（应用数学专业论文）一类非线性色散波方程的奇异行波解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究了一类非线性色散波方程的奇异行波解。利用因子分解 法和对称群求出非线性方程的通解，再利用多项式直接积分法和完全 判别系统求出奇异行波解，有些甚至得到了所有的奇异行波解，其中 许多是新解。 第三章，首先通过几个性质定理的形式简要介绍了因子分解法， 其次通过行波变换把f o r n b e r g w h i t h a m 方程约化为一个常微分方程， 利用因子分解法得到该方程的通解，最后通过变量变换和多项式完全 判别系统方法来计算相应的积分，从而得到f w 方程的所有奇异行波解 的分类。 第四章，首先使一般浅水波方程在行波变换下约化为一个常微分 方程，其次利用对称群将此常微分方程变换成二阶线性常微分方程， 最后根据直接积分法以及多项式完全判别系统得出一般浅水波方程 的一些奇异行波解。 关键词： f o r n b e r g w h it h a m 方程，因子分解法，奇异行波解，对称 群，一般浅水波方程 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e r , s i n g l et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o rac l a s so fd i s p e r s i v e w a t e rw a v ee q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d u s i n gt h ef a c t o r i z a t i o nt e c h n i q u e a n das y m m e t r yg r o u po fo n ep a r a m e t e r , w eo b t a i nt h eg e n e r a ls o l u t i o n s o ft h e s ee q u a t i o n s u s i n gt h em e t h o do fc o m p l e t ed i s c r i m i n a t i o ns y s t e m f o rp o l y n o m i a l ，an u m b e ro fs i n g l et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n st ot h e s e n o n l i n e a re q u a t i o n sa r eo b t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r , f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ef a c t o r i z a t i o nt e c h n i q u ei n s o m et h e o r e m s s e c o n d ，u n d e rt h et r a v e l i n gw a v et r a n s f o r m a t i o n ， f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n i sr e d u c e dt oa l l o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，w h o s eg e n e r a ls o l u t i o nc a nb eo b t a i n e du s i n gt h ef a c t o r i z a t i o n t e c h n i q u e f i n a l l y , w ea p p l yt h ec h a n g eo ft h ev a r i a b l ea n dc o m p l e t e d i s c r i m i n a t i o ns y s t e mf o rp o l y n o m i a lt os o l v et h ec o r r e s p o n d i n gi n t e g r a l a n do b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fa l ls i n g l et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n st ot h e f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n i nt h ef o r t hc h a p t e r , u n d e rt h et r a v e l l i n gw a v et r a n s f o r m a t i o n ， g e n e r a l s h a l l o ww a v ee q u a t i o ni sr e d u c e dt oa no r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n u s i n gas y m m e t r yg r o u po fo n ep a r a m e t e r , t h i so d e i sr e d u c e d t oas e c o n d o r d e rl i n e a ri n h o - m o g e n e o u so d e f u r t h e r m o r e ，w ea p p l y t h ec h a n g eo ft h ev a r i b a l ea n dc o m p l e t ed i s c r i m i n a t i o ns y s t e mf o r p o l y n o m i a lt os o l v et h ec o r r e s p o n d i n gi n t e g r a l sa n do b t a i nan u m b e ro f s i n g l et r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n st og e n e r a ls h a l l o ww a v ee q u a t i o n k e y w o r d s ：f o m b e r g w h i t h a me q u a t i o n ，f a c t o r i z a t i o nt e c h n i q u e ， t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s ，s y m m e t r yg r o u p ，g e n e r a l s h a l l o ww a v ee q u a t i o n 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：i 诣吞 日期：砷年) 月胁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囤。 学位论文作者签名：i 锗刍 年肛月膨日 将狮繇够老霉可 汐( 年i 钐月 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向。它既反映一类非常稳定的自然 现象，例如江河中的某一类水波、光纤中的光信号传播等等，体现了一大类非 线性相互作用的若干特征，并为许多应用问题( 如孤子通讯) 提供了启示。孤立 子最早在物理学领域被发现，它广泛的存在于物理学各相关领域，具有较深的 物理学背景。另一方面，孤立子理论又为非线性偏微分方程提供了求显示解的 方法。特别是其中的反散射方法，在一定程度上可以看成是非线性问题的傅立 叶方法。经典分析和泛函分析，李群、李代数和无限维代数、微分几何( 有限 维和无限维) ，代数几何，拓扑学，动力系统以及计算数学等数学分支，对孤立 子的研究都有重要的作用。另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立 子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系( 详见文献【1 - 9 】) 1 1研究背景 孤立子理论自1 9 6 5 年由z a b u s k y 和k r u s k a l 对孤立子( s o l i t i o n ，简称孤子) 命名后得到了迅速的发展。究其原因是孤波现象无所不在，从天上涡旋星系的密 度波，线，超流氦1 ，超导j o s e p h s o n 结，磁学，结构相变，液晶，流体动力 学以及基本粒子等，都与孤子有关。其发展大致可分三个阶段 第一阶段，主要是上世纪。最早讨论孤立子问题的是s c o t t r u s s e l l ，1 8 3 4 年英国物理学家s c o t t r u s s e l l 在一条运河罩发现了一个奇怪的孤立水波，它以很 快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和速度没有明显改变，该水波在1 2 英 里之外的转弯处消失了。r u s s e l l 认为这种奇怪的水波是流体力学中的一个稳定 解，并称之为孤立波。但r u s s e l l 的学说未能使物理学家们信服他的论断，在此 以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学 k o r t e w e g 教授和他的学生d cv r i e s 在小振幅与长波假设下，从流体动力学中导出 了单向运动的浅水波方程：百o r = 兰墨昙( 圭7 2 + 了2 三仃等) ，这里7 7 为波峰 高度，z 为水深，g 为重力加速度，口是与液体均匀运动有关的常数，盯是由 江苏大学硕士学位论文 口：1 1 ，一! 生定义的常数，t 是毛细管现象的表面张力，p 是液体的密度，由变 o p g 换：，= ；j 舌r = 一老，n = ；口+ ；a ，同时省去擞号即可得著名的k d v 方 程：h ，+ 6 删，+ “一= 0 ，在波长趋于无限的情况下，该方程的一个解： o ，f ) = 昙c h 2 悼。一c o ) ( 图2 ) 后人称( x ，r ) 为钟型孤立子解，正是r 岫s e l l 所发现的孤立波，k d v 方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在，从而为这场 争论画上了圆i 薄的句号。 图1 1 罗素像 圈i 2 钟型孤立子” 1 9 6 5 年美国数学家话u s h l 和a b u s k y 对k d v 方程的孤立波解进行数学模拟， 他们发现两个孤立波相撞之后。各自的运动方向和大小形状都保持不变。这种性 质与物理中粒子的性质类似，因此他们称这种孤立波为孤立予。在通常情况下， 人们把孤立波和孤立子混为一谈，不把它们区别开来。与此同时在1 8 7 6 - 1 韶2 年 发现了b a c l d u n d 变换，这些成为后来孤立子理论发展的重要基础。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 - - 1 9 7 5 年。1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问厢，即将6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦， 用计算机计算了一维非线性晶格在各个震动模之m 的转换。初始时，这些谐振子 的所有能量都集中在一个质点上，其它6 3 个质点的初始能量为零。按照经典的 理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分各态历经等现象，即任何微弱的 非线性相互作用，可导致系统的非平衡状态向平衡状态的过渡。但实际计算的结 果却与经典理论是背道而驰。实际上，经过相当长时间以后，能量又似乎回到了 开始的分布。由于f p u 问题是在频域里考察的，因此。未能发现孤立波，因此 江苏大学硕士学位论文 该问题未能得到正确解释。后来，人们发现可以把晶体看成具有质量的弹簧拉成 的链条，这恰好是f e r m i 研究的情况。t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得 到了孤立波解，使f p u 问题得到圆满解答，从而进一步激发了人们对孤立子的 研究兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行 数值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年， z a b u s k y 和k r u s a l 详细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，进一步证实了 孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子 ( s o l i t o n ) ，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具 有相应的物理现象，它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中( 2 ) 孤立子相互碰撞 时具有弹性散射现象。从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。1 9 6 7 年 g a r d n e r 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法，这一方法不仅对应用技术提供 了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远影响。 第三阶段( 1 9 7 3 一) ，把孤子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天文 学等各个领域，开展了高维孤子的研究。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c ad 问世， 与此同时，光纤中的孤子已在实验中产生出来。此后的发展更是突飞猛进。 描述孤波现象的方程包括各种修j 下型方程至少有十几种，最为常见的是k d v 方程、b u r g e r s 方程、b o u s s i m e s q 方程、s i n e g o r d o n 方程、k p 方程、c a m m a s s a h o l m 方程等。从二十世纪六十年代开始，以前人们所知道的孤立子解都是光滑的，但 在1 9 9 3 年，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的c a m m a s s a 和h o l m 1 0 ，1 1 1 应用哈 密顿方法导出的一个浅水色散波动方程 u f + 2 k u ，一“埘+ 3 u u ，= 2 u ，u 。+ “。 ( 1 1 ) 其中u 是x 方向上的流体速度( 或水的自由表面的高度) ，k 是与临界浅水波波 速相关的一个常数，下标表示偏导数。该方程被称为c a m m a s s a h o l m 方程，简 称为c h 方程。当k = 0 时，得到无色散项的c h 方程。 u r 一比。f + 3 u u 善= 2 u ，u 。+ “h 端 ( 1 2 ) 方程( 1 2 ) 是个完全可积的非线性偏微分方程，是对不可压缩的e u l e r 方程的 h a m i l t i o n i a n 系统展开的，保留其高阶项得到的，若丢掉这些高阶项，则得到b b m 方程或相同阶下的k d v 方程。c a m m a s s a 和h o l m 得到了方程( 1 2 ) 带尖点的 3 江苏大学硕士学位论文 孤立子解 u 2 似f ) = c e - i x 卅l ( 1 3 ) 其中c 为任意常数，该函数在x = c t 时不可导，故理解为日1 意义下的弱解，且是 整体解。这表明方程( 1 2 ) 可用于描述水波的不光滑现象，因此，c h 方程比 k d v 和b b m 方程能更好地描述水波运动。 1 2 研究现状 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，其研究内容和研究 方法非常丰富。近年来，国内外学者对孤立子理论的多个方面进行了大量的研究 工作，并取得许多进展。非线性发展方程的求解问题是古老而重要的研究课题。 尽管，数学家和物理学家们在这方面作了许多的研究，但由于其复杂性，仍有大 量而重要的非线性发展方程无法解出精确解或难以找出具有物理意义的新的精 确解，即使已经求出精确解，也各有各的技巧，尚无统一的精确求解方法。不 过孤立子理论中有着一些构造精确解的有效方法，如反散射方法、d a r b o u x 变换、 h i r o t a 双线性变换等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法，这一方法利用 量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题( 正散射问题) 及其反问题( 反散射问题) 之间的关系，经过求解一个线性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解。它不 仅对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远影响。 随后，l a x 推广并提高了上述方法，使之能够用于求解其他非线性发展方程的初 值问题，从而逐步形成一种系统的求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 推 广了这一方法，求出高阶k d v 方程，立方s c h r o d i n g e r 方程等的精确解。 1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法( h i r o t a 方法) ，是构造非线性发展方 程n 孤立子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。 1 9 7 5 年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法，以外微分形式为工具， 给出寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法。 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性发展方程的直接的变量分 离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许多的 2 + 1 维非线性发展方程的精确解。精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、 4 江苏大学硕士学位论文 固定的套路和规律、计算量大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大 量而重复的计算，提高了速度保证了准确率。1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u f f y 给出了 求非线性发展方程孤立波解的双曲正切函数法的m a t h e m a f i c a 程序包。王明亮教 授等基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提 出了齐次平衡法。 近来发现了两类特殊的孤立波解即c o m p a c t o n 解和p e a k o n 解。r o s e n a u 和 h y m a n 1 2 1 为了研究流体模型在形成过程中非线性色散项的作用，研究了充分 非线性k d v 方程k ( m ，n ) ，得到“，+ ”) ，+ ”) 一= 0 了一种强局部性的孤立波解 ( 即c o m p a c t o n 解) ，通过数值模拟验证了c o m p a c t o n 解具有类似孤立波的性质： 碰撞前后保持波形不变，这种碰撞是弹性的，能量几乎没有损失等。关于 c o m p a c t o n 解的研究见【1 3 2 2 。 殷久利，用立新等【2 3 】研究了广义c a m a s s a h o l m 方程 u ，+ k u ，+ 届比埘+ 厦 “) ，+ 屈“，0 “) 。+ p , u ( u ，) 。= 0 ( 1 5 ) 得n - fc o m p a c t o n 解和孤立波解c a m a s s a 和h o l m 2 4 利用h a m i l t o n i a n 的方法得 到了一类完全可积的c a m a s s a h o l m 方程： u l + 妇，- - u 。t + 轨比，= 2 u ，u 。+ 删。 当k = 0 时，有u = c e - 1 。- a l ( c 为速度) 形式的尖峰孤立波解( p e a k o n 解) ，与通 常的光滑孤立波解不同的是，在波峰处一阶导数不连续。关于p e a k o n 解的研究 【2 4 ，2 5 】：田立新等【2 6 ，2 7 】研究了广义 c a m a s s a h o l m方程 “f + 妇；- - u a x t + a u “配工= = 2 u ，u 搬+ “。，得n - fp e a k o n 解。 1 3 本文的研究内容及其研究意义 本文研究的内容 本文主要研究了f o m b e r g w h i t h a m 方程以及一般浅水波方程的奇异行波 解，得到了许多新解。 第二章给出了孤立子理论的基本概念。 第三章研究了f o m b e r g w h i t h a m 方程的奇异行波解。首先使 f o m b e r g w h i t h a m 方程通过行波变化约化为一个常微分方程，再通过因子分解 法得出通解，最后再根据完全判别系统以及行波变换从而得出f o r n b e r g w h i t h a m 5 江苏大学硕士学位论文 方程的奇异行波解。 第四章研究了一般浅水波方程的奇异行波解。利用单参数对称群使经过行波 变换约化成的常微分方程化成二阶线性常微分方程，同样的再根据完全判别系统 得到该方程的奇异行波解。 本文研究的意义 通过本文的研究得到了一类非线性色散波方程的一些奇异行波解。虽然田立 新等求出了f o r n b e r g w h i t h a m 方程的一些解，但是不能得出该方程所有奇异行波 解的分类。另一方面，一些表面上不相同的解其实本质上是一样的，因此研究方 程所有奇异行波的解的分类足相当有意义。而本文研究的一般浅水波方程的研究 至今还很少，要想能够了解该方程所描述的物理过程以及潜在应用必须首先研究 该方程的解。 6 江苏大学硕士学位论文 2 |孤立子 第二章基本概念 帚一早 昼令僦忑 孤子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在最近几十年中，它 得到了迅速发展。但究竟什么是孤立子却难以给出一个准确的定义。目前，对 孤立子有多种定义方式【l - 9 】。数学中，将孤立子理解为非线性发展方程的局部行 波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情况。 换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中。( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象，在与同类孤波相遇后仍能保持其波形、速 度、幅度的孤立波。在物理中，孤立子被理解为经典场方程的一个稳定的有限能 量的不弥散的解，即能量集中在一个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波 速。李政道认为：在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都 束缚与一个有限区域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解。 本文采用下述说法，即 定义2 1 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及 与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子是波动问题中的一种能量有限局域解。 ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在。 ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作用时 出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。因此， 孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来，人们 也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭小的 区域的静态解有时也称为孤立子。 定义2 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子解为尖 峰孤立子解( p e a k o n ) 。 7 江苏大学硕士学住论文 2 2 孤立子的分类 通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解。所谓“局域”，指的 是非线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于零或趋于确定常数的情况。目前 已经有一系列非线性演化方程存在孤波解，除k d v 方程外，比较重要的还有非 线性s c h r o d i n g e r 方程( n l s 方程) 、s i n e g o r d o n ( 霄g o r d o n ) 方程、 h i r o t a ( m t o d a ) 非线性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩( m b o r n ) 一 英菲尔德( 乩l i n f e l d ) 方程。归纳起来，孤波的典型类型不外乎四种：( 8 ) 波包 型( 钟型) ：( b ) 凹陷型( 反钟型) ：( c ) 扭结型：( d ) 反扭结型。其中( a ) 和( b ) 都 是当蚓- + 时，解鸭( 0 斗o ；而( c ) 和( d ) 则是当f _ + 啪或一时，见( 0 趋向 于不同的常数值。 钟型( 波包型) 嘣 ) j ( b ) 反钟型( 凹陷型或涡旋型) 冷一够 江苏大学硕士擘位论支 吼囝 ，一 。 号 扭结型 似0 、 ； ( b ) 反扭结型 图2 1 孤立子的分类 从拓扑性质角度，孤波可分为拓扑性孤波和非拓扑性孤波。拓扑性孤波存在 的必要条件是有简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的 边界条件；有孤立于解时，无穷远处的边界条件就与没有孤立子解时不同。而非 拓扑性孤波不需要简并真空态，无论有无孤立子解，在无穷远处都有相同的边界 条件。通来说，钟型分布的正、负( 暗) 孤波及其序列都是非拓扑的，但是k i n k 孤波( 其模方或其导数却是钟型的，如光纤中基本暗孤子就是例子) 是拓扑孤子。 需要注意的是，同一方程可能支持两类不同拓扑性质的孤波解，如( n l s ) 方程支 持明孤子解和小振幅明暗孤子解( 非拓扑) 及基本暗孤子解( 拓扑) 。 值得说明的是，尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的局域行波解。但 现在，至少在物理上，孤波概念已经被推广到相对稳定的孤波解。即使原来方程 并非可积的。例如光孤子理论中，尽管有阻尼项的n l s 方程是不可积的，而且实 际光纤中的光孤子也不可能不衰减，但在阻尼很小的情况下，相对稳定的孤波仍 被称为光孤子。在其它情况下，对孤波的理解常常也因为实际问题而有所推广。 哆念 江苏大学硕士学位论文 2 3 非线性方程的论述以及求解方法 2 3 1 非线性方程的论述 下面引入了极限零点和非极限零点分析法来讨论各类非线性方程的行波解。 对于已给定的非线性方程“，= ，( “，u ，u 嚣，) n i t = ，( “，u x ，u x x ，) 求其行波解的通方法是，令u ( x ，t ) = v ( 4 ) ，孝= c - c t 式中的c 是标志行波速度的待定参量，代入非线性方程上式通过适当的积 分，可能会得到 u f 2 = p 1 ( 甜) ( 2 1 ) 或 u f = p ) ( 2 2 ) 对于式( 2 2 ) ，暂讨论p ) 为实函数的情况；对于式( 2 1 ) ，暂在a ) 0 的甜值 区域内讨论，这时，式( 2 1 ) 立即化为( 2 2 ) ，且 p ( u ) = a ) ( 2 3 )