（应用数学专业论文）vasicek利率模型下几何平均亚式期权的定价.pdf

t h e p r i c i n g o f g e o m e t r i ca v e r a g e a s i a no p t i o nu n d e rt h ev a s i c e k r a t em o d e l at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to f t h er e q u i r e m e n t f o rt h em sd e g r e ei na p p l i e dm a t h e m a t i c s b y q ig u o y o n g p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an or m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：h es u i a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a y 2 0 11 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 成闫易日期：z 。年妒月卯日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：赢园 勇 日期：z o t t 年哆月阳日 导师签名： 日期：a 。k 年、月弘硼 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回意途塞埕童卮进厦! 旦圭生；旦二生；旦三生蕴查! 储签名：成阂易 日期：2 t , f f 年妒月加日 导师签名： 影似 、 日期：办，阵、月2 杪日 摘要 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，它在到期日 的收益不仅依赖于当天标的资产的价格，而且依赖于期权在整个有效期内标的资产 价格的平均值。作为一种路径依赖型期权，亚式期权可以避免人为的操纵标的资产 价格的行为，同时也能减少公司员工进行内幕交易、损害公司利益的行为。由于亚 式期权比欧式标准期权的风险小、价格低，所以深受投资者喜爱。 由于亚式期权的强路径依赖性，所以其定价问题一般比较复杂。文献 2 中讨 论了当利率为常数时，欧式几何平均亚式期权的定价问题，得到了其定价公式的显 式表达式。但是利率，即使是短期利率一般也是在不断变化着的。因此，假定利率 在有效期内为常数，就不符合实际情况。 本文在此基础上讨论了利率为随机情形下最常见的v a s i c e k 利率模型，研究了 在此种模型下具有浮动敲定价格的欧式几何平均亚式期权的定价问题。首先利用无 套利方法，建立了v a s i c e k 利率模型下欧式具有浮动敲定价格几何平均亚式期权的 定价模型。然后利用变量代换将方程的维数降低了二维，得到了二维的c a u c h y 问 题。最后通过f o u r i e r 变换求解该c a u c h y 问题，就得到了浮动利率下几何平均亚式 看涨期权的定价公式。用同样的方法我们可以得到此种情形下看跌期权的定价公 式。 关键词：期权；亚式期权；v a s i c e k 利率模型；f o u r i e r 变换 r 一一一 a b s t r a c t a s i a no p t i o ni so n eo ft h em o s ta c t i v ee x o t i co p t i o n si nf i n a n c i a ld e r i v a t i v e st r a d e m a r k e tt o d a y , i t sp a y o f fa tm a t u r i t yd e p e n d sn o to n l yo nt h ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n g a s s e t st h a td a y , b u ta l s oo nt h ea v e r a g eo ft h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ei nt h ee n t i r ep e r i o d a sak i n do fp a t h d e p e n d e n to p t i o n ，a s i a no p t i o nc a na v o i dt h eb e h a v i o ro fa r t i f i c i a l m a n i p u l a t i o no ft h eu n d e r l y i n g a s s e tp r i c e b e c a u s ea s i a n o p t i o ni sl e s sr i s k ya n d c h e a p e rt h a nt h es t a n d a r de u r o p e a n s t y l eo p t i o n ，s oi ti st h ef a v o r i t ef o rt h ei n v e s t o r s a st h es t r o n gp a t hd e p e n d e n c eo fa s i a no p t i o n ，t h ep r i c i n gi s g e n e r a l l ym o r e c o m p l i c a t e d l i t e r a t u r e 2 】h a ss t u d i e dt h ee u r o p e a ng e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n p r i c i n gp r o b l e mw h e nt h e i n t e r e s tr a t ei s c o n s t a n t ，t h e nw eo b t a i n e dt h ee x p l i c i t e x p r e s s i o no ft h ep r i c i n gf o r m u l a b u tt h ei n t e r e s tr a t e ，e v e ns h o r t t e r mi n t e r e s tr a t e s g e n e r a l l ya r ec o n s t a n t l yc h a n g i n g t h e r e f o r e ，a s s u m i n gc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e si nt h e p e r i o di sn o tr e a l i s t i c o nt h i sb a s i s ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ev a s i c e ki n t e r e s tr a t em o d e lw h i c hi st h em o s t c o m m o ns h o r t - t e r mi n t e r e s tr a t em o d e l u n d e rt h i sm o d e l is t u d i e dt h ep r i c i n go f e u r o p e a ng e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o nw i t haf l o a t i n gs t r i k ep r i c e f i r s t l y , w ea d o p t t h em e t h o do fn o - a r b i t r a g et op r i c et h ee u r o p e a ng e o m e t r i ca v e r a g ea s i a nc a l lo k o n w i t hf l o a t i n gs t r i k ep r i c e t h e nw eu s ev a r i a b l es u b s t i t u t i o nt or e d u c et h ed i m e n s i o no f t h ee q u a t i o nt ot w od i m e n s i o n s ，s ow eg e tat w o - d i m e n s i o n a lc a u c h yp r o b l e m f i n a l l y w es o l v et h ec a u c h ye q u a t i o nb yf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ，t h u sw eg e tt h ep r i c i n gf o r m u l a o ft h eg e o m e t r i ca v e r a g eo fa s i a nc a l lo p t i o nu n d e rf l o a t i n gi n t e r e s tr a t e w ec a ng e tt h e p r i c i n gf o r m u l ao ft h eg e o m e t r i ca v e r a g eo f a s i a np u to p t i o nt h es a m ew a y k e y w o r d s ：o p t i o n ；a s i a no p t i o n ；v a s i c e ki n t e r e s tr a t em o d e l ；f o u r i e rt r a n f o r m 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论。1 1 1 期权( o p t i o n ) 1 1 1 1 期权的基本定义1 1 1 2 期权的分类1 1 2 期权定价2 1 2 1 期权价格2 1 2 2 欧式期权定价理论的历史发展进程2 1 2 3 期权定价的常用方法3 1 2 4b l a c k s c h o l e s 方程及公式的推导4 1 2 5 影响期权价格的主要因素8 1 3 亚式期权一9 1 4 本文的主要内容和结构1 0 第二章固定利率下浮动敲定价格的亚式期权定价1 1 2 1 固定利率下浮动敲定价格的亚式期权定价模型1 1 2 2 具有浮动敲定价格的几何平均亚式看涨期权的定价1 3 2 3 具有浮动敲定价格欧式几何平均亚式期权的看涨一看跌平价公式1 6 第三章随机利率下亚式期权定价1 9 3 1 几种常见的利率模型1 9 3 2v a s i c e k 模型下具浮动敲定价格的亚式期权定价模型推导2 0 3 3v a s i c e k 利率模型下具浮动敲定价格的亚式看涨期权定价2 3 3 4v a s i c e k 利率模型下具浮动敲定价格亚式看跌期权的定价3 1 第四章本文展望3 2 参考文献3 3 致谢3 5 第一章绪论 1 1 期权( o p t i o n ) 1 1 1 期权的基本定义 期权又称为选择权，是指其购买者能在未来的某一确定的时间，以交易双方确 定的价格，向期权的卖方买进或出售一定质量和数量的标的资产的协议。需要强调 的是，期权赋予其持有者履行该协议的权利，持有者不一定必须执行该协议。 在期权合约中，双方约定的价格被称为敲定价格( s t r i k ep r i c e ) 或者执行价格 ( e x e r c i s ep r i c e ) 。合约中的日期为到期日、执行日或期满日( e x p i r a t i o nd a t e ，e x e r c i s e d a t e ，o r m a t u r i t y ) 。 1 1 2 期权的分类 1 、期权按协议中是买进期权的标的资产还是售出标的资产的行为，将期权分 成两类： 看涨期权( c a l lo p t i o n ) 是指一种期权的买方有权利在未来某一个确定的时间，按 照双方确定的价格，从期权的卖方那里购进一定质量和数量的期权标的资产的协议 看跌期权( p u to p t i o n ) 是指一种期权的买方有权利在未来某一个确定的时间，按 照双方确定的价格，卖给期权的卖方一定质量和数量的期权标的资产的协议。 2 、按期权合约执行的时间可以把期权分为： 美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 是指在期权协议中约定的期限内任何时候都可以执 行权利。 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 是指只能等到期权协议中约定的同期执行权利，在 协议到期日之前期权的买方不能行使权利，而超过协议的期限，那么协议就失效。 3 、随着金融市场的成熟，越来越多的新型期权开始在场外进行交易，以满足 市场的特殊需求。但是这种衍生证券，比标准欧式或者美式的期权的收益受更多的 因素影响，因而定价往往比较复杂。我们常见的新型期权有复合期权、障碍期权、 两值期权、回望期权和亚式期权。 弋 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 1 2 期权定价 1 2 1 期权价格 实际上，期权是一种未定权益。我们以看跌期权为例，若在未来的期权到期日 标的资产价格研小于敲定价格k ，则期权合约的持有者有权以敲定价格k 卖出标的 资产从而获得收益；若在未来标的资产价格研大于敲定价格k ，则期权持有者实施 合约就无利可图，在到期日不履行合约，那么合约无效。我们可以看到：期权的买 方拥有权利却不承担义务，期权的卖方只承担义务，在交易中出于不利的位置。因 此期权的买方应当给卖方一定的报酬做为对卖方承担义务的补偿。我们把买方为了 取得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金。 1 2 2 欧式期权定价理论的历史发展进程 期权定价问题最早可追溯到二十世纪初。当时的法国著名的经济学家l o u i s b a c h e l i e r 发表了他的博士学位论文”t h e o r i ed el as p e c u l a t i o n ( 投资交易理论) ，这篇 文章被后世的学着认为是奠定了期权定价的理论基础。 1 9 6 4 年诺贝尔经济奖的获得者p a u ls a m u e l s o n 对l b a c h e l i e r 的模型进行了修 正。原模型中的股票价格被股票的收益率所取代。即如果用s t 表示股票t 时刻的价 格，那么股票的收益率可表示为d 。s , 。p a u ls a m u e l s 。n 提出的随机微分方程是 也 盟：1 d r + 盯d 形 s 模型修改后就避免了股票价格出现负值的情形，比原来的模型更加合理。 在得到这个新的更合理的模型之后，p a u ls a m u e l s o n 还具体的求解了看涨期权 的定价公式： 假定用v 来表示看涨期权的期权价格，s 表示股票价格，k 为期权执行价格， 丁是期权协议的到期时刻，表示标的资产价格的预期收益率，s t 表示期权价格k 的预期收益率。那么有 v = e - a c t s e s r n ( d 1 ) - k n ( d 2 ) 1 2 这里 4 ：一 吃= z o f f 1口2 ( x ) = 去p 了d a 显然不同的人可能会有不同的预期，就会得到不同的期权价格。因此，虽然它 很简洁，但是它在真正的交易市场中是无法得到应用的。 19 7 3 年，f b l a c k 和m s c h o l e s 发表了论文( ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ) ) 。他们在这篇论文中建立了看涨期权定价公式 v = 肼( 碣) 一k e 叫n ( d 2 ) 这里 盔= 嘉呲( r + 譬灯卅】 吐= 呸一仃打j e b l a c k 和m s c h o l e s 提出的这个公式，使用了无风险利率，不再受到投资者 对预期收益的个人偏好的影响，在理论上得到了统一。 b l a c k 一& 砌胁公式的提出，在期权定价史上具有里程碑式的意义，使期权的 定价理论有了突飞猛进的发展。这一理论成果迅速广泛应用于金融领域，大大促进 了金融市场的繁荣。瑞典皇家科学院在瑞典斯德哥尔摩宣布，将1 9 9 7 年诺贝尔经 济学奖授予美国经济学家m s c h o l e s 、r m e r t o n 和应用数学家f b l a c k ，以表彰他们 所提出的公式以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献。 需要指出的是，在推导b l a c k s c h o l e s 公式时所作的基本假设都是理想的情形， 在现实中不可能满足。因此后继的研究者都在该模型的基础上进行了适当的修正， 以更符合实际情况。 1 2 3 期权定价的常用方法 ( 1 ) 利用b l a c k s c h o l e s 方程定价 这种方法的核心内容就是：当期权的价格及其标的资产的价格同时受到一种或 几种相同的不确定因素的影响的时候，我们可以据此按适当的比例构造一个包含期 权合约、标的资产和包含这些影响因素的资产的投资组合，以抵消这些不确定的因 素，使得该投资组合在充分小的时间内是无风险的。这样的资产组合我们称为无风 险组合，而无风险组合的收益率在无套利机会时是等于无风险利率的。由此可以推 导出该期权价格所满足的一个偏微分方程。而期权的到期时刻的收益实际上是给出 了上述偏微分方程的终值条件。再利用这个终值条件来求解这个方程，即可得到期 权的定价公式。但是，这种方法往往计算比较复杂，而且有不少偏微分方程无显式 解。因而的期权定价常常需要如下的几种数值方法来求近似解。 ( 2 ) 二叉树图法定价 ( 3 ) 蒙特卡洛数值模拟法定价 ( 4 ) 有限差分法定价 若衍生证券估值没有精确的解析公式时，就可以用上述衍生证券估值的三种数 值方法。但是要注意的是：蒙特卡洛方法只适用于欧式期权定价，二叉树方法和有 限差分方法对于美式和欧式期权定价均可适用。 1 2 4 b l a c k s c h o l e s 方程及公式的推导 1 、基本假设 ( 1 ) 标的股票价格s 变化满足如下的随机微分方程： d s , ：口d t + o r d z s t 其中这里指的是股票预期收益率，仃为股票价格的波动率 而z 的变化遵循标准的布朗运动。 ( 2 ) 无交易费用或者税收。 ( 3 ) 标的股票无红利支付。 ( 4 ) 允许卖空衍生证券。 ( 5 ) 证券交易是连续的。 ( 6 ) 不存在任何套利的机会。 ( 7 ) 无风险利率，是常数且对所有到期日都是相同的。 下面我们利用一对冲原理来建立b l a c k s c h o l e s 方程： 构建一个包含一份期权合约与若干份标的股票的投资组合，假设这个投资组合 4 的价值为n ，则 兀= v 一心 这里矿是期权价格，是标的股票的份额，适当的选取使得在( f ，t + 研) 时间 段内兀是无风险的。 不改变标的股票的份额，由于在( f ，t + d t ) 时间段内兀是无风险的，即该投资组 合兀在该时间段内是以无风险利率增长的，从而有： 兀m 一兀，= ，兀，者 则 也就是 而 d v t - a d s , = r l - ，d t = ，( 杉一a s , ) d t ( 1 2 1 ) k = y ( s ，r ) ， 而标的股票价格s 变化遵循几何布朗运动鲁= 疵+ 才彪，由i t 。公式 晔c 警+ 2 豢郴等扒a sa 瓠v d z 2 力 将上式代h ( 1 2 1 ) 得到 c 詈+ 丢仃2 s 2 豢+ 筇嚣一卸s ，出+ c a 瓠v _ a 盯s ，忽 = ，( k - a s , ) d t ( 1 2 3 ) 由于等式左端是无风险的，所以左端的随机项的系数为0 ，故可以 令 仃s 竺一仃s = o ，即取= 西a v贝lj(1as 2 3 ) 化简为 a s s i c o v + i 1c r 2 s 2 豢- i - 心豢一，y ：0 ( 1 - 2 4 ) a t2 a s 2a s 、 。 这就是期权价格所满足的b l a c k s c h o l e s 方程。 对应于可用标的变量s 定义的所有衍生证券，上述方程有许多解。解方程时得 到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件( b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 。这些边界条件确 定了在s 和t 的可能取值边界上衍生证券的价值。 对于欧式看涨期权的情形，在期权到期日的收益为： v = m a x ( s k ，0 )当f = t 时( 1 2 5 ) 对于欧式看跌期权的情形，在期权到期日的收益为： v = m a x ( k s ，0 ) 当f = t 时 ( 1 2 6 ) 下面我们以欧式看涨期权为例，推导出其定价公式。 为了求出标准欧式看涨的价格，实际就是要在区域 o s 上求解 如下的偏微分方程： i 里+ 三口：s ：娶+ r s 竺一，y ：o a t 2a s 2a s ( 1 2 7 ) l y b = ( s - k ) + 作如下的变量代换 x = i n s ， r = t - t 上述问题( 1 2 7 ) 转化为： 肛三盯2 警一争尝州一- -2 固 m f - o = ( p 。- g ) + 这是一个系数为常数的带初值条件的偏微分方程。 再作因变量变换，令 求偏导数得 v ：u e a ”鼬 6 k = e a r + p x 【让+ a u 】 圪= e a r + p x 【虬+ u 】 比= e a r + 卢x 【+ 2 p u ，+ 2 u 】 代入方程( 1 2 8 ) ，经整理就得到： 址一譬吒一【胪2 + ，一了0 - 2 致+ 【，一( r 一譬) 一譬2 + 口= 。 再令 弦2 + ，一了a a = 0 川卜争譬n 删 即取 口一，一刍c ，一争2 = 三一7 r 以消去u 及玑项 这样通过适当的选取参数口、，方程( 1 2 8 ) 化为 i 型一罂：o o r 2 叙2 ( 1 2 9 ) 【u i ，：。= p 一肛( e x m k ) + 这是一个带初值条件的热传导方程，很容易就可以求出它的解。 最后由所有的变换返回到原始变量s 、t ，这样我们就得到了欧式看涨期权的定 价公式，即b l a c k s c h o l e s 公式： 矿= s n ( 4 ) 一k e 一7 n ( d 2 ) ( 1 2 1 0 ) 这里 4 = 嘉【l n ( ( ，+ 譬灯卅】 如= 4 一仃打j 若看跌期权的价格用防表示，看涨期权的价格用c 表示 7 我们还可以利用无套利假设可得欧式看涨看跌期权的平价公式： c t + k e 。l “12p t 七s l 于是可以求出看跌期权的价格仍= q + 缸。卜一s = k e ”o 叫【1 一( d 2 ) 】一s 1 一( 吐) 】 又因为1 一( 4 ) = n ( - d 1 ) 从而得到欧式看跌期权的定价公式为： v = k e ”们叫( 一吐) 一s u ( - d , )( 1 2 1 1 ) 1 2 5 影响期权价格的主要因素 1 、标的资产的价格和期权的敲定价格。 由于看涨期权的收益是到期时刻标的资产的价格与敲定价格的差额，所以当其 他条件一定时，随着标的资产价格上升，期权的收益随之增加，从而看涨期权的价 值也就在增加；而随着敲定价格的上升，期权的收益随之减少，从而看涨期权的价 值反而在减少。对于看跌期权来说，结论恰好相反。 2 、到期期限 对于美式的看涨和看跌期权来说，有效期限越长，那么其价值就越大。这是因 为在其他条件相同时，有效期限长的期权比期限短的期权的执行机会更多，那么就 有更多的机会获取更大的价值。 3 、标的资产价格变化的波动率 波动率是从可能性的角度来度量未来数据变动大小的。波动率越大，那么数据 变动幅度大的可能性就越大。反之，波动率越小的话，那么数据变动幅度大的可能 性就越小。如果标的资产价格的波动率很大，那么未来标的资产的价格就很有可能 上升得很高，当然也很有可能下降得很低。对于看涨期权的买方来说，当然希望价 格上升得越高越好，这样他的收益就越大。即使标的资产的价格下降到零，那么他 最大的损失也只不过是数目有限的期权费而己。高回报总是伴随着高投入的，波动 率越大，那么期权购买者获得较大收益的可能性就越大，这当然就要求购买者付出 更多的价钱购买这份合约。对于看跌期权来说情形相同。 4 、无风险利率 在其他变量保持不变时，随着利率的增加，那么看涨期权的价格将会增加，而 8 硕士学位论丈 m a s t e r s1 h e s i s 看跌期权的价格将会减少。 5 、标的资产在期权有效期内的收益 一般来说，如果标的资产在期权有效期额外的收益增大，那么看涨期权的价值 会随之下降，而看跌期权的价值会上升；相反如果标的资产在期权有效期内收益减 小，那么看涨期权的价值就会上升，而看跌期权的价值会下降。 1 3 亚式期权 由于这种类型的期权最早是在亚洲开始发行，所以命名为亚式期权。不同于标 准的欧式期权，亚式期权作为新型期权的一种，属于强路径有关期权。亚式期权在 到期日的最终收益，不但依赖于标的资产的价格，而且依赖于期权合同期内某段时 间标的资产价格变化历程的平均值。 亚式期权的几种分类 在对标的资产价格进行平均时，有算术平均和几何平均两种形式，因而亚式期 权可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权。假定从起始零时刻到时刻t 的 平均值我们用以表示，标的资产在时刻f 的价格用s 来表示，那么 在时间离散的情形下，标的资产价格的算术平均值为 1” jn - - - z s , , ，lt = l 标的资产价格的几何平均值为 以：( n 麓) ；：p ；二如矗 在时间连续的情形下，标的资产价格的算术平均值为 j t = 之受s t d 标的资产价格的几何平均值为 以= e x p ( l i l 墨d f ) 亚式期权的买方在期权到期日的收益有如下两种类型： ( 1 ) 固定执行价格( 以看跌期权为例) ： 收益= ( k 一以) +这里敲定价格k 为常数 ( 2 ) 浮动执行价格( 以看跌期权为例) ： 9 收益= ( 一研) + 1 4 本文的主要内容和结构 本文主要研究了随机的v a s i c e k 利率模型下具有浮动执行价格的亚式期权的定 价问题。首先利用对冲原理建立了b l a c k s c h o l e s 模型，然后通过f o u r i e r 变换求 解这个方程得到了该种情形下亚式期权价格的显式解。 为此我对本文做了如下的结构安排：第一章对期权和亚式期权的基本知识、期 权定价的基本理论做了简要的介绍。第二章讨论了固定利率下具有浮动执行价格的 几何平均亚式期权的定价问题。第三章我们研究了随机的v a s i c e k 利率模型下具有 浮动执行价格的几何平均亚式期权的定价问题。首先介绍了几种常见的随机利率模 型，然后利用无套利方法建立了v a s i c e k 利率模型下具有浮动执行价格的几何平均 亚式期权定价模型。接着利用变量代换将方程的维数降了两维，得到了二维的 c a u c h y 问题。最后通过f o u r i e r 变换求解该c a u c h y 问题，得到了浮动利率下的几何 平均亚式看涨期权的定价公式。用同样的办法，我们可以得到此种情形下看跌期权 的定价公式。第四章我对本文研究的相关问题做了一些展望。 1 0 第二章固定利率下浮动敲定价格的亚式期权定价 2 1 固定利率下浮动敲定价格的亚式期权定价模型 1 、基本假设 ( 1 ) 允许卖空证券 ( 2 ) 没有交易费用或税收，即市场是无摩擦的 ( 3 ) 标的股票无红利支付 ( 4 ) 不存在无风险套利机会 ( 5 ) 证券交易是连续的 ( 6 ) 标的股票价格s ，满足如下的随机微分方程 a s , = , s , d t + c r s , d z ( 2 1 1 ) 其中，仃为常数，z n 从标准布朗运动 ( 7 ) 无风险利率为常数，| ，到期日为时nt ，敲定价格为k 2 、固定利率下具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价模型 这里我们首先利用一对冲原理建立固定利率下几何平均亚式期权定价的数学 模型。 记矿( s ，以，t ) 为亚式期权r 时刻的价值，用对冲方法构造投资组合：持有一份亚 式期权，卖空份标的股票，记该组合的价值为兀，则兀= v 一s 适当的选取使得n 在( f ，f + 出) 时间段内是无风险的，即 d 兀= r i - i d t = ，( y a s ) d t ( 2 1 2 ) 由肋公式， d 兀= d v a d s = c 警+ 扣2 “o 瓠v a l s + 孑彤一d s q 3 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s =(业+三口2s2丽02v+ov坐)dtot20 s0 jd t + ( 竺0 5 一) 勰 、 2 、7 代入( 2 1 2 ) ，得到 百o v + 1 2 仃2 s 2 萨a 2 v + 万 v 石d l + ，y 一，筋) 出+ ( 等一) 搬= 。 于是j 驭 = 西o v 以消去随机项d s 从而9 3 ( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 可得 _ o v + l c r 2 s 2 箕+ 竺d j 一鲨一v ：0 t - r s r v0 ( 2 1 4 + 一 = 、， 氆za s 2m8 s 其中 以= e x p ( h 墨d f ) ( 2 1 5 ) 故有 d j , ：“掣】 ( 2 1 6 ) 将( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 4 ) ，于是我们就得到了固定利率模型下具浮动敲定价格的几何平 均亚式期权的定价模型；在区域 0 s ，0 j e 求解定解问颢： 警+ 三2 仃2 s - 2 豢+ 以型t 】罟+ 心竺o s 一广矿= o ( 2 1 7 ) 8 t8 s 2 lj a j 、一 y ( s ，丁) ：i s 一，) + ， ( 具有浮动敲定价格的看涨期权) ( 2 1 8 ) 一 l ( j s ) + ，( 具有浮动敲定价格的看跌期权) 吖 上述方程( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 是一个三维的偏微分方程，其中包含有三个变量 s 、，、，。为了求解这个偏微分方程，我们将通过适当的自变量及函数变换，把方 程降为一维问题，最终求得固定利率下带浮动执行价格的欧式几何平均亚式期权价 格的显式表达式。下面我们就以看涨期权为例求出其价格。 i 一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 2 具有浮动敲定价格的几何平均亚式看涨期权的定价 令 z = 1 1 1 s ，l n j + ( t - t ) l n s y 2 了一 v = u ( x ，y ，) l n ，一1 n s 丁 ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 11 ) a 矿a u1 a u 丁一fl a s瓠s巩ts 旦3 - 厂一l r a 2 丝2 ( t - t ) 0 2 u ，丁一f 、2a 2 甜a ur 一，a u ， 72 l l 十- 一+ i l 。一一一l 嬲2s 2 。舐2 。t o x o yhr7 否7 一i 一了面1 a 矿a u ，l 钓执13 然后把这些偏导数代入方程( 2 1 7 ) ： 詈+ 譬c 竿，2 害c 竿，啬 + 2 塑0 x z 竹一了a 2 儿i 0 u + 孚詈h u ：。 在上述的变换下，终值条件( 2 1 8 ) 化为： u b = ( 矿一p ，) + 那么定解问题( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 在上述的变换下转化为如下的在区域 ( ( x ，y ) r 2 , 0s f r ) 上的c a u c h y 问题，即 j 詈+ 譬竿，2 孑+ 仃2 c 竿，等+ 譬害竹二譬，c 豢+ 等等h u ：。c 2 2 ， 阿= ( 矿一p y ) + 口t j o ( x , y ) ( 2 1 1 3 ) 对于上述的c 口吖c 砂初值问题，我们将采用乃“，泐变换来求解这个方程。 令 形( 善，刁，f ) = ee u ( x ，y ，t ) e 一盼秽a x d y 对方程( 2 1 1 2 ) 的两边同时作f o u r i e r 变换，得到如下的一个常微分方程 ( 这里孝，叩是参数) ，这里w 是关于t 的函数 警一譬c 孝+ 孚秽州c ，一争+ 竿杪硼= 。( 2 1 1 4 ， 初始条件( 2 1 1 3 ) 经过f o u r i e r 变换转化为： 形( 丁) = w o ( 善，叩) ( 2 1 1 5 ) 在f o u r i e r 变换下，c a u c h yi ；- j 题( 2 1 1 2 ) 、( 2 1 1 3 ) 转化为一个带初始值问题的常 微分方程，很容易就可以求得这个常微分方程的解： 形( 孝，7 ，f ) = w o ( 孝，r ) e x p 一( m l 毒2 + 2 m 2 善叩+ ，7 2 ) + ，( 聊4 善+ 历5 r 1 ) - m 6 ( 2 1 1 6 ) 兵甲 ：要( r 一，) 仃2 盯一f ) 2 m = 一二o 仃2 盯一f ) 鸭。丁芾 ：( ，一要) ( 丁一f ) 却一譬，譬 m 6 = r ( t 一，) 为求出原方程的解，需要对匕述常微分方程的解作f o u r i e r 逆变换，从而可以求得： u ( x ，y ，f ) = 亡e u o ( a ，f 1 ) h ( x - o r ，y - f 1 ) d a d f l ( 2 1 1 7 ) 1 4 其中 u o ( a ，f 1 ) = ( 矿一) + h ( x , y ) = 匹万j 。4 o o j 。4 o o e x p 一( r o d 2 + 2 m 2 孝，7 + 鸭叩2 ) + f ( 孝+ 刁) 一他) e i ( # x + q y ) d 孝却 为了计算这个复杂的二重积分，先要对积分进行换元 于是有 善 叩 m l 孝2 + 2 m 2 孝r l + m s r l 2 = 抄孔缔+ 景c 搿刀 ：( 14 半z l ) 囊( 1 一半f l ) 易 4 r e , m 3 x l m , m 3 因而上述积分( 2 1 1 8 ) 变换为： ( 2 1 18 ) 坼棚= 瓦杀p 一亡唧 _ ( 1 + 焉肌 2 ，。鬲m 4 + x + 丽m 5 + y ) 觚口 脚_ ( 1 一丽m 2 “( 篙一篝) 赫铂鸭、z 么鸭 ( 粤坚+ 粤些) 2 4 m l 、鸭 8 ( 1 + 辛坠) 铂，坞 ( 粤坚一粤些) 2 m i、，吩 8 ( 1 一竿2 _ ) 、鸭 将上述h ( x ，y ) 的表达式代入至1 j ( 2 1 1 7 ) 式，由变换( 2 1 9 ) ( 2 1 1 1 ) ，返回到初始变量 + 一 击击 s 、j 、t 及原始函数v ( s ，j ，f ) ，经过一系列的化简有： 其中 公式 y c s ，= s p 一“卜r ) c g ：，一，；s 孚p 9 0 c g 。， a 2 、t 2 一t 2 0 2t 二一t ： 岛5 ( r + 了) 1 r i 丁 铲吉后怫j 七十和崎盯2 了t 3 _ t 3 = 吉南阻j 七+ 和2 ，+ 2 3 具有浮动敲定价格欧式几何平均亚式期权的看涨一看跌平价 记c ( s ，j ，t ) 和p ( s ，j ，f ) 分别是浮动敲定价格下的几何平均亚式看涨期权和看跌 期权的价格，假设 q ( s ，j ，t ) = c ( s ，j ，f ) 一p ( s ，j ，f ) 利用上节同样的推导方法，可知在区域 0 s 0 0 ，0 j 0 0 ，0 t t ) 上，q 适 合如下的c a u c h y 方程： j 詈+ 丢口2 s 2 而0 2 0 + j c 半，署+ 心箸一，q = 。 c 2 9 ， 蚓酊= ( s - j ) + - ( j - s ) + = s j ( 2 1 2 0 ) 类似的，作变换 x = i n s ，1 1 1 ，+ ( 丁- t ) h a s 1 ，= 一 7 r ( 2 1 2 1 ) o = u ( x ，y ，f ) 1 6 则函数q ( s ，f ) 在区域 ( 矗y ) r e , 0 f t ) 上适合c a u c h y 问题： 署+ 譬c 孚，2 雾c 竿，丽0 2 u + 了c r 2 丽0 2 q + ( 卜a 2 2 飞) r a q + 了t - t 争棚= o 由( 2 1 8 ) ， q b = 矿一p y 设 q ( x ，y ) = a ( t ) e 。- b ( t ) e y 则 署砒矽珊矽 害刊矿 代a 至u ( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 3 ) 式，比较方程的 i a ( f ) = 0 | 6 i ( 卅t 3 9 2 丁t - t m 2 l r 一了0 2 ) ( 了t - t ) 琊) 确_ 0 l a ( t ) = 1 1 6 ( 丁) = 1 易得： 口o ) = 1 6 ( f ) = e x p _ o q ：一6 ( r ) p y 一= 一，f 。 砂 0 2 _ _ q q ：o o x o y ( ，一冬) ( 丁一f ) 2 可c r 2 ( t - t ) 3 + 竿叫h )6 丁22 丁 、。 ( 2 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) ( 2 1 2 4 ) 将r v ( x ，y ) 的表达式代入到( 2 1 2 4 ) 式，再由变换( 2 2 2 1 ) l 邪l j 初始变量，我们得到了 如下的看涨一看跌期权的定价公式： 1 7 x d 弦 酞 o 一 口 = = 竺缸丝矿 c ( s ，j ，t ) - p ( s ，j ，f ) = s 一7 s r e x p 仃2 ( 丁一 6 t 2 + ( r - - 譬) ( t - t ) 2 一，( 丁 + 一一，l 2 t 、 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章随机利率下亚式期权定价 上一章我们讨论的是假设利率为常数时的亚式期权的定价问题。但是由于在市 场的作用下，利率总是在不断发生着变化的。因此假定利率在期权有效期限内不变， 就不符合实际情况。由于期权价格随着利率的变化而变化，所以必须考虑利率变化 对期权价格的影响。本章我们将重点讨论利率为随机的v