（应用数学专业论文）对角占优性及其非线性推广若干问题研究.pdf

摘要 摘要 在均衡论、投入产出分析、轴承油墨振荡的研究中所产生的线性方程组的系 数矩阵通常都是m 一矩阵；在控制论、神经网络大系统理论以及线性时滞系统理 论中，相应系统的稳定性往往表现为所对应线性方程组的系数矩阵是否为日一矩 阵，这些矩阵都有某种意义下的对角占优性；在诸如计算电磁学、计算流体力 学、最优化、油气勘探等科学计算与工程计算中，相关学科中的基本原理都表现 为偏微分方程或积分方程，而这些方程常常通过差分方法、有限元法、边界元 法、区域分解算法等方法处理后将原方程化为大规模的稀疏的线性方程组，这些 方程组解的存在性、唯一性，相关解法的收敛性、稳定性也都与系数矩阵的某种 对角占优性有关，由此可见矩阵对角占优性对大量工程问题的实际计算具有重要 性。 当我们研究的问题是线性问题时，矩阵的对角占优性的重要性和有效性已是 众所周的了，当我们面临的是非线性过程时，非线性对角占优性( 矩阵对角占优 性的非线性推广) 自然也有其相应的重要性。 这便构成了本研究的两个主题：详细地研究重要而应用广泛的广义对角占优 矩阵的实际判别问题，同时对相关非线性对角占优性作深入研究。全文共六章，分 四个部分： 非奇异日一矩阵的实用判别问题：用不同的模式对矩阵行指标集进行划分 利用矩阵自身元素刻画出大量的非奇异日一矩阵的实用判别条件，数值例子说明 了所给出判别法的优势，同时利用所得研究结果给出了在m a t l a b 环境下实际判别 非奇异日一矩阵的程序。 矩阵对角占优性的非线性推广问题：首先，我们对非线性对角占优性的相 关概念和已有的相关结果作了扼要介绍；其次，对该领域中一个公开问题： “利 用多元向量值函数的雅可比矩阵的对角占优性来研究多元向量值函数自身的对角 占优性”给出解答；最后，提出了一种新的非线性对角占优映射的概念，并研究 了该类非线性对角占优映射的性质。 非线性s c h u r - 李b 问题：s c h u r 4 b 这一概念在矩阵理论、数值分析等相关领 域中都有重要的应用，已成为线性理论的重要工具；在非线性理论中是否有相应 的概念作为研究非线性问题的工具仍有待研究，在此我们尝试性地引入了非线 性s c h u r - 卒l , 的概念，研究了非线性s c h u r - ；：i b 的性质，并将此概念应用于非线性特征 摘要 值求解问题。 广义p e r r o n 补的相关问题：p e r t o n 补概念是美国数学家c a r ld m e y e r 在研 究有限态马尔柯夫链的稳态分布向量时所引入的概念，藉此工具解决了大型马尔 柯夫链的稳态分布向量的实际计算问题，同时对p e r r o n 补自身性质的研究也是一 个重要问题，在此我们提出了广义p e r r o n 一补的概念，并研究了广义p e r r o n 一补的性 质。 关键词：对角占优性、非线性映射、日一矩阵、判别条件、特征值、s c h u r - 牢l 、 p e r t o n 一补、非线性推广。 n a b s t r a c t t h ec o e f f i c i e n tm a t r i c e so fs y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n sg e n e r a t e di nt h es t u d yo f e q u i l i b r i u mt h e o r y , i n p u t o u t p u ta n a l y s i s ，b e a r i n gi n ko s c i l l a t i o na r eu s u a l l ym m a t r i c e s ； w h i l ei nc o n t r o lt h e o r y , t h e o r yo fn e u r a ln e t w o r k sl a r g e s c a l es y s t e m s ，a sw e l la sl i n e a r t i m e d e l a ys y s t e m s ，t h es t a b i l i t yo ft h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e m si so f t e nm a n i f e s t e di nt h e c o n d i t i o nt h a tw h e t h e rt h ec o e f f i c i e n tm a t r i c e so ft h eu n d e r l y i n gl i n e a re q u a t i o n sa r eh m a t r i c e s ，w h i c ha r ee x p e c t e dt oh a v ed i a g o n a ld o m i n a n c et os o m ee x t e n t ；i ns c i e n t i f i ca n d e n g i n e e r i n gc o m p u t i n g ，s u c ha sc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ，c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y - n a m i c s ，o p t i m i z a t i o n ，o i la n dg a se x p l o r a t i o n ，t h eb a s i cp r i n c i p l e si nr e l e v a n td i s c i p l i n e s a r ee x p r e s s e da sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ri n t e g r a le q u a t i o n s a f t e rd i s c r e t i z a t i o n b yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，d o m a i n d e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m s ，t h e s ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo f t e nt r e a t e di n t ol a r g e - s c a l es p a r s el i n e a re q u a t i o n s ，o fw h o s es o l u t i o n ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n dc o n v e r - g e n c ep r o p e r t i e sa n ds t a b i l i t yo fr e l a t e dm e t h o d sa r ea l lr e l a t e dw i t hc e r t a i nd i a g o n a l d o m i n a n c eo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i x t h u s ，i ti ss e e nt h a td i a g o n a ld o m i n a n c eo fm a t r i c e s i sv i t a lb o t hi no b j e c t i v ec o g n i t i o na n dr e s e a r c h i ti sw e l lk n o w nt h a td i a g o n a l l yd o m i n a n c eo fm a t r i c e sp l a y sas i g n i f i c a n tr o l ei n i n v e s t i g a t i o no fl i n e a rp r o b l e m s i ti sn a t u r a lt h a tn o n l i n e a rd i a g o n a ld o m i n a n c e ，w h i c hi s an o n l i n e a rg e n e r a l i z a t i o no fd i a g o n a ld o m i n a n c eo fm a t r i c e s ，i so fc o r r e s p o n d i n gi m p o r - t a n c ew h e nd e a l i n gw i t hn o n l i n e a rp r o c e s s t h i sw i l l c o n s t i t u t et h et w ot h e m e so ft h i ss t u d y ：o n ei sd e t a i l e da n dc o m p r e h e n s i v e i n v e s t i g a t i o no fp r a c t i c a lc r i t e r i af o rt h eq u i t ei m p o r t a n ta n de x t e n s i v ed i a g o n a ld o m i - n a n c eo fm a t r i c e s ，w h i l et h eo t h e ri si n d e p t hs t u d yo fr e l e v a n tn o n l i n e a rd i a g o n a ld o m i n a n c e t h ed i s s e r t a t i o ni sc o n s i s t e do fs i xc h a p t e r sw i t hf o u rp a r t s ： t h ef i r s tp a r th a sa ni n v e s t i g a t i o no fp r a c t i c a lc r i t e r i ao fn o n s i n g u l a rh m a t r i c e s al a r g en u m b e ro fp r a c t i c a lc r i t e r i ao fn o n s i n g u l a rh m a t r i c e sa r ec h a r a c t e r i z e db y m e a n so fm a t r i xe n t r i e sw i t hd i f f e r e n tm o d e l st op a r t i t i o nt h em a t r i xr o wi n d e xs e t s t h e a d v a n t a g e so ft h ep r e s e n t e dc r i t e r i aa r ed e m o n s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e sa n dt h e p r a c t i c a lp r o g r a m sf o rd e t e r m i n i n gn o n s i n g u l a rh m a t r i c e sa r eg i v e nw i t h i nm a t l a b p l a t f o r mb ym a k i n gu s eo f t h eo b t a i n e dr e s e a r c hr e s u l t so b t a i n e d i i i a b s t ra c t 一 t h es e c o n dp a r ts t u d i e st h en o n l i n e a rg e n e r a l i z a t i o no fd i a g o n a ld o m i n a n c eo fm a t r i c e s f i r s to fa 1 1 r e l e v a n tc o n c e p t sa n de x i s t i n gr e s u l t so fn o n l i n e a rd i a g o n a ld o m i n a n c e 1 。sb r i e f l yi n t r o d u c e d s e c o n d l y , a na n s w e ri sg i v e nt oa no p e np r o b l e m i nt h i sa r e a , w h i c h i st om a k eu s eo ft h ed i a g o n a ld o m i n a n c eo ft h ej a c o b i a nm a t r i c e so fm u l t i 。v e c t o r - v a l u e d f h n c f i o n st oi n v e s t i g a t et h ed i a g o n a ld o m i n a n c eo ft h en o n l i n e a rm a p p i n g f i n a l l y s o m e k i n d so fn o n l i n e a rd i a g o n a ld o m i n a n c ea r ep r o p o s e da n dp r o p e r t i e so ft h e s en o n l i n e a r d i a g o n a ld o m i n a n c ea r es t u d i e d t h en o n l i n e a rs c h u rc o m p l e m e n ti ss t u d i e di nt h ef o l l o w i n gp a r t t h ec o n c e p to f t h e s c h u rc o m p l e m e n th a se x i s t e di nl i n e a rt h e o r yf o ra r o u n d10 0y e a r so fh i s t o r y , w h i c hh a s i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a t r i xt h e o r ya n d n u m e r i c a la n a l y s i s ，e t c ，a n dh a sb e c o m ea n i m p o r t a n tt o o lf o rt h e o r y i ts t i l lr e m a i n su n d e t e r m i n e dt h a tw h e t h e r t h e r ei sac o r r e s p o n d 。 i n gi n t r o d u c t i o ni nn o n l i n e a rt h e o r yw h i c hc a nb eu s e da sa r e s e a r c ht o o lf o rn o n l i n e a r p r o b l e m s i nt h i sp a r t ，t h ec o n c e p t o ft h en o n l i n e a rs c h u rc o m p l e m e n ti si n t r o d u c e da n d p r o p e r t i e so fs u c hn o n l i n e a rs c h u rc o m p l e m e n ta r es t u d i e d m o r e o v e r , t h i sc o n c e p t i s a p p l i e dt ot h es o l u t i o no fn o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m s t h ec o n c e p to ft h ep e r r o nc o m p l e m e n tw a si n t r o d u c e db ya m e r i c a nm a t h e m a t i c i a nc a r ld m e y e ri nt h es t u d yo fs t e a d y s t a t ed i s t r i b u t i o nv e c t o r si nf i n i t e s t a t em a r k o v c h a i n s t h i st o o lc a nn o to n l yh e l pt oh a n d l ep r a c t i c a lc o m p u t a t i o n a lp r o b l e m so ft h e s t e a d y s t a t ed i s t r i b u t i o nv e c t o r si nl a r g e s c a l em a r k o v c h a i n s ，b u ta l s oi si m p o r t a n ti nt h e s t u d yo fp r o p e r t i e so fp e r r o nc o m p l e m e n ti t s e l f i nt h ef i n a lp a r t ，t h ec o n c e p to f g e n e r a l i z e dp e r r o nc o m p l e m e n ti sp r o p o s e da n de x t e n d e dt ot h ew i d e s tr a n g e p r o p e r t i e s o ft h e g e n e r a l i z e dp e i r o nc o m p l e m e n ta r ei n v e s t i g a t e d k e y w o r d s ：d i a g o n a ld o m i n a n c eo fm a t r i c e s ，n o n l i n e a rm a p p i n g ，h 。m a t r i x ，e i g e n v a l u e ， s c h u r - c o m p l e m e n t ，p e r r o n c o m p l e m e n t ，n o n l i n e a rg e n e r a l i z a t i o n - 主要符号对照表 n r 豫+ 0 c 竹 r n c m n 酞m 行 i a t a 日 l a i i i a i l 2 i i a i l 。o ( a ，b ) a 0 ao a - 0 a - o p ( a ) n u l l ( a ) d i a g ( d l ，如) t r i d i a g ( a ，b ，c ) 口n 主要符号对照表 数集 1 ，2 ，礼) 自然数集 实数集 正实数集 空集 复n 维列向量空间 实n 维列向量空问 m 佗复矩阵集 仇xn 实矩阵集 单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 各元素取绝对值的矩阵 矩阵a 的谱范数 矩阵a 的无穷大范数 向量a ，6 的e u c l i d e a n 内积 矩阵a 是非负矩阵 矩阵a 是正矩阵 矩阵a 是h e r m i t i a n 正半定矩阵 矩阵a 是h e r m i t i a n 正定矩阵 方阵a 的谱半径，若a 为非负矩阵，即为p e r r o n 根 矩阵a 的零空间 以d 1 ，如为对角元的对角矩阵 以b 为主对角元，a 为下次对角元和c 为上次对角元的三对角矩阵 为r n 中的闭矩形 v i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：要龇日期：，7 年| r 2 月尹日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 日期：d 第一章绪论 1 1 所研究的问题及其背景 第一章绪论 本文的主要任务是对矩阵的对角占优性及其非线性推广相关问题展开研究， 所完成的研究内容包括四个主题：首先，我们对非奇异日一矩阵的实用判别问题 作了深入详细的研究；其二，对非线性广义严格对角占优映射类的性质展开讨 论；其三，将重要的矩阵工具s c h u r ) 推广到非线性情形，引入非线性s c h u r 卒 这 个概念并初步讨论了它的性质；最后，我们将p e r r o n = i 概念进行了推广，引入了 广义p e r r o n 睿b 概念并研究了它的一些有趣性质。它们的背景如下： 1 1 1 矩阵对角占优性 在诸如计算电磁学、计算流体力学、最优化、油气勘探等科学计算与工程 计算中，相关学科中的基本原理都表现为偏微分方程或积分方程，而这些方 程常常通过差分方法、有限元法、边界元法、区域分解算法等方法处理后将 原方程化为大规模的稀疏的线性方程组然后通过求解该方程组得到相应的数 据【6 ，8 ，9 ，1 6 ，1 8 ，2 1 ，2 4 ，4 1 ，5 2 ，5 6 ，5 8 ，6 0 ，7 5 ，8 3 ，1 2 3 ，1 5 5 ，1 4 4 ，因而，大规模稀疏 的线性方程组求解一直是一热门研究课题。 在不同学科中，其所面对线性方程组的系数矩阵通常属于某一特 殊矩阵类或者具有重要某些数值特征，如在均衡论、投入产出分析、 轴承油墨振荡的研究中所产生的线性方程组的系数矩阵通常都是m 矩 阵【9 ，1 6 ，5 2 ，6 3 ，7 9 ，8 3 ，8 4 ，9 4 ，1 0 5 ，1 7 2 ；而在控制论、大型神经网络系统 理论以及线性时滞系统理论中，相应系统的稳定性往往表现为相应的线 性方程组的系数矩阵是否为日一矩阵；在求解许多重要的偏微分方程的数 值解时所用的经典算法( 如：j a c o b i 迭代法、g a u s s s e i d e l 迭代法以及大量 的并行多分裂迭代法) ，其收敛性常常依赖于系数矩阵是否为非奇h 一矩 阵【9 ，1 6 ，6 6 ，8 3 ，8 4 ，9 5 ，1 3 2 ，1 4 7 ，1 4 6 ，1 6 6 ，1 7 7 。基于这些原因，对弘矩阵的 研究保持着长期的活跃性，这些的研究目前主要集中在三个方面，其一 是研究日一矩阵自身的数学性质【9 ，1 6 ，8 3 ，8 4 ，1 4 7 ，1 4 6 ，1 6 6 ，1 3 7 1 ；比如对其特 征值与奇异值的研究【5 ，9 ，1 1 ，1 6 ，2 1 与它们相关的m i n k o w s k i 型不等式和凸 性不等式的研究 1 6 ，8 3 ，9 5 ，1 3 3 ，1 4 6 ；其二是研究与之相关的求解算法及 电子科技大学博士学位论文 其收敛性 1 6 ，6 6 ，8 3 ，9 5 ，1 3 2 ，1 4 6 ，1 4 7 ，1 7 7 ；其三是研究该矩阵类的判别问 题 6 6 ，8 3 ，1 6 6 ，1 0 2 ，1 0 0 ，1 0 1 ，1 3 7 ，9 1 ，1 9 6 ；第四是将日一矩阵概念推广的为块日一矩 阵 9 5 ，1 4 7 ，1 5 2 ，1 6 0 。 在对矩阵的研究中，人们常常根据矩阵所具有的某些性质或其所具有的特殊 结构将矩阵分为若干矩阵类并进一步研究这些特殊矩阵类的特殊性质，特殊矩阵 类之所以引起人们的研究兴趣是因为它们往往产生于不同的具体学科中，通过对 这些矩阵的深入研究，一方面，有助于人们从矩阵这个角度加深对相关事物的认 识，另一方面，特殊矩阵理论的研究进展也在一定程度上决定着相关计算问题是 否可解。 在特殊矩阵类中，日矩阵是美国数学家a m o s t r o w s k i 于1 9 5 2 年引入 的 1 4 2 1 ，一个矩阵a = ( a ，) ( c ) 是非奇日一矩阵的最著名的定义是其比较 矩阵m ( a ) 为非奇m 一矩阵，这里m ( a ) ：= ( b i j ) 定义为： rii 1j i o “l ，o2j ， 铲t 一 a i j 一歹 从而对非奇日一矩阵的研究成果有助于我们更加深刻地理解另一类要矩阵类非 奇m 矩阵。 另一方面，在研究对角占优矩阵时人们又定义了广义严格对角占优矩阵：若 一个矩阵a = ( a t ，) 慨( c ) 满足：v i ，都有 竹 i a i i l ：l o 巧i ， j = l ， 则称a 为严格对角占优矩阵；若存在一个正对角矩阵d 使得a d 变为严格对角占优 矩阵，则称a 为广义严格对角占优矩阵：后来人们证明了广义严格对角占优矩阵 与日矩阵是等价的；这样从不同问题背景提出的两个概念在纯数学上等价，这就 为m 一矩阵和日一矩阵这两类重要特殊矩阵的研究带来了活力。 后来学者们从不同的角度相继提出了不可约对角占优矩阵 1 6 9 1 、具有非零元 素链对角占优矩阵 1 5 8 ，6 9 】、a 一对角占优矩阵 1 9 7 1 、双对角占优矩阵 7 0 1 等等， 最近的研究表明以上的矩阵类都是日一矩阵类的子类。 日一矩阵的研究之所以引起众多学者的重视，另外一个重要的原因就是在 对线性方程组a x = 6 求解的过程中，当其系数矩阵为日一矩阵时，许多迭代法 女l l j a c c o b i 迭代法、g a u s s s e i d e l 迭代法、s o r 迭代法、a o r 迭代法等都收敛或有较 2 第一章绪论 好的收敛性质 1 7 2 ，11 4 ，l1 3 ，1 9 5 ，1 3 4 ，4 5 。 既然日一矩阵具有如此重要的作用，那么日矩阵实用判据就变得很有实际意 义。尤其是一些问题中产生的矩阵是一些上万阶，上百万阶的大规模稀疏矩阵能 否找到一些简便、实用而又有效的日矩阵判据就尤为重要，本文通过对矩阵的行 指标集进行不同的划分，利用矩阵自身元素构造了一系列日矩阵新判据。 1 1 - 2 特殊矩阵类的非线性推广及其性质研究 将若干矩阵类推广为相应的非线性映射类既有其理论意义又在求解非线 性方程组和求偏微分方程数值解中有重要应用，该工作源于w r l a e i n b o l d t 在第 二届偏微分方程数值解国际会议上所作报告o nc l a s s e so f n d i m e n s i o n a ln o n l m e a rm a p p i n g sg e n e r a l i z i n gs e v e r a lt y p e so f m a t r i c e s 1 5 1 ，后来j o r t e g a 1 4 0 ，1 4 1 、j m o r 百 1 2 5 、r d u f f i n 5 3 、l c o l l a t z 4 7 】、a f r o m m e r 6 5 、d g r e e n s p a n 7 3 、d e 1 b a z 5 4 】等学者都在这方面作出了大量工作，该工作在二十世纪七十年代和八 十年代一度成为研究热点，该领域仍有大量问题亟待解决。 为了研究非线性异步迭代法的收敛性，f r o m m e r 于1 9 9 1 年将广义严格对角占 优矩阵推广到非线性情形，引入了非线性广义严格对角占优映射 6 8 1 ，并讨论了 其性质和应用，在该文中他提出了一个公开问题“当映射f ：口n _ 口n 的导函数 在口n 每一点都是广义严格对角占优矩阵时，f 自身是否为广义严格对角占优映 射? ”( 其中口竹为r 叫p 的矩形) ，针对这一公开问题，我们利用拓扑学中的有限覆 盖定理证明了定义在p 中的的凸紧集c 之间的映射f ，只要其导函数在c 中每一点 都是广义严格对角占优矩阵，则f 自身就是广义严格对角占映射，并用反例说c 的 凸性是必要的，另外我们也尝试将广义对角占优矩阵沿不同的方向引作非线性推 广，并研究了这些推广所得映射类的性质。 1 1 3 非线性s c h u r 补及其性质研究 对于一个2 2 分块矩阵 当p 可逆时可定义一个新矩 m ：i p f r身 m p = s r p 一1 q ， 称为p 在m e 的s c h u r - 卒b ，该思想可追溯至1 8 5 1 年剑桥数学家j a m e sj o s e p h 3 电子科技大学博士学位论文 s y l v e s t e & j l 入矩阵概念之时【1 6 7 】；1 9 1 7 年德国数学家i s s a is c h u r 在证明s h u r 行列 式引理【1 5 7 】：当p r = r p 时， 融( 主詈) = d e t ( p s - r q ) ， 的过程中首先用到了这种形式的矩阵。 为颂扬i s s a is c h u r 刘l 矩阵理论乃至整个数学所作卓越贡献，1 9 6 8 年美国数学 家e m i l i ev i r g i n i ah a y n s w o r t h 8 0 正式地将此形式的矩阵命名为“s c h u r - c o m p l e m e n t 并为学界普遍接受，此后在学界掀起了对s c h u v 补的性质和应用的持续深入 研究【9 ，11 ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，2 6 ，3 0 ，3 1 ，4 3 ，3 5 ，5 0 ，8 0 ，8 3 ，1 4 3 ，1 4 8 ，1 9 4 】。 借助于s c h u v 补人们可得到大量关于矩阵特征值和奇异值的不等式、矩阵不 等式，并将这些不等式用于统计理论和数值分析等领域，取得的许多深刻的结 果。 例如数值分析中经常会遇到线性方程组的求解问题，特别是基于正交多项式 的p a d d 逼近形式中，内插与外推算法通常涉及的大量复杂线性系统的求解，在处 理这些问题的过程中s c h u r - 3 l b 经常起着重要作用：在求解大型稀疏中所用先进迭 代技术中s c h u v 补也经常扮演重要角色。 在许多应用领域常会遇到维数不断增加的线性方程组序列求解问题，解此问 题常用外推法、e 一算法、l a n c z o s 法等加边技术，其主导思想是借助于s c h u v ) f 将 高维方程组的解用低维方程组的解表达出来递归地解决问题，具体方法如下： 对方程组a 七z 七：k 和a 七十1 z 七十1 ：6 七+ 1 ，其中a 詹+ 1 ：fa 饥1 ，酞+ l ： 魄 f k 1 i ，a 七形k 讥，u 七形样m ，魄t f “讥，n 詹l y , k x l a kk 舻k ，仇舒， c k 则方程组a 七+ l z 七+ 1 = b k + l 的解x k + 1 可表示为： z 七+ = ( 苫) + ( 一窘1 ) 筇1 c c k u 七u 七， 其中& 是a 七在a + l 中的s c h u v 补。 投影的思想在数值分析中有重要的应用价值，在r n 中设取和最分别表示由向 量组u l ，抛，让) 和向量组 ”1 ，忱，) 生成的子空间，沿硭在e k _ k l 拘投影 4 第一章绪论 算子可用矩阵 砍= 巩( 曙巩) _ 1 昭， 文学擘) 蜊。 d a i l c 2d 2 a ：1 、，d 1 b 1 u ? il g 风 d n 一1 上k 一 队 其中块对角矩阵d = d i a g ( d 1 ，d 2 ，玩) ，且d x = a 1 ，皿= a i g d 品鼠一1 ，i = l ，2 ，这里现便可看作s c h u r 4 1 。 域分解法是求解偏微分方程离散化所得线性方程组的重要方法，该方法的要 点是先将积分域分解成一些较小的子域，产生出一些较低阶的线性方程组；再并 行地求解这些小方程组；最后利用所得小方程组的解产生出整个问题的解，用此 方法求偏微分方程数值解关键是将所得解线性方程a x = b 变形为： 曩) ( 三兰) = ( 兰) ， 其中z 。，x 2 分别代表第一子域与第二子域中未知量所构成的向量，x 1 2 由以上两个 子域之间界面中未知量所构成的向量，显然求解x ，2 是最困难的，通过分析不难发 5 、l_、 l o 如砑 a o 砑 ，j一 电子科技大学博士学位论文 现z 1 2 也是方程组5 2 1 2 = 5 1 2 的解其中 5 1 2 = b 1 2 一砰a - i l b l 一霹a i l b 2 ， 显然5 ，2 与s 分别是6 ，2 与a ，2 分别在矩阵a 1 0 b x ) 与i a 1 0 e 1 ) 中 的原因是，在矩阵m = ( 主詈) 中要定义p 在m 中的s c h u 阱的先决条件 p = y ( 言三) u 幸， 6 第一章绪论 p t ：ufr 1 0 旷 ，00 为矩阵p 的m o o r e p e n r o s 逆，并将s c h u r 4 f 中的p _ 1 替换成p ti i l l 得：s r p t q 称为 矩阵p 在m 中的广义s c h u r - ) l ，仍记为m p 。 此后有学者也研究了广义s c h u r 4 b 的性质和应用，例如统计理论中在无偏估 计的方差下界的分析中扮演重要作用的广义多参数c r m 6 r - r a o 不等式c o v ( 亡( 秒) ) 一 g 口曰g ；o 与广义s c h u r 4 b 有关；在条件多元正态分布的研究中，如果随机向 量z = ( 兰) 服从期望向量为p = ( 竺) 和方差矩阵为= ( 茎兰功e 2 2 2 ) 的 正态分布，在x 2 给定的情况下x 1 的条件分布是期望为m = p 1 + e 1 2 e ? 2 2 ( z 2 一p 2 ) 方 差为s i s 2 2 = 1 1 一e 1 2 e 1 2 乞的正态分布等都与广义s c h u r - _ b 有关，借助于广 义s c h u r - 幸 , 还可证明与z l e 1 2 乞z 2 独立于z 2 。 由此可见，s c h u r 4 b 作为研究线性问题的强大而应用广泛的工具，其理论是 非常丰富的；关于s c h u r - 3 # , 在新领域中的应用仍在不断出现，能否将s c h u r - 牢b 思想 移植到非线性问题的研究中将是有意义的问题，对于丰富s c h u r - 牢b 理论和对于非 线性问题的研究是有意义和价值的，在此我们将提出非线性s c h u r - 幸b 的概念并研 究其性质和应用。 1 1 4 广义p e r r o n 一补及其性质研究 p e r r o n 一补的概念是美国数学家c a r ld m e y e r 在研究有限态马尔柯夫链的稳态 分布向量时所引入的概念【1 1 7 ，1 1 8 1 ，其所面对的问题如下： 对一个转移矩阵为m 的齐次不可约马尔柯夫链够，其稳态分布问题是求解 唯一的向量a = ( a 1 ，a 2 ，n m ) t 满足如下条件： 当m 较小时，此问题不难解决；但在许多实际应用中所面对的马尔柯夫链的状态 空间非常大，用常规方法难以求解。 由于并行机的出现和大量并行算法的引入让美国数学家c a r ld m e y e r 成功地 化解了此难题【l1 8 1 ，其主要思路是将m 阶的马尔柯夫链够分解成k 个具有心阶的较 小规模马尔柯夫链锯，( r i = m ) ，并具有如下性质： 函 ( 1 ) 只要够是不可约马尔柯夫链，所分解出的每个低阶马尔柯夫链够也是不可 7 0 啦 l l l 吼 m ：l 口 = 阢 电子科技大学博士学位论文 半径为p 的非负不可约矩阵；而且如果q = ( 兰) 是不可约随机矩阵a 的稳态分 是不可约随机矩阵只i 的稳态分布向量。 反之，如果p i 是不可约随机矩阵a l 均p e r r o n 一补r 的稳态分布向 量( i = l ，2 ，七) ，则西，已刃，& 磉) r 是可约随机矩阵a 的稳态分布向 量，其中f = ( 毒1 ，已，c k ) t 是不可约随机矩阵 c = a l a p a a 2 1 p 1 a k l p l l i a a 2 m l l l i a a k p k i i a 2 2 p 2 1 1 1 i i a l k p k a k 2 m l l l i i a k k p 七 的唯一的稳态分布向量。 藉d ：c a r ld m e y e r 完满地解决了他所面对的难题，大型不可约马尔柯夫链的 计算问题可以通过p e r r o n 一补这一工具转换为相互独立的小型不可约马尔柯夫链的 计算问题予以解决，为马尔柯夫链的数值解的研究提供了有效的工具 8 第一章绪论 另一方面，关于p e r r o n 一补自身性质的研究也引起学者们的兴趣，如c a r ld m e y e r 于1 9 8 9 年证明了不可约随机矩阵的p r r o n 一补是不可约随机矩阵【1 1 8 ；如 果a 是谱半径为p 的不可约非负矩阵时，则其所有的p e r r o n 一补也是谱半径为p 的 非负不可约矩阵；美国著名数学家m n e u m a n n 于2 0 0 0 年证明了当a 是不可约 逆m 一矩阵时，其任一主子矩阵c 在a 中的p e r r o n 一补仍是不可约逆m 一矩阵u 3 5 ， 即不可约逆m 一矩阵类在p r r o n 补运算下是封闭的，在同一篇文章中他还证明了不 可约三对角矩阵类在p e r r o n 补运算下的封闭性。 关于p e r r o n 补还有一个研究方向是将p e r r o n 李i 概念推广并研究这些新概 念的性质，美国数学家m n e u m a n n 于2 0 0 0 年将此概念推广为“e x t e n d e dp e r r o n a r 、 c o m p l e m e n t 【1 3 5 】：当m = i i 是不可约非负矩阵，t p ( a ) 时，a cd 在m 中位于t 处的e x t e n d e d p e r r o nc o m p l e m e n t 定义如下： 汐t ( m a ) = d + b ( t i d ) 一c ， ( 1 1 ) 并证明了当亡j d ( m ) 时，现( m 似) 的每个元素是关于t 的增函数，如 果夕( 叫a ) 是a 在m 中的s c h 盯- 补，则有以下两个有趣的关系式： 汐t ( m a ) _ 1 d _ 1 ( y ( m a ) ) ， ( 1 2 ) 以及当用r ( ) 表示一个矩阵的有向图时有以下关系式： r ( ( 夕( 舭) ) 一1 ) r ( d 一1 ) f ( ( 汐( a a ) ) 一1 ) 我国学者卢琳璋于2 0 0 2 年说明了只要t p ( a ) ，级( m a ) 都有定义，并证明 了在区间( j d ( a ) ，+ o o ) 内现( m a ) 严格单调增加，在此基础上找到了计算非负不可 约矩阵谱半径的有效算法【1l o 。 a b 、 我们在这里对任意复方阵m = l l ( c ) 和任意复数t c ，我们 c d 给出广义p e r r o n 补概念作为以上相关概念的推广，并讨论了广义p e r r o n 一补与我 们熟知的概念s c h u r - 牢l 、子矩阵、p e r r o n 一补之间的关系，说明子矩阵、p e r r o n 补、s h u r - 牵l 分别是广义p e r r o n 补在参数t 取不同值时的特例。 9 电子科技大学博士学位论文 1 2 研究方法与创新点 1 - 2 - 1 所用研究方法 在日一矩阵的判别问题的研究中我们主要采用了对矩阵的行指标集作不同的 划分，并利用矩阵自身的元素来进行判别；在非线性对角占优性的研究中我们主 要借助于拓朴学中的有限覆盖定理来解决问题，并用新的观点去看待非线性理论 中的对角占优性；在非线性s c h u r 4 b 的研究中我们主要用到了映射的线性运算与 复合运算，同时也用到了多元向量值函数的j a c o b i a n 矩阵的性质；在广义p e r r o n 牢b 的研究中我们主要用到了广义逆矩阵的概念。 1 2 2 本文创新点 1 、用不同的模式对矩阵行指标集进行划分，并以此为基础利用矩阵自身元 素刻画出大量的非奇异日一矩阵的实用判别条件，同时利用所得研究结果给出了 在m a f l a