（应用数学专业论文）资产筛选与有效子集.pdf

摘 要 其 中 才满 足c o v ( x ; , 砖 ) = 0 , : 二 1 , 2 , . . . , k ， 且 有p i = e kj - 1 弓 p e (才 = 。 这里a, x i , i =1 , 2 , . . , n， 分别表示第i 种资 产的当 前价格和未来价值. 4. 1 5 在资产允许卖空的条件下，s k是s 的均位一 方差有效子集的充要条件 一.工jes工 拼井 k七 巧姚 2.!气、 k 胡 已引川川1叼 闪脚 vi姚二 巧巧二 一 v k k a k v i k v 2 k 减 v k l v k 2v k k v k + l :v k + 2 ,2 v k + l ,k拼k +l v . i 这 里均 二c o v ( r i , r j ) , u i = v n 2 e 1r i ) , ， ， v n k i k n 二1 , 2 ， . , n. .定理 5 . 1 3在资产允许卖空的条件下，s k 是s n在 价格一 均值一 方差标准下的有效 子集的充要条件为 八勿pk 功吻二取 几脚 仇珑 呱呱。呱晰姚 14 7 1 2 叭 2 wll肠岭 2矛1esll、 k an wla肠 wll肠 二肠 一叭 几 厂n q石 飞l 一- 一 呱 ;叭 :哄 k r ? k p k 叭+ 1 ,1叭+ 2 ,2 呱十 1 ,k决十 、p k + l w. 1 其中哄; 二c o v ( x i , x j ) , ， 二 w. 2 e x i , ， ， ， .定理 6 . 1 3在资产不 允许卖空的条 件下 ， 仅定凡 的有效前沿不是单点集，那么又 kk 存 在弓 1 1 t i s , . . 弓 * e r， 使 得 摘 要 1 . 对 于 任 何 任 s k s j ，弓 、 全。 ; 弓 l + tj : 十 + t ; : 二1 , t jj , /, 、 十 t 7,j z p : 十 对 于 任 何i e 与， 巧 * 全弓 i v i , + t 头 v z ; +二 二 +t j k p * 二u ; +t j k v k s . 理论愈义及应用 共 同 荃金分 离问 题( m u t u a l f u n d s e p a r a t i o n p r o b l e m )在 资 产 允 许 卖空 的 情形 ， 均 值一 方差有效子集的定义等价于 “ 子集的组合前沿恒同 于全集的组合前沿“. 因此在均 值一 方差标准下求有效子集的间题与传统的共同 基金分离间题紧密联系. 我们的结果不 再 假 定 资 产 集 协 方 差 矩 阵 的 正 定 性 ， 从 而 推 广 了 前 人 在 这 一 问 题 上 的 研 究( 1 9 ) 在 资 产不允许卖空的情形， 定理 6 . 1 3 是 “ 共同基金分离问 题” 的一个新结果. c a p m ( c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l )利 用 均 值一 方 差 有 效 子 集 的 概 念 和 结 论 我 们 推导出 一般资 产集的0 一 刀c a p m和c a p m( 见 论 文定理7 . 4一 7 . 6) . 这 些 结果不 再 假 定 资 产 集 协 方 差 矩 阵 的 正 定 性， 从 而 推 广了 传 统 的c a p m理 论( 2 4 , 14 2 , 5 4 ) . ma r k o wi t z组合选择理论本文第四章和第六章分别讨论在资产允许卖空条件下 和不允许卖空条件下一般资产集的均值一 方差组合前沿和有效前沿的 分类与构成( 定理 4 . 7:4 . 8，6 .8) ， 这些结果不再假定资产集协方差矩阵的正定性， 从而推 广了传统的 m a r k o w i t z 组 合 选 择 理 论 3 1 , 3 2 ) . 第 五 章 在 价 格一 均 值一 方 差 标 准 下 的 讨 论 给 出 度量该标准下组合前沿变化的两个指标.利用资产的当前价格、 未来价值的期望和协方 差，可以方便地计算出这两个指标.因为在价格一 均值一 方差标准下的当前价格为正的 前沿组合也是 ma r k o w i t z 均值一 方差标准下的前沿组合， 所以这两个指标同样可应用 于均值一 方差标准下的ma r k o w i t z 组合选择理论. .求解有效子集的算法 利用定理4 . 1 5 及5 . 1 3 ， 我们 编写出求解有效子集的算法 参见 论文 8 . 1) ， 可以 从资 产收 益率的 均值和协方 差出 发 搜索 均值一 方差有 效子集 及价格- 均值一 方差有效子集.这一算法使我们的理论可以方便地应用于金融投资实务. 有效子集的概念可以将投资实务中的资产筛选过程与组合选择理论结合起来， 既缩小了投 资者的投资范围， 又不会错过降低组合投资风险的机会. 从ma r k o w i t z 组合选择理论的实际应 用可以知道， 涉及上千种股票的最优投资组合问 题往往只需投资在几十种股票上就可以 解决. 这说明有效子集相对于资产全集来说有可能会小得多， 资产筛选和有效子集在金融投资实务中 的应用是大有可为的. 关艘词: 资产筛选， 有效子集，ma r k o w i t z 组合选择理论， 共同基金分离问 题， 构成集， 均值一 方差标准，价格 一 均值一 方差标准 摘 要4 ab s t r a c t wh e r e t h e p r o b l e m c o me s f r o m t h e p o r t f o l i o s e l e c t i o n t h e o r y p r e - s e n t e d b y m a r k o w i t z ( 3 1 , 3 2 ) v e r i fi e d t h e o r e t i c a l l y a n d m o d e l i z e d t h e t h o u g h t t h a t i n v e s t i n g d i s p e r s e d l y o n a l a r g e a s s e t s s e t c a n l o w e r t h e r i s k e f fi c i e n t l y . i t h e l p s i n v e s t o r s c h o i c e a p o r t f o l i o i n s t e a d o f a s i n g l e a s s e t s o t h a t t h e y c a n k e e p a n e y e o p e n o n t h e r i s k . h o w e v e r , i t i s m o r e a n d mo r e u n p r a c t ic a l a s t h e s e t o f i n v e s t a b le a s s e t s b e c o me s mo r e a n d mo r e e n o r mo u s w i t h t h e t r a d a b l e s e c u r i t i e s a n d d e r i v a t i v e s i n c r e a s i n g d r a m a t i c a l l y . c a n w e s e le c t a n s u b s e t f r o m t h e a s s e t s w h o l e s e t s u c h t h a t i n v e s t i n g o n t h e s u b s e t i s e q u i v a l e n t t o i n v e s t i n g o n t h e w h o l e s e t ? p r i n c i p a l c o n c e p t s .me a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n g i v e n a n y p o r t f o l i o s 0 1 a n d 0 2 , 0 1 d o m i n a t e s 0 2 a c c o r d i n g t o th e m e a n - v a r i a n c e c r it e r i o n , if e r y , e r 9 2 a n d v a r r p 0 e i s o , t h e n d e n o t e 凡 a s t h e i n d e x s e t o f v v ; d e n o t e 凡 a s t h e f r a me s e t o f 凡， i f w i s a l s o a f r o n t i e r p o r t f o l i o o f s w i t h o u t n e g a t i v e h o ld i n g s . 摘要 5 p r i n c i p a l r e s u l t s .t h e o r e m 4 . 1 3 s k i s t h e r n e a 。 一 。 a r i a n c e e f f i c i e n t s u b s e t o f 凡 w i t h n e g a t i v e h o l d i n g s , i f a n d o n l y i f : v i e凡， t h e r e e x is t 弓e r , j =1 , 2 ， 一， k a n d a r a n d o m v a r i a n t : 季 ， s u c h t h a t 二二代 x ; 十 码 二 : + 十 火 x k + 玲 ， w h e r e e ; s a t is fi e s c o v ( x j , e ; ) 二 0 , j 二 1 , 2 , ， ， k , a n d 、 - l j - 1 0 j p j , e e q j 二0 , p + , x d , i = 1 , 2 ， 二， , n a r e c u r r e n t p r i c e a n d f u t u r e v a l u e o f t h e i t h a s s e t r e s p e c t i v e l y . .t h e o r e m 4 . 1 5 凡i s t h e r h e a 。 一 。 a r i a n c e e ff i c i e n t s u b s e t o f 凡 w i t h n e g a t i v e h o l d i n g s , i f a n d o n l y i f : r a n k v 1 2v i k a l 1 v 2 2 v a p 2 1 勺二闷.占 二11 1、2 拜户二 旅 赚姚讥二 竹珠饰 vi姚二 = r a n k v k 1钱2 二v k k o k 竹+ 1 ,1吟+ 2 ,2钱+ 1 *li k + 1 v . 1v2 w h e r e v j =c o u ( r 1 , r j ) , t h = e r ; ) , v n k f t . 1 a , j 二1 , 2 , , n .th e o r e m 5 . 1 3乓 i s t h e p r i c e - me a n - v a r i a n c e e ffic i e n t s u b s e t o f 凡 w i t h n e g a t i v e h o l d i n g s , i f a n d o n l y i f : 几脚二 功墩 wll肠听 r a n k w1 2 晰 k w2 2 w2 k 2 1 k p k 角脚二 仍吸二 呱呱呱 = r a n k wk i wk + 1 wk 2 w k + 2 ,2 n k + l , k 吸 叮 k +1 p k pk +1 wn 1 w h e r e 6 s ; ， 二c a u ( x ; ， 二 ， ) ， r h wn 2 二e fx = 1 , i , j t v . k 二 1 , 2. 仆晰 摘 要 6 .t h e o r e m 6 . 1 3 a s s u m e t h e e f fi c i e n t f r o n t i e r o f 凡 i s n t a s i n g l e p o i n t , t h e n s k , kk , t h e r e e x is t 6 1 , 6 2 。 一， t j k e r , s u c h t h a t 1 2 3 弓 、 0 , d i 又 s r 弓 、 + t j 2 + + 弓 * 二1 , t 1 l ; 十 弓 2 “ : + 十 弓 k a * 二p i ; 巧 ， 络 1 v i i + 衣帐十二 + 衣珠， d 2 与， t h e o r e t i c i mp l i c a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s .mu t u a l f u n d s e p a r a t i o n wit h n e g a t i v e h o l d i n g s , t h e d e fi n i t i o n o f m e a n - v a r i a n c e 哪 c i e n t s u b s e t i s e q u i v a l e n t t o t h a t t h e s u b s e t a n d t h e w h o le s e t s h a r e t h e s a m e p o r t f o l io f r o n t i e r . t h e r e f o r e , t o fi n d t h e m e a 。 一 。 a r i a n c e e f f i c i e n t s u b s e t w i t h n e g a t i v e h o l d i n g s i s r e l a t e d c l o s e l y t o t h e c l a s s i c a l m u t u a l 加n d s e p a r a t i o n p r o b l e m . o u r r e s u l t s g e n e r a l i z e t h e f o r m e r w o r k s ( 1 9 ) a b o u t t h i s p r o b l e m b e c a u s e o u r t h e o r e m s d o n t d e p e n d o n t h a t t h e c o v a r i a n c e ma t r i x i s p o s i t i v e d e fi n i t e a n y l o n g e r . wi t h o u t n e g a t i v e h o l d i n g s , t h e o r e m 6 . 1 3 i s a n e w r e s u l t i n mu t u a l 加n d s e p a r a t i o n c a p m ( c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ) b y u s e o f t h e c o n c e p t a n d t h e o r e m s o f me a n - v a r i a n c e 沥c i e n t s u b s e t , w e r e p r o v e a n d g e n e r a l i z e t h e c l a s s i c a l 0 一q c a p m a n d c a p m ( s e e t h e o r e m 7 .4 - 7 .6 ) b e c a u s e o u r r e s u l t s g e t r i d o f t h e as s u m p t io n o f p o s i t i v e d e fi n i t e n e s s o f c o v a r i a n c e m a t r ix ( ( 2 4 , (4 2 , 5 4 ) ) . .ma r k o wi t z p o r t f o l i o s e l e c t i o n t h e o r y i n c h a p t e r 4 a n d c h a p t e r 6 w e d i s c u s s t h e c l ass i fi c a t i o n s a n d s t r u c t u r e s o f ma r k o w i t z p o r t f o l i o f r o n t i e r a n d e f fi c i e n t f r o n t i e r w i t h n e g a t i v e h o l d in g s a n d w i t h o u t n e g a t i v e h o l d i n g s r e s p e c t i v e l y ( s e e t h e o r e m 4 . 7 , 4 .8 , 6 . 8 ) . o u r r e s u l t s g e n e r a l i z e t h e c l as s i c a l ma r k o w i t z p o r tf o l i o s e l e c t i o n t h e o r y a s w e d o n t n e e d t h e p o s i t iv e d e fi n i t e n e s s o f c o v a r i a n c e m a t r i x ( 3 1 , 3 2 ) . i n c h a p t e r 5 , w e g i v e t w o i n d i c e s t o m e a - s u r e t h e a l t e r n a t i o n o f p o r t f o l i o f r o n t i e r a c c o r d i n g t o t h e p r i c e - m e a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n . t h e t w o i n d i c e s c a n b e c o mp u t e d e a s i l y i f g i v e n t h e c u r r e n t p r i c e s , e x p e c t a t i o n s a n d c o v a r i a n c e s o f f u t u r e v a l u e s o f a s s e t s . t h e y c a n b e i n t r o - d u c e d i n t o t h e ma r k 。 二 : t z p o r tf o l i o s e l e c t i o n t h e o r y as a n y f r o n t i e r p o r t f o l i o 摘要7 a c c o r d i n g t o t h e p r i c e - me a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n w i t h p o s i t i v e c u r r e n t p r i c e a r e a l s o t h e f r o n t i e r p o r t f o l i o a c c o r d i n g t o t h e me a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n . .a l g o r i t h m f o r s e a r c h i n g t h e e f fi c i e n t s u b s e t b a s e d o n t h e o r e m 4 . 1 5 a n d t h e o r e m 5 . 1 3 , w e w r i t e a n a l g o r i t h m t o fi n d t h e 琐 c i e n t s u b s e t a c c o r d i n g t o m e a 。 一 。 a r i a n c e c r i t e r i o n o r p r i c e - me a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n ( s e e 8 . 1 ) t h e c o n c e p t s o f 哪 c i e n t s u b s e t as s o c i a t e s t h e p r o c e s s o f a s s e t s 拟t r a i o n w i t h m o d e r n p o r t f o l i o s e l e c t i o n t h e o r y . n o t o n l y c a n i t r e d u c e t h e n u m b e r o f a s s e t s n e e d e d t o b e o b s e r v e d , b u t a ls o i t w o n t l e t a n y c h a n c e t o l o w e r t h e r i s k g o a c c o r d i n g a s t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f ma r k o w i t z p o r tf o l i o s e le c t i o n t h e o o y , t h e o p t i m a l p o r t f o li o o f m o r e t h a n 1 , 0 0 0 as s e t s o f t e n i n c l u d e s o n l y s e v e r a l d o z e n s o f n o n z e r o i t e m s . s o , t h e 沥 c i e n t s u b s e t i s p o s s i b l e q u i t e s m a l l r e l a t i v e t o t h e w h o l e s e t . t h e u s e f u l n e s s o f t h e t h e o r y o f a s s e t s fi l t r a t i o n a n d哪 c i e n t s u b s e t i s f a i r l y p r o mi s i n g . k e y w o r d s : a s s e t s fi l t r a t i o n , e ff i c i e n t s u b s e t , m a r k o w i t z p o r t f o l i o s e l e c t i o n t h e - o r y , m u t u a l f u n d s e p a r a t i o n , f r a m e s e t , m e a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n , p r ic e - m e a n - v a r i a n c e c r i t e r i o n 第一章引言 依 对 金 融 资 产 的 投 资 行 为 中 ， 投 资 者 面 临 的 是 一 个 越 来 越 不 确 定 的 环 境 . 除 了 期 望 获 得 最 大可能的收益外。 投资者必须兼顾那些可能发生的损失， 即必须兼顾投资风险. 投资的实务和 理 论( 3 3 1 ) 均 已 指 出 ， 分 散 化 投 资 . 即 同 时 投 资 在 多 种 资 产 上 ， 可 以 有 效 地 降 低 风 险 . 这 正 验 证 了 一 句 古 老 的 谚 语 :“ 不 把 鸡 蛋 放 在 同 一 只 篮 子 里 ” . 从m a r k o w i t z 1 9 5 2 年的 文 章o i d 开 始 的 现 代 组 合 投 资 理论( m o d e r n p o r t f o l io i n v e s t m e n t t h e o r y ) ， 为 分散 化 投 资 提 供了 理 论支 待和技术指 导.ma r k o w i t z , mil le r 和s h a r p e 为 此分享了1 9 9 0 年度的诺贝 尔经济 学奖. ma r k o w i t z 组 合 投资 理 论，又 称均 值一 方 差 组 合 分 析 理 论( m e a n - v a r i a n c e p o r t f o l i o a n a ly s i s t h e o r y ) 或组 合 选 择 理 论( p o r t f o li o s e le c t i o n t h e o r y , 3 1 1 , 3 2 , 3 3 ) 被 认 为 是 现 代 金 融 投 资 理 论 的 荃 石 ( 4 4 d 其 基 本 的 思 想 是 将 资 产 及 其 组 合 的 ( 未 来 ) 收 益 率 r 二pi - oa o 视为 随机变量 ( 这里p o 为 该资产或 其组合当 前时点 的 价格，p i 为该资 产或其组 合未来时点 的价值) ; 用收益率的期望和方差分别表征资产及其组合的预期收益水平和投资风险; 用随机 变量间的协方差来刻划不同资产收益率变动的相关性. 于是， 利用现代概率统计理论， 最优投 资组合间题就转化为限定投资 组合的 期望收益率， 求收益率的最小方差组合的一个二次优化问 题 ( 参 见本 文 4 . 1) . 这为 分散 化投资 的 理念 提 供了 数 学 模型 和理论支持. 从理论上来说， 组合投资理论需要考察尽可能多的资产， 分析它们过去的表现及收益率的 相关性， 以从中 选出最佳的资产组合. 但在实务操作上、 同时关注和细致分析所有的资产， 同 时投资在一个庞大的资产集上并相当 频繁地变动其持有量， 即使对于大的投资机构来说也是不 现实的. 实际上、 依据一定的标准， 先对资产集进行一番 “ 筛选” ， 缩小考察范围和投资范围 已 经成为投资者的共识. 现代市面上流行的一些股票分析软件， 例如深圳汇天奇电 脑有限公司的分析家 3 . 1，允 许投资者在证券的成交量， 基本面、 走势特征、 形态特征等等 方面给出多至上百条的限制条件来 对证券集进行筛选，以缩小投资范围. 但是， 这只 是一种忽略了资产间相互关系的简单筛选， 筛选的结果常常是将投资目 标集中在了区区 几种 “ 黑马” 证券上， 通常会将一些表面看来不那 么吸引人但却会在降低组合风险上起到积极作用的资产排除在外. 对这样筛选后的资产子集进 行投资，与 现在组合投资的理念背道而驰， 难以达到对资产全集进行投资的效果.一个自 然的 间 题是，我们能不能给出一种筛选方法， 使得对筛选后的资产子集投资，能够 “ 等同于”对资 产全集的投资? 与 此 相 联系 的 理 论 上的 一 个 传 统 问 题 是 所 谓的共同 荃金 分离 问 题 m u t u a l f u n d s s e p a - r a t i o n p r o b le m , ( 5 2 1 , 3 9 1 , 1 9 ) 、即 对 于 给 定 的 由。 种 资 产 构 成 的 资 产 全 集， 是 否 存 在 它 们 的k 种组 合 可以“ 无 差 异 ” 地。 生 成 11 ( s p a n ) 资 产 集的 所 有组 合. 如 果 这个问 题 有非 平凡 的 解 ， 即k - 沪; 称0 1 严 格 优 于 b 2 并 记 为b - 尹 6 1 与0 2 无 差异 ， 并记为b 8 2是 指a l r 成立且 0 2 - 沪 ， 是指 不成立;称 )酬 尹脚 卜一卜一 12 八厅刀 指且 是尹 我们的去除条件 如下定义 第二章 筛选标准和有效子集 定 义2 . 2 称资 产a n 相对 于 a 1 , a 2 , . . . , a n _ , 和 优劣 关来“ r” 爱可去 除的 v b ( ) e户 .3 8 ( ” 一 1 ) e f -1 ， 使得 b (n - 1 ) r b ( ) , 。 3 ， 表 示。 存 在 ， f n - 1 表 示 a l , a 2 , -, a 。 一 ， 的 组 合 容 许 集 . 之 所以 可 以比 较f n - 1 中 组 合与f ”中 组合 的 优劣 关系 是因 为f n - 1 gf n 。 所以 不 妨 认为f n - 1 9尸 ， 这 样可 以自 然 定义f n - 1 中 组 合与 可 视为 f - 1 x fn中组合的优 指里几 衡这0 劣 关 系 ， 同 样 还 可 以 定 义f 的 组 合 与尸 中 组 合 的 优 劣 关 系 ， 这 里户表 示二 a 1 , ， a ; 的 组 合 容 许 集 ，户表 示= j a i , . ， ， 街 的 组 合 容 许 集 ，1 i - 务 。 6 2 ，是 指 存 在 一 个 随 机 变 贡 ， 使 得: ， : d= r o 十 e 且e 日 r q , e r y e 且v a r r o l - 9 i 1 ， 这 里f k 为 a 1 , ， a k 的 组 合 容 许 集 . 定 义2 .9 的 定 义 方 式 是 资 产 筛 选 的 自 然 推 论. 定 义2 .9 ， 是6 0 , 6 1 , 6 2 中 有 效 子 集的自 然推广，以 便可以适用干不同标准的资产筛选问题. 我们下面将证明， 这两种定义是等 价的. 定理 2 . 1 0 定义2 . 9与定义2 . 9 ， 是等 价的. 证 明 若凡相 对 于凡 满 足 定 义2 .9 , 则钾间 e f ， 由 于a 。 相 对 于凡- 1 是 可 去 除 的 所 以孙(” 一 1 ) f n - 1 ， 使 得0 (“ 一 1 ) y a (n ) . 同 理3 0 (n - 2 ) f n - 2 , ， 0 ( k + 1 ) f k + 1 ， b (k ) f k . 使 得8 (n - 2 ) 匕 8 (n - 1 ) , . . . , b (k ) 匕b (k + l ) ， 由 定 义2 .1 的 条 件( 2 ) 知 ， 少匕邵 ” ) ， 因 而s 、 相 对 于s 。 也 满 足 定 义2 .9 . 反 之 ， 若熟相 对 于s满 足 定 义2 . 9 ， 则d 8 ( , + 1 ) f i + 1 , 1 二k , ， 二 ， n 一1 都 存 在e ( k ) f k ， 使 得8 ( k ) 匕6 0 + 1 ) . 注 意 到0 ( k ) f , 7 =k ， 一, n 一 1 ， 故 由a ; + 1 相 对 于凡是 可 去 除 的 知 ，-9 ; + : 相 对 于凡是 可 去 除 的 ， 因 而乓相 对于又 满 足 定 义2 .9 . 综上所述，定理得证.口 值得指出 的 是， 对于任 何非空 的资产 集s n ， 其有 效子集 一定存 在 因为s n自 身 就是s 的一个有效子集. 但是一般说来， 有效子集并不唯一， 因为如果s k c凡 是s 二 的有效子集， 第二章 筛选标准和有效子集 那 么 任 何 满 足s k 9 s , 9 s的 资 产 集s i 也 是s的 有 效 子 集 . 定义2 . 1 1 称凡 9凡 是凡 相对于 优劣关系匕的极小 有效子集， 是指乓 是凡 相 对于 优 劣关未匕的 有效 于 集 ， 且不 存在s ; c s k 也是凡 相 对于 优劣 关 系匕的 有 效子 集 . 与 资 产 集 的 有 效 子 集 相 对 应 的 是 如 下 的 组 合 容 许 集 的“ 有 效 集”( e ffi c i e n t s e t ) 概 念 .它 是m a r k o w i t z 有 效 集( 降 4 ) 的自 然 推 广 ， 以 便 可 以 统 一 定 义 对 应 不 同 筛 选 标 准 的 类 似 概 念. 定义 2 . 1 2 称 b ef 是 氏 的有效组合 f n . 使得解卜b e . 有效组合的 全休记为e n ， ( e ff i c i e n t p o r t f o l i o )是 指 : 不 存 在b d 称为s ry的 组合)有效集 . 优劣关系只是一种偏序关系， 对干象例子2 . 4 的优劣关系，f 的有效子集只有一个， 就 是s n自 身， 且其也是极小有效子集; 对于例子2 . 3 的优劣关系，s n的任意子集( 包括空集) 都 是s n的有 效子集， 空集 就是s ry 的 极小 有 效子 集. 在这 两种极 端情形下，s n的( 组合) 有效集都是 f 本身. 2 . 2 资产价格与收益率 讨论一种筛选标准首先意味着要给资产及其组合一个描述， 例如资产的价格信息、 所属类 别、 原持有者的状况、 相应企业 或公司) 的 发展前景、收益的波动情况等等.其中最容易被 投资者观察和利用的就是资产的价格信息，即当前价格如何， 过去价格如何等等. 在下面我们 将 讨 论 的 几 种 筛 选 标 准中 . 我 们 将 主 要 沿 用 传 统m a r k o w i t z 组 合 分 析 理论( 3 3 的 方 式 ， 把 资产的未来价值相对于当 前价格的变化比 例 ( 即收益率) 作为描述资产的主要方式， 并借助现 代概率论的工具来进行讨论. 这里的 “ 未来价值” 既包括资产的未来价格， 也包括它能给投资 者 带 来 的 利 息 、 股息 、 租 金 等 可 能 收 入 . 本 节 的内 容 主 要 来自 于!6 1 和【 6 2 . 假定市场 分为两 个时 期:当 前和未 来.“ 当 前。 资产a , , a 2 , . . . , a 。 的价格为n个确 定 的数， 分别用p 1 , p 2 , , p n 表示;“ 未来， 资 产街i a 2 ， 二 ， a 。 未 来价 值为n个 定义在 某 个 概 率 空 间( 几 ， 下 ， 尸 ) 上 的 随 机 变 量 ， 分 别 用x 1 , x 2 , . . . , 2 。 表 示 . 当p i 务。 时 ， 我 们 可以 定 义 mi 种 资 产 的收 益 率几 二y ;p ;_ p , i = 1 , 2 , . . , n ，它 也 是( 9 , .f , 尸 ) 上 的 随 机 变 量 . 组 合。 二( 0 1 , 氏 ，. , 8 n ) t 俨 的 当 前 价 格p e = 一 e 几 1 b i p : 未 来 价 值so=艺 几 1 氏 二 、 . 当艺 几 : 氏 a子0 时 ， 定义b 的收 益 率 x a一 如 p e 口 1 x 1 +二 +o n x 二 一( o l p i +o n p n ) o l p i + 十b n p n o t x 1 十 十b n x 。 一o l p i 一 一 b n p n 口 1 p 1 + +b . p . w1 r 1 十 ， +ti n r - 其中 几 ， 11 b t p i6 a o l p i + +久p n 第二章 筛选标准和有效子集 注意到上式中的分母是该资产组合的当前价格， 格中所占的比例.于是有 wl 十 叨2 + 故 w : 是组合中第i 种资产的当前价格在总价 + w n= 1 如 果 定义f n =1 ( 0 1 , o n ) t f 1 0 1 p , + 对于b b =归 i , . 二，o n ) + b n p n 7 0 1 ， 那么 上面的 推导定义 了 一个 映射 f:f ,n 斗 r n ，t 任 f . ，f ( b ) 定 义 如 下 : ( f l ( 0 ) 1 . 二 ， 人( 0 ) ) t , 其中 f ( b ) = 介 ( 0 ) = b s p i 氏 p i 十 +久p . 我们记 若记 w wl r l + 即 在f下 的 像 为r w 。即此 = f ( 的 旧 e 卯 =( w i , ， 二 。 ) t =f 但 ) ， 则 有二 ; + 二 + 二 。 = . 由 上面的 推导知， ho e即 ， 1 且r o =r .， 这里r 。定义为 十w n r .进一步。 我们 有如下结果: 定理 1 , ， 几， 2 . 1 3 若f n=砂 且p , 笋0 , i 二1 ， 二 ， n，或者f r w 二 ( 。 工 ， . . . , w n ) t e f n l w 十 一十 w n = 证 明 只 需 证 :v w e ( w i ， 二， w) e f iw l + . . . + w n = 使得二二f ( 8 ) . =r n且p i 。 ， : 二 1 . 1 都 存 在b e f l 事实上。 对于任给的w 0 i =a w i f p i , x =1 , 2 , =( 、 ， ， . . . , w n ) t 任 f - ， 若 其 满 足w ， 十 n(久为某个正常数) ，从而有 +叨 。 =1 ， 则令 mb a ， 二 ， 8 n ) 入 w i 入 w , +二 +入 w =w i , 2 =1 , ， n 于是r b =w l r l + 十w n r n. 这 样 ，。=( f l ( 0 ) , ， b n ) t f n 氏 p : 十二 . i f . ( 0 ) ) 就 建 立了 从 +b n p n : 0 至 i ( w 1 , ， 二 。 ) t f n !二 : + 一+ 、 。 =1 的 满射. 尤其是， 我们 还可 选择a =1 ， 从 而可以 选择使脚=1 的0 来对应w.口 此外， 未来价值之间的协方差和收益率之间的协方差也有着密切的关系. 下面我们在p i 尹 0 , i = 1 , . 二， n的条件下讨论之 此时 所有资 产的收益率 均存在， 我们 再假定 它们的 方差 均有 限.引入一些全文通用的记号 1 + 、 二到r i ) q i 二e (x ; , i = l ; , =c o v ( r ; , r j ) , iv， 二c o v ( 二 。 二 ， ) 1 , 2二 ， n ; 1 , j= 1 , 2 二， n ; 第二章 筛选标准和有效子集 wk k=1 , 2 ， , n 叭二钱 了了.、 -一 v k 这里c o v ( - ， ) 表 示 两 个 随 机 变 量 的 协 方 差( c o n v a r i a n c e , 5 , 9 ) . 注 意 到 c o v ( r t , r 1 ) =c o v x 、 一 p i , x i 一 p i l p i p i c o v ( x i , x ; )