（概率论与数理统计专业论文）最优再保险策略研究.pdf

i 7 嚆 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 再保险也称分保，是保险公司在保险合同的基础上，通过签订分包合同，将其所承 担的风险转移的一种保险方式按照再保费和总保费之比是否等于再保险人所分担的赔 款和总赔款之比可分为比例再保险和非比例再保险其中比例再保险包括比例再保险、 溢额再保险和比例和溢额的混合再保险非比例再保险包括超额赔款再保险、停止损失 再保险和最大赔款再保险 本文主要研究了经典风险模型和更新风险模型，经典风险模型是运用条件极值的优 化方法，求出调节系数的最大值，并证明了调节系数是关于自留额极限值肘的单峰函数 和在何种情况下得到自留额，运用理论说明了调节系数最大时破产概率最小主要结论 是： 定理3 2 2 考虑索赔服从指数分布的经典风险模型和再保险形式厂口，设a 之口o ， 假设 ( 1 + a ) r c ， 1 m m a 】| 【恤，rl n i o + a ) r 有( 1 ) 保险人的调节系数兄是关于m 的单峰函数， ( 2 ) r 4 埘在r 一m 以i n ( 1 + a ) y 】处达到最大值 在更新风险模型的基础上添加了随机扰动项，使再保险模型的研究更符合实际在此模 型中将调节系数看成是成数再保险和超额损失再保险混合模型的保险人自留额的函数，保 费的计算原理依据期望值原理证明了再保险人的调节系数在给某点可以取得极值，主要结 论是： 定理4 2 1 对固定值口( 口。，i i ，民埘是关于m 的单峰函数，达到最大值的点满足 m 一石1 小l i l ( ，黼) ) r 村是( 4 9 ) 式的唯一解设r 。是r ，肼的最大值 定理4 2 2 对固定值口0 。，1 】，兄肘的最大值尺口是关于口的单峰函数，在a ；1 处达到 最大值，当且仅当 l i m 旦页。芝o a - - p 1 d a 关键词：调节系数；超额损失再保险；比例再保险；自留额 最优再保险策略研究 o p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g y a b s tr a o t r e i n s u r a n c ei so nt h eb a s i so ft h ei n s u r a n c ec o n t r a c t ，b ys i n g i n gs u b c o n t r a c t ，a n d t r a n s f e rr i s kt oo t h e ri n s u r a n c ec o m p a n i e s i na c c o r d i n gt or e i n s u r a n c ep r e m i u m sa n dt o t a l p r e m i u m sw e a t h e re q u a lt o t h er a t i oo fm e a nr e i n s u r e r ss h a r eo fc o m p e n s a t i o na n dt o t a l c o m p e n s a t i o n w ed i v i d ei t i n t ot h er a t i oo fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ea n dn o n - p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e i nw h i c ht h ep r o p o r t i o no fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ，i n c l u d i n gq u o t e s h a r e r e i n s u r a n c e ，e x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c e ，t h em i x t u r eo fq u o t as h a r ea n de x c e s so fl o s s r e i n s u r a n c e n o n - p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ，i n c l u d i n ge x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c e ，s t o pl o s s r e i n s u r a n c ea n dt h el a r g e s tc l a i m sr e i n s u r a n c e t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h es p a r r ea n d e r s o nr i s km o d e l ， t h ec l a s s i c a lr i s km o d e li su s i n gc o n d i t i o n a le x t r e m ev a l u eo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，s o l v e sf o r t h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n to fm a x i m u m ，a n dp r o v et h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ti sa b o u tt h e l i m i to ft h es p e c i f i e da m o u n to n e s e l fs i n g l e p e a kf u n c t i o na n dw h a ti st h ec i r c u m s t a n c e sh a v e r e t a i n e da m o u n t ，u s i n gt h e t h e o r ye x p l a i n sa d j u s t m e n tc o e f f i c i e n tw h e nt h em 觚i m u m p r o b a b i l i t y t h em a i n l yc o n c l u s i o ni s ： t h e o r e m3 2 2 c o n s i d e r i n gt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lo fi n d e xd i s t r i b u t i o nm o d e la n d r e i n s u r a n c e f 母f o r m 1 e t a 2 a 0 , h a v e 0 + a ) r c ， 1 m m a x 口，也唑掣) w eg e t ( 1 ) t h ei n s u r eo ft h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t 凡 fi sa b o u tmo ft h es h o w i n g f u n c t i o n ( 2 ) 兄肼g e t st h em a x i m u m v a l u ea tr = m qi n o + a ) r 】 o nt h eb a s i so ft h es p a r r ea n d e r s o nr i s km o d e l ，t h er e s e a r c hm a k e st h er e i n s u r a n c e m o d e ls u i tf o rt h er e a l i t y i nt h i sm o d e lt h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ti sa st h er e i n s u r a n c ea n d e x c e s sl o s sr e i n s u r a n c em i x e dm o d e lo ft h eu n d e r w r i t e rt a k i n gt h es p e c i f i e da m o u n to n e s e l f t h ep r e m i u mt h ec a l c u l a t i o np r i n c i p l eo ft h ep r e m i u ms ia c c o r d i n gt oe x p e c t a t i o n s p r o o fo f r e i n s u r a n c ep e r s o ng e te x t r e m ev a l u ea tc e r t a i np o i n t t h em a i n l yc o n c l u s i o ni s ： t h e o r e m4 2 1f o raf i x e dv a l u ea q o ，1 】，兄j | i ，i sas i n 出ef u n c t i o na b o u tm ， c a ng e tt h em a x i m u mv a l u em e e t m = 忐( 1 n m 鞘) ) i i 辽宁师范大学硕士学位论文 r ，脚i st h eo n l ys o l u t i o na b o u tg a , m ( r ) 一1 ，l e t r ni st h em a x i m u mv a l u ea b o u t 兄。村 t h e o r e m4 2 1f o raf i x e dv a l u ea ( 口o ，1 】，见i st h em a x i m u mv a l u ea b o u t 兄肘，a t a = 1 c a n g e tt h em a x i m u mv a l u e ，i fa n do n l yi f l i m 旦死芑0 a - - 1 d a k e yw o r d s ：a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ；e x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c e ；q u o t as h a r er e i n s u r a n c e ； r e t e n t i o n 最优再保险策略研究 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 再保险简介。1 1 3 国内外的研究现状2 1 4 本文研究的内容4 第二章预备知识。5 2 1 相关数学理论知识5 2 2 破产理论。6 第三章经典模型的最优再保险9 3 1 模型及符号定义9 3 2 最小破产概率和最优自留额的确定1 0 第四章带扰动项的更新模型最优再保险1 5 4 1 模型建立1 5 4 2 关于自留额函数的调节系数1 8 第五章结论2 6 参考文献2 7 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 9 致谢3 0 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 再保险是对保险人的一种保险，保险是保险人通过收取保费的形式得到保险基金用 于补偿自然灾害和意外事故造成的物质损失和人员伤亡时的一种经济补偿制度但是随 着社会经济的发展和社会的进步，高新技术产业的大量涌现和巨额保险的大量出现，保 险公司独自承担的能力有限，为了保证公司的正常运行，再保险公司在慢慢的产生比 如1 9 8 1 年9 月，莲花城号轮船的空难事件，受损金额达2 1 0 0 万美元；1 9 9 0 年中国广州 白云机场的空难事件，赔款金额为9 0 0 0 万美元2 0 0 8 年我国南方发生的雪灾，保险赔款 高达4 3 亿元人民币同样，2 0 0 8 年我国汶川地区发生的地震，直接经济损失高达8 4 5 1 亿元人民币如此大的损失保险公司独立承担是很困难的，还有保险监管机构也不允许 这样做我国保险法第九十九条规定：保险公司对每一危险单位，即对一次保险事 故可能造成的最大损失范围所承担的责任，不得超过其实有资本金加公积金综合的百分 之十；超过部分，应当办理再保险一般来说，再保险是保险人分散风险最为有效的办 法，研究再保险也是非常必要的 1 2 再保险简介 再保险也称分保，是保险公司在保险合同的基础上，通过签订分包合同，将其所承 担的风险转移的一种保险方式，也就是对保险人的保险从本质上看保险和再保险没有 大的区别，再保险也需要计算保费，提取准备金，其主要的区别在于承担的对象不同保 险人承担的是原保险人的风险，再保险人承担的是被保险人的风险再保险的产生是因 保险人经营风险的需要而产生的，是以原保险人为基础 再保险的主要职能就是分散风险，就是把一个保险人的风险分散给多个保险人， 甚至扩展到国外，以补偿可能发生的风险 再保险按照不同的标准可以分成多类，主要有： ( 1 ) 按照承保的险种可以分为财产再保险、责任再保险、人寿再保险和意外再保险 等 ( 2 ) 按照是否签订合约可分为临时再保险、合约再保险和预约再保险等 ( 3 ) 按照再保费和总保费之比是否等于再保险人所分担的赔款和总赔款之比可分为 比例再保险和非比例再保险 最优再保险策略研究 比例再保险：它是指原保险人与再保险人相互签订再保险合同，以保额为计算基 础，计算比例承担保险责任的再保险方式它有三种基本形式：( 1 ) 成数再保险：它以 保险金额为基础并由分出公司将其所承保的业务按照合同所订明的比例，一部分自留， 另一部分分给接受人，并按这同一比例分配保费、摊付赔款( 2 ) 溢额再保险：它也是 以保额为基础，由保险人与再保险人双方签订的一种固定的再保险合约在合约规定范 围内每一承保危险，首先由分出人确定一个合理的自留额，超过自留额部分统称为“溢 额 ，溢额部分按照合约规定必须自动分给再保险接受人负责( 3 ) 成数溢额混合再 保险：是成数再保险和溢额再保险结合使用的分保方式它将二者结合在同一个合同内， 自留额限度内的业务以成数再保险方式分出，超过部分以溢额方式分出，它可以弥补上 述两种方式单独运用时的不足，取长补短，既解决成数再保险，付出的保费过多，又达 到溢额再保险项下保费的相对平衡，对于缔约双方均有利 非比例再保险：它是由原保险人同再保险人协议，以赔款为基础，计算自负额和责 任额的一种再保险方式它主要有三种形式：( 1 ) 超额赔款再保险，是原保险人因同一 原因发生的任何一次损失或因同一原因所导致的各次赔款的总和，超过约定的自负额 时，其超出部分由接受公式负责至一定的额度在保险实务中包括险位超额赔款再保险 和事故赔款再保险( 2 ) 停止损失再保险，是指原保险人一段时间内的总损失额为理赔 基础对停止损失合同中，要规定自留额和赔偿限度( 3 ) 最大赔款再保险，是指再保 险人承担一年内金额最高的若干次索赔总额，其余事故再保险人不承担赔偿责任在保 险实务中包括累积超额再保险和赔付率超额再保险 1 3 国内外的研究现状 在保险实务中，再保险可能会是多种形式的结合，这里只要研究超额损失再保险和 成数再保险的结合形式，考虑该形式的调节系数和最优自留额的问题 在风险理论中，更新过程、p o s s i o n 过程、p o s s i o n g e o m e t r i c 过程、e r l a n g 过程、 鞅和停时等方法得到了广泛的应用在不同的再保险模型中，应用不同的方法，解决了 保险中存在的实际问题国内在超额损失再保险的研究主要是再保险的定价模型、再保 险对破产概率风险模型的影响、再保险对相依索赔的风险模型得出的破产概率、再保险 对带有分红、投资等经典风险模型的破产概率等方面的研究张茂军捌等运用鞅的方法得 到了有限时间破产概率的上界和保险公司的最优再保险自留额，并给出了相应的具体表 达式谢杰华h ，研究了具有两类相关索赔风险模型的破产概率，这两类索赔的计数过程是 互相相关的p o s s i o n 过程和e r l a n g 过程，运用l a p l a c e 变换计算出了索赔额任意的情 2 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 况下的破产概率在索赔额为指数分布时，得到了精确的破产概率的表达式刘博涛等瞄1 在经典模型的基础上，建立了新的风险模型，计数过程由经典的p o s s i o n 过程变为 p o s s i o n g e o m e t r i c 过程，同时带有扰动项，得到了破产概率上界邓志民例研究了投资 影响下的再保险策略，这种研究方法在以前的研究基础上有了更深入的探讨，对破产模 型进行了推广作者运用了线性正倒向随机微分方程，获得了投资影响下的自留比例和 自留额的计算式子其方法不仅把数学理论得到充分的应用，同时还在经济和金融领域 有了重要的发展前景 在成数再保险的研究方面，曹玉松吲运用优化模型，以风险作为衡量标准，给出了 n 种索赔相关的保险构成的最优再保险函数，他指出探讨最优再保险的决策问题归结于 研究再保险的相应参数的选择问题其保费和再保费的计算都采用了均值计算原理对 超额损失再保险和成数再保险的研究比较少，李红静等呻1 在更新模型中采用了超额损失 再保险和成数再保险混合的办法，其中超额损失再保险的保费计算按照e s s c h e r 保费原 理，成数再保险的保费计算按照原始条款计算通过调节系数来研究再保险效用，将调 节系数是关于自留额水平的函数，证明了当肘充分大时，调节系数关于自留额水平m 是 单调增加的，在某种程度上有利于保险公司确定相对合理的自留额 在国外研究超额损失再保险和成数再保险的起步比较早，主要研究成果：l o u r d e s c e n t e n o 西1 考虑了当保险人分出人的再保险可选成数再保险、超额损失再保险或者是超额 和损失混合再保险的时候以及再保险自留额的极限值问题得出了成数超额混合再保险 的自留额的极限，使得原保险人的自留风险的偏斜度系数达到最小c h r i s t i a nh i p p n 们 等，利用随机微分方法证明了比例再保险和超额损失再保险中自留额的最优解得存在性 问题，并给出了相应的证明d a v i dn 1 1 研究了保费的连续性，理赔分布服从指数分布和 p a r e t o 分布等情况下的比例再保险和超额损失再保险的最优自留额和最小破产概率等 问题，在此基础上有很多学者也对此进行了讨论，并得出了一些最优再保险定价模型 r o b e r tv e r l a a k n 嬲等研究了均值方差最优化原则，给出了比例的最优再保险计划， 特别的研究了溢额再保险和险位超额再保险和混合再保险，得到了几种再保险的最优方 程有溢额和超额混合再保险成数和超额赔款再保险成数和超额赔付率的再保险，成数 和停止损失再保险等s o p h i e a n 3 1 等研究了关于再保险人自留额的上下界的风险测量值 调节系数，特别研究了处于风险中的方差、变异系数、和减额等风险测量值的影 响d a y j i n 口4 1 等研究了最优再保险的形式，运用方差原理计算再保险合同的定价的精算、 经济、商业等问题，得到最小破产概率，使公司能正常的运行c e n t e n o n 副( 1 9 8 6 ) 考虑了 超额损失再保险和成数再保险这两种形式，她应用保险的破产概率和调节系数的唯一 3 最优再保险策略研究 性，给出了超额损失再保险和成数保险的一个比例值，从而得到最优再保险这是研究 这方面内容的一个开始，后来很多学者在此基础上做了更深入的研究探 讨c e n t e n o n 们( 1 9 9 7 ) 在原来研究的理论基础上进一步说明了条件系数和破产概率的一 个关系，求出了破产概率的有限上界b u l m a n n n 7 1 等，b j a r n e h j g u a r d n 踟从调节系数角度， 以破产概率最小为目的研究了纯费率的最优再保险问题和带有扩散性成本交易的模型 的成数再保险 h u r l i m a n n 们从存在红利的完全套期保值的最优再保险问题，研究了超额损失再保险 的线性问题，从不同的角度作出了分析，给出了在再保险方面有一定的参考价值的性质 和定理1 9 9 9 年又研究了超额损失再保险和成数再保险的组合，证明了这种保险不能得 到最优的再保险，只能在模型是超额再保险的情况下，才能得到最优再保险，从而与前 面得到相同的结论h e s s e l a g e r 啪1 ( 1 9 9 0 ) 假定保费的计算原理是依据标准差和方差的 原理，作者研究了最优再保险，其主要的目标是得到最小的破产概率，并提出了三种再 保险的赔偿形式，为以后的学者研究提供了理论依据 1 4 本文研究的内容 通过阅读了大量参考文献，从风险理论入手，总结了相关知识本文结构及主要的 内容：第一章介绍了再保险的种类、发展历程和国内外在再保险方面的研究方法及现状 第二章介绍了风险理论的基础知识，以及求解再保险模型的一些数学理论第三章研究 了在经典风险模型下，当理赔额分布服从指数分布时，通过调节系数来研究再保险效用， 得到了调节系数是关于自留额水平的函数，证明了当自留额水平m 充分大时，调节系 数关于m 是单调增加的，并在某一点处达到最大值该研究对于保险公司确定合理的自 留额具有参考意义，也为保险公司在保险的实务中提供了理论依据第四章，在更新风 险模型的基础上添加了随机扰动项，使该模型更符合于保险公司实际运行情况，在此模 型中将调节系数看成是成数再保险和超额损失再保险混合的保险人自留额的函数，而成 数再保险保费由原始条款计算，超额赔款再保保费按期望值保费原则计算时，证明了再 保险人的调节系数在给定点可以取得极值，最后所得的结论与在经典风险模型情形完全 类似第五章对本文进行总结 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 第二章预备知识 2 1 相关数学理论知识 定义2 i 1 对于尼元实值函数厂：d 呻尺，dcr “为开集，若，在d 处可微，则由 他，。 善】 确定了厂的导函数，：d _ 彤它是一个向量函数( 即函数，的梯度向量函数) 如果， 还在d 上可微，那么称，在d 处二阶可微，定义( ，) r 的导数为，的二阶导数，记作，。 ) 表达式为 ，。o ) = a 2 ， 嵋 a 2 ， a k 眈 a 2 ， 魄缸。 a 2 ， 嘭 ( 2 1 ) 那么矩阵称为函数厂的h e s s i a n 矩阵当厂得二阶混合偏导数连续时，它是一个对称矩 阵若二元函数，在点咒( ，y 。) 有二阶连续偏导，并记 日，儡，2 乏象；乞毖；】4 乏乞】焉 c 2 2 ， 定理2 i 2 ( 极值充分条件) 设二元函数f ( x ，y ) 在昂瓴，) 的某邻域u ( p o ) 内具有 二阶连续偏导数，且昂是f ( x ，y ) 的稳定点，则当日，( p o ) 是正定矩阵时，f ( x ，y ) 在昂取 得极小值；当h ，( p o ) 是负定矩阵时，f ( x ，y ) 在昂取得极大值；当日，( 昂) 是不定矩阵时， f ( x ，y ) 在昂不取极值 定理2 i 3 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下面条件： ( 1 ) 函数f 在以只，y o ) 为内点的某一区域dc r 2 上连续； ( 2 ) f ，y 。) 一0 ( 通常称为初始条件) ( 3 ) 在d 内存在连续的偏导数e ，y ) ； ( 4 ) e o ，y ) 一0 ，则在昂的某邻域u ( p o ) cd 内，方程f ( x ，y ) = o 惟一的 确定了一个定义在某区间一a ，x o + 口) 内的函数( 隐函数) y = f ( x ) ，使得 5 最优再保险策略研究 1 0 ，) zy o ，x ex o 一口，x o + t t t ) 时o ，厂o ”u ( 异) r f ( x ，o ) ) 10 ； 2 0 f ( x ) 在x o 一口，x o + o r ) 内连续； 定理2 1 4 ( 隐函数的可微性定理) 设v ( x ，y ) 满足隐函数存在唯一性定理中的条 件( 1 ) 一( 4 ) ，又设在d 内还存在连续的偏导数f a x ，y ) ，则由方程f o ，y ) 一o 所确定 的隐函数ytf ( x ) 在定义域( x 0 一口，x o + 口) 内有连续的导数，且 m ) _ - 嬲 定理2 1 5 ( 含参变量积分的可微性) 设f ( x ，) ，) ，l ( x ，y ) 在尺【a , b x p ，q 】上连 续，c o ) ，d ( x ) 为定义在【口，b e ，其值含于【p ，q 】内的可微函数，则函数 ， ) 一崩f ( x ，y ) d y 在【口，6 】上可微，且 f o ) 一j = ：二：无o ，y 胁+ f ( x ，d o 脚一f ( x , c o 髓o ) 定理得证明及其应用参见文献 2 2 2 破产理论 定义2 2 1 设 以，n - l 2 ) 是一串相互独立同分布的非负随机变量，其分布函数 为f o ) r f ( 0 ) _ p ( 以# 0 t , 1 ，记。e x 。f x a e ( z ) ，no 0 ) 为参数的p o s s i o n 过程；且佤，k2 q 与 o ) ：f 0 ) 相 互独立 在t 时刻为止发生的索赔总额为 e 【s ( f ) 卜e n ( t ) i e 【墨】一础f ( 2 4 ) 在保证公司安全运行的情况下，必须要有如下保证 c t - e i s ( t ) 】一( c a p ) t o , t 芝0 ( 2 5 ) 其中相对安全负载假定为 c 一( 1 + 日) a 肛 a , u ( 2 6 ) 定义0 0 为相对安全负载 定义2 2 3 设石是一个随机变量，其分布函数是f ( x ) ，它的特征函数和矩母函数 分别定义为： ，o ) 一研p 斌】= 仁e 辟抒o ) 和 ，o ) = e = 仁e 拉d f ( x ) 下面给出索赔额的矩母函数 m z ( r ) 。e 【e 膳】；j ：o o p “d f ( x ) 一1 + f e “( 1 一f ( x ) ) d x 它的根在包含原点的某个邻域内存在，并且方程 m z ( ，) = 1 + ，- 在这个定义域内有解，且解事唯一的 通过上面的两个式子，经过整理可得 7 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 最优再保险策略研究 笤扩【1 - f ( x ) d x 钉 调节系数尺满足上面的式子，并且是它的唯一解 定义2 2 4 方程 g ( ，) 一笤扩【1 廿g ) 协1 1 ( 2 9 ) 存在唯一正解尺，称r 为调节系数，方程( 2 7 ) 为调节系数方程 定义2 2 5 在盈余过程中的某一时刻可能会产生负值，此时我们称保险公司破产， 在r 时刻保险公司首次发生破产，有 ti i n q t ：u ( f ) 0 是初始资本 o ) l ：。是区间( o , t ) 发生的索赔 次数，它是一个一般的更新过程，在( 0 ，t 】内发生的索赔次数可以表示为 o ) = s u p n ：s 墨f ) 其中s o - 0 ，鼠一互+ 互+ 瓦，v nz l ，i f , ：。是相互独立的非负的随机变量序列，互是 第f 一1 次到第i 次索赔的时间，正服从指数分布，其分布函数为f o ) = 1 一e ，期望值 e ( z ) - 1 r 设 置甚。是相互独立同分布的非负随机变量序列，并f i t , 荒，与 x ，) ：。相互独 立， 置咒。与似o ) l ；。相互独立，墨是第f 次的索赔额，分布函数为v ( x ) e x 】= f ( x ) 在【0 ，+ ) 内单调递增的函数当工s0 时，f ( o ) = 0 ；当v o z 时，0 v ( x ) c ( 3 3 ) 通过这个条件可知，保险公司不可能承担所有的风险 定义3 2 1 设w ( a ，m ) 是保险公司经过再保险之后，在单位时间内的净利润有 口。c - y l 比 口彬 是关于a 的一个集合，表示如下： a = 口：0 s as 1 ，j m 0 ，s t ，e w ( a ，肘) ) 根据( 3 1 ) 和( 3 3 ) 式，可得0 m ( 口) 有冠j ， 0 ； ( 3 ) 西( 口) 有连续的一阶导数； ( 4 ) m o o ) 一0 ； 证明：设1 芝a a 。，因为 e w ( a ，m ) 一c - a y e z 一彬 一c 一。+ 咖盱mm f ( 告- f ( m ) r o x f ( x ) a x + 廑可。渺卜彬 t c d + a ) ) ，噼4 一 ( 寺+ 压可。渺卜彬 根据( 3 3 ) 式有 e w ( a ，0 ) 】；c a y a l t 一班 o - e w ( a ，w ) 是连续的，并且等式 e w ( a ，) ；0 ( 3 4 ) 该式至少有一个正解，再保险形式b 关于m 求偏导有 塑必；口7 ，【f ( 旦) 一f 似) 】 0 ( 3 5 ) o m 、1 一a 7、“ 可得( 3 4 ) 有解且唯一而且不存在m 乏0 使得e 吵a ，m ) 】= 0 依据( 3 5 ) 和不等式 e w ( a ，o ) 1 0 ，0s 口 c y 1 m ，rlno+a)rlmaxa ， ( 3 6 ) ，。 ) ( 3 6 ) 最优再保险策略研究 有( 1 ) 保险人的调节系数r 埘是关于m 的单峰函数， ( 2 ) r 埘在r 一m 。1h l 【( 1 + 口) ) ，】处达到最大值 证明： 礁；( 1 + 口) 旭【乙口】 。o + a ) r e m i n a x ，m a x ( o ，鼍一m ) 】 一o + a ) r e 一肼一( 1 一a ) e 卜4 】 和 e 【e 7 嘛卅】皇r p 7 略卅抒o ) 1 。丁 1 + c r r o + a ) r e 一一0 一a ) e1 一一】 下面计算以一乙的矩母函数，| 厂 ， 1 ，w 得c - r 0 所以有 口y e 一一0 - a ) e 一兰 o ，吃，肘关于m 在点尺处的二阶微分，根据隐函数定理可 得 粤i一必糌kidm i r - r ( d d r ) a ( a m 一i一。“。_-_一 2 ，厂，) 。，- 且。 求二阶导数 垡丝鱼! ! ! 丝! d m 2 = ( 厂一1 ) ( 厂一r a 一1 ) i r e 棚( 一p 一肼+ p 一焉) p 棚一( 1 + 口) ，) p m 一( 1 一口弦一函) 】 于是有 学|，。r；(1+口)，厂(p一盯一eimi)。 计算a a ( a ，r ，u ) l d r ，有 d a _ ( a , _ r , m 一) ：( 1 一日) 扩1 + m ( r - r a - 1 ) 扩1 - ( 1 + a ) y ( r r a 一1 ) 【e 一肘一( 1 一口) e p 。m 】 - ( 1 + a ) y ( r 一1 ) ( 1 一口) 【e 肘一( 1 一口) e p 。1 脚】 一( 1 - a ) e n ( r - l 圭a ) - ( r 一1 ) m e 帅亡) 最优再保险策略研究 - ( 1 - a ) ( 1 + r c - c ) - c ( r - r a - 1 ) 带入等式( 3 1 2 ) 代入，应用( 3 1 0 ) 可得 d , 4 ( a ，m ) d rl s 。0 + a ) r 0 - a ) e 一材+ ( 1 + 口) y ( 尺一r a 一1 ) m e 一 一( 1 + 口) ) ，俾一r a 一1 ) k 一一( 1 一口弦一面】 一( 1 + 口) ) ，( 尺一1 x 1 一口) p 一脚一0 一口弦一焉】 一旦 竺 - 0 + a ) r ( 1 - a ) e1 1 一( 1 + 口x l j r ) ，僻一班1 4 - ( 1 - a ) ( 1 + n c - c ) 一c ( r 一r a 一1 ) 0 + a ) r 0 一口) e 。+ ( 1 + 口) ，( j r 一r 。a 一1 ) m e m 一( 1 + a ) y 僻一尺口一1 ) c - r 口， 一( 1 + 口) ，僻一唧一口) 坐 口y 一旦 旦 - 0 + a ) r o - a ) eh 一( 1 + a ) r 僻- 1 ) m eh - ( 1 - a x l + r c - c ) 一c ( r 一r a 一1 ) 依据e 一脚 e l - a 一，和r ( 1 + 口) ) ，( 尺+ r 口+ 1 ) - m e - m + 耐c - ( 1 - a ) ( 1 + r 。c - c ) 0 在最后的不等式中，由c ，m 和) ，的假设条件知不等式是正的，根据定理2 2 1 可得兄| ， 是关于m 的单峰函数目在尺处达到最大点 1 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 第四章带扰动项的更新模型最优再保险 4 1 模型建立 本节主要研究超额成数混合再保险的更新模型，在经典更新模型的基础上添加了扰 动项成数再保险的保费由原始条款计算，超额损失再保险的保费计算依据期望值原理， 保险人的调节系数是一个关于自留额的单峰函数基本符号定义可参阅第三章第一节， 现在定义保险公司的风险过程是 n t t 、od d y o ) - p t 一善置( 善置_ 二o ) 其中p 0 是单位时间内收取的保费 k1 一【y ) - y ( s ，一。) 】一五- e t , ( 4 1 ) 显然，圪。是一组相互独立同分布的随机变量，其期望值为 e 【y 】= e 【置 - e e t , 】一肛一纠) ， ( 4 2 ) 同时也可以定义安全系数 p ：p ) - l u ；p 一1 彬 假定p 0 设z 0 0 ，乙一”i - 。￥是万次索赔后的损失， 最终破产概率表示为 ( 4 3 ) 在索赔时间内的破产概率妒 ) ， 妒0 ) = p r 伽+ 】，o ) 阱= p r m a x z 。 h ) 设 g ( ，) 一m x ( ，) - - e e x 】= 研，玉一硎】- e e 塌皿【e 一嘲】 其中x 和丁同x i 和互有相同的分布函数 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 在成数和超额混合再保险中，定义成数再保险费的支付比例为a ，保险人支付的再保费 ( 1 一a ) e 小于佣金支付c ( 1 一口) p 在超额损失再保险中，其自留额是m 原保险公司在索赔发 生时的自留额为x 删= m i n ( a x ，m ) ，其转给再保险公司的自留额值为x 一邑m m a x ( 0 ，a x m ) 假定成数再保险由原始条款计算，超额再保险费的计算方法依据期望值 原则，负载系数口 0 仃 0 是扰动系数，b ( f ) 是一个标准布朗运动，其无穷小方差d 0 假定c 一( 1 + a ) 彬 田 ( 4 1 1 ) 引理4 1 2 设定兄( ，) = i n e e r x j ，】，誓( 厂) - i n e e 讲】，f l ( r ) tl n e e 一，砷( f 】 h o 。u ( r ) 一l n ( g 。，肘( r ) ) 一厄，j i ，( ，) + r ( ( p 一只。) ，) + 卢( ，) 一l n e e r x _ + i n e e 一7 p 一最j ，弦 + i n e e 一，口口( 】 ( 4 1 2 ) 引理4 1 3 ( 1 ) 调节系数兄脚是正的当且仅当a ，m ) e l ； ( 2 ) 对v ( 口，m ) e l ，日。，j i ，( r ) r e r 一兄 j i ，是正的 证明：假定( 口，m ) 是固定的，分别对兀埘( 厂) 、_ i | f ( ，) 和f l ( r ) 关于厂求微分有 如( ，) g 牟 “m 牟一c 争2 k ( ，卜鼍群 辽j 。师范人学硕士研究生学位论文 -。(，-)=!：!；：；!华-(堡-p上,i,ml。；)ete。-。，(ej-ea)r)2 ( 4 1 6 ) 声( r ) 一一篙 所卜箐一释2 函数兄朋( 厂) 、r ( ，) 、卢( r ) 都是关于，的凸函数，- 且- x a 省( r ) 和r 。( ，) 是两个e s s c h e r 变换的 方差，e s s c h e r 变换是关于以， ，和r 的分布函数，所以对固定的( 口，m ) ，也w ( ，) 也是关于， 的凸函数则有 日：爿( r ) 一x o j i ，( ，) + ( p 一 j i ，) r 一) ，) + 卢( 厂) 2 酱一( 尸一只) _ e 云 t _ e - 呵, ( e - e 爿) r 一兰堕辫 ( 4 1 9 ) 设亭。j 蝴m “ 【f m2 + 当肘= + 时，没有超额再保险对h 。埘( 厂) 有 h q m = 0 和 l 咖见朋( ，) 一+ ( 4 2 0 ) ，_ 由矾朋( 厂) 的凸性，我们可得调节系数r 是正的当且仅当 日。j i f ( 厂) 0 ( 4 2 1 ) 在，= 0 处计算( 4 1 9 ) 式，得到( 4 2 1 ) 的等价方程 p p e x 。埘卜二1 丝一e c r b ( t ) 。研艺埘卜生奠 m 0 ) 引理的证明参考文献 9 4 2 关于自留额