2018上海高三数学二模---函数汇编.doc

2018上海高三数学二模函数汇编（2018宝山二模）10. 设奇函数定义为，且当时，（这里为正常数）若对一切成立，则的取值范围是 .答案：（2018宝山二模）15.若函数满足、均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）为奇函数 为偶函数 为奇函数 为偶函数答案：C（2018宝山二模）19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为（单位：千克/年）养殖密度为（单位：尾/立方分米）。当不超过时，的值恒为；当，是的一次函数，且当达到20时，因养殖空间受限等原因，的值为0.（1）当时，求函数的表达式。（2）在（1）的条件下，求函数的最大值。答案：（1）；（2）千克/立方分米（2018虹口二模5） 已知函数，则 【解析】，（2018虹口二模11） 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是 【解析】当，；当，满足条件的所有实数解为或（2018虹口二模21）已知函数（R，R），（R）.（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；（2）判断在和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数存在零点，使得成立的充要条件是.【解析】（1）；（2）根据单调性定义分析，在上递减，在上递增；（3）“函数存在零点，使得成立”说明成立，根据无穷等比数列相关性质，结合第（2）问，在上递减，在上递增，反之亦然. （2018杨浦二模1）函数的零点是 答案： （2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润 (单位：元）与营运天数满足 . （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令， 2分 解得. 5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .7分（2） 9分 当且仅当时等号成立，解得 12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .14分（2018杨浦二模21）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.【解】（1）是函数 . 1分理由如下：的定义域为，只需证明存在实数，使得对任意恒成立.由，得，即.所以对任意恒成立. 即 从而存在，使对任意恒成立.所以是函数. 4分（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，即恒成立.所以， 5分化简得，.所以,.因为，可得，,即存在实数，满足条件，从而是函数. 10分（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，所以 （1）， 12分又因为 （2）， 所以当时，由（1 ） 由（2） （3）所以（取由（3）得）再利用（3）式，.所以为周期函数，其一个周期为. 15分当时，即，又，所以为常数.所以函数为常数函数，是一个周期函数. 17分综上，函数为周期函数。 18分（2018黄浦二模3）若函数是偶函数，则该函数的定义域是 答案：（2018黄浦二模6）方程的解 答案： （2018黄浦二模12）已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是 答案：.（2018黄浦二模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)已知，线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度 (1)求关于的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值解 (1)根据题意，可算得弧()，弧(). 又， 于是， 所以，. (2) 依据题意，可知 化简，得 . 于是，当(满足条件)时，(). 答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米. （2018黄浦二模20）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知函数 (1) 求函数的反函数； (2)试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程的三个实数根满足: ，且，求实数的值解 (1) 当时，. 由，得，互换，可得. 当时，. 由，得，互换，可得. (2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.设点是函数图像上关于原点对称的点， 则，即， 解得，且满足 . 因此，函数图像上存在点关于原点对称. (3) 考察函数与函数的图像，可得当时，有，原方程可化为，解得，且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得(当时，).于是，. 由，得，解得. 因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数. （2018静安二模3）函数的定义域为 答案：（2018静安二模16）已知函数，实数满足，则的值（ ）A一定大于30 B一定小于30C等于30 D大于30、小于30都有可能答案：B（2018静安二模21）(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)设函数（为实数）. （1）若，解不等式；（2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围；（3）设，若存在使不等式成立，求的取值范围解：（1）由得，1分解不等式得 4分（利用图像求解也可）（2）由解得由得，当时，该不等式即为； 5分当时，符合题设条件；6分下面讨论的情形，当时，符合题设要求；7分当时，由题意得，解得；综上讨论，得实数a的取值范围为 10分 （3）由，12分代入得，令，则， ，15分若存在使不等式成立，则1（2018闵行二模4）定义在R上的函数的反函数为，则 【解析】（2018闵行二模10） 若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 【解析】分类讨论，当时，没有最小值，当时，即有解，综上，（2018闵行二模16） 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数（）和偶函数（），使得函数（）是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数，但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在（）处均取到最大值，但在处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】命题1：，；命题2：，；命题3：，；均为真命题，选D（2018闵行二模19）某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间（）天的关系满足：，（），产品A每件的销售利润为（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）（2），第5天到第15天（2018青浦二模10）已知是定义在上的奇函数，当时，函数. 如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 答案： （2018青浦二模15）已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有给出以下三个命题：直线是函数图像的一条对称轴；函数在区间上为增函数；函数在区间上有五个零点问：以上命题中正确的个数有（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个答案：（2018青浦二模20）(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设函数（1）求函数的零点；（2）当时，求证：在区间上单调递减；（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围解：（1）当时，函数的零点为； 当时，函数的零点是；当时，函数无零点；（2）当时，令任取，且，则因为，所以，从而即故在区间上的单调递减当时，即当时，在区间上单调递减；（3）对任意的正实数，存在使得，即，当时，即在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以，又由于，所以（2018崇明二模9）设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，则函数在上的解析式是 答案： （2018崇明二模20）（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）已知函数（1）证明：当时，函数是减函数；（2） 根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，且20. 解：（1）证明：任取，设，则因为，所以，又所以，即 3分所以当时，函数是减函数 4分（2） 当时，所以，所以函数是偶函数 1分当时，所以函数是奇函数 3分当且时，因为且所以函数是非奇非偶函数 5分（3） 证明：由（1）知，当时函数是减函数，所以函数在上的值域为，因为，所以存在，使得. 2分假设存在使得，若，则，若，则，与矛盾，故是唯一的 5分假设，即或，则或所以，与矛盾，故 7分（2018奉贤二模9）给出下列函数：；从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 【参考答案】： （2018奉贤二模18）已知函数，.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知在上单调递减，求实数的取值范围.【参考答案】：（1）函数定义域为1分 不是奇函数2分 ，令恒成立， 所以当时，函数为偶函数；4分 当时，函数是非奇非偶函数。1分说明：定义域1分，说明不是奇函数2分，说明偶函数4分，结论1分（2） 【方法一】 对任意，且，有恒成立 2分 恒成立2分 2分 【方法二】设，则，当时，函数在上单调递减，所以满足条件。2分当时，时单调递减，单调递减，2分2分（2018金山二模2）函数y=lgx的反函数是 答案：（2018金山二模21）(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”(1) 判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f(x)=(x1)2在定义域m，n(m1)上为“依赖函数”，求实数m、n乘积mn的取值范围；(3) 已知函数f(x)=(xa)2 (a1，f(x)=(x1)2在m，n递增，故f(m)f(n)=1，即(m1)2(n1)2=1，5分由nm1，得(m1) (n1) =1，故，6分由nm1，得1m2，7分从而在上单调递减，故，9分 (3) 因，故在上单调递增，从而，即，进而，解得或(舍)，13分从而，存在，使得对任意的tR，有不等式都成立，即恒成立，由，15分得，由，可得，又在单调递增，故当时，从而，解得，故实数的最大值为18分（2018浦东二模4）已知是函数的反函数，则_.答案：（2018浦东二模11）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意， 恒成立，则实数的取值范围是_.答案（2018浦东二模12）已知函数.若对于任意的正整数，在区间上存在个实数使得成立，则的最大值为_.答案：（2018浦东二模20）（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知函数定义域为，对于任意恒有；（1）若，求的值；（2）若时，求函数的解析式及值域；（3）若时，求在区间上的最大值与最小值.解：1）且1分1分1分1分2）时，1分时，1分1分时，1分1分得：，值域为1分3）当时，得：当时，1分当时，2分当，为奇数时，当，为偶数时，综上：时，在上最大值为0，最小值为1分，为偶数时，在上最大值为，最小值为1分，为奇数时，在上最大值为，最小值为1分（2018普陀二模2） 若函数是奇函数，则实数_.答案：（2018普陀二模3）若函数的反函数为，则函数的零点为_.答案：（2018普陀二模20）（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）若函数，求实数和的值；（2）当时，若，求函数在闭区间上的值域；（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.解：（1）由得，对恒成立，即对恒成立，则，2分即. 4分（2）当时，2分当时，即，由得，则，3分当时，即，由得，则， 4分当时，即，由得， 5分综上得函数在闭区间上的值域为. 6分（3）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，当时，则，即.2分由得，则函数是以为周期的函数. 3分当时，则，即.5分即，则函数是以为周期的函数.故满足条件的函数为周期函数. 6分（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，当时，对，有，对，有，则不可能；当时，即，由的值域为得，必存在，使得，仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.（2018徐汇二模3）函数的定义域为_答案：（2018徐汇二模11）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是 答案：（2018徐汇二模19）(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数，其定义域为， (1) 当时，求函数的反函数； (2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围【解】(1) ； -6分(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8分 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10分 当，即