（应用数学专业论文）一类广义mkdv方程行波解分支.pdf

摘要 本利用动力系统的分支理论来研究一类广义m k d v 方程的行波解， 得出了孤立波、扭子、反扭子和不可数无穷多个光滑和非光滑周期解的 存在性在不同的参数条件下，给出了上述各种解存在的充分条件同 时本文还应用动力系统的h o p f 分支理论来研究一类耦合非线性波方程周 期行波解的存在性和稳定性在不同的参数条件下给出了上面解存在和 稳定性的充分条件 本论文主要分以下几个部分第一章，我们研究一类广义m k d v 方 程的行波解分支其中第一节介绍相关模型及简化结果；第二节，在给 出一些参数的条件下，我们讨论系统( 1 1 4 ) 相图的分支；第三节，我们研 究( 1 1 1 ) 的光滑波、扭子和周期行波解的存在性；第四节，我们讨论( 1 1 1 ) 破缺波和不可数无限多的非光滑周期行波解的存在性第二章，我们研 究一类耦合非线性波方程的行波解分支其中第一节介绍相关模型及简 化结果：第二节，在给出一些参数的条件下，讨论系统( 2 2 5 ) 的h o p f 分支 关键词：孤立波解，周期波解，扭子和反扭子波，波的光滑性，m k d v 方程的广义形式，广义的g a r d n e r 方程，耦合非线性波系统 ：丝坚型丝璧丝鳖：一： a b s t r a c t b yu s i n g t h e t h e o r y o fb i f u r c a t i o n so fd y n a m i c a l s y s t e m s t ot h e g e n e r a l i z a t i o nf o r mo f t h em o d i f i e dk d v e q u a t i o n ，t h ee x i s t e n c eo f s o l i t a r y w a v e k i n ka n da n t i k i n kw a v es o l u t i o n sa n du n c o u n t a b l yi n f i n i t e m a n y s m o o t ha n dn o n s m o o t hp e r i o d i cw a v es o l u t i o n si so b t a i n e d u n d e rd i f f e r e n t p a r a m e t r i cc o n d i t i o n s ，v a r i o u ss u f f i c i e n t c o n d i t i o n st og u a r a n t e et h ee x i s t e n c e o ft h ea b o v es o l u t i o n sa r eg i v e n a tt h es a l t l et i m e ，t h ep a p e rs t u d yac o u p l e d n o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n s ，t h e e x i s t e n c ea n d s t a b i l i t y o fp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n s b yh o p fb i f u r c a t i o n s a r eo b t a i n e d u n d e rd i f f e r e n t p a r a m e t r i c c o n d i t i o n s ，v a r i o u s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st o g u a r a n t e e t h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo f t h e a b o v es o l u t i o n sa r eg i v e n i n c h a p t e r 1 ，t h ep a p e ri n t r o d u c e t h eb i f u r c a t i o n sf o r t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n sf o rt h eg e n e r a l i z a t i o nf o r mo f t h em o d i f i e dk d v e q u a t i o n i ns e c t i o n 1 1t h ep a p e ri n t r o d u c et h ec o r r e s p o n d i n gm o d e la n dr e s u l t s i ns e c t i o n1 2w e d i s c u s sb i f u r c a t i o n so f p h a s ep o r t r a i t s ( 1 1 4 ) i n s e c t i o n1 3 ，w ec o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fs m o o t hs o l i t a r y , k i n kt r a v e l i n gw a v ea n dp e r i o d i ct r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n so f ( 1 1 1 ) i ns e c t i o n1 4 ，w es h o wt h ee x i s t e n c eo f b r e a k i n gs o l u t i o n s u n c o u n t a b l y i n f i n i t e m a n yn o n - s m o o t hp e r i o d i ct r a v e l i n g w a v es o l u t i o n so f ( 1 1 1 ) i n c h a p t e r2 ，t h ep a p e r i n t r o d u c eb i f u r c a t i o n so f t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s f o rt h ec o u p l e dn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s 。i ns e c t i o n2 1 ，w ei n t r o d u c et h e c o r r e s p o n d i n g m o d e la n dr e s u l t s i ns e c t i o n 2 2 ，w es t u d y t h e h o p f b i f u r c a t i o n so f ( 2 2 5 1a ss o m e p a r a m e t r i cg i v e n k e yw o r d s ：s o l i t a r yt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n ，k i n ka n da n t i k i n kw a v e s o l u t i o n s ，p e r i o d i ct r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n ，s m o o t h n e s s o fw a v e s ，t h e g e n e r a l i z a t i o nf o r m o f t h em o d i f i e dk d v e q u a t i o n , g e n e r a l i z e d g a r d n e r e q u a t i o n ， s m o o t h n e s s o f w a v e s ，h o p hb i f u r c a t i o n , c o u p l e d n o n l i n e a rw a v e s y s t e m 前言 动力系统的理论，起源于对常微方程的研究，近半个多世纪以来得到了蓬勃的发 展随着在结构稳定系统的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系统的研究， 也就是大家所说的分支理论，受到了越来越多的关注可是动力系统分支理论的发展 却b b 较缓慢，这是因为结构不稳定系统可以以多种形式出现分支现象，分支发生的层 次也不尽相同，这导致分支理论的内容不断向纵向深入发展正如c a s t i 所说：“现 在所有的迹象都趋于此结论：寻找非线性系统完整的一般结论就像寻找耶稣在最后晚 餐时用过的圣杯一样不可思议这是一条充满许多愉快和惊讶，进而失望，最终毫 无收获的的行动遵循一条更为便利的道路就是集中精力对待某些特殊类型的非线性 问题，通常是出于应用的目的来解决这类问题，并利用这类问题中的固有结构作为进 一步获得有用信息的指南”本文就是遵循着上述原则，来解决实际问题的 随着非线性科学的进展，各种模型可以化成非线性方程，因此非线性方程( 包括 非线性常微分方程，非线性偏微分方程，非线性差分方程和函数方程) 的求解成为广 大物理、力学、生命科学、地球科学、应用数学和工程技术科学工作者研究非线性问 题所不可缺少的目前求解非线性方程主要有函数法、摄动法、行波法、相似变换和 自相似解、特殊变换法、散射反演法、吴文俊法等对于具体的方程如果能从参数空 间上来考虑它的全局相图，则它的解就很容易全部求出， l ij i b i n 、l i uz h e n g r o n g 等用动力系统的分支理论分别对不同的模型求出它的所有行波解文献 4 ，5 中，l i j i b i na n dl i uz h e n g r o n g 对下面的非线性波方程分别进行研究 坼+ 出”l + 0 ”k 。= o 玎2 1 0 i 1 虬w “5 似j + 伽m + 詈姒r i - 删m + 2 u ，“。0 2 发现上述方程有奇异现象，这样不仅找出它们的全部行波解，而且合理的解释了非线 垒 ：= ：丝堡垒塑堕墼墅二一 波发生破缺的原因 1 9 9 5 年a s f o k a s z 提出了一类物理水波方程模型 。，+ ”。+ 。+ p h 。+ 口“，+ ；煅( “。+ 2 “，“。) + 3 k t c t2 2 “，+ v , u a2 ( “2 “。+ ”；3 j + 4 u u ；“崩) + i ，2 卢口2 ( 甜：“。班+ 2 u ，d 2 + 2 u ，“三) = 0 其中口，夙一是常量参数 但是由于此系统比较复杂，他并没有对其进行分析研究本文就利用上述方法来 分析以上非线性波方程由于此系统是一个物理模型，所以本文研究在参数空间某些 特定区域内所有的行波解 本文还研究了一个耦合非线性波方程 “，+ ，( “) ，一口甜嚣+ “埘+ 2 v u ，= g l ( “，v ) + h 1 ( x ) ， v ，一。+ 2 ( u v ) ，+ g ( v ) ，= g 2 ( h ，v ) + h 2 ( x ) 其中口、y 是常量， 0 ，芦0 此方程由房少梅和郭柏林在2 0 0 2 年提出，在周 期边界条件下，他们得出了系统具有唯一强解本文考虑了当 g 。( “，v ) s0 ，h i ( “，v ) z 0 ( i = 1 ，2 ) 时，方程行波解分支情况，给出了分支的方向和周期 轨的稳定性条件 本文的写作得到了导师李继彬教授的悉心指导和帮助，特此谨致衷心感谢! 限于作者现有的水平和能力，本文难免存在许多不妥，不够全面敬请各位老师 不吝指正l 昆明理工大学学位论文原创性声明 y 6 6 9 2 4 3 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：歌续簇 日期：j 口哆年i 扫月2 f 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 昆明理i 大学硪士学位论文 1 = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= ：= = = = = = = = = = 一 第一章一类广义m k d v 方程行波解分支 1 1 引言 1 9 9 5 年，a s 。f o k a s 3 推导出一类具有重要物理意义的可积系统， 其中之一是广义k o r t e w e g d e v r i c s ( k d v ) 和m k d v 的推广形式 虬+ “，+ v u x 。t - i - 届。+ 硎“，+ ；吡( ”“。+ 2 ”；”。) + 3 p 口2 “2 ”：+ 彬口2 ( ”2 “。+ “，3 + 4 u u ；“。) + y 2 盘2 ( ”：n ；。+ 2 u ，。2 + 2 u ，“三) = 0 ， ( 1 1 1 ) 这里口，晟v ，是常量参数( 1 1 1 ) 的另外一种形式是所谓的广义g a r d n e r 方程( 见【3 】) ， “，+ “，+ w 。+ j 3 岛“。+ ( 1 3 p 2 ) p u 。+ 翻“，+ j i 户2 筇( “。+ 2 “，“。) + 3 一口2 甜2 “。 一三触口2 触2 “。q 3 + 4 嗷u + 9 p 知e p 2 ( 甜：“一+ 2 掣三) = o ， ( 1 i l 。) 作为4 参数( 口，p ，v ，) 的系统( i i i ) 可以作为一种水波方程模型本文研究 在这些参数变化下，方程( i 1 i ) 的行波解的分支现象，也就是说，我们 在参数空间的某些特定区域内研究所有的行波解 令甜o ，f = 烈x c t ) = 认0 ，其中c 是波速把上述行波解带入( i 1 1 ) ， 我们得到 ( 1 一c ) 伊十( 声一c p ) ”+ 寻口( 尹2 ) t + ；口y ( ( 口妒”) + 昙( 9 - ) 2 ) - + 口：( p ，) + v p a 2 ( 伊z 伊” zjz + 伊( 妒) 2 ) t + y 2 口2 ( ( 尹) 2 妒) l = 0 ，( 1 1 2 ) 其中“”是关于f 的导数对( i i 2 ) 关于善积分一次得到 【( 声一c 小 a y + 邺2 妒2 + 旷识们2 t + ( 1 卅9 + + 妒3 + 1 6 w ( 9 ) 2 + 馏2 删) 2 + g = o ， ( 1 1 3 ) 其中g 是一个积分常数量方程( 1 1 3 ) 等价于以下二维系统 2昆明理i 大学硕士学位论文 缸考：一等裳筹，o q 日( 妒，y ) = ；“1 一c ) 妒2 + ( 一c v 抄2 ) + l v a c p y 2 + tp 3 + 丢v 2 口2 j ，4 + ；w 孑妒2 y 2 + i 1 卢口2 妒4 = ；( ( 1 一c ) 妒2 + ( 卢一c 咖2 ) + ：似妒y 2 + ：印3 + ；卢口2 ( 妒2 + 砂2 ) 2 ， ( 1 1 5 ) 系统( 1 1 4 ) 所定义的向量场确定的相轨道表示( 1 1 1 ) 的所有行波 解。我们需要考虑系统( 1 1 。4 ) 相平面( 豇y ) 上，当参数变化时相轨道的分 支情况因为系统( 1 1 4 ) 是依赖于6 参数( 口，v ，从c ，g ) 的平面动力系统， 被李继彬等人在文献【5 】中研究过在本文中，我们考虑g = 0 时的情况， 假设u ( x ，f ) = 缈0 - c t ) = 烈宇) 是( 1 1 1 ) 的一个连续解，并且对于f ( 一，0 0 ) 有般p ( p 2 口，f l i r a 伊g ) = b - 众所周知，( i ) u ( x ，r ) 称为孤立波如果口= b ， 发现系统( 1 1 4 ) 在参数( 口，y ，“c ) 变化下出现的周期环域、同宿和异宿 ( 一c l ，) + 口坳+ v p c t 2 伊2 + v 2 口2 y 2 = 0( 1 1 6 ) 巨臻理i 大学硬士学位论文 3 时，( 1 1 4 ) 第二个方程右边的分母等于0 ，故此时( 1 1 4 ) 是不连续的 换言之，在二次曲线 ( 妒+ 古2 = 击【( 1 + 3 6 咖等】= 丽a ( 1 ”) 上，y = 畦没有意义这说明了对于( 1 1 ，1 ) 这个光滑的系统，它的一些 行波解可能是不光滑的实际上( 1 1 1 ) 波的破缺( 即在有限的时间内一 个波是有界的，但是它的斜率却变成了无界) 是一种非常有趣的现象这 种现象曾经被一些作者研究过( 5 ，6 ，7 ，8 ) 根据这些论文我们可以知道 行波方程奇异曲线的存在是使得行波失去光滑性的根本原因 5 ，6 1 2 ( 1 1 4 ) 相图的分支 我们令蝣= “夕一c y ) + l 3 a v 伊+ 邺2 p 2 + g v 2 口2 y 2 ) d r ，则系统( 1 1 4 ) 的相 图与下面系统的相图除了在二次曲线( 1 1 7 ) 上是拓扑同构的 塞叫( ) + ；口叫而2 + 以_ p ( ) ， 墓：一c 一。，妒+ 圭口9 z + 吉口y z + 口：伊，+ 窖：妒y ，：q c p ，y ， 1 2 1 因为( 1 2 1 ) 是一个和( 1 1 5 ) 具有相同首次积分的三次h a m i l t o n 系 统，对于一个固定的h ，( 1 1 5 ) 确定了族( 1 2 1 ) 的不变曲线，它们包 含了若干的曲线的分支随着h 的变化，( 1 1 5 ) 确定了( 1 2 1 ) 具有不同 动力学行为的一系列轨道 为了研究系统( 1 2 1 ) 相图的分支，我们首先考虑( 1 2 1 ) 中 驮弘力= 0 曲线的情况。令 ，( 力= ( 1 一c ) p + 去c r 2 + 口2 尹3 ，( 1 2 2 ) ( 1 2 2 ) 在a = 1 + 1 6 ( c 一1 ) 0 时具有三个零点 舻。确= 击( 1 + 正丽：= 一击( 1 一厅丽) ( 1 删 显然，当c 1 时，a 1 ：当c 1 ) 时，妒2 0 ) ：当c = 1 时，妒2 = 0 因此， 4昆明理i 大学硬士学位论文 当a = l + 1 6 ( c 1 ) o 时( 1 2 1 ) 在妒轴上有三个平衡点e f 娩，0 ) ，i = 1 , 2 和 0 ( 伊。，o ) = o ( o ，o ) 由q ( 妒，y ) = 。可知，妒2 6 , u l o ：时 当缈2 = 一面1 时 v = s - 脚骶两 ( 1 2 4 ) ，即( 妒+ 圭) 2 + 旷= ( 圭) 2 ( 1 2 5 ) o 口o 埘 另外，如果曲线q ( 妒，y ) = 0 与曲线( 1 1 7 ) 相交，则系统( 1 2 1 ) 还会 出现2 个平衡点( 纯，y 。) ，其中 爿一1 9j 2 瓦i 再丽瓦i 而丽2 比=镢蕊jzatvac) = 士 ! ! 口1v ( 1 8 9 ( v - 历一竹 3 ( p c y l 口( 1 9 p ( v 一) 一p ) f c 七一o + 等* 卜 簪y ) ( 1 2 6 ) 从( 1 2 6 ) 可以看出如果y ，。是实的，则曲线q ( 妒，y ) = 0 和( 1 1 7 ) 至 多有两个交点( 纯，儿+ ) 令肘( 研，y i ) 为系统( 1 2 i ) 在平衡点觇，以) 线性部分的系数矩阵，易 见 j ( o ，0 ) = d e t m ( o ，0 ) = ( 1 一c ) ( p - - c v ) ， ，( 仍。：，o ) = d e t 膨( 仍：，o ) = ，( 仍) “一c d + ；嘲碱+ 峪以2 卯) = 学( 纠，千等，y ) ， 2 7 ) 2 8 ) 昆明理i 大学殒士学位论文 j ( 识，y 。) = d e t m ( 仍，y ，) = 5 ( 1 2 9 ) 由平面动力系统的理论( 4 ， 9 ) 可知，对于一个平面h a m i l t o n 系统的 平衡点来说，若j 0 ，这个平衡点是鞍点；若， 0 ，当a = ( 1 + 3 6 c t ) 一3 6a , o y20 ，曲线( 1 1 7 ) 是一个 以( 一1 ( 6 舻) ，o ) 为中心，妒半轴长为爿( 6 口) 的椭圆当 a = ( 1 + 3 6 c , u ) 一3 6 9 f l v 0 时。椭圆没有实轨迹 ( i i ) 对于y o ( 0 ，并且c 取以下7 种不同的值： 6昆髓理i 大学硕士学擅论文 ( 1 ) 。 删一击，( 2 ) c = 1 6 1 u ，( 3 ) l 一面1 删一面1 ， ( 4 ) c = l _ 1 8 1 ，( 5 ) l 一面1 0 时， 忙知c + 壶如1 _ 等小l + 等； ( 1 2 1 0 ) 当y 0 ，p 0 ，p 1 1 6 在着种情况下，如果a 0 ，则曲线( 1 1 7 ) 是个椭圆为便于看出( 1 1 1 ) 波的破缺是否会发生我们将在同一参 数区域内在相平面上给出系统( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) 1 当0 f ( 1 一l ( 1 助) ， 0 时，系统( 1 2 1 ) 在妒轴上只有一个平衡点 o ( ，0 ) = o ( o ，o ) ( 1 2 1 ) 中的三次曲线q ( 尹，力= 0 为一条渐近趋向于直线 妒= - 1 ( 6 a ) 的开曲线当a 1 ，即s c 咐，曲线q ( 妒，y ) = 0 与( 1 1 7 ) 有交 点当a = l ，即= ( c + 1 3 6 ) 埘，椭圆( 1 1 7 ) 变成了一点( 一v ( 6 w z ) ，0 ) 因 此，我们得到图1 所示的相图 厂嗯氯 氆 拶 4 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 昆明理i 大学硬士学位论文 图l当o c 1 1 ( 1 6 ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 7 ( 1 ) 0 芦 c v ，( 2 ) 卢= c y ，( 3 ) c y ( ( c + 1 ( 3 6 y ) ) v ，( 4 ) 卢( c + 1 ( 3 6 a ) ) v 2 当c = i 一i 0 6 , ) 时，= 0 系统( 1 2 1 ) 在妒轴上有两个平衡点 o ( 妒。，o ) = o ( o ，0 ) 和e 1 2 ( 伊1 2 ，0 ) ，伊。2 = 一1 ( 4 眦) ( 1 2 1 ) 中的三次曲线 q ( p ，y ) = 0 为一条渐近趋向与直线妒= - 1 ( 6 , u a ) 的开曲线和一个点( 伊：，0 ) 组成当= ( 1 1 ( z 4 t ) ) v 时，椭圆( 1 1 7 ) 穿过点e 2 ( 伊1 2 ，o ) ，当a l 即卢s ( 1 1 ( 1 6 t ) v 时，曲线q ( e ，y ) = 0 与( 1 1 7 ) 有交点因此，我们可以得 到图2 所示的相图 熙 3 猕 婚 沙 二 忒厂坻j 翅 ( 4 ) 腐j 龠 咝 谚 ( 2 ) 佤j忒 k j 纱 1 j ( 5 ) ( n 、? 渺 劭 4 ( 3 ) 庐绣熟 巡彰 、 ( 6 ) 图2 当c = 1 - 1 ( 1 6 u ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) 0 ( 1 1 ( 1 6 7 u ) ) v ，( 2 ) 夕= ( 1 - 1 ( 1 6 a ) ) v ， ( 3 ) c y ( ( 1 1 ( 2 4 i ) ) v ， ( 4 ) = ( 1 1 ( 2 4 【f ) ) v ，( 5 ) ( 1 1 ( 2 4 t ) ) v ( 1 5 ( 1 4 4 u ) ) v ，( 6 ) ( 1 5 ( 1 4 4 z ) ) v 3 当1 一i 0 6 u ) c l 一i 0 s u ) o ，仍 仍 一i ( 6 t a ) o ( 1 2 1 ) 中的三次曲线烈仍力= o 为一条渐近趋向于直线妒= 一1 ( 6 卢口) 的开 曲线和一条闭曲线组成q 0 p ，y ) = 0 的闭分支穿过点( 仍，o ) 和( 他，o ) ，并且以 点( 乒，o ) 为中心，其中痧= 一( 柝i 讫五万可+ 1 ) ( 6 口) 开曲线经过点( o ，o ) ，根 8瑟鹗理i 大学硕士学位论文 据曲线q ( 妒，j ，) = o 和椭圆( 1 1 7 ) 交点的数目，我们可以得到图3 所示的相 图缭 满 蹙 叨 _ 。森? 1 忒 憋 囝 4 ， 扇 i 两 蹙 谬 _ ( 2 ) 添 f i 蹙 、 _ ( 3 ) 僚| 1 忒 赠 一i s ( 4 ) ( 5 )( 6 )( 7 )( 8 ) 图3 当l - 1 ( i 6 卢) c i 一1 ( 1 8 , ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) o 7 e v ，( 2 ) 声= c y ，( 3 ) c v 芦 ( 1 一( 五+ i ) ( 2 4 f ) ) y ，( 4 ) 尹= ( 1 一( 五“) ( 2 4 ) ) v ( 5 ) ( 1 一( 压+ 1 ) ( 2 却咖 ( 1 + ( 妪一1 ) ( 2 4 u ) ) v ，( 6 ) 芦= ( 1 + ( 压一1 ) ( 2 4 0 ) v ， ( 7 ) ( 1 + 五一1 ) ( 2 4 0 ) v p 0 时，伊l = 一l ( 3 口) ，妒2 = 一1 ( 6 m ) ( 1 2 1 ) 中的 三次曲线q ( 仍力= 0 由直线伊= 一1 ( 6 u a ) 和椭圆( 1 2 5 ) 组成当 = ( 1 一l ( 1 8 ) 少时，a ；1 ，奶= 一g ( 3 m ) ，妒：= 一v ( e m ) 这种情况下椭圆 ( 1 2 5 ) 上的所有的点都是系统( 1 2 1 ) 奇点当 ( p + 1 ( 6 , u a ) ) 2 + v y 2 一( 1 ( 6 膨) ) 2 0 时，( 1 2 1 ) 可以被简化为个线性系统 并且有c + ( 3 昏o ；l + ( 、五一1 ) 几2 锥0 = 1 一i o e u ) ， i - ( 苫+ 1 ) ( 2 4 p ) ：i v ( 1 8 a ) = c 因此我们可以得到图4 所示的相图 昆明理i 大学硬士学位论文 园 ， 从，形5 i 心弧 咐巡三t 沙 _ 属 疹 矽 9 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 图4 当c = 1 i 0 8 u ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) o c v ，( 2 ) p = c v = ( i - i 叭l 即) ) y ，( 3 ) c p ( 1 一】托3 妒，( 4 ) 0 + 1 ( 3 p ) 妒 5 当0 l v 0 8 ) c l 时， 妒 一1 ( 6 口) p 2 c 0 9 ( 仍y ) = 0 的闭分支线穿过点( 热，o ) 和( o ，o ) ，并且以点( 磊，o ) 为中心，其 中霸= 一( 、1 + 1 2 p ( c - 1 ) 一1 ) ( 6 c t ) 其分支穿过点( 吼，o ) 根据曲线 q ( 妒，y ) = 0 和椭圆( 1 1 7 ) 交点的数目，我们可以得到图5 所示的相图 簇 氅 篇满 巡澎 ( 2 ) 忿 渺 瘰 蝤 ( 3 ) 愈 渺 ( 4 ) ( 5 )( 6 ) ( 7 )( 8 ) 图5 当l - v o s k i c l 时，曲线( 1 1 _ 7 ) 与系统( i 2 1 ) 的相图 o ) o p o - ( v 公+ 1 ) ( 2 4 u ) ) v ，( 2 ) = ( 1 。( 五+ 1 ) ( 2 4 卢) ) y ，( 3 ) ( 1 一( 五+ 1 ) ( 2 4 ) p p c p ( 4 ) = c y ，( 5 ) c y = ( 1 十( 五一1 ) ( 2 4 卢) 妒， ( 7 ) ( 1 + ( 五一o ( 2 4 a ) ) v p ( c + 1 ( 3 6 , u ) ) v ，( 8 ) p ( c 十l ( 3 6 卢) ) y 6 当c = 1 时，9 2 = 0 三次曲线q ( 仍y ) = 0 为两条分别穿过点( 仍，o ) 和 、0 昆明理i 大学硬士学位论文 0 ( 0 ，0 ) 的开曲线，根据曲线q ( 仍y ) = o 和椭圆( 1 1 7 ) 交点的数目，我们可 以得到图6 所示的相图 靡 ， ? 、 鬯 。j d ( 4 ) 俪奏 _ ( 2 ) 饿 渺 歹孓 孵忒 i 。 矽 _ ( 3 ) 觚 蟛 图6当c = 1 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) o 芦 ( 1 1 ( 2 4 # ) ) v ，( 2 ) 芦= ( 1 1 ( 2 4 0 ) v ，( 3 ) ( 1 一v ( 2 4 a ) ) v y ，( 4 ) 卢= y ( 5 ) y 1 时， 一t ( 6 a a ) o l 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相圈 ( 1 ) o ( 1 一( 五+ 1 ) ( 2 4 1 z ) ) v ，( 2 ) 声= ( 1 一( 五+ 1 ) ( 2 4 一) ) y ， ( 3 ) ( 1 一( 石+ 1 ) ( 2 4 a ) ) v 卢 ( 1 + ( 五一1 ) ( 2 4 , u ) ) v ， ( 4 ) 卢= ( 1 + ( 4 a 1 ) ( 2 4 u ) ) v ，( 5 ) ( 1 + ( 4 a 1 ) ( 2 4 u ) ) v 卢 c y ， ( 6 ) 少= c p ，( 7 ) c y 扣+ l ( 3 6 a ) ) v ，( 8 ) 少2 0 + 1 ( 3 6 , u ) ) v i i 假设 0 ，l ， 0 此时，三次曲线q ( 伊，y ) = o 由三条开分支曲线所组成， 其中一条在口= 0 处穿过横轴，且由此( 1 1 7 ) 是双曲线为了发现( 1 1 1 ) 波的破 缺是否会发生，我们将在同一区域内画出系统( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) 8 当0 c 1 - 1 ( 1 6 a ) ，a ( 1 1 ( 1 8 ) ) v 时，系统( 1 2 1 ) 有中心因此，我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ，见图8 么氯 。 髫 励丽 7 4 巡巡f 磁铆 7 一巡封 ， ( 1 )( 2 )( 3 ) 图8 当o c 1 i 0 6 一) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) 0 p c y ，( 2 ) = c v ，( 3 ) ( 1 一l ( 1 8 ) ) v c y 9 。当c = 1 1 ( 1 6 k t ) 时，= 0 系统( 1 2 1 ) 在妒轴上有两个平衡点 d ( 妒o ，0 ) = o ( o ，0 ) 和e 1 2 ( 9 1 2 ，0 ) ，p 1 2 = 一1 ( 4 u a ) 三次曲线g ( 仍y ) = 0 由3 条开曲线组成，其中在左半平面的2 条渐近趋向于直线9 = 一1 ( 6 t a ) ，并且 1 2 一 生丝坚塑堡兰丝丝苎 穿过点( 仍：，o ) ，另外一条交伊轴于d ( o ，o ) 点，当= ( 1 一v o s z ) ) v 时，系统 ( 1 2 1 ) 有中心因此，我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ，见图 9 彪氮 坚蒌 扒 k彩 汐 ) _ 殇瓣 卢巡 巡j 彳绑 陟巡心j 图9 当c = 1 1 ( 1 6 ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) 0 卢 c y ，( 2 ) 卢= c y ，( 3 ) ( 1 i 0 8 u ) ) v c y ，( 4 ) 卢= ( 1 一v ( x s a ) ) v 1 0 当l 一1 ( 1 6 ) c 1 1 ( 1 8 ) 0 ，仍 妒2 一1 ( 6 # a ) ( 1 一( 五+ 1 ) ( 2 4 ) ) 衍口p ( 1 + ( 五一1 ) ( 2 4 p ) ) v 时，系统 ( i 2 1 ) 具有中心因此，我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ， 见图1 0 、瓜勿铽 。麟 鲜j 积 ( 4 ) 诏埝渤 。肜粼 心 ( 2 ) 豸 p婆 ( 5 ) 黼繇 膨忒 ( 3 ) 豸 庐遵 ( 6 ) 昆鞠理i 大学硕士学位论文 蛩 腿弋爻 w 引 爪n 魏 历q j ( 7 )( 8 )( 9 ) 图1 0 当l 一1 ( 1 6 ，, ) c 1 - 1 ( 1 s a ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) 0 ， cp ，( 2 ) ，= c v ，( 3 ) ( 1 1 ( 1 8 p ) y ， c y ( 4 ) 卢= ( 1 1 ( 1 8 x ) p ， ( 5 ) ( 1 一( 石+ i ) ( 2 4 ) ) v 卢= ( i l ( 1 8 x ) y ，( 6 ) 卢= ( 1 一( i + i ) ( 2 4 一) ) v ， ( 7 ) ( 1 十1 ( 3 6 p ) ) y ， 0 时，吼= 一i l ( 3 u z ) ，p 2 = 一i ( 6 z ) 的三次曲线 q ( 似y ) = 0e h 直线伊= 1 ( 6 u a ) 和双曲线( 1 2 5 ) 所组成当卢= ( 1 1 ( 1 8 u ) ) v 时，a = 1 ，奶= 一l ( 3 z ) ，p ：= - 1 ( 6 u a ) 。这种情况下双曲线( 1 2 5 ) 上的所有 的点都是系统( 1 2 1 ) 奇点当 + 泓固) 2 + l y 2 一( v 回，o 时，( 1 2 1 ) 可以 被化成个线性系统并且有1 一( 五+ 1 ) ( 2 4 a ) = 1 1 ( 1 8 ) = c ， c + 1 ( 3 6 a ) = l + ( 4 a 一1 ) ( 2 4 u ) = l 一1 ( 3 6 a ) 当( 1 1 ( 3 6 y ) ) v p c v ，系统( 1 2 1 ) 没有中心我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ，见图11 沁 乏 l 瓞彳氰j 嘭公 蛰、 一 。醚。彩 垆n 瀚 缪慕 菠多 缪蕊 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 图4 当c = 1 1 ( 1 8 a ) 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( i 2 1 ) 的相图 d ) o ( c y ，( 2 ) , a = c v = ( 1 - 1 ( 1 鲫) y ，( 3 ) 7 = 0 一帅蚴y ，( 4 ) 卢 ( 1 1 ( 3 6 蝉) ) v 1 2 当0 1 1 ( 1 8 ) c 1 时，吼 一l ( 6 z a ) 9 2 0 三次曲线 q ( 红y ) = 0 分别穿过点( 够，0 ) ，f = 0 ，l ，2 。其中穿过( 仡，o ) 的那条曲线从右边 渐近趋向于直线妒= - l ( 6 p a ) 当c y o 和p ( c + 1 ( 3 6 u ) ) v 时，系统( 1 2 1 ) 有中心我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ，见图1 2 t 腻 ， 。妙 _ _ 。滁 l 濑 。纩 裂 ( 4 ) w x1 7 肼义参j ： ， j 肜 n ( 2 ) 舱形 、骖甜 ( 5 ) 腻 - 京 。沪 g ( 3 ) 戬锨 ( 6 ) 。菪习 。氐博，式 ( 7 )( 8 ) ( 9 ) 图1 2 当l 一i 0 8 u ) c 1 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) ( 1 一( i + 1 ) ( 2 4 t ) ) v ， 0 ，( 2 ) 尸= ( 1 一( 压+ 1 ) ( “) ) y ， ( 3 ) ( 1 1 ( 1 8u ) ) v ， ( 1 一( i + 0 ( 2 4 u ) ) v ，( 4 ) 芦= ( 卜i 0 8 u ) ) v ， ( 5 ) c p 声 ( 1 1 ( 1 8 ) ) y ，( 6 ) 声= c y ，( 7 ) ( c + 1 ( 3 6 ) ) v p ( 1 + ( i 1 ) 1 2 4 芦) ) y ( 8 ) 芦= ( c + 1 ( 3 6 j ) ) v ，( 9 ) ， 和+ l ( 3 6 p ) ) v 1 3 当c = 1 时，p 2 = 0 ，三次曲线q ( 9 ，y ) = 0 为两条分别经过点( 仍，o ) 和二重点0 ( 0 ，o ) 的开曲线，当( 1 i 0 8 u ) ) v 卢( 0 时，系统( 1 2 1 ) 具有中 心我们可以得到( 1 2 1 ) 的相图和曲线( 1 1 7 ) ，见图1 3 毽明理i 大学硬士学位论文 胍 ： 支 肜 ， ： 慕 ， ”引， 肜5 ： _ 瓤t 驴弋 腻t 渺文 图1 3当c = l 时，瞌线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) ( 1 + 1 ( 2 4 2 ) ) v 卢 0 ，卢= ( 1 + 1 ( 2 4 ) ) y ， ( 3 ) ( 1 i 0 8p ) ) y 声 1 时，吼 - 1 ( 6 u a ) 0 妒2 三次曲线q ( 似j ，) = o 的三条开分 别经过点 ，o ) ，j = o ，1 ，2 其中穿过( 吼，0 ) = ( 0 ，o ) 的那条开曲线从右边渐 近趋向与直线纯= 一l ( 6 # a ) ，当( 1 + ( 否一1 ) ( 2 4 ) o 平n p 1 时，曲线( 1 1 7 ) 与系统( 1 2 1 ) 的相图 ( 1 ) ( 1 一( 4 6 + 1 ) ( 2 4 i a ) ) v