（光学专业论文）Λ型能级系统量子相干瞬态特性研究.pdf

摘要 摘要 本文以量子力学及电磁诱导透明( e l e c t r o m a 弘e t i c a l l yi n d u c e dt r a n s p a r e n c y - e i t ) 相关 实验研究为基础，对作用场及原子能级体系进行综合分析，建立了人型三能级系统及 准a 型四能级系统模型。通过求解相应的密度矩阵方程，研究了e i t 形成及单窗口e i t 向双窗口e i t 的转换过程，探讨了两种e i t 系统的光开关特性，取得了创新性研究成果。 值得指出的是，本文所进行的密度矩阵方程求解，未采用常用的微扰理论求解，所得结 果适合于任意作用场情况。 首先对双场作用下的a 型三能级系统e i t 瞬态特性进行了系统研究。该系统的瞬 态探测吸收曲线表现为一种量子拍频衰减振荡形式。分别讨论了不同探测场频率处的瞬 态吸收随耦合场和探测场r a b i 频率的变化规律。从理论上证明了缀饰态章动信号频率 只与探测场r a b i 频率有关，而高频的拍频信号只与耦合场r a b i 频率有关。 随后研究了外加射频驱动场作用下的准人型四能级系统相干瞬态特性，通过求解 系统的含时密度矩阵方程，研究了系统从单窗口e i t 向双窗口e i t 的转换过程。该过程 亦表现为量子拍频衰减振荡形式，并利用缀饰态理论很好的解释了量子拍频的变化规 律，指出这种量子拍频效应源于r f 驱动场所引起劈裂能级间的量子相干。当探测场与 相应的裸态跃迁能级共振时，拍频频率等于r f 驱动场r a b i 频率的二分之一；当探测场 与强r f 驱动场所导致的缀饰态能级跃迁共振时，拍频频率等于r f 驱动场的r a b i 频率。 在上述研究的基础上，本文对朗j ；f 中a 型系统的光开关特性进行了研究。结果表 明，采用方波脉冲序列光学耦合场或r f 驱动场，厮中人型系统都可以实现对探测光波 场的光开关作用；两者均有一定优势，人型三能级系统的光开关速度高于准人型四能 级系统，而准人。型四能级系统的开关深度明显大于人型三能级系统。两系统的光开关 速度和开关深度会随着耦合场或r f 驱动场r a b i 频率的增大而增大。本工作可为光开关 器件的实验研究提供理论参考。 关键词量子光学；电磁诱导透明；光开关；相干瞬态；缀饰态 a b s t r a c t a b s t r a c t o nt h eb a s i so fq u a n t u mm e c h a n i c sa n de x p e r i m e n t so fe l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e d t r a h s p a r e n c y ( e i t ) ，aa - t h r e e l e v e ls y s t e mc o n f i g u r a t i o na n daq u a s i c - 人一f o u r - l e v e ls y s t e m c o n f i g u r a t i o na r ec o n s i d e r e di nt h i st h e s i s b yn u m e r i c a l l ys o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n so fm o t i o no ft h ed e n s i t ym a t r i x ，t h et i m e - d e p e n d e n tp r o b er e s p o n s eo fa ne i t a n da s i n g l ee i tw i n d o wt od o u b l ee i tw i n d o w sa r es t u d i e dt h e o r e t i c a l l y a n db a s e do nt h e m ，t h e o p t i c a ls w i t c h i n gp r o p e r t yi nt h ea b o v eb o t hs y s t e mc o n f i g u r a t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d i ti s w o r t h n o t i n gt h a tt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yu s e dc o m m o n l yi ns o l v i n gd e n s i t ym a t r i xe q u a t i o ni s n o te m p l o y e di nt h i st h e s i s ，t h u st h er e s u l t sf i ts i t u a t i o nw h i c hf i e l dh a sa n ys t r e n g t h f i r s t l y , t h ec o h e r e n tt r a n s i e n tp r o p e r t yo fa l le i t i na - t h r e e l e v e lc o n f i g u r a t i o ni ss t u d i e d c o m p r e h e n s i v e l yi nt h i st h e s i s t h e r ei sac o h e r e n tt r a n s i e n tp r o c e s sw i t hh i 曲q u a n t u mb e a t s i nt h ea b s o r p t i v es p e c t r a t h e n ，t h ee i tt r a n s i e n tp r o p e r t i e s 讲md i f f e r e n tp r o b ef r e q u e n c i e s a r e s t u d i e da sf u n c t i o no fr a nf r e q u e n c yo fb o t l lc o u p l ef i e l da n dp r o b ef i e l d i ts h o w st h a t t h ef r e q u e n c yo fd r e s s e ds t a t eq u a n t u mb e a t si sm a i n l yd e t e r m i n e db yt h ec o u p l ef i e l d ，w h i l e t h ef r e q u e n c yo fd r e s s e ds t a t en u t a t i o ni sm a i n l yd e t e r m i n e db yt h ep r o b ef i e l d s e c o n d l y ，t h ec o h e r e n tt r a n s i e n tp r o p e r t yo fa ne i ts u b j e c tt o ar ff i e l dd r i v i n ga h y p e f f m et r a n s i t i o nw i t h i nt h eg r o u n ds t a t ei naq u a s i - 人- f o u r - l e v e lc o n f i g u r a t i o ni ss t u d i e d ， a n dat h e o r e t i c a ls t u d yo ft h et i m e - d e p e n d e n tp r o b er e s p o n s eo fas i n g l ee i tw i n d o wt o d o u b l ee i tw i n d o w si sa l s om a d eb yn u m e r i c a l l ys o l v i n gt h ee q u a t i o n so fm o t i o no ft h e d e n s i t ym a t r i x t h e r ei sa l s oac o h e r e n tt r a n s i e n tp r o c e s sw i t hh i g hq u a n t u mb e a t s t h i se f f e c t c a nb ee x p l a i n e du s i n gt h ed r e s s e ds t a t ef o r m a l i s m t h eq u a n t u mb e a t sr e s u l tf r o mq u a n t u m c o h e r e n c ee f f e c tb e t w e e nt h el e v e l sd r i v e nb yr ff i e l d t h er e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h ep r o b e f i e l di so nr e s o n a n c ew i 【t hab a r e s t a t et r a n s i t i o n , t h eb e a tf r e q u e n c yi so n e - h a l fo fr fr a b i f r e q u e n c yi nt r a n s i e n ta b s o r p t i o nr e s p o n s e w h i l et h ep r o b ef i e l di s o nr e s o n a n c ew i t l la d r e s s e d s t a t et r a n s i t i o n , w h i c hr e s u l t sf r o mt h ea t o ms y s t e mi n t e r a c t 奶t hs t r o n gr ff i e l d ，t h e b e a tf r e q u e n c ye q u a l st h er fr a b if r e q u e n c yi nt r a n s i e n ta b s o r p t i o nr e s p o n s e f i n a l l y , t h eo p t i c a ls w i t c h i n gp r o p e r t yi nt h e 人一t y p ec o n f i g u r a t i o nt h r e eo rf o u rl e v e l s y s t e mi ss t u d i e d o p t i c a ls w i t c h i n go ft h ep r o b ef i e l dc a nb ea c h i e v e db ya p p l y i n gap u l s e d c o u p l i n gf i e l do rr ff i e l da n db o t ho ft h e mh a v et h e i ro w na d v a n t a g ei n 人s y s t e m t h e s p e e do ft h eo p t i c a ls w i t c h i n go ft h r e e l e v e ls y s t e mi sm u c hf a s t e rt h a nt h a to ff o u r - l e v e l i i a b s t r a c t s y s t e m ，w h i l et h ed e p t ho ft h eo p t i c a ls w i t c l l i n go ft h el a t t e ri sm u c hl a r g e rt h a nt h a to ft h e f o r m e r t h es p e e do fo p t i c a ls w i t c h i n go ft h et w os y s t e m sc a nb ei n c r e a s e db yi n c r e a s i n gr a b i f r e q u e n c yo fc o u p l i n gf i e l do rr ff i e l d 1 1 坨r e s u l t sw i l lp r o v i d eb e n e f i t sf o re x p e r i m e n t r e s e a r c ho f o p t i c a ls t i t c h i n ge q u i p m e n t k e yw o r d sq u a n t u mo p t i c s ；e l e , c t r o m a g n e t i c a l l y i n d u c e d s w i t c h i n g ；c o h e r e n tt r a n s i e n t ；d r e s s e ds t a t e i i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说 明并表示了致谢。 j 作者签名： 三键1 日期：型年上月堑日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口。，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：年月日 日期：年月日 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为们刎绣号。祈奸嘞巧殇研移 的学位论文，是我个人在导师( 燃) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：互键日期：卫年上月卫日 作者签名：至壁日期：堑l 年月卫日 导师签名：肇碰型垒l 一目期：。趔牡年互月崖二日 第1 章引言 第1 章引言 电磁诱导透明( e l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e dt r a n s p a r e n c y - e i t ) 是光与物质相互作用过 程中表现出来的一种奇特的非线性效应，是相干电磁场与多能级原子系统相互作用导致 原子态间量子干涉的结果。研究e i t 特性随相干电磁场及能级系统参数变化的规律，进 一步揭示量子相干的物理机制，已成为近年来量子光学领域的研究热点。电磁诱导透明 在量子信息存储【l 】、量子计算圈及高分辨激光光谱等领域有巨大的潜在应用价值。不仅 如此，人们将e 1 t 原理应用于无反转激光( l a s i n gw i t h o u ti n v e r s i o n - - - l w i ) t 3 1 、非线性效 应增强( e n h a n c e m e n t o fn o n l i i l e a rp r o c e s s e s ) 1 4 、无吸收折射率增强【5 1 、电磁诱导聚焦 ( e l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e df o c u s e l f ) t 6 1 、光群速减慢( “慢光) 【7 】等研究，并取得了 丰硕的研究成果。因此，电磁诱导透明研究不仅具有重要的理论意义，而且是许多热门 应用性研究课题的基础。 1 1 电磁诱导透明( e i t ) 效应 当一束相干电磁场作用于介质原子的一对跃迁能级时，介质对入射场在其共振频率 处吸收最大。若此时在上述跃迁能级之一与另外的原子能级之间再加入一个较强的相干 场( 称之为耦合场，原来的场称为探测场) ，当耦合场与探测场满足一定条件时，介质 对探测场的吸收在原吸收峰的位置会出现一个凹陷，即该原子系统在共振频率处对探测 光的吸收减弱甚至消失，这种在电磁场的作用下使原来不透明的介质变得透明的现象就 称为电磁诱导透咧4 1 。通过对不同介质中e i t 特性的研究，发现e i t 本质上是相干电磁 场与多能级原子系统相互作用导致原子态间量子干涉的结果，即用相干的电磁场，将原 子的两个能级状态相耦合而形成新的量子叠加态。新的能级状态与原子的本征能态相 比，在光的吸收和色散等特性上发生微妙的变化，从而导致介质对弱探测光的吸收和折 射率都发生了很大的变化。 外场中的三能级原予系统是研究光与物质相互作用的重要模型，包括人型、y 型 和级联型的三能级系统。特别是人型三能级系统，称之e i t 系统。在e i t 系统中，当 耦合场和探测场与对应的能级跃迁共振时，便会自动满足双光子共振条件；而当耦合场 河北大学理学硕士学位论文 与相应的能级跃迁近共振作用时，e i t 出现的条件是探测场的频率失谐与耦合场的频率 失谐相等；并且e i t 特性随作用场、能级参数不同而有所不同。所以研究外场作用下的 三能级系统稳态及瞬态变化过程，揭示其物理本质，对相关应用研究的深入也具有举足 轻重的作用。 1 2e i t 效应的应用 e i t 作为量子光学领域新的研究课题，不仅具有重要的理论意义，而且以e i t 为基 础的应用研究也因具有广阔的应用前景而倍受关注。e i t 的应用已延伸到非线性光学、 原子和分子物理以及信息存储等领域。 e i t 效应的最重要的应用之一就是无粒子数反转激5 七( l w i ) t 3 1 。我们知道，传统获得 辐射光放大的条件是辐射能级间的粒子数反转。因为受激吸收和受激辐射同时存在，只 有粒子数反转才能使受激发射大于受激吸收。而e i t 效应的存在使原子系统在不形成粒 子数反转的情况下，仍能实现激光发射。 e 1 t 效应的无吸收特性可用于非线性过程的增强【4 】。许多非线性过程要经受二次吸 收，而非线性过程产生的辐射通常都很弱，因此，吸收的影响很明显。而e i t 效应是在 耦合场的作用下，使介质对探测光的吸收减弱，甚至透明。利用这一性质可以使原来由 于共振吸收而难以实现的非线性过程得到增强。例如，由混频过程产生的辐射，与另一 跃迁能级所加的较强的耦合场满足双光子共振时，形成e i t 效应，使介质对该辐射输出 的吸收为零，这样就大大地提高了该混频过程的输出。 利用e i t 效应导致的介质对探测光的无吸收和折射率增强的特性，还可以实现电磁 诱导聚焦( e l c c t r o m a g n c t i c a l l yi n d u c e df o c u s s i n g - e i f ) 旧。激光光束的强度呈高斯分布，当 探测场光束的束腰与耦合场的束腰匹配时，探测吸收在光束的中心形成透明e i t ，同时 探测场的色散特性随耦合场的强度有一个分布。也就是，当探测场经过耦合场作用的介 质时，由于耦合场的强度有一定的空间分布，使得探测场经过介质时的折射率随耦合场 强度变化有一定的空间分布，其对探测光的作用相当于一个透镜【6 8 】，使光束会聚。通过 改变探测场的失谐，可以使系统等价于不同性质的透镜，中心频率处的耦合场越强，e l f 会聚光束的能力越强。 由于e i t 效应反映介质对探测场的吸收特性，伴随e i t 的出现，探测场的色散曲线 第1 章引言 也将发生急剧变化，因此，介质在对应的探测场共振频率附近折射率的变化率非常大， 从而导致探测光的群速减慢。 1 9 9 5 年，美国斯坦佛大学电子工程系的h a r r i s 小组【9 】首次观测到光群速减慢为 c 1 6 5 ，德国h a n n o v e r 大学研究小组【1 0 】贝i j 于1 9 9 6 年使光速减慢为c 3 0 0 0 。而1 9 9 9 年， 美国哈佛大学应用科学学院的h a u 小组【l l 】在( ( n a t u r e ) ) 上向世人宣布：人们可以将光速 降至1 7 m s ，2 0 0 1 年，h a u 小纠1 2 】在钠的冷原子蒸汽中实现了光群速停止，紧接着，美 国哈佛大学斯密松天文台的l u k i n 小组【1 3 】在热的铷原子蒸汽中也实现了光停止。由于电 磁感应介质在一定的条件下，具备光脉冲存储，以及群速波前超前传播的特性，所以 e i t 特性有可能被应用于未来的全光通信、量子通信和量子计算机等新一代信息技术上。 1 3e i t 的研究现状 上世纪7 0 年代，qo r r i o l s 1 耷1 刀和c r s t r o u d 1 8 1 两研究小组预言：在强耦合光的作 用下，介质对光的吸收会减弱，此时并没有提出电磁诱导透明的概念。直到1 9 8 8 年俄 罗斯科学家k o c h a r o v s k a y a 1 9 1 ，以及1 9 8 9 年美国斯坦佛大学的s e h a r r i s 1 8 】，j 、组在各自 发表的研究论文中从理论上预测了该现象的存在，但他们最初的研究目标均是要实现无 反转激光。1 9 9 0 年，美国斯坦佛大学的s e h a r r i s 研究小组首次定义了电磁诱导透吲4 】 的概念，随后于1 9 9 1 年，在s r 原子的人一型能级系统中【2 0 】，采用耦合一探测方法，探测 到了相干电磁场通过介质后透射增强的现象。实现e i t 的物理条件就是探测场和耦合场 能够满足双光子共振( 或者r a m a n 共振) 。 早期的e i t 实验都是在气体( 原子蒸汽) 介质中实现的，如p b 、n a 、r b 的原子蒸 汽和氢【2 l 】等。近年来，人们更加关注于固体介质中e i t 的实现。因为相对气体介质而言， 固体介质具有高密度、不扩散和方便使用等优点。这对于e i t 及其相关效应的应用具有 重要意义。 1 9 9 7 年，z h a o 等人首次在红宝石晶体中观察到e i t 效应【2 2 】。随后，i c h m u r a 2 3 】等在 p p ：y 2 s i 0 1 2 中实现了e i t 效应的观测，h a m 还对其中e i t 引起的四波混频的增强【2 4 1 、 光数据的存饼2 5 , 2 6 1 、射频( r f ) 驱动场引起的增益和谱线窄化效应等进行了一系列研 究。f a i s t 2 9 】等在半导体异质结构材料中观察到了双量子阱结构的f a n o 干涉效应。从理 论上看，许多离子搀杂的晶体介质可能更适合产生e i t 效应。 河北大学理学硕士学位论文 另一个在固体介质中实现e i t 的是澳大利亚国立大学的w e ic 研究小组。1 9 9 9 年， 该研究小组利用金刚石中添隙氮原子与碳原子空位组成的色心缺陷( n i t r o g e n - v a c a n c y e o l o u rc e n t e r ) ，采用电子自旋共振( e s r ) 频率代替光学频率，在金刚石色心介质中实现了 e r r 效应的观测，并对人一型三能级系统中e r r 的光谱特性进行了实验研究，得出e i t 的最小线宽由基态精细结构能级线宽决定的实验结论。不仅如此，他们还通过在e i t 系 统中外加第三个相干场一r f 驱动场使e i t 产生动态s t a r k 劈裂，观察到了双、多窗口e i t 【3 0 ，3 。使e i t 的实验研究取得突破性进展。采用射频一光学双共振的r a m a n 超外差光学 技术，提高了测量精度。这对e i t 特性及应用研究具有重要意义。 综观近年来的研究现状，国内外有关外场作用下的双能级、三能级或者由此衍生的 准人一型四能级原子系统的稳态研究报道甚多f 3 2 - 4 4 ，而对于系统的相干瞬态特性研究的 较少【4 “9 1 。迄今为止，在二、三能级系统的瞬态研究中，人们已经发现了许多在稳态情 况下不存在的极其丰富的物理现象，例如瞬态无粒子数反转放大【5 仉蜘，自由感应衰变 s s , s 6 1 ，以及近几年较为热门的e i t 瞬态过程研究等【5 7 删。w e ic 等人采用射频一光学双共 振的r a m a n 超外差光学技术，首次在实验上得到了强泵浦场和强探测场共同作用下的 矿一型三能级系统的相干瞬态吸收曲线，并在不同的外加场条件下发现了两种新型的类 似但不同于双能级系统中出现的章动信号，分别称之为缀饰态章动信号和动态s t a r k 劈 裂章动信号【6 2 - 6 4 。结果表明，当泵浦场和探测场均为强场时，二者均对系统的相干瞬态 变化过程产生明显影响。文献 4 5 以w e ic 小组的实验结果【6 5 】为参考，对强场作用下的 y 一型三能级系统的相干瞬态特性进行了理论研究。结果表明，缀饰态共振频率处的瞬 态吸收曲线呈现为带有量子拍频调制的章动变化，且拍频频率正好等于耦合场的r a b i 频率，而章动频率等于探测场r a b i 频率的2 2 倍。文献 4 6 着重研究了梯型三能级系 统中作用场r a b i 频率、弛豫速率对瞬态特性的影响，探测吸收曲线随时间呈减幅衰减 震荡。山西大学的姚景芹研究小组，首次报道了n 一型四能级系统的瞬态吸收特性1 4 7 1 ， 瞬态吸收呈现为经弛豫振荡向稳定吸收转换的过渡过程。 1 4 本论文的主要工作 本论文对均匀展宽的a 型三能级和准人型四能级系统e i t 的瞬态特性进行了理论 研究，探讨了外加驱动场对多能级系统e i t 效应的控制和影响，分析了两系统的光开关 4 第1 章引言 特性，得到了有意义的结果。对量子相干瞬态特性的实验研究及相关应用研究具有一定 参考价值。 e i t 相干瞬态特性研究不同于稳态特性研究。在稳态特性研究中，可以将探测场作 为弱作用场进行微扰处理。而在e i t 相干瞬态特性研究中，e i t 的相干瞬态的规律性与作 用场强度紧密相关，探测场也不可以作微扰处理。在本文的研究中，首先对人一型三能 级和准人型四能级系统进行规律性分析，巧妙的对系统密度矩阵方程进行精确求解， 给出任意r a b i 频率作用场参数下的系统稳态解，以此作为系统的初始条件，由此研究a 一 型三能级和准人型四能级系统的e i t 瞬态特性。 缀饰态理论是研究强相干电磁场与能级系统相互作用的有力工具，它可以形象地给 出强作用场与能级系统相互作用所产生缀饰态能级的频率位置、相干瞬态过程的拍频频 率等参数。所以在本研究中，所得结果均采用缀饰态理论给以合理解释，以验证研究结 果的正确性。 河北大学理学硕士学位论文 第2 章理论基础 e 1 t 的理论研究通常是通过求解相应的密度矩阵方程 6 6 - 6 引，研究e i t 特性随作用场 和能级系统参数的变化规律，以及e i t 的形成机理。本章依据相干电磁场与原子系统相 互作用的哈密顿量，考虑到系统能级间的布居衰减、碰撞弛豫以及非相干抽运等弛豫过 程，得到系统的密度矩阵方程组。通过求解系统的密度矩阵方程，得到与探测场相关的 非对角矩阵元，该非对角矩阵元的虚部和实部非别对应于系统对探测场的吸收和色散特 性。本章中，以二能级系统为例，依据相干电磁场与原子能级系统相互作用及量子力学 原理，建立相干场与原子系统相互作用的密度矩阵方程，最后介绍了缀饰态理论。 2 1 量子力学的密度矩阵理论 2 1 1 系统的密度矩阵方程 设一个量子系统( 例如一个原子) 处于量子态s ，我们可以用波函数k 来描述该系 统的物理特性。波函数满足薛定谔方程： 统翌掣；她：( 成+ 嘲也 ( 2 1 1 ) 研 其中，疗为系统的总哈密顿算符。表示无外场作用下的自由原子哈密顿量及原子与 外场的相互作用哈密顿量之和。其中，直。为自由原子的不含时哈密顿量算符，另一项 矿( f ) 是时间t 的函数，描述量子系统中原子与场的相互作用项。 为了更清楚地理解波函数t ( 尹，t ) 随时间的变化，将其展开为一系列裸原子能量本征 态的叠加，那么，s 态波函数可写成： _ ( _ ，f ) = c ( 尹) ( 2 1 2 ) “。( 尹) 是不含时的薛定谔方程的本征解： h o u 。( 尹) = e 。“。( 尹) 而且，对标准正交体系，应满足 卜轨( y ) d 3 r = 以。 6 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第2 章理论基础 展开式系数c ：( f ) 是t 时刻原子处于s 态的几率振幅。由此可知，波函数七g ，t ) u 时间的展开可以通过展开系数a ( f ) 随时间的变化给出。将( 2 1 2 ) 带入薛定谔方程( 2 1 1 ) 得到： 访；学) = ；啪痢) 叫) 方程两边均包含了对系统所有能量本征值的求和。为了简化方程，在上式两边同时 左乘“( 尹) 并对整个空间积分，利用正交条件( 2 1 4 ) ，同时定义： h 。= p ( 芦) 也。( 尹) d 3 ， ( 2 1 6 ) 则有： 访丢c 托) 2 ；日一g ( 2 1 7 ) 该方程等同于薛定谔方程，只是写成了几率幅度q ( f ) 的形式。 任何可以测量量a 的期望值可以通过系统的波函数求得： 也i 么l e ( 2 1 8 ) 表示a 的期望值的平均值。利用( 2 1 2 ) ，期望值 也可表示为几率幅c ：( f ) 的形式： - 凹g ( 2 1 9 ) 这里，引入了算符j 的矩阵元彳。： a 。= - l 二j “。d 3 ， ( 2 1 1 0 ) 只要知道了系统的初始态和哈密顿量，利用上述公式就可以描述系统随时间的变化 及其特性。然而，有些情况下系统的准确状态是未知的。例如原子蒸汽中，原子间的碰 撞过程随时存在，每次碰撞都会改变波函数。在原子系统的精确状态未知的情况下，可 以采用密度矩阵方程对其进行统计描述。用p ( s ) 表示系统处于s 态的几率，定义原子系 统的密度矩阵元为： p 。= p ( s ) 钟a ( 2 1 1 1 ) 此式可表示为：岛m = c 二c 。，这里，上划线表示对所有可能的系统状态求平均。下 脚标雅，t r t 取系统所有的能量本征态。 河北大学理学硕士学位论文 密度矩阵元具有以下物理意义：对角矩阵元给出系统处于量子数为甩的能量本 征态的几率；非对角矩阵元m 反映能级咒和m 之间的相干性，从某种意义说，只有当 系统处于能量本征态n 和m 的相干叠加态时，才不为0 。 密度矩阵可用于计算任何可观测量的期望值。已知系统的物理量a 处于s 态的期望 值f l 了( 2 1 9 ) 式给出，则无需准确知道系统的所有量子态，即可得到a 对整个系统的平均 期望值： _ p ( s ) 簖a ( 2 1 1 2 ) 上式还可写为： - p 栅彳肼。 因此，可以由密度矩阵直接确定任何可测物理量的期望值。为了得到期望值随时间 的变化规律，只要知道密度矩阵随时间的变化即可。将方程式( 2 1 1 1 ) 对时间求导得： 小, 蜮d t ：c ：+ 砂孵d 协c _ a + 等c ：) ( 2 1 1 3 ) 设p ( s ) 不随时间变化，则第一项为0 ，利用薛定谔方程的几率幅形式( 2 1 6 ) ，得到： 芘2 军p ( j 嗉军( q g + 日一一簖g 日删) ( 2 1 1 4 ) 对y 进行求和，并利用对易关系，得到： 氏= 寺；( 一h 。，) = 一寺 膏，纠删 ( 2 1 1 5 ) 方程式( 2 1 1 5 ) 最p 为总哈密顿量为宜的系统的密度矩阵运动方程。 2 1 2 弛豫过程的修正 上述的密度矩阵运动方程只描述了相干电磁场与原子系统的相互作用，未考虑能级 间的辐射衰减、原子间的碰撞弛豫过程等的影响。要想准确地反映场与原子系统的相互 作用，还须在上述密度矩阵方程中唯象地引入衰减项进行修正： 户。= 一 疗，声】删一7 删( 堋一p 三) ( 2 1 1 6 ) n 上式中的第二项是唯象地引入的衰减项，表示岛。以弛豫速率厂。向平衡态熊的过 渡。y 。称为相干失相速率，且y 。= y 删。另外，在热平衡状态下，激发态可能有粒子 r 第2 覃理论基础 布居，即：藤0 ；而热激发是一个非相干过程，不可能产生原子态的相干叠加，因此， 当，l m 时，熊= 0 。 本论文采用以下方法引入衰减项：非对角矩阵元的衰减与上述相同，而对角矩阵元 项的衰减由原子布居从高能级到低能级的衰减表示。密度矩阵的运动方程为： 户栅= 一 日，声】册- y 拥j d 棚 咒m ( 2 1 1 7 ) ，l 磊= 一言瞳，p 】肼- i - r 朋加一r 删m ( 2 1 1 8 ) e _ e -e e _ 这里，r 删为原子从刀能级到朋能级的衰减速率。是相干项砌的相干失相速率。 非对角矩阵完的衰减与对角矩阵元的衰减速率有关，在一般情况下，有： y 棚= 丢( l + r 埘) + y 耐 ( 2 1 1 9 ) l 和r 肼为粒子从n 或朋能级向其它能级衰减的总衰减速率： l = r 肼 ( 2 1 2 0 ) e ； y 栅c o l 称为偶极失相速率，是由与粒子数转移相关的过程( 如弹性碰撞等) 引起的衰 减，又称特征失相速率。本文所讨论的均为理想系统，不考虑偶极失相速率，即7 舞= 0 。 在这种理想情况下，相干失相速率为： ：丢( l + l ) ( 2 1 2 1 ) 2 1 3 密度矩阵元与原子的极化率 密度矩阵元与某些可测量量如粒子数、吸收和色散系数等存在一定关系，可通过密 度矩阵元与微观极化率之间的关系得到。介质的极化强度与密度矩阵元的关系如下【6 9 】： p ( t ) = 批 岛 ( 2 1 2 2 ) 其中，z 打为li 针i ， 跃迁的偶极矩阵元，是系统的原子数密度。该方程成立的 条件是原子本身的偶极相互作用可以忽略，否则，自身场的影响还需考虑。m 0 s e l e y 等、 人已证实了e i t 能级系统中这一条件是满足的 7 0 1 。极化强度方程为： 尸o ) = e o 箱= 占o ( z 一讶”) e ( 2 1 2 3 ) 氏是自由空间的介电常数，z 为电极化率，e 反映激发极化的光场强度。极化率z 的实部z 。正比于介质的色散系数，而虚部z ”则反映介质对入射光场的吸收特性，吸收 系数与色散系数满足k r a m e r - k r o n g 关系式。因此，当介质的吸收特性变化( 如产生e i t 等) 时，必将伴随色散特性的相应变化。 ( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 3 ) 式将微观量与密度矩阵元联系起来可表示为： 批；r e ( p u ) ，= l 一 二一嚣i m ( p u ， 4 ， 批；) y = 一_ = 一 壳占o q 甜 这里定义o , j - d r 月 e 为电磁场与能级系统相互作用的电偶极作用r a b i 频率。 由( 2 1 2 4 ) 式看出，非对角密度矩阵元班的虚部反映系统对探测场的吸收特性，而 它的实部对应色散特性。 2 2 电磁场与原子系统的相互作用 2 2 1 二能级系统的密度矩阵方程 二能级原子与单色相干电磁场的相互作用是光与原子相互作用的最简单模型，也是 研究复杂能级系统的基础。 考虑如图2 1 所示的原子系统与光波场的相互作用。二能级系统由基态能级l1 和激 发态能级i2 组成，入射相干电磁场的频率为功，则系统的哈密顿量为： h = h o + y ( t ) ( 2 2 1 ) h 。为自由原子的哈密顿量： 日oi = 点：i 甩 = 疙缈。in 力= 1 , 2 ( 2 2 2 ) y ( f ) 描述原子系统与相干电磁场偶极相互作用的哈密顿量，当该系统与频率为缈的 相干电磁场发生相互作用时，有： 矿o ，= ( 芝。台) = ( 一：二。，一1 f o ) c 2 2 3 ， 1 0 第2 章理论基础 则由( 2 1 1 7 ) 和( 2 1 1 8 ) 式得到二能级系统的密 度矩阵方程： 誓一如办- 也m + r 2 l 如 警= 如如岷一f 2 庇 ( 2 2 4 ) 导= - 彳哆- 岛f + 寺味仍：嗍) 嘞岛- i i i d ： v m ， 其中，2 i 是能级i1 和i2 之间跃迁偶极矩。 图2 1 相干场与二能级原子的作用 f 0 2 1 = 0 3 2 一q 是二能级系统的跃迁频率。r 2 1 称为纵向弛豫速率，描述高能级i2 到低能 级l1 的粒子数衰减。舱。是横向弛豫速率，也称为相干失相速率。 对于封闭的能级系统，二能级系统的总粒子数守恒，故有： 岛l + 如= 1( 2 2 5 ) 通过求密度矩阵方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 的稳态解，得到相应的密度矩阵元，给出光场 与能级系统相互作用的性质，如极化率、吸收系数、色散特性等等。 在上述二能级系统的密度矩阵方程的基础上，借鉴推广就可以得到三能级乃至多能 级系统的密度矩阵方程组，通过求解相应系统的密度矩阵方程，就可以研究相应系统的 量子相干特性。 2 2 2 旋转波近似 设入射光场为一频率为c o 的相干电磁场： e ( f ) = e oc o s c o t ( 2 2 6 ) 电磁场与二能级原子系统偶极相互作用的哈密顿量为： k ：匕。= 一“：e o c o s ( o t ：一塑譬 一枷+ e 细) ( 2 2 7 ) 其中，q 。：= 。：e 。h 是相干场与原子系统电偶极相互作用r a b i 频率，表征场与能 级系统相互作用的强度。 f l j ( 2 2 4 ) 式可知，当没有外加相干电磁场时，相干项p ：。随时间是按e 叫刚展开的。 因此，对于共振和近共振相互作用的相干电磁场功6 0 2 ，v 2 l 中的第一项e - l o x 对系统的 影响远远大于后一项e 胁的影响，所以，可以忽略作用项e 删，将场与能级系统相互作用 1 1 洞北大学理学硕士学位论文 的哈密顿量近似写成： k ：l ：一h f 2 1 _ _ _ l p 砌 ( 2 2 8 ) 这一近似称为旋转波近似( r d t a t i n 乎w a v e a p p r o x i m a t i o n - r w a ) 。 在旋转波近似下，同时引入慢变函数【7 l 】： “= d 2 l e 。耐(22p212 9 )= 见l e ( 2 9 ) 得到旋转波近似条件下，二能级系统的密度矩阵方程： 等= f - q y - ( p ：。哦) + r 2 ，如 鲁= 一譬( 耻釉如 ( 2 2 1 0 ) 鲁= ( f 嘞) p 2 , - i - q 芝- 一( p 2 ：嗍) 入射光场与能级系统的跃迁频率之差= 国一国：。称为入射场的频率失谐量。 在本文以后的各章中，相干电磁场与能级系统地相互作用项均采用旋转波近似。为 了书写方便，通常将慢变函数藏所以p 。表示。 2 2 3 二能级系统的吸收和色散特性 令力程组( 2 2 1 0 ) 的左边时l 司导数为零，解得密度矩阵方程的稳态解： 胪器端2 亿2 的 成：。瓦采2 ( 2 2 i l b ， 一譬垃掣( 2 2 1 1 c ) 密度矩阵的对角元n 。和p ：分别表示原子在低能级和高能级的粒子布居数，而非对 角元p z 给出了原子的复偶极矩p = ：。p ：。 由( 2 1 2 4 ) 式z ，、一1 0 线性极化率的实部z 和虚部y ”： 第2 章理论基础 庐警病v ：2 2 亿2 啪2 ( 2 + 尼) h ， z “_ n 毛i 忍1 2z 【1 + 2 1 ) ( p 2 2 一岛1 ) 。 。 毛忍z 【+ ) ，一2 2 ，一1 17 2 3 缀饰态理论 缀饰态是旋波近似下电磁场与能级系统相互作用的总哈密顿量的本征态。采用缀饰 态的概念，可以很方便地确定能级间所产生跃迁谱线的频率信息，从而得到简单直观地 描述外加电磁场与原子能级系统相互作用的物理图像。下面就缀饰态理论作一简单说 明。 考虑一频率为国的外加强相干作用场( 缀饰场) 作用于一双能级系统( 如图2 2 所示) 。该双能级系统 由基态1 1 和激发态1 2 组成，能量分别为壳( - 0 1 和 壳缈2 。近共振强作用场( 频率为缈) 激励i1 措i2 跃 迁( 频率为缈2 。) ，失谐量= 彩一0 ) 2 i 。该双能级系统 a 7、 c o 0 ) 2 、，、y 与作用缀饰场就构成了我们所要研究的模型。总哈密 顿量表示如下： 图2 2 相干场作用于双能级系统 日= h + h v + h _ f ( 2 3 1 ) 式中为二能级裸原子系统的哈密顿量，日，是作用场的哈密顿量，分别表示为： = h c o li1 向基态i1 跃迁时会伴随着发射一个光子的 过程；第二项描述