（概率论与数理统计专业论文）扩散情形的feller与强feller性.pdf

摘要 f e l l e r 性与强f e l l e r 性在m a r k o v 过程的研究中有着重要意义。本文研 究扩散情形的f e l l e r 性与强f e l l e r 性对1 维随机微分方程( s d e ) d y t = 仃( k ) 山+ b ( y t ) d t ，碥= x r 1 ， 当o k a b c s h i m i z u 或p e r k i n s 条件满足时，方程的唯一强解( k ( z ) ) t 0 的任意 k 点运动( ( k ( z ) ，) ) 御) ( 钆m ) 彤在( c o ( 融) ，”1 1 ) 上有f e l l e r 半群 ( 见第三章) 。对去掉漂移项的上面方程，设口c b ( r 1 ) 满足 z ( 盯) 仍，( 盯) = 仍； 则方程的弱解矿在一定条件下在( c o ( r 1 ) ，”i i ) 上有f e l l e r 半群，而以z ( o ) 为吸收集的口2 ( z ) 品扩散y 则不需任何附加条件在( g ( 兄1 ) ，”i | ) 上有 f e l l e r 半群( 见第四章) 。最后尽管随机流的七( 2 ) 点运动的生成算子不 一定是亚椭圆的，但其强f e l l e r 性在一定条件下仍然成立( 见第五章) 关键词：随机微分方程，扩散过程，f e l l e r 性，强f e l l e r 性，k 点运动 a b s t r a c t f e l l e rp r o p e r t ya n ds t r o n gf e l l e ro n ea r es i g n i f i c a n ti nt h es t u d yo fm a r k o v p r o c e s s e s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h e s ep r o p e r t i e sf o rd i f f u s i o n s f o rt h ef o l l o w i n g s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s d e ) i nr 1 ： d k = 盯( k ) 反比+ b ( y t ) d t ，k = z r 1 ， i fe i t h e ro k a b e - s h i m i z uc o n d i t i o no rp e r k i n sc o n d i t i o nh o l d s t h e na n yk - p o i n t m o t i o n ( ( m ( z 1 ) ，k ( z 七) ) 仑。) ( 钆m ) 融f o rt h eu n i q u es t r o n gs o l u t i o n ( k ( z ) ) 。 t ot h es d eh a saf e l l e rs e m i g r o u po n ( c o ( r 七) ，i ) ( s e ec h a p t e r3 ) r e m o v i n g t h ed r i f tt e r mi na b o v es d e ，w ep r o v et h a tf o ra n y 盯c b ( r 1 ) s a t i s f y i n g z ( a ) 仍a n d ，( 盯) = 仍， t h ew e a ks o l u t i o nyt ot h eo b t a i n e ds d ei sf e l l e r i a no n ( c o ( r 1 ) ，”i i ) u n d e ram i l d c o n d i t i o n ，b u tt h e 互1 仃2 ( z ) 器d i f f u s i o ny o b t a i n e db ya b s o r b i n gp r e v i o u sd i f f u s i o na t z ( 盯) i sf e l l e r i a no n ( c o ( r 1 ) ，”0 ) w i t h o u ta d d i t i o n a lc o n d i t i o n s ( r e f e rt oc h a p t e r 4 1 f i n a l l y , t h o u g ht h eg e n e r a t o ro fa n yk - p o i n tm o t i o no fs t o c h a s t i cf l o w sw i t h k 2i sd e g e n e r a t e da n dm a yn o tb eh y p o e l l i p t i c ，i t ss t r o n gf e l l e rp r o p e r t ys t i l l h o l d si ns o m ec a s e s ( s e ec h a p t e r5 ) k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，d i f f u s i o np r o c e s s ，f e l l e rp r o p e r t y , s t r o n gf e l l e rp r o p e r t y , kp o i n tm o t i o n i i i 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名： 邓年名月厂日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密砂 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名： 导师答名。向再币 l f 月 月 键丁 期 期 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 1 绪论 m a r k o v 过程的f e l l e r 性与强f e l l e r 性在随机过程理论中非常重要众 知，l 6 v y 过程是f e l l e r 过程，即其半群是f e l l e r 的；l 6 v y 过程在m a r k o v 过程理论中是一类很基本的随机过程对于强f e l l e r 性，例如文献【1 】、 【2 】强调了它在位势论中是非常重要的；一个熟知且常用的结论是强f e l l e r 性和不可约性可以推出m a r k o v 过程( 半群) 的不变测度的( 相差一个常 数因子意义下的) 存在唯一性( 【3 - 4 】) ；随机微分方程( s d e ) 和随机偏微 分方程( s p d e ) 的强f e l l e r 性被广泛地研究过，见文献【5 1 5 】 本文研究扩散情形的f e l l e r 性与强f e l l e r 性考虑r 1 上如下的随机 微分方程( s d e ) ： d k = 口( k ) d 【t + 6 ( k ) d r ，k = z r 1 其中u = ( 蚍) 伽是标准的1 维b r o w n 运动，盯与b 是r 1 上的可测函数 在第三章中，当o k a b e - s h i m i z u 条件或p e r k i n s 条件成立时，我们证明方程 的唯一强解( k ( z ) ) 脚的任意k 点运动( ( k ( z - ) ，k ( z 知) ) 幽) ( 钆觎) 胁在 ( g ( 戤) ，”l i ) 上有f e l l e r 半群。其中g ( 肼) 是r 七上在无穷远处消失的连 续函数，i i i l 是一致范数 在第四章我们考虑r - 上如下的s d e ： d x t = 口( x t ) d b t ， 其中( 鼠) 0 ( b o = 0 ) 为标准1 维b r o w n 运动，仃为冗1 上的有界连续 函数我们证明当e n g e l b e r t s c h m i d t 定理的条件满足时，方程的通过对 b r o w n 运动进行随机时间变换而得到的弱解可( 不唯一) 在一定条件下在 ( 岛( r 1 ) ，i | i i ) 上有f e l l e r 半群，而以盯的零点集z ( 仃) 为吸收集的 盯2 ( z ) 岳 扩散y 则不需任何附加条件在( g ( 冗1 ) ，”8 ) 上有f e l l e r 半群。 1 一 硕士学位论文 在第五章，我们研究随机流的k 点运动的强f e l l e r 性众所周知，在 黎曼流形或r d 上，对具有较好( 例如光滑) 系数的二阶亚椭圆( 包括一 致椭圆) 微分算子l ，l 扩散是强f e l l e r 的；这是因为扩散具有连续 ( 光滑) 的转移密度函数。虽然当k 2 时，随机流的k 点运动的生成算 子是退化的且不一定是亚椭圆的，但我们发现其强f e l l e r 性在一定条件下 仍然成立 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 2 预备知识 设( x ，p ) 为任一可分度量空间，耻为k 维欧氏空间，引入如下记号 魄( x ) ：x 上有界可测函数全体； g ( x ) ：x 上有界连续函数全体； p ( x ) ：x 上全体概率测度； ( x ) ：x 上关于p 一致连续的有界函数全体； 喏( r k ) ：r 知上有1 ，2 阶有界连续偏导的有界连续函数全体； 曙( 耻) ：耻上有任意阶有界偏导的光滑函数全体； 暖( r 七) ：r 七上有紧支撑及1 ，2 阶有界连续偏导的连续函数全体； p 尹。：全体连续平方可积局部鞅m = ( 舰) t o ，m o = 0 赋予v ( x ) 弱收敛拓扑：序列 ，z 。) 罂，p ( x ) 弱收敛于p p ( x ) 当且仅 当 t l i mi xfd # n = j x 毗v f ec b ( x 、) 容易验证 胁】甚。弱收敛于p 当且仅当 ，l i m x fd 1 z n = l x l 咄、l u p ( x ) 定义2 1 【1 6 1 设人为p ( x ) 的一子集。( i ) 称a 为相对紧的，如果人的闭包 页为v ( x ) 中的紧集。( i i ) 称a 为胎紧的，如果对任给 0 ，存在x 的 一紧子集k ，使得i n f p ( k ) ：p a ) 1 一 定理2 2 f 1 8 1 设人p ( x ) 则有如下论断成立 ( 1 ) 若a 是胎紧的，则人在v ( x ) 中是相对紧的； 3 一 硕士学位论文 ( 2 ) 若x 是p o l i s h 空间，则a 的相对紧性蕴含a 的胎紧性 定义2 3 设 k ) 创为一x 值右连左极m a r k o v 过程的半群。称 k 】- 舢为 f e l l e r 的，若 k ，g ( e ) ，v ，c b ( e ) ，v t 【0 ，。) ； 称 k ) 舢为强f e l l e r 的，若 v f f c b ( e ) ，v ，b b ( e ) ，v t ( o ，。) 设诸瑰( z ，z ) ，( z ，z ) 为从 o ，o 。) r d 到冗1 的b o r e l 可测函数， b ( t ，z ) = b i ( t ，z ) l t d ，o ( t ，x ) = f f i j ( t ，z ) 。s 。s d 一一 1 j r 令w = ( 呼) ，9 9 ) 伽为r 维标准b r o w n 运动。考虑如下的随机微分 方程( s d e ) ： d x t = b ( t ，x t ) d t 十仃( ，咒) d 眦， ( 2 1 ) 即d 碰= b i ( t ，x t ) d t + 碍：1 盯巧( ，k ) d w ) ，1 i d 定义2 4 【1 8 】给定概率空间( q ，厂，兀，p ) ，乃适应b r o w n 运动w 与初值f s d e ( 2 1 ) 的强解是一个满足下列条件的轨道连续的过程x = ( 五) 伽： ( 1 ) x 为五适应过程； ( 3 ) p z | 6 小，咒) l + 嵋( s ，扎) d s 。 = 1 ，v l t d ，1 歹r ，。a 书； ( 4 ) 托= 甄+ 。6 ( s ，兄) d s + 0 t o ( s ，k ) d 眠，。 。： ( 1 ) ( q ，fp ) 为一概率空间， 五) 。为尸的满足通常条件的子盯代数流； ( 2 ) x = ( 五) 伽为一连续兀适应的冗d 值过程，w = ( m ) 伽为一五适应 的r 维b r o w n 运动； ( 3 ) p o i 阢( s ，咒) i + 盯弓( s ，咒) d s 。o = 1 ，v 1 i d ，1 歹叫。； ( 4 ) x t = + b ( s ，k ) d s + 盯( s ，x s ) d w s ，0 o 。，或 碰旬= 弼旬+ zb i ( s , 咒) d 5 + 善z ( s ，咒) d 时，o ，1 i d 定理2 6 ( b u r k h o l d e r 不等式 1 9 , 3 0 1 存在只依赖于0 p 0 , l 番如一 l c r ( x ) 一盯( y ) 1 2 p n ( 1 z y 1 ) ，v x ，y 【一7 , ，礼】 硕士学位论文 ( i i ) ( p e r k i n s 【2 3 】) 仃c b ( r 1 ) ，1 ，c b ( r 1 ) ，b 玩( r 1 ) ；存在r 1 上非负 可测函数g 及 0 ，o o ) 上的非负可测函数p 满足 ( 1 ) 9 关于l e b e s g u e 测度局部可积， ( 2 ) j d 非降，厶i e ) 而1 咖= + 。，v c 。， ( 3 ) 存在b o 使得对比r 1 ，y 一b ，b 】， i o r ( x + y ) 一o r ( x ) 1 2 9 ( z ) p ( 1 i ) 现在假定( i ) 或( i i ) 成立。对s d e ( 3 2 1 ) 的强解( k ( z ) ) t o ，众所周 知， ( i ) 对任意t 0 ，( z ，u ) r 1 w k ( z ，u ) r 1 为可测映射。 对任意s 【0 ，o o ) ，定义推移算子如下： 以：u w 叶以u = 峨+ 一u s 形 则( 以) 。 o ，。) 是一单参数保测度p 的w 的l 2 连续变换群。由于w i e n e r 过 程是平稳独立增量过程且s d e ( 3 2 1 ) 有唯一强解，我们容易验证： ( i i ) 对任意s 圾z r 1 ，p o s ， m ( z ，u ) = k 一。( k ( z ，u ) ，以u ) ， ( i i i ) 对所有0 t z 2 o ) ( 剥础 为一具有如下弱生成算子的扩散过程： 忙丢圭巾加(巧)去+z。b(i ) 去 ( 3 2 3 ) 九= 去盯( 戤) 口( 巧) 蒜嘉+黝) 罴 ( 3 2 3 ) 。, j = l 。4 。4 ， t = 1 。 设 喈) 创为y 知的半群。称 y 七) 堪或 o 为( c o ( r 庇) ，i | j i ) 上的f e l l e r 半群 3 3 定理的证明 固定k 1 ，令- 为从【0 ，o o ) 到r 惫的连续映射全体，赋予其局部一 致拓扑。令尬( t ) 为m 上概率测度全体，赋予其弱拓扑对任意 ( z 1 ) ，x k ) r 凫，令r h ，。为( k ( z 。) ，k ( z 七) ) t 0 在* 上的分布 一9 硕士学位论文 引理3 3 1 任给收敛到( z 产，z 铲) 的序列 ( z ，z 2 ) ) 茎，c 融， 只i ，$ 毋三。 在m ( c 舭) 中是胎紧的。 证明：对任意的0 s 。， ( 圭i = l脚卜忡圳2 ) 2 七妻州瑚一脚圳4 = k 2 州吲) ) 灿十26 ( 脚打1 4 蛳z 酬, 2 删“。懈州舭n 由b u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y不等式知，存在常数c e ( 妻i 巧c z ：，一y c z ：，1 2 ) 2 0 ，p 。( o + ) = 0 ，且 l i m s u pl 仃( 可) 一o ( x ) 1 2 j d n ( o + ) = 0 ，v x ( 一礼，n ) ， | ，+ z 由此可知盯c b ( r 1 ) 。因此在定理3 2 1 的条件下， 孑1 eq ( r 1 ) ，b b b ( r 1 ) 1 0 汹 一 茎。的子序列 二。弱收敛到q 令 w2 w t ) t o ，、 硕士学位论文 为c r t 上的坐标过程，则在诸曩i ，z t 下，对任意，c 2 ( 融) ， m m ) ：= 厂( 毗) 一，( 伽o ) 一a k f ( w 。) d s ，t 【0 ，o o ) ， ， j 0 是一五一鞅，其中 无= n 盯( 嘶，0 7 s ) ，t f o ，o 。) s t 因此任给0 r 0 ，有 而 时，i ( z ，x k ) e 【i l l ( k ( z ) ，k ( z 知) ) 】 ，。s。uip驰i叩ifl(y1，y知)+上p【l厂l(1z1)，lz七)，。m冬；axma,x m a , x 。i k ( 。；) i 叶) j l nz i ) i 司， 1 t 知 l 工! kj pm a x i k ( 鳓l 司= p 懋卜f o 毗。+ 小酬m i 司 p 恶鐾i 甄+ to ( k ( 兢) ) 扎。l 思警1 2 6 ( k ( 鼢) ) d s i + 司 尸 聪卜z 0 to ( 酬) 蚍i o 使得 又 l ：0 r o ( k ( 觑) ) 山。= 鼠( 7 口2 ( k ( 戤) ) d 5 ) ，r 【0 ) 。o ) x i + 0 to r ( 脚踟山。l 1 1 6 i i t + 叼) 仕 o , t l l 们i i ，i x i - 4 - 踯) i 。与( 鼠( s ) ) 。同分布， p = i s 0 ，t l l o l l 2 ，i x , + b i ( s ) l 冬i l b l l t + 7 7 】 = p | s o ，t 忙1 1 2 i 玎i1 ，l i x , i 一；靓+ 鼠( s ) l l l b l l t + , 7 1 玎i 吾 ， 当k i _ o 。时， p j s 0 ，t l l o - 1 1 2 ，i 以+ b ( s ) i i l b l l t + 7 7 】一0 因此当( 轧，z 知) 趋于。时，即。m a xi x , i 趋于c x 3 时， p 恒m a s x 船l y e ( 观) i 叫 凯吵忙k 洲时o 扎圳叫 善1 ，擞书；i 严s o , t l l 仃1 1 2 j z i + b i ( s ) | nz ) l 7 7 j 1 0 是1 维标准b r o w n 运动。注意此时我们的方 程的强解可能不存在( 即使存在也不唯一) 令盯c b ( r 1 ) 满足 ( i ) z ( 盯) = x r 1i 盯( z ) = o ) 仍， ( i i ) 对任意：e 0 ，z z ( 盯) ， 口一2 ( y ) d y 。成立) ， z ( 仃) = z r 1i 仃( z ) = o ) 一1 7 硕士学位论文 考虑r 1 上如下的随机微分方程： d x t = 盯( x t ) d b t ，( 4 2 1 ) 其中( b 。) t 0 ( b o = 0 ) 为标准1 维b r o w n 运动。由e n g e l b e r t - s c h m i d t 定理( 【2 4 】， 【2 5 】) 知，对任意的初始分布，方程( 4 2 1 ) 的弱解存在当且仅当，( 盯) z ( 盯) ， 方程( 4 2 1 ) 存在唯一弱解当且仅当，( 盯) = z ( 盯) 本章假定盯c b ( r ) 满足 z ( 仃) 谚，( 盯) = d ( 4 2 2 ) 此时方程( 4 2 1 ) 弱解存在不唯一。令q 为从0 出发的从【0 ，。o ) 到r 1 的连 续映射全体，赋予其局部一致拓扑；设，幻为其上的w i e n e r 测度。则q 上 的坐标过程= ( 蚍) 创为从0 出发的标准1 维b r o w n 运动。令 t ( s ，z ) = 丁( s ，z ) ( u ) = 0 8 而1 d u , v s 【0 ，o o ) ，xer 1 则对任意固定的z r ，因为0 - 2 ( ) 关于l e b e s g u e 测度局部可积，所以 t ( s ，z ) ( r 啦赤，v 0 刚 ) 则对固定的z r 1 ，几乎处处， r ( t ，z ) 关于t 【0 ，c o ) 连续且严格上升，j i mr ( t ，z ) = 。o 对任意的x r ，令 y t ( z ) = z + w r ( t ，卫) ) ，t 0 ，o o ) 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 由 1 s - 1 9 ， 2 5 2 7 知，矿= ( t ( 。) ) 伽) 。r 。是一互1 。2 ( z ) 器扩散。按如下 方式定义另一不同的 0 - 2 ( z ) 等扩散y = ( ( k ( z ) ) 幽) z r ，： k ( z ) = - t ，( z ) ( z ) ，t 【0 ，。) 其中丁( z ) = i n f s 0ie ( z ) z ( 口) ) 我们的问题是研究扩散y 与f 的f e l l e r 性质回忆：称玩( r 1 ) 上的 m a r k o v 半群 s ) t o 在g ( r 1 ) 上是f e l l e r 的，若它是b a n a c h 空间( 岛( r 1 ) ，”0 ) 上的强连续半群 定理4 2 1 给定任意的盯c b ( r ) 满足( 4 2 2 ) 则；盯2 ( z ) 品扩散y 在 ( c o ( r 1 ) ，1 1 i i ) 上是f e l l e r 的。此外，若对某入( 0 ，o o ) ， l 啪i ml 罂彳叱) i 0 ， 川t 训= s z o 希b d u = z 8 上。r ( z ，) 盯一2 ( ) ，【i 。l 。】( 可) d y d u + 0 8 上。r ( z ，) 口一2 ( ) ，【i ，i 。】( y ) d y d u g 。2 + 唧 字) l 刊g 私州盯- 2 ( 蜘 。l 1 一收敛到l i ( w , p ) 当且仅当 矗_ f ( 依概率p ) 且e 厶_ b e 对任意常数叩( 0 ，o 。) ，定义【0 ，7 7 】上如下的测度l ： 铲乒 其中l 为【o ，纠上的l e b e s g u e 测度。则在概率空间( qx 【o ，纠，弘。) 上， 。1 i m 。( 肛o l 叩) i 仃一2 ( z n + u 。) 一a - 2 ( x + 。) i = 0 因此当n _ o o 时， 肋b 训一丁圳 ：u pl f o 仃- 2c x n + w u ，扯0 s 0 - 2 c 蚪，d u i p 。l 兰筹5f 盯一2 ( x n + u g u ) 一仃一2 ( x + w u ) i 砒1 = p 。 o 7 | 盯一2 ( z 。+ ) 一盯一2 ( z + ) l 如1 = 叩( p o l 7 ) 1 仃一2 ( z n + u u ) 一0 - 2 ( z + ) 门叶0 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 即 熙p 。bi t ( s 训一t ( s ，刮 _ o n 。 l 5 ，7 j 口 引理4 3 2 设口g ( r 1 ) 满足( 4 2 2 ) 及( 4 2 3 ) 则对任意固定的z r 1 ， r ( - ，x ) 为 0 ，o o ) 上t ( ，x ) 的逆映射此外，对任意常数叩( 0 ，。) 及任意 收敛到z r 1 的序列 z 。) 。lcr 1 ， 熙p 。 s u p l 即，训一踯，刮 = 。 ( 4 叫 “。o o j 证明：为证( 4 3 1 ) ，假设对任意的u q 。= q m ( 伽( m ) = 0 ) ，如下的性质 成立：( i ) 丁，x n ) ( u ) + t ( 叩，z ) ( u ) + r ( 叩，x n ) ( u ) + r ( 叼，z ) ( ) 。的任意子序列 跚) 。，由引理4 3 1 知，存在 x n t 】n ，的子 序列 甜，h ，使得对每个u q 2 = q m ( 肋( m ) = 0 ) ， 令q 3 = q ( n 1u 北) 注意对u q 3 ， ( 4 3 2 ) 丁( 兄( s ，z 几，) ( u ) ，z n ，) ( u ) = s ，v s 【0 ，叩】，v n 7 ； i , r ( a ，z n ，) ( u ) 盯一2 ( z n ，+ 0 , 3 u ) d u = s l l 仃l i 一2 r ( s ，x n t ) ( u ) ，v s 0 ，7 7 】，v n ，0 于是对u q 3 ， s u ps u pr ( s ，x n ) ( u ) = s u pr ( n ，z ) ( u ) 7 1 1 0 1 1 2 ( 4 3 3 ) n o 8 n n 硕士学位论文 但对u q 3 和0 s n 7 n 7l r r sz ，、九，、l = “盯1 1 2s 0 ， 撬肛。b s u 曼p 叩l 脚，训( u ) 一砟，酬训 c j _ 0 n l o 曼8 曼叩 再由( 4 3 3 ) 知， 墨恐p 。s u p l l s o ) 砌。 的半群【s k 0 在( g ( r 1 ) ，”1 1 ) 上为f e l l e r 半群。 证明：第l 步由( 4 3 1 ) 知，对任意f g ( r 1 ) ，有 s , f q ( r 1 ) ，v t 【0 ，。) 第2 步由随机分析的理论知，对任意固定的z r 1 ，在( q ，厂，p ) 的某 带有盯代数流( 元) 的扩张( f i 尹，声) 上，( e ( z ) ) 舢为如下s d e 的解： t 0 。二一。 d x t = 盯( z t ) d 石t ，z o = z r 1 ， - 9 叉 硕士学位论文 其中( 砚) 伽为从0 出发的元适应的1 维b r o w n 运动。由i t 6 公式易知， l 邶i m 怜，一f l l = o ，w 讲( r 1 ) 由曙( r 1 ) 在( 瓯( r 1 ) ，i | i | ) 中稠得 l 邶i m 怜，一川= 0 ，v f 瓯( 冗1 ) 第3 步 由于( 一i l u 。i 。i ) 。与( u 。) 8 0 同分布，对任意t ( o ，o o ) 及任意的 7 7 ( 0 ，。) ，当_ o o 时，我们有 p o | s 【0 ，t l l 仃1 1 2 】，i z 十u 。i 叼 = p 。 j s o ，t i | 盯1 1 2 i z i 一1 】，li z i 一 z + u 。i ? 7 i z l 一丢 _ 0 因此对任意f c o ( r 1 ) 和任意t ( 0 ，0 0 ) ，当吲_ 。时， i s t f ( x ) l = b ，c ( z ) ) 】i ，陬( z ) ) i y , i 叼) l + ，陬( z ) ) 0 m i 如) i 川s u p 叶i f ( y ) l + i i s l l 肋h 耻) m j = 譬婴l ，( y ) l - ki i s l i 伽h 外州删鲥l s u pi ，( ) lh - l i ：i ip o 臼s 0 ，t i l 盯1 1 2 】，i z - i - u 。i 叼】 i 暑，i 7 ( 其中用到r ( 屯z ) ( u ) t i l 盯1 1 2 ，p o 一口s ) _ s u pl f ( y ) 1 1 可7 令7 7 _ o 。，单mi & ，( z ) i = 0 引理得证。 i z l + 引理4 3 4 设口c b ( r 1 ) 满足( 4 2 2 ) 及( 4 2 3 ) 则 盯2 ( z ) 器扩散 y = ( ( k ( z ) ) t 0 ) 。r 2 4 口 扩散情形的f e l l e r 与强f e l l e r 性 的半群 】御在( g ( r 1 ) ，| | i i ) 上为f e l l e r 半群 证明：第1 步首先证明半群 】t 0 满足 1 i mv t f ( x ) = 0 ，v f c o ( r 1 ) ，v t 【0 ，o 。) 1 z l + 事实上，对任意，c o ( r 1 ) 和t 【0 ，o o ) ，当_ 。时，对任意的r l ( 0 ，o o ) ， i v d ( x ) l = ，( 瓦( z ) ) ， ，( 。) t ) 】+ t o f ( 只( 。) ( z ) ) i ，( 茹) t ) | p o i f l t ( z ) ) + p o 1 y l ( 瓦 ) ( z ) ) i f 扛) r 。 s d l f l ( z ) + s u pt f l ( y ) + l i f l l t o 臼s 【0 ，t 】，i 可。( z ) i 7 7 】 = 3 , i f l ( x ) + s u pl ，i ( 矽) + 1 1 厂0p o 3 s 【o ，t 】，i z + w n ( 。，。) ) i 7 7 t s i ，i 】( z ) + s u pi s i ( y ) + i i f l i ，上o | s o ，t l l 口1 1 2 ，l z + u 。i 叩 i y i 1 _ s u pi f l ( y ) i i r 令