（一般力学与力学基础专业论文）固支半球壳的随机响应求解.pdf

1 一 n a n j i n gu i l i v e r s i t yo f a e r o n 肌t i c sa n da s n - 0 n 叭t i c s t h eg r a d u a t es c l l 0 0 l c 0 1 l e g eo f a e r o s p a c ee n 西n e e r i n g 1 | 1 1 | i | | i l i l | | 1 1 1 1 1 1 i l l l l l l l l l 删 y 18 2 5 6 4 4 r a n d o m r e s p o n s ea n a l y s i so fs e m i s p h e r i c a l s h e uw i t hc a l m p e d e d g e a1 1 1 e s i si l l g e n e r a la i l df o u l l d 锄e n t a lm e c h a n i c s b y l ij u n a 捌s e d b y a s s o c p r o l e n gx i a o l e i s u b n l i t t e di np a n i a lf u l 6 n n l e n t o ft h ei 沁q u i r e m e n t s f o rm em a s t e rd e 伊e e m a r c h ，2 0 1 0 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 现代工程中广 此，半球壳在随机 壳为模型，研究了 首先，采用经典的弹性薄壳有矩理论，给出了一般壳体分析中的应力一应变关系、应变一位 移关系和应变一内力关系。进而用能量原理推导出了通用的壳体运动方程。在壳体运动方程的基 础上又推导出了球壳轴对称自由振动的微分方程。接着，结合边界条件，给出了周边固支半球 壳的频率方程，用数值计算的方法求出了频率方程的根，以及相应的振型。 其次，在已知固有模态的基础上，用模态叠加法把半球壳响应问题简化成了等价的、离散 的多自由度系统。得出了解耦的模态坐标二阶微分方程，并给出了方程的通解。然后，结合固 有振型求出了系统在法向分布载荷脉冲激励下的脉冲响应函数。接着用杜哈梅积分分析了几种 确定性激励下壳体的响应。 最后，给出了壳体结构在几种分布载荷下的脉冲响应函数和频率响应函数，求出了这几种 分布载荷下随机白噪声激励的系统位移均方响应和壳体在突加白噪声激励下的均方响应的瞬态 过程。也分析了球壳在中心对称极点处受到单点随机白噪声激励下的响应问题。 关键词：随机振动，半球壳，白噪声激励，均方响应，随机响应 f 戤， b 雒e d恤c l 弱s i c a l b e i l ( 1 i n g s l l e u o m c北蜥锄s 脚so fs 嘶n s 骶s s ， 蛐池碰s p l 觚甥啪t ，趾di n t e m a lf b r c e s - s 仃a i no f 也ee l 刎c 矗h e ua r ep 他s e n t e di nt l l i sp a p e f t h 啪t h e 以i u a t i o n sg o v e m i i l g 吐l em o 矗o no ft i l es h e na 他d e r i v e db ym e 锄so ft h eh 锄i l t o n 陋i p l e a n dt h e p 枷a l ld 州a t i o n 唧僦0 n s d e ) g o 、伽l i l l gm e 戚s 删c 舶ev i b 枷o f 此s e i n i s p h e r i c a ls h e u a 他0 b t a i n e 正t 蛔l 廿l e 班l n i m l 丘e q u c i c s 锄dt l l ec o r 托s p o n d i i l gm 曲m lm o d ef i l n c t i o n so ft h es h e u w i mi t sb 洲l d a d rc o n d i t i o 璐a 托g a i l l e db ym 瑚e r i c a lc o m p u t a d 帆 s e c o n d l 弘t h es 砌s p h 甜c a ls h e ur c s p i o i 塔ep r o b l 锄i s 坞d u c e di n t oi t se q u i v a j td i s c t c eb y m o d et l 圮供y t h ed e c o u p l e de ( 州i so ft l l e 毋i n e r a l 伽删讪h a t c sa 涮v e da n di t s 鲫m ls o l u d o r 塔 m g a i l l e d t h em 叫kl 沁s p 0 璐ef 吼c 6 ( 田o f 舭s y s t e m 强d c rd i s 劬u t e dn o 彻a l l o a di s o b t a i l l e db ym o d a la m l y s i sm e t l l o da n d 也es _ h e u 他s p o 璐e sm l d 盯v e 豫ld e t e 脚1 i n 枷ce x c i 伽0 i 塔 a 托c a l c u l a t e d 也r o u g ht t l ed u l l a m e li n t e g f a l a ti 鹊t ，圮刀r f 锄dt l 圮f r e q u 舳c yr e s p o n f u n c t i o 璐o f 廿把s h c n 弧d e r 鲥v 啪1k i n d so f d i s 舭d l d s a 地p f e s 僦n es t 撕。加巧m e 纽s 唧黜测e 似s r ) o f 血es h e n t o a 衄i f o l m 玳忸1 a 1w h 沁i l o a 也锄dt h e 蛔地i e n tm e 孤s q 岫托r e s p 伽o fm es h e uw 】 l i l et h el o a d m 髓d e da b o 代w 鹊跚d d e n l ya p p l i e da 地a l lp 托s e n t | e di n 廿1 i sp a p 既a tl a s t 地m s ro f 把s h e n m l d 盯as i n g l e l p o i n t 谢h i t en o i e x c i 蜥o n w l l i c hi sa p p h e d l h ep i d l ep o 砬o ft h es h e n ，i s c a l c u i a t e d k e y w o r d s ：m n 咖、，i b i 锨i o n 鞠皿i s p h e r i c a ls h e n ，w h i t cn o i e x c i t a t i ，i n e a ns q 【岫他他s p 帅， s t o d 妇s 6 c 托s i 帕n s e 南京航空航天大学硕士论文 目录 第一章绪论1 1 1 引言l 1 2 国内外研究现状1 1 3 本文主要研究内容3 第二章薄壳理论基础5 2 1 壳体中面内的微元弧长一5 2 2 壳体内非中面的微元弧长表达式：7 2 3 应力一应变关系蠊1 8 2 4 应变一位移关系n 钉9 2 5 应变位移关系的l 0 v e 简化1 钉1 5 2 6 壳体中的内力一薄膜力和弯矩1 7 2 7 壳体平衡方程一l o v e 方程2 0 2 8 本章总结2 6 第三章壳体基本方程和轴对称固有模态求解2 7 3 1 壳体基本振动方程2 7 3 2 固支半球壳轴对称模态求解培l 1 盯2 9 3 3 模态分类3 5 3 4 本章总结3 7 第四章模态叠加法求解壳体的强迫振动3 8 4 1 模态坐标方程3 8 4 2 模态坐标方程求解3 9 4 3 模态参与因子1 钉3 9 4 4 模态叠加法求解举例4 l 4 4 1 法向均布脉冲响应函数4 1 4 4 2 法向均布阶跃激励4 3 4 4 3 均布载荷正弦变化激励4 6 4 4 5 法向余弦分布激励4 7 4 5 本章总结4 9 第五章随机振动理论基础简介5 0 固支半球壳的随机响应求解 5 1 线性系统的激励响应关系m 1 5 0 5 1 1 脉冲响应法5 0 5 1 2 频率响应法5 1 5 1 3 脉冲响应函数和频率响应函数之间的关系5 1 5 1 4 任意激励响应的计算( 杜哈梅积分) 5 l 5 2 随机激励的频域分析m 1 5 3 5 2 1 响应均值5 3 5 2 2 响应协方差函数5 4 5 2 3 响应功率谱5 4 5 2 4 均方响应5 5 5 3 本章小结5 5 第六章随机振动响应求解5 6 6 1 法向稳态白噪声随机激励下的壳体均方响应5 6 6 2 法向突加白噪声随机激励下的壳体时变均方响应5 8 6 3 垂向稳态白噪声随机激励下的壳体均方响应6 1 6 4 极点处的单点激励6 3 6 5 本章总结6 6 第七章总结与展望6 7 7 1 本文的主要工作6 7 7 2 工作展望6 7 参考文献6 8 致谢7 1 南京航空航天大学硕士论文 图表清单 图2 1 壳体中面微元弧长示意图5 图2 2 壳体非中面微元弧长示意图7 图2 3 壳体微元体应力图8 图2 4 一般微元应变图1 0 图2 5 层内微元应变图1 3 图2 6 壳体微元体受力分析图1 8 图3 1 半球壳示意图2 7 图3 2 周边固支半球壳示意图3 3 图3 3 周边固支半球壳固有振型图3 5 图4 1 法向均布载荷剖面图。4 3 图4 2 法向阶跃激励下极点处的位移响应4 4 图4 3 法向阶跃激励下6 0 度处的位移响应4 5 图4 4 法向阶跃激励下3 0 度处的位移响应。4 5 图4 5 法向阶跃均布激励壳体变形图4 5 图4 6 法向阶跃均布激励壳体稳态位移响应。4 5 图4 7 壳体均布正弦激励下极点处的响应。4 6 图4 8 法向余弦分布激励示意图4 7 图4 9 法向余弦分布激励下极点位移响应- 4 8 图4 1 0 法向余弦分布激励下3 0 度位移响应。4 8 图4 1 l 法向余弦分布激励下4 5 度位移响应4 9 图4 1 2 法向余弦分布激励下6 0 度位移响应4 9 图4 1 3 法向余弦分布激励下壳体变形图4 9 图4 1 4 法向余弦分布激励下壳体位移响应4 9 图5 1 将任意输入x ( f ) 分解成一系列脉冲元5 2 图5 2 单输入单输出情形5 3 图6 1 法向稳态白噪声随机激励下壳体的均方响应。5 8 图6 2 法向突加白噪声激励下壳体各点的时变均方响应6 0 图6 3 法向突加白噪声激励下壳体各点的时变均方响应对比一6 l v 固支半球壳的随机响应求解 图6 4 壳体横向位移均方响应6 2 图6 5 极点时变均方响应6 2 图6 6 垂向稳态白噪声随机激励下壳体切向位移均方响应6 2 图6 7 脉冲激励极点位移响应( 无量纲) 6 4 图6 8 阶跃激励极点位移响应( 无量纲) 6 4 图6 9 极点单位法向脉冲激励下6 5 图6 1 0 极点单位法向阶跃激励下6 5 图6 1 1 极点白噪声壳体位移均方响应6 6 图6 1 2 极点突加白噪声时变均方响应6 6 表3 1 ：周边固支半球壳的固有频率( 唬= 9 0 。， r = 0 0 5 ) 。3 3 表3 2 固支半球壳的前1 0 阶振型对应的弯曲应变能比例3 6 表4 1 模态参与因子及法向阶跃激励的位移响应4 4 南京航空航天大学硕士论文 ， 4 ，4 玛，恐 s q o u u n m 4 足 d p r v 2 e 正交曲线坐标 曲线坐标的拉美参数 曲面的主曲率 应变 应力 方向上的位移 内力 内力矩 壳体薄膜拉伸强度 壳体抗弯强度 球壳纬向角 球壳经向角 球壳半径 球壳厚度 拉普拉斯算符 材料杨氏模量 注释表 第一类球函数 第二类球函数 无量纲的固有频率系数 固有频率( 角频率) 模态坐标 等效阻尼 模态阻尼比 有阻尼时的振动频率 无量纲化的时间 无量纲化的模态阻尼比 位移均方 脉冲响应函数 频率响应函数 功率谱密度函数 材料泊松比 材料剪切模量 力力 懒洳q q椭五百乃互矿m荆g 鳄 ， 1 1 的构件应用于各种工程结构。而弹性薄壳作为工程结构的基本构件在航空航天、化工、船舶、 建筑、水利和机械核反应堆等工业领域有着广阔的应用背景。 壳体动力问题是近代许多工程部件设计与研究的关键。由于工程上的壳体所承受的各种载 荷多是动力荷载，因此壳体动力学已成为现代工程技术发展的一个必不可少的理论基础。壳体 动力学研究壳体在动荷载作用下结构的响应，其中一个重要问题是壳体的振动问题。 实际工程中常见的壳体主要为柱壳和旋转壳，旋转壳中最常见的是扁壳，所谓扁壳一般是 指矢高与中面最小曲率半径之比小于五分之一的薄壳，可以把扁壳看做是微曲的平板，故扁壳 有时也称为曲板。这样在分析扁壳时，理论上可以进一步得到简化。对于不能简化为曲板的壳 体结构称为深壳以便区别。而半球壳由于其在受力方面的优越性，在压力容器中得到广泛的应 用。因此，有必要研究半球壳的动力响应特性，为工程部件的设计和研究提供理论上的依据。 1 2 国内外研究现状 板壳振动理论的研究是建立在板壳理论研究的基础之上的。板壳理论的研究可以追溯的几 个世纪以前，而现代薄壳理论是1 9 世纪末在k i r c h h o f f l o v e 假设的基础上建立起来的。进入 2 0 世纪后，在生产技术的推动下，壳体理论曾有较大的发展。当时主要是针对不同类型的壳体建 立各种简化理论。5 0 年代开始对k i r c h i l o f f l o v e 假设进行修正，使薄壳理论精确化。随着电 子计算机的进步，薄壳理论在数值计算以及理论分析和数值计算相结合两方面都有迅速发展。 对于球壳的振动问题，l 鲫b 于1 8 8 2 年最先用薄膜理论( 也称无矩理论) 研究了闭合球 壳的振动问题。l 0 v e 是第一个把弯曲变形和薄膜拉伸变形都考虑进去的，形成经典的薄壳弯曲 理论。之后，f e d e r h o f e rn 1 在1 9 3 7 年用经典的壳体有矩理论也对闭合球壳进行了振动分析。 他推导出了以壳体位移为白变量的运动微分方程，但也仅对固支扁球壳的振动解进行了粗略的 估计，并没有用来解决最常见的一端开口的深球壳自由振动问题( 连轴对称问题他也没有进行 尝试) 。而s i l b i g e r 3 m 1 和b a k e r 5 1 在l 鲫b 研究的基础上，对球壳的振动进行了更详细的分 析，但仅限于对闭合球壳的讨论之后，由于扁壳可以近似地处理成曲板，分析起来相对容易， 对于球形扁壳的轴对称振动问题、非轴对称问题面世了大量的文章，这些文章，都建立在经典 的壳体有矩理论基础上 直到1 9 6 2 年，a k a l n i n s 1 详细完整地论述了球形扁壳的自由振动问题，给出了自由振动 动固有模 模态并进 行了比较。值得注意的是，文中给出的频率方程和固有模态是精确的显示解析形式，因为固有 振型可以用勒让德函数表示出，组成固有频率方程的行列式中的元素可以用g 锄a 函数表示出 来。1 9 6 4 年，a k a l n i n s 柏给出了计算旋转对称壳的固有模态的通用方法，其核心思想是把旋 转对称壳沿对称轴分成很多微段，在每个微段上应用锥壳求解的方法。基本上，还是属于数值 计算的方法。1 9 6 7 年，m s z a r g h 锄e e 和a r r 0 b i n s o n 汹l ，把常用于计算扭转轴的固有模态 的h o l z e rm e t h o d ( 霍尔兹法) 推广到半球壳的固有模态求解中，求出了固支边界条件下各种 开口角的固有模态。此法也是属于数值计算的范畴。 此后，由于有限元计算方法的发展、随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有关 旋转对称壳的模态计算问题，虽也面世了不少文章，但多是关于数值计算方法的改进，在理论 上和计算方法上并没有什么突破。 对于球壳的受迫振动，1 9 6 5 年，h k r a u s 和a k a l n i sn 钉采用了模态位移法( 即模态叠加 法) ，把响应写成正交固有振型的无穷项和的形式。1 9 6 6 年j p w i l k i n s o nd 2 1 采用了模态加速 度法，把响应表示成两部分：一部分是虚假载荷，另一部分表示成正交振型的和的形式。上述 两文章在分析受迫振动时，都假设壳体的固有模态是已知的，可以通过其他方法事先求出的。 1 9 8 0 年，a n a n dv s i n g h 阳1 采用有限元法直接求出了固支和铰支情况下6 0 度壳和9 0 度壳( 半 球壳) 的固有振型，然后利用此振型结合模态叠加法求出了坐落在弹性支撑上的深球壳的瞬态 响应。 在国内，对于板壳理论的研究起步较晚，在应用上，主要借用已经发展比较成熟的经典理 论，在研究上，主要是对经典理论进行各种修正，使理论更简单实用。过去，对壳体结构的分 析，在工程设计中一直是个十分重要而又困难的课题上个世纪六十年代，有限元法的诞生和 发展以及电子计算机的推广应用，使得这些复杂的壳体结构的静力、动力及稳定性问题，才真 正得到了有效的计算，并且随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程 设计和分析中得到了越来越广泛的重视后来，人们发现，尽管通用有限元法是一种强有力的 数值分析方法，但在所有问题上都使用通用有限元方法，并不是最经济的通用有限元并不能 2 南京航空航天大学硕士论文 很好地解决很多实用问题。而在一些对称而又规则的区域上，采用样条函数法求解静力、动力 和稳定性问题有不少优点。而用样条函数法分析求解板壳问题在上个世纪8 0 年代也面世了不少 文章，但都仅限于求解四边支撑的扁壳问题，如文献【2 7 】、【4 2 】。对于深壳和圆周支撑的壳体， 还没有看到样条函数法成功求解的案例。 对弹性薄壳的计算方法上，除了极少数特例可以用解析的方法求解外，绝大部分必须用数 值计算的方法。在弹性薄壳结构固有模态的计算上，目前的数值计算方法可以分为两类：一类 是以有限元为代表的归结为大型( 刚度和质量) 矩阵相关的代数和广义特征值问题。另一类是 以传递矩阵法为代表的归结为一阶常微分方程组的特征值问题，通过求解方程组的基本解矩阵 得出传递矩阵，进而给出一个用低阶矩阵行列式表示的频率方程。 国内出现的关于壳体的文献，多是关于静态问题的计算，既有关静态位移和强度方面的计 算。在计算方法上多属于有限元计算方法范畴，不同的是如何构造有限元中的形函数。如袁驷 啪1 用以三次b 样条为基样条的样条函数来逼近壳体中面一点位移的三个分量以及子午线方向 的几何形状，提出了一个比一般有限元方法计算更快，精度更高的计算方法。何广乾啪1 用样 条函数代替通常有限元法中的形函数，改进了通常的有限元法。但只适应于矩形边界或可以由 几个矩形组合的边界。 对于壳体结构的动态响应问题，1 9 8 6 年，沈科领啪1 采用模态叠加法分析了组合壳( 半球 壳+ 圆柱壳) 在中心极点区域处受到矩形脉冲和三角形脉冲时壳体内的内力、剪力、弯矩的时程 响应，给出了响应的最大值。成祥生u 1 1 把弹性碰撞问题推广到薄壁结构的连续系统，用相当 质量法把具有分布质量的薄壁结构系统转化为只有一个集中质量的弹性系统，用能量原理导出 了板壳结构在冲击载荷作用下的动力因数，但只适合进行碰撞中的动应力分析。沈小璞嘲1 基 于瞬时变分原理和样条函数理论，对空间域采用样条有限元法，对时间域采用状态空间法分析 了扁球壳的动力响应。 有关壳体振动的文章，在国内面世很少。而把薄壳理论和随机振动理论相结合的薄壳随机 振动，由于太繁琐复杂，更是少有人涉足。所以，在国内现有的关于壳体振动响应的文章，大 多只考虑壳体的确定性振动响应问题。本文以周边固支半球壳为模型，结合薄壳理论和随机振 动理论，分析了轴对称情况下壳体受到随机激励的响应问题。 1 3 本文主要研究内容 本文主要安排如下： 第一章主要介绍本文的研究背景和国内外的研究现状 第二章介绍建立在k i r c h e f f l o v e 基本假设之上的经典薄壳理论。给出了薄壳理论中的应力 3 给出了 析了壳体受到 几种激励情况下的响应，包括确定性激励和随机激励。求出了固支半球壳在法向、垂 向稳态白噪声激励下的壳体均方响应，并用虚拟激励法求出了在突加白噪声随机激励 下壳体各点的均方响应的瞬态过程。最后，讨论了在壳体中心对称点上施加随机激励 时的壳体响应。 第七章总结与展望了本文的主要工作，指出了本文工作中的一些不足和有待改进的地方。 4 南京航空航天大学硕士论文 第二章薄壳理论基础 所谓壳体是由内、外两个曲面围成的物体，两个曲面称为壳体的表面。与两个曲面等距的 点所形成的曲面称为壳体的中面；两曲面之间的中面法线长度称为壳体的厚度。一般壳体可用 中面的几何形状和厚度来描述。而由于薄壳在承载时可以最大限度地发挥材料的承受能力，在 实际中应用很广。薄壳的几何形状和变形情况通常都很复杂，必须引入一系列简化假设才能进 行研究。最常用的假设是k i r c h h o f f l 0 v e 假设，以此为基础可建立薄壳的偏微分方程组，通过 解微分方程组可得到壳体中的位移和应力。 基本概念与假设1 薄壳具有一中心曲面，沿中心曲面法线方向的尺寸称为厚度h ，厚度的中点落在中面上， 厚度与其他几何尺寸相比很小。一般来说，厚度可以是变量，但实践中经常遇到的是等厚度壳， 本文也仅限于讨论等厚度壳。 类似于直梁理论和平板理论，薄壳理论也建立在几个基本假设上： ( 1 ) 直法线假设一变形前垂直于中面的直线，变形后仍垂直于变形后的中面： ( 2 ) 垂直于中面的直线变形前后长度保持不变； ( 3 ) 沿中面法线方向的应力和中面内的应力相比很小可以忽略。这也称为“切平面应力 假设”。 如同采取平截面假设可以把梁弯曲的问题化为其中性轴挠曲问题，上述假设把壳体变形的 问题简化为了其中面的变形问题。 2 1 壳体中面内的微元弧长 x 2 图2 1 壳体中面微元弧长示意图 5 固支半球壳的随机响应求解 设空间笛卡尔坐标系中有一曲面，曲面上的点可以用三维笛卡尔坐标表示，也可以用定义 在曲面上的二维曲面坐标系来描述，曲面坐标系的两个坐标轴分别为q ，曲面上点在笛卡 尔坐标系中的坐标可以用曲面坐标来表示如下： 五2 石( ，) 屯2 五( ，吃)毛2 石( q ，) ( 2 卜1 ) 曲面上的点也可以用矢量来表示： f ( 喁，) = z ( ，) 亏+ 五( ，口：) 乏+ 五( q ，) 亏 ( 2 卜2 ) 下面我们定义曲面上距离无穷小的两点尸和p 的距离表达式。当点p 移动到p 时，矢量 ；产生了一个矢量微元石，表示如下： 方：生d 口。+ 生d d qd 口2 ( 2 卜3 ) 矢量的模可以如下计算： ( 凼) 2 = 方方 ( 2 1 - 4 ) 或 c ? 22 毒。矗c 圳2 + 丢丕c d + 2 善。矗崛弛 仫h ， 如果上面的曲面坐标系为主坐标系，即曲面坐标系的两个坐标轴和曲面的两个主曲率线相 重合则由于正交关系，( 2 卜5 ) 式中的第三项就等于零： 2 矗丢崛d 吃= 2 矧i 剖c 。s 詈崛咄= u 眩h ， 定义： 云茜= 嘲= 彳 一= l l = 月 a qa l a i 1 矗。丢2 l 矗卜名 亿。m 一= i l = 月 a 吃a l a i 。 f 21 7 、 则方程( 2 卜5 ) 就变成： ( 出) 2 = 群( d q ) 2 + 彳( d ) 2 ( 2 卜8 ) 凼= 彳( d ) 2 + 彳( d 口2 ) 2 就是中面内的线段微元的距离表达式方程( 2 1 _ 8 ) 称作曲面 的第一基本型，4 ，4 称作曲面的拉梅参数 6 性 图2 2 壳体非中面微元弧长示意图 r ( q ，) = f ( q ，) + 万( q ，吃) ( 2 2 1 ) 刀表示垂直于曲面的单位矢量，当点日移动到毋时，矢量微元可以表示为： 积= 方+ 布+ 万d 鸭 ( 2 2 2 ) 式中， 矢量微元的模可以表示为： 布：要崛+ 要d a a ( 2 2 3 ) ( 出) 2 = 旗旗 ( 2 2 4 ) ( 出) 2 = 方方+ 霹旃疬+ 万万( d 吃) 2 + 2 方疬+ 2 d 方万+ 2 d 旃唷 = 方方+ 霹布赢+ ( d ) 2 + 2 吩方赢 利用上一节的( 2 卜4 ) 和( 2 卜8 ) 以及甩与亏、瓦的正交关系， 可以推出： ( 2 2 5 ) 7 向方向为第三个坐标 体元上，应用虎克定 上述式中，q l ，q 3 表示正应力，吒2 ，q 3 ，表示切应力，如图2 3 所示，并且： 8 图2 3 壳体微元体应力图 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 矗 q 2 = 吼l ，q 3 = q l ，吒3 = q 2 ( 2 3 7 ) 类似直梁理论，忽略掉横向切应变，但保留横向切应力，另外，根据基本假设也忽略掉作 用在法向的横向正应力，即认为载荷是作用在壳体中面上的，壳体各层互不挤压。即： 毛3 = 0 ，岛3 = o ，3 = o ( 2 3 8 ) 壳体不受载荷时，上式( 2 3 8 ) 是成立的，即使壳体受到载荷，则吒3 大致等于外加载荷， 比面内载荷小得多，为了简化讨论，通常也可以忽略。这样，上述应力应变关系变为： 1 岛l = i 【q l 一肚乇2 j 占 ( 2 3 9 ) 2 4 应变一位移关系伽 2 寺一鲰】 亿3 砌， q ：= 鲁 u 岛，一誊( q - + ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 一1 2 ) 方程( 2 2 6 ) 已经定义了变形前壳体内两点墨，墨间的微元距离公式。为了方便书写，定义： 这样，方程( 2 2 6 ) 可以简写为： 矾l + 夸2 砥( q 脚鸭) ( 2 4 _ 1 ) 矾1 + 专) 2 ( q ，) ( 2 4 _ 2 ) 1 = 9 3 3 ( ，吃，) ( 2 4 3 ) 3 ( 出) 2 = 劭( ，口：，) ( d 劬) 2 扣l ( 2 4 4 ) 9 u ，在口2 方向上 磊) ，变形量u 和 ( 2 4 5 ) 为： 4 所示。变形前的 ( 出) 2 = 既( + 磊，口2 + 磊，钙+ 磊) ( d q + d 磊) 2 l i l ( 2 4 6 ) 因为( q ，吃，) 随三个坐标，口2 ，呈连续性变化，我们可以把 岛( + 磊，吃+ 乞，呜+ 磊) 在点( q ，吃，) 处展开成泰勒级数，只取前面几项做近似。 & ( q + 磊，+ 参，呜+ 磊) = 踟( 喁，) + 喜垒学+ 具体到一般情况，有： ( d + d 专) 2 = ( d ) 2 + 2 d q d 磊+ ( d 缶) 2 式( 2 4 8 ) 中，为了按线性理论简化，忽略第三项，上式变为： l o ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 代入上式( 2 4 1 0 ) 等号右边得： ( d 嘶+ d 缶) 2 = ( d ) 2 + 2 d 口， 3 把方程( 2 4 一1 1 ) 和( 2 4 - 7 ) 代入到方程( 2 4 6 ) ，得到： 8 善；t 试如， ( 2 4 一1 1 ) c 蚺釉蚓+ 喜篙产洲俐喃差蚓亿4 也， 把方程展开，记 得到下式： 似) 22 喜 ( 射喜嚣 ，1，l ll ，u ， 毛j 鼽( q ，吃，) = 岛 ) ( d ) 2 + 2 d b 3 忽略最后一项后，在第一项中用j i 代替，得到： 仲) 22 喜( 岛+ 喜薏似枷2 + 正l li - lv t 引入l 【r o n e c h e r 符号 方程( 2 4 一1 5 ) 可以简写为； 33 ，- l 扣l ：1 f = 【o f ， ( 2 4 一1 3 ) 差时射咭薏唾挚吁， g l l 熹咄+ d 口。 喜骞c 岛+ 喜鲁最晚d d 吩 ( 岛+ 导最晚d 嵋 ，- l _ l七一l 一上 方程( 2 4 1 5 ) 的最后两项可以写成对称形式： 得到： 33 扣l 扣l 33 扣i 扣l ( 2 4 1 4 ) 嗜饥亿州， ( 2 4 1 6 ) ( 2 4 1 7 ) 嘈州q2 喜骞勖酗批 亿4 啦， l l 问 同 固支半球壳的随机响应求解 c 妒磐岛+ 喜帮肾喏+ 岛争鹏亿4 m ， 令： 叫岛+ 喜器即嗜+ 瞎 像化。， 则： ) ：壹壹g d d 吩 注惹剑： 岛2 啄 ( 2 4 2 2 ) 方程( 2 4 2 1 ) 给出了变形后日，丑间的距离公式，上述一般情况下，变形前点p 的坐标为 ( q ，码) ，点毋。的坐标为( q + d q ，+ d ，锡+ d 鸭) 。 下面我们讨论如图2 5 所示的情形，这里，变形前p 的坐标为( + d ，) ，p 的 坐标为( ，+ d ，) ，这和变形前p 的坐标为( q ，) ， p 的坐标为 ( 一d q ，吃+ d ，) 是等价的。这样，得到： ( 出) 2 = 蜀l ( d ) 2 + 9 2 2 ( d ) 2 = ( 凼) 乞 ( 2 4 2 3 ) ( 出) 2 = g 1 1 ( d ) 2 + ( d ) 2 2 g l ：d q d = ( 出) 2 2 ( 2 4 2 4 ) 一般地， ( 出) ：= 岛( d 嘶) 2 ( 2 4 _ 2 5 ) ( 凼蛞= g ( d q ) 2 ( 2 4 2 6 ) ( 凼) ；= g i ：f ( d 嘶) 2 + 鼬( d 吩) 2 ( 2 4 2 7 ) ( 凼) ；= g ：| j f ( d q ) 2 + ( d 吩) 2 2 q d d 吩 ( 2 4 2 8 ) 1 2 4 南京航空航天大学硕士论文 图2 5 层内微元应变图 有了微元弧长变形前后的长度表达式，就可以来求应变表达式。 下面我们推导应变公式，正应变公式为： 气= 訾堰小再 亿4 嘲， 因为： 我们可以将根式展开： 所以： 纽l ( 2 4 3 0 ) ：1 + 三纽 2 岛 ( 2 4 - 3 1 ) 毛= 三警 剪应变勺o ) 定义为微元角度发生的改变量， 勺= 三一 勺= i 一 岛2 如图2 5 所示应用余弦定理，可以计算角度 ( 凼) ；= ( 凼) ；+ ( 凼) 刍一2 ( 凼。) 圩( 出) c o s 岛 ( 2 4 3 2 ) ( 2 4 3 3 ) ( 2 4 3 4 ) 1 3 掣邓+ 糟d 嵋坞d q 把上述c o d a z z i 关系式代入到方程( 2 4 4 0 ) ，得到： 1 4 ( 2 4 3 5 ) ( 2 4 3 6 ) ( 2 4 3 7 ) ( 2 4 3 8 ) ( 2 4 4 2 ) ( 2 4 4 3 ) 有 如 一 一 4 ， 4 - f i 2 昏 2 ( 1 ( = ， 当 以 x 4 一墨 2 3 斗 南京航空航天大学硕士论文 铲高等+ 鲁鼬争 亿4 瑙， a 玑 = 亩 ( 2 4 4 4 ) ( 2 4 4 5 ) 铲篙矗奄，篙云磷亿州6 ， 铲郇+ 糟礴卜高等 7 ， 铲郇+ 黠南卜 2 5 应变位移关系的l o v e 简化伽 舭+ 夸概 亿蛐， 上面的应变位移关系很复杂，对于薄壳，上面的应变位移关系还可以简化。当壳体很薄时， 我们假设沿q ，口2 方向的位移沿厚度线性变化，但沿方向的位移和坐标无关，即： u ( ，) = ( q ，) + 嵋属( q ，) ( q ，呜) = “2 ( q ，) + 呜屐( 喁，) ( ，吃，) = “3 ( ，) 式中层，历代表角度。假设可以忽略剪切变形，意味着剪应变也为零 岛3 = o ( 2 5 一1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 。5 4 ) 1 5 固支半球壳的随机响应求解 气= o ( 2 5 5 ) 叫( 1 + 精磷卜南等 ” 冠 ” 冠7 丹惫+ 者盖亿潲， 得到： 屈= 鲁一者盖 屐= 惫一圭差 ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 2 5 一1 ) 至( 2 5 3 ) 代入到方程( 2 4 4 3 ) 至( 2 4 4 6 ) ，并考虑到： 堕1 堕1 r坞 ( 2 5 - 9 ) 铲者酗蝴，+ 去差“蝴，喑 亿纠。， = 老者沁+ + 去差”噎 岛3 = 0 毛3 = o = 0 ( 2 5 1 1 ) ( 2 5 一1 2 ) ( 2 5 1 3 ) ( 2 5 1 4 ) 铲鲁毒c 半，+ 乏壶学 亿5 嗡， 把方程( 2 5 1 0 ) 至( 2 5 1 5 ) 表示成两部分，一部分称作薄膜应交( 与呜无关) ，另一 部分称作弯曲应变( 和呜成正比) 1 6 i 南京航空航天大学硕士论文 毛l = 毛l o + 毛1 乞2 = 岛2 0 + 鸭也2 ( 2 5 1 6 ) ( 2 5 一1 7 ) q 2 = 岛2 ”+ 霸2 ( 2 5 一1 8 ) 上述等式中，右上标带有“0 ”的应变表示薄膜应变，可以表示为枷： 吖2 者盖+ 者差告 亿9 ， 班专鲁+ 者鼍+ 老 亿5 呦， 。鲁云嘎，+ 乏壶印 啦， 弯曲应变的变化率可以表示为： 和去器咯差 亿泡2 ， k = 圭薏咯蔷 亿5 哟， 铲鲁去哮+ 乏壶c 争 亿5 叫， ( 注：其中毛l 、k 称为壳体弯曲变形的曲率，毛：称作扭率) 2 6 壳体中的内力一薄膜力和弯矩 下面我们求解作用在微元体上的所有内力，微元体在曲面坐标、锡方向上为无穷小， 在法线方向上等于壳体厚度。 由方程( 2 3 1 ) 至( 2 3 3 ) 反求出应力为： = 寿如- + 鳓) ( 2 6 - 1 ) = 青心z 邯) ( 2 6 _ 2 ) 1 7 则作用在整个微元上的力为： 1 8 q 似1 + 叫呜 ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) 方向上的力为： 南京航空航天大学硕士论文 内力为( 单位长度上的力) ： 鹾啪c + d 呜 ”蜘- + 争 亿6 剞 由于是，忽略掉积分号内的第二项，则内力可表示为： m 。= 丘q ，d 鸭 把方程( 2 6 4 ) 代入上式( 2 6 8 ) 得： 式中： m 。= k ( 岛l o + 肛? ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) k 2 品 亿6 砌) 1 一2 ( 26 1 n 1 称作薄膜刚度。类似地，分析口2 方向上的受力( 考虑到q 2 = 吒1 ) ，可以得到： = k ( o + 鹏l o ) 忙 掣0 ( 2 6 1 2 ) 下面求解弯矩，作用在高为d 吗、宽为4 ( 1 + 夸d 的细长条上、沿q 方向上的力形成 了对中面的弯矩，大小为： 因此，作用在整个微元体上弯矩为： 且单位长度上的弯矩为： q ，4 ( 1 + 卺) d 口：d 鹱啪郇+ d 鸭 o e l - 一 m 。= 虐q ，呜( 1 + 卺) d 吩 m 。= 丘q ，呜( 1 + 詈) d 吩 2 1 9 ( 2 6 1 6 ) ( 2 6 _ 1 8 ) 力却不能忽略，因为横向剪 ( 2 6 1 9 ) ( 2 6 2 0 ) + 吗3 岛3 ) ( 2 7 1 ) 最后一项可以根据式( 2 5 3 ) 忽略掉。虽然前面我们在求届，压时忽略掉剪切应变岛3 ，气， 但剪切应变能必须保留微元体的体积可以表示为： 在整个体积上积分得： 2 0 = 4 珊争+ 夸州口一 ( 2 7 2 ) t 南京航空航天大学硕士论文 积分号中： 微元体内的动能可以表示为： u = 弧f d y 口l 口z 口， ( 2 7 3 ) f = 三( q q - + 吒z 乞z + q ：毛z + q ，q ，+ 吒，岛，) ( 2 7 4 ) 水= 丢户( 四+ 啦+ 出) ( 2 7 5 ) 点号表示对时间求导。把方程( 2 5 1 ) 至( 2 5 3 ) 代入到式( 2 7 5 ) ，再在整个体积上积分得： k = 导 1 i 卜1 2 ；+ 霹+ 霹( 序+ 彦) 。q 呐 ( 2 7 6 ) + 2 ( 玩庄+ 1 2 z 度) 】4 4 ( 1 + 詈) ( 1 + 专) d q d 吃d 忽略掉钙r 和