（应用数学专业论文）二维hilberthuang变换及其在图像处理中的应用.pdf

：+ ：i 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：布乃日铲 加l d 年t 月2 9 日 性声明 a 3 蚕农舂翼在孵浙中娴 原创性成果。除文中已经注明引用的内 表或撰写过的研究成果。对本文的研究 指导教师确认( 签名) ： 沙f d 年上月吖日 学位论文版权使用授权书 胡之中 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：方渤钮 堋。年上月锯日 指导教师( 签名) ： 烈d 年f 月二；7 刁中 i i 荆训 日 这些方法采用固定的基来分析信号，对平稳信号较有效。1 9 9 8 年h u a n g 等人提出了一 种新的数据分析方法一希尔伯特黄变换( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m 简称为：h h t ) 方 法。与传统方法完全不同，h h t 方法不需要任何先验基函数，是一种针对非平稳过程的 自适应时频分析方法。数据分析所需要的基函数是通过经验模式分解( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ，简称为：e m d ) 自适应的从信号中获得的，e m d 分解的结果形成近似 正交的内蕴模式函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简称为：i m f ) 。然后，将每个i m f 与其 希尔伯特变换结合形成解析信号，可以求得信号的瞬时振幅和瞬时频率等重要特征，在 时间一频率一振幅平面上形成希尔伯特谱。h h t 方法尤其适用于分析非线性信号，被 成功应用于医学、军事、海洋学等许多重要领域，具有极高的应用价值。 鉴于此优点，二维h h t 方法也受到人们的广泛关注。人们研究了二维e m d 的分 解算法，取得了一定的成果。但由于二维信号的复杂性，二维h h t 方法及其应用还存 在许多问题。 本文对二维h h t 方法的理论及其在图像处理中的应用两方面展开了研究。首先对 二维e m d 的分解方法及二维谱特征的提取等理论方面的问题进行了研究，改进了已有 的分解方法并得到了二维瞬时频率等重要谱特征；其次我们将二维h h t 理论应用于图 像处理中，取得了一些的成果。具体来说，本文的主要工作如下： 在理论方面，我们改进了原有的二维e m d 的分解方法，并利用四元数解析提取了 二维i m f 的谱特征。首先，针对二维e m d 算法计算时间长等问题，我们改进了b e m d 方法，利用快速镜像基函数进行插值，并采用镜像对称的方法进行边界处理。这样能够 加快迭代速度，抑制边界效应。我们还对二维谱特征进行了深入研究。利用四元数解析 的方法得到了符合二维解析推广条件的解析信号，接着采用一种新的表示形式，提取了 二维i m f 的瞬时振幅、瞬时相位、两个瞬时频率、u 的三个成分共七个特征。文中分别 对自然图像和纹理图像进行了实验分析，实验结果表明这些特征可以较好的反映图像 i t i 的内部特征，为二维h h t 的发展奠定了理论基础。 另一方面，我们将二维h h t 方法应用到图像融合、图像解调中、分析了二维e m d 的特征，并将二维瞬时频率应用到图像分离中，取得了一定的效果。下面分别进行介 绍： 首先，我们将二维b e m d ( b i d i m e n t i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 和亮度 色度饱和度( i n t e n s i t y h u e s a t u r a t i o n ，简称为：i h s ) 变换结合起来解决遥感图像融合 的问题。具体来说：我们对全色波段图像进行二维b e m d 分解，提取图像不同频率的 信息，并结合i h s 变换将光谱信息和图像细节信息叠合到融合图像上，使所产生的新 图像保持了原来图像的多光谱特性并具有较高的空间分辨率。 随后我们提出了一种完全重构的图像解调算法。图像解调算法是用图像的瞬时振 幅、瞬时相位、瞬时频率等重要特征来表示图像。鉴于瞬时频率等特征对单成分信号才有 意义，我们首先分解图像得到图像的每个单成分。传统的分解方法大都采用g a b o r 滤波 器来提取图像在某个固定频带的成分，且分解的结果不能重构原信号。与此不同，b e m d 是一种自适应的分解方法，并且由b e m d 分解得到的单成分可以完全重构原图像。我 们利用b e m d 方法分解图像，然后对提取的单成分利用四元数解析的方法得到二维解 析信号。四元数解析方法符合二维解析的推广条件，是一种合适的解析方法。我们还采 用一种新的极坐标表示形式，提取了图像的瞬时振幅、瞬时相位、瞬时频率等特征，达 到了图像解调的目的。该方法还是一种完全重构的图像解调算法。随后我们还利用提取 的特征进行了图像分割实验，实验效果较好，这也进一步验证了该图像解调算法的有效 性。 最后，通过计算二维瞬时频率，我们发现二维e m d 具有类似二进滤波器的性质并 提供了一种分离图像的方法。利用本文提出的二维瞬时频率的计算方法，我们计算了 不同图像的瞬时频率向量的模，画出了图像的每个i m f 的瞬时频率向量模的分布图并 计算了瞬时频率向量模的均值。实验结果可以看出二维e m d 具有类似二进滤波器的性 质，这一结论与一维e m d 的结论类似。本文的研究首次反映了二维e m d 的性质，也 表明二维瞬时频率可以为二维h h t 的研究提供新的思路。此外，我们将瞬时频率作为 判别条件分离图像，将图像分解为纹理部分和光滑部分。通过这种分离方法，图像的不 同部分可以采用不同的图像压缩方式，这为图像压缩提供了便利条件。 i v 时频率，图像 v a b s t r a c t a sa n i m p o r t a n tb r a n c ho fs i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n gh a sb e c o m ea h o tr e s e a r c h s p o t i th a sm a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c ha sv i d e oi m a g ep r o c e s s i n g ，m e d i c a li m a g ep r o c e s s i n g ，r e m o t es e n s i n gi m a g ep r o c e s s i n ga n ds oo n i m a g ep r o c e s s i n gh a sd e v e l o p e dal o to fb r a n c h e s ， i n c l u d i n gi m a g ef u s i o n 、i m a g es e g m e n t a t i o n 、t e x t u r ea n a l y s i s 、i m a g ec o m p r e s s i o n t h ed e v e l o p m e n to fi m a g ep r o c e s s i n gd e p e n d s o nt h ed e v e l o p m e n to fs i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g y t h et r a d i t i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d si n c l u d ef o t n i e rt r a n s f o r m ，w a v e l e ta n a l y s i s a n dw i g n e rd i s t r i b u t i o ne ta 1 h u a n ge ta 1 p r o p o s e dan e wd a t aa n a l y s i sm e t h o d s - h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r mi n 19 9 8 c o m p l e t e l yd i f f e r e n tw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d ，h h tm e t h o d d o e sn o tr e q u i r ea n yb a s i sf u n c t i o n i ti sa na d a p t i v et i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d f i r s t ， t h eb a s ef u n c t i o ni so b t a i n e da d a p t i v e l yf r o mt h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n t h er e s u i t so ft h ed e c o m p o s i t i o na r et h ei n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ( i m f ) t h e n ，t h ea n a l y t i cs i g n a li s o b t a i n e db yc a l c u l a t i n gt h eh i l b e r tt r a n s f o r mo ft h ei m et h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yi sg o t b yt h ed e r i v a t i v eo ft h ep h a s eo ft h ea n a l y t i cs i g n a l t h eh i l b e r ts p e c t r u mi so b t a i n e di nt h e t i m e f r e q u e n c y a m p l i t u d ep l a n e h h tm e t h o di se s p e c i a l l ys u i t a b l ef o rn o n l i n e a rs i g n a l a n a l y s i s ，a n di th a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nm e d i c a l ，m i l i t a r y , o c e a n o g r a p h ya n dm a n y o t h e ri m p o r t a n ta r e a s i nv i e wo ft h e s ea d v a n t a g e s ，t h et w o - d i m e n s i o n a lh h tm e t h o dh a sb e e nw i d e s p r e a d c o n c e m e d p e o p l eb e g i nt os t u d yt h et w o - d i m e n s i o n a le m dd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m ，a n d a c h i e v e dm a n yr e s u l t s h o w e v e r , a st h ec o m p l e x i t yo ft w o d i m e n s i o n a ls i g n a l s ，t h e r ea r es t i l l m a n yp r o b l e m st ob es t u d i e d i nt h i sp a p e r , t h et h e o r yo ft w o d i m e n s i o n a lh h tm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n si ni m a g e p r o c e s s i n gh a v eb e e ns t u d i e d f i r s to fa l l ，w es t u d yt h et w o d i m e n s i o n a le m dd e c o m p o s i t i o n m e t h o d s 、t w o d i m e n s i o n a ls p e c t r a lf e a t u r ee x t r a c t i o na n do t h e rt h e o r e t i c a lp r o b l e m s w e i m p r o v et h ee x i s t i n gt w o - d i m e n s i o n a ld e c o m p o s i t i o nm e t h o da n d6 b t a i nt h ei n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c ya n do t h e ri m p o r t a n tf e a t u r e s s e c o n d l y , w ea p p l yt h et h e o r yo ft w o d i m e n s i o n a l h h ti ni m a g ep r o c e s s i n g ，a n dh a v ea c h i e v e ds o m er e s u l t s d e f i n i t e l y , t h em a i nw o r k so ft h i s a r t i c l ea r ea sf o l l o w s ： v i i nt h e o r e t i c a lp a r t ，w ei m p r o v et h eo r i g i n a lt w o - d i m e n s i o n a le m d d e c o m p o s i t i o nm e t h o d a n du s et h eq u a t e r n i o na n a l y t i c a lm e t h o dt oe x t r a c tt h es p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h et w o - d i m e n s i o n a li m ef i r s to fa l l ，a st h ec o m p u t a t i o nt i m eo fb e m d i sl o n g ，w ea d o p ta ni m - p r o v e db e m dm e t h o d w eu s et h ef a s tr a d i a lb a s i sf u n c t i o ni nt h ee x t r e m ep o i n ti n t e r p o l a t i o n ，a n du s et h em i r r o rs y m m e t r ym e t h o di nb o u n d a r yp r o c e s s i n g t h i sm e t h o dc a ns p e e d u pt h ei t e r a t i o ns p e e d ，a n dp r o h i b i tt h eb o u n d a r ye f f e c t w ea l s oc o n d u c t ea ni n 。d e p t hs t u d y i nt w o d i m e n s i o n a ls p e c t r a lf e a t u r e s t h eq u a t e m i o na n a l y t i ca p p r o a c hh a sb e e np r o p o s e d ， a n di ti sc o n s i s t e n tw i t ht h et w o d i m e n s i o n a la n a l y t i c a ls i g n a l t h e nu s i n ga n e wr e p r e s e n t a 【i o nf o r m w ee x t r a c tt h et w o d i m e n s i o n a li m f s i n s t a n t a n e o u sa m p l i t u d e 、i n s t a n t a n e o u s p h a s e 、t w oi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y 、t h et h r e ec h a r a c t e ro f u t h e nw ed os o m ee x p e r i m e n t s f o rb o t hn a t u r a li m a g e sa n ds y n t h e t i ct e x t u r ei m a g e s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e s e f e a t u i e sc a nb e t t e rr e f l e c tt h ei n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ei m a g ea n dl a yat h e o r e t i c a lb a s i s f o rt h et w o d i m e n s i o n a ld e v e l o p m e n to fh h t o nt h eo t h e rh a n d ，w ea p p l yt h et w o d i m e n s i o n a lh h t m e t h o di ni m a g ef u s i o na n d i m a g ed e m o d u l a t i o n w ea n a l y z et h ei n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c so f t h et w o d i m e n s i o n a le m d f o rt h ef i r s tt i m e t h e nt h et w o d i m e n s i o n a li n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e sa r ea p p l i e dt ot h e i m a g es e p a r a t i o ns u c c e s s f u l l y w ew i l ld e s c r i b et h e d e t a i l ss e p a r a t e l y f i r s t m et w o d i m e n s i o n a lb e m da n di h st r a n s f o r m ( i n t e n s i t y h u e s a t u r a t i o n ) i sa p 。 p l i e dt or e m o t es e n s i n gi m a g ef u s i o n w eu s e t w o - d i m e n s i o n a lb e m dt od e c o m p o s et h e p a n c h r o m a t i cb a n di m a g e ，a n de x t r a c tt h ei m a g ed e t a i l sa n d t e x t u r e so fd i f f e r e n tf r e q u e n c i e s c o m b i n i n gw i t hi h st r a n s f o r m ，t h es p e c t r a li n f o r m a t i o na n di m a g ed e t a i li n f o r m a t i o na r e c o m b i n e di nt h ef u s i o ni m a g e s t h en e wi m a g e sh a v eb o t ht h em u l t i s p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c s o ft h eo r i g i n a li m a g ea n dah i g hs p a t i a lr e s o l u t i o n t h e nw ep r o p o s eaf u l l yr e c o n s t r u c t e di m a g ed e m o d u l a t i o na l g o r i t h m u s i n gt h eb e m d m e t h o d ，w ee x t r a c tt h es i n g l ec o m p o n e n to ft h ei m a g e d i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lg a b o r m e t h o d ，t h i sd e c o m p o s i t i o nm e t h o di sa na d a p t i v ea p p r o a c h ，a n dt h eo r i g i n a li m a g ec a n b e r e c o n s t r u c t e df r o mt h ed e c o m p o s i t i o nr e s u l t s t h e n ，t h ea n a l y t i c a ls i g n a li so b t a i n e db yu s i n g q u a t e r n i o na n a l y t i cm e t h o d s t h eq u a t e r n i o na n a l y t i cm e t h o df u l f i l l sm o s to ft h ec o n d i t i o n s o ft w o d i m e n s i o n a la n a l y t i c a le x t e n s i o na n di sa na p p r o p r i a t ea n a l y t i c a lm e t h o d w ea l s o i n t r o d u c ean e wp o l a rr e p r e s e n t a t i o n ，e x t r a c tt h ei n s t a n t a n e o u sa m p l i t u d ea n dt h ei n s t a n t a 。 v u f l e o u sf r e q u e n c y t h i sm e t h o di sa l s oa f u l l yr e c o n s t r u c t e di m a g ed e m o d u l a t i o na l g o r i t h m i n a d d i t i o n ，t h ei m a g es e g m e n t a t i o ne x p e r i m e n t sv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d f i n a l l y , w ea n a l y z et h ed y n a m i cf i l t e rp r o p e r t yo ft h et w o d i m e n s i o n a le m d u s i n g t w o - d i m e n s i o n a li n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yw ep r o v i d ea ni m a g es e p a r a t i o nm e t h o d i no r d e r t oa n a l y z et h en a t u r eo ft h et w o d i m e n s i o n a le m d ，w ea n a l y z ed i f f e r e n ti m a g e s m a k i n g u s eo ft h et w o d i m e n s i o n a li n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yp r o p e r t y , w ec a l c u l a t et h ei n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y sm o d u l u so ft h ed i f f e r e n ti m f v e c t o r sa n dc a l c u l a t et h em e a no ft h em o d u l u so f t h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yv e c t o r w ec a ns e et h ee m di nt w od i m e n s i o n sh a sas i m i l a rd y n a m i cf i l t e rp r o p e r t y , j u s ta st h ec o n c l u s i o no fo n e - d i m e n s i o n a le m d t h i sm e t h o dp r o v i d e s an e wr e s e a r c hm e t h o d i na d d i t i o n ，t h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yc a n b eu s e da sac r i t e r i o nf o r i m a g es e p a r a t i o n a c c o r d i n gt ot h i ss e p a r a t i o nm e t h o d ，t h ei m a g ec a nb ed e c o m p o s e di n t o t h ec a r t o o np a r t sa n ds m o o t hp a r t s ，t h e nd i f f e r e n tp a r t sc a nb ec o m p r e s s e dd i f f e r e n t l y t h i s m e t h o dp r o v i d e sac o n v e n i e n tc o n d i t i o nf o rt h ef u t u r er e s e a r c ho fh h t k e y w o r d s ：t w od i m e n s i o n a lh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，t w od i m e n s i o n a le m d ，q u a t e r - n i o na n a l y t i cm e t h o d ，t w od i m e n s i o n a l f r e q u e n c y , i m a g em o d u l a t i o n ，a m - f mr e p r e s e n - t a t i o n ，i m a g ef u s i o n v m 中文摘要 英文摘要 1 绪论 目录 i i i v i 引言1 h i l b e r t h u a n g 变换理论2 1 2 1 经验模式分解( e m d ) 2 1 2 2 希尔伯特谱分析4 二维h i l b e r t - h u a n g 变换的研究现状 6 本文的研究内容7 2 二维e m i ) 方法 2 1 2 2 2 3 2 4 基于插值的二维e m d 算法。“ 2 1 1 改进的b e m d 算法 2 1 2 基于三维剖分的二维e m d 算法 方向e m d 算法。 限邻域e m d 算法 小结。 3 二维谱分析 3 1 二维解析方法 3 1 1 l d 解析信号 3 1 2 部分h i l b e r t 解析。 3 1 3 整体解析信号 3 1 4 单象限h i l b e r t 解析信号。 3 2 二维谱特征的提取 3 2 1 四元数解析 9 i x 2 3 4 l 1 l l 9 9 l 2 4 5 tii，-i 9 9 l 2 3 4 4 l l 2 2 2 2 2 3 2 2 二维谱特征的提取方法 3 3 实验 3 4 小结 4 图像融合 4 1 引言 4 2 图像融合方法和量化指标 4 2 1i h s 变换3 2 4 2 2i h s d w t 方法3 3 4 2 3p c a 变换3 6 4 2 4 b r o v e y 变换 4 2 5 融合结果的评价指标 4 3 基于b e m d 和i h s 变换的图像融合方法 4 4 实验 4 5 小结 5 图像解调 3 8 3 8 4 0 4 3 4 4 4 8 5 1 引言4 8 5 2 图像解调方法4 8 5 2 1 t e a g e r - k a i s e r 算子4 8 5 2 2 类特征函数近似( q e a ) 5 0 5 2 3 m o n o g e n i c 信号5 2 5 2 4 其它方法 5 4 5 3 基于b e m d 和四元数的图像解调方法5 5 5 4 实验5 7 5 5 小结5 9 6 其他方面的应用 x 6 1 二维e m d 的性质研究6 3 攻读学位期间科研成果 6 3 6 4 6 7 6 8 7 0 7 2 7 9 8 0 x 1 常见的图像处理有图像融合、图 领域的发展依赖于信号分析方法 在信号处理领域，信号的时频分析是分析信号特征的重要手段。时频分析就是考察 度量信号的频率成分等时变特征的学科。傅里叶变换是最早研究的信号分析理论的方 法，也是目前发展最成熟的信号分析理论。它是用一组正余弦函数( 或者复值指数函 数) 来逼近展开一个函数( 信号) 。这时的频率是用整个正弦信号定义的，与时间无关， 因而不能表示某一时刻的频率。傅里叶变换还要求系统是线性，数据是平稳的。继而人 们发明了短时傅里叶变换、w i g n e r - v i l l e 分布和小波变换等卓有成效的方法。这些时频 分析方法虽然能在一定程度地表示出频率变化的规律，但它们最终的理论根据都是傅 里叶分析理论，都是采用积分的分析方法，因而也容易受到傅里叶分析理论的约束。在 分析非线性非平稳信号时，这些方法都会受到h e i s e n b e r g 不确定原理的限制，不能精确 描述频率随时间变化的规律，容易出现虚假信号和假频等，且分解结果依赖于固定基函 数的选取。而在实际应用当中情况复杂，常常会遇到非平稳信号，如震荡信号、纹理图 像等，需要从真实信号中得到信息的非平稳特性。这时更重要的是得到观测信号在某一 时刻的信息。 正是在这一背景下，1 9 9 8 年，n eh u a n g 创造性地提出了希尔伯特黄变换方法 ( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m 简称为：h h t ) 。【1 】h h t 作为一种新的针对非线性和非平稳 数据的完全自适应的时频分析方法，由经验模式分解( e m d ) 和希尔伯特谱分析( h s a ) 组成。e m d 可以自适应的将信号分解为固有模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c d o n ，简称 为：i m f ) 。对提取的i m f 进行h i l b e r t 变换，可以得到信号的解析表示，进一步对解析信 号的辐角求导可以得到信号的瞬时频率。这些结果在时间频率振幅平面上形成h i l b e n 谱。h h t 做为一个强大的分析非线性非平稳信号的工具，其优点在于：根据具体信号 形成自适应基函数而不是采用固定的基函数来分析信号。而传统的方法是用固定的基 来刻画非平稳信号，这一做法被h u a n g 等人称为：“削足适履”。另外，传统方法的频率 成分都是通过卷积得到的，而h h t 不同，且h h t 可以得到信号在某一时刻的频率信 息。这种方法尤其适用于对非线性、非平稳信号进行分析和处理，可以提取信号的瞬时 频率等时变特征。这种信号处理方法被认为是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和 稳态谱分析的一个重大突破。h h t 方法一出现就受到广大研究人员的青睐，被成功应 用于很多重要数据分析领域，如哈佛医学院用h h t 来测量心律不整、约翰霍普金斯公 共卫生学院用它米测量登革热的扩散、美国联邦调查局用h h t 来辨识发言者的身份、 海军用它来探测潜艇等等。 鉴于如此多的优点，国内外研究人员先后将一维h h t 方法推广到二维 2 1 ，如n u n e s 3 5 1 等人于2 0 0 3 年提出了二维经验模型分解方法( b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n 简写为：b e m d ) ，可以自适应的分解图像，得到图像不同频率的信息。另外，二维 谱特征的提取也可以为分析图像尤其是纹理图像提供新的思路。二维h h t 有独特的优 势，在图像处理领域有重要的研究价值，给图像处理等领域提供一种有效的方法。 但h h t 方法在理论上还不尽完善，二维h h t 的研究大多集中在二维e m d 的分 解方法上，对二维谱特征方面的理论研究还较少，尤其是在二维瞬时频率等重要特征的 提取和应用方面研究较少，需要进一步研究。 1 2 h i l b e r t - h u a n g 变换理论 这里先介绍下h u a n g 等人提出的一维h i l b e r t - h u a n g 变换理论。h i l b e r t - h u a n g 变 换是针对非线性和非平稳数据的一种分析工具。与传统的信号分析方法不同，h i l b e r t - h u a n g 变换方法是一种自适应的时频分析方法，它不需要任何的先验基函数。希尔伯特 黄变换( h h t ) 由经验模式分解( e m d ) 和希尔伯特谱分析( h s a ) 组成。 1 2 1 经验模式分解( e m d ) 首先，数据分析所需要的基函数是通过e m d 算法从具体数据中自适应获得的，e m d 分解的结果形成了近似正交的内蕴模式函数( i m f ) 。i m f 是满足下列两个条件的信 号【l 】 j ( 1 ) 极值点的个数等于零点的个数或至多相差一个； ( 2 ) 由局部极大值点和局部极小值点确定的上下包络的均值为零。 在这两个条件中，第一个条件类似于传统的平稳高斯过程中对窄带信号的要求。第 二个条件是h u a n g 等人提出的一个新的限制条件，它将传统的全局条件更改为局部条 件，可以避免由于信号波形的不对称性导致的瞬时频率不必要的波动。在理想的情况 2 下，这个条件应该是“信号的局部均值为零”。但是对于非平稳信号，局部均值涉及到局 部时间尺度，定义不明确。所以，定义中的局部均值由信号的局部极大值点和局部极小 值点确定的两条包络线的均值来近似代替，这样在一定程度上能保证信号的波形关于 时间轴是局部对称的。这种定义不一定都能保证结果完全正确，但是h u a n g 等人验证 了即使在最坏的条件下，此方法得到的瞬时频率是有物理意义的。这种定义下的i m f 更易计算出正确的瞬时频率。【1 i 将一个复合信号分解成i m f 的方法称为经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n 简称e m d ) 或经验筛法，这种分解基于三个假设：【1 1 1 ) 信号至少有一个极大值点和一个极小值点。 2 ) 特征时间尺度由极值点间的时间推移定义。 3 ) 如果整个信号只包含曲折点而不包含极值点，可以先微分一次或多次找到极值点，最 后将所得到的分量进行积分。 e m d 算法的具体步骤是：对任一实信号x ( t ) ，首先确定出x ( t ) 的所有极大值点和 极小值点，然后对所有极大值点和所有极小值点进行插值，得到信号的上包络线u ( t ) 和下包络线l ( 亡) ，计算出它们的平均值曲线： m 1 ( 亡) ：掣， ( 1 ) 用x ( t ) 减去m 1 ( 亡) 得h i ( 亡) ： h l ( t ) = x ( t ) 一m l ( t ) ， ( 2 ) 判断h l ( t ) 是否满足i m f 的条件，若h l ( t ) 不是一个i m f ，将h l ( t ) 的平均包络线定义 为：m 1 1 ( t ) ，将h l ( t ) 减去m 1 1 ( 亡) ，得到h 1 1 ( t ) ： 这个过程可能重复k 次，有 h 1 1 ( t ) = h l ( t ) 一r o l l ( t ) ， h l k ( t ) = h l ( k 一1 ) ( 亡) 一t a l k ( t ) ， ( 3 ) ( 4 ) 式中h l k ( t ) 和 1 伪一1 ) ( 亡) 分别为第七次和第忌一1 次筛选得到的信号，m l 七( t ) 为h l k ( t ) 的平均包络线。当满足i m f 条件时，危1 七( 亡) 变为一个i m f ，记为c l ( ) = h i ( t ) 。 3 用z ( 亡) 减去c 1 ( 亡) 得到一个去掉高频成分的新信号r l ( t ) ： n ( 亡) = x ( t ) 一c 1 ( 亡) ， ( 5 ) 将r 1 ( 亡) 看作是z ( 亡) ，重复步骤1 ) ，可依次得到c 2 ( t ) ，c 3 ( 亡) ，当( 亡) 满足给定 的终止条件时停止筛选，此时称为余项，它表示信号的趋势。由此，z ( t ) 可表示为一组 i m f 分量和一个残余项的和： z ( 亡) = 勺( 亡) + ( ) ， ( 6 ) j = l 这里的终止条件是通过标准差的大小来控制的，它的定义是： 砉 监g 掣 ， 令s d 的值在0 2 到0 3 之间。 这样得到的i m f 有物理意义，可以通过h i l b e r t 变换来进一步