（应用数学专业论文）粘弹性壳的数学模型及其理论研究.pdf

粘弹性壳的数学模蝥及其理论研究 摘要 槠弹性壳动力学方程组慧具有黧要理论意义和蔽再徐壤翡模黧许多藿名数学家翁王俸都 涉及劐逸一镁域本文包捶嚣邦分在第一郝分，我# 】用形式濒近分榜方法扶三维方程维缮到二 维线性粘弹性壳动力学方程组的模型( 膜壳，姆壳) ，并证明三维问题的解和= 维k o i t e r 壳方程组 解的收敛性；档第二部分，证明非线性粘弹性f u l lm a r g u e r r e y o nk d r m d n 扁壳动力学方程组初边 值阿鞭整体髀的存在唯一性，研究当t 一。耽解的渐近性葳，并给出该解向粘弹惶y o nk d r m s n 板察懿牧敛赣。 下霞对本文鲍结果作一简单介绻 ( 1 ) 利用形式渐避分析从三维方程组得到t - 维躐性粘弹性膜壳的数学模型，并证明了三维 问题的解当壳的厚度憝于零时收敛到膜壳方程组的解 ( 2 ) 在苓褥于蔫帮的强设下，剥镯形式 孽 近努辑褥舞= 维线毪糯撵缝弯宠懿数学模登，箨涯 嘤了榴澎的收敛性。 ( 3 ) 给出了二维粘弹性k o i t e r 壳方程组解的存在唯一性，并且证明了k o i t e r 壳方程组的解 在不问的假设下，当参数趋予零时，分别收敛到粘弹性膜壳方程组与弯壳方程组的解 ( 4 ) 利用一类羞乎有限元的g a l e x l 盘穷法证疆了菲绞俄秸弹豫f u l lm a r g u e r r e - v o nk s r m 缸 寓毙穷程维一簸耱逡簸 霹疆解戆整棼存在瞧一錾毫势显在逢搬麴镁设下，莲蠼了该窥解l 霉糕察在 t 一。时的指数衰减性 ( 5 ) 证明了非线性粘弹性f 1 1 l lm a r g u e r r ev o nk 缸m t t n 扁壳方糨组的解，当中曲面趋予板的 中篮筒时，收敷于桶藏的辖弹性f u l lv o nk d r m d n 檄模螯的解，从而在一定徽义上说疆了谶扁壳 楱羹戆合理穗 关键调：靛弹性壳，灏避磐析，牯弹性扁蔑i i 暮酾渐进性葱 t h em a t h e m a t i c sm o d e l sa n d 零h e i rt h e o r i e so fv 珞c o e l a s t i cs h e l l s s y s t e m s a b s t r a c t 静n a m i cs y s t e m so fv i s c o e l a s t i cs h e l l sa r ev e r yi m p o r t a n tm o d e l si nb o t ht h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s m a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n sw o r k e di nt h i sa r e a , t 址8t h e s i si n c l u d e st w op a r t 。i n t h ef i r s tp a r t ，a p p l y i n gt h em e t h o do f a s y m p t o t i ca n a l y s i s , e s t a b l i s ht w o - d i m e n s i o n a lm o d e l so f v i s c o e l a s t i cl i n e a rs h e l l s ( m e m b r a n es h e l l ，f l e x m a l 出越1 ) f r o mt h r e e - d i m e n s i o n a ls y s t e m a n ds h o w t h ec o n v e r g e n c eo ft h es o l u t i o n so ft h et h r e e - d i m e n s i o n a lp r o b l e ma n dt w o - d i m e n m o n a ik o i t e r s y s t e m s i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o nt ot h em i x e d i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rn o n l i n e a r l yv i s c o e l a s t i cf u l lm a r g u e r r e v o nk 6 r m d ns h a l l o w s h e ns y s t e m ，s t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h s x d o ro ft h es o l u t i o na st _ ，a n ds h o wt h ec o n v e l 葚e n c e o ft h es o l u t i o n ，t os o l u t i o no fv i s c o e l a s t i cv o nk d r m i np l a t e 。 n o ww es t a t eo u rm a i nr e s u l t s ， l a p p l y i n gt h em e t h o do fa s y m p t o t i ca n a i y s i s e s t a b l i s ht h et w o - d i m e n s i o a a lm o d e l 鹾 l i n e a r l yv i s c o e l a s t i cm e m b r a n es h e l lf r o mt h r e e - d i m e n s i o n a lv i s c o e l a s t i cs y s t e m ，a n dt h e ns h o w t h a tt h es o l u t i o no ft h r a s d h u e n s i o n a lp r o b l e mc o n v e r g e st oo n eo ft h et w o - d i m e n s i o n a lm o d e l ，a s t h et h i c k n e s st e n d et oz e r o 2 ) u n d e rs o m e8 镕p t i o n s # a p p l y i n gt h em e t h o do fa s y m p t o t i ca n a l y s i s ，e s t a b l i s ht h e t w o - d i m e r r s i o n a im o d e lo fl i n e a r l yv i s c o e l a s t i cf l e x u r a ls h e l lf r o mt h r e e - d i m e n s i o n a lv l s c o e l a s t i c s y s t e m ，a n dt h e ns h o wt h a tt h es o l u t i o no ft h r c e - d i m e n s i o n a lp r o b l e mc o n v e r g e st oo o eo ft h e f l e x u r a is h e l lm o d e l t h et h i c k n e s st e n d st oz e r o 疆) w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt ot h es y s t e mo fv i s c o e l a s t i ck o i t e r s h e l l 。a n dt h e ns h o wt h a ti t ss o l u t i o nc o n v e r g e st oo n e so fm e m b r a n ea n df l x u r a ls h e l lm o d e l ， r e s p e c t i v e l yu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s a sp a r a m e t e rt e n d sz e r o ( 4 ) a p p l y i n gg a l e r k i nb a s e do nf i n i t ee l e m e n ta p p r o a c h w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s st ot h ei n i t i a l - b o t m d o x yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a r l yv i s c o e l a s t i cf i ；l lm a r g u e r r ev o n k 6 r m s ns h a l l o ws h e l ls y s t e m t h e n ，d i s c t l s st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n ds h o wt h a t ，u n d e r s u i t a b l ea s s u m p t i o n t h es o l u t i o nd e c a y se x p o n e n t i a l l ya st i m eg o e st oi n f i n i t y 鼙w e s h o w t h e s o l u t i o n t o t h es y s t e m o f i l o n l i n e a r l y v i s c o e l a s t i c 纯珏m a r g u e r r e y o n k & m s n s h a l l o ws h e l l c o n v e r 群韬t h es o l u t i o n 协c o r r e s p o n d i n gv i s c o e l a s t i cv o nk 积瞳矗np l a t e 。t h i s j u s t i f i e st h es h a l l o ws h e l lm o d e li na l k e y w o r d s ：v i s c o e l a s t i cs h e l l ，a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，v i s c o e l a s t i cs h a l l o ws h e l l ，a s y m p t o t i c 馥a r a c t e r i s t i c n 指导教朔 秦铁虎教授 摆导小组成员 秦铁虎教授 李大潜教授 周忆教授 第一章绪论 本文囊滗帮努缀纛第一妻努是缓镶蕻襻缝竞蒡= 熬分是 # 缓毪糖鞯毪f u l lm a r g u e r r ev o n k d r m h n 扁壳 第一部分讨论如何由一般的3 - d 线性粘弹性动力学数学模型( 见攀犬潜，秦铁虎【3 6 1 第七 章) 碍到2 - d 线性糕弹佼巍的模整 对手缝弹性静情况，融有许多这方掰静研究工作c i a r l e t 等首先掰用形式颧迁势斩的方法 从3 - d 弹性静力学模型，谯不同的假设下分别导出静态膜壳，弯壳的模擞( 见【1 5 】及其中参考文 献) ，并在【1 0 】- 【1 2 】中分别 难明了椭圆膜壳，弯壳与k o i t e r 壳的收敛性，柱f 1 6 l 中第五章中焓出了 一簸簇意瓣狡簸牲。蓦蘩镤讨论了簿毪凌鸯学戆馕嚣，我鎏鹫一泌孛努捌涯赛了襻狡动力学耩 圈膜壳，弩辩和k o i t e r 獭的收敛性最近叶绩给出了一般弹性动力学膜巍的收敛性( 见【6 5 】) 在这一部分，我们首先用形式渐近分析方法从3 - d 粘弹性模型，狸不同的条件下分别导出 牯弹性骥巍搬弯壳模毽熬蠢对于一般骥巍，弯竞秘k o i t e r 竞严揍证明了其收敛性。具体安接魏 下： 在第二章首先给出兰维线性粘弹性动力学方程组初沈值问题解的襻在唯一性在此蕊础上， 应用形式渐避分析方法从墨维方程组得到一般二维膜壳模型，然后证明点维问题的解张壳的厚 爱莛于零封浚簸爨蔻饕爨懿瓣 在第三章首先在不同予第二章的假设下，应用形式渐近分析从- - 维：y 程组得到二维弯壳模 型，然后诚明三维同题在獭的厚度趋于零时的收敛性 在第鼹奄首先绘出k o i t e r 方程组定躺同越的存在噍一挂。在此基穰上涯嚷了，手誉霹鳇假 设下，k o l t e r 方程组魏解分别收敛到骥壳和弩壳模型酶瓣 第二部分讨论非线性m a r g u e r r ev o nk h r r r u l n 扁壳按照c i a r l e t 的窳义( 见 1 4 】) ，对于一个 壳体，如粜其参考构形中曲藤与一个平耐的偏差与壳的_ 啭庹是回阶小擞，谈壳称为扁旁( s h a l l o w s h e l l ) ，攘藏乎v o nk m f i n 援戆裹壳称势m s x g u e r r ey o nk s r m s n 赢裹 c i a r l e t ，b a n i c a 等在【2 ，7 中分别建立了笛卡几坐标与曲线坐标下的静态m a r g u e r r e - v o n k h r m h n 扁壳模型许多作者对简化的( m o d i f i e d ) 静态m a r g u e r r e - v o nk d r n u l n 模型进行了研 究，绘出，越模型的舞懿襻在唯一性以及与其链横型麓懿关系( 觅【2 4 ，2 散2 3 ，3 氛5 嘲) l a s i e c k a 在i 3 l 】i 3 2 l 中用基于有隈笼逼近的g a l e r k i n 方法证鳍了f u l lv o nk d r m i n 板耪遗值阕瓤解的整 体存在性及解的一致稳定性r i v e r a 在【5 6 】中讨论了粘弹性f u l lv o nk d r m d n 板初边值阿题解的 渐近性态。在一些假设下诋明了解的指数液减性 这一部分懿具露安掺鳓蕾 在第飙章利用基于一粪有限元逼近的g a l e r k i n 方法证明该方程缀一般初边值问蹶夔体解 1 的存在唯一性 在第六章讨论该定解问题解的渐近性态r i v e r a 【s s 文中未考虑历史数据如果考虑历史 数据，按照常规方法，将非零历史数据移为右端项，一般得不到解指数衰减的结果本文中将历 史数据与未知函效一并讨论，得到解的指数衰减性 在第七章证明非线性粘弹性f u l lm a r g u e r r e v o nk d r m d n 扁壳方程组的解在参考构形的中曲 面趋于平面时，收敛于相应的粘弹性f u l l ”o i lk d r m 6 n 板模型的解从而在一定意义上，说明了 我们给出的粘弹性扁壳模型方程组的合理性 1 1 引言 第一部分，考虑一族具有共同中曲面s = 日( o ) cr 3 ，部分边界固定且厚度为2 e 的壳，其中 w c r 2 是连通有界且边界l i p c h i t z 连续的开集，并且8 伊( o ，r 3 ) 在这一部分应用下述约定和符号希腊指标0 除外) 属于集合 l ，2 ) ，拉丁指标( 除非用来 表示其他，例如用来表示序列) 属于集合 1 ，2 ，3 ) ，重复指标表示约定求和，记号：= 表示用右端 定义左端 令可= ( y a ) 表示集合西中的点，并令以：= o ： 弛令日：o r 户是属于g 3 的单射使得 下面两个向量 d o ( ”) ：= 0 n 8 ( y )( 1 1 1 ) 在任意点y o 线性无关它们在所有点a ( y ) 构成下述衄面的切平面的共变基 s = p p )( 1 1 2 ) 向量a o ( | ，) 定义如下 n o ( 暑，) n 一( ”) ：= 碍( 1 1 3 ) 它们构成了反变基 定义曲面s 在点a ( y ) 的单位法向量如下 州炉a 3 ( 沪蹴格揣 ( 1 4 ) 定义第一基本形式( 度量张量) 扣。口) 或( n a 4 ) ，第二基本形式( 曲率张蟹) ( b a 0 ) 或( 6 ：) 和 c h r i s t o f f e l 符号( 在不引起混淆的前提下，省略对变量yeo 的依赖性) ： a a 9 ：= a a a f j ，a a b ：= a 。o 口， ( 1 1 5 ) k 口：= a 3 o a a 口，鹾：= n 即6 。( 1 1 6 ) 2 上述张量和符号具有对称性 得 r 孙：= 酽铷n 。 口a 口= o 口a ，6 a 口= 6 口a ，r 三d = r 缸 沿曲面s 的面积单元为面句( 见【1 5 1 ) ，其中 n ：= d e t ( a a 口) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 由( 1 1 5 ) 一( 1 1 7 ) 和( 1 1 9 ) 所定义的函数在d 上至少是连续的，所以存在常数a o 0 使 n ( ”) a o ，v o 另外，定义曲面s 的共变导数6 5 l 。和第三基本形式的共变分量c 。口如下 蛎i n ：= 如蜡+ i ：，畅一r ：口鲜 口：= 6 ：6 ，口 ( 1 1 1 0 ) 空间l 2 ) 或驴和) 的范数记为”1 1 0 m 空间h ”) 或日”) ( m21 ) 中的范数记为 o ”l i 。，。：= j ci ”i 。由) 5 ，若”el 2 ( u ) l l ”。，。： 砉”仉n a ，。) ，若”e l 2 c u ， i l v l l l ，。：= ”i i 。，。+ 耋1 1 1 a 。”l i a ，。) ，若”e 日1 c u ， = 伽吼+ 1 1 如崛。 ，若”日1 ( u ) la 兰j 圳跏：= i | 训b 耆圳一尝酬b 卜一 定义曲面s 上的度量张量和睦率张量线性变化分别如下 ( 1 1 1 3 ) ( 1 1 1 4 ) ( 1 1 1 5 ) ( 1 1 1 6 ) 口( 叩) ：= ：( 如珊+ 如) 一r ：口珊一6 。口q 3 ， ( 1 1 1 7 ) 如p ( 叩) ：= 如口7 3 一r ：口如，7 3 + 略( 如咖一r ：，珊) + b ：( 部一1 1 刍，聃) + 吆b 一卢啦， ( 1 1 1 8 ) 3 n 挖 1 1 q n 爨望蒋号 n ( 0 ：= l - 1 器 ( i , i 1 9 ) d 8 鼢8 ) 掣翻擘8 帮8 8 书辩f 螃尹矗毋+ g 耵靠辩 ，( 1 1 2 0 ) 其中口( 8 ) p ( 8 ) 分别表示粘弹幢材料螅l a m ! 松弛模蛩 ( t ) ，如( 螗的l a p l e v c e 搬按，藤占一1 液乐 l a p l a c e 逆变换， 蕞辍汪镑懿零文鳇纂二二鬻) 印，= 熹等挚貉 阻m t ， 8 ( o ) 2 蛹辎黹 ( 1 m 2 1 ) 艟存簌常数g 使樽对任意对称艇阵( 如口) 有( 甄定理3 3 - 2n 獬) i 帮严羔。辩零岛，t 蝴。 i 。1 + 2 2 ) n 口盏l 辩任意8 0 ，考虑串簦瓣舞s 殍褒为2 8 懿嵬，设其i , a m 橙强模鸶 鹳 0 及# ( ) 0 ( t o ) 与露篾寇义集会 n 。：尝一曲十) ，r 肇= u ) c 和 ，r 三= “， - d ，鞴= 7 0 f ，s 】，r 掣讯f g ，礴，( 1 , 1 ，2 3 ) 其中7 0c 叮版7 0 9 令= ( 趵表示绺中的点，且令详o o z l ；因而有= 蜘 壤= 撬。 寇义映射0 ：绺一r a * e ( 嚣。) ：= 疗( 甜) 十嚣协3 ( ”) ，v 琊。= ( ”，洋) 芒鼎。，( 1 1 2 4 ) 剿存在翮 0 浆褥对任意0 8 s 匈浃裁0 ：绺一l f 蔻攀射萎惫曩 菇( $ 。) 一群辑( 矿)( 1 j 1 2 5 ) e 嵫= a o z 。，矮一o 赫i ) 密僚豢爨$ 。e 謦蠛经蠢甍冕定瑷2 2 - 3 器甓+ 向量蝣( 舻) 在点e ( ) 构成了共变基，并且由下式定义的向薰驴5 国8 ) t 9 5 ( 。) 岔 ( i 萨) = 醒( 1 , 1 2 6 ) 祷成鬣变羞 宠义瀛形0 ( 批) 上雏畿擞张塞缓；) 城( 萨一) 穗c h r i s t o f f e l 糖号渲啦蟪扩的像壤嬲鳐 下t 鹾- - 一# f e , + 菇，8 彗啦妒， i 1 2 露 4 上述张量与符号具有对称性 1 1 0 5 ：= g 如口；( 1 1 2 8 ) 蛎= 鲸，g 咖= ，r 0 。= 略。( 1 | 1 2 9 ) 流形e ( f i 。) 的体积单元为、矿如e ( 见【1 0 1 ) ，其中 g 。：= d e t ( g ：j 1 1 2 三维线性粘弹性壳方程组 ( 1 1 3 0 ) 对任意的0 0 及p ( ) 0 ( t 0 ) 来描述在整个第一部分，在不引起混淆的情况下省略对空 间变量的依赖性对粘弹性材料而言，在t 时刻的应力依赖于t 时刻以前的应变历史对线性齐 次且各项同性的粘弹性材料，应力张量由下述单积分形式给出。 t 6 b o ) = 材“6 ( o ) 缸( n 5 ( t ) ) + ，”“4 ( 亡一r ) e 氩( n 5 ( f ) ) 打， ( 1 2 1 ) j 一 其中 d o ( 也。( t ) ) ：= ；( 砖噶( t ) ) + 劈( t ) ) ， _ 甜k l , e ( ) ：= 0 ) 占玎占捌+ “( t ) ( 占弛护。+ 6 “) 其中铲( t ) 是位移，砖= 一， ( t ) 和p ( t ) 是l a 诺松弛模量( 见 36 】) 因此，在c a r t e s i a n 坐标下部分边界固定的三维线性粘弹性壳问题为t 警神乩叩) 毒“删 + e ( ) 鸯洲计触舻邓) ，i = 1 , 2 , 3 ( 1 2 _ 2 ) 与定解条件 柚气t 叫( 州州打卜甜_ 帅n 卑u t ， “气h 嵫删嘲d r 卜= 。o n 托 ( 1 删 5 + + m 啪 缸 艄 艄甜 蘸 0 = 乩 乩 矿 p p 邶 其中户，5 ( t ) 和胁。( t ) 分别表示体积力和面积力 上述问题的弱( 变分) 形式为 矿( ) l ( 一。，死y ( 矗。) ) 其中v ( d ) ：= 矿h 1 ( 舻) ，矿= o o n 瑶) 厶。氟( 。) 婚曲8 + 上；“( o ) e 缸( 矿( t ) ) a o ( 扩) 如。 + z 。a “4 。一r ) 嘞( n 。( r ) ) 咯( 矿) 打如c 2 以。户4 ( 。) 如5 + 上i 。电秆4 ( 啪：d f 。，v 矿y ( 带) ， ( 1 2 4 ) 这里l 表示l 。空间中存在正常数亍，当t 0 ，p ( o ) 0 则问题( 1 , 3 1 ) 一( 1 , 3 2 ) 存在唯一解满足 u 忙，t ) l ( o ，t ；y ( q ) ) ，u t 仕，t ) 工o 。( o ，r ；五2 ( n ) ) ， 让“( 霉，t ) e 工( o ，t ；v + ( n ) ) ， 并在下述意义下满足初姑条件 t | 徊) ( t ) _ p ( 霉) 强i nl 2 ( n ) ， u t 佃) ( ) _ 妒( 霉) 强饥y + ( q ) ， 当t _ 0 我们有如下关于膜壳模型的形式渐近分析定理 定理2 2 1 假设l o 罐松弛模量与s 无关，空间 y o ( ，) ：= 叩h 1 ( u ) ；叩= 0o n t o ，丁。芦( 叩) = 0 i n u ) = o ) ， 且( 1 2 1 0 ) 中的未知函数具有下述展开式 u ( ，t ) = t ，( t ) + e u l o ) + 一u 2 0 ) + - 其中t o ( 亡) e 工( o ，t ，y ( n ) ) ，u ? ( t ) 五( o t ；l 2 ( n ) ) ，u 袅( 亡) l ( o ，t ；v ( n ) ) ，t 1 0 ( f ) 0 且 u 9 ( t ) l 。( o ，t ，h 1 ( n ) ) ，g = 1 ，2 则 门j 首项u oc t ) 满足的方程的右端函数必须有如下形式 ，( e ) ( t ) ( z ) = f i , 0 ( t ) ( z ) ，v z n ， h ( ) ( t ) ( z ) = ，1 ( 亡) ( 卫) ，v z ( r + ur 一) ， 其中函数，o l ( 0 ，t ；l 2 ( n ) ) 及h ，1 l ( ( o ，t ；l 2 ( r + u r 一) ) 与茁3 无关 r 圳展式中的首项, , oc t ) 与x 3 无关并且满足二维膜壳方程组的变分形式 u o ( t ) 工( o ，t ；y ) ) 且y ) ：= 叩h 1 和) ；町= 0o n t o ) 8 其中 tn o ) “玎、i 由+ n 。4 4 7 ( o ) ，( u o ( t ) ) 。口( 叩) 、勋 “j u + 上j ( 。m 口”o r ) ，( 舻( r ) ) 口唧) x , 伍d w d y = 一( t ) m v f f d y ，v r l y ) ，n te ( o ，t 】， ，u 铲阳7 ( t ) = n ( t ) 萨日口。7 + 卢( t ) ( 铲4 口7 + o 。7 n 鼬) 卿) ：= ；( 1 ，i 1 即) 出s + h i l ( 1 ) “ 由定理2 2 1 ，对( 1 2 1 0 ) 右端函数假设如下 ，( t ) l o 。( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) ，o ) 工。( o ，t ；l 2 ( r + u f - ) ) 故问题( 1 2 + 1 0 ) 可写为 u ( s ) ( 亡) 工( o ，t ；y ( n ) ) 且y ( n ) ：= 锄日1 ( n ) ， = o o n r o ， 卜( e ) ( t ) 叶( g ) 、石丽出+ a 巧“( ) ( o ) e i i ( s ) ( u ( s ) ( t ) ) e t i i j ( e ) ( 口) 诟两出 j l lj f l + f n f o t a 玎k t ( s ) p r ) e 圳z ( e ) ( u ( e ) ( r ) ) e t 试s ) 扣) v 雨d w d x = ，( t ) 仉、丽如+ h ( t ) 地、石丽衍，v y ( n ) ( 1 3 3 ) j n j r u r 一 考虑问题( 1 3 3 ) 与下述定解条件 t 正0 ) ( 霉，0 ) = 妒瞳) ( z 1 ，9 2 ) ，u t ( s ) ( 苗，0 ) = 妒( e ) ( z 1 ，卫2 ) ， ( 1 3 4 ) ：暑：兰：二三：耋：二：三；， c ，。s ， 在上述关于妒( s ) ( z 1 z 2 ) ，妒( ) ( z 1 ，$ 2 ) 的假设下，应用定理2 1 1 ，问题( 1 3 3 ) - ( 1 3 5 ) 存在 唯一解我们有如下的收敛性定理 定理2 3 1 - 假设，( t ) l 。( o ，t ；l 2 ( n ) ) ，a ( o = ( 彬( ) ) 工。( o ，t ；l 2 ( r + ur 一) ) ，h t ( t ) ： l ( t ) ) 五( o ，t ；l 2 ( r + up 一) ) ，而l p ( 群) 0 l ，z 2 ) y ( n ) ，币( s ) 扛l ，z 2 ) 工2 ( n ) 满慧( 1 3 5 ) 又设 ( 如p ( 亡) c 2 【o 。o ) # 囊豆a ( o ) 0 ，p ( o ) 0 盼接意路定的g 0 ，p ( o ) 0 则对任意络定的( o 0 ) 的光滑函数， u ( ) ( v ，0 ) = i p 0 ) ( ”) ，u t ( ) ( ，0 ) = 妒0 ) ( ”) ( 1 3 1 1 ) 下面给出k o i t e r 壳的存在唯一性定理 定理4 1 1 假设，( ) ( t ) 工( o ，t ；f ( n ) ) ，h 士( ) ( t ) 工( o ，t ；驴) ) ，而i p ( ) ( ”) v h 0 ) ， 妒( ) ( 冒) 护) 又设非负a ( ) ，p ( ) 充分光滑使得( t ) g 2 【0 ，) 且 ( o ) 0 ，p ( o ) 0 则问 题( 1 3 1 0 ) 一( 1 _ 3 1 1 ) 存在唯一解满足 u 0 ) ( t ) 工( o ，丁；名( u ) ) ，u t 忙) 0 ) 五( o ，t ；工2 ( w ) ) u “0 ) ( t ) 工( o ，t ；1 名( u ) ) 同时，此解在下述意义下满足初始条件 当t _ 0 u ( ) ( t ) _ i p ( ) 佃) 强协l 2 0 ) t i t ( ) ( t ) 一妒( e ) ( ”) 强讥k ) 1 3 其中 为了讨论k o i t e r 壳与膜壳的关系，考虑k o i t e r 壳方程组 及定解条件 s z u l t t ( 州) 啦a 盯娟嘞十s 上。叩”( 。) ，( u s ) ( 嘞口( 叼) 撕劫 + z 8 如7 转一r ) r ( u 联r ) ) 口聊) 再由毋j uj o oj + 譬 上。跏7 ( o ) 蹦“) 脚) 4 i d y + 上毋洳器一r ) 斯t 名) f ) 蝴涛) 孓醣打 + ffn 卸盯器一r ) 斯钍名) 爷 ) 妒郴涛) 渤打 ，讲，一取)j = f ( 咖 确，v 叩y ( 1 3 1 2 ) 蹦秭气1 ( 。毖冷) 黼+ 婚黼向+ 婚焖溉q ) 精每) 警，o ) = 妒) 嚣) ，t 毋) 国，0 ) 慧簪穗 辔) ， ( 1 。3 i 站 裟麓：；篇： 靼t ， 我们布如下的k o i t e r 与膜壳的关系寇理 定理4 。2 。1 。辍设= 7 藏s 渖) 是撩骥蹲，筹饭设存鸯毒s 无关萎戴，( ) ”。，；l 2 ( n 强 h 耋国五”( o ，? ；铲和) ) 使得 ，忙) o ) ( ) 一，( t ) ( z ) ，v n 且 芏( e ) o ) ( 掣，士6 ) = s h l ( t ) ( 1 ，士1 ) ，v y u ， 而妒馥) 瓣磙和) ，审秘擎) l 2 扫满足1 3 。1 4 ) ，又设菲囊 o ) ，芦渤竞旁意嚣捷缮8 ) c 口n 。) 且x ( o ) 0 ，u ( o ) 0 耷u ( ) ( 幻为问题( 1 3 1 2 ) - ( 1 3 1 4 ) 的唯一解刘 “j 存在函数u ( t ) 五( o ，t ；) ) 及v m ：= 叩= ( m ) 1 础( u ) ，啦驴) ) 使得 性蠢) 8 ) 三t 8 ) 舞+ i n 五，；强汪妇 ， u t ( ) 渤二执( t ) 弱瓤五。( o ，t ；铲扫) ) ， “( e ) 0 ) 气t t t t ( t ) 弱如工( 0 t ；k + ( u ) ) ， 当_ + 0 。显 t ( ) _ 妒( ) 强讯工2 ( ) 。u t ( t ) _ 妒( v ) 强i ny 蠢) ，幽t _ 0 1 4 其中 其中 圆焉数“( 亡) 满足下蕾二维簇亮方程蛀 zu m ( t ) m 以匆+ 上n 邮”( 。) ，m ( 啪口( 叼) 圻i 如 + zz “脚。8 一r ) ，u 寸) ) ，筇( 彩鼬 = fp l ( t 鲰西由，v 寸和) u 辩) = i ( 确蛾域蚶) + 鼬秘，q ) 为了讨论k o i t e r 壳与弯嵬的关系，考虑阅斌 驻及定瓣条件 上u m 彩西酶+ s z “浙( o ) ，( * ( 嵌秭口( 肄) 娟匆 + zz。m阳他一r)，10( “( 州t ) ) 一( 即) 彬渤打) + 。“p ”o f ) ，( ( 8 ) ( t ) ) 口( 即) 徊”打 j u jj + 蔷 z 扩胁固) 如，缸( 国弛8 ( n ) v 磊d u + z z 。n m 鼬 一r ) 雎，( “( 州r ) ) 儿一( 叼) 以勋函打 一f 。矿( ) ( t ) 啦v f a d 9 ，v ，7 u ( ) ， ( 1 3 1 1 5 ) 非：= 互1 ( 。艄嘲十雌m 肌姒州扩s ) ) 缸啦) ( 毫f 0 ) 竺g 轳晤) ( 掣) ，撕忙) ( 暑，0 ) ；妒和) 国) ，( 1 3 1 6 ) 篙裟凇 姒， 霸# 】有魏下懿k o i t e r 壳毒鸯宠静关系定壤 意理4 3 1 假设v _ f ) ：= 叼旧k ) ，p m ) 一0 i n 【，) 乒f o 且存在与 无关的函数 ，( t ) 工。( o ，北舻( ) ，琏( t ) el “( o ，t ；l 2 ) ) 使得 ，( s ) 转) ( 群。) = 2 ，( # ) 澎) ，￥霉q 昱碡 苎) 嵇) ( 譬，圭s ) = 轳毳茎( 螃( 攀，主1 ) ，￥誓甜， 稿妒( ) ( 彩磙和) ，母( ；( 蓟l 2 和) 满足( 1 3 1 7 ) ，又最莽囊 ，芦国竞分兜灌使褥8 馨) 伊【0 o 。) 且 ( o ) 0 ，p ( o ) 0 ，令u c e ) c t ) 为( 1 3 1 5 ) - ( 1 3 1 7 ) 的解则 口j 存在函数u ( t ) 工。( o ，t ；u ( u ) ) 满足 牡转) 辞立程# ) 弱讯姜o ，z ；礁和) ) ， t ( ) 土t ( t ) 弱+ i n l ”( o ，? ；l 2 ( w ) ) u ( s ) ( t ) _ ! 。t “t ( t ) 弱+ i n l ( o ，t ；v k + ( 叫) ) ， 叠$ _ 0 。呈 t i ( t ) 一。强i n 占2 ( f o ，( ) 一审江) 强i n + ，当t 一0 例函数u ( t ) 工。( o ，t ；) ) 且满足二维弯壳方程蛆 互* m 螃掰西西+ - - ；五a 4 鼬唾璐r # 抟) ) 轴p 垂疗再妇，甜。p 甜 + ；上j ( n m 如7 。一r ) 舳t 似p ) ) p a 口( q ) 、i 魂，d 丁 = 7p i ( t h 徊弘协7 y 扣) ， 羹中 却) = 趴1 1 ，讯) 如s + l ( ) + 砭( ”1 ) ) l 。4 摹线性f u l lm a r g u e r r e - v o nk d r m t n 意壳方獠缀 考虑具有记忆性的非线性f u l lm a r g u e r r e v o nk h r n 血n 扁壳动力学方程缎令u 为融中具 有光滑边界龇一r = r o ur 1 的有舁区域，日g 3 徊，r ) 且散口= 0 0 n r ，假设p o n f l = 0 鼠 秘# 。彝量p 一嗽，毪) 霉l l7 一一地，毪努剿寝暴莲壤逮界戆萃整终法建慧穰单整正彝壤浆 赣令函数”和向量函数t ；( “，”) 分别表示依赖与变量( 一) 及t 的纵向饿移和横向位穆，我 们的非线性粘弹性m a r g u e r r e - v o nk t l r m d n 模激如下： “”0 ) d i v n ( t ) 一0i nc | ( o ，0 0 ) ( 1 4 1 ) ， 链 7 ( 蚌一7 t 8 ) + 2 凹吉) + a 27 ( s ) 姆。( # ) d s d i v l n ( o v ( o 十 8 ) ) = oi n 埘o ，o o ) ， j 0 c l 。莲，2 菇中 转) ：= o 江8 ) ) 十，( 窜猡瓣) ) ) 一s ( w ) l + ? 矿s ) e ( o ( s ) ) + s ( v ( o + t o 姆) ) ) 一f ( w ) l d s ， ，0 0 j 0 1 6 d i v 与d h 分别表示矩阵与向量的向量值散度与标量值散度，( s ) 一 ( 亡一8 ) ，表示关于时间 变量的导数，- y 0 依赖于壳厚度的常数g ( f ) 与 ( t ) 为松弛函数不失一般性，我们不妨假设 g ( 0 ) = 1 ，h ( 0 ) = 1 现对出现在n ( t ) 右端的符号作一说明c 是一映2x2 的对称矩阵空间m 到其自身的映 射，其定义如下 c ( 4 ) 。南。) 1 + ( 1 一p ) 。 ，v a 5 m ， 其中i 为单位矩阵，t r ( r 表示矩阵口的迹d 0 是壳的密度，e 0 表示材料的y o u n g 模量， p ( 0 p ) 为其p o i s s o n 比此外，e ( u ) = ( v u + v u 7 ) ，而非线性函数，：r 2 一m 定义如 下，( s ) 一 s os ，v s r 2 注：矩阵n ( t ) 是对称的，这性质在下面的讨论中将多次用到 该方程组的初始及历史条件为 iu ( o + ) = u 0 ，u ( o + ) = u 1 ，叫( o + ) = 护， ( o + ) = l u li n u ， ( 1 4 3 ) iu ( s ) = 口( s ) ，加( s ) = x ( s ) ，一o o s 0 ， 其中 ( d ( s ) ，毋( s ) ) 工( 一。，0 ；h 2xh 1 ) ， ( x ( s ) ，x 0 ) ) l ( 一o o ，o ；h 3 h 2 ) 符号工表示工。空间中，存在常数于，当s 0 ，1 4 ? ) 系统的”能量”必须被适当定义全部能摄由两部分组成，一部分包括龄前时刻的动能和应 交托，掰一部分包括掰吏应变能为构造熊蛩泛面，首先将方程组( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 和( 1 4 5 ) 改写 成如下形式 i -，1 鞲卜掰7 卜烈喇) 十0 搀湫扣) ) q 和叫划龇( o 渖) ， ( 1 4 8 ) lj j ，0 0 ”( t ) 一叮”( t ) - i - h o o a 2 ( t ) 十a 2 ( 8 ) m ( s ) 一w ( t ) d s j 0 曲 p ) + p m 勘_ c ( 呻) ) 】叫v ( ) ) 一。m 圳啉 ( 1 + 硅。9 ) fk 鼬+ z ”搀) 隆嗨) ) 删叫一8 一卧鹣峨 * 鼓”+ 嚣t f o a 。h i ( s ) 融。( s ) 一”( 嘲出一。o n nx 溉。) ， ( 1 4 1 0 ) 【 。鳓”( f ) 一1 机”( t ) + 如上( 圳( s ) 一w 】妇= 。n f ，( 。，o 。)