（理论物理专业论文）湍流应力对中等质量恒星结构与演化的影响.pdf

湍流应力对中等质量恒星结构 与演化的影响 摘要 对流在恒星结构与演化过程中扮演着极其重要的角色，目前人们在 处理对流问题时都忽略了湍流的力学效应，在恒星演化的后期，恒星整 个外壳都处于对流状态，此时湍流作用力相对于重力足够大，湍流应力 对慑星结构与演化能产生较大的影响。本文以恒星结构演化理论中常用 的混合程理论为基础，给出了考虑湍流应力和自转离心力情况下的恒星 结构模型，计算了2 8 m ( d 和8 m ( d 恒星从主序星到a g b 星的演化， 分析了不考虑自转和考虑自转两种情况下恒星内部湍流应力的大小及作 用效果。目的是研究湍流应力对恒星及转动恒星演化的影响。结果表 明，相对于重力及自转离心力而言，在核燃烧阶段，湍流应力可以忽 略；但对于红巨星和a g b 星，在恒星的对流包层中存在一个湍流应力 能达到重力加速度几十倍的很小区域，在此区域内，湍流应力占主导作 用，向外的应力推动此区域外的物质向外转移，造成了物质的向外喷 射，较好地解释星风产生的原因。研究还表明，湍流应力造成了8 m ( d 恒星在各阶段的演化寿命发生了变化；使a g b 星氨壳层热核反应更加 不稳定，热脉动的发生大大提前了，而且更加频繁。这种热脉动的提前 发生不仅使氦壳层内的光度、产能率、温度发生变化，同时使氢壳层内 的各物理量和恒星表面的光度都同步发生改变。另外，湍流应力还使 对流的混合作用加强，从而导致恒星内部及表面的各元素丰度都发生 改变。在g o 核内部c 和o 分布更加均匀；氦壳层内部氢和重元素 及氦壳层内的中子数和重元素的丰度偏低，而氮元素丰度偏高；对早 期a g b 星的表面各元素的丰度无明显的影响。只存在小范围内变化。 关键词：恒星结构与演化，a g b 星，湍流，星风损失率 薹n f 瓢u e n c 嚣8o ft h et u r b u 乞e n t s t r e s so nt h es t r u c t u r ea n d e v o l u t 至o no fl n t e r m e d i a i t e m a s ss t a r s a b s t r a c t c o n v e c t i o np l a y sa s i g n i f i c a n tr o l ei nt h es t e l l a rs t r u c t u r ea n ds t e l l a re v o l u t i o n n o w ， r e s e a r c h e r si g n o r et h et u r b u l e n ts t r e s sw h e nt h e yd e a lw i t hc o n v e c t i o n b u ti nt h es t e l - f a re v o l u t i o nl a t e rs t a g e s ，t h es t a rh a sc o m p l e t ec o n v e c t i v ee n v e l o p e ，a n dt h et u r b u l e n t s t r e s si se n o u g hb i gt og r a v i t y , g ot h et u r b u l e n ts t r e s sc l mh a v et h et r e m e n d o u si n f l u e n c e t ot h es t a rs t r u c t u r ea n dt h ee v o l u t i o n i nt h i st h e s i sw eh a v ed e r i v e dt h ee v o l u t i o n a r y m o l do fs t a rc o n c e r n i n gt u r b u l e n ts t r e s sa n dr o t a t i o nc e n t r i f u g a lf o r c eb a s e do nt h e m i x i n g - l e n g t ht h e o r yo fc o n v e e 溉。硼珏赫伪差e 瓣a 高e 畦e v o l u t i o no fs t a r sw i t h2 8 m a n d8 mf r o mh - _ b u 皿i n gs t a g e st ot h ea g b s t a g e s , 粕m b 目e db 幻躺a n de f f e c t so ft u r b u - l e n ts t r e s si nt h es t e l l a ri n t e r i o ri nt h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n so fc o n s i d e t d n gt h er o t a t i o n a n dn o t g o a li st os t u d yt h et u r b u l e n ts t r e s st oe v o l u t i o ni n f l u e n c e so ft h es t a ra n d t h er o t a t i o ns t a r ，t h er e s u l ti n d i c a t e dt h a tt h et u r b u l e n ts t r e s sm a yb en e g l e c t e di n t h en u c l e u sb u r n i n gs t a g e s ，b e c a u s es t r e s si sv e r ys m a l lt og r a v i t ya n dt h er o t a t i o nc e l l - t r i f u g a lf o r c e ；b u tf o rt h er e dg i a n ts t a ra n dt h ea g bs t a r ，w ef i n dt h e r ei sa l ls m a l l a r e aw h i c ht h et u r b u l e n ts t r e s sg r a d i e n ti ss e v e r a ld o z e n st i m eu s 魄a sg r a v i t a t i o ni n t h ee n v e l o p e ，i nt h i sa r e a ，t h et t l r b u l e n ts t r e s st a k et h el e a d i n gr o l e ，t h em a s so u t s i d eo f t h i sa r e ai sd r i v e no u to fs t a rb yt u r b u l e n ts t r e s s 。i te 8 l 】8 em a s sl o s s 。a n de x p l a i n e dw e l l r e a s o no ft h es t e l l a rw i n dp r o d u c e da ta g bs t a g e t h er e s e a r c ha l s oi n d i c a t e dt h a t 。t h e t u r b u l e n ts t r e s sc h a n g ee v e r ys t a g e sl i f e t i m eo ft h es t a rw i t h8 m ；t u r b u l e n ts t r e s sa l s o c a u s e st h et h e r m o n u c l e a rr e a c t i o no ft h eh eb u r n i n g8 h e i li na g bs t a rn o tt ob eu n - s t a b l e ，a n dt h eo c c u r r e n c eo ft h et h e r m a lp u l s eg r e a t l ya h e a do ft i m e ，a n dv e r yf r e q u e n t t h a tt h i st h e r m a lp u l s eo c e n r 8a h e a do ft i m en o to n l y 豳摊t h et e m p e r a t u r e ，n u c l e a r e n e r g yp r o d u c t i o na n dd e i t yi nt h eh eb u r n i n gs h e l lb u ta l s oc h a n g et h et e m p e r a - t u r e ，n u c l e a re n e r g yp r o d u c t i o na n dd e n s i t yo ft h e 珏b u r n i n gs h e l li nt h eh y d r o g e n a n dt h es t e l l a rs u r f a c el u m i n o s i t ya tt h ef l 矗m et i m e m o r e o v e r ，t h et u r b u l e n ts t r e s sa l s o c a u s e st h ec o n v e c t i o nt h em 扭i 越葚a c t i o nt os t r e n g t h e n ，s oe l e m e n t sa b u n d a n c eo ft h e s t e l l a ri n t e r i o ra n ds u r f a c ea r ea l lc h a n g e d t h ed i s t r i b u t i o no fca n doi nc o r ea x em o r e u n i f o r m ；, t h ea b u n d a n c eo fha n dh e a v y e l e m e n ti nh - b u r n i n gs h e l la n dn e u t r o nd e n s i t y a n dh e a v ye l e m e n ti nh e - b u r n i n gs h e l la r ea l lr e d u c e d ，b u tt h e 璺b u n d a a c eo ft h eh ei s i n c r e a s e d ；t oe a r l ya g bs t a r ，t h ea b u n d a n c e so fe l e m e n t so ft h es t e l l a rs u r f a c ed o e sn o t h a v et h eo b v i o u sc h a n g e s t u r b u l e n c eo n l yh a v es 璐黼i n f l u e n c e l ( e yw o r d s ：s t e l l a rs t r u c t u r ea n de v o l u t i o a ，a g bs t a r ，t u r b u l e n ts t r s s s ， m a 8 5l o s sr a t 髂 1 l l 第一章绪论 绪论 1 对流运动是天体物理环境中常见的现象，恒星内部普遍存在对流。对流对恒星的 结构和演化有非常重要的影响，因为对流可以使恒星内某个区域的化学组成由于混合 而变得均匀，也可以因为对流将恒星内部的重元素搬运到恒星表面；此外，对流还可 以成为某个区域传输能量的主要方式，而传能方式对于恒星内部的温度分布有重要影 响。因此，恒星内部对流区的大小以及对流传能的效率是人们研究恒星结构弓演化过 程中处理对流作用的两个主要方面。传统的恒星结构与演化模型在处理对流问题时采 用经典的混合程理论f l - 2 】f v i t e n s e l 9 5 8 年) 。是用分子运动论的方法来处理对流的理 论，引入了一个与分子平均自由程相类似的混合长概念，它假设对流运动中的一个对 流体元在经过一个混合长的距离之后重新融入到它所到达的新环境中。混合长理论实 际上是对恒星内部对流进行种唯象描述，对于构造恒星结构与演化模型框架起到了 积极推动作用，成功地解释了大多数恒星的观测特性，比如赫罗图的分布情况、质光 关系、质量半径关系等。但它只是对湍流运动进行一种非常简化的处理，该理论不能 给湍动对流的动力学过程以精确的数学描述。尤其：我们讨论非定常的和非局地的 对流运动时，混合长理论就显得非常地不能令人满意。应该用严格的流体动力学和 湍流理论来建立对流理论，但由于湍流运动本身的复杂性，目前还不可能发展种 完善的对流理论，而只能尝试着做些改善。有许多研究者都致力于这方面的工 作：b r e s s a n 等人( a - 4 ( 1 9 8 1 年) 提出一种在混合长理论框架下构造非局部的描述， 在计算能量、密度等时引入非局部处理。上世纪8 0 年代开始，熊大闰等人发展了一+ 种独立的非局部非定常的恒星对流统计理论 5 _ l o ，被认为是种较优越的恒星对流 理论。c a n u t o 和m a z z i t e l l i 等人i i i - - 1 3 1 从1 9 9 1 年开始在计算湍动能量贡献时考虑了 各种尺度漩涡的影响，认为经典的混合长理论是所有漩涡都以一种特征尺度来描述， 不可能正确地描述恒星内部流体的真实情况。他们采用新的模型模拟了太阳情况，使 结果达到了0 2 的精度。这些以流体动力学和湍流理论为基础的对流理论都十分复 杂，还很难用它们来计算恒星内部的结构和演化，随计算机运算水平的发展，已经有 人在开始尝试这方面的工作。 近年来随着天文观测方法和技术的迅速发展，天文学家不断地发现新的天体和 新的天文现象。越来越多的天文现象显示着恒星结构和演化理论受到新的挑战。特 别是对流区域较大的早型大质量星的观测事实，预示着恒星的对流效应可能引起更 多的恒星内部物质向外转移，造成恒星表面一些元素丰度超丰，并且对恒星结构和 演化产生重要的影响。例如，低光度沃尔夫一拉叶( w r ) 星的起源问题。天文观 测发现【1 4 1 ，w r 星的光度为4 5 l g l l n 6 ，有效温度为4 4 l g e r ， 4 7 。低 2 + 塑望爨整盔堂缝圭鎏塞：篓二童缝鎏 光魔w r 墅似乎是幽1 5 m ( h 恒星演化形成的。传统的恒星结构和演化理论预言【1 5 l 哭鸯当覆鬓m 3 0 艇 壤麓经过强熬静爱鼹凌覆攒失，终整个慷潼氢辩毙糖去蠢 才会形成w r 星。对于恒鼹形成w r 星后的光度约为i g l 五n 一5 3 ，有效温度约 为壕是f f 一5 , 1 。繁考虑整爨鑫转i 1 嘲，蒡设襁戆囊转速度为3 0 0 k m s ，到黠予恒星 形成w r 麓后的光度约为璩l l ( b 一5 8 ，有效温度约为4 l g 疋， 4 3 。若考 虑越星风物质损失【1 1 ，并设恒星农赶超巨攫( r s g ) 演化除段星风物质损失率离 达2x1 0 y r ，刘对于2 0 刺 恒藏形成w r 星后的光度约为l g l l ( h 一5 0 ，有 效溅度约为l g t , s ，一4 4 。其次，超新星s n l 9 8 7 a 的原星，以及兰超巨星( b s g ) 与缎越匿萋 0 ，p = 0 ，则必然会引起密度的扰动，x p = p 。一p r 0 ，于是流体元将 受到一向上的浮力一g a p ，并在浮力作用下向上运动，当运动d r 距离后，流体元内 部的密度与周围环境的密度差为： p p + 咖) = p ( r ) + d r 未( ，) ) ( 22 5 ) 式中若导( p ) 0 ，即流体元运动d r 后，其密度仍低于周围环境的密度，则该流体 元因获浮力作用继续上升。反之，流体元将受到阻力而停止运动，所以产生对流非稳 定性的条件是 。 寿( p ) s0 ( 2 2 6 ) 由于所研究的区域化学组成是均匀的，其物态方程可以写成： 式中a = ( 瓣) 了1 ，在理想气体下o = p = 1 ，在非理想气体下不等于1 。 分别用于流体的内部和周围的环境，则对于流体内部：有： f 2 2 7 1 ( 22 8 ) 将f 2 2 8 1 式 下i n p e ：。下d l n p e d 粤墨f 2 2 9 ) 1 f 2o 下一。可_ m 对流体元周围环境有： 警：d 警一6 驾垦 ( 2 _ 3 0 ) a f 。“i f 一一o i i l 。“j 将( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 式相减，得到： 未( l n 以) = 6 ( 1 d l n 厂t r d l n r t 8 ) ( 23 1 ) 若要产生非稳定性，必须满足( 2 2 6 ) 式，即有 d l n _ t r t d l n t e ( 23 2 ) 将压强标高的定义式代入上式，可得v r v 。，v r 和v 。分别代表辐射温度梯度和 体元周围环境的温度梯度。假设流体元在运动过程中不与周围环境交换能量，看成是 绝热的，则v 。可改写成v 甜( 绝热温度梯度) 。于是产生对流非稳定性的条件式为 v 咒v 。d( 2 3 3 ) 上式称为产生对流非稳定性的史瓦西判据” 二、勒都判据 丁n犯 功 只 p “ h = 耐 p | | p nd 有 此由 对于一个化学组成非均匀的区域，物态方程可以写成： p = p ( p ) t ，灿)( 23 4 ) 式中“为平均分子量，化学组成的变化表现为“的变化。令妒；( o l n ) e r 因此有： d l n p = a d i n p 一5 d i n t + 卿i n 弘( 2 3 5 ) 若为理想气体，q = p = 妒= 1 ，采用与史瓦西判据相同的方法，可以得到化学组成 非均匀的区域产生对流非稳定性条件为： v n v 。d 十v 。( 2 3 6 ) 该式称为勒都判据，式中v 。= # 碧格。 史瓦西判据( v = v 。d ) 和勒都判据( v = v 。d + 、7 m ) 是早期用来定义于恒星内部 对流区的边界。后来人们提出对流的边界应该是对流元速度为零的地方，但不论史瓦 西判据还是勒都判据确定的边界，都是对流元所受的浮力为零，丽非速度为零。因为 惯性作用会使对流元继续上升或沉降，此后它受力的方向与其运动方向相反，速度逐 渐减小，直到为零。为此，人, f f 引入了对流超射的概念，用来描述这个位于史瓦西判 据或者勒都判据确定的边界与对流速度为零确定的边界之间的区域，般认为，对流 超射区的大小在0 2 0 4 王k ( 压力标高) 【3 6 3 8 】。这些对流区边界和超射区的观点都是 局地对流理论的描述，如同混合参数一样，由于恒星内部对流超射的物理背景极其复 杂，至今还没有一个令人满意的理论来处理对流超射。实际上，对流元在远未至h 达对 流区的边界之前，对流就处于亚绝热状态( v v 州 、 以上恒星内部与外部结构与演化模型方程有四个边界条件： 。) 恒星中心( 尬= 0 ) 处：r = 0 ，l = o 。 6 ) 恒星表面( n 4 = m ) 处：p 一0 ，t = 0 。 由于恒星中心和恒星表面是质量方程和能量转移方程的奇异点，因此对于边界条 件的选取作如下考虑：内边界选取中心附近的上点作为内边界值，中心一1 点的值可采 用线性展开近似得到，他们是： r 。( 赤) 1 3 m r l 卢( 3 1 2 ) 1 6 塑婆师范大学硕士论文：第三章恒星结构与演化模型 p 一仇一：( 争1 3 g 鹰7 3 蟛7 3 ( 3 1 3 ) 厶= 尬( e 。一e 。一勺于+ ：户) 。 ( 3 1 4 ) 塑=孑3dinp黼 蕤d l n t 涮v 圳 iv 删( 黼 。d ) 。7 式中的角标c 表示恒星中心处的值。可以利用恒星大气理论给出的灰大气温度近似公 式及辐射压公式确定表面边界条件，在m i = m 处： 耳；o = ( 争坍p = ；礁。 五个基本方程组及其边界条件构成了恒星的结构和演化模型。为了数值积分恒 星模型，需要将恒星划分为很多同心球层，在每一个球层内又将基本方程组改写为差 分方程组进行求解。因此，划分同心球层时应使相邻两球层的物理量如p ，t r ，l ， 的变化较小，这样才能使四个基本的微分方程变为差分方程时误差比较小。对于改写 后的差分方程组的积分，通常选取恒星内m r = 0 9 7 m 处作为基准点。将这点以内 的区域称为”内部”，将这点以外的区域称为”表面”。对四个方程组的积分将分别在” 内部”和”表面”两个不同的区域独立进行。但要求”内部”积分的结果和”表面”积 分的结果在基准点处必须拟合，所以称基准点为拟合点。恒星表面则由流体静力学方 程组积分得到，然后我们把”表面”积分的结果作为”内部”的边界条件，由h e n e y 方 法不断的迭代直至在恒星内部拟台点处相拟合从而求得整个方程组的数值解。 3 2 考虑湍流应力作用下的恒星结构与演化模型 3 2 1考虑湍流应力作用下的恒星结构与演化方程 一、流体静力学平衡方程 在传统的恒星结构演化模型中，其流体静力学平衡方程中只是考虑了重力的作 用。在其不考虑磁场力、潮汐力和自转效应等假设的：基础上，该方程在恒星内部辐射 区内是基本成立的，但在对流区内，湍流的脉动过程将会引起平均动量的交换，这就 意味着存在力的作用，实际上气体的湍流运动存在着宏观上的”表现应力”。所以方 程( 31 1 和( 3 2 1 不能描述流体元的真实运动。由经典的流体运动力程：n a v i e r s t o k e s 方程，此时任一体元的运动方程应为【2 9 】： n d p ；若= 一p g v p v ( p v “) ( 3 1 6 ) l ， 式中u 表示流体元的宏观运动速度，是对大量流体元的速度进行统计平均求得的， 而u 是该流体元的真实运动速度。假设流体元是局部等热的，则可以在此作近似考 墨；堕爨薅逮废力傍爨下瞧基缝擒与演诧摸裂 l ? 虑：u 7 一“= u ，t j 为气体的湍流运动速度。代入f 3 1 6 ) 式得到： p 等= 一p 9 v p v ( p u 2 ) ( 3 1 7 ) p 面2 一p 9 一v 【p ”“j q l 。7 ) 农夔基鹣缝掏攘挺诗葵辩，久为堍辍设整令恒鼙缝子统一静态平辚，褥葱海鞫靖溺有 关的项，并考虑维情况，( 3 1 7 ) 式可变换得： 筹= 一心一螋d r ( 3 1 8 ) 丽2 一心一“ ( l d j 式鄄为在对漶嚣内的藏传静力学乎囊方程，t ，蜀戳壤掇越热混台援理埝浆掇，薅苏 蔷等陆3 i j 解得藏表达式为： 耵2 = 下g s a 2 h p ( 形一u 一帮e ) ( 3 1 9 ) 式中的矾娥譬，g ，踯表示式同( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 式。 令斑一j ! 雩乎代入( 3 ，1 8 ) 式猁有： 杀p g 黝 3 2 0 ) 上式中p g = p 为流体元所受的重力 乍用项：p g t = ：! 些是湍流作用项。其中p v 2 来源于辩流馔经，其物瑷意义在于它反鹰了滴流脉动所弓 起的平均动量懿交换，劝量 交换意味着力的作用，因此在湍动流体力学理论中习惯上将其作为一种附加力 。 获戳我爨定义最一筘2 建蘧滚痰力。 根据上面的分析，我们认为糍考虑湍流作用的情况下，传统的恒星结构与演化模 型中内部静流体静力学平捃方程照走： 景量： 一瓣 ( 辐射平衡区) f 3 2 1 8 觚 l 一满( 1 + 鑫魄) ( 对流酝) 3 考虑湍流应力下的恒凝结构与演化横型主要媳影响流体静力学平衡方程，但是出 予漩流艨力加速度，它改变了寄散重力秘速度。融涵2 1 ) 式，我们可强褥出在对流区 的流体元的有效溪力加速度： 蝌例+ ；掣刊t + 南掣， 涵。， 瑷竣，我裁可涛3 2 1 ) 变彩褥： 毋pg 坛 藏2 磊如 ，f 1 ( 辐射平衡区) ( 3 - u a ) 办。 l + 菪杀学( 踺浚嚣) 1 8 - 浙江师范大学硕士论文：第三章恒星结构与演化模型 恒星外部的流体静力学平衡方程以h p 为变量，其方程形式为 器= ir p 轨帮， 当v r v d 二、能量传递方程和质量分布方程。 由于引入了湍流应力改变了流体静力学平衡方程，在进行恒星内部的计算时，能 量传递方程中的自变量由i n p 改为尬时，引入了流体静力学平衡方程。所考虑湍 流应力将使能量传递方程作如下变化： v ；筹 ( 3 2 5 ) 所以， 里：三旦三v 8 m ，p 8 m ，? 将( 32 3 ) 式代入上式可以得到能量传递方程的表示式为 f 32 6 1 袅= 一丽g m , t 棚 一心赢铷。嚣 2 7 v 冠和v 。的表示式同( 3 6 ) 式。 而在恒星的外部模型计算时，以i np 为变量，能量传递方程不发生改变，而质量 分布方程的形式会因为引入流体静力学平衡方程变成以下形式： 坐咝一4 1 r r 3 p 0 i n r ：j 一瓣， 当v r v 。a 、 3 2 2 恒星演化模型的计算方法 考虑了湍流应力，则改变了恒星的流体静力学平衡方程和恒星内部的能量传递方 程及外部的质量分布方程，由上面的分析可知，如何计算，尸是计算过程中重要的4 环。 1 ) 、在实际的计算中，对于恒星内部( 幅 o ，9 7 m ) ，同h e n y e y 方法样，首先 根据史瓦西判据，在对流区内由( 2 2 2 ) 、( 2 2 4 ) 两式求出第j + 1 层和第j 层的鼠卅。 和只l j ，根据( 3 2 3 ) 和( 3 2 7 ) 式分别求出辐射平衡区和对流区内的流体静力学平衡方 程和能量传递方程写成差分形式时，同时将警也写成差分形式。在零值函数时需耍 ! ：! 耋宣塑煎垄查塑皂整曼尘塑堡援至鲤垣星丝塑兰遗垡堕型 1 9 求出r 对p 、t 、r 和l 求偏导，我们根据( 3 t 9 ) 、( 2 2 2 ) 、( 2 2 4 ) 求得结果如下 ( 器) p _ 舴啊( o l 。n 。p ；) 尸划丽o l n 2 , ) ，怕( 怒争十警( 石丽5 ) p + a s ( 羔k 碑( 筹”姒豢”( 器”警( 赤”吲f 3 。9 1 ( a f t ) 只r = 一4 n 1 2 。 ( 荔h = 茹岛w v r 式中u = i n ( 1 + o l ) ( 为一常数) ，公式中的系数表示如下： a l = = ( b 3 一k ) 6 l ， a 3 = 2 a l v , “一b 4 ， 0 5 = 8 a l 一4 b 4 v r ， 。- = w 一导u 一专鲁 a 2 = ：一2 0 1 + b 4 v n ： a 4 13 0 1 ， 0 6 = - - 5 a 1 十6 4 v r 十1 b 。= ：嘉u + 万2i e ， 驴羔( - + 丽1 弘e 谚1i e n 扣叭豢一扣 h = 西8 丽u w ( , 1 + 丽1i e ) 2 ) 、对于恒星外部积分，对模型方程( 3 t o ) 、( 3 2 4 ) 和( 3 2 8 ) 采用预报一校正法 进行，在由表面计算得到r = 2 3 处的t ，p ，p 及i ：的值作为初值，一步步积分下 去，直到拟合点为止。我们推导出方程组中的湍流应力作用项的表示式为： d d l n ( p v p 2 坦) 训2 川器+ 器( 筹) - 面0 t r i m s 】十d 3 瓣蛳o l l n n 芦p + 器( 丽o l n t ) 】+ 如f om ( o l t n n p ) + 弛0 1 n 删t 0 n f ( 讹o l n r p ，) ， ( 3 3 。) +cd。e0iincp+olncp(ollnnt,_一4万o五lnr0n p0 i n t0pn p + 1 7 )。c pil na l 叫 上式中系数式为： d 1 = ( b 3 6 2 ) 6 l ， d 3 = 6 d 1 + b 4 ( v 耐一4 v r ) ， d 5 = - d l b 4 v 耐， d 7 = k ( v r v 州) 一3 d a + 1 d 2 = - 2 d l + b 4 v r 幽一k v 。d d 1 ， 磊一b 4 v 。d 一2 d 1 ， 2 0 塑垫燧薹盔堂塑圭造塞! 堕兰童垣星鳖塑笾堕垡攥型 3 3 考虑滴流应力和自转离心力作用下的 恒星结构与演化模型 考虑自转效应的恒星结构与演化模溅的研究最早开始于k i p p e n h a h m 和t h o