易2 ，易历】1 式( 2 5 7 ) 中有+ 历个未知数，可由下式确 定： 荟口，矽，o ) + 溺p ；o ) ，= 珊， 易，p 。) = o f = l 2 ，m ( 2 5 8 ) 写成矩阵形式有 料2 陶 ( 2 - 5 9 ) 对流扩散方程的径向基函数法 式中 f 彳 召一it 【尸1 p ； p 。p ：b ：) p 。b ) p 。q 。) p ：b ：) p 。b ) p 。p ：b 2 ) p 。b ) ( 2 - 6 0 ) ( 2 - 6 1 ) 由于，) - 矽，) ，矩阵b 是对称矩阵由式( 2 5 9 ) 解出列阵口和6 后， 代入式( 2 5 7 ) 后得 比 o ) ；【巾t o ) p t 。) 】b 。1 瞄】 一【中t o ) p t o ) 】瓦“一o 净( 2 - 6 2 ) 其中瓦为矩阵b 。1 的前刀元素组成的子矩阵，形函数矩阵o ) 为 i v ( x ) 。阿p t 瓦 形函数的导数为 n ， ) - 【巾；o ) p t 。o ) 】b d 。 ( 2 - 6 3 ) ( 2 6 4 ) n ， g ) 暑【巾t ， ) p w ， f o ) 】b 。( 2 - 6 5 ) 式( 2 6 3 ) 给出的形函数满足条件n ，o ) 一6 口如果( 2 5 7 ) 中包含了常数 基和线性基，则插值具有一阶一致性，即 ( 2 6 6 ) 式( 2 - 5 9 ) 在整个插值过程中只需计算一次，但其系数矩阵召是高阶满 1 6 x l x 、jo x 角 1 等 、，o y 角 对流扩散方程的径向基函数法 阵，且条件数很大w a n g 等人 1 4 建议采用局部形式， 其领域q ，中的节点来构造，即 “咖蹇口，脚+ 弘p ；o ) 即点x 的近似函数仅由 ( 2 - 6 7 ) 其中行为点x 的领域q ，中的节点总数与m l s 类似，可将点x 的领域q ，称为 其定义域式( 2 6 7 ) 9 ：f f n + 朋个未知数口，和反，它们可以由下式确定： 荟口- ，痧，) + 酗p ；户“，啦，厅( 2 - 6 8 ) 薹口j p ；) o m 玑掰 1 7 对流扩散方程的径向基函数法 第三章对流扩散方程的径向基函数配点法 3 1 基本原理 考虑微分方程 l u 一，俘) x eq _ o r d ( d - 1 , 2 , 3 ) ( 3 1 ) b u - g ( x ) x a q ( 3 - 2 ) 厶丑是微分算子，其中b 满足边界条件( 例如d i r c h l e t 或者n e u m a n n 或 者r o b i n 或者同时满足几个边界条件) 在求解域中布置结点，在区域q 内部布置，各结点x 。，x ：，x r 在边界a q 布置一n ，结点x ，“，x ，运用k a n s a 法，径向基函数是指 由一个仅依赖于径向坐标的，- i ix0 的函数尹( 厂) z 妒( 0 x x ，渺，其中 ，篁l lx x f0 是结点z 与x ，的欧几里德距离用径向基函数逼近m ，即 h = 善比j 矽，o ) ( 2 5 9 ) 目前应用最广泛的径向基函数是多平方基( m q ) 妒( ，) = 2 + c 2 ) j ( 多是 基数) ，高斯函数妒( 厂) 一e 。r ，薄板样条样条函数妒( 厂) - r 扫l o g ro 苫1 ) ( 适用于 二维空间) ，及圆锥曲线函数妒p ) - r m lo 之0 ) 等，其中c 是形式参数那么， 怎样确定c 成为一个开放性课题目前，还没有明确的理论依据，只能是通过 个人经验或者是通过实验获得，这引起了越来越多学者们的重视本文中，3 4 节中的形式参数c 通过编写m a t l a b 程序获得有关径向基函数更多的内容，读 者可参考p o w e l l 的径向基函数插值法( 参考文献 1 6 ) 把( 3 - 3 ) 代入到( 3 - 1 ) 中，得： l “j 矽，( 石) 一厂( x ) x q ( 3 4 ) 1 8 对流扩散方程的径向基函数法 善b “，矽，僻) 。g 僻) 爬a q 把结点代入到( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 中，得： 矽，) ( x ，) “，- f ( x ，) f l 2 ， 善p 矽，) 。) 比j g ( x ；) f = ，j ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) 通过求解阶线性方程组( 3 - 6 ) ( 3 7 ) ，可求得未知系数 0 1 ，掰2 ，配n ) t 。再把瓴i , u 2 ，一，u n f 代入到( 3 2 ) 中，给出了任意结 点x 处的近似解h 这是径向基函数配点法求解微分方程的基本原理本文在下面的3 2 节中 把基本原理运用于求解一维和二维的线性对流扩散方程，着重求解了非线性 对流扩散方程，并在3 3 节中研究了表示地下水溶质运移的对流扩散方程 3 2 径向基函数配点法求解对流扩散方程 ，3 2 1 一维线性对流扩散方程 一维线性对流扩散方程： 詈哦警飞百o c 矩q ( 3 - 8 ) c o ，f ) 一g ，f ) c ，o ) 一h ( x ) x e a q ， 工q ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) d 。忆2 t 1 ) 为弥散系数，v ( l t 一1 ) 表示速度，c ( 膨是待求量，可表 示污染密度等其中表示长度单位，丁表示时间单位，m 表示质量单位 为了求解微分方程( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) ，考虑差分格式： 一n + l - - c n 也等等 1 9 ( 3 - 1 1 ) 对流扩散方程的径向基函数法 是时间步长，c ( x ，t “) 一c 一，c ( x ，t “+ 1 ) - c n + l ，在每个时间步长中，( 3 11 ) 与稳定问题( 3 - 8 ) 等价所以算法也是一样适用假设( 3 - 9 ) 一( 3 - 1 1 ) 的 近似解可表示为 c 吲“) = 荟c 知，o ) ( 3 也) 其中 c ；+ t 是待求的未知系数把( 3 1 2 ) 代入到( 3 9 ) 和( 3 1 1 ) 中， 得。 阳n 1 m 也警c 鼬缈仉掣蚓 i - 1 , 2 , ，n ， ( 3 1 3 ) 善矽，眈) c ：+ 1 g ( x m t + 1 )f - ， ( 3 - 1 4 ) 矽j 眈一o ，= 魄) f 一1 , 2 ， ( 3 - 1 5 ) 首先求解线性方程组( 3 1 5 ) ，解出c ：，c ：，再由( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 确定的方程组中逐层解出c ，一2 f - v n + 1 将其代入到( 3 1 2 ) 中，得到方程 3 2 2二维线性对流扩散方程 二维线性对流扩散方程： 詈哦霉峨考b 号 c o ，y ，0 ) 一g ( x ，y ) c o ，y ，f ) 一厂o ，y ) o ，y ) q ( 3 1 6 ) o ，y ) f l ( 3 1 7 ) o ，y ) e o q ( 3 1 8 ) 对流扩散方程的径向基函数法 d ，d ，分别为x ，y 方向上的弥散系数，怯，y ，分别为而y 方向上的速度， c 是待求量，可表示污染密度 为了求解微分方程( 3 - 1 6 ) 一( 3 1 8 ) ，考虑差分格式： 一c n + l - - c n 哦等也等一u 警飞等 仔 其中，c - c ( x ，y ，t 1 ) ，c 4 - c ( x ，y ，t “) c ( x ，t 4 + 1 ) = c 僻) ( 3 2 0 ) 其中 c ；+ ，d 是待求得未知系数，x z o ，y ，哿( 3 2 0 ) 代入到( 3 一1 7 ) ， ( 3 - 1 8 ) ，( 3 - 1 9 ) 中，得： 洳也挈也挚c ， 浯2 1 ) 。善c 石1 懈户口掣竽e 荟矽j ；) c ：+ l | f ( x ；) ( 3 - 2 2 ) 荟矽j 。) c 0 ，2g ( x ；) ( 3 _ 2 3 ) 通过求解上述方程组，求得配? + ，旬，代入到( 3 2 0 ) 即求得方程的近 对流扩散方程的径向基函数法 3 2 3 非线性对流扩散方程 考虑用径向基函数对“o ) 近似插值，可表示为关于妒( 厂) 的线性组合，即 站 ) = 露