（应用数学专业论文）一类p—laplacian方程解的存在性及多重性.pdf

一类p - l a p l a c i a n 方程解的存在性及多重性奉 学科专业：应用数学 指导教师；唐春雷教授 研究方向，非线性分析 研究生：林艳( s 2 0 0 4 0 8 1 1 ) 摘要 文中首先考虑如下带有d i r i c h l e t 边界条件的p l 印l a c i a n 方程t k 等一讪r 2 州u 三主纛， 其中p u 为p l 印l a c i a d l 算子：p 札= d i v ( i v t l i p 一2 v u ) ，c 冗，r ) ，入 o 为参数 假设p 1 ，q 为r ( 1 ) 中的带有光滑边界a q 的有界区域运用山路引理得到方 程( 1 ) 解及多解的存在性 主要结果如下， 定理1 假设在方程( 1 ) 中，满足以下条件。 ( ) ，c ( q r ，冗) ，当t 冗，z q 时， ，t ) o ； ( ，2 ) 。姆芍筹= o 关于z q 几乎处处一致成立； ( ，3 ) 当p 时存在口( o ，+ o 。) ，当 p 时存在g 0 ，矬一1 ) 使得 1 i 毋立兰；卑= o 关于z q 几乎处处一致成立； ( ) 存在口 p ，r o 使得当2r 时对任意( z ，t ) q r + 有o o 方程( 1 ) 至少有一个正解 定理2 假设在方程( 1 ) 中，满足 ( 疗) ，c ( q r ，月) ，当t r ，z 晓时，知，t ) t o ； ( 疗) i ： m 0 裔謦= 。关于z q 几乎处处一致成立； 国家自然科学基金资助项目( 基金号，1 0 7 7 1 1 7 3 ) ；教育都高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划项 目 ( 疗) 当p 时存在q ( o ，+ o o ) ，当 p 时存在口0 ，艘一1 ) 使得 击等铲= o 关于z q 几乎处处一致成立； ( 疗) 存在口 p ，r o 使得当，时对所有( z ，t ) q 冗有o o 方程( 1 ) 至少有一正一负两解 接下来讨论r 上的p l a p l a c i a n 方程 一p u + i u l p 一2 u = ，( u ) ，u w 7 1 ，p ( r )( 2 ) 最小能量解的存在性，其中l p ，c ( r ，r ) 本文在，不满足a r 条件下，利 用n e h a r i 方法得到最小能量解的存在性 主要结果如下： 定理3 假设在方程( 2 ) 中，g ( r ，r ) 满足 ，+ 、 ( ，5 ) i 糨尚= o ； ( ) 存在p o 使得当t r o 】时，( t ) t p f ( t ) 口p o 那么方程( 2 ) 至少有一个最小能量解 最后讨论了冗上的p l a p l a c i a n 方程 一p t + y ) l t 正l p 一2 t = ，( t ) ，t 1 ，p ( r )( 3 ) 正解及最小能量解的存在性，其中1 o 时，( t ) o ；当t o 时，( t ) 兰o ； m 、 ( 1 ) 当= p 时存在g p 时存在q 辑一1 使得t 当警= o ； ( 2 ) 。味拶。口，其中口o 是常数； ( 3 ) t 券2 + o 。； h ) 口 其中伽= 稿m 。) 趔鬻学； i i ( 2 ) o z 酷y ( z ) sy ( z ) 出y ( z ) = y ( + ； 池) 存在函数妒三2 ( 兄) n 1 - ( r ) 使得对任意z 冗有v y ( z ) is 妒( z ) 2 那么方程( 3 ) 至少有一个非平凡的正解 定理5 在定理4 的假设下，方程( 3 ) 有一个最小能量解。即是说，存在一个解 伽1 一( 冗) 使得，( t l ，) = m ，其中m = i i l f ( ，( t ) i u o ，( “) = o ， 引理 关键词 变分法；p l a p l a c i a n 方程；a r 条件；正解；多解；最小能量解；山路 i i i e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t ye x l s t e n c ea n dm u l t l p n c l t y f o rac l a s so fp l a p l a c i a n o fs o l u t i o n s e q u a t l o n s l m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ， n o n l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o rip r o f i a n gc h u n l e i a u t h o rll i ny a n ( s 2 0 0 4 0 8 1 1 ) a b s t r a c t 1 1 1t h i sp 印e r ，丘r s t l y w ec o i l s i d e rt h ef 0 u o w i n gp l a p l a c 咖e q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e t b o u n d 踟了v 出u ec o n d i t i o n ： k 等一川州u 嚣 ( 1 ) w h e r e p u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) i 6t h ep l 印1 a u c i a no p e r a t o rw i t h1 oi f p ，p p ，r os u c ht h a t o 0 t h e o r e m2a 豁u m et h a t ，s a t i s f i 髑t h ef o u o w i n gc o n d i t i o n s 1 s u p p o r t e db yn a t i o n mn a t u r a ls c i e n c ef 0 l m d 8 t i o fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 岫db t h et e a c h i n g 仰dr 签e 盯出a 啊恤dp r o g r 峨f o ro u t 8 t 蛐m n gy ，o u n gt e a c h e 璐i nh i g h e re d u c b t i o ni 珊t i t u t i o 珊o f m o e p r c ( 疗) ，c ( q r ，r ) ， ，t ) t of o ra ut ( 龙) ，( z ，t ) = 口( 一2 ) 嬲_ ou n 洳珊l y ( 片) t h e r ee x i s t s 口 oi f p ，p p ，r os u c ht h a to p o s i t i v ea n dt h eo t h e ri sn e g a t i v e n r r 0i i lw h i c ho n ei s n e x tw ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg r o u l l d8 t a t es 0 1 u t i o nf o rt h ef o u o w i i l gp l a p l a c i a n e q u a t i o ni nr 一p t + i 仳i p 一2 t = ，( t ) ， u 1 p ( r ) ，( 2 ) w h e r e1 p ，：r _ ri sac o n t i n u o 瑚c t i o n 耐t h o u ta rc o n d i t i o n w bw n lp r o v e t h ee x i s t e n c eo fg r o u n ds t a t es o l u t i o i l so f ( 2 ) 璐i i l gt h en e h a r im e t h o d t h em a i l lr e s u l ti st h ef 0 1 1 0 w i i l gt h e o r e m 0 t h e o r e m3s u p p o s et h a t ，c ( r ，r ) s a t i s 6 鹤t h ef 0 u a w i n g 懿s u m p t i o n s ( ，5 ) ，( t ) = o ( p - 2 t ) 蠲_ o ； ( ，6 ) t h e r e d s t sp os u c ht h a t ，( t ) t p f ( t ) 口p f o ra l l t r 【o t h e np r o b l e m ( 2 ) h 硒a 盯o u n ds t a t es o l u t i o n a t1 豳t ，啪c o i l s i d e rt h ef 0 u o w i i l gp l a p l a c i a ne q u a t i o nh lr 川 一p t + y ) l t 上l p 一2 t = ，( t ) ，t 1 ，p ( r ) ， ( 3 ) w h e r e1 0a n d ，( t ) 三0f o r 虬ltso ； ( 1 ) t h e r ej sg i f = 弘g ps u c ht h a t 。当鲁= 0 ； ( 2 ) t 骤券2 口，w h e r e o o ； ( 3 ) 。券= + o o ； h ) 口 栅蛐= 精n 。，趔等笋； ( 屹) o z 酷y ( z ) sy p ) i 牟y p ) = y ( o 。) l ，n 为兄( 1 ) 中的带有光滑边界 a q 的有界区域对于如下类型的方程 言刮舭嚣 相关结果已经很多例如【3 】 【4 】，【5 】，【7 】f 9 】【1 3 】，【2 2 】，【2 4 】；此时方程( 1 ) 就是将函数夕( z ，u ) 分 解为两个函数的组合进一步研究解的存在性情况 现在越来越多的研究关注于当区域无界时方程解的存在性例如，【1 l 】，【1 2 】 【1 5 】i 【1 6 】， 【1 7 】，【2 0 】，【2 1 】，【2 3 】，【2 5 】，【2 6 】，【3 0 】，【3 1 】然而当区域无界时1 ，p ( 冗) 无法紧嵌入到印( 冗) 0 o 使得j i a 吼p o ； 似) 存在e x 岛，使得了( e ) so 令r 是x 中连接。和e 的道路集合，即r = 【7 g ( 【o ，1 】，x ) ：7 ( o ) = o ；，y ( 1 ) = e ) 设 c 2 翼锅3 j 6 j ( 7 ( ) p 1 r t 【o ，1 1 则c p ，且，关于山路水平c 有临界序列 t 行) 当n _ + o o 时有 ，( ) 一c ，j ( ) _ o 若序列满足( p s ) 条件则泛函歹存在一个非甲凡的临界点 引理3 1 ( 见【1 4 】) 设r o 且p g 矿若序列( t n ) 在1 ，户( r ) 中有界且满足 是嚣厶( 圹) j 缸n i q _ o ，n o o 那么对任意的p o ，且 釉“q 洲) ：篓普措；当1 p 日寸，u 筹= 。其中矿= 鸽； ( 卯) 当l p 时，一o o 唑秽兴1 努黟一t ， o 那么对于方程 一p t = 9 ( t )t 工1 ，p ( r ) 存在一个最小能量解u ，也是r 上的非负弱解 3 四、主要结果 4 1 一类带有d i r i c h l e t 边界条件的p l a p l a c i a n 方程的解及多解 本节考虑如下方程 ：全苫2 一入i t i p 一2 t + ，( z 仳：茎募， c - ， 在入 o 时解的存在性及多重性我们的主要结果如下。 定理1 假设在方程( 1 ) 中，满足以下条件； ( ) ，c ( q r ，冗) ，当t r ，z q 时，0 ，t ) o ； ( ，2 ) 。骧芍等= o 关于z q 几乎处处一致成立； ( ，3 ) 当p 时存在g ( o ，+ ) ，当 p 时存在口p ，菇鼍一1 ) 使得 1 岫掣= o 关于z q 几乎处处一致成立； ( ，4 ) 存在口 弘， o 使得当t r 时对任意( z ，t ) q r + 有o o 方程( 1 ) 至少有一个正解 定理2 假设，满足 ( 片) ，c ( q 月，冗) ，当t 月，z q 时，p ，t ) t o ； ( 尼) i i 禹筒端5 o 关于z q 几乎处处一致成立； ， ( 片) 当p 时存在g ( o ，+ ) ，当 p 时存在g ( p ，鹃一1 ) 使得 i m 土；岩= o 关于z 壳几乎处处一致成立； ( 月) 存在p p ，r o 使得当m r 时对所有( z ，t ) q 冗有o o 方程( 1 ) 至少有一正一负两解 注1 文献【6 】中，a f r o u z i 证明方程( 1 ) 当p = 2 且，( z ，) = - 2 t 这一特殊情况 时存在一个正解而本文将其推广到一般的l p + o o 和一般的函数，( z ，t ) ，并且得 到至少有两个解的存在，其中一个正解一个负解因此推广了【6 】中结论 注2 定理1 和定理2 由作者发表于 1 9 1 4 2 一类在兄上不满足a r 条件的p l a p l a c i a n 方程的最小能量解 本节考虑如下方程 一p u + i t l p - 2 u = ，( u ) ， u 1 ，p ( r )( 2 ) 4 最小能量解的存在性，其中1 p 主要结果如下。 定理3 1 譬罄，c ( 冗，r ) 满足 ( ，5 ) i ：高尚2 o ； ( ) 存在p o 使得当t r o ) 时有，( t ) t p f ( t ) 口p o 那么方程( 2 ) 至少有一个最小能量解 注3 存在泛函f 满足定理3 的条件而不满足文献【1 1 1 中的相关结论例如 f ( t ) = ”1 i l ( 1 + ) 本文的结论在p = 2 时是新的 注4 在文献 2 6 】中的结论与定理3 类似，但是条件和方法是不同的在文献【2 6 】 中作者考虑了在无穷远点多项式增长通过极小方法得到结论，而本文的结论是考虑的 次l 临界增长利用n e h a u r i 方法得到结论 4 3 一类在r 上的p l a p l a c i a n 方程的正解及最小能量解 本节考虑如下方程 一p 仳+ y ( z ) 阻l p 一2 “= ，0 ) ，t 1 ，( 冗) 在1 o 时， ，( t ) o ；当o 时，( t ) 兰o ； m 、 ( 1 ) 当2 p 时存在g p 时存在g 鹊一1 使得t 占警= o ； ( ，1 。绦券2 口，其中口之。是常数； ( 3 ) t 券2 + o o ； 帆) 口 其中伽= 趟等笋； ( 抛) o 1 时 的困难，也使证明的过程更加简洁 注6 文献【3 l 】的结论与定理5 当p = 2 时类似，但是条件和方法不同文献【3 1 】 中作者仅仅考虑了p = 2 的情况而且函数，( t ) 肛是单调的定理5 不仅考虑了一般的 p 1 的情况而且对函数，只需要满足零点和无穷远处的条件即可 五、主要 结果的证明 定理1 的证明众所周知要寻找方程( 1 ) 的非平凡解等价于如下c 1 泛函的非零临界点 以( u ) = 三二i v u i p 出+ 言厶m p 如一上f ( z ，u ) 如 显然 ( o ) = o 由于定理1 要找的是正解，故不妨假设当t o ，z q 时，( z ，t ) = o 下面 分三步来寻找方程( 1 ) 的非零临界点证明中将使用以下标准范数i = ( 如l v u i p 如) ； 和i p ：( 如i u i p 如) ； 第一步证明存在p ，p o 使得对所有满足i = j d 的u 嚼t p ( q ) 都有 ( u ) p 由条件( ，2 ) 和( ，3 ) 对任意的e o ，存在一个常数g 对所有的( z ，) q 兄都有 砷弘p + 哪l g + 1 ( 4 ) 由( 4 ) 以及p o i n c a r 芭不等式和s o b o l e v 不等式可得 以( u ) 三二i v u l p 一；上p 出一q 上叶l 如 = 扣l p _ 舯i ；一驯u 嘣 扣l p - ；( c 川坩一q ( 驯u 吣叶1 = 刍( 1 一e 四) p 一锈刚u 胪+ 1 ， 6 其中仍，q o 都是常数现选取= 南则有 ( 仳) 去i p 一仍r + 1 2 割让忡一2 硒州呻) ， 其中岛 o 是一个常数那么令p = ( 赤) i ：南 o 当i = p 时，就有 卿) 争o ， 其中p 全笨 o 因此我们有厶i a 邬p o 第二步证明存在。e 嚼p ( q ) 且| i e i i j d 使得 ( e ) o 根据条件( ) ，存在常数a ，侥 o 对所有的( z ，t ) q 兄+ 都有 f ( z ，t ) a 矿一岛 ( 5 ) 取一p u 的第一个特征值对应的特征函数妒1 o 且j j 妒lj l = l ，由( 5 ) 当t 一+ o 。时 以( t 妒t ) s 刍上i v ( t 妒) i p + 会上i t 妒| p 一上( q 护妒2 一侥) 出 = ；厶i v 妒，i p + 等厶协l p 一瓯矿上匆出+ 侥i q i _ 一o o 所以取幻足够大， e = t o 妒1 嚼，p ( q ) 丽则厶( e ) o 下面定义； r = 7 c ( 【o ，1 】，h ，j ( q ) ) ：，y ( o ) = o ；1 ( 1 ) = e ) ， c2 翼 置豁 ( 7 ( t ) ) ， 1 r 0 ，1 1 7 则由山路引理知c 卢 o ，且存在关于c 的临界序列 ) c 嚼，p ( q ) ，当n 叶o o 时 以( u n ) _ c 且天( ) 一o ( 6 ) 第三步证明 乱n ) 有界 根据( 6 ) 知存在一个常数m o 使得 i 以( t n ) i m ，n = 1 ，2 ， 存在伽使得当n n o 时有 0 五( ) | | 1 因此当n 伽，u 嚼，p ( q ) 时，得 - i i 圳( ( ) ，t ，) = 上l v u n l p _ 2 v v u 出+ a 上i u n r 2 ”如一厶，( z ，) t ，忪m 令t = ，则 刮仳n o ( 天( ) ，u n ) = 厶i v u n i p 出+ a 厶i u n p 如一厶，( z ，u n ) 仳仆s 竹i i 即 - | | u n o i i 垆sa 厶i u n i p 出一厶，( z ，u n ) u n 忙n o 一n 酽 根据条件( ) 与( ) 存在侥 o 使得对所有的( z ，t ) q 冗都有 f ( z ，t ) 吉他，t ) + 瓯 ( 7 ) 根搪( 7 ) 和口 p 有 m ( t n ) 刍厶l v u 胛如+ 言上l l p 如一丢上，( z ，u n ) u n 出一g 6 川 三上i v 札n i p 如+ 窘上l i p 如一含五i u n l p 如一扣o 一扣u n 酽一g i q = 掣加+ 等k 扣i | - 叩l 害k 扣卜叫i 故 u n 】在啊，p ( q ) 中有界 由s o b o l e v 紧嵌入及标准化方法知序列 u n ) 在略p ( q ) 中有个收敛子列故以 满足( p s ) 条件由山路引理可得 有一个非平凡临界点记为蜘根据条件( ) 我们 断言蜘之o 事实上，记伽的正部( 负部) 为“孛= m a x 仕t 0 ，o ) ，那么由a o 得 0= ( 五( u o ) ，乱i ) 忆刘p + 刈札刘；一上，( z ，伽) u i 如 l l u 刘p + 刈u 训； l i 酊l l p o 上述等式说明| i t 刊= o ，所以有u o 之o 根据文献【8 】知t 0 o 在q 上几乎处处一致成 立从而定理l 得证 定理2 的证明首先，考虑如下截断问题 ：全苫2 一a i 缸i p 一2 t + j ( z u 二茎未， 8 ( 8 ) 其中 脚，= 。甾 对于方程( 8 ) ，容易看出 满足定理1 的条件，因此由定理1 知方程( 8 ) 存在一个正解 札 o 同时也是方程( 1 ) 的解 其次考虑如下截断问题 ：全苫2 一a i u p 一2 u + ，2 z u 二茎未， c 9 ， 其中 枷) = 雳 为了寻找方程( 9 ) 的解，令可= 一乱，9 ( z ，t ) = 一厶( z ，一t ) ，则方程( 9 ) 等价于以下方 程 i 竺孑2 一a l u i p 一2 u + 9 z 口二茎募 c z 。， 易知如果u 是方程( 1 0 ) 的解，则u = 一t ，即是方程( 9 ) 的解由于，满足定理2 的条 件，所以9 满足定理1 的所有条件根据定理1 知方程( 1 0 ) 存在一个正解t ， o ，因此 t l = 一v o 是常数令p = ( 硒切) 南 o ，当i = p 时有 ，( t ) p ， 其中p 全笔 o 因此我们有j i a 邬卢 o 另一方面证明存在e 1 t p ( 冗) 且| i e | l p 使得，( e ) o 对于每个固定的 t w 1 ，p ( r ) o ) ，由眦o u s 引理及) 得 喇上掣出 = 恻( k 脚，掣出+ k ，。，掣出)t 一+ ，伽j r l u o ) o 护 。，缸r 1 1 o ) = o j 护 一。 州k m 剐镏川p 如 k 惭脚，蝌g 韶川p 出_ 慨 则当t 一+ o o 时 掣= 扣卜上掣出一一 故当o 充分大令e = t o u ，有，( e ) o 使得 口上i i p 出上( ，( 仙n ) u n p f ( u n ) ) 如 = p ，( u n ) 一( ，7 ( 乱n ) ，) 风 故存在常数d 1 使得 厶i p 出d 1 ( 1 2 ) 注意到o p o 是一个常数最后注意条件p ( 聊) ( 口一p ) 等价于岑掣 o 对所有的n n 有 因此 】在彤1 ，p ( r ) 中有界 定义 u n 0sd 5 m = u 1 p ( r ) o ) i ( ，7 ( u ) ，u ) = o = 仳1 ，p ( r ) 。) u 酽= 上，( u ) 乱如) ， 其中m 是，的n e h a r i 流形 第三步证明c = m 由于1 p ( r ) 是自反的巴拿赫空间且序列 ，有界，则存在一个子序列满足 t t l 一“在彤1 护( 冗) 中弱收敛， ( z ) _ u ( z ) 在r 中几乎处处收敛 再根据文献【1 6 l ，则存在子序列仍记作【) 使得 v u n ( z ) _ v u ( z ) 在兄中几乎处处收敛， i v u n r 2 酱一i v u i p - 2 差在( 护僻) ) + 中弱收敛，1 由 ) 的弱收敛性，上式及，的次临界增长可得，7 ( u ) = o 事实上对任意u c 酽( r ) 及上面所证明可以得到 ( ( ) ，口) = 上i v i p - 2 v v 口如+ 上i p 2 u n 口出一上，( ) t ，出 一上i v 乱i p - 2 v u v v 如+ 上p _ 2 札口如一上，( u ) u 出 = ( ，( u ) ，t ，) ， 所以，( u ) ：o 首先考虑t o 由，7 ( t ) = o 知t m ，根据融o u s 引理得到 ms 讹) 一妒( ”) ，让) = 上( 三，( 乱) u f ( u ) ) 出 靶恕f 厶( 三，( u n ) 札n f ( ) ) 如 n 。- ，兄p 。 ” = l 眺f ( j ( ) 一弘( u n ) ，) ) 下证c m 固定u w 1 p ( r ) o ) 定义函数危( s ) = j ( s t ) ，s 【o ，o o ) 显然有 矾s ) = o 甘s u m 铮酽= 刍上，( s “) u 如 由条件( ，7 ) 知等式右面关于s 是增函数根据( ，5 ) 一( ，6 ) 及( ，8 ) 容易证明当s o 很 小时有 ( o ) = o ，h ( 5 ) o 当s 很大时有九( 5 ) o 因此。黼) 危( s ) 在唯一的s = s u 处 如果t m ，那么s u = 1 1 2 ( 1 4 ) 根据c 的定义，对所有固定的乱1 p ( r ) o ) 存在一个仇r 满足饥( t ) = t s o t 且 j ( s o u ) o ，当佗一o o 时有s u p l t n l p 出_ o r j 日r ( | ) 如果成立，由 u n 】在w 1 ，p ( r ) 中有界根据引理3 1 有一。在l 9 ( r ) 中对 任意p o 是矛盾的所以情况l 不会发生 情况2 存在某个r o ，当n o o 时有8 u p ，i 让n i p 如o 掣凡j b r ( 掣) 因情况1 不成立，即情况2 成立存在一个序列 铷) cr 及常数冗，7 o 使得 厶础。) 坩如7 m 则 ， 1 驰蝉 i u 。| p 如7 o n ，b r ( 咖) 。 1 3 定义= n 0 + 鼽) ，利用兄中的平移不变性得，( ) 一c 和( ) l | ( 1 + 0 | | ) 一o 这就得到一个新的( c ) 。序列可找到子序列j 口在1 ，p ( r ) 弱收敛及一t ，在 口( b 尺( o ) ) 中收敛，此处口是j 的临界点由于 丘确) m p 如= l 靶，西丘r ( o ) i i p 出= l 眺f 五r ) i i p 出7 。 得到结论”o 类似u o 的证明t ，是方程( 2 ) 的最小能量解从而定理3 得证 定理4 的证明众所周知要寻找方程( 3 ) 的非平凡解就等价于如下c 1 泛函的非零 临界点 j = 刍五( 1 v 卵+ y ( 硎缸n 如一五f ( 乱) 如 为此首先考虑一族泛函厶：1 ，p ( r ) 一r 定义如下： 厶( 缸) = 刍厶( i v u l p + y ( 刮u | p ) 出一a 上f ( 札) 出 其中a 【；，1 1 ，依范数i p = ( 厶i u p ，出声和l = ( 抽( i v l p + y ( z ) i t l i p ) 如) 刍分四步 进行证明 第一步证明厶满足山路几何形式 一方面存在正常数p 和使得j ( u ) p 当1 = p 由( 1 ) 和( 2 ) ，令亭= 竽， 存在冗1 ，嘞 o 和a o 对于上述给定的e 使得 f ( ) s 警”当佻r 1 ， 喇) 茅旷1 当励， f ( t ) 斋旷1 当r 1 危 令a 1 = 2 m a x 精，南) ，那么有 f s 警p + 州叶1 ( 1 6 ) 根据f 1 6 ) 及伽的定义，由s o b d l e v 不等式可得 厶( 越) = 刍厶( ；v 珏i p + y ( z ) p ) 出一a 上f ( ) 出 三上( i v t t i p + y ( 圳训p ) 出一厶f ( u ) 如 扣u 旷一号茅厶川p 如一以- 上m 时1 如 1 4 扣卜等p - a ( 屯) 叶1 = 筹p a a 帅u i i g + 1 = 蔷p ( - 一筹m 口+ 1 i l u i l 口呻“) ， 其中d 。是常数再令p = ( 茹静) 南 0 i 当= 删可得 ，( t 正) p ， 其中p 全瓣矿 o 故我们有厶j 缉p o 另一方面存在e w 1 p ( r | v ) 当1 l e l i j d 使得j ( e ) o 存在m o ，当t m 时有磐；令a 。= 胪，则对任意的t o 有 巾) 吾矿一屯 ( 1 7 ) 对不等式( 1 7 ) 两边同时积分，得 即) 壶伊一争 ( 1 8 ) 根据( 1 8 ) 有 即如) 之争诧一鲁 其中伽卵( r ) 具有紧支集kc cr 是非负且如o 同除以护得 掣壶醒一筹 ( 1 9 ) 护 一雄。p 护一l 、 对( 1 9 ) 积分得 丘掣如= 厶掣如i ，r 护 k 护 厶( 壶诏一筹) 出 令t _ + 。o ，则对任意的 o 有 蚀孵上掣出厶壶瑶如 t 一+ o o ，r 护 ，kp e 。 根据e 的任意性，令一。得 燃上掣= 慨 一十o oj r 护 1 5 因此当t _ + o o 时 掣= 扣酽一a 上掣如一一 令t o 充分大且e = t o 如，则有厶( e ) o 令a ( t ) = 驯u i l p b ( 札) = 厶f ( u ) 出，则厶( t ) = 却t p a 厶f ( t ) 出= a ( u ) 一a b ( t ) 满足当i o o 时a ( u ) 一+ 。o ，对任意t 1 ，p ( r ) 有 b ( u ) o 根据引理3 2 令t ，1 = o 耽= e 及j = 【；，1 】，那么对几乎所有入晦1 1 泛函厶 在以水平上存在有界( p 9 ) 序列【仳n ) 第二步对任意且固定a 唔1 】，当厶的有界( 尸s ) 序列 ) 满足1 h n s u p 厶( t 。) c a 和i i u 。l i o 时，存在一个子序列弱收敛到厶的一个非平凡临界点u a 且厶( t a ) 以 定义的正( 负) 部为t 嘉= m 缸 士u 竹，o ) ，由( o ) 可得 ( 厶( ) ，u 二) = i j 札别p 一厶，( ) 啄= o u 刊p 根据 u 二) 的有界性及上述等式有0 u 刘一o 容易计算 厶( 1 l n ) = 厶( u ：) + d ( 1 ) 和厶( ) = 厶( u ：) + d ( 1 )( 2 0 ) 其中d ( 1 ) 是无穷小量由( 2 0 ) 表明 者) 也是一个( p s ) 序列根据引理3 3 则有 七 t ：= 姒+ 畸( 一协。n ) + o ( 1 ) _ + o 。) ， 七 厶( t 吉) = j ( u a ) + 砰( 以) + o ( 1 ) ( 礼一+ o o ) ， j = l 地( u a ) = o ，钟( 以) = o 0 = 1 ，七) 其中t a w 1 ，p ( r ) 是一个非负函数，u j ，u j ：x 是后个非负非平凡函数和冗中 七个序列( 矽1 ，n ) ，( 讥，n ) 且当n 一+ o o 时，f 协，n i 一+ o 。砰：w 1 一( r ) _ r 定义如下 贸( u ) = 三上( j v 训p + y ( o o ) 川p ) 出一a 上f ( u ) 如 那么由( 2 0 ) 和i i 乱二i | 一。可得 七 u n = 让a + 岣( 一功，n ) + o ( 1 ) ( n _ + o o ) ， 1 6 由此得 七 厶( u n ) = 厶( u a ) + 砰( 以) + o ( 1 ) ( n 一+ 。o ) ， j = 1 弧( 入) = o ，枷第( 以) = o u = 1 ，后) ( 2 1 ) 又根据条件( o ) 知方程 一p u + y ( 。) l u i p 一2 u = 入，( t ) ，u 1 伊( r )( 2 2 ) 的任何解是非负的，同样的也是方程 一p t = 9 ( t 工) 的解，其中 咖，= ；况2 支渊装呈 ( 2 3 ) 根据引理3 4 知方程( 2 3 ) 的最小能量解也是( 2 2 ) 最小能量解 要完成证明只需证明姒o 即可令u a 是方程( 2 2 ) 的最小能量解根据文献f 2 6 】 砰存在一条道路7 ( t ) c ( 【o ，l 】，w 1 伊( 冗) ) 对任意的。j 【0 ，l 】都有7 ( t ) 扛) o ， ，y ( o ) = o ，t 产( 7 ( 1 ) ) o ，u a 7 ( 【o ，l j ) ，且 置躏砰( 7 ( 。) ) = 砰( u a ) 不失严格性可假设在条件( 也) 中y ( z ) y ( o 。) 则当t ( o ，1 】时有 厶( 7 ( t ) ) 砰( 7 ( t ) ) 根据c 的定义有 c 置躏厶( 7 ( 。) ) o 且 七 c a = 贸( u i ) m a = n l f 醑( 缸) i u o ，砰( u ) = o 】 j = 1 这与以 m a 矛盾所以t o 1 7 以贸 七m + 心 厶 _ 0 h 注7 存在与a 无关的而使得厶的任何非平凡解t 都满足a i i 而 事实上，根据( o ) 一( 2 ) ，存在o o 使得 i l u a 0 南 由第二步可得厶至少有一个非负非平凡的临界点对几乎所有a 【；，1 】成立特 别地，存在一个序列( ，) c 【；，1 】1 p ( r ) 其中入j _ 1 ，呦o 满足j ( 吻) = o 且氐( 嘶) 根据文献【2 8 】中的引理2 3 知熙勺2c ，因此 呦) 是泛函，的一个 ( p s ) 序列为证明序列 哟) c 1 p ( r ) 有界将利用下面的p o h o z a u e v 等式 盟尹上l v 训p 出+ 苦上y