（应用数学专业论文）测试的联合量子化维数及谱.pdf

学位论文版权使用授权书 | | i i ii ii iif lr l l llll fiif y 18 9 4 6 5 3 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密回。 学位论文作者签名：五彳紊l 矽7 降6 月乡日 指导教师签名荔妊以 ，? 、 如厂f 年月多日 测度的联合量子化维数及谱 m i x e dq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o na n d q - 啕 s p e c t r a lo fm e a s u r e s 姓 2 0 11 年0 6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了有限个测度的联合量子化维数的一些性质，包 括与热力学形式的温度函数的关系，以及给出了关于给定的康托测 度的谱 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生，给出了包括 h a u s d o r f 维数、测度论及开集条件的一些基本概念及主要性 质 第二章我们主要讨论了自相似概率测度的联合量子化维数函数 的一些性质，给出了多个测度的联合量子化维数的定义，得到了关于 概率测度的量子化维数公式 第三章我们主要研究的是联合量子化维数函数和热力 学形式的温度函数之间的关系 第四章我们主要研究了康托测度的谱，以及在此基础上 一 得到谱的一些结论 关键词：自相似概率测度，联合量子化维数，开集条件，共形测度， 温度函数，谱测度，谱，傅立叶变换，二进制树 测度的联合量子化维数及谱 a bs t r a c t i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d y t h e p r o p e r t i e s o fm i x e d q u a n t i z a t i o n d i m e n s i o n s ，i n c l u d i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e s e d i m e ns i o n sa n dt e m p e r a t i o nf u n c t i o na n ds t u d yt h es p e c t r a lo ft h em o d i f i e d c a n t o rm e a s u r e p 6 i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yr e v i e wt h ef r a c t a ln a i s s a n c ea n dg i v es o m e f u n d a m e n t a lc o n c e p t s ，p r o p e r t i e so fh a u s d o r f fd i m e n s i o n s 、t h ef r a c t a l d i m e n s i o n s 、m e a s u r et h e o r e ya n dt h eo p e ns e tc o n d i t i o n i n c h a p t e r2 , w em a i n l y d i s c u s st h e p r o p e r t i e s a b o u tm i x e d q u a n t i z a t i o n d i m e n s i o no fs e l f - s i m i l a r p r o b a b i l i t i e s a n dd e f i n et h e s e d i m e n s i o n ，w es t u d yt h ef o r m u l a ro ft h em i x e dq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h em i x e dq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o n sf u n c t i o n a n dt e m p e r a t u r ef u n c t i o nf o rc o n f o r m a lm e a s u r e s i nc h a p t e r4 ，w em a i n l yc o n s i d e rt h es p e c t r a lo ft h em o d i f i e dc a n t o r m e a s u r ea n ds o m er e s u l t so nt h es p e c t r a l k e y w o r d s ： s e l f - s i m i l a r p r o b a b i l i t y m e a s u r e ， m i x e d q u a n t i z a t i o n d i m e n s i o n s ， o p e n s e t c o n d i t i o n ， c o n f o r m a l m e a s u r e ； t e m p e r a t u r ef u n c t i o n ，s p e c t r a lm e a s u r e ，s p e c t r u m ，f o u r i e r s e r i e s ，b i n a r yt r e e 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 目录 1 分形理论的产生”1 分形理论的研究对象和分形的定义一2 h a u s d o r f f 维数与量子化维数4 1 3 1h a u s d o r f f 测度及其维数4 1 3 2 量子化维数”6 自共形测度”7 “一 迭代函数系( i f s ) 与开集条件7 本文研究的主要内容8 第二蕈自相似概率测度的联合量子化维数9 2 1 引言9 2 2 定理2 1 2 的证明1 2 2 3 本章小结1 5 第三章自共形测度的联合量子化维数函数与温度函数 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 1 6 简介及主要结论1 6 一些记号和定义1 7 定理、引理的证明1 9 3 3 1 引理3 1 1 的证明1 9 3 3 2 引理3 1 4 的证明2 0 3 3 3 定理3 1 5 的证明2 2 3 3 4 定理3 1 6 的证明2 3 3 3 5 定理3 1 7 的证明2 4 3 3 6 定理3 1 2 的证明2 6 本章小结2 6 一种康托测度的谱2 7 引言和基础知识2 7 正交指数的最大集2 9 | 1 1 测度的联合量子化维数及谱 4 3 4 4 结束语 参考文献 致谢 谱集3 4 本章小结一4 1 在校期间发表论文 4 2 4 3 4 5 4 6 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早珀y 匕 分形几何萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世 纪7 0 、8 0 年代其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序，而又具 有某种规律的系统分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供 了新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然 中的众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等 多个学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的 几何学，近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展 1 1分形理论的产生 客观自然界中的许多事物具有自相似地“层次 结构在理想情况下，具有 无穷层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变不少复杂的物理现 象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测量万里长 城，嫌太短用尺来测量分子长度，又嫌太长从而产生了特征长度还有的事 物没有特征长度，就必须同时考虑从小到大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这 就是“标度性”问题 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 提出了英国的海岸线有多长? 这个问题及时依赖于测量时所用的尺度数学家科 赫( k o c h ) 从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线 变 成无限曲线，其长度也不断的增加，并趋向无穷大以后可以看到，分形维数才 是“科赫岛 海岸线的确定的特征量，即海岸线的分形维数均介于1 到2 之间这 些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系譬如：银河系中的若断若 续的星体分布就是具有分形维数的吸引子多孔介质中的流体运动和它产生的流 体模形、1 8 2 7 年发现的布朗( r b r o w n ) 运动的运动轨迹的复杂性、化学中酶的构 造、生物学中细胞的生长、非线性动力学中的奇怪吸引子以及工程技术中的信号 处理等等传统的经典几何学难以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出 现及研究，这就促使数学家进一步的研究，因而就诞生了- - f j 新的学科分形 测度的联合量子化维数及谱 几何学 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特 ( b b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形式，机遇和维数( f r a c t y a l ：f o r m ，c h a n c e a n dd i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生“分 形( f r a c t a l ) 一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ”， 含有 “不规则 和“破碎的意义实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存在 已逾百年在十九世纪至二十世纪初，c a n t o r 三分集，k o c h 曲线以及w e i r s t r a s s 无处可微连续函数等这些“病态 的曲线与集合已逐步为人们所了解许多学者 开始致力于构造类似的曲线与集合并研究它们的性质c a n t o r ，w e i e r s t r a s s ， p e a n o ，h a u d o r f f ，k o c h 等人的杰出工作为以后分形概念和分形理论的产生奠 定了基础 1 2 分形理论的研究对象和分形的定义 分形理论的研究对象主要是复杂的不规则几何形态它们在自然界无处不在， 因而分形被人们誉为大自然的几何学，分形处处可见 分形自创立以来，人们做了各种努力试图给分形一个确切的数学定义，但是 到目前为止所出现的这些定义都很难验证时适用于一般的情形在m a n d e l b r o t 的 论述中给出的分形的第一个定义【1 】： 定义1 2 1 设集合ec r “，如果e 的h a u s d o r f f 维数严格大于它的拓扑维数， 即d i m h 但) d r 但) ，则称集合e 为分形集，简称为分形 显然，d r 陋) 和d i m h 但) 都大于等于0 而小于等于n ，前者总是一个整数，而 后者则不然，可以是分数，两个维数无须相同，它们只满足苏比尔拉( s z p i l r a j n ) 不等式： d i m h 陋) d r 怛) ( 1 2 1 ) 由此可知，每个具有非整数h a u s d o r f f 维数的集合一定是分形然而，分形的 h a u s d o r f f 维数也可以是一个整数，例如：布朗运动的轨迹是分形，它的h a u s d o r f f 维数d i m ( e ) = 1 ，而它的拓扑维数d r 但) = 2 根据定义1 2 1 可知，只要计算出集合的h a u s d o r f f 维数和拓扑维数，就可以 判断出该集合是否为分形然而在实际应用中，一个集合h a u s d o r f f 测度和 2 江苏大学硕士学位论文 h a u s d o r f f 维数的计算是非常复杂和困难的，这就给该定义的广泛使用带来了很大 的影响 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又给出了自相似分形的定义： 定义1 2 2 局部与整体以某种方式相似地集合称为分形 这一定义体现了大多数奇异集合的特征，尤其反映了自然界中广泛一类物质的基 本性质：局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有 统计意义上的自相似性但是定义1 2 2 只强调了自相似特性，具有相当的局限性， 而定义1 2 1 比定义1 2 2 的内涵要丰富得多 可以说如何定义分形至今尚无定论，无论应用何种方法来定义分形都会遗留 掉一些分形思想的精髓而且人们对分形的定义有不同的要求，数学家要求“严 密和“公理化 ，物理学家要求“简洁”，工程师们要求“简单适用因此如何 定义分形已经成为了一个重要的科学问题 针对以上问题，f a l c o n e r 2 ，3 】对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是 某些性质的集合，而不去寻求它的精确定义他提出一个分形可以描述如下： 定义1 2 3 考虑e u c l i d 空间中的集合e ，如果它具有下面所有的或是大部分 的性质，它就是分形： ( 1 ) e 具有精细结构，即有任意小比例的不规则细节 ( 2 ) e 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用微积分的或传统的几何 语言来描述 ( 3 ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是近似的或者是统计意义上 的 ( 4 ) 一般地，e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，e 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生 ( 6 ) 通常有“自然”的外貌 定义1 2 4 分形集就是比在经典几何考虑的集合更加不规则的集合这个集 合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到 定义1 2 3 和定义1 2 4 尽管不严格，但确实使人们( 特别是工程师们) 很容 易去理解什么是分形粗略地说，分形几何就是不规则形状的几何，而且这种不 3 测度的联合量子化维数及谱 规则性( 粗糙性) 具有层次性，即在不同的层次( 尺度) 下均能观察到事实上， 。不规则几何的抽象化经常比在经典几何中光滑曲线和光滑曲面的规整几何更能精 确地拟合自然世界正如m a n d e l b r o t 1 所说：“云彩不是球面，山峰不是圆锥，海 岸线不是圆周，闪电也不是以直线传播 它们都可能是分形 1 3h a u s d o r f f 维数与量子化维数 测度与维数是分形理论中两个重要概念，它是定量刻画分形集合的两个基本 参量，它们在分形的理论及其应用研究中占据着十分重要的地位 1 3 1 h a u s d o r f f 测度及其维数2 3 1 。 h a u s d o r f ! f 测度是分形几何中最基本的概念之一h a u s d o r f f 测度将传统几何( 例 如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以 及整数维空间q b l e b e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中首先回顾 一下相关定义 如果矽；) 为可数( 或有限) 个直径不超过8 的集构成的覆盖f 的集类，即 fcu u ，且对每一个f 都有oqu ，| 0 ，有 日； ) = i n f i u ，1 5 ：妙，) 为f 的万一覆盖 ( 1 3 1 ) rm、 li = 1j 当万减小时，式( 1 3 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界日；但) 随着增 加，且当万一o 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 日3 旷) = l i m h ；( f ) ( 1 3 2 ) d u 对尺“中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或o ( 3 ) ，我们称h5 伊) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念f a l c o n e r 6 l 证明尺“中任何 l e b e s q u e 可测集的n 维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s q u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍更精确地，若f 是n 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 l “但) = c n h ”( f )( 1 3 3 ) 4 江苏大学硕士学位论文 这里常数c 。= 万； 2 ”r ( 圭，z + 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积类似地，对于尺“中 “好的 低维子集，h o 伊) 是f 中点的个数；h 1 陋) 给出了光滑曲线f 的长度； 若f 为光滑曲面，则h 2 伊) = 詈a r e a ( f ) ；而日3 f ) = 导v o l ( f ) 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 可知，对于任意给定的集合e 和 0 万 1 ，h ；但) 是j 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度日5 但) 也是s 的减函数进 一步证明可以得到结论【2 】= 若ec r 4 ，则存在唯一的一个实数s 。【o ，z 】，使得 f h5 陋) = 一【0 图1 1 集e 的日5 ( e ) 对j 的图h a u s d o r f f 维数d i m ( e ) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的j 的数值 由此可知，h 5 但) 关于s 的图( 图1 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得h5 陋) 从o o “跳跃 到o 这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 但) 精确地 d i m h 陋) = i n f s ：h5 但) = 0 = s u p s ：h5 但) = o o ( 1 3 5 ) 当s = d i m 舟e 时，即当s 取的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f i 贝q 度日3 仁) 可以为零或者无穷或者满足： 0 h 5 仁) 0 0( 1 3 6 ) 满足不等式( 1 3 6 ) 的集合e 称为j 一集 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起 着十分重要的作用然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却 非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人 们仍然无能为力因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨论 、， 431 l 时时 o o s s s s当当 测度的联合量子化维数及谱 其计盒维数 1 3 2 量子化维数 自从2 0 世纪早些时候，不规则集自吸引了数学 ：作者的注意以来，测度己成 为研究这些现在称之为“分形 集的基本工具测度的维数研究实际上是研究本 身作为分形实体的测度，以及与它们相联系的那些集合的相关性质设是尺4 上 的有限b o r e l 规则测度，我们希望知道的质量是如何分布的，支撑它的集合的几 何性质如何影响质量的分布反之，给定一个集合，它能支撑什么样的测度要 给出这些问题的一般回答比较困难，事实上，它们本身是分形几何的基本问题 近年来，许多作者f 7 9 1 已经研究了关于测度的分形性质，并解决了一系列难 题，在本文中我们研究概率测度下的联合量子化维数量子化问题在于研究量子 化诱导偏差逼近某一特定概率测度，这一测度是在有限支撑下的概率测度这个 问题来源于信息论和一些工程技术，它的历史可追溯到1 9 4 0 年 1 0 1 g r a s f 和 l u s c h g y 系统地研究了这个问题并给出了一系列关于它的数学处n 1 1 1 在有限个 压缩映射岱。，s ) 满足开集条件( o s c ) 和给定概率向量 m ，, u n 的条件下 g r a s f 和l u s c h g y 1 2 给出了具体求量子化维数的公式，测度满足下式 = p ，。s ， i = 1 他们证明了d r ：= d i i i l 刍 ) 满足： ( ，cj ) h 。一1 ， ( 1 3 1 ) 这里c f 是映射s ，的压缩系数上面的结论被l i n d s a y 和m a u l d i n 【1 3 】推广到自共形 上，被z h us a n g u o 1 4 】推广到m o r a n 集上 令测度是欧氏空间r 4 上的概率测度，实数0 ， 0 ，存在一个c o n ( x ，y ，) ci n t ( x ) ，其中 c o n ( x ，厂，z ) 是以工为顶点，勒贝格测度y 为中心角，为高的开核 ( d ) 有界畸变原理( b d p ) 存在一个数k 1 对每个国i 和每对点五y v ， 都有l 缈乙( y ) l k i 缈乙( 力i ，其中i 缈乙( 石) i 表示g ) 的导数的范数 1 5 迭代函数系( if s ) 与开集条件 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集对于映射5 ：d 。x ，如果存在正常 数0 c ，其中 i e ( 工) 一f , ( y ) l c , x - y l ，o q 的吸引子或不变集 设映射s ：r d 寸月d 对任意x ，y r d 满足 l s ( x ) - s ( y ) i = cx y i ， 其中0 c 1 ，则s 称为压缩比为c 的相似压缩显然，相似压缩为压缩映射设s ； 为一族相似压缩，1 f m ，存在唯一的不变集e 使得e = u s 。但) ，不变集称为 i = 1 对于相似压缩族s 的自相似集 1 开集条件( o s c ) “。 称迭代函数系 五，厂2 ，厶 满足开集条件是指存在一个非空有界开集y 使得 m u 五) c v 且这个并集为不交并比如生成科赫曲线的迭代函数系满足开集条件 扛l 2 强开集条件( s o s c ) 称迭代函数系 石，厶，厶 满足强开集条件指满足开集条件，同时满足 yn e a 1 6 本文研究的主要内容 测度和维数是研究分形的主要工具而将测度本身作为分形实体成为研究对 象也已经是我们分形研究的一个重要课题为此，测度维数的研究构建了一个测 度与维数之间的桥梁本文中，我们研究了测度维数中的一种，即有限个测度的 联合量子化维数函数与热力学形式的温度函数之间的关系，主要包含以下几个方 面； 1 自相似概率测度的联合量子化维数函数 2 自共形概率测度的联合量子化维数函数与热力学形式的温度函数两者之间 的关系 3 一个康托测度的谱 8 江苏大学硕士学位论文 第二章自相似概率测度的联合量子化维数 2 1引言 量子化的问题最先出现在电子工程的信号传送和数据处理的过程中在g r a f 和l u s c h g y 研究的基础上，l i n d s a y 和m a u l d i n 在( 1 2 1 ， 1 5 1 ，1 1 1 1 ) 中定义了量子化维 数( 或者称为量子化维数函数) 对欧氏空间r d 上给定的一个b o r e l 概率测度， 存在一个实数，( 0 ，佃) 和一个自然数n n ，那么测度的，- 阶第r 1 个量子化误差 定义为 ，嘲f ( p 咖) 7 础g 涉：a c r d , c a r d 胀刀) ， 其中d ( x ，口) 表示从点x 到集合口关于给定的尺4 上的范数1 1 i l 的距离测度的r 阶 上、下量子化维数分别定义为 万，( ) 产l i r a s u p 竺鱼l ；d ，0 ) # l i m s u p 竺鱼l n - - 0 0 一l o ge 月r n 一l o ge n 7 如果万，( ) 和旦， ) 相等，此时我们称这个共同值为测度的，阶量子化维数并记 为d ， ) g r a f 和l u s c h g y 已经给出了自相似概率测度的关于量子化维数的一个公 式，其中测度是由欧氏空间r d 上满足开集条件的迭代函数系s ，s 和给定的 概率矢量( a ，p n ) 定义的概率测度满足等式 = p ，。s ， 他们验证了满足等式兰( p f ) 面：1 的量子化维数d r ：= d r ( u ) ，其中墨是压缩映 射墨的压缩因子 联合多分形分析的是有限个测度, u l ，段同时发生的尺度行为( 【1 6 】) 这样联 合多分形分析结合动力系统的局部特性为动力学的深入研究提供了基础下面我 们给出联合多分形情况下的定义 9 测度的联合量子化维数及谱 下i 雕戊们定义联合量子化维数( 或称为联合量子化维数函数) 设d 表示欧氏 d - - ( x ，x ) r i x r ) 令“，以是欧氏空间r 上具有相同支撑a 的概率测度，那么对任意的实数 r ( 0 ，+ o 。) 和自然数，l 1 ，测度h ，段的，秩第，2 阶联合量子化误差定义为 岛，= i n f ( a 。是k ，口，7 d k ，口，7 d c 他以h ，以) i i ：口c 月4 ，翻甩c & ，疗 测度“，段的r 秩联合量子化维数在极限存在的条件下可以定义为 。 d ，：l i r a 旦 如果极限不存在，那么我们可以定义d ，、垒，分别作为它的上、下极限我们可以 看出量了化维数事实上就是，哼d r 的函数，即描述p 。趋于0 的渐近率若量子化 维数d ，存在，o - i 有1 。g 巳，l o g ( ! ) 毒 对自然数n 2 和欧氏空间r 上压缩因子为置，的迭代函数系 s ，& 】- ，有i s ，x - s y l = s ，x - y i ，其中墨( o ，1 ) ，其中工，y r d 迭代函数系 s ，s v ) 的吸引子是欧氏空间r d 上唯一的非空紧集a ，而且满足 a = s 。似) u u s 似) 对每一个概率向量p = ( a ，肌) 存在欧氏空间r d 上唯- - 0 0 - - 个b o r e l 概率测度 = p ，。s ， 如果测度的每个组成部分a 都是严格正的，那么测度的支撑集恒为a ， 则测度称为与 1 ，一，& ；p ) 相一致的自相似概率测度 如果存在一个非空开集u ，对所有的江l ，2 ，n 有s 缈) c u 以及对每对满足 f j , l i ，y 是取遍字母表 1 ， 中包含空集在内的有穷数集用h 表示盯 的长度，其中仃= t l r ，吒 1 ，) ，而仃一：= q 吒- 1 x c nen ， 1 ，) “是 所有长度小于，z 的词的集合当f - 1 ，刀时，当且仅当聆肌，呸= q ，一个词 盯= q 吒称为另一个词f = t 的前缀，记为仃 f 空集是任何一个词的前 缀如果盯 f 和f 盯均不成立，那么称f 和仃不相容对盯 l ，) ，我们设 s ，= 娑。c ：亏乏，盯：盯，盯。， 一4 正m ) ， 1 1 仃= 矽 品2 1 屯屯，盯= q 巳， 儿2 1 氏，盯= q 吒， 若迭代函数系 s ，晶) 满足开集条件则有0 ，n a ，) = 0 ，如果f 和盯不相容还有 u ( a ，) = p ，( 见【1 5 】的引理3 3 ) 定理2 1 2 若，( 0 ，佃) 那么存在唯一的一个量子化维数d ，( o ，+ ) 满足 ( a ，j 一见，矿) 赢= 1 ( 2 1 1 ) 令迭代函数系( s l ，s ) 是满足开集条件的，则有 d r = l i m ? 生 (212)l “_ 。一o g e ， 、 引理2 - 1 3 1 2 令自相似概率测度q 是和 1 ，一，；g ) 相应的，其中g = 吼，吼那 么存在 1 ， 矽 中的一个有穷或无穷序列p 。) ，使得( 如m ) ，两两互不相交且 满足等式 q 心) - - 1 f 旦 注意：以下提到的吼均为吼= ( 凡，见，墨打) 肌研 测度的联合量子化维数及谱 性质2 1 4 存在扎，】+ 矽 中的一个有穷或无穷亭列p d ) ；，使得( 丸) ，两 两互不相交且满足等式 2 2 定理2 1 2 的证明 设( 仃o ) ，是凸，】 中的一个有穷或无穷序列，使得( 丸) ，两两互不相交且满 足等式 旦 ( p 1 以r 一肌b = 1 f 设任意的s d r ，有i - b 归纳可得 i n f 缸e t n , r i ne ) 6 0 ，特别璐，l e v o 由此可得 l i m i n f a o 对任意的s 一 打一。 一、j ，一打 、， 测度的联合量子化维数及谱 令粤，孝，刁 。，对矽。，：= 刁( 詈) 。 ， 有五，：l i m s u p 善竺遄 i - - - k 0 0 一l o ge ( ) ，7 现在我们来证明这个声明 通过定义，易知 一d r - l i i l l s u p 蒯- l i m s u p ! 坠 * 一l o g e 2 l ， 一一m l o g e b 2 1 ， 设n i 是自然数n 的任意序列，令 彤叫料弘= 圈扎 对足够大的i ，我们有 专矽眠) 协，考矽亿) 鲋+ 1 传 由( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 和量子化维数的定义，易知 五，l i m s u p ! ! 塑生盟 n - - ) 0 0 一l o g e s ( n 1 r ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 江苏大学硕士学位论文 e m ) ，r 打p k ，口) 7 d k ，口) 7 d 0 。段) k ，以) 6 e i 一( 易r n d 剐h 鼽，p 扣 叫) 丽何 一一 = ：c 灯ns + 打 其中e 打= c - 1 同打z 而，其中i 方l 是集合万的半径由此可得 l i m s u p 丝丝盟d ， _ m l o g e ( n ) ， 2 3 本章小结 在本章中，我们主要研究的是自相似概率测度的联合量子化维数在第一节 中，我们先介绍了自相似概率测度的单个量子化维数的定义和已有的结论主要 给出了多个测度下时，联合量子化维数的一些结论，即定理2 1 2 在第二节中， 我们给出了定理2 1 2 的证明 测度的联合量子化维数及谱 第三章自共形测度的联合量子化维数函数与温度函数 3 1简介及主要结论 近来，在分形代数中分形维数越来越引起人们的注恿，1 1 8 j 研究了满足开集 条件的量子化维数函数，其他人也讨论了其它形式的分形维数( 2 0 ， 2 2 ) 本 文主要讨论概率测度的联合量子化维数函数与温度函数之间的关系量子化最早 出现在电子工程的信号传递和数据处理中 本文推广了l i n d s a y 和m a u l d i n 的结论我们考虑自共形迭代函数系和多个概 率测度在相同支撑集上的联合量子化维数和温度函数之间的关系主要定理3 1 2 就是关于多个测度h ，以的联合量子化维数和温度函数之间的关系 引理3 1 1 【1 9 】 若q f i n ( q ) ，则存在唯一的f l = ( q ) 使得p ( q ，卢( 。) ) = o 定理3 1 2 设仍，纷是满足强开集条件的共形迭代函数系， = 厂j ，厂m j 】，= l ，k 是强h o l d e r 类令m j 是由此迭代函数系产生的一 共形测度，也就是说，对任意的连续函数g ：x r ，n 1 ，有 g 砒，= e x p 6 。眈) ) ( g 。跏，_ = 1 ，七 设f l ( q ) 是此迭代函数系的温度函数，选取q r 使得f l ( q ，) = 咖，那么概率测度 ，l l ，的联合量子化维数可由等式q = # 譬给出 此定理的动因来自单个自共形的情8 1 1 3 1 本章给出联合量子化维数函数的定 义和f l ( q ，) = r q r ，d ，= 红解决关于d r 的问题也就是找出下式的解f r 鬟翼昙。g l ；( 1 | 矽。0 打i i e x p c 喜s 。c 巧，0 赢= 。 c 3 1 1 ， 引理3 1 3 【1 3 】 存在c 1 使得对任意的x ，y x 和缈，有 型墨! 型生c e x p ( s 。( f j ) ( y ) 特别的，对任意的z x 和缈，有e x p ( & ( c ) ( x ) c 10 e x p ( & ( c ) ( 少) 忆 江苏大学硕士学位论文 引理3 1 4 令r ，是一个有限的最大反链，那么存在n o = ( r ) 使得对每一个 以 n o ，存在一个正整数集 = q ) 。r 使得万和 ，硒1 渺。i i 打卜c 窑s 删，卜， k r 引理3 1 5 设o ， 佃，o f o 引理3 1 6 设rc _ t 是一个有限的最大反链，l | r i 和re ( o ，佃) ，则有 芝n 。圳打h 妻s 。她巩l 善皤甩) 引理3 1 7 设是满足式( 3 1 1 ) 的，那么有s u p n e o o 2 一些记号和定义 ， 记 k ，= = 白n f ：。g g 。，c r ) 7 c z g 。，c z ) 7 c z ( c ，1 x x , u k b 。，r 。) ：ac rd,cardan d ( 口) t ：，z i i 有巳，= k ，打， ，砘f 。旦如抄卜如口咿- 溅， ) ：a t c rd,cardal i d胀士 i i 其中u 是满足开集条件的，u 。表示的是u 的补集三者之间的关系为 “打k ，打= 巳，称上式下确界取到的口。cr d 分别是k ，“v ，巳，的刀一最优 集 下面回忆一下记号，以下的记号来自【1 9 设xcr d 是紧集，其中x = i n t ( x ) ( 内部的闭包) 令指标集，= 1 2 ， ，+ = u ，“是所有有限集的集合，。是 所有无限集的集合设s = 仍：x 哼x ：f ，) 是自共形映射的集合，x c 某+ s ，有 物忙s o ，存在( f ) = s u p 圪( f ) ) 0 0 ，x c 每+ n 1 ，都有 圪( f ) = s u p s u p f ( q ( 丸c 。，( 工) ) 一厂( q ( 丸c 。，( 少) ) 1 ) p 声( n 1 ) 和 驴。) | | o l 和c a ，把窆厂6 0 1 ) o 作怕) 记为s 。但) ，的拓扑压力函数可以定义