（光学专业论文）光波传出光子晶体波导的能量分布和金属光子晶体透射性质的研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究与光子晶体传输特性相关的问题，主要内容分为如下两部分： 第一部分：对光波穿过二维光子晶体波导后入射到均匀非耗散介质中的能量分布进行 了研究，计算发现在入射到光子晶体波导的光源相同的情况下，流经波导与介质分界面的 能量并不相同，它随介质折射率的增大而增大；另外还发现如果介质的折射率越大，那么 光波在分界面处的能量越集中在波导v i 处，并且进入到这种介质的光波能量就越集中，在 介质中传的越远。 第二部分：我们研究了光波在金属光子晶体中的透射性质。计算了特定的光子晶体结 构下，金属层的总厚度大于趋肤深度时的电磁波透射谱；讨论了透射峰所对应的光波在金 属光子晶体中的场分布以及能流密度的分布情况。我们发现，电磁场能量在银层中呈线性 衰减，其衰减程度与电磁场分布有关，银层中的电磁场相对较弱时，能量衰减较小。 关键词：光子晶体波导，能量分布，衰减度 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep r o b l e m st h a td e a lw i t ht h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so fp h o t o n i cc r y s t a l sa r e i n v e s t i g a t e d t h ef o l l o w i n gt w op a r t sa r ei n v o l v e di nt h i st h e s i s ： t h ef i r s tp a r t ：t h ee n e r g yd i s t r i b u t i o no fl i g h t w a v ep a s s i n gt h r o u g ht h ep h o t o n i cc r y s t a l w a v e g u i d e ( p c w ) i n t ot h en o n d i s s i p a t i o ns y m m e t r i c a lm e d i u mi si n v e s t i g a t e d i ti sf o u n dt h a t a l t h o u g ht h es a m el a m p - h o u s e ，t h ee n e r g yf l o w e dt h ei n t e r f a c eo fp c wa n dt h es y m m e t r i c a l m e d i u ma r ed i f f e r e n t ，i ti si n c r e a s i n ga st h eg r o w i n go ft h er e f r a c t i v ei n d e xo ft h es y m m e t r i c a l m e d i u m i na d d i t i o n ，w ea l s of o u n dt h el a r g e rt h er e f r a c t i v ei n d e x ，t h em o r ec o l l e c t i v eo ft h e e n e r g yi nt h ei n t e r f a c e ，a n dt h ee n e r g yo f t h el i g h t - w a v ec o m i n gi n t ot h es y m m e t r i c a lm e d i u mi s m o lec o l l e c t i v et o oa n dr e a c h i n gaf a rp o s i t i o n t h es e c o n dp a r t ：w ei n v e s t i g a t et h et r a n s m i s s i o np r o p e r t yo fm e t a l l i cp h o t o n i cc r y s t a l s t r a n s m i s s i o ns p e c t r u mi sc a l c u l a t e df o rt h es p e c i a lm e t a l l i cp h o t o n i cc r y s t a l si nt h ec a s eo ft h e t h i c k n e s so fm e t a ll a y e rl a r g e rt h a nt h es k i nd e p t h w ef i n dt h a tt h e r ee x i s ts e v e r a lt r a n s m i t t e d p e a k sw i t hq u i t eh i g ht r a n s m i s s i v i t y w es t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i o no ft h ee l e c t r i cf i e l d a n dt h ee n e r g y - f l u xd e n s i t yf o rt h e s et r a n s m i t t e dp e a k s w ef o u n dt h a tt h ea t t e n u a t i o no ft h e e n e r g y - f l u xm e n s i t ye x h i b i t st h el i n e a r i t yb e h a v i o ri nt h es i l v e rl a y e r t h ea t t e n u a t i o nd e g r e ei s r e l a t i v et ot h ed i s t r i b u t i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d t h el o w e rt h ef i e l di n t e n s i t yi s ，t h e w e a k e rt h ed i s s i p a t i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i ci s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d e ，e n e r g yd i s t r i b u t i o n ，a t t e n u a t i o nd e g r e e 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 】霞卜 首都师范大学学位论文授权使用声明 日期：0 8 年4 月2 5 日 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 匙艄潞吝f 京u 1 日期：0 8 年4 月2 5 日 第- 一章绪论 第一章绪论 1 1 光子晶体简介 上世纪以来，对半导体材料研制的成功而引发了一场轰轰烈烈的电子工业革命，各种 各样的电子仪器不断出现，为我们的生活增加了无尽的便利和乐趣，使得我们的科技水平 有了一个突飞猛进的跨越，人类逐渐进入了信息化时代。 随着科技的日益发展，人们对电子仪器的要求越来越高，但是电子仪器的一些缺点， 比如能耗高，相互之间的干扰大等始终无法克服。于是人们把目光转向光子领域，希望由 光子替代电子传递信息，因为光子仪器有其独特的优点：速度快，铵此间不存在相互作用。 一旦把光子技术成功应用到信息传输领域，其速度将快得无法想象。虽然我们已经把光纤 技术应用到通讯里面，但是光纤中信息的输入和输出依靠的还是传统的电子器件，而电子 器件的运行速度和光子器件的速度相比有很大的差距，这大大限制了传输的速度和效率， 所以人们大力发展光子技术以期能够控制光子的传播，使光子技术能够完全替代电子技 术，更好的为信息传递服务。 1 9 8 7 年，美国加州大学的e y a b l o n o v i t c h 教授和美国林斯顿大学的s j o h n 教授分别 在讨论如何抑制原子的自发辐射以及光子局域的问题时，各自独立地提出了“光子晶体 ( p h o t o n i cc r y s t a l ，简称p c ) ”这一概念【1 , 2 1 。他们所讨论的实质是周期性电介质结构材料 中光传播的影响问题，根据固体电子能带理论，晶体内部原子呈周期性排列，库仑场的叠 加产生周期性势场，当电子在其中运动时受到周期性势场的布拉格散射而形成能带结构， 带与带( 如价带与导带) 之间有能隙，称之为禁带，能量处于禁带内的电子是不可能存在 的。光子的情况也非常相似，如果将具有不同介电常数的介质材料在空间按一定的周期排 列，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线将呈现带状结构，能带与能带之间有 可能会出现类似于半导体禁带的光子带i 豫( p h o t o n i cb a n dg a p ，简称p b g ) 3 卅。频率落在 p b g 中的光是被严格禁止传播的。如果只在一个方向具有周期性结构，光子带隙只可能出 l 第章绪论 现在这个方向上。如果存在三维的周期结构，就有可能出现全方位的p b g ，落在带隙中 的光在任何方向都被禁止传播。这种由于具有光子带隙而对频率有选择的周期性介质结构 被称为p c 。绝大多数的p c 都是人工设计出来的，但自然界也存在p c 的例子，如蛋白、 蝴蝶翅膀等。 按照p c 中介电常数周期性排列方式的不同，通常将其分为一维光子晶体( 1 dp c ) 【刀， 二维光子晶体( 2 dp c ) 【8 1 和三维光子晶体( 3 dp c ) 【9 】。 i dp c 是指介质在一个方向上具有周期性结构，而在另外两个方向上是均匀的。将两 个不同折射率的介质薄膜交替排列便构成了1 dp c 。传统的多居膜也可以看作是1 dp c 的 例子。相对而言1 dp c 是最简单，最易于制备的。 2 dp c 是在两个方向上具有周期性的结构，而在第三个方向上是均匀的。一般把具有 周期性介电结构的平面选为x y 平面，而沿z 轴方向是均匀的。当电磁波垂直于z 轴方 向入射时可以被分解为h 极化( t e 波模，磁场沿z 轴方向) 和e 极化( t m 波模，电场 沿z 轴方向) 【8 1 ，两种极化有各自的p b g ，其重叠的部分称为绝对p b g 。2 dp c 的制作比 3 dp c 相对容易，且具备3 dp c 的某些有用的特性。因此在实际中，2 dp c 的研究是最为 广泛的。 3 dp c 是在三个方向上都具有周期性变化的结构，有可能出现完全p b g ，在完全p b g 中的光沿任何方向都被禁止传播。不过3 dp c 的制作相对来讲比较复杂，对材料的设计和 j n - r 要求也很高。p b g 处于微波波段的3 dp c 可以由机械加工的方法制作，而p b g 处于 可见光和红外波段的p c 则需要刻蚀或其他方法制作 1 0 - 1 4 l 。 1 2 光子晶体的特征及其应用 p c 的最根本特征是具有p b g ，落在带隙当中的光是被禁止传播的。在实际中我们总 是希望得到具有更宽的绝对p b g 的材料。p b g 的出现依赖于p c 的结构和介电常数的配 比，一般来说，p c 中的两种介质介电常数比越大，入射光将被散射得越强烈，就越有可能 第章绪论 出现光子带隙。影响带隙的存在和宽度还有一个重要因素：晶体的几何形状。1 9 9 0 年，美 国一个研究小组第一次成功地预言了在一种具有金刚石结构的三维光子晶体中存在完整 的光子禁带1 。 在光电子领域中我们通常希望藉助物质改变光的行为，偏光、电激发光、光学导波， 而达到对光的应用，如液晶显示器、发光二极管、光纤通信等、大部分的这些特征都是以 改变物质分子尺度内在化学性质结构达成，但光子晶体却是通过其独特的p b g 来改变光的 行为。y a b l o n o v i t c h 指出：p c 可以抑制自发辐射。我们知道，自发辐射的几率与光子所在 频率的态密度成正比。当原子被放在个p c 里面，而它自发辐射的光频率正好落在p b g 中时，由于该频率光子的态密度为零，自发辐射的几率为零，因此，原子的自发辐射被抑 制，原子的寿命就将延长。反过来，p c 也可以增强白发辐射，只要增加该频率的光子的态 密度便可以实现这点。如果在p c 中加入杂质，其p b g 中会出现品质因子非常高的杂质态， 具有很大的态密度，原子的发光频率落在这些态密度大的地方就可以实现自发辐射的增 强，原子的寿命变短【1 5 , 1 6 】。 p c 的另一个主要特征是光子局域。j o h n 提出：在一种经过精心设计的无序介电材料组 成的超晶格( 相当于现在所称的光子晶体) 中，光子呈现很强的局域性。如果在光子晶体 中引入某种程度的缺陷，和缺陷态频率相吻合的光子就有可能被局域在缺陷的位置，一旦 其偏离缺陷处光能量将迅速衰减。在理想无缺陷的完美p c 中，根据其边界条件的周期性 要求，不存在光的衰减模式。但是，一旦p c 原有的对称性被破坏，在p b g 的位置就可能 出现频率极窄的缺陷态。 p c 有点缺陷和线缺陷。在垂直于线缺陷的平面上，光被局域在线缺陷的位置，只能沿 线缺陷的方向传播。从p c 中移走一个原子，就形成一个点缺陷，点缺陷之处仿佛是被全 反射墙完全包裹起来。利用点缺陷可以将光“俘获”在某一特定的位置，光无法从任何一 个方向向外传播，这相当于微腔【1 7 1 。 第章绪论 p c 中p b g 的存在使它具有很重要的应用背景，可以制作伞新原理或以前所不能制作 的高性能器件： ( 1 ) 高性能反射镜控制光子流动的晶体 频率落在光子带隙中的光子或电磁波不能在光子晶体中传播，因此选择没有吸收的介 电材料制成的光子晶体可以反射从任何方向入射的光，反射率几乎为1 0 0 i s , 1 9 1 。而传统 的金属反射镜虽然在较大的波段内可以反射光，但在红外波段有较大的吸收。如果把这种 光子晶体反射镜用作平面天线的衬底，可以解决衬底透射的问题。 ( 2 ) 光子晶体波导【2 0 川 传统的介电波导可以支持直线传播光，但在拐角处会损失能量。而光子晶体波导不仅 对直线路径，而且对转角都有很高的效率。这对于光学器件的集成非常有意义。 ( 3 ) 光子晶体微腔 在光子晶体中引入缺陷可能在光子带隙中出现缺陷态，这种缺陷态具有很大的态密度 和品质因子。这种光子晶体制成的微腔比传统的微腔优异得多。用它制作微腔激光器，体 积可以非常小。 ( 4 ) 光子晶体光纤 在传统的光纤中，光在中心的氧化硅核传播。通常采取掺杂的办法提高其折射系数以 增加传输效率，但不用的掺杂物只能对一种频率的光有效。英国b a t h 大学的研究人员用 几百个传统氧化硅棒和氧化硅毛细管一次绑在一起组成六角阵列，在2 0 0 0 度高温下烧结 后制成了二维光子晶体的光纤。在光纤的中心可以人为地引入空气孔作为导光通道，也可 以用固体硅作为导光介质。光子晶体光纤在两个方面明显优于传统的光纤，一是它在很宽 的频率范围内支持单模运行，二是可以传输更大功率。 ( 5 ) 光子晶体超棱镜 常规的棱镜难以分开波长相近的光，而用光子晶体制成的超棱镜分光的能力比常规棱 4 第+ 章绪论 镜火1 0 0 到1 0 0 0 倍，而体积只有常规的百分之一人小。这对光通信中的信息处理有很重 要的意义f 2 2 1 。 ( 6 ) 光子晶体偏振器 用二维光子晶体制作的偏振器具有传统的偏振器所没有的优点：工作频率范围大，体 积小，易于集成，很容易在硅片上集成或在硅基上制成。 光子晶体还有许多其它应用背景，如无阈值激光器，光开关，光放大，滤波器【2 3 1 等新 型器件。随着对光子晶体的许多新的物理现象的深入了解和光子晶体制作技术的改进，光 子晶体更多的用途将会被发现。 1 3 光子晶体的理论研究方法 早期研究p c 的能带结构时，采用的是标量波动方程，发现具有面心立方结构的p c 存在p b g 。但由于光波是矢量波，其传播满足的是麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组。而求解 m a x w e l l 方程组得到的结论是：面心立方结构的p c 并没有p b g 。这些年来，p c 的理论研 究取得了一些突出的成就。下面列举几种用得较多的计算方法。 1 平面波方法( p w m ) 这是在p c 的能带研究中用的比较早和最广泛的一种方法。它是利用b l o c h 定理，把 电磁场分解为b l o c h 波的形式，并且展开为一系列的平面波叠加。最终可以把m a x w e l l 方 程组化成一个本征方程，求解本征值就得到传播光子的本征频掣2 4 。2 5 】。但是，这种方法有 明显的缺点：计算量与平面波的波数有很大的关系，如果计算较复杂的p c 结构或处理有 缺陷的体系时，需要大量的平面波数，则可能因为计算能力的限制而不能得到准确的结果。 而且，p w m 不能解决介电函数依赖频率的介质所组成的p c 的带结构，或材料损耗的情况。 为解决这个问题，人们发展出了扩展基矢法( e b m ) 【2 6 1 ，它是平面波展开法的另种表述形 式，以波矢作为本征值，而频率作为参量。 2 转移矩阵法( t m m ) 第章绪论 这种方法是将体系划分为许多单元，各个单元的场通过m a x w e l l 方程组的边界条件与 相连的单元相联系，从最初的单元出发，逐层求解，最终将m a x w e l l 方程组化为转移矩阵 的形式，同样变成求解本征值的问题 2 7 , 2 8 。t m m 对研究介电函数随频率变化的p c 很有效。 同时由于矩阵小，矩阵元少，计算量较p w m 大大降低。这种方法适用于计算p c 中的反 射率和透射率。本文第二章会对t m m 做详细的介绍。 3 时域有限差分法( f d t d ) f 2 9 3 0 这种方法直接把含时间变量的m a x w e l l 方程在y e e 氏网格空间中转化为差分方程。在这 种差分格式中每个网格点上的电场或磁场分量仅与它相邻的磁场或电场分量及上时间步 该点的场值有关。在每一时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量。随着时间步的推进， 就能直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。由于在差分格式中，被模拟空间 电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需对相应空间点设定适当的参数，对介质 的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等结构均能很容易地进行精确模拟。这种方法 计算效率比p 1 j i m 高，而且可以进行时域仿真，动态地显示光场的传播行为，因而这种方法 的应用非常的广泛。本文第二章对该方法进行了公式推导说明。 4 n 阶法 这是引自电子能带理论紧束缚近似中的一种方法，是由y e e 在1 9 6 6 年提出的时域有限 差分法( f d t d ) q h 发展来的。基本思想是：从定义了初始时间的一组场强出发，根据布里渊 区的边界条件，利用m a x w e l l 方程组求得场强随时间的变化，从而最终解得系统的能带结 构。具体做法是：通过傅里叶变换先将m a x w e l l 方程组变换到倒空间，用差分形式约减方 程组，然后再作傅里叶变换回到实空间，得到一组被简化了的时间域有限差分方程，这 样原方程可以通过一系列在空间和时间上都离散的格点间的关系来描述【3 2 】。 除此之外还有超原胞方法1 3 3 。3 5 1 ，矢量球面波方法【3 6 1 ，有限元方法f 3 7 】等。 6 第一章绪沦 1 4 论文主要工作和结构安排 前面我们提到了光子晶体波导( 光波导) 的用途，而在实际应用中，光波导是一个有 限的结构，如何更好的接收传出光波导的信号是人们最关心的问题。e s t e b a nm o r e n o 等人 利用多重散射法研究了光波导终端的界面态，发现不同的界面态对于光波的影响是不同 的，进入真空中的光波的能量以及它在真空中的分布也大不一样，通过调制光波导终端的 界面可以获得最佳参数使传出的光波增强且集中，这为更好的获取来自光波导的信号提供 了帮助。但并不是只有通过改变光波导终端的界面态这一方法才可以增强且集中传出的光 波能量，它还取决于和光波导对接介质的性质。论文第三章正是从这个思想出发，在不改 变光波导终端界面的情况下，研究了光波穿过光波导入射到不同折射率的均匀非耗散介质 中的能量分布情况。 光子晶体材料一般采用吸收较小的介电材料，而金属材料对电磁波具有很强的吸收， 尤其是在光波频谱范围内。因此，人们很少研究一维金属光子晶体的光学特性。m s c a l o r a 等人研究了金属材料制成的一维光子晶体的光谱性质，他们发现即使金属层总的厚度大于 趋肤深度，某些波长的光波仍具有较高的透过率，这为利用金属光子晶体调节光波提供了 可能。然而，他们并没有深入研究这些透射峰的成因以及影响这些透射峰的因素。论文第 四章主要研究了这些透射峰产生的原因以及影响透射率的因素，讨论了电磁波在金属层中 的衰减程度及其变化规律。 论文的结构安排如下：第二章将介绍时域有限差分法和转移矩阵法的基本原理和公式 推导；第三章给出了要研究的光子晶体波导模型，利用时域有限差分方法研究了光波传出 光子晶体波导进入均匀介质中的能量分布；第四章给出了一维金属光子晶体的模型，利用 转移矩阵方法研究了一维金属光子晶体的透射特性；第五章对全文内容做出总结。 7 第：章计算公式 第二章计算公式 2 1 时域有限差分方法 时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，在f d t d 离散中电场和磁场各 接点的空间排布如图2 1 1 所示，这就是著名的y e e 原胞。由图可见每一个磁场分量由四 个电场分量环绕；同样，每个电场分量由四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样 方式不仅符合法拉第感应定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间 相对位置也适合于麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外， 电场和磁场在时间顺序阜交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，是麦克斯韦旋度 方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运 算。因而，又给定相应电磁问题的初始值及边界条件，利用f d t d 方法就可以逐步地求出 以后每个时刻空间电磁场的分布。 互 图2 1 1f d t d 离散中的y e e 原胞 第：章训算公式 我们对电解质作如下假设：电介质是各向同性的，于是介电常数可以被看作标量； 同时还忽略了光频率对介电常数的影响，认为在我们关注的频率范围内介电常数是一个常 量；不考虑电介质的电损耗，即介电常数是一个纯实数；电介质是无磁性的，并且其中没 有电流或电荷。经过上述处理后，我们很容易得到适合光子晶体的麦克斯韦方程组： v 日= ) 百o e v 一啪筹 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 本文主要研究t - 维光子晶体波导t e 模的性质，所以研究对象为t e 模，将光子晶 体单元网格化，采用中心差分代替式( 2 ) 和式( 2 1 2 ) 中的微分，就可将m a x w e l l 方程转化 为迭代形式的f d t d 方程： 蹦+ 步1 删q 1 一面a t ! 。生1 生1 掣塑, d 11 仁m ) 血 珊咖瑚砖) 一巧a t 竺：兰! 二圭：! 二墨! 三兰：兰竺：墨：兰二兰! 。2 。4 ， ， 日：+；。，+丢，+丢，：h?c，一三兰兰!二兰掣一 硪f + 三小1 ) f ( f + 三，) ( 2 1 5 ) 如果知道了在每个离散格点上的介电常数与电磁场的初始分布，就可以根据离散了的 f d t d 时间离散步长公式( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 获得电磁场的时间演化规律。为了保证迭代 收敛得到稳定解，时间步长和空间步长的选择应满足稳定条件i 】 9 第：章讣掉公式 c 址丽菥l ( 2 1 6 ) 由于计算机容量的限制和f d t d 算法本身的特点，f d t d 计算只能在有限区域进行， 为了能模拟开域电磁过程，在计算区域的截断边界外必须给出吸收边界条件，我们利用了 关发财用的p m l 层吸收边界条件。为了使光波能够在光子晶体波导中传输，我们还需要 设定激励源，在计算中我们选择了在几何上具有一定宽度的平面波光束，这在第二三章巾 有详细的介绍。 2 2 转移矩阵法 转移矩阵方法在描述光在多层薄膜中的传播是非常简单易行的，这种方法不仅物理意 义清晰，计算方便，而且有给出解析公式的潜力。因此，利用转移矩阵明确矩阵元之间的 关系给问题的求解带来了很大的便利。下面是一维转移矩阵的推导过程： 假设光波在不同的薄膜层的波动方程为： e t ( x ，少) = a t e j k , , 蚋_ t + 8 , e 一。k _ _ k ， ( 2 2 1 ) 其中，表示薄膜的层数，每层溥膜的折射率为刀，磁导率为鸬，厚度为刃；初始入射角为o t ， 光波在不同界面上的传播条件为： 巨篡 光波为t e 模的情形( 如图2 2 1 所示) ： 图2 2 1 ：t e 波在界面上传播的示意图 l o ( 2 2 2 ) 第一：章讣鲜公式 由边界条件( 2 2 2 ) 得 代入光波的表达式，即有： t a l e 强b 毛一x i - 1 1 + b te i 4 & “i q | - t ) j e i k 争y = 钆沙州而一可+ b t + l p 一l 却1 m ，7 气a l e 砖h 毛一1 i _ 1 一b te 一娃& x f x l - 1 ) v “却= 幺+ l 【4 + l p h 即一畸+ e + l p 一) f 而一- p ) ：坠：p | 。c o s o _ ，：。a t , y t ：i p | p l 对于所以y ，上式均成立，上式可写为： 振幅间的关系可由( 4 ) 式得： = y l + y 2 y 1 + l p h , a t y | 一y | 2 y j + l o l y l y t ￥i 2 y t + i y i + y t + 1 2 乃+ l 光波为t m 模的情形( 如图2 2 2 所示) ： 图2 2 2 ：t m 波在界面上传播的示意图 i l ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 力 “ 忡 + ， 瓦 坍 刮 卜 力 日 日 p 曝 吲 屈辱 b + “ + 一 钆 m + 乃 m = 4 】 = 础 西 矾 k p 广 耳 目 一 t 越 4 一y 嘲 和 阻 4 所 、jij 4 马 、0000几，_j 西 西 膳 腈 一 一 p p 由边界条件( 2 ) 得： 由( 6 ) 得： 于是振幅间的关系可由( 7 ) 得到： 褂 p , a ，+ i + 口，届+ l 2 y t + i p 【0 c l n o c l p i “ 2 y t + l 第：章计算公式 e l h a l 一| p 1 0 5 1 “一a i p l 2 y t + i p , a + 仅| p m 2 乃+ l ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 在光波垂直入射的情况，嘶= l ，( z = 1 , 2 ，埘) ，在两层薄膜之间的透射率和反射率 的关系为： 计算可得： = 巴 互： 互2 一铮= 反射率：，= 2 a 互。一 2 1 2 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 11 ) ( 2 2 1 2 ) ) y y ， 坼 如 、= 二， n ， j 日 臣 = = 力 力 ， r q 吆 “ 马 易 + + 卅 4 4 r _ l t _ l “ 屏 q = = 西 由 h k 吨 吨 p p 历 虏 + 一 西 4 詹 打 脯 陆 p p 4 4 屏 、 4 易 、bv000几r 西 西 嘲 螂 p p 第三章光波通过光r 晶体波导入射到1 i 同介质中的能量分却 第三章光波通过光子晶体波导入射到不同介质中的能量分布 3 1 引言 二维完美光子晶体是由柱形散射子在背景介质中周期性的排列而成，二维光子晶体 波导是把完美光子晶体沿某个界面拉开一段距离或引入杂质形成缺陷时，就能在光子带隙 中产生传导模【3 引，处于传导模频率上的光就只能沿这个缺陷传播。这样的一个光子晶体结 构被称作光子晶体波导( p h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d e ，简称p c w ) 1 3 9 - 4 0 1 ，p c w 具有很强的 光波控制能力，它可以限制处于传导模上的光波只能沿着缺陷处传播，把光波局域在缺陷 附近，从而禁止光波传入光子晶体内部，所以它在光纤通信、光电子：卷片以及波分复用等 领域具有广泛的应用前景。 在实际应用中，p c w 是一个有限的结构，我们把p c w 的终端边界称为分界面。光 波传出分界面后的分布吸引了人们极大的兴趣，e s t e b a nm o r e n o 等4 1 】从如何增强穿出p c w 的能量出发，利用多重散射法研究了p c w 终端的界面态，发现对于不同的界面态，光波 在分界面上的耦合作用是不同的，进入真空中的光波的能量和它在真空中的分布也是大不 样，这为如何最大程度的获取来自p c w 的信号提供了途径。但并不是只有通过改变p c w 终端的界面态这一方法才可以增强穿出分界面的光波，例如它也取决于和p c w 对接介质 的性质，本文在不改变p c w 终端界面的情况下，用时域有限差分( f d t d ) 方法研究了 光波穿过p c w 入射到不同折射率的均匀非耗散介质( 光波在这种介质中传播时能量没有 损耗) 中的能量分布情况。该成果对于研究如何更好的接收出自p c w 的信号有参考价值。 3 2 模型及计算参数 图3 2 1 是二维的p c w 连接一块均匀介质的结构示意图，a 区为光子晶体波导，b 区为均匀非损耗介质。a 区是由周期性排列的正方格子空气正方柱子构成的，它的晶格常 数为a ，为了简化计算，我们把a 取为l ，空气柱子与水平方向的夹角p = 3 0 0 ，填充率( 空 气正方柱子的面积与格子的面积之比) 为0 6 8 。背景材料为g a a s 晶体，折射率为3 6 ，空 1 3 第三章光波通过光厂晶体波导入射到f i 同介质中的能量分却 气的折射率为1 0 ，把完美光子晶体沿它的一个界面拉开一段距离就可能在带隙中产生传 导模，频率处于传导模上的光就可以沿着缺陷传播了，这就是a 区所示的光子品体波导。 我们的前期工作【3 5 1 发现，这样的结构中当沿着界面拉开0 3 口时，它的带隙范围是 0 4 1 4 0 4 7 8 ( 2 n c a ) ，并且其中存在传导模。所以在本文中我们把光波的频率设为 0 4 2 9 ( 2 n c 口) ，由文献【3 5 】可知，这是一个处于带隙内，并且位于传导模上的频率。 z l 图3 2 1 ：二维正方格子波导及其分界面示意图 用二维时域有限差分( f d t d ) 方法对光在a 区和b 区中的传播进行了模拟，模拟 区域的宽( x 轴方向) 为l l 口，长( z 轴方向) 为2 3 a ，网格尺寸的大小为o o l a xo o l a ， 对于整个区域的边界处我们用完美匹配层( p m l ) 吸收条件进行截断，当光波传到边界处， 就会被吸收，完美匹配层的反射率极小，不影响模拟结果。 为了模拟计算的需要，我们在p c w 的下方设置一激励源，设定其频率 = 0 4 2 9 ( 2 n e a ) ，产生的光波为t m 模( 电场分量平行于y 轴方向，磁场分量在x z 平 面内) ，激励源产生一束足够宽的光波沿波导边缘处垂直于x y 平面入射到p c w ，激励源 1 4 第三章光波通过光r 晶体波导入射到小同介质中的能量分和 的类型为连续波，它可用下面的函数来表示： g 吲小i n 孕 f ( t ) = ( 3 1 ) t t 7 ( 3 2 ) t f ， 上述公式中的t 并不是我们通常所说的时间，它等于时间和光速的乘积，量纲为长度 单位，我们称为时间步，单位时间步长取为0 0 0 5 ；这里的旯为光波的波长，对应的频率为 ；f ( f ) 为开关函数，它的作用是在模拟时谐场过程中可以使激励源在较短的时间内达到 稳定状态，t ，在数值上等于一个波长。 3 3 计算结果和分析 光波通过光子晶体波导后，进入均匀的非耗散介质中，光波会在这两种结构之间发 生耦合作用，这个过程是非常复杂，并且需要经过一段时间才能达到稳恒状态，这就要求 在模拟的过程中模拟的时间要取的足够长。我们改变b 区中介质的折射率，用同样的光束 射入同一个p c w 中，就可以得出光波在光子晶体波导和不同折射率的均匀介质之间耦合 作用的差别，后面的所有计算都采用相同的入射光源在系统达到稳恒状态的结果。 1j 、j ，一0 ，l 万一2 ，。l n1 s l = m m 过m ，目镕8 g t 十月n m 中的m n 却 辚 簇蓁 图33 1 ：左图的b 区是空气介质右图的b 区是o a a s 介质 光在p c w 及介质中的能量传播情况如图3 31 所示其中左右两图分g u 对应b 区介 质为空气( 月；10 ) 和g a a s ( 月= 3 6 ) 。可以看出：当介质为空气时，从波导口出来的光 束以近乎l8 0 度的夹角在b 区中向各个方向传播，非常发散；而当介质是o a a s 时，入射 到b 区中的光波非常的集中，光束所成的夹角非常小。这是因为g a p s 比空气的折射率大 的多，光波从p c w 中入射到折射率大的介质中朝着靠近法线的方向( z 轴方向) 折射 所以光波比较集中；而光波从同一p c w 中入射到折射率小的介质时，光波朝远离法线方 向( z 轴方向) 折射，所以光波比较发散。 为了更好的分析这种结构的传输特性，我们计算了进入介质中的能量和它们在b 区 中的分布情况。在模拟过程中如果计算瞬时通过z 轴截面的能量对于研究结构的传输性质 是没有多大意义的只有计算通过的能量平均值才具有实际的意义，为此我们计算了一个 周期的能量( 以后我们提及的能量都是一个周期通过的能量) 下面是一个周期的能量密度的表达式 瑟 罄罄黍 第三章光波通过光r 品体波导入射到小同介质中的能量分靠 = 圭善 s ( 尹) j 云( 尹，r ) 1 2 + l 疗( 尹，z ) 1 2 c 3 3 ， 这里的值恒为1 ( 我们研究的为非磁性材料) ，s ( 尹) 为不同位置的介电常数，f 为 空间的坐标，t 为总的模拟时间步，力为光波的波长。 我们把一个周期的能量密度乘以分界面的面积就是在一个周期内通过分界面的总能 量，图3 3 2 为通过分界面的总能量随b 区折射率的变化曲线。 1 4 1 2 1 0 2 五 r e f r a c t i v ei n d e x 图3 3 2 ：分界面上的总能量随折射率的变化图。 从图中我们可以看到，通过分界面的总能量随着折射率的增大而增大，这个变化是 很大的，在b 区的折射率为1 0 的情况下，一个周期内通过分界面的总能量大约为3 个任 意单位，但是当b 区的折射率为3 6 时，一个周期内通过分界面的总能量大约为1 2 个任意 单位，可见在光源和光子晶体波导不变的情况下，b 区介质的折射率越大，进入b 区中的 能量就越大。因此可以说b 区折射率越大越有利于光波通过p c w ，但是通过p c w 能量大 只是我们期望的一个方面，我们还关心通过p c w 后能量是如何分布的。例如能量大但很 8 6 4 2 o 一兰l1cii孵一alc一甘卜 笫三章光波通过光r 品体波导入射到小同介质中的能量分却 分散，不利于信号接收，也不是好结果。为了了解这个情况，我们先计算一下分界面处能 量的分布情况。 图3 3 3 是b 区介质中的折射率分别为= 1 0 ，= 2 0 ，= 3 0 ，= 3 6 这四种情况 下在分界面处的能量( 单位为任意单位) 分布。 2 0 1 6 1 2 8 4 o 012 x ( a ) 图3 3 3 ：b 区为不同折射率的介质时，分界面上的能量分布。 从图3 3 3 中我们可以看出b 区为空气介质( = 1 0 ) 时，其能量分布范围比较广， 从2 处到2 5 处都有能量存在，而且它的能量最大值比较小，随着折射率增加，能量逐渐 向波导e l 聚集，折射率达最大值( 1 占= 3 6 ) 时，能量主要集中在波导口处( i ，i ) ，它 的能量最大值比其它折射率的能量最大值都要大。这说明相同结构的p c w 和不同折射率 的介质连接，通过其分界面的能量分布是有很大差别的， 折射率越大能量越集中。其物 理原因如下：当光波从a 区进入b 区，会在分界面处发生折射和反射，当b 区介质的折 射率很小时，光波会向偏离z 轴的方向折射；b 区介质的折射率很大时，光波会向靠近z 轴的方向折射。这就是为什么b 区为折射率小的介质时，通过分界面的能量分布会很分散； 1 8 口|u3cil一x1jc山 第三章光波通过光r 品体波导入射到小同介质中的能量分椰 b 区为折射率人的介质时，通过分界面的能量分布会很集中的原因。这也可以从图3 3 1 中直观的看到，g a a s 介质中的光波要比空气介质中的光波集中。而且，光波从p c w 中入 射到b 区时，会在分界面处发生反射，甚至全反射，根据菲涅耳定律我们可知，当b 区的 折射率很小时，这种反射会非常的强烈，当b 区的折射率很大时，这种反射就会比较轻微 了，大部分的光波就会穿过分界面，这就是为什么b 区介质的折射率越大，其分界面上的 能量最大值就会越大的原因。 那么能量在波导口处的分布集中或分散对应着怎样的b 区分布呢，图3 3 4 给出了光 波的能量超过2 个任意单位时在不同折射率的b 区介质中的等高线图。 o 0 x ( a ) 图3 3 4 - b 区介质的折射率分别为= 1 0 ，= 2 0 ，= 3 0 ，= 3 6 时，大于2 个任意 单位的能量在b 区中到达的范围 可以看出：随着b 区介质折射率的增大，大于2 个任意单位的能量分布到达的位置 越来越远，到达的范围也越来越广。我们可以看到当b 区介质的折射率为1 0 时，也就是 空气介质，大于2 个任意单位的能量分布在离分界面很近的位置，并且很发散，这个原因 1 9 第三章光波通过光r 品体波导入射到小同介质中的能量分靠 可以从图3 3 1 、3 3 2 、3 3 3 中共同看出，图3 3 2 表示它总能量很小，图3 3 3 表示总能 量在分界面处分散，最关键的原因还是图3 3 1 所示的从波导口出来的光束以很人的角度 在b 区中传播，这三个因素共同促成它的能量沿z 方向下降的很快，因此在离分界面很近 的位置，光波的能量已经很小了，所以空气介质不适合收集从p c w 中传出的能量。而随 着b 区介质中的折射率逐渐增大，我们可以从图3 3 3 中看出它的能量是越来越集中的， 中心位置的能量也越来越大。事实上从波导口传出的光束的夹角也越来越小，所以能量传 播的也越来越远，到达的范围越来越广。我们还计算了介质的折射率为n = 4 0 。n = 5 0 的情 况，其能量传播的也是越来越远，所以折射率越大的介质越适合收集从p c w 中传出的光 波。 为了进一步证明增大对接介质的折射率可以更好的收集光波的能量，我们把这种方法 和e s t e b a nm o r e n o 等人在文献 4 1 】中采用的方法进行了对比。首先说明一下文献 4 1 o f f 的光 子晶体波导模型，它采用的光子晶体为正方格子，圆形散射子有规则的排列在空气中，拔 掉一排散射子就可以得到一个p c w ，对于t m 模来说，就会在带隙中产生传导模。为了集 中从p c w 的波导口传出而进入到空间中的光波，e s t e b a nm o r e n o 等人采用了减小p c w 边 界( 这个边界可以看作是p c w 和空问的对接界面) 处散射子的半径并调节散射子位置的 方法。这种方法可以使p c w 波导的边界处出现界面模，如文献【4 1 】中的f i g 1 所示。其中 f i g 1 中的b 图采用了只减小最外层散射子半径的方法产生界面模，本文用f d t d 方法重复 了这个工作，发现其结果和文献 4 1 1 t 扣的结果一致，如图3 3 5 a 所示。光波从p c w 的左端 入射，进入到p c w 中，由于这个频率的光处于传导模上，所以只能沿波导的缺陷传播， 而在光子晶体波导的其他方向则被禁止传播，最后光波到达p c w 的右边界处，经波导口 传出p c w 。 蚺= $ m 被m 址光r 口伴* 目 甜“十目n 中世 “ 薹薹 ：辩；： ： 鬟；蓦 ：器： ：嚣；： ：； a 畦 圈3 35 从相同的p c 波导口出射的光波进 不同的均匀介质中的屯场振幅分布罔，频率处于 传导模e 的光波从p c w 的左端射a 。a 罔为均匀介质的折射率口= 10 的情况下的振幅分布，b 图为均 匀介质的折射率20 的情况下的振幅分布c 图为均匀舟质的折射宰t t = 3 0 的情况下的振幅分布 从图