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一类随机广义集值强非线性隐拟变分不等式 应用数学专业 研究生：张超指导教师：黄南京教授 摘要：众所周知，两百多年以来变分不等式理论是数学上的一个重要分支。 在理论科学与应用科学中，变分原理作为一种有力的工具，它可以解释数学与 金融以及物理等方面的基本原理。变分不等式理论作为变分原理的主要推广， 它能描述数学、物理学、经济学和工程学等方面的许多问题，近年来经典的变 分不等式理论已被大量地用于研究产生于应用数学、优化与控制理论、力学与 热学、线性与非线性规划、经济与金融、交通与运输均衡、微分与积分方程、 对策理论等各个领域的问题。本文，我们用带有从价关税( 按进口货物的完税 价格依法定税率而课征的关税) 的价格均衡模型，说明变分不等式理论的具体 实际的应用，并将其归纳为变分不等式问题( 补问题) 。 本文的目的是引入和研究一类新的随机广义集值强非线性隐拟变分不等 式问题，这类问题包含许多经典变分不等式、随机变分不等式、随机拟变分不 等式作为特例。并且利用随机有界线性泛函的随机表示定理及投影算子的性 质，我们把所研究的问题转化为一个随机映象不动点问题。借用n a d l e r 引理， 我们构造了逼近问题解的随机算法。在一定条件下，我们证明了这类问题解的 存在性以及由随机算法所产生的序列的收敛性。本文所得结果推广和发展了近 期一些作者的主要工作。 关键词：随机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题，随机集值映射，随 机算法，收敛性，存在性。 ac l a s so fr a n d o mg e n e r a l i z e ds e t v a l u e ds t r o n g l y n o n l q e a ri m p l i c i tq u a s i v a r l t i o n a li n e q u l i t i e s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：z h a n gc h a o a d v i s o r ：p r o f e s s o rh u a n g - n a n j i n g a b s t r a c t ：i t1 sw e l l k n o w nt h a tt h et h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si sa n i m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c sa n dh a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h e o r e t i c a l a n da p p l i e ds c i e n c ei nt h ep a s tt w oh u n d r e dy e a r s i nt h o s ey e a r s ，t h ev a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa r ea p p l i e dt os o l v es o m ep r o b l e ma r i s e ni na p p l i e dm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，n o n l i n e a rp r o g r a m ，e c o n o m i c s ，f i n a n c ea n dt r a n s p o r tf i e l d s n o tl o n ga g o ， a n a g u m e yd i s c u s s e das e r i e so ff i n a n c i a lp r o b l e m st h a tb a s e do nv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s t h i si saw i d e ra n db e t t e ru s eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st h e o r y i nt h i s p a p e r ，w ed i s c u s ss p a t i a lp r i c ee q u i l i b r i u mm o d e lw i t ha dv a l o r e mt a r i f f sw h i c h c a r tb ef o r m u l a t e di n t oav a r i a t i o n a li n e q u a l i t y p r o b l e m ( c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ) 。 i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e wc l a s so fr a n d o mg e n e r a l i z e d s e t - v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a ri m p l i c i tq u a s i v a r a t i o n a li n e q u a l i t i e sp r o b l e mw h i c h i n c l u d e sm a n yk i n d so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dq u a s i i n e q u a l i t i e sa ss p e c i a l c a s e su s i n gr a n d o mt h e o r yo f r a n d o mb o u n d e dl i n e a rf u n c t i o na n dt h ep r o p e r t yo f t h ep r o j e c to p e r a t o r ，w et r a n s f o r mt h i sp r o b l e mi n t oap r o b l e mo fr a n d o mm a p p i n g f i x e dp o i n t b yn a d l e rl e m m a ，w ec o n s t r u c tan e wi t e r a t i v er a n d o ma l g o r i t h mo f t h ea p p r o x i m a t i o ns o l v a b i l i t yo ft h i sp r o b l e m o nt h ec o n d i t i o n ，w ep r o v et h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h i sc l a s so fr a n d o mg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e ds t r o n g l y n o n l i n e a ri m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sp r o b l e ma n dt h ec o n v e r g e n c eo f s e q u e n c eg e n e r a l i z e db ya l g o r i t h m t h e s ew o r k si m p r o v ea n dd e v e l o ps o m er e c e n t m a i nr e s u l t so fs o m ea u t h o r s k e yw o r d s ：r a n d o mg e n e r a l i z e ds e t v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a ri m p l i c i t q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；r a n d o ms e t - - v a l u e dm a p p i n g ；r a n d o ma l g o r i t h m ； c o n v e r g e n c e ；e x i s t e n c e 四川大学硕士学位论文 一类随机广义集值强非线性隐拟变分不等式 应用数学专业 研究生：张超指导教o i l i ：黄南京教授 摘要：本文，我们考虑一个带有从价关税( 按进口货物的完税价格依法定 税率而课征的关税) 的价格均衡模型，并将其归纳为变分不等式问题( 补问题) ， 引入和研究一类新的随机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题，构造了一些 逼近问题解的随机迭算法。在一定条件下，我们证明了这类问题解的存在性以 及由随机算法所产生的序列的收敛性。 关键词：随机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题，随机集值映射，随 机算法，收敛性，存在性。 1 引言 变分学的发展是和它在力学、物理及工程等各方面的广泛应用紧密相关 的，古典变分理论在十八和十九世纪经典物理学发展中起过重要作用。二十世 纪量子概念出现后，变分法在物理学中的重要性并未减小，各方面不断提出新 的课题，促使变分法理论的研究愈加广泛。 在理论科学和应用科学中，变分原理作为一种有力的工具，它可以简明扼 要地解释数学与物理上的基本原理，对物理现象的数学表述起了极为重要的指 导作用。近些年来，由于f i c h e r a 和s t a m p a c c h i a 对变分不等式理论的贡献及 后来科学家的大量探索研究，使得这一原理得到更加丰富的发展。变分不等式 理论作为变分原理的主要推广，它能描述数学、物理学、经济学和工程学等方 面的许多问题，最近几年经典的变分不等式理论已被大量地用于研究产生于应 用数学、优化与控制理论、力学与热学、线性与非线性规划、经济与金融、交 通与运输均衡、微分与积分方程、对策理论等各个领域的问题( 详情见参考文 献【1 9 】) 。如今，变分不等式理论已成为数学上的- - i 1 重要的学科。事实上， 许多研究工作表明，这些理论为大量的线性问题和非线性问题提供了最直接、 最简单而有效的一般处理框架。 四川大学硕士学位论文 下面我们考虑一个带有从价关税( 按进口货物的完税价格依法定税率而 课征的关税) 的价格均衡模型，然后将其归纳为一个变不等式问题或补问题( 参 见参考文献【2 3 ，2 2 】) 。我们考虑m 个关于同类商品生产的供给市场，以及以 个需求市场，用i 表示典型的供给市场，表示典型的需求市场，设s ，表示供 给市场i 的供给，西表示需求市场，的需求。 令 j = ( s i ，s 2 ，) 7 r ”，d = ( d l , d 2 ，或) 7 r ”。设q 表示供给与需求市场( “) 之间的商品装运。令q = ( o o ) ( f = 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，n ) 。 商品装运及供给需求必须满足下面的守恒的方程： s t = q u i = 1 d ，= q f ，j = l ， 因此，每个供给市场的供给必须等于商品装运的总和。这个商品装运是 从那个供给市场到所有需求市场的，且每个需求市场的需求必须等于商品装运 的总和。这个商品装运是从所有供给市场到每个需求市场的。 现在，我们来描述价格和成本结构，让石，表示供给市场f 的供给价格，启 表示需求市场，的需求价格。 令丌= r 厅l ，石2 ，一，石。j r “，尸= r p l ，p 2 ，岛j r ”a 关于供给市场i 与需求市场- ，之间运送商品的运输成本用c 表示。令 c = f c l ? ) m 。r ”。 我们通常假定一个供给市场的供给价格依赖于每个供给市场的商品的总 供给，即 耳=耳(s)t12) 类似地，一个需求市场的需求价格依赖于每个需求市场的商品的总需求， 即 p = p 搿) ( 1 3 ) 假设关于一对供给需求市场间运送商品的每单位运输成本是固定的，即 它是独立于商品运送量的，固定的每单位成本用己表示，d 表示r r l x n 维向量， 令孑= r 瓦尢。因而我们有 2 )ll( 所 隈 四川大学硕士学位论文 c = 万( 1 4 ) 注：其它固定每单位运输成本和每单位关税包含于固定的石函数。下面我 们介绍莓剐关税，让白表示需求市场，从供给市场i 进口所用的关税，设白 d ， 关税的合并改变了价格均衡条件如下：所有对供给需求市场ji = l ，z ，m ， 户j ，2 ，疗，满足( 1 1 ) 的商品供给，运送及需求模型r s + ，q ，d + j 称为均衡， 如果 阢婀川。，鼢雾喜端 n s ， 因而，均衡点即如果供价与需求市场间运送的商品量是正的，则有效的 供给价格加上征税后的运输成本必须等于每个需求市场的需求价格。如果，供 给与需求市场间没有商品运送，则有效供给价格加上运输成本，可能超过需求 价格。 根据约束条件( 1 1 ) ，可以定义函数 彦。( q ) ；万。o ) ，i = 1 ，m ， p ，( q ) ；p ，( d ) ，- ，= 1 ，珂 这样可以得到n a g u r n e g ，n i c h o l s o n ，b i s h o p ( 1 9 9 5 ) 适用的带有关税的空间 市场模型的均衡条件的变分不等式： 窆杰眙，( q ) + 弓) ( 1 + ) 一k j ( q + ) ) 锄一q ，) o ，v q r + m ( 1 6 ) 如果定义 ( q ) ；盼，( q ) + 弓) ( 1 + 勺) 一声，( q ) ) ， v i ，j ， ( 1 7 ) 让f ( 9 = ( 磊( q ”r ”，则变分不等式( 1 7 ) 可以表示如下形式： 求q k ，使得f ( q ) ( q q ) 0 ，v q k ， 其中可行集k ；铡q r + ” 此问题可以转化为补问题：求q 0 使得 f ( q ) 7 0 ，f ( q ) q 0 ( 1 8 ) 四川大学硕士学位论文 本文的目的是引进和研究一类新的随机广义集值强非线性隐拟变分不等 式问题，为随机广义变分不等式和补问题研究提供一般的统一框架。我们构造 了逼近解的新的随机算法，证明了这类随机广义集值强非线性隐拟变分不等式 问题的随机解的存在性及由算法所产生的序列的收敛性，所得结果改进和推广 了近期一些作者的工作。 2 预备知识 本文以下处处设( q ，a ，u ) 是完备a 一有限测度空间，日是可分实h i l b e r t 空间，b ( h ) 是h 的一切b o r e l 子集的。一域，我们分别用( ，) 和表示 h 上的内积和范数，2 ”是日的一切非空子集之全体，c b ( 日) 表示h 的一切 非空有界闭集之全体，h 表示c b ( h ) 上由范数”0 导出的h a u s d o r f f 度量。 定义2 1 映射x ：q _ h 称为可测的，如果对任一b b ( m ， 1 2 ：x ( c o ) e b a 定义2 2 映射t ：q h 呻h 称为随机算子，如果对任一 x e h ，t ( o ，= x ( ) 是可测的。随机算子丁称为连续的( 线性的，有界的) ， 如果对任一x h ，映射t ( o ，) ：h 一日是连续的( 线性，有界的) 。 定义2 3 集值映射f ：q - - 2 ”称为可测的，如果对任一 b b ，f 一1 ( b ) = 1 2 ：f ( o ) n b 妒 a 定义2 4 映射“：q - - h 称为集值可测映射f ：q 岭2 ”的可测选择，如果 “是可测的，且“( ) f ( 彩) ，v d ) q 引理2 “1 8 设一随机泛函a ：q h h 只满足下列条件： ( 1 ) 对任意0 ) q ，a ( o ，) ：h x h 只是一有界双线性泛函。 ( 2 ) 对任意“，y h ，口( ，“，v ) ：力斗r 是一可测泛函。 则存在唯一一个随机有界线性算子a ：q h 一日，使得v “，v h ，q ， 有 ( 爿( ，”) ，v ) = 口( 国，“，v ) ， 0 爿( ，“) l l = i k ( ，) - 其中 l i a ( , o ，) 0 = s u p i 一( m , u ) l l ：l l u l l - cl il k ( 。，t ) l i = s u p a ( c o ，“，v ) i ：i l u l l - c1 ，1 1 v i i 1 定义2 5 映射v ：q x h 斗2 ”称为随机集值映射，如果对任一 4 四川大学硕士学位论文 x h ，矿( - ，x ) 是可测的。随机集值映射v ：o x 斗c b ( h ) 称为 一连续的，如 果对v o j q ，y ，) 是在h a u s d o r f 度量h 上连续的。 定义2 6 映射4 ：q x h 。冗称为一随机强制有界双线性泛函，如果 满足下列条件： ( 1 ) 对任意珊口，a ( c o ，r ，) 是双线性的，且存在可测泛函d ，p ：q 寸( 0 ，o 。) ， 使得对v u ，v ，q ，有 口( ，“，v ) 2 d ( 甜) i l u l l 2 ，k ( ，“，v ) l 卢( ) 一l k ( 2 ) 对任意“，v 日，口( ，“，v ) 是一可测泛函，其中) ，p ) 为强制系数。 显然口( 彩) 洄) ，v c o 力。 设u ，矿，k ：q h 呻2 ”是三个随机集值映射，对每一0 ) q ， x 日，k ( e o ，x ) 是h 的非空闭凸子集，设f ：q h h - - y 日是一随机算子， a ：q h h _ r 是一随机泛函，现在我们考虑下面问题： 寻求可测映象“，x ，y ：q 一日使得对任意q ，v k ( c o ，x ( 国) ) ，有 厂( ，“( ) ，工( ) ) k ( 国，x ( ) ) ，x ( ) u ( c o ，“( ) ) ，y ( c o ) v ( c o ，“( ) ) ， 日( ，“( ) ，v f ( c o ，“( ) ，x ( c o ) ) ( y ( 回，v 一厂( 缈，( ) ，x ( 脚) ) ( 2 1 ) 问题( 2 1 ) 称为随机广义集值强非线性隐拟变分不等式。 如果u 是一恒等映射，则问题( 2 1 ) 等价于求可测映射“，y ：q 寸h ，使 得对任意q ，v k ( e o ，x ( c o ) ) 有 f ( c o ，“( ) ，z ( ) ) 足( ，x ( ) ) ，y ( ) v ( c o ，“( 出) ) ， a ( 0 2 ，“( ) ，v f ( c o ，u ( c o ) ，x ( ) ) ( y ( c 0 ) ，v - f ( t o ，“( 珊) ，x ( 国) ) ( 2 2 ) 问题( 2 2 ) 称为随机广义集值非线性隐拟变分不等式，为一个新的变分 不等式。 如果是恒等映射，则问题( 2 1 ) 等价于求可测映射盯，x , y ：f 2 一日，使 得对任意q ，v k ( o ，工( c o ) ) 有 u ( e o ) k ( ，x ( 国) ) ，x ( c o ) u f f o ，“( ) ) ，y ( 0 2 ) v ( c o ，“( 国) ) a ( e o ， ( 国) ，v 一“( ) ) ( y ( ) ，v 一“( 国) ) ( 2 _ 3 ) 四川大学硕士学位论文 问题( 2 3 ) 称为随机广义集值强非线性拟变分不等式。 如果，是恒等映射，则问题( 2 2 ) 等价于求可测映射”，y ：q 呻日，使得 对任意q ，v k ( c o ，x ( a o ) 有 “( 卯) k ( r o ，x ( e o ) ) ，y ( o ) 矿( ，u ( o j ) ) 口如，“如l v 一“0 ) ) ( y o l v 一“b ” ( 2 4 ) 问题( 2 4 ) 称为随机广义集值非线性拟变分不等式。 如果世( ，“) = 卅( ， ) + k ，v q ，“日其中m ：q 日斗h 是一随机算 子，k 是h 的非空间凸子集，则问题( 2 1 ) 等价于求可测映射u ，x ，y ：q 斗h 使得对v 甜妇，v m ( o o ，工( ) ) + k 有 f ( c o ，“( n ) ) ，x ( 甜) ) k ，x ( 0 2 ) v ( e o ，u ( c o ) ) ，y ( c o ) v ( c o ，“( n ) ) ) ， a ( c o ，“( ) ，v f ( 0 2 ，“( ) ，x ( ) ) ( y ( ) ，v f ( c a ，“( ) ，x ( ) ) ( 2 5 ) 问题( 2 5 ) 称为随机完全广义集值隐拟变分不等式，参见参考文献f 6 1 显然，问题( 2 1 ) 包含了许多种随机变分不等式( 补问题) 和随机拟变 分不等式( 拟补问题) 作为特例 3 ，1 0 ，1 3 ，1 6 ，1 8 2 1 】。 如果口( 蛾玩v ) 是随机强制有界双线性泛函，则由引理2 1 ，存在唯一个 随机有界线性算子a ：q 爿斗，使得对v u ，v h ，q 有 0 0 ，“) v ) = a ( m ，“，v ) 由此，可得到以下结论： ( 1 ) 问题( 2 1 ) 等价于求可测映射“，x ，y ：q 寸日使得对任意 0 ) q ，v k 0 ，x 0 ) ) ，有 厂0 ，甜如) ，x 0 ) ) k 如，x 如) ) ，x 如) u 如，“如) ) ，y 如) 矿0 ，材如) ) ， 0 ( ，“) ，v 一，如，“0 l x 0 ) ) ) ( y o l v 一，0 ，“白x x ) ) ) ( 2 6 ) ( 2 ) 问题( 2 2 ) 等价于求可测映射“，y ：q 斗h ，使得对任意 c 0 q ，v 五0 ，“0 ) ) 有 厂0 ，“0 ) ，“0 ) ) k 0 ，“如) ) ，_ y 0 ) y 0 ，“0 ) ) ， ( a ( c o ，“) ，v 一，“l ” ) ) ) 0 ) ，v 一，0 ，“) ，“) ) ) ( 2 7 ) 6 四川大学硕士学位论文 ( 3 ) 问题( 2 , 3 ) 等价于求可测映射“，x ，y ：q 一日，使得对任意 q ，v k ，x 0 ) ) 有 “0 ) k 0 ，x 0 ) ) ，4 0 ) v ( o ，“0 ) ) ，y 0 ) v ( o ，“0 ) ) ( a ( c o ，“) ，v 一“0 ) ) 0 l v 一“妇) ) ( 2 8 ) ( 4 ) 问题( 2 4 ) 等价于求可测映射“，y ：q 日，使得对任意 ( i ) q ，v k 0 ，“0 ) ) 有 “如) k 0 ，“如) ) ，y 如) 矿0 ，“如”， ( 爿( 脚，“) ，v 一“( ) ) ( y ( ) ，v - u ( c o ) ) ( 2 9 ) ( 5 ) 问题( 2 5 ) 等价于求可测映射“，x ，y ：q 呻日，使得对 v q ，v m b ，x 如) ) + k 有 厂b ，“如l x 如) ) 一聊如，z 如) ) e k ，x 如) e u b ，“0 ) ) ，y 如) 矿如，“0 ) ) ， 0 ( 珊，“) ，v 一厂妇，“如l z 妇) ) ) 0 ) ，v 一，白，“) ，x b m ( 2 1 0 ) 3随机算法 在这一节中我们构造了随机广义集值强非线性隐拟变分不等式( 2 1 ) 的 随机算法。 现在我们先给出下面的引理和定义： 引理3 1 1 4 设v ：q h 寸c b ) 是h - 连续的随机集值映射，则对任一 可测映射“：q 日，集值映射y ( ，“( ) ) ：q _ c b ) 是可测的。 引理3 2 1 1 4 设v ，：q _ c b ) 是两个可测集值映射，对v s 0 的常 数，“：n 斗h 是y 的可测选择，则存在矿的一个可测选择v ：q 斗，使得 v q有 l k 如) 一v b 渊s ( 1 + s ) t o ，0 ) ，( 。) ) ) 引理3 3 3 如果k 是日的闭凸子集，z h 。则训：k ，满足下面不等 式 四川大学硕士学位论文 0 一z ，v 一“) 0 当且仅当 “= 斥z ( 3 1 ) 其中& 是h 到k 上的投影。映射是非扩张的，即v “，v h 有 恢0 ) 一& 怯一v l l 引理3 4 1 5 设k 是日的闭凸子集，m ：q 日j 日是随机算子，如果 k 0 ，“) = b ，“) + k ，v ( o q ，h ，则v v h 有 & ( 。) ( v ) = m 如，“) + r ( v 一棚如，“n v 0 ) q “日 由( 2 6 ) 和引理3 3 ，我们口 得到f 向的引理： 引理3 5 设u ，v ，k ：q h 一2 ”是三个随机集值映射，使得对每一 q ，x h ，k ( ，x ) 是h 的非空闭凸子集。设f ：q h h 专是随机算 子，口：q h 日一r 是随机强制有界双线性泛函，则可测映射“，x ，y ：q 寸h 是问题( 2 1 ) 的解，当且仅当对v q 有 x 0 ) u 0 ，“如hy 0 ) ey b ，“0 ) l 厂如，“b l x 如) ) = 攻h ，杪0 ，“0 l x 0 ) ) + p 如) 0 ) 一如，“如) ) n ( 3 2 ) 其中p ：q 斗( 0 ，c o ) 是可测泛函，a ：q h - h 是随机有界线性算子，对 v “，v h ，0 ) q 有0 如，“l v ) = d 0 ，“，v ) 。 定义3 1 设k ：q h 斗2 “是一随机集值映射使得，对每一 q ，x 日，k 0 ，x ) 是日的非空闭凸子集，投影斥“，) 称为l i p s c h i t z 连续随 机算子，如果 ( 1 ) 对任给工，z h ，r z 是可测的 ( 2 ) 存在可测泛函1 1 ：q 寸( o ，) 使得对v x ，y ，z 日，q 有 i i & ) z 一& ( 。) z 忙1 1 如) 忙一y l l 命题3 1 如果k ( 珊，x ) 为引理3 4 中所定义的，m ：q 日一日是l i p s c h i t z 连续随算子。则坟( 。1 为l i p s c h i t z 连续随算子 证明：显然，对任给x ，z h ，& ) 是可测的。 四川大学硕士学位论文 再者，对任意x ，y ，z h ，q ，根据引理3 3 和引理3 4 有 l k 】z 一& ( 。) z 0 = 1 1m 白，x ) + & g 一埘白，x ) ) 一m 0 ，y ) 一足g m 0 ，y ) ) | | - cl l m ( o ，x ) 一m 白，y 】i + i i 乓( z 一卅0 ，x ”一攻g m 0 ，y 驯 s2l i r a ，x ) 一肌如，y 1 由于坍为l i p s c h i t z 连续随机算子，所以& ( 。) 也是l i p s c h i t z 连续随机算 子。 由b 1 理3 5 ，下面我们构造问题( 2 1 ) 的随机算法： 算法3 1 设f ：q h h 斗h 是连续随机算子，k ：q h 斗2 ”为一随 机集值映射，使得对每一o ) q ，x h ，k ( c o ，x ) 为h 的非空闭凸子集，& ( 。) 为 l i p s c h i t z 连续随机算子。设u ，v ：q 日_ c b 旧) 为h 连续随机集值映射， 口：q h h 斗r 为随机强制有界双线性泛函。对任意可测映射：q 斗日， 由引理3 1 知集值映射u ( ，( ) ) ，y ( ，) ) ：q 专c b ) 是可测集值映射。因而由 【1 2 知存在u ，( ) ) 的可测选择：q 斗h 及矿( ，( ) ) 的可测选择 y o ：q 寸h 。设 “0 ) = 0 ) 一如，如1 0 ) ) + & ( 。硝。 妙0 ，如l 0 ) ) + p 如) 。如) 一4 如，0 ) ) ) ) 则q ：q 斗h 是可测的。其中p ，a 同引理3 5 。由于x o ( o du 0 ，“。) ) c b ( h ) ， 由引理3 2 ，存在u ，托0 ) ) 的可测选择_ ：q 哼日及v ( o ，“。0 ) ) 的可测选择 m ：q 一日，使得对v o ) q ，有 o ) 一一o 】b ( 1 + p o ，o ) ) ，u h ) ) ) ， 1 1 。) 一m 。( + 一妒。，“。b n 矿。幽。m 设 9 四川大学硕士学位论文 “：0 ) = 0 ) 一，0 ，“。0 l 一0 ) ) + & ( 。小) ) 驴0 ，q o l 一0 ) ) + p 0 炒，0 ) 一爿0 ，“。0 ) ) ) ) 则“2 ：q 寸h 是可测的。 由一般归纳法，可以定义三个可测映射序列缸。0 ) k 扛。0 ) kb 。如) ，使得 对v q ， = 0 , 1 “2 - ，矗白) u 白，0 批儿白) y 0 ，白) ) 且 恢b ) 一x 。如】l ( 1 + - 击 白，白) ) u 白，“。白m 忱白) 一y 。白( 1 + i 1 _ o ，如以妇n 矿b 以+ ，如) ) ) ， u n + l 如) = u n 如) 一1 ，如，“。b ) x 。b ) ) + 最( 。( 。) ) ( 厂( 咄b l 0 ) ) + p 如) ( y 。如) 一爿0 ，如坳 ( 33 ) 类似地，我们可得到下面一些算法： 算法3 2 设k v , f 及口同算法3 1 ，则对任意可测映射：q 寸h ，可以 定义两个可测映射序列缸。) ) ，抄。妇) ) ，对v c o q ，n = 0 , 1 州2 t ， 虬p ) ey 如，) ) 有 忱b ) 一y 。白s ( 1 + 未了) a o ，o 以n 矿o ，“。o ) ) ) ， “。0 ) = b ) 一，0 ，b ) ，k 0 ) ) + & ( 。知 如，0 ) ，矗0 ) ) + p o h 0 ) 一4 0 ，0 黼，( 3 4 ) 其中a 。p 同引理3 5 算法3 3 设五p y 及口同算法3 1 ，则对任意可测映射甜。：q 寸h ，可以 定义三个可测映射序列恤。b ) ) ，k 0 ) ) ，饥0 ) ) ，使得对v 出q ，n = 0 12 ， 矗) u 0 ，0 强儿p ) 矿，”有 恃白) 一x 。( 1 + 未了卜p 白，o 巍u 白，“。白) ) ) ， 四川大学硕士学位论文 l k ) 一y 。白( + 击 m 妒“。h 矿。+ 。m u n + 1 0 ) = b ( ：。( 。) ) 0 。白) + p 白渺。) 一爿白，0 ) m ( 3 5 ) 其中a ，p 同引理3 5 。 算法3 4 设k 、v 及a 同算法3 1 ，则对任意可测映射”。：q h ，可 以定义两个可测映射序列函。妇) ) ，d 。如) ) ，使得对v 脚q ，n = 0 , i 2 一， _ y 。白) 矿 ，扫) ) ，有 l i 如) 一n + 。白( + 者 o ，b 以如n y 如，“。) ) ) ， “。如) = 最( 。，。) ) 0 。) + p 妇渺。妇) 一a ( o ) ，n n 妇) ) ) ) ( 3 6 ) 其中a p 同引理3 5 4 存在性和收敛性 本节我们讨论随机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题( 2 i ) 的随机 解的存在性以及由算法所构成的随机迭代序列的收敛性。 定义4 1 随机算子f ：q h x h 斗日称为： ( 1 ) 关于第二变元强单调的，若存在一可测泛函6 ：q 一( o ，* ) ，使得对 v c o q ，“，v h ， ( ，0 ，”) 一厂0 ，v ，- ) ，“一v ) 8 ( q l u v n ( 2 ) 关于第二变元l i p s c h i t z 连续的，若存在一可测泛函7 ：q 寸( 0 ，0 0 ) ， 使得对 i i 厂b ，”) 一，0 ，v ，y 0 壮一v 其中6 0 ) 和t 轴) 分别称为弹单调系数和l i p s c h i t z 系数。 类似地，可以定义随机算子，关于第三变元的强单调性和l i p s c h i t z 连续性。 定义4 2 随机集值映射v ：q h c b 旧) 称为h - l i p s c h i t z 连续的，若存 在一可测泛函t 1 ：q _ ( o ，0 0 ) ，使得对v q ，, ，v h ， 四川大学硕士学位论文 妒0 ，甜) ，y 0 ，v ) ) t 1 0 舡一v 其中q 0 ) 称为h - l i p s c h i t z 系数。 定理4 1 设k ：q h 一2 ”为随机集值映射，使得对每一 n ，z h ，足0 ，x ) 为h 非空闭凸子集。& ( 。，) 是l i p s c h i t z 连续随机算子， 其相应的l i p s c h i t z 系数为y ( o ) 。设f ：q h h 斗日关于第二变元为强单调 l i p s c h i t z 连续随机算子，其相应的强单调系数和l i p s c h i t z 系数为6 b ) 和6 0 ) ， 且关于第三变元是l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 系数为九0 ) 。设 u ，v ：q h 斗c b ( h ) 为h - l i p s c h i t z 连续随机集值映射，其相应的h - l i p s c h i t z 系数分别为0 ) 和1 1 如) ；日：q h h 斗r 为随机强制有界双线性泛函，其相 应的强制系数分别为a 0 ) 和p 如) 。若对v ( 0 q ， 眇( o d 等糍铲卜 堕堕! 二g 二生堕趁鱼登二鲤：鱼! 二翌：塑迸塑逛二墨堕塑。， 2 b ) 一r 2 b ) 一 a 0 ) ( 1 - 七0 ) h 0 ) + ( p 2 如) 一t 12 0 ) ) j 如x 2 一0 ) ) ， ( 4 2 ) p o h 0 ) 1 一) ，”0 ) a 如) ， ( 4 3 ) 女0 ) = 0 0 ) + 2 y 0 比0 ) + 2 1 2 6 0 ) + g 2 0 ) 1 ， ( 4 4 ) 则存在可测映射“，x ，y ：q 专h 是随机广义集值强非线性隐拟变分不等式( 1 1 ) 的解。对v e q ，b ) 斗“0 x x n 0 ) 斗x o l ) j y 0 ) ，当n _ o o 时，其 中缸。0 ) ) ，扛。0 ) ，移。0 ) 是算法( 3 1 ) 所生成的三个可测映射序列。 证明：根据算法3 1 ，定义3 1 ，引理3 2 ，有 帆+ 。o ) - - u 。0 = 慨0 ) 一“。( o d 一，白，0 l h 0 ) ) + 厂，“。0 ) ，x 。白) ) + 最( 。( 硼驴0 ，0 1 白) ) + p o x y 。( o d - a ( o o ，0 ) ) ) ) 一只抽。驴白，“。白) ，x n - 1 0 ) ) + p o b 。白) 一4 白，“。( o m ) l l 慨0 ) 一。) 一驴0 白x 毛) ) 一厂0 以一，0 l 矗一。( o d ) l i 些型奎兰堡主兰垡望苎 + 0 b 。( 硼( 厂0 ，c o ) , x n ) ) + p o b 。白) 一一，0 ) ) ) ) 一最h “硼( 厂0 ，“。0 l x n - 1 0 ) ) + p o b 。0 ) 一彳0 ，“。白删i + l 限( 。( f ( o ) ，b i n _ 10 l x n - ib ”+ 尸x 一- 0 ) 一4 0 ，- ) ) ) ) 一坟( 。一硼( ，如，“。l x n - i 白) ) + p 炒。0 ) 一4 0 ，“。白删l - 2 1 1 “。白) 一“。如) 一( ，如，白l “) ) 一，如，一，0 3 ) , x n 白冽j + y 白】h 白) 一稚。如+ p 白】ko ) ) - y 。白 + 扫) 一“。) 一p ( o , x a ( o 。，b ) ) 一如，“。如) ) 酢 ( 4 5 ) 由( 3 2 ) 式及定义4 2 可得 i i x 。( ) 一x 。如f 1 + 1 1 眇( “。向) ) ，【，( ，“。如) ) ) ( t + 珈砒如) 吨如 s ， 怫妇) 一y 。妇( + 书a 缈如“妇) ) j 矿如，。) ) ) ( - + 去 叩如批。白) 一。妇孙 c 4 m 由于口白，”，v ) 为随机有界双线性泛函，厂为关于第二变元单调l i p s e h i t z 连 续且关于第三变元l i p s c h i t z 连续随机算子，我们有 帆0 ) 一“。0 ) 一p b x 爿0 以妇) ) 一一0 ，“。嗍1 2 - 0 2 p o k 0 ) + p 2 如归2 n , ) l l u 。0 ) 一“。】1 2 ( 4 8 ) 及 帆0 ) 一，0 ) 一驴白，0 l 白) ) 一，白，。) ，稚。0 ) ) 1 i 慨0 ) 一。0 ) 一( 厂0 ，。0 ) ，x 。0 ) ) 一，0 ，“。0 ) ，x 。0 冽l + 1 1 ，如，一。白) ，矗) ) 一厂“一；0 ) x 。0 婴型查堂堡圭兰篁堡苎 i 二五丽f 雨帆白) - - u n _ 1 白+ 五0 】h 白) - - x n _ 1 0 ( i 二芝孑i i 而+ 五( ) f 。) ( + 去l l , i “。c o ) - - u n _ i 白( 。9 ) 根据不等式( 4 5 ) - ( 4 9 ) 有 慨+ 白) 一白幺妇壮。白) 一，如 其中 以) = b 白) + i 了反面虱习了歹百砀啊+ 尸白h 1 1 + i i ) b b ) = 2 舡二况习硼+ f b l l + 丢 如) + 2 兄如) ) 由( 4 i ) ( 4 ，4 ) 可知当n 足够大时0 岛) i 。所以扛。白) 为c a u c h y 序列。因此b ) 专“如) 当n 斗c 。时。由( 4 6 ) 、( 4 7 ) 可得x 。0 ) ) ，侈。如) 也是c a u c h yj 亭y l l 。设h 0 ) - x o ) ，y 。如) 斗y b ) 。由于0 。如) ，扛。如) ) ，扣。如) 都是可测映射序列，因此“，x ，y ：q _ h 也是可测的。现在证明 ，“如l z 如) ) = 坟( 。( 硼驴白，“白) ，z 白) ) + p 白炒如) 一爿( ，“0 ) ) ) l ( 4 1 0 ) 事实上，由( 4 2 ) 式只要证明 ! i + m 。= - p r ( 。( 硼杪，如) ，霸白”+ p b 舰白) 一爿如，白) ) ) ) = 坟( 。( 硼( 厂，“如l x ) ) + 户0 炒0 ) 一4 0 ，“白) ) ) ) 根据定义4 1 ，引理4 3 有 i l & ( 。- ) ) ( 厂0 ，白l 矗0 ) ) + p 0 ) c y 。0 ) 一爿0 ，“。0 ) ) ) ) 一乓( 。o r ( o , ，“0 l x 0 ) ) + p o b ) 一以0 ，“0 ) ) ) ) l i 乌i & 。( 。 ( 厂0 ，如1 0 ) ) + 尸) ( y 。0 ) 一彳白，白) ) ) ) 一乓抽州硼驴白，“白) ，x 0 ) ) + p 0 ) ( y 0 ) 一爿，“白) ) ) ) | | + l 最抽。 杪，”如) ，x 白) ) + p 如渺如) 一爿如，“白) ) ) ) 四j i l ；k 学硕士学位论文 一耳，( 。) ) u 0 ，u ( c o ) , x ( a j ) ) + p ( o j x y ( c o ) 一4 0 ，“0 ) ) ) ) 0 - l l s ( o ，l 矗如) ) 一厂( 0 】，甜0 l x ( o ) 驯+ p 幻l k 如) 一y 0 + p ( c o ) i i a ( o ) ，如) ) 一爿0 ，“0 + y 0 】k 0 ) 一x ( o d t l 因为u n ) 寸“如) ，b ) 斗x 妇) ，虬0 ) 寸y 白) 所以等式( 4 1 0 ) 成立