（应用数学专业论文）一类高维cantor型集合的交集的性质.pdf

硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 本文首先论述了分形集及其特征，通过特性给出了它的定义，并对分形的各种 测度和维数进行了论述，讨论了分形集测度和维数的概念和性质，论证了测度与维 数、维数与维数间的关系，以及用维数来刻画分形集合的“粗”“细”程度，为正 确理解和使用分形维数提供了依据，同时也澄清了对分形维数概念的错误认识，同 一分形集对不同的维数定义可以具有不同的分形维数值，而不同的分形维数刻画分 形集不同的属性。其次，本文论述了两个已知c a n t o r 型集合的交集的性质。设e 为 r ”( 行为自然数) 空间中的一个c a n t o r 型集，坟= e + c c = 护+ 口：e ) ，口1 - 1 ，1 r ， 通过对f n e 的结构进行分析，获得了不同位置的高维c a n t o r 型集合交的性质之 间的关系，并获得了它的h a u s d o r f f 测度的一个上界估计。 关键词；高维c a n t o r 型集合；h a u s d o r f f 维数；h a u s d o r f f 测度：自相似集 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h ef f a c t a ls e t , i nt h i sp a p e r , w i t hi t sc h a r a c t e r i s t i c sb yw h i c ht h ed e f i n i t i o nc o m e s f r o m ，w i l lb ed i s c u s s e d t h e r e f o r e ，v a r i o u sd e f i n i t i o n so ff r a c t a ld i m e n s i o n s ，m e a s u r e a n dt h e i re o r r e s p o n d i n gp r o p e r t ya r et ob ee x p o u n d e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nm e a s u r e a n dd i m e n s i o na sw e l la st h a to fd i m e n s i o na n dd i m e n s i o nw i l lb ep r o v e d w i t ht h a t d i s c u s s i o n ，t h er e s u l t sc a l lb eu s e dt od e p i c tt h ed e g r e eo f t h i c k n e s s ”f o raf r a c m ls e t ， p r o v i d ea b a s i sf o ru n d e r s t a n d i n ga n da p p l y i n gf f a c t a ld i m e n s i o n , a n da l s o ，c l a r i f yc e r t a i n m i s l e dk n o w l e d g ea b o u tf f a c t a ld i m e n s i o n t h e n ，t h a taf r a c t a is e tm a yh a v ei n e q u a b l e v a l u e su n d e rd i f f e r e n td e f i n i t i o n st od i m e u s i o n s a n dt h ei n e q u a b l ev a l u e so f d i m e n s i o n s c h a r a c t e rd i f f e r e n ta t t r i b u t e so f t l l ef r a c t a ls e t ，w i l lb ec o n c l u d e d s e c o n d l y , t h ec h a r a c t e r o f t w oc a n t o r - t y p ei n t e r s e c t i o n sw i l lb ea r g u e do n l e teb eac a n t o r - t y p es e ti i lh i g h e r d i m e n s i o na n dl e t 玩= e + f f = p + 口：e ，f o r 口【- l ，q - t h r o u g ht h es t u d yo f t h ef f a c t a ls t r u c t u r eo fe n 眈，d e t e r m i n e da r eb o t ht h er e l a t i o n so ft h eh a u s d o r f f m e a s u r ea n dd i m e n s i o nb e t w e e nt w oc a n t o r - t y p ei n t e r s e c t i o n a ls e t si nh i g h e rd i m e n s i o n u n d e rg i v e nc o n d i t i o n s ，a n do b t a i n e di st h eb e t t e rb o u n do f t h eh a u s d o r f f m e a s l i r e k e y w o r d s ： c a n t o r - t y p es e t ；h a u s d o r f fm e a s u r e ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ； s e l f - s i m i l a rs e t 硕士擘位论文 m a s t e r s - f h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作槲：字产被 吼唧年t 月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者_ 签名：孓 识 吼加7 年，月必日 6 日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重盗塞埕銮厦澄厘! 旦坐釜i 旦二生i 旦三堡筮查! 储叛；c p 砍 吼岬年，月以日 导懒训殇导师戤：m 日瓤o t - f f - ，月二日 蹂 ：1 ， 名 口 签 ： 师期 孚日 硕士学位论文 m a s l e rs 1 h e s i s 1 1 引言 第一章绪论 从古希腊以来，人们研究直线、圆、椭圆、双曲线等规则图形，这是欧氏几何、 解析几何及微积分所研究的主要图形。3 0 年前诞生了一门新的几何学，称为分形几 何。它研究的却是自然界中最常见的、不规则的、不稳定的、变化莫测的现象。分 形几何的创始人芒德布罗( b b m a n d e l b r o t ) 在他的名著“自然界的分形几何”一 书中说： 云彩不是球，山岳不是锥体，海岸线不是圆，树皮不是光滑面，闪电也不是沿 直线传播的。 他还指出，自然界的许多物体的形状及现象的复杂性是寻常的事，但欧氏几何 却把它们抛在一边，不加理会，分形几何为阐述这类复杂性提供了全新的概念和方 法，3 0 年来取得了惊人的成就，而成为当代最具有吸引力领域之一。 分形是f r a c t a l 的译名，这个词是芒德布罗根据拉丁词f i a c t u s 的词首和英文 f r a c t i o n a l 的词尾合成的一个新词，用以描述那些不规则的、破碎的、琐屑的几何特 征。其实早在1 9 1 9 年h a u s d o r f f 就对这类集合以其名字给出了分形维数的概念，直 到芒德布罗在1 9 7 5 年将前人的结果进行总结，发表著作e 2 ，第一次系统地阐述了 分形的内容、意义、思想和方法，才使得分形被赋予了活力，从而标志着分形几何 作为一门独立的学科正式诞生了 3 ，文 4 则更多地从数学角度讨论了某些分形及 性质，文e s 又将这些分形的思想方法更多的应用到实际问题中，在此期间主要研 究分形维数的计算及各种分形现象，法尔科内在文 1 中系统地论述了分形几何的 数学理论、研究内容和研究方法，他为分形几何的研究和发展奠定了基础，也使得 分形研究进入了新的阶段。分形概念并非纯数学抽象的产物，而是对普遍存在的复 杂几何形态的科学概括，有极为广泛的实际背景，自然界中分形体无处不在，起伏 蜿蜒的山脉，坟坑洼洼的地面，层层分叉的树枝，支流纵横的水系，变幻莫测的浮 云，地质学中的复杂褶皱，遍布动物周身的血管等等，都是自然界中的分形，就是 社会历史领域也不乏分形现象，只是不那么直观罢了。 分形是相对于整形而言的，传统几何学描述的对象是各种规则的几何形体，它 硕士荦位论文 m a s t e r st h e s i s 们被称为整形。整形的基本特征是具有可微性，除少数例外点或点集，形体都是可 微( 可用可微的函数来描述) 的；分形的基本特征是不可微的，甚至是不连续的。 传统观点把自然界想象成各种规则形体的总和，但普遍存在的几何对象大多数是分 形，整形倒是一种例外。 几何学讲的整形是严格定义的数学对象，对分形也应当建立严格的数学定义， 但目前尚无可以普遍接受的严格定义，非正式地讲，一种几何图形，如果它的组成 部分与整个图形有某种方式的相似性，就是分形。对分形的定义可以用和生物学中 对生命定义的同样方法处理，也就是可以列出一系列的特性。 如果一个集合e 具有下面所有或大部分的性质，它就是一个分形集： ( 1 ) 占具有精细的结构，即有任意小比例的细节； ( 2 ) e 非常不规则，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) e 通常具有某种自相似的性质，这种自相似的性质可能是近似的或是统计 的： ( 4 ) 一般说来，e 的分形维数大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，e 可以用非常简单的方法定义。并且可能由 迭代产生。 分形几何研究的主要问题之一是分形集的各种形式的维数，如h a u s d o r f f 维数、 计盒维数、填充维数等，维数是用来度量一个分形的不规则性和破碎程度，从几何 角度看，它们反映了集合填充空间的能力，是描述集合分形特征的主要参数：分形 几何研究的另一个重要问题是计算分形集的h a u s d o r 西测度，h a u s d o r f f 澳 i 度是勒贝 格测度扩张为抽象测度的具体例子，它由h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入，推广了长度、 面积、体积的概念，通常人们希望在给定了适当的“尺度”，即适当的维数时，测 度的结果是正有限的。测度的存在是依赖维数的，离开维数谈测度是没有意义的， 因为在不同的维数下，同一集合有不同的测度。 但是，计算分形的h a u s d o r f f 测度和维数是非常困难的。到目前为止，研究的 最多的一类分形是满足开集条件的自相似集，它是由h u t c h i s o n 于1 9 8 1 年把用“相 似”递归步骤产生相似集的方法一般化，给出了“开集条件”的定义，并得到了满 足开集条件的自相似分形的h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数相等。f a l c o n e r 在文 2 1 的定理4 蕴含了很好的结果，对一个一般的不满足开集条件的自相似分形， 它的h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数也相等，这不仅使得对于一些分形集的 维数计算变得容易，而且对讨论分形的测度带来很大方便，但就是这一类分形，要 计算它们的h a u s d o r t f 测度也是相当困难的，文 6 7 8 9 主要讨论了平面上某 2 硕士擘住论文 a s t e r s t i - i e s i s 些分形的测度计算，压缩系数有相同的，也有不同的，但得到的都是估计值。 在分形几何中，一个相当重要的问题就是设法求出两个已知分形集e 和，的交 集g n ，的分形维数和分形结构，其中尤其以两自相似集的交集的情形最为常见、 应用最广，但是这个问题相当困难，目前对交集的分形性质所知结果甚少。文献 1 7 就实直线上康托型集合e 研究其相关集合酬1 以( 其中乜= e + a = 护+ 口：e 。 一i 口s1 ) 的分形维数，文献 1 9 在文献 1 7 的基础上，通过对一类c a n t o r 型集 合交的结构进行分析，获得了不周位置的c a n t o r 型集合交的h a u s d o r f f 测度之问的 关系，并进一步验证了它的维数公式，最后得到了这种交集合的h a u s d o r f f 测度的 一个较好的上界估计，两篇文章都给出了一维空问里c a n t o r 型集合的交集的分形维 数，而事实上，在许多应用中，都需要在高维空间中考虑c a n t o r 型集合的交集，因 而，本文针对这两篇文章的结果做出推广和进一步的分析，以便了解在r ”空间中 e n f 的分形性质。 1 2 数学基础与符号说明 集合一般指尺“中的子集，用大写字母来表示，如a 、b 、c 、e 、f 等。通 常用r 表示实数集，z 表示整数集，q 表示有理数集，用上标“+ ”表示集合中的 正元素，于是r + 表示正实数集，z + 表示正整数集，q + 表示正有理数集。空集，即 不包括任何元素的集合，记为，詹为n 维欧氏空间，其中r 1 为实数集合或“实直 线”，r 2 为平面，r 4 中的点通常用小写字母来表示，如x , y 等，偶尔用坐标形式表 示，如工= “，l y = ，y 。) 。r 4 上的加法运算和数乘运算以通常的方式定义， 1 0 x + y = k + 朋，+ 只) ，缸= ( 机，织) 这里且为实数。r 。上的距离或者度 量为通常的欧几里德距离，即；r 4 中的两点x ，y 之间的距离为 卜州窆x i - y i 2 1 2 。 1 1 1 中心在点工，半径为r 的闭球和开球分别定义为：b r g ) = y ：l y 一卅r ) ， 曰? g ) = 扫：l y z i 置时，k 一卅 0 使b g ，c e 。如果 集合e c r 。包含了其本身的所有极限点，即如果g 。垃，是e 中点构成的收敛于 工g r 。的序列，那么必有工e ，则称集合e 是闭的。集合占为开的充要条件是它 的余集是闭的，任意开集类的并集为开集，任意有限个开集的交为开集，任意闭集 类的交集为闭集，有限个闭集的并集为闭集。所有包含集e 的闭集的交集称为e 的 闭包记为e 。所有包含于e 中的开集的并集称为e 的内部，记为i n t ( t ) 。集合e 的 边界定义为饱= e i n t ( e ) 。集口称为集a 的稠子集，假如b c a c 否，即对于集爿 的每一点都有集b 中点与其任意接近，假如任意覆盖集合a 的开集族都存在覆盖a 的有限子集，则称a 是紧的，丑。中的紧子集等价于有界闭集。 r ”的波雷尔集是满足下列性质的最小集类： ( 1 ) 每一个开集和每一个闭集都是波雷尔集。 ( 2 ) 每一个有限个波雷尔集的交或交，每一个可数个波雷尔集的交或并都是波雷 尔集。 所以由开集或闭集经过有限次的可数个并集或交集所构造的集合仍是一个波 雷尔集。 设z 、y 为任意集，是从x 到y 的一个映射、函数或者交换，如果当x y 时， 有_ ，b ) ，) 则称是一个单映射；如果砂y 都有工仨x 使得，g ) = y ，则称，是 一个满射；如果，既是单射又是满射，则称，是置y 之间的双射或1 1 对应的； 对双射厂：x - - 9 , y ，有厂的逆映射厂。1 ；y 呻x ，满足对所有工x ，f f f _ 1 c 厂g ) ) = x ， 和对所有的y y 有，( 厂。o ) ) = ) ，。 函数f ：x 斗y 与函数g ：y z 的复合函数定义为函数g 。厂：x 寸z ，且有 ( g 。厂妇) = g ( 厂g ) ) ；对于厂：x 寸石，f o g ) = x ，厂c x ) = ( r o ) l 七= 1 2 3 ，那么 硕士学位论更 m a s t e r st h e s i s f 是厂与它自己第k 次的复合，称为厂的i 次迭代。 函数，：z y 被称作指数为d 的圩0 z 如函数，如果存在某个常数c ，使得 i ，g ) 一s l y 】小一y l 。b ，y x ) ( 卜1 ) 当口= 1 时，则称，为李h 希兹函数：如果对o c 1s c 2 o o ，使得 c 。i x y i s l 厂g ) 一，( y 】c ：i x y i ，g ，) ，x ) ( 1 2 ) 则称函数，为双一李卜希兹函数；在式( 卜1 ) 中，当口= l 且o c 1 时，称， 是压缩映射，称c 是压缩因子或压缩比。 函数下极限定义为l i r a s ( x ) - = l i xr)；函数上极限定义为_m(inff(x)：0 t 0 ， 1 7 。m f ( x ) a l i m ( s u p w ( x ) ：o 工 ， ) 。 6 硕士荦住论文 m a s t e r st h e s i s 第二章分形的测度与维数 2 1 测度 2 1 ，1 测度的定义 定义2 1 设x 是一给定的非空集合，f 是x 的一盯代数，芦是定义在f 上取 值于r + = 【o ，+ 。o 】的一个映射，如果对于彳的每一个子集，满足： ( 1 ) 似) 00 ) = 0 ( 2 ) 若e c f ，则 ) s p ) ( 3 ) 若置，最为一可数( 或有限) 的集序列，则 声lu e , l 慨) j = l括l 特别，当置n 易时，l u e , i - 慨) i = li = 1 ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 则称是x 上的测度，仁) 为集合e 的测度，当伍) c o 时，称为有限测 度。 2 1 2 常用测度 ( 1 ) 计点测度：对任意e 亡盖，仁) 表示e 中点的个数( 可以是。) 。 ( 2 ) 栉维勒贝格测度：若e = 妣，) r 4 ：口，s ts6 f 为置4 中的“坐标平 行体”，则e 的甩维体积为 v o l 8 0 ) = 瓴一qx 6 2 一口：) 瓴一q ) = 兀瓴一口j ) ( 2 5 ) 扣l 疗维勒贝格测度由定义 7 硕士擘住论文 m a s t e r + st h e s i s 三“陋) = i n f 纠4 幢) ：e c u ( 引 ( 2 h 6 ) l i n - l l j 得到，特别地。如果e 是坐标平行体或者其体积可以用通常的测量办法得到的任何 集合，有r 也) = y o ，”忙) 。 2 2h a u s d o r f f 测度 2 2 1h a u s d o r f f 测度的定义 定义2 2 设露是n 维欧氏空问r “中的任何非空子集，如果移， 为可数( 或有 限) 个直径不超过占的集构成的覆盖e 的集类，即e c u u ，且对每一f ，都有 0 0 ，定义 哦但) = 协r 喜e l ，：妙；拇e 的占一覆盖 ( z ，) l f ，ij 当0 o 和口 o 有 f g ) 一厂o 】- 4 x 一卅4g ，y e ) ( 2 9 ) 则称厂是一个日d 肠盯映射，并且对每一个j 有咖驴仁) ) c 咖日5 ) 。特别重要的 是，当盯= 1 时，即 i 厂0 ) 一厂】- 4 x - y ig ，y e ) ( 2 1 0 ) 则称厂为李h 希兹映射，且有h 1 u 仁) ) s e s 日 ) ： ( 7 ) 如果厂：e r 4 是双李h 希兹变换，即存在0 e l e 2 ，对一切x , y e ， 恒有 q i x - y l - l f 0 j ，且 以j 是e 的万一覆盖，有 x ) u , l 矿i u ，1 4 ( 2 1 3 ) ij 取下确界得，日；仁) 万。；( e ) 。令万一0 ，可见对于f s ，若日往) m ，则 日但) = o 。也就是说存在s 的一个f | 缶界点使得日5 p ) 从。o “跳跃”到o ，这个临界 值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记作d i m he 。 精确地 d i m 。e = i n f ：日仁) = o = s u p ：h 5 仁) = 。o ( 2 1 4 ) 所以 删= 信嘉二盏量e ( 2 - 1 5 ) 实际上，该定义回答了一个问题就是维数直接影响测度，如果s = d i m 。e ，则e 的j 维h a u s d o r f f 测度可以为零或者无穷大或者是一个正的有限值，如果e c r 4 为 波雷尔集，且有o j = d i m 。e 0 ，定义 彰仁) = i n f 篷慨：伽， 是e 的球的万一覆盖 ( 2 - 1 6 ) 可得到一测度掣= l i l n 抽。联 ) 及一个“维数，在这一点上b j 从o d 跳跃到o 。 显然，；仁) 彰忙) ，因为e 的球的j 一覆盖都是定义日；中的容许的覆盖，而且， 硕士擘值论文 m a s t e r st h e s i s 若 u ) 为e 的6 - 覆盖，则魍) 也e 是的万一覆盖，这里对每一f ，选取包含u 。的半 径为l u i l 占的某个球作为b i ，所以z i b , s x ( 2 1 v ；矿= 2 5 i u ，l ，取下确界得 日；p ) 2 5 ；亿) ，令艿哼。得到0 ) s b 仁) 2 h p ) ，特别地，由此推出h 5 与b 在同一数值s 上从m 跳跃到0 ，所以由这两个测度定义的维数是等价的。 2 3 4 维数的更精细定义 设h ：r + 专蠢+ 为一不增的连续函数，我们称h 为维数函数，对r 4 的任何子集 e ，类似于式( 2 7 ) ，给出定义 日；但) = i l l f 篷 u f ) ：阢降e 的占一覆盖 ( 2 1 7 ) i r h 4 仁) = 赎：仁) ，由此得到一个测度，( 若 o ) = f ，这是通常的s 维h a u s d o r f f 测度的定义) 若h 与g 为维数函数，满足当t 呻0 时， ( f ) g o ) _ 0 ，由类似于式 ( 2 1 3 ) 的讨论，若日s p ) 0 0 ，我们得到曰4 ( e ) = 0 ，所以维数函数可以分为两 类，一类是h 为有限的，另一类打5 为无穷的，这比数d i m 。e 给出了e 的更精细 的维数指标。 2 4 计盒维数 2 4 1 计盒维数的定义及等价定义 计盒维数也称盒维数，最先是由b o u l i g a n d 于1 9 2 8 年将m i n k o w s k i 容度应用于 非整数维的问题上引入的，而更一般的定义则由p o n t r j a g i n 和s c h n i r e l m a n 在1 9 3 2 年给出，这种维数的定义基于“用尺度6 进行量度”这样的思想，邵忽略尺寸小于 艿时的不规则性，并且察看当艿一0 时，这些测量值的状况如何。 定义2 4 设f 是r ”上任意非空的有晃子集， 0 p ) 是直径最大为艿，可以覆 盖f 的集的最少个数，则，的下、上计盒维数分别定义为 d i m 。f ：1 i m 划( 2 - 1 8 ) 。i 磊一l o g 艿 1 2 硕士擘住论文 m a s t e r 。s r h e s i s d i m b f = - 五l o g n , ( r ) ( 2 一1 9 ) 6 o l o g j 如果这两个值相等，则称这共同的值为f 的计盒维数或盒维数，记为 d i m 丹烛警 ( 2 _ 2 。) 在计盒维数的定义中，如果选用一些其它形式的覆盖，还可以得到以下等价定义： 定义2 5r 4 子集f 的下、上计盒维数由下两式给出： 鲍。f ：地掣( 2 - 2 1 ) d 一l o g d d i m 。，：l i - - ml o g n 8 ( f ) ( 2 - 2 2 ) 6 _ o 1 0 9 d f 的计盒维数由下式定义： d i m b f = 妞等 z s ， ( 如果这个极限存在的话) ，其中。( f ) 是下列五个数中的任一个： ( 1 ) 与f 相交的5 一网立方体的个数： ( 2 ) 覆盖f 的半径为艿的最少闭球数； ( 3 ) 覆盖f 的边长为万的最少的立方体数； ( 4 ) 覆盖f 的直径最大为万的集的最少个数； ( 5 ) 球心在f 上，半径为j 的相互不交的球的最多个数。 这种等价定义的作用在于：在鳃决实际问题时可根据需要来选择最合适的定 义。 还应当指出一种与计盒维数定义形式相当不同，但却完全等价的定义，这种定 义的方法得益于m i n k o w s l d 容量。设以表示与集合a 中的点的距离不大于万的集 合， 以- - 艇r 。：对于爿中的某前司工一爿s 碱立 ( 2 2 4 ) 则称a 6 为集合a 的占一平行体，考虑当万0 时以的露维体积收缩的速度。在r 3 中， 硕士擘位论更 m a s t e r st h e s i s 如果一是一个单点，则以是个体积为v o l ( a 。) = 导砸3 的球；如果a 是长度为，自q 线段，则以像根“红肠”，且v o l ( a ；) 爿j 2 ；如果a 是面积为口的平面区域，则a ； 本质上是爿的加厚，v o l ( a ；) 2 a j 。在上述每种情形中都有阳，) 硒“，其中 整数j 是a 的维数，所以j 的指数是维数的标志，而万“的系数c ，通称为m i n k o w s k i 容量，就是相应集的长度、面积和体积的量度。 命题2 1 设4 是r 一的子集，购 些小”一藏等掣 而a a = n - 嬲霉1 0 掣0 j oz 这里a 。是a 的艿一平行体。 证明见 1 5 。 由于上述命题，计盒维数有时被称为m i n k o w s k i 维数。 当计盒维数不存在时，贾, j d i m 。e s d i m s e 的s ，n s 仁p 可以取从。到o o 的 所有值，即对任意的c ，o c 0 ，满足胃5 仁) 亘婴：仁弦錾哩，仁眵，从而，h a u s d o r f f 维数与计盒 # o 4 维数满足下列不等式：d i m e d i m 口e d i m n e ，对任意的ecr “成立。一般情况 下，等号不成立，虽然对许多“相当规则”的集，二者是相等的，但也有大量的不 等号严格成立的例子。二者的差别可以通过对平面螺线的讨论看出：计盒维数较 h a u s d o r f f 维数更“细”。设p = 厂( 功，0 0 ，当口单调趋于o o 时，p 专0 ，某些曲 线如p 2 南10 非常“迅速”地趋于零，而另一些曲线如p 2 高l o g ( 20 却较“缓慢”+l 地趋于零，后者有填满原点附近区域的趋势，在这种意义下，这种慢速曲线类似于 局部2 维的集合。容易看出，这些曲线的h a u s d o r f f 维数均为l ，从而不能对螺线进 1 4 行分类，即这些维数太“粗”。螺线速度越慢，其计盒维数越大，这个例子表明， 即使满足二者相等的集合，它仍具有相当程度的复杂性，因此，在描述一个集合的 复杂性时，往往依赖于我们所选撰的维数的粗细。 2 4 2 计盒维数的性质 ( 1 ) r “上光滑的维子流形e ，d i m be = m ( 2 ) 垒殛b e 与d i m n e ；是单调的，即：若e c f ，则 d i m b e d i m 8 f d i m 口e s 面口， ( 3 ) d i _ m m 。e - 与d i m 。e 是李卜希兹不变的，即：若厂是李卜希兹映射，则 d i m 。，仁) = d i m 。e d i m 。但) = 五面， ( 4 ) d i m 口e 是有限稳定的，即 面己( e ur ) = m a x 陆以而i 。， 然而，鱼迪。e 却没有这个性质。 ( 5 ) 若e 是e 的闭包( 即包含e 的r ”的最小闭子集) ，则 d i m 口e = d i m 口e 及蕊。吾= 而。e 性质( 4 ) 限制了计盒维数的应用，为了克服困难，可考虑对于ecr ，将e 分解 成可数块巨，e 2 ，使得最大的一块具有尽可能小的维数，于是可得出如下修改的 计盒维数： d i r n m b e = i n f 鼍p d i m 。e l ：ec ( 2 - 2 5 ) 1 5 0 y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 舔m e = 砒卜而睥e c 0 e ) ( 2 - 2 6 ) ( - i = n 两式中的下确界是对e 的所有可能的可数覆盖弛j 取的) ，显然， 血m e 一d i m 口e 和一d i m u n e _ 一d i m 。e 。然而，如果e 是可数的，恰好可以取e 为单 点集，此时有亟鱼m e = 一d i m 肿e = 0 。进一步，对r “的任意子集e ，有 0 d i m e d i m m e d i m m n e 面。e扭l j 由式( 2 2 7 ) 知一d i m u s e - 一d i m b e ，从而有五丽口e = 五五m e 。对下计盒维数也有类 似的结果。 硕士擘住论文 m a s le rsr h e s i s 第三章一类高维c a n t o r 型集合的交集的性质 3 1 自相似集 自相似集是一类最重要和最典型的分形集，尤其是满足开集条件的自相似集， 它是s 一集，并且它的维数等于自相似维数。但是，就是这样一类比较规则的分形， 要计算它的测度仍然是很困难的。到目前为止，只有少数特殊的自相似集的测度被 确定或是被估计。 3 1 1 自相似集的定义 设d 是足“的闭子集，映射s ：d 专d 称为d 上的压缩映射，如果存在一个常数 c ，满足o c l ，使得对于所有d 上的x ，y ，有i s g ) 一s l d x - y l 。如果等号成 立，即如果p g ) 一s l = c 卜一爿，则称映射s 是相似的，此时，s 把集d 变成几何 相似集。 设p ；乙。是一族压缩映射，且对应的压缩比为q ，如果存在唯一的非空紧集f 满足 f = u s ，( ，) 则称f 是对于压缩映射族的不变集。如果p ，) 。一是相似映射族，则称f 是自相似 集，它是一些与总体相似的较小的相似部分的并。 设毽) 。是r “上的一族压缩映射，如果存在非空的有界开集矿，使得 0 墨缈) 亡妒：s , ( v ) n s a v ) = ，j ( 3 一1 ) i - l 则称墨满足开集条件；若墨互不相交，则称s i 满足强分离条件。显然，若s 满足强 分离条件，自然也满足开集条件。 3 1 2 自相似集的性质 定理3 1 假设r n 上的相似映射墨满足开集条件，且压缩比为c , o s i 所) ，如 硕士学位论文 m a s t e r l st h e s l s 果f 是不变集，即满足，= u s 伊) ，贝j j d i m 。f = d i m 。f = s ，其中s 由0 = l 确 i ；li = l 定，并且对这个值5 ，有o 日p ) 0 ，有 目；p ) = h 扩) ( 3 ) 对任意开集y ，有h 。p n v ) - m 定理3 3 6 1如果f 是满足开集条件的自相似集，d i m f = j ，则有 ( 1 ) h 旷) = 日：( ，) 唧 帮：啪一) = t 3 2 高维c a n t o r 型集合的构造 设n ，3 ，记s ( ) = 鼍o ，l ，| v ，s ，f 一= 歹蕊，定义： ( i ) q 。p ”) = p = p ( 1 ) 盯( 2 ) ，) ：盯o ) f “ ； ( i i ) 对七n ，令q ( ，“) = p = p 盯( 2 ) l ，盯伍) ) ：盯( ，) ，4 ； ( i i i ) 盯i = ( 盯( 1 l 盯( 2 ) ，盯 l f ) ，其中盯= ( f ( 1 l 盯( 2 l ，盯伍) ) q p 8 ) ； ( i v ) 盯陋= p 盯( 2 ) ，盯( 七) ) ，其中d q 。仁“l 七n ； ( v ) 对盯q ( ，“) ，l b ) = 丘( ，) 。l ( ：) 。丘” 在不引起混淆的情况下，s ( ) 可简记为s ，q 。p ”) 和q p 。) 也可简记为q 。和 q t ，并称盯( f ) 为盯的第f 个分量。考虑d 一：万茄，( d ：【0 ，1 d 上的自相似映射 z g ) = 以鼢 g 。”= ，他，织) + 詈( 3 - 2 ) 硕士擘位论文 m a s t e r l st h e s i $ 其中，q = k 。，n 一，j ，g ) = 触，+ 鲁，= l ，2 ，一。 定义3 1 设e 0 ) 为映射族z ，( f ac _ s ，= 1 ，2 ，n ) 的菲空不变紧子集，且 e 0 4 ) = e 0 ) e 0 ) ，则e 0 “) 为映射族z ( fe ，4 s ) 的唯一非空不变紧子集， 称e 0 “) 为r “空间上的一类c a n t o r 型集，在不引起混淆的情况下，简记为e 。 3 3 集合e n 吃的维构分析及它的分形维数 对于口【- 1 ，1 p = 1 - 1 ，1 x x b l ，1 】，设见= 扛+ 口：x e ，记 a a = d l ，口2 ，2 ，_ i k l s ，其中口f a 一爿并记d = c a r d 2 i ， d + = m a x 氇：七4 ，口= m i n k ：七毫一 ，掰q f ) = c a r a ( 月n 0 + 口f h l j 0 ；( ) ! 骢s u p ，彬f p ) = o ，则有d i m 。f = ! ， 此处：l 。i 堕_ m ， 满足卉l 兰( f y f - l 。 瑚 f = ll ，= 1 j 定理3 5 设映射族z ，f ( a - 爿y 相对于开集( - 艿，艿y 满足开集条件，若 盯：( 盯( 1 ) ，盯( 2 l ) 伊一白) n q 4 缸一彳y ) ，即盯= ( 盯( 1 ) 盯( 2 ) ) 为口e e 落在 q 4 缸一爿y ) 中的一个位置码，则 d i i n 。口n e o ) = d i m 。陋n 疋) = 地 j m b 抽血m ) 1l o g n n m ) l 户i 七 j 一 ( 3 4 ) - l 0 9 3 其中盯o ) = b 8 ，盯搿) a 。 证明设口有两个不同的位置码落在q 。缸一彳) “) 中，则e n 乜为一有限集且 由命题3 3 ，命题3 4 及所p 一d ) = 肌( d 一d ) = l 有 捌o m 一1 l i r n 。 型一一- l 0 9 2 , o - + 疗 当口仅有一个位置码落在q 。一一) 4 ) 时，由命题3 3 可知e n 取为一广义 m o r n 集，由满足定理3 4 条件的映射族所生成，且气=b 伯卉j - i 朋) 。 l 。1 1 f 一- l o g a , 。 注意当所有映射具有相同的相似率五时，：营d i m 。国n 疋) = 垂鎏。岱n 毛) 1 ， 啡也眦垤虫l o 掣m 而1 + k l o z 盯：( 盯( 1 l 盯( 2 l ，圹0 ) ) 妒一1 仁) n q m 心一爿r ) ，口e e ，则 硕士肇住论文 m a s t e r st h e s i s d i mh ( e n e , 。) = d i mhe ，且h a u s d o r f f 燃 丑s q n 疋) ：ln 建埘蹦卜日誓) l i - ，；j 这里s = d i m e 。 ( 3 - 5 ) 证明当p = 1 时，则盯= p ( 1 ) ) 伊一t q ) n q 。( ( 4 一一y ) ，将e 的一阶基本栉维 超闭立方体平移d ( 1 ) 单位后褥到口的阶基本行维超闭立方体，它和e 的一阶基本 行维超闭立方体有立埘( a 甜i ) 个边长为五的超闭立方体重叠，由此可得 日往n 疋) = 匝m ) 日。= 1 ：i m ) 刀日 c s 嘞 假设p = k 时，结论成立。当伊= p 口( 2 ) 盯 + 1 ) ) 时， 记 f = p ( 2 ) ，盯( 3 l 盯 + 1 ”，用e 4 表示某个一阶基本n 维超闭立方体( 边长为兄) 中 所包含的不变紧子集e ，它在平移妒( f ) 个单位后得到彰= 妒( f ) ) ，从而有 日仁2 n 鄙) = 池n 碱) = 冉鞋m p f ； ) 胪日( 旭) c s 一， 类似前面的讨论有 日，仁n 疋) ：陋埘纯i ) 1 日，似n 饵) ：n 矗掰) b - ，( 姐) l j ；】 j l l - j = 1j 由数学归纳法知，对任意自然数p ，( 3 5 ) 式成立，因此d i m ，陋n 玩) = d i m e 定理3 7 对任意的自然数p ，若口e e ， 口：( 盯( 1 l 盯( 2 l ，盯( p ) ，盯( 1 l 仃( 2 l ，盯0 ) ，仃( 1 ) ，叮( 2 ) ，盯o ) ) 妒一t ( 口) n o 。缸) ”) ， 即自然码序列口以仃 盯( 2 l