（应用数学专业论文）两类具有年龄结构的n种群竞争系统的最优输入率控制.pdf

两类具有年龄结构的几种群竞争系统的最优输人率控制 摘要 生物资源的价值早已经被人们所认识，而且越来越受到人们的关注作为一种可 再生资源，生物资源不仅具有极高的经济价值，对生态环境的价值更是无法估量，但是现 在的形势足生物资源正在急剧减少，生态环境也在急剧恶化，因此为了实现生物资源的可 持续发展，我们需要对生物资源进行合理利用种群系统的最优控制就足利用数学的方法 来研究种群的发展和控制，而且它还足控制论中一个十分活跃的领域，国内外的许多学者 在从事这方面的研究并且取得了很多成果考虑到现实中同一环境下存在多个种群，本文 研究了具有年龄结构的扎种群竞争系统的最优输入率控制问题依据内容，本文分为三个 部分： 第一部分足前言它主要介绍了本文选题的背景和意义，种群系统模型及其研究现状 以及一些预备知识 第二部分讨论了一类具有年龄结构的n 种群竞争系统的最优输入率控制问题综合 运用e k e l a n d 变分原理，g r o i l w a l l 引理，b e l l m a n 引理，f i a t o u 引理，不动点定理和共轭系统 等方法，证明了最优控制变量的存在唯一性，并借助于法锥原理得到了控制问题的最优性 条件 第三部分讨论了一类具有年龄结构的带扩散的，t 种群竞争系统的最优输入率控制问 题给出并分析了模型的共轭系统，利用法锥原理得到了控制问题的最优性条件 关键词最优控制；竞争系统；最优输入率；法锥原理；共轭系统 t h eo p t i m a li n p u t t i n gr a t ec o n t r o lf o rt w oc l a s s e so f a g e 卜d e p e n d e i l tc o m p e t i n gs y s t e mo fns p e c i e s a b s t r a c t t h ev a l u eo fb i o l o 舀c a lr e s o u r c e sh a si o n gb e e nr e c o g i l i z e d ，a i l dm o r ea i l dm o r ep e o p l e s a t t e n t i o nf o c 峭0 ni t a sar e n e w a b kr e s o u r o e ，b i o l o 百c a lr e s o u r o e sn o 乞0 n l yh a 、r ee ) ( t r e m e l y h i g he c o n o i i l i cv 砒u e ，b u ta l l s oh a v ei i i l m e 瓣l r a b l ev 可u ef b re c o l o 百c a le i l v 主r o n m e n t t h ep r 豁e n t s i t u a t i o ni st h a tb i o l 孵c 以r e 8 0 u r c 鹤a r er e d u c i l l gr a p i d l y 姐dt h ee c o l o 舀c a le n 访r o n m e n ta l s o h 嬲b e e nd e t 砸o r a t e ds h a r p l y - t h e r e f 撕e ，t oa c h i e v et h es u s t a i n a b kd e v e l 叩m e n to fb i o l o 百c 砒 r 嗍1 r c e s ，i tm u s tb er a t i o n a l l yu s e d t h eo p t i m 8 lc o n t r o lp r o b l e mo fp o p u l a t i o nd y n a m i c s s y s t 锄s t u d i e sp o p u l a t i o n sd e v e l o p m e n ta n dc o n t r o lb ym a t h 哪a 土i c a lm e t h o d s ，a i l di ti sa n a c t i 、，ef i e l di nc o n t r o lt h e o r y a th o m ea n da b r o a dm a n ya c 孤拈m i c i a 璐t r yt h e i rb e s tt or e s e a r c h t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fp o p u l a t i o nd y n a m i c ss y s t e ma n do b t a i l lal o to fa c h i e v e m e n t s t a k i n gi n t oa u c c o u n tt h er e a l l i t yt h a tt h e r ee 】( i s tm u l t i p l ep o p u l a t i o n si nt h es 锄ee n v i r o n m e n t ， i nt h ep a p e rt h eo p t i m a li n p u t t i n gr a t ec o n t r o lp r o b l e mf 6 ra 刚印e n d e n 七咖p e t i n gs y s t e mo f ns p e c i e si sr e s e a r c h e d a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t s ，t h i sp a p e ri sd i v i d e di i l t ot h r e ec h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，i ti n t r o d u c e st h eb a 出g r o n n da n ds i g n i a i l c e ，t h em o d e lo fp o p u l a t i o n d y n 锄i c ss y s t e m ，t h ep r e s e n ts t u d yo fp o p u l a t i o nd y n 锄i c ss y s t e ma 七h o m ea n da b r o a da n d t h ep r 印a r a t i v et h e o r 洒 1 nt h es e c o n dc h 印t e r ，t h e0 p t i m a li n p u t t i n gr a t ec o n t r 0 1p r o b l e mf | 0 rac l a s so fa g e i d e p e n d e n tc o m p e t i n gs y s t e mo f 扎s p e c i e si sd i s c u s 鼬d b ym e a n so fe l 【e l a n d sv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e ，g r o n w a ul e m m a ，b e l l m a nl 啪m a ，f 砒o ul e m m a ，t h eb a n a c 魅舣e dp o i n tt h e o r e m ， c o n j u g a t e ds y s t e m a n ds oo n ，t h ee ) c i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eo p t i m a lc o n t r o la r ep r a v e n ， f u r t h e r m o r et h en e c e s s 7c o n d i t i o no ft h eo p t i m a lc o n 七r o lp r o b l e mi so b t a i n e db yt h ec o n c e p t i o no fn o r m a lc o n e i nt h et h i r dc h a p t e r ，i ti sa b o u tt h eo p t i m a li n p u t t i n gr a 上ec o n t r o lp r o b l 锄f b rac l a s s o fa g e - d e p e n d e n tc o m p e t i n gs y s 乞e mo fns p e c i e sw i t hd i 目沁s i o n t h em o d e lo ft h ec o l l j u g a t e d s y s t e mi s 百v e na n da n a l y z e d ，m o r e o v 盯t h en e c e s s a r yc o n d i t i o no f 叩t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi s d b t a i n e db yt h ec o n c e p t i o no fn o r m a l lc o n e k e y w o r d so p t i m a lc o n t r o l ；c o m p e t i n gs y s t e m ；叩t i m a li n p u t t i n gr a t e ；n o r m a lc o n et h e o r e m ；c o n j u g a 乞e ds y s t e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得墨鲞! 至整盘堂或其它教育机构的学位或证二传而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范人学有关保留、使刚学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采州影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供奄阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： lj 赵吞日期：乏旦121 ： 第一章前言 1 1 选题背景和意义 二十世纪以来，随着科技的进步，世界经济得到了飞速的发展，人们的物质生活得到 了极大的丰富，但同时我们所生存的环境却遭到了严重的破坏，气候异常，雨、雪等灾害频 发，更为严重的足地球上的生态环境在急剧恶化，生物物种每天都在消失近些年来，随着 人们环保意识的增强，越来越多的人们开始关心生态环境，可持续发展也已经成为越来越 多的国家关注的主题，而生物资源作为一种可再生的资源，对经济的可持续发展和生态的 平衡意义重大 种群生态学主要是研究生物种群的变化规律及其对生态环境的影响，作为生态学的 一个重要分支，它足迄今为止数学在生态学中应用的最为广泛和深入，也是发展的最为系 统和成熟的一个分支而生物种群动力系统的控制问题主要是利用数学模型的方法揭示 种群的发展动态及预测其未来的变化，因此可使我们能够采取有效的措施进行控制，使其 向着好的状态发展，这对我们来说具有重大的应用价值 种群系统的最优控制就足数学在种群生态学上的一个重要应用，它主要应用数学中 的控制理论，简单的说就足通过对种群系统施加控制作用，从而使我们能够以最小的代价 获得最大的收益 1 2 种群系统模型及其研究现状 对种群动力系统的最优控制问题的研究已经有半个多世纪了，从1 9 6 6 年l e 触i t c h 首先分析了一个具有离散年龄结构的种群模型的最优收获控制问题f 3 】以来，众多学者得 到了很多重要的成果1 9 8 0 年，c r d r r e s 和w f a i r 开始讨论具有连续年龄结构的最优收 获问题【4 】，但他们假设控制策略只与年龄有关1 9 8 5 午德国学者b r o l c a t e 研究了一个比 较一般的具有年龄结构的种群动力系统的最优控制f j 题【6 】，证明了控制问题的p o n t r y a 百n 极大值原理1 9 9 0 年，l f m u r p h y 和s j s m i t h 讨论了具有年龄结构的时变种群系统的最 优收获问题【l o i 罗马尼亚学者s e b a s t i a na n i t a 在1 9 9 8 年分别讨论了非线性种群系统和线 性时变周期种群系统的最优收获问题【1 4 】一【蚓，并且a n i t a 编写的一本名为具有年龄结构 的种群动力系统的分析与控制【l6 】的专著在2 0 0 0 年得到出版 在国内也有很多学者从事这方面的研究，得到了很多成果2 0 0 1 年，陈任昭，李健全， 付军利用抛物型偏微分方程的有关理论，证明了一类与年龄相关的非线性时变种群扩散 方程广义解的存在性问题【1 8 i 2 0 0 2 年，陈任昭，张丹松，李健全研究了具有空间扩散的种 群系统解的存在唯性与边界控制问题【2 l 】2 0 0 3 年，何泽荣，王绵森研究了一类非线性周 期种群的最优收获控制问题f 2 4 】2 0 0 4 年，赵春，王绵森何泽荣，赵甲研究了一类周期种群 系统的适定性及最优控制问题【2 7 i 2 0 0 5 年，赵春，王绵森，赵平研究了一类非线性时变种 群扩散系统的适定性及最优收获问题【3 l 】2 0 0 6 年，何泽荣，朱广田研究了基于年龄分布和 加权总规模的种群系统的最优收获控制问题【3 7 】2 0 0 8 年，王战平，赵春讨论了一类周期种 群系统的稳定性和最优控制问题，并利用l y a p u n o 、r 函数，对系统的稳定性进行了分析， 给出了系统稳定的充分条件 上面的这些成果都足关于单种群的，而实际中在同环境下可能会有两个或更多的 种群同时存在虽然多种群的最优控制问题的研究比较困难，但我们还足得到很多成果 1 9 9 7 年，f i s t e r 研究了一个捕食者一食饵抛物型系统的最优收获阿题【1 3 1 2 0 0 4 年，f 斌e r 和 l e n h a r t 研究了下面竞争种群系统的最优收获问题【2 8 1 m a x z tz a 【k ( 。) ，( n u ( 。，t ) + 鲍( n ) 9 ( q ，t ) u ( n ，) 一去( b t ，2 ( n ，t ) + 玩9 2 ( 口，啪】d 8 d t ， 其中( u ( 口，t ) ，移( n ，) ) 为下列系统的解 笔+ 謇叫小问州札一u 小咖蜩z ， 塞+ 害一z 瓴咖一一掣z a 眯“( 删z ， ， u ( o ，z ) = 历( n ) u ( n ，) d o ， ，a t ，( o ，f ) = 仍( n ) u ( 口，) d n ， “( n ，o ) = u o ( a ) j 口( 8 ，o ) = t ，0 ( n ) 文章中证明了系统解的存在唯一性和解关于控制变量的连续性，给出了控制变量的最优 性条件，并利用e k e l a n d 变分原理证明了最优控制变量的存在性 在同一年，何泽荣研究了具有年龄结构的竞争种群系统的最优生育率控制问题嘲， 在这篇文章中他研究了三类最优控制问题 ( 1 ) m i n z t 伽剐轨椭p 1 ( 州融以伽础+ 圭娄小耻酬2 d 口 ( 2 ) m i n l ( 口l ( ) 膨( f ) ，p 1 ( o ，t ) ，耽( ( ，t ) ，口，) d ( 1 眦： ，丁厂a ( 3 ) m i n ( 侈1 ( f ) 岛( f ) ，p l ( 口，) ，优( n ，t ) ，q ，f ) d 仃d ， 2 其中鼽( 口，) 是下列系统的解 梁+ 梁：一p l ( 州) p l a l ( 州) p 2 ( ) m 丽+ 瓦。一p l 心，t ) p l a l 【o ，o j 圪p l 梁+ 等：一p 2 ( 口，) p 2 一a 2 ( 州) p 1 ( ) 聊， 刁i + i f2 一p 2 【口，。忱一、2 【口，o ) h 【j 聊， ，口2 段( o ，) = 屈 ) m i ( o j ) 鼽( 口，t ) d n ， ，口l 仇 ，o ) = 舶( 乜) ， ，a 咒( ) = 胁( 8 ，) d a ， 江1 ，2 文章中证明了系统非负解的存在唯一性，解对控制变量的连续依赖性和最优控制变量的 存在性 2 0 0 5 年，赵春，王绵森，赵平研究了具有年龄结构的带扩散的捕食者一食饵种群系统 的最优收获问题【3 2 】 s u p 【t 1 1 ( 口：z ) 硝( n ，z ) + t 1 2 ( n ，t ，z ) p ( n ，：z ) 】d 口d t d z ， ，口 其中仇( o ，) 满足下列系统 鲁+ 鲁一k ，p 。= 柏( 州p t 呐( 州跳，咖。+ u l ( 蛳砌， 警+ 警一鲍陇= 一以州，z 溉一姒州一只( f z 地+ u 2 ( 州，z ) p 2 ， ，a 仇( o ，z ) = 岛( 口，z ) 仇i ( 口，z ) 胁( n ，z ) d o ， ，0 纯( n ，o ：z ) = 胁o ( n ：z ) ， 孚：o ， ，a 只( t ，z ) = 纯( 8 ，t j z ) d 口， = 1 ，2 文章中利用不动点定理证明了系统解的存在唯一性，利用m a z u r 定理证明了最优控制变 量的存在性，并给出了最优性条件 2 0 0 6 年，雒志学研究了具有年龄结构的礼种群竞争系统的最优收获问题嘲 m a x 宴z t z 口+ 吼( 。，t ) t 屯( ，t ) 衅( ，t ) d “d t ， 3 其中群( o ，t ) 足对应于控制变量仙的下面系统的解 鲁+ 鲁叫州h 小m 一居焘；龇蝴驴叫州慨， p i ( o ，) = 聩( ) m t ( 口，) 优 ，f ) d f l ， 成( n ，o ) = 胁o ) ， r ( ) = 鼽( 口，t ) d n ，l = 1 ，2 ，n 文章中利用不动点定理证明了系统解的存在唯一性，利用m 铊l l r 定理证明了最优控制变 量的存在性，还给出了最优性条件 2 0 0 8 年，雒志学又研究了具有年龄结构的带扩散的n 种群食物链系统的最优收获问 题【4 2 】 三zz 。上g ( 刈m 如 州0 d 捌砌以 其中硝( n ，) 尾对应于控制变量就的下面系统的解 杀+ 鲁一七。却= ( 口 z ) 一州州卅p t 一州州，z ) 忍似咖- 一州。 咖l ， 鲁+ 等一如巧= 乃( n z ) 一如( n ，z 肪+ a 巧一。( 口 f z ) b 一- ( ，z 切 一a 一1 ( n ，z ) 弓+ l ( t ，z ) 巧一吻( d ，t ，z ) p j ， j = 2 ，3 ，扎一1 ， 鲁+ 鲁一k = 厶( 钒t ，z ) 一芦。( n z ) + a z 。一。( 口，t ，z ) r 一( z ：z ) 肌一乱n t ，z ) ， ，n + 眈( o ：，z ) = 屈( n ，f ，z k 毪( n ，f ，z ) d n ， ，0 p i ( n ，o ，z ) = 见o ( o ，z ) ， ，o + r ( ，z ) = 砘( n ，z ) d o ， i = 1 ，2 ，n ，o 2 0 0 8 年，何泽荣等研究了具有年龄结构的竞争种群系统的最优生育率控制问题 4 3 1 m i i lz t z a l ，( 。，沈( 。，c ) ，尻( 班伤( 啪d 。d ， 其中纯h ) 满足下面系统 鬻+ 象= 呐( 州) p l - 幔( ) m 娑+ 娑：一肛2 ( 。，) 耽一a 2 ( n ) r ( ) 现， 面+ 瓦5 一肛2 【o ，o ) 耽一a 2 l n 。) 以【。j 现， ? 气( o ，) = 角( ) 7 n ( n ) p ( n ，) d n ， ，口1 纯( ，o ) = 西( o ) ， ，a 只( t ) = 纯( 口，t ) d a ， i = l ，2 4 1 3 本文的主要结果 现实生活中，会有多个生物种群生活在同一环境中，因此对多种群系统的研究正在成 为种群系统研究的一个热点本文选取环境输入率作为种群系统的最优控制问题的控制 变量，综合运用多种方法，对具有年龄结构的n 种群竞争系统的最优输入率控制问题进行 了研兖本文的研究内容主要分为两部分，分别是本文的第二章和第三章在第二章，对于 具有年龄结构的n 种群竞争系统，证明了系统的解对控制变量的连续依赖性，借助于法锥 原理得到了最优性条件，并利用下半连续，e k e l a n d 变分原理，g r o n w 面l 引理，b e l l m a n 引理 和共轭系统证明了最优控制变量的存在唯一性考虑到空间扩散对种群系统的影响在第 三章，讨论了一类具有年龄结构的带扩散的n 种群竞争系统的最优输入率控制问题利用 g r o n w 址l 弓f 理，b e l l i n a n 引理，共轭方程，法锥原理等数学知识和方法，得到了控制问题的 最优性条件 1 4 预备知识 引理1 1 ( g r o 肿旧n 引理) 设z ：【n ：6 1 _ j f 2 ( n b r ，口 o ，满足 ，( u ) i n f ，( z ) l z x ) + ，t l x ， 则对任意的a o ，存在t 。x ，使得 ，( “。) ，( t ) ， d ( ，t ) a ， ，( z ) ，( 牡。) 一e a 一1 d ( t 培，z ) ，v z x t 魄】 引理1 4 如果z l 1 ( q t ) ( q t = ( o ，a ) ( o ，r ) ) 满足 五t 瞰螂，( 州) 刊嗄酬胁d f 。， 对于托俨= l 。( q 丁) i ，l ( 8 ，t ) o ，若“( o ，) = o ；，i ( n ，t ) o ，若牡( 乜，t ) = l ) ，那么存 在f l 。o ( q r ) ，使得蚓l 沪( q r ) 1 ，并且一z + ，y f 舫( “) 定义1 5 设x 足b a n 础空间，函数妒：x _ 冗，z o x 若对x 内收敛到z o 的任 意点列 z 。 ，有 l i mi n f 妒( z n ) 妒( z o ) ， 则称9 ( z ) 在点z o 处下半连续若妒( z ) 在x 内任意一点处都足下半连续的，则称妒( z ) 在 x 上下半连续 定义1 6 ( 切锥与法锥) 设“u = t ，l 2 ( q ) h 1 ( o ) ”( 口，) 7 2 ( n ) n e ( 口，) q ， 其中q = ( o ，a ) ( o ，t ) ，1 l ( ) ，倪( ) 足给定的可测函数且 l ( o ) ，2 ( 口) ，yn e o ( o ，a ) ( 1 ) 切锥勋( 札) ：v t ，l 2 ( q ) ，”而( 仳) 当且仅当 妒( 口? ) o ，女果“( n j ) = 7 1 ( o ) ， ( n t ) o ，如果u ( o ，t ) = 忱( n ) ( 2 ) 法锥，( u ) ：v t l “肌，( ) 当且仅当 ( n ，) so ，如果( n ：，) = 1 1 ( 仃) ， 札( n ，f ) = o ，如果1 1 ( n ) t i ( n ，) 倪( n ) ， 札( f l ，) o ，如果乱( n ) = 他( n ) 6 第二章一类具有年龄结构的n 种群竞争系统的最优输人率控制 2 1引言 二十世纪以来，经济的快速增长对各种自然资源的需求越来越大，同时也对各种自然 资源造成了很大的破坏，尤其足生物资源，因此人们对生物资源的保护和合理利用更加重 视种群动力系统的最优控制就是利用数学的方法来研究种群的最优控制问题，其中对单 种群系统的研究取得的成果已经较为完善，文献f 16 】对其做了一个很好的总结近年来国 内外许多学者开始研究多种群的最优控制问题，文献 2 8 l ，f 叫和【4 l 】研究了由两个种群 构成的系统的最优控制，文献【3 5 】和【4 2 】研究了n 种群系统的最优收获控制，本章讨论下 面具有年龄结构的扎种群竞争系统的最优输入率控制问题 考虑如下的数学模型 鲁+ 等如驴七壶龇懈肘州) ，( 州瑚， ，a 仇( o t ) = 危( ) z m ( 吼d 鼽o 。) d 口， 胁( 口，0 ) = p l o ( o ) ， ，a 咒( t ) 。z 肌( f ) d i = 1 2 ，l 。( o ，丁) ， ( 2 1 ) 口( 0 ，a ) ， ( o ，丁) ， 其中q = ( o ，a ) ( o ，丁) ：( o ：a ) 表示年龄，( 0 ，丁) 表示时间，常数at 分别表示种群 个体最高寿命和控制周期魏( o ，t ) 表示第i 个种群在时刻年龄为。的密度胁( o ，t ) 表示第 i 个种群的平均死亡率。伪( ) 表示第i 个种群的平均出生率a 请( n ，) ( i ，七= l ，2 ，n ，七t ) 表示种群问的相互作用系数仃k ( “t ) 表示第i 个种群的雌性比率仇o ( n ) 表示第i 个种群 的初始密度控制变量( o ，f ) 表示外界向种群生存环境的输入率 允许控制集为 k d = 磁，k = ( n ，) l 。( q ) lo g 1 耽( n ，) g 2 口e ，) q ) ，i = 1 ，2 ，礼， i = l 其中g 1 晚是非负常数 考虑如下的控制闻题 m i n 萎z 舢拍，旷撕圳2 刊嘶。) 1 2 】d 砌屯 ( 2 2 ) 其中t t = ( ”l ，晚，t f n ) i o 矿= ；1 ，p 字，砖) 是对应于t ，= ( 口l ，您，) 的系统 ( 2 1 ) 的解，p 屉正常数，z 积( 口，t ) l 。d ( q ) ( t = l ，2 ，n ) 为人们所期望达到的种群密度的理 7 想状态 为了讨论控制问题( 2 2 ) ，本文假定下列条件成立： ( h 1 ) 地( n ，) l k ( q ) ，胁( 口，) oo e ( 口，) q ，f 胁( n ，f ) d o = + o oo e t ( o ，r ) ， i = 1 ，2 ，扎 ( h 2 ) a 诰( 口，) 三。( q ) ，osa 俯( 口，t ) s 入口e ( a ，) q ，a 为正常数，f ，七= 1 ，2 ：，n ， 七t ( h 3 )m i ( n ，t ) l 。( q ) ，屈( ) 三。o ( o ，t ) ，o 仇 ( o ，t ) 1n e ( o ，t ) q ，o 风( 亡) m 口e t ( o ，t ) ，m 为正常数，i = 1 ，2 ，- - ，n ( h 4 ) 耽o ( n ) l ”( o ，a ) ，o 彻( a ) 靠o e o ( o ，a ) ， 孙为正常数，i = 1 ，2 ，n 2 2 解对控制变量的连续依赖性 根据文献【矧，我们给出下面关于系统( 2 1 ) 的解的引理 引理2 1 【3 5 1 对任意给定的秽= ( 1 ，l ，睨，一，) k d ，系统( 2 1 ) 有唯一解矿= ( 硝1 ，硝2 ，酚) ，且满足 ( 1 ) 砖( n ，) c ( o ，t ；三2 ( o ，a ) ) n l 0 0 ( q ) ( 2 ) o 群( n ，) 工o e ( n ，) q ，l 足个正常数，f = l ，2 ，扎 f 挑。( n t ) ( n ，；月t ) + 哦( 口一s ，t 一粤) n ( = ，t ，s ；月) d s ， a t ， p n ，。5 t6 c 。一n ；王形i ，兀e 舡，。，口；点：j 二z 。c 口一。，。一s ，c 口，。，s ； ，d s ，8 a ，当t a 时可类似证明利用( 2 5 ) 式，可得 i f ( t ；霹) 一f ( t ；霹) l r 危o ) m ( o + ，) 仇o ( o ) i ( n + t ，t ，t ；日) 一( o + t ，t ，；日) i d 口 ，0 ，o o，m “t 口，t + 岛( ) m ( 8 ，t ) i t 曩( g s ，t s ) ( o ，s ；月) 一t i ( 口一3 ，一s ) n ( o ，s ；月) i d s d o ，0，o 当t ( a ，r ) 时，有m i ( 口+ t ，t ) = o ，于是 l f ( t ；霹) 一f ( t ；鲜) l 娲z a 加沁t ，s 删叫，s 酬龇 + i ，z az 。1 ( n s ，t s ) 一，“t ( 。一8 ，t s ) i d s d n ， 娲z az 。z 8 嘲卜r ) 一州卜f 湘丁a s a 口 + m z z a i t ( 。，s ) 一牡t ( n ，s ) i d 口d s s 蚴脚七塞；z 瞪一刖钏 小州，一刊，圳( o t s 当t ( o ，a ) 时，有 i f ( ；砰) 一f ( ；群) i m z a i n ( 时州，；砷) 一 “；砷) | d n + 娲z a 加沁如；刚枷叫一酬d s d 。 + m z az i ( n s ，t s ) 一u i ( 口一s ，t s ) l d s d n 9 m z az i 砖( 。+ t 一州一r 卜酵( n + t 一州丁舶d n + 懒z a 上z 3 嘲n 1 卜鹭( n1 ) | d 丁d s d 8 + m z z a l 仇( 。，s ) 一t h ( 口，s ) i d n d s m m 七壶z 。l 带( 3 ) 带( s 凇s + m g z a 知毫z 。l 蹬( s 卜带( s 凇s + m 川一啦( 删二1 ( 叫) d s ( m 入a + m g 2 a a 2 ) i 带( s ) 一肇( s ) | d s 惫= l ，k 。” + m 上l l 仇( s ) 一嘲( ，s ) l l l l ( 0 a ) 出 令b 1 = m a x m ，m a ，o 入a + m g 2 a a 2 ) ，则( 2 7 ) 式得证 下面我们来证明( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式根据( 2 4 ) ，( 2 5 1 ，( 2 6 1 和假设( h 3 1 ，( h 4 ) 得 郦；霹) i 叭；膨) i + z 瞰啪；霹) 6 ( t s ；霹) | d s s ( m a + m g 2 a 2 ) + m z | 6 ( s ；霹) l d s 由b e l l m 锄引理得 1 6 ( ，；日) l ( m a a 如+ a ，g 2 a 2 ) t m r ：= m ( 2 1 0 ) 根据( 2 4 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 有 6 ( ；月； ，。) 一6 ( ；月f 。) i ，l，t 帅；霹) 一f ( ；钟i ) i + i k ( i ，s ；霹) 6 ( 一s ；何) d s 一k ( t ，s ；彤) 6 ( f s ；霹) d s | ，0，o ， sl f ( f ；磁) 一f ( ；田i ) l + ，- | k ( t ，s ；田4 ) 一( f 霹。) i d s ，o ， + m 1 6 ( t s ；霹) 一6 ( 一s ；砰) i d s j o ，c，s s f ( ；日) 一f ( ；h ) l + 朋l a 1 日( s r ，f 一7 - ) 一h ( s 一一7 ) i d 7 d s j q j o + m 厂。ic ( s ；矽) 一厶( s ；田t ) 心 _ ，o a ，当t 4 时可类似证明当( o ，a ) 时，利用( 2 3 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 式有 i 砖( n ，t ) 一硝1 ( n ，) | d n - ，0 = z 。蜘一啊驯z a 蜘一钟( 口c ) | d n ，# 1 6 ( 一o ；霹) n ( n ，t ，o ；碟) 一6 ( 一口；钟i ) 玎( n ，研) ，0 + z z 8m 。_ s ，叫h ( b s ；掣) 咄( n 嗵t _ s ) h s ；霹) i d s d 。 + z a 献n 叫i i - i ( 州囊矽) 一( 州，f 彤t ) i d n + z 小咖飞f 叫脚 s ；掣) 叫如飞f 叫i i ( 川，s ；衅驯捌n sz | 6 ( 一n ；) 一6 ( 一n ；掣引d 口+ 玩z 。z 。l 群t ( n l t f ) 一日( 口一丁，t 一丁) l d r 如 + z 。z 。l 砚( a s ，t s ) 乱t ( n s ，一s ) ) i d s d 。 + g 2 z z 8 加烈卜r ) - 喇卜r m 仙a n + z az 2i 砷( 。一丁，t 一丁) 一群印一州一f ) | d r 曲 1 1 + az 2 1 吨( n s ，t s ) 一牡t ( n s ，t s ) ) l d s d 。 + g 2 ，az 2 臼霹( 卜小掣( 卜刮捌池 s 岛z ( 七蠹iz 嘲s ) - 础帕+ z m ，s h s ( o 删如 ，t “ 九一o，c n + 吃烈。；，上i 碟) 一) 幽+ 2 z 慨( s ) 姒。，s ) 忆1 ( o a ) d 3 丘= 1 七i 。u pv + 2 g s ( 岛t n 2 r a a 后= 1 ，七 ， + 2 ) l l 魄( ， j 0 z 。i 曙( s ) _ 带( 驯出+ 舭七蠹z l 路( s 卜带( 圳d s s ) 一u t ( ，s ) l i l l ( o ，a ) d s + ( 玩丁+ b 2 t a + 2 g 2 a ? 入+ a a ) f 护( s ) 一碟( s ) 幽 因此 若l | 绔( ) 一疗( ，) | k ( 。a ) 上( 一) 一蚶，驯b ( 。州d s + 耽上到砖“旷肌魄1 ( ) 幽 其中= m a x 岛丁+ 2 ，( 晚r + 玩r a + 2 g 2 a r a + a a ) ( n 1 ) 由g r o n 、树1 引理，可得 到肌旷跚忆1 ( o 庐玩蚤小咖一疋，s ) 岘叫) d s 其中b 3 = ( 1 + t e t ) 当t ( a ，z ) 时，利用与上面类似的方法可证明( 2 1 1 ) 仍然成立 下面证( 2 ，1 2 ) 式成立当n f 时，由( 2 3 ) 式得 彰( n ，) 一群( a ，t ) i l 鼽o ( n 一) i | i i ( o ，f ；眉) 一n ( 口，t ，；日) f + 1 ( n s ，一s ) ( 8 ，z ，s ；月) 一t t ( n s ，t s ) ( o ，s ；月) i d s a ，o z 瞬( n _ r t 叫一掣( n1 t 叫m + 小心咱t 叫一 一丁) 一日( o t 一7 - ) i d 7 d s q ( s ) 一( s ) i d s + 丁0 哦( n ，t ) 一t q ( n ，) l l l m ( q ) 1 2 0 壹一 t “厂厶 一 ”壹一 剖z k 孵 的七 0 r 厂厶 o 。 g 晚 舭 当n t 时，由( 2 3 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 得 嵫4 ( n ，) 一舛1 ( n ，f ) l 1 6 ( 一o ；月) h ( 口，：n ；月) 一6 ( 一口；日) n ( g ，o ；月) l ，n + i ( 口一s ，一s ) n ( 口：，s ；月) 一 ( 口一s ，一s ) i i ( n ，t ，3 ；h ) l d s ，o ，口 1 6 ( t o ；月) 一 ( 一n ；日) l + 玩l 妇? ( n 一下，t 一7 - ) 日( 口一r ，t ) i d 7 j 0 ，or 8f 8 + i ( o s ，t s ) 一t i ( 口一s ，t s ) ) l d s + g 2f1 月( 口一丁，f 一7 - ) 一日( n 一7 - ，一r ) i d r d 3 ，o，o ，0 蚓詹壹；门唧( s ) | d s + 门s ) 州叩川州叫) d s ) + 历a i 尸( s ) 一( s ) i d s + a i i 耽( 口，t ) 一牡 ( 口，) l l l 。( 口) 七= l 。七t 。u + g 2 a a 瞪( s ) 一警( s ) 陋 七= 1 k i 。” ( 岛r a + a ) 慨( n ，t ) 一啦( n ，f ) i i p ( q ) + ( b 2 + 岛a + g 2 a a ) fl ( s ) 一磺( s ) 协 七= 1 七i 。u 令慨= m 觚 入+ g 2 丁a ，瓦晚刚+ a ，岛+ b 2 a + g 2 a 埘，综上可得 盼( 州) 一砖沁 f ) l 地川耽( 州) 一以叫) f l * ( 铆+ 七妻；z f 磺) 一瓒) f d s ) 利用上式和( 2 1 1 ) 式得 妻哼( ，) 砖；( 州) i s 飓慨( m ) 叫和一忆”( q ) + ( n 。) 飓z 善f 毕( s ) 一芹小m s m 口，) 一u ( 口删州口) + ( 礼一1 ) 坞嶙( ，s ) 一( ，s ) 怕( o ，a ) d s i = = 1o u ；1 慨萎i i ( n ，t ) - 啦心。) | k * ( 们“n _ 1 ) 地魄上上慨( ，) 一啦( r 川l l ( 叫卢d s 7 0 ，trs” # = l”i = l o ) 充分小时，对任意的 d = ( d 1 ，d 2 ，南) l o 。( q ；舻) 使得矿+ d = ( 口；+ e d l ，幢+ 如，螃+ 如) ，则 当一o + 时，在。o ( o ，r ；l 1 ( o ，a ) ) 中，吾( 矿+ 印一矿) + z ， 其中矿+ c d ：( 硝；押d 1 ，毋+ 讹，毋+ 嘛) 是对应于t ，= 矿+ 列的系统( 2 1 ) 的解，z = ( z 1 ，沈，) 足下面系统的解 象+ 警叫和矿七壹；( n 硝确姚脚( 口 t ) 卜酬州州) ， ( o ，) = 屈( t ) 厶m ( o ，) 兹( a ，) d 口， ( 2 1 3 ) j u 名( n ，0 ) = o ， ( t ) ：严( n 7 t ) 如， i ：1 ，2 ，n 证明令= ( ，蛾，娠) = ( + “一矿) ，则矿足下面系统的解 警+ 筹一嘴一七毫；h f ) 【謦托蝌乳t ) z 啦m 味 ， 蝣( o ，。) = 刖上m ( n ，) t ( n ，) d “， 埘；( n ，o ) = o ， 碱( t ) ：厂a 制i ( 。，) d n ， 江1 2 ，n 根据引理2 3 的( 2 1 1 ) 式得 萎忆咄( ，。一“圳b ( 。，a ) 玩薹z 肛蛳：圳l l l ( 。州出 ，l ，l 以 将上式两边除以e 得 砉”t 彳t ，l i l lc 。，a ，曼男毫喜l i 碗( - s ) 。l 1 t 。，4 ，d s 。2 ，4 ， 鼠丁a 怯( q ) 1 4 令舻= ( 味蝇，坛) = 一z ，则胪足下面系统的解 警+ 警= 柏( 州嵫一七妻；( 0 州( 帮托) 一謦( c ) 埘( 口) + ：( ) 鳝+ ( 口，) 厂蛭d 口】， ， 鹭( o ，) = 脘( ) m t ( q ，) 醒( 口，t ) d 口， ，o 瑶( n ，o ) = 0 ， 托也( t ) ：厂a 托血( n ，t ) d 。， 江1 ，2 ，m 州州，= 雠