（光学专业论文）光在强激光脉冲激发的弯曲时空中传播的引力faraday效应.pdf

k 海大学硕士毕业论文 摘要 作为引力和天体物理研究的理论基础，广义相对论在逻辑上的严谨和数学 上的优美得到了广大理论工作者青睐。由于引力过程及引力效应大多涉及大尺度 空间和时间，受制于观测和实验的手段，广义相对论得到的直接来自于客观事实 支持并不多因此通过在地球实验室能实现的手段直接对广义相对论预言的引 力效应进行检验将具有重大意义 广义相对论和其他度规理论都预言电磁场产生引力场，使时空弯曲。近年来， 高功率短脉冲技术得到了飞速的发展。目前，激光的输出功率已超过1 3 x 1 0 ”w ， 聚焦强度达1 02 2 w c m 2 ，并且已经可以产生o 2 f s 的光脉冲。因而探索在强激光 脉冲产生的引力场中的引力效应和检测方法引起了越来越多的人的兴趣。 众所周知，电磁波在处于磁场中的介质中传播时其极化面会发生旋转，这种 效应被称之为f a r a d a y 效应。根据k e r r 场中广义协变m a x w e l l 方程的解可以证明， 光在引力场中传播时，将有类似于f a r a d a y 效应的引力效应产生，所以该引力效 应叫做引力f a r a d a y 效应。我们的工作是在强激光产生引力场中讨论引力f a r a d a y 效应，目的是探索一条在地球实验室中观测引力效应的途径，从而为广义相对论 的检验提供依据。 本工作的基本理论框架是广义相对论理论。主要的工作包括以下两个方面： ( 1 )根据弱场近似下的线性e i n s t e i n 场方程，求出了强激光脉冲产生 的引力场； ( 2 )通过引力场中的m a x w e l l 方程，运用几何光学近似，推导出了光 的波矢量和极化矢量的传播方程；在此基础上，研究了在强激光 脉冲产生的引力场中传播的探针脉冲的引力f a r a d a y 效应，解析 得出了电磁波极化面的旋转角，并在目前可能达到的实验条件下 对结果进行了估算。为在地球实验室中模拟引力效应的研究提供 了参考数据。 关键词：广义相对论：强激光；时空弯曲；引力f a r a d a y 效应；几何光学近似 上海大学硕士毕业论文 a b s t r a c t a st h eb a s eo fg r a v i t a t i o na n da s t r o p h y s i c s ，g e n e r a lr e l a t i v i t yh o l d st h ei n t e r e s to f m a n yr e s e a r c h e r s h o w e v e r , i th a sl i t t l eo b s e r v a b l ea n de x p e r i m e n t a le x a m i n a t i o nf o r i t sf e a t u r eo ft h e l a r g e s c a l es t r u c t u r eo fs p a c e t i m e s ot h ee x a m i n a t i o no f g r a v i t a t i o n a le f f e c tp r e d i c t e db yg e n e r a lr e l a t i v i t yi nt h el a b o r a t o r yo ne a r t hw i l lh a v e g r e a ti m p o r t a n ts e n s e g e n e r a l r e l a t i v i t y a n do t h e rm e t r i ct h e o r i e so fg r a v i t a t i o n p r e d i c t t h a tt h e e l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o np r o d u c e st h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d ，w h i c hi sr e p r e s e n t e da s c u r v a t u r e i nr e c e n ty e a r s ，t h et e c h n o l o g yo fh i g h p o w e rs h o r t - p u l s el a s e rh a s d e v e l o p e dr a p i d l y t h el a s e rm a yp r e s e n t l yp r o d u c ep u l s e dl a s e rw i t ht h eo u t p u tp o w e r o f 1 3 1 0 ”w ，t h ei n t e n s i t yo f1 0 2 2 w c m 2 a n dt h ep u l s e w i d t ho f0 2 一t h e r e f o r em o r ea n d m o r ea u t h o r sj o i nt h er e s e a r c ho fg r a v i t a t i o n a le f f e c ti nt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l dp r o d u c e db y h i g h p o w e rl a s e r i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ep l a n eo fp o l a r i z a t i o no fal i g h tr a yu n d e r g o e sar o t a t i o n p a s s i n gt h r o u g h ap l a s m ai nt h e p r e s e n c eo fm a g n e t i cf i e l d ，w h i c h i sc a l l e d e l e c t r o m a g n e t i cf a r a d a ye f f e c t a c c o r d i n gt ot h es o l u t i o no fg e n e r a l i z e dc o v a r i a n t m a x w e l le q u a t i o ni nk e r rf i e l d ，t h el i g h tr a yw i l lo c c u rt h es i m i l a re f f e c tw h e n p r o p a g a t i n gi nt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d ，s ot h eg r a v i t a t i o n a le f f e c ti sc a l l e dg r a v i t a t i o n a l f a r a d a ye f f e c t s o m er e s e a r c h e r sh a v es t u d i e dt h eg r a v i t a t i o n a le f f e c ti nd i f f e r e n t g r a v i t a t i o n a lb a c k g r o u n d s w ed i s c u s st h ee f f e c ti nt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l di n d u c e db y h i g h - p o w e rl a s e r t h ea i mi sd e t e c t i n gap a t ho fo b s e r v i n gg r a v i t a t i o n a le f f e c t si n l a b o r a t o r ya n dp r o v i d i n gt h ep r o o f f o rt h ee x a m i n a t i o no f g e n e r a lr e l a t i v i t y i nt h ep a p e r , t h eb a s i ct h e o r e t i c a lf r a m e w o r ki sg e n e r a lr e l a t i v i t y t h em a i nc o n t e n t i sa sf o l l o w s ( 1 )g r a v i t a t i o n a lf i e l d p r o d u c e db yh i g h p o w e r l a s e ri sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt ot h el i n e a r i z e de i n s t e i nf i e l de q u a t i o ni nt h ew e a kf i e l d a p p r o x i m a t i o n ( 2 ) u s i n g t h em a x w e l l e q u a t i o n i n g r a v i t a t i o n a l f i e l da n dt h e a p p r o x i m a t i o no f g e o m e t r i co p t i c s ，t h ep r o p a g a t i o ne q u a t i o n so f w a v e 上海大学硕士毕业论文 v e c t o ra n dp o l a r i z a t i o nv e c t o ra r ed e r i v e d ；t h eg r a v i t a t i o n a lf a r a d a y e f f e c to fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r o p a g a t i n gi nt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d p r o d u c e db yh i g h p o w e rl a s e ri si n v e s t i g a t e da n dt h er o t a t i o na n g l eo f p o l a r i z a t i o np l a n eo fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ei sd e r i v e d t h er e s u l ti s d i s c u s s e da n de s t i m a t e di nt h ec o n d i t i o no fp r e s e n te x p e r i m e n t a l f a c i l i t y k e yw o r d s ：g e n e r a lr e l a t i v i t y , h i g h - p o w e r l a s e r , s p a c e t i m ec u r v a t u r e ，t h e a p p r o x i m a t i o no fg e o m e t r i co p t i c s ，g r a v i t a t i o n a lf a r a d a ye f f e c t 1 1 1 上海大学硕士毕业论文 第一章引言 广义相对论是研究引力和时空弯曲的理论。自它提出之日起，就受到了理 论工作者的青睐。广义相对论中的e i n s t e i n 场方程和在这个场中的运动方程可 以引出新的推论。这些推论对牛顿引力理论进行了修正：给出了若干含有新参 量的场方程和运动方程的新的特解和新的附加条件，这样的一些推论被称为日1 力效应。迄今为止，人们已经提出了大量的引力效应 1 】。 当电磁波在处于磁场中的介质中传播时，其极化面会发生旋转，这个的效 应被称为f a r a d a y 效应。当电磁波在引力场中传播时，也会有类似的引力效应 产生，我们称之为引力f a r a d a y 效应。这个效应最早由s k r o t s k i i 提出，所以又 称为s k r o t s k i i 效应。k o p e i k i n 和m a s h h o o n 等其他一些学者研究了一系列在不 同引力背景下的引力f a r a d a y 效应【2 - - 4 】。 由于引力效应大多涉及大尺度的时空，所以相对于理论研究，广义相对论 实验验证要困难得多。激光技术的飞速发展以及随着而来的强场物理的出现 【5 】，都为引力效应的检验提供了可实现的发展前景。强激光脉冲可以在实验室 内产生其他技术手段无法实现的极端物态条件 6 ，如目前获得的超强激光可以 在实验室中产生8 1 0 ”v c m 的超强电场，1 09 高斯的超强磁场和3 3 4 1 0 ”纫口 的光压以及类似星体内部的物质密度和温度，这种极端条件为天体物理学家在 实验室里模拟了解太阳和其他恒星的物理过程提供了极好的实验手段。 s c u l l y 在1 9 7 9 年就研究了在强激光脉冲产生的引力场中探针脉冲的偏折 和相移效应【7 】。我们也曾就氢原子在强激光产生的引力场中的能级移动进行了 讨论【8 。本文在前面工作的基础上，研究了在强激光脉冲产生的引力时空背景 中传播的电磁波的引力f a r a d a y 效应。目的是探索一条在地球实验室中验证广 义相对论的新方法。 后续内容的安排如下：第二章概述了本文的基本理论框架，介绍了本工作 所需要的理论知识；第三章介绍了本文的主要工作，即光在强激光产生的引 力场中传播的引力f a r a d a y 效应；第四章为结束语，对该工作做了总结和展望。 上海人学硕士毕业论文 参考文献 1 王永久，唐智明引力理论和引力效应 m 湖南科学技术出版社，1 9 9 0 年7 月第一版：6 2 7 - - 4 6 3 2 s k o p e i k i na n d b m a s h h o o n ，g r a v i t o m a g n e t i ce f f e c t si nt h e p r o p a g a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cw a v e si nv a r i a b l eg r a v i t a t i o n a lf i e l d s o f a r b i t r a r y m o v i n g a n d s p i n n i n gb o d i e s ，p h y s r e v n ， 2 0 0 2 ，6 5 ( 6 ) ：0 6 4 0 2 5 3 m n o u r i z o n o z ， g r a v i t o e l e c t r o m a g n e t i ca p p r o a c h t ot h e g r a v i t a t i o n a lf a r a d a yr o t a t i o ni ns t a t i o n a r ys p a c e r i m e s ，p h y s r e v 口，1 9 9 9 ，6 0 ( 1 2 ) ：0 2 4 0 1 3 4 a l e x a n d e rbb a l a k i na n dj o s 6psl e m o s ，o p t i c a la c t i v i t yi n d u c e d b yc u r v a t u r ei nag r a v i t a t i o n a lp p w a v eb a c k g r o u n d 。 c l a s s q u a n t u m g r a v ，2 0 0 2 ，1 9 ( 1 9 ) ：4 8 9 7 4 9 0 8 5 张杰。强场物理一- - f 崭新的学科 j ，物堡易1 9 9 7 年，第2 6 卷，第1 1 期： 6 4 3 6 4 9 6 刘颂豪光电子技术与产业 j ，旋光与光砬- y 学迸展2 0 0 4 ，4 1 ( 4 ) ：l 一1 3 7 m a r i a n 0 s c u l l y ，g e n e r a l r e l a t i v i s t i ct r e a t m e n to ft h e g r a v i t a t i o n a lc o u p l i n gb e t w e e nl a s e r sb e a m s p h y s r e v 丑，1 9 7 9 ，1 9 ( i 0 1 2 ) ：3 5 8 2 - 3 5 9 1 8 季沛勇，朱莳通，沈文达强激光短脉冲的引力效应 j 物鲤擘匀蜒，1 9 9 8 ； 第4 7 卷，第6 期：8 8 9 - ：8 9 6 2 j 海大学硕i ：毕业论文 第二章基本理论框架 爱因斯坦在建立狭义相对论后遗留下两个问题没有解决。 第一，自然界中什么才是惯性系。为什么惯性系在描述物理规律中居于特殊 的地位。 第二，牛顿引力理论是非协变的，即不满足相对论要求的。怎么才能建立一 个相对论性的引力理论。 爱因斯坦对这两个疑问做了统一协调的回答，建立了新的引力理论即广义 相对论。 2 1 广义相对论的基本原理和理论 1 - 5 2 1 1 广义相对论的基本原理 1 广义相对性原理： 惯性系指牛顿定律能够成立的特殊参考系。狭义相对论的定律也是对惯性 系而言的。在狭义相对论中，相对性原理告诉我们，一切惯性系在物理上是完 全等价的，没有任何区别的。狭义相对论否定了牛顿的绝对时空观，肯定了一 类占绝对优越地位的参考系一瞬性系。 惯性系是如此的重要，就有必要对自然界中的惯性系做深入的研究。 实践表明，地面上的实验室参考系就很像是一个惯性系，可是某些精确的 测量表明它不是严格的惯性系，其原因可归结为地球在太阳参考系中的转动。 地面参考系偏离惯性系的程度可用它自转引起的加速度来标志，它的大小为： a = o r2 = 3 4 1 0 r n s ( 2 ，1 1 ) 与地面上的重力加速度相比，这数值不太大。但也不能算是严格的惯性系。 同样太阳银河系中转动，其公转的加速度估算为 a = m r 2 = 3 1 0 一”m s 一2( 2 1 2 ) 可见它比地面参考系是好得多的惯性系。但它终究也不是严格的惯性系。 同样银河中心也并不是完全不加速的。银河系是宇宙中一个中等大小的普 通星系。由于各星系问有引力，它必然也在作加速运动。或许这加速度更小了， 但它终究不会是严格的惯性系。 这样的分析使我们得到一个概念：由于引力作用的普遍存在，任一物质的 上海大学硕士毕业论文 参考系总有加速度，因而总也不会是真正的参考系，不过尺度越大，物质越稀 疏，相应的引力越弱，因此能找到更好的近似惯性系。从使用上这是一个很好 的结论。从理论上，它却给狭义相对论原理提出了一个使人困惑的问题：在表 述物理规律时惯性系占有特殊的优越地位，但自然界却不存在一个真_ i f 的的惯 性系。 这样，由于现实的参考系都不是惯性系，使爱因斯坦产生了一个质疑。他 说：“我在自然界中( 或狭义相对论中) 找不到什么实在的东西能够用来说明 为什么。”于是，爱因斯坦的结论是：“所有参考物体，无论他们的运动状态如 何，对于描述自然现象( 表述普遍的自然界定律) 都是等效的。这就是爱因斯 坦”广义相对性原理“的一种表述。 这里需要注意的是：爱因斯坦是说，所有的参考系在描述普遍的自然界定 律时是等效的。他并没有说这些参考系在物理上是没有区别的。这里“等效” 是指同样有效地用来描述自然规律，当采用“好”的数学形式来描述时，基本 自然律在这些参考系中应取同样的形式。 2 等效原理： 牛顿在力学中引入过两个质量的概念。一个从动力学方面 f = m a ( 2 1 3 ) 引入，它反映物体的惯性，可叫做惯性质量。另一个从引力定律 f ：g m m ( 2 1 4 ) r 引入，它反映物体产生和接受引力的能力，百 - n q 做引力质量。从概念上讲， 这两种质量是本质上不同的物理量。但如果两者量值之比对一切物体相同，那 么实用上就可以把它们当同一个量来对待。这就叫惯性质量和引力质量的等同 性。 反映他们相等的第一个事实是伽利略的落体实验。检验这等同性的最著名 的实验是厄阜做的。他用一个很精巧的扭摆装置，去测量上述比值对l 的可能 的偏离。从1 8 9 0 年起他持续做了2 5 年的实验，实验中他用铂为基准比较了八 种不同的材料，都没有发现可能的偏离。按照实验的精确度，厄阜 上海人学硕士毕业论文 是：生：1 + 0 ( 1 0 一s ) 。在6 0 年代，迪克等人改进了厄阜实验，但实验原理并 m - 没有改变。他们仍观测到零结果，然而把精确度又提高为竺生：1 + o ( 1 0 “) 。 此外人们还用实验测定了原子和原子核的结合能所对应的惯性质量与相应的 引力质量之比。虽然精确度还没有那么高，但也都没有发现对l 的偏离。总之， 这些实验表明，在量值上m 。= m 。 惯性质量等于引力质量也称为“弱等效原理”。这个观测事实是物理学家 们都知道的，但人们都以为是理所当然的。爱因斯坦看出了其中蕴藏着深刻道 理，由此发现了广义相对论的基本原理一等效原理。 广义相对性原理要求物理规律在所有参考系中是等效的，即要把惯性系和 非惯性系看成是等价的。这就涉及到如何重新看待惯性力的问题。我们知道引 力有一个特点，它的强度与受力物体的质量成正比，因而他引起的加速度与受 力物体的固有性质无关。惯性力恰好具有同样的性质。这一点暗示人们：惯性 力可能是引力的一种表现。这结论如果正确，惯性力与日i 力对一切物理现象的 影响都应该是不可区分的。 爱因斯坦设想有一个密闭的升降机 2 】，在其中建立物理实验室，有一个物 理学家p ，这就构成了爱因斯坦的升降机。 a 起初，升降机停在地面上，这时物理学家观察到升降机中一切物体都受 到一个向下的加速度，这是地面引力场的特点。这时，升降机由于受到引力场 的作用并不是惯性系。 b 然后，将此升降机移到远离地球的无引力的太空中去，假定升降机是静 止的或者作匀速运动，这时升降机是一个无引力场的惯性系。其中的物理学家 将感到自己处于失重状态，而其中的自由粒子是作匀速直线运动的。 c 以后，假想在太空中把升降机以加速度g 向上拉，这时升降机中的切 物体相对于升降机都有一个向下的加速度g ，而物理学家p 从升降机中的物体 运动方式认为自己已经移到地面上了 d 后来升降机又被放回了地球上的某一高度处。这时升降机中的一切物体 仍和c 中的情况一样，都有一个向下的加速度g 。升降机中的物理学家也无法 上海大学硕士毕业论文 判定自己是在太空中还是在地球上。 升降机停在地球引力场中和升降机在无引力场的太空中以加速度g 运动， 这两种情况在升降机中是无法区分的。即( 局域的) 真实引力场和( 局域的) 非惯性系是无法区分的。 e 过了一会，让升降机在地球引力场中自由下落。这时升降机和其中一切 物体都以加速度g 下落。相互之间是相对静止的。物理学家感到升降机中是一 个惯性系。这和b 的情况是一样的。 所以升降机中的物理学家得到了一条重要的物理原理：在引力场中自由降 落的升降机是一个不存在引力场的局域的惯性系。或者说在任何引力场中的任 何一个局域中，可以借助于一个自由降落坐标系将引力场消除，而造成一个局 域的惯性系。因此和狭义相对论相容的一切物理定律在其中都成立。 这就是爱因斯坦的“等效原理”。常称为“强等效原理”。所有局部的自由 下落的，无旋转实验室对于所有的物理实验都是完全等效的。强等效原理强调 的是引力场与非惯性系局域等效。从整体性质看，物质所产生的引力场和非惯 性系中的等效引力场是有很大区别的。也就是说，真实引力场是不可能通过参 考系的变换而在全空问中被消除掉的，只能是局域地消除。 这样，引力和惯性系统一了起来，牛顿引力理论不协变问题和狭义相对论 的惯性系疑难都得到了解决。强等效原理和广义相对性原理起构成了广义相 对论的基础。 从上面的分析看出，广义相对论本质上是一种新的引力理论。牛顿引力理 论所刻画的仅仅是静止源的引力场，即静态的引力场。而广义相对论所刻画的 却是一般的作任意运动的引力源所产生的变化引力场。在这个意义上，广义相 对论是在有引力时对狭义相对论的推广；而狭义相对论是广义相对论在没有引 力时的特殊结果。 3 时空弯曲 在电场、磁场等存在于空间中的其他场中，因为受力与“荷”称正比，而 加速度与“质量”成反比，因此“荷质比”不同的粒子将沿不同的轨道运动， 这是和引力场情况颇为不同的。引力场不是“存在于”空间中的外来场，而是 空间本身的弯曲结构所造成的几何场。由于是空间本身的弯曲，所以任何物体 l 海大学颂”l 二毕业论文 的轨道都是一样的。 在弯曲时空中粒子将沿着( 弯曲的) 短程线运动。似乎有一种“引力”作 用在粒了上。其实并不存在什么力，只是时空弯曲。所以只要知道了时空的结 构，就知道了物体的运动规律。正如爱因斯坦所况：“物质告诉空问怎样弯曲， 空间告诉物质怎样运动。”那么非惯性系，引力场和弯曲空问三者是怎样统一 的呢? 前面已经讨论了前二者的统一问题。关于弯曲空间，数学上早就有了非 常好的理论一黎曼几何。这是爱因斯坦建立厂义相对论所借助的强大的数学工 具。 2 1 2 张量分析和黎曼几何 在弯曲空间中根本无法建立直角坐标系，我们用t 代表曲线坐标。出，不 再代表长度元。仁。) 只是一组四个参数，而且仁。) 并不一定具有直接的度量意 义，叫维长度元可写成 出2 = g 。出“出” 其中g 。，称为空删度规张量，g 儿v 是刘称张量，即 g 。2g 。| i ( 2 1 ，5 ) ( 2 1 6 ) 它能决定空间的一切度量性质( 内禀) 。空间中任意两邻近点的之间的距 离( 长度) 都由占。决定。生活在此空问内的生物对此空问的了解只能借助于 内部的测量。但这些测量最终都要归结为点与点之问的距离测量，这是由g 。决 定的。所以g 。决定空间的一切内禀性质( 度量性质) 。 在数学卜如果某空间中存在坐标变换下的不变距离元d s ，且可以写 ( 2 1 6 ) 的形式，则称浚空问为黎曼空间。黎曼空间的几f u 称为黎曼几何， 瞅氏儿伺是黎曼几何的极限。黎曼几何对于爱因斯坦创立广义相对论有很大的 上海大学硕士毕业论文 贡献。从黎曼空间的定义可以推测出黎曼空间的几何性质完全取决于黎曼度规 g “r 。 根据物理量在坐标变换时的变换形式，张量可分成零阶张量( 标量) 、一 阶张量( 矢量) 、高阶张量。同一点的张量之间可以进行运算。我们这罩只重 点介绍与本篇工作有关的几个概念。 1 c h r i s t o f f e l 联络 张量运算必须在同一点上进行时，才能保证运算后的量保持张量的性质。 可是张量的微分运算却正需要在不同点上的张量相减。为了使微分运算不破坏 张量的性质，必须引入一种新的操作，叫做张量的平移。它能把p 点( 坐标为 x ”) 的张量平移至邻近点q ( 坐标为x 一+ 出一) 而变成q 点的张量。平移后再 作减法，将能保持张量性质。 设有p 点的协变矢量爿，( p ) ，它平移至q 点后相应的矢量记作一。( p 斗q ) 。 作为线性的理论，平移引起的改变谢。( p ) 5 3 z nl l - t - a p ，( ，) ，并正比于位移出”。 这样 捌，( 尸) = a _ ( p q ) 一4 。( ，) = r 品( p ) 一 ( p ) d x ” ( 2 1 7 ) 则平移到q 点后的矢量为 爿，( p _ q ) = ( p ) + r 品( p ) 爿。( p ) a x 。 ( 2 1 8 ) n n l k n n 数巴就叫做p 点的仿射联络，仿射联络不是张量。 在张量平移概念的基础上，对张量场定义一种新的微商，它叫作协变微商。 对张量场求协变微商后得到的量仍保持张量的性质。 设0 ：，是一个( o ，2 ) 阶张量。由协变矢量的平移公式( 2 1 8 ) ，l ，为 上海人学倾i ：毕业论文 巧，= l ，一瞄l ( 2 1 9 ) 这就是协变矢量的协变微商公式，其中右边两项都不是张量，它们之差才 是张量。相应的逆变矢量的协变微商为 t ”，= t 4 ，4 - 1 1 0 r 1 ( 2 1 1 0 ) 这是仿射空间中的二阶张量的协变微商，其他阶的协变微商在这里不予介 绍。在黎曼空间中的协变微商进一步要求矢量的长度保持不变。这就需要采用 的联络是对称的，这种联络完全由度规场确定 也可以化成 = 瞄a = 圭b 。+ 厂，) ( 2 1 1 1 ) 吩= 三b 。+ ，一，) ( 2 1 1 2 ) 若在黎曼空间中确定了度规，并采用对称联络，那么这联络完全由度规和 它的普通微商决定。这样的联络叫做c h r i s t o f ( e l 联络。 2 测地线方程 普通空间中的直线可定义为线上任意相邻两点的切矢量相互平行的曲线。 把这概念推广到n 维仿射空间，相应的曲线就叫测地线。现在我们要导出测地 线所满足的微分方程。 n 维空问的曲线出n 个参量式描述【2 】， x = 面d x , u ， ( 2 1 1 3 ) 椒 、7 它是一个逆变矢量。令p 和q 是曲线上的两个相邻点，他们的坐标为x “和 z ”+ 疵”。为了使p 和q 点上的切矢量能够比较，先把p 点的切矢量爿一( p ) 平 ：海大学硕上毕业论文 移至q 点，变成a ”【p 斗q ) 。然后定义：若曲线上任意两相邻点p 和q 的一 切矢量满足爿一( p 斗q ) ：a 一 ) ，则这曲线叫测地线。测地线条件也可写作 爿” ) = 0 + 厂以砌妇一( 尸斗9 ) ， ( 2 1 1 4 ) 这里对比例因子按d a , 作了展开，并保留至以的一级小量。 利用逆变矢量的平移公式，我们有 4 4 ( p 哼班筹一瞄等等掀 ( z s ) 姒d ，ld 由切矢量的微分公式，又有 爿”( q ) 纠( 尸) + 删“( p ) = 筹+ 万d 2 x o 以( 2 1 1 6 ) 保留至一级小量，并加整理，得出 万d 2 x t + f ：d 。r 。 d 。x 。# 一= ，o ) 面d x 7 i ( 2 1 1 7 ) d in ，u 一j 1 d 丸。 这就是测地线的微分方程。 如果我们采用一类特殊的标量性参量，测地线方程将得到简化。为看清这 一点，考虑参量的变换 兄= 五( 盯) 。 ( 2 1 1 8 ) 这时相应有 竺=竺一do-dad o - d 2 ， ( 2 1 1 9 )u l 。l w 等= 筹2 + 石d x , 万d 2 0 ( 2 1 2 0 ，i r 2 j 7 【面j + 石万 j 于是测地线方程改变为 ( 等+ 瞄等筹) ( 告) 2 = 筹( ( 兄) 面d o - 一a 新2 0 - j 。c z z ， 从上式看出，若让参量变换满足 等+ 瞄等i d r b - 0 ( 2 1 2 2 ) d 盯2。掣d 盯d 盯 l 上海大学顿士毕业论文 这样的标量性参量叫仿射参量。 在黎曼空间中，对任意条曲线可以引入一个标量积分： s = p b m ， 其中d s 是b l l 线上相邻两点的不变距离，e o 是曲线上的固定点，p 是曲线上 的任意点。这s 叫曲线上r 至p 的固有长度。它是标志曲线上的点的一个自然 的标量性参量。 以s 为参量，切矢量“4 定义为 “f ：d x 出 ( 2 1 2 4 ) 这切矢量总是单位矢量，即 g , 。v u 4 “”= 1 r 2 1 2 5 ) 可以证明出s 是仿射参量，相应的测地线方程是 i d u + 瞄“p “4 = 。 ( 2 1 2 6 ) 3 曲率张量 联络是决定空间几何性质的重要量，但它不是张量。由联络可以构造成另 个决定空问几何性质重要的张量一曲率张量。 尺z ，r2 一r 0 r + r 二一一r 二r 品+ r 品瞄 ( 2 1 2 7 ) 它对下标和v 是反对称的。 r 乞，= 一r 乙 ( 2 1 2 8 ) 上海太学硕士毕业论文 曲率和挠率一起，构成了刻画空间弯曲情况的基本张量。如果在空问某区 域v 内曲率张量和挠率张量都恒等于零，那么可以证明总能找到一个适当的坐 标变换，使得 量：v = 0 在v 内的矢量平移和测地线分别为 s a p = 0 d 2 x 。j , ：0 d ( r 2 ( 2 1 3 0 ) ( 2 1 3 1 ) 即在v 内矢量平移不改变其分量，测地线是直线。由于这些性质，人们称 v 内的空问是平坦的。所以曲率和挠率张量是否都为零是空间是否平坦的标志。 在黎曼空间，由于联络是对称的，所以曲率张量还满足 r 二，+ r t , p , aq - r 彘，= 0 ( 2 1 3 2 ) 根据指标缩并的法则可以得到 r 。，；r ：。 它叫r i c c i 张量，r i c c i 张量是对称张量。 爱因斯坦引入了一个组合 ( 2 1 3 3 ) g p ，；胄，一j 1g f ，r ( 2 1 3 4 ) 这g 。，叫爱因斯坦张量，它也是对称张量。爱因斯坦张量在建立广义相对 论的引力场方程中有特殊作用。 【+ 海大学硕士毕业论文 4 1 f 交标架 法困著名数学家c a f t a n 在二十年代提出了正交标架的概念，后来到五十年 代人们更加重视标架表示，这是因为应用标架表示十分方便。 在r i e m a n n 空间中 d s 2 ；g 。d x ”d x ( 2 1 3 5 ) 根据w e y l 定理，可找到局部坐标系一测地坐标系，在其中瑶。0 ，即局 部l o r e n t z 坐标系，在该坐标系中 d s 2 - ，7 d 亭。d 亭4 ， ( 2 1 3 6 ) 其中，叩m 是l o r e n t z 度规( 一1 ，+ 1 ，+ l ，- t - 1 ) 。必须注意，这是局部 的表示，如果在整体空问可以这样表示，那就是m i n k o w s k i 空间了。坐标系亭8 称为标架空间。对任何坐标系舻作变换得 g ，嘞等等飞水 ( 2 l 3 7 ) ”5 寺寺。叩印 ” 【2 1 。”j 同样 矿7 印著若机蝴 ( 2 1 3 8 ) 其中a ( 。“剐，称为标架矢。l , ，是协变指标，a ，卢是l o r e n t z 指标，且 川胪等，；望o x v ( 2 1 3 9 ) “一。构成了四个协变矢量场，而不是一个张量，这四个矢量的集合称为标 架。指标a ，卢是l o r e n t z 指标由l o r e n t z 度规7 7 升降，协变指标由g 卵升降， 即 “，= 7 7 。4 a ( 口h ，a k ) y ；g ”a ( 。) ( 2 1 4 0 ) 则 g ，= a ( 口) ，“川。， ( 2 1 4 1 ) d s 2 = a ) ，d x “d x ” ( 2 1 4 2 ) 上式称为d s 2 的标架表示。实际上只要把占。，拆分两部分作为两个基矢乘积 上海大学硕士毕业论文 来表不就是标架表不。 同样有 印爹芳a ”埘“砌( 2 1 4 3 ) 标架矢具有以下性质 ( 1 ) 标架矢的行列式l a ( 。1 = ； ( 2 ) 标架矢的l o r e n t z 指标矢正交归一的，即”( 。) ( 川p = 6 4 。 ( 3 ) 标架矢对协变指标矢也是正交归一的，即人- ) ，陋) = j ”， ( 4 ) 当坐标固定，标架作线性变换时度规张量g 。不变。 ( 5 ) 当标架固定，坐标变换时，先考虑标架矢的变化为人一= 亲善a ( r 即 标架矢的变换是一个协变矢量。 另外，凡是有度规出现的地方均可用标架代替。 2 1 3e i n s t e i n 引力场方程 ，。义相对性原理要求，物理规律在各参考系中的形式不变。所以，对于在 引力场中的情况下，广义协变化的过程是，首先根据等效原理可以找到一个局 部惯性系，这时方程应符合l o r e n t z 形式，然后把这个方程写成等价于它的j 义协变形式，即把物理量写成张量形式，普通微分改成协变微分。这样方程就 在任何坐标变换下都保持不变。因而从局部惯性系f 4 到任何参考系x 。变换下 也是形式不变的。按广义协变化过程写出的方程在局部惯性系中应回到狭义相 对论形式的方程。这也是我们鉴别方程写得f 确与否的标志之+ 。 1 e i n s t e i n 引力场方程 我们知道空间的几何性质完全决定于度规张量。而物体的运动规律则取决 于空间的几何性质。也就是取决于度舰张量。剩下的问题就是如何决定g 。，。 爱因斯坦的场方程解决了这个问题。他认为时空的几何结构g j , v 是由物质的分 卜海 ：学硕1 毕业论文 柬表示就是标架表示。 同样有 旷_ 7 7 印等堕o ( p ”耐种肼( 2 1 4 3 ) 标架矢具有以下性质 ( 1 ) 标架矢的行列式h 【。1 = 拓 ( 2 )标架矢的l o r e n t z 指标矢正交归一的，即( 。) i 刖，= 艿口。 ( 3 ) 标架矢对协变指标矢也是正交归一的，即a 妇l p k ) = 占”， t 4 )当坐标固定，标架作线性变换时度规张量g 。不变。 ( 5 ) 当标架同定，坐标变换时，先考虑标架矢的变化为人，= 芸善“r 即 标架矢的变换是一个协变矢量。 另外，凡是有度舰出现的地方均可用标架代替。 2 1 3e i n s t e i n 引力场方程 广义相对性原理要求，物理规律在各参考系中的形式不变。所以，对于在 引力场中的情况f ，广义协变化的过程是。首先根据等效原理可以找到一个局 部惯性系，这日、j 方程应符合l o r e n t z 形式，然后把这个方程写成等价于它的j 义出变形式，即把物理量写成张量形式，普通微分改成协变微分。这样方程就 在任何坐标变换下都保持不变。因而从局部惯性系亭。到任何参考系x 8 变换下 也是形式不变的。按广义协变化过程写出的方程在局部惯性系中应回到狭义相 对论形式的方程。这也是我们鉴别方程写得f 确与否的标志之。 1 e i n s t e i n 引力场方程 我们知道空间的几何性质完全决定于度规张量。而物体的运动规律则取决 丁二空吲的几何性质。也就是取决子度规张量。剩下的问题就是如何决定g 。 爱因斯坦的场方程解决了这个问题。 爱因新坦的场方程解决丁这个问题。 他认为时空的几何结构g 。是由物质的分 他认为时空的几何结构g 。是由物质的分 上海大学硕上毕业论文 及运动决定的。 等效原理推广了引力的概念，并暗示了有引力场的时空是弯曲的黎曼空 f 白j ，引力场的物理效果可通过黎曼空间的度规张量来体现。为了完成这新的引 力理论，需要找到度规场分布的物理规律，即度规场所满足的微分方程。可是 这方面没有直接可依据的观测知识，所以能采取的途径是作猜测性的推理。 参照牛顿引力理论，我们可以得到这些设想。首先，牛顿引力势的分布取 决于静态物质的密度分布，所以度规场应取决于物质的能量一动量张量，因为 在张量性的物理理论中物质密度是能量动量张量的一个分量。这样我们把度规 场方程的数学形式确立为 2 】 f 。，；r 。， ( 2 1 4 4 ) 其中l ；，物质的动量能量张量，f 。，是由度规g 。，及其微商构成的张量，其次， 牛顿引力方程 v 2 妒一如酊p ( 2 1 4 5 ) 是一个引力势的二阶线性偏微分方程，因此我们要求f 。，最高只含有g 。的二阶 微商，且对二阶微商是线性的。有趣的是黎曼几何中有一条定理：由度规张量 g 。及其一和二阶微商构成的，对二阶微商为线性的张量只有黎曼张量r 及 其缩并，此外就是g 。，自身，这一数字定理几乎把上述一。，完全确定了。 按卜述推测和数学定理，只。，最一般只能是 f ，；a r 。，+ 廊十y g ， ( 2 1 4 6 ) 其中a ，卢和7 是任意常参量，注意到能量动量的守恒，它发现在表现为影的 四维协变散度等于零，即 磷；= 0 ， ( 2 1 4 7 ) 因此f 。应满足 联。；0 ( 2 1 4 8 ) 上海人学硕士毕业论文 我们看出应取= 一，即把月，和胄组合成爱因斯坦张量g ，。这样度规场 方程就取得了具体形式 g + 船= 一t 0 。， ( 2 1 4 9 ) 其中k 叫相对论引力常数，z 是唯一剩下的任意参量。最简单的可能是令五= 0 ， 相应的方程 1 g ，= r ，。一去g ，尺= 一l ， ( 2 1 5 0 ) 叫e i n s t e i n 引力场方程。 我们现在知道粒子在弯曲空间中沿着测地线运动，而测地线中的g 。又是通 过e i n s t e i n 场方程和测地运动作为两个个基本公理，是相互独立的。然而这两 个公理却不能是独立的，因为实验粒子也是能量一动量张量的一部分，因此人 们可以预期一个实验粒子的运动应包括在场方程中，也即测地方程可以从场方 程导出。运动方程可从场方程导出这一点在其他的场论中是没有的。因为广义 相对论是非线性的，不满足叠加原理。我们不能分别考虑粒子在场中的运动及 粒子对场的贡献，而必须把他们作为一个整体来处理，这样场方程与粒子运动 方程就不可分割了。 2 引力场的坐标条件 对于引力场方程中的不确定性可以附加四个关于g 。的条件，与六个独立 的场方程一起构成g