（运筹学与控制论专业论文）一类关于通货膨胀影响下的最优投资问题.pdf

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治。 2 1 4 2n u m e r i c a le x a m p l e s 2 6 c h a p t e r5s u m m a r y 3 1 r e f e r e n c e s 3 3 r e f e r e n c e s 3 3 a c k o n w l e d g e m e n t s 3 7 i 摘要 在实际的生活当中，人们在获得收入或资金以后，通常都会选 择将其中的一部分用于消费活动，而将另一部分用于各种投资活动， 以在将来得到收益。按照投资风格的不同，投资活动主要包括储蓄、 购买债券、保险等保守型投资，以及购买股票、基金、外汇等风险 型投资。在投资组合优化理论的研究当中，一个重要的研究内容 就是在考虑消费的情况下，投资者投资于无风险的银行账户( 或者 是债券) 和有风险的股票，怎样分配其资金来使得期望效用达到最 大。 目前解决这一问题的主要方法是动态规划方法和鞅方法，但这 些文献在考虑投资风险资产时大部分仅仅考虑股票，很少有考虑实 际中普遍存在的实体经济项目，在实际当中，很多实体经济项目也 可以作为一种风险资产。我们知道，按照投资对象性质的不同，投 资活动又可以分为两种：一种是对实体经济项目的直接投资，例如 建设新项目、购买生产资料进行办厂以及扩大再生产等；另一种是 对虚拟经济的间接投资，例如储蓄、购买股票、债券、基金、金融 期货、期权等。 本文主要考虑了在通货膨胀的影响下，投资者在考虑消费的情 况下，投资于实体经济项目时的投资组合优化问题，我们采用的解 决方法是随机动态规划的方法。 本文第一部分主要介绍了投资组合问题的背景知识，包括研究 现代投资组合理论的意义、投资组合理论的发展状况以及通货膨胀 给生活、生产、投资等所带来的影响。 第二部分主要是对本文要解决的问题所涉及的预备知识进行了 简单的陈述。 第三部分阐述了本文所要研究的具体问题以及相应的解决方 法。 第四部分主要是针对所解决问题的特殊情形( 绝对风险厌恶情 形) 给出显式解，并且具体的给出了几个数值例子，并进一步地给 出了相关的经济学解释。 第五部分主要是综合回顾本文，进行进一步的总结。 关键词：通货膨胀，动态规划，最优投资组合，绝对风险厌恶 硕士学位论文 摘要 ( h a r a ) 情形，h j b 方程 一 e n to b j e c t s ，p e o p l ec o u l dh a v et w ok i n d so fi n v e s t i n ga c t i v i t y p e o p l ec a l li n v e s t i nar e a lp r o j e c td i r e c t l yo ri n d i r e c t l yi nv i r t u a le c o n o m y , s u c ha sd e p o s i ta tb a n k ， b u y i n gs o m es t o c k ，b o n d ，f u n d ，f u t u r eo fo p t i o n t h i sp a p e ri sm a i l l l ya b o u tt h ep o r t f o l i oc h o i c ew i t hc o n s i d e r i n gt h ee f f e c t o fi n f l a t i o nw h e nt h ei n v e s t o ri n v e s t si n t oar e a lp r o j e c t t h em e t h o dw h i c hw e w i l lu s ei ss t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n g t h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e ri sm a i l l l ya b o u tt h ei n t r o d u c t i o nt ot h eb a c k - g r o u n do ft h ep o r t f o l i op r o b l e m ，i n c l u d i n gt h es i g n i f i c a n c eo fm o d e r np o r t f o l i o t h e o r y , i t sd e v e l o p m e n ta n dt h ee f f e c tt h a th f f i a t i o nh a st a k e n t op r o d u c t i o n ，l i v - i n ga n di n v e s t m e n ts t r a t e g y t h es e c o n dp a r ti sm a i n l ya b o u ts o m ei n t r o d u c t i o n st ot h ep r e v i e w t h et h i r dp a r ti sm a m l ya b o u tt h ep r o b l e md e s c r i p t i o nw h i c hw ew i l ls o l v e i nt h i sp a p e ra n dt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m i nt h ef o u r t hp a r t ，w ep a ya t t e n t i o nt oas p e c i a lc a s e w eg e tt h ee x p l i c i t s o l u t i o nf o rt h i sc a s e i nt h ee n d ，w ed i s c u s s s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e ，a n dg i v e a l le c o n o m i ce x p l a n a t i o n l a s t l y ，i nt h ef i f t hp a r to ft h ep a p e r ，w er e v i e wt h ew h o l ep a p e ra n ds u m - m a r i z ei t k e y w o r d s ：i n f l a t i o n ，d y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o d ，p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ， h y p e r b o l i ca b s o l u t er i s ka v e r s i o n ，h j be q u a t i o n v 性。证券收益要受到一系列因素的强烈影响，比如说，市场的活跃程度、政治 事件、国际关系、某一行业的繁荣与萧条等等。正是由于这种收益的不确定性， 使得我们必须同时考虑预期收益和该预期收益的风险暴露水平，以此来研究证 券等风险资产的投资决策理论。另一方面原因，就是各种证券所产生的收益之 间的相关性。如果证券的收益相互独立，那么我们进行分散化的组合投资就可 以降低投资风险；如果证券收益之间是完全负相关的，那么通过分散化的组合 投资就可以完全消除风险。根据这两方面的原因，就可以看出深入研究现代资 产组合理论是很有必要的。 对于我国而言，随着经济市场化改革的深入，风险投资已经成为各种投资 主体的重要工作内容，而这些投资活动就需要现代资产组合理沦进行指导。随 着证券种类的日益增加，投资者实现证券投资的合理组合也就有了很好的基 础。 1 2投资组合理论的发展 1 9 5 2 年，马科维茨( h m m a r k o w t i z ) 发表了一篇题为证券组合选择的 论文，正是这篇论文标志着现代投资组合理论的开端。他分别用期望收益率和 收益率的方差来衡量投资的预期收益水平以及风险，建立均值方差模型来阐述 如何全盘考虑“预期收益最大化”以及“收益的不确定性最小”这两个目标， 从而进行投资决策。马科维茨得出的结论是，投资者应该通过同时购买多种证 券而不是一种证券来进行分散化投资。夏普( s h a r p e ) 和林特( l i n t n e r ) 等在 马科维茨的基础上研究了市场均衡时的证券价格行为，导出了资本资产定价模 型( c a p m ) ，这些模型是在不确定的条件下研究资产定价的理论，对于投资实 践有着重要的指导意义。现在，投资者在进行投资组合中的单个普通股票之间 1 硕士学位论文第一章背景介绍 的投资分配时，广泛运用的就是单指数模型。 在资本资产定价模型提出来之后，1 9 7 0 年，布伦楠( b r e n n e n ) 放宽了资 本资产定价模型的无税收假设，提出了考虑税率对证券投资报酬影响的资本资 产定价模型。v a s i c e k 和b l a c k 分别于1 9 7 1 年和1 9 7 2 年研究了不存在无风险资产借 贷情况下的资本资产定价模型。b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年推导出的期权定价公 式，是7 0 年代最具有革命性意义的事件。m e r t o n 建立了连续时间的证券组合投 资选择模型，资产收益率是对数正态分布的资本资产定价模型，并导出了相 应的基金分离定理和资产定价理论。1 9 7 6 年，s t e p h e n a r o s s 在多因素模型的 基础上，提出了套利定价理论( a p t ) ，消除了证券市场是无摩擦的竞争市场 等c a p m 中很强的假设条件，从而突破性地发展了资本资产定价模型。在7 0 年 代后期，h a r r i s o n 和k r e p s 发展了证券定价的鞅理论，该理论成为目前金融研究 的前沿课题。 我国对现代资产组合理论的研究是从1 9 9 0 年马科维茨和夏普等人获得诺贝 尔经济学奖开始的。我国的经济学界对这一理论表现出了浓厚的兴趣，先后出 版了各种介绍现代资产组合理论的著作，发表了不少讨论现代资产组合理论中 构造资产组合理论方法的文章。目前，我国学者在投资组合选择理论方面的研 究，已经取得了高水平的研究成果，其中在动态均值- 方差分析方面已经处于 国际领先地位。但是，在实证研究方面，我国目前还基本处于起步阶段。张一 驰曾经对资产组合理论在我国证券市场的适用性问题进行过一项研究，得出的 结论是，在我国的证券市场上，如果综合考虑收益和风险两个方面，证券的组 合优于基础证券。正如张一驰所言，资产组合理论是在金融学领域乃至整个经 济学领域一个非常激动人心的部分，它的魅力不仅源于其理论上的严谨，也 同样出自其实用的价值。在金融机构的资产管理中，在证券公司的投资策略 中，在国家使用外债的协调过程中，在个人财富的持有方式选择过程中，以及 每一个需要我们对收益和风险进行权衡的场合，资产理论都具有广阔的应用前 景( 2 0 】。 1 3 通货膨胀因素 人们在研究投资组合理论时，很少考虑到通货膨胀这个影响因素。而通货 膨胀会对社会经济产生很多方面的影响，例如引起收入和财富的再分配，扭曲 商品相对价格，降低资源配置效率，引发泡沫经济乃至损害一国的经济基础和 政权基础。 通货膨胀或通货紧缩所表现出来的震荡是引起消费价格及商品价格上下摆 动的重要因素。处于通货膨胀周期时，股票价格持续i 二升，出现这一现象的原 2 一 硕士学位论文 第一章背景介绍 因是随着通货膨胀率的提高，证券分析人士抬高了对公司收益的估计，推动了 股票价格的上涨。通货膨胀降低了公司收益的实际增长，对股票价格产生负效 应。对于投资消费，随着通货膨胀提高，物价上涨，货币财富购买的消费品减 少，降低了投资者的消费效用。因此，人们通过降低自由支配的消费额、增加 投资来对付通货膨胀。可见，通货膨胀或通货紧缩会直接影响人们的消费投资 策略【1 9 】。 通货膨胀侵蚀货币购买力，使任何以固定货币数量计算的资产的真实价值 都受到影响。对于持有不变价格财产的人来说，其拥有的债券、银行存款的票 面价值是相对固定的，实际价值将随物价上涨而下降。通货膨胀造成人们对货 币贬值的预期，导致流通中的囤积居奇，出现“投资不如投机，生产不如囤积， 存钱不如存货”现象，导致生产下降，通货膨胀恶化，企业不再致力于提高产 品质量，提高生产效率，降低成本，而是乘通货膨胀之机，抬高物价，粗制滥 造，结果形成资源浪费，生产能力降低，严重影响经济效益。 本文中，主要研究的就是在考虑通货膨胀的影响因素下，一类资产组合的 最优选择问题。在文章【1 1 1 中，王光臣和吴臻研究了受通货膨胀影响的终端财富 期望效用最大化问题。 3 一 一 下面简单的看一下布朗运动的一些基本性质： 命题1 ( a ) b t ，t o ) 为布朗运动乍今它是连续零均值的高斯过程， 且协方差阵为e ( b 。b t ) = s a t ；s ，t o ； ( b ) 若 鼠，t o 】- 为布朗运动，则： ( i ) ；b ( c 2 ) ，t o ，v c 0 ，是布朗运动 ( 钇) 度= 。t b ，( t - t 1 ) ：, t 。 0 也是布朗运动 关于上述性质的证明，在随机过程有关的书中都会详细的给出，这里不再 赘述。 2 2i t 6 公式 i t 5 公式足随机分析的重要工具之一，这里主要给出一些i t 6 公式相关的基本 内容。记 2 = ，中1 ：e i ，( s ) 1 2d s 。) - ，0 ，t k = ，圣z ：i ，( s ) id s o o 口s ) ，u ，t 鼠= ，圣- ：i ，( s ) 1 2d s n s ) 5 并记 ( ) = ，为d 维过程，f l f ) ，t = 1 ，2 其中圣1 表示为适应的可测过程类。 定义2 设，= ( f 1 ，f d ) ( 2 ) d ，g 跣，而砌雄布朗运动，则称 五= + o 。m + 知s 灿 为a 6 过程，其中知焉这里 胁胍= 喜z 肿脚， zm 胍2 善z 九s ) d 耿s ) 是一个连续的平方可积鞔 命题2 设b = ( b 1 ，b d ) 为d 维布朗运动，x = ( x 1 ，x ”) 为舻值的尼6 过程，满足 瑶= 瑶+ z 。以s ) d s + d j = l。( 5 ) d b j ( s ) ，1 i m 如果，= f ( t ，z ) 为定义在r + 实值函数，关于z 二次连续可微，关于琏续可 微( 记为，c l , 2 ( r + 舻) ) ，则有 其中 巾，五) = ，( 。，函) + z 箬( s ，五) d s + 1 + 互 i = 1z 瓦o f 五) 峭 材亳驯 删 称为i t 5 过程x i 与x j 的二次互变差过程。 其等价形式为 d f ( t ，x 1 ，) c 警+ 砉鬈以力+ 三薹磊砉嘣帆以m t + ；：。o 。f 。：d ；6 缸( ) d 玩( ) 6 ( 2 1 ) 1 硕士学位论文 第二章预备知识 定理1 设x ，y 都是几6 过程，则 d ( 五y t ) = x t d y t4 - y t d x t4 - d 2 3随机控制与h j b 方程 在本文将要讨论的投资组合问题，所运用的主要方法是利用随机动态规划 原理，得至i j h j b ( h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ) 方程下面简单地介绍一下随机控制 问题及h j b 方程。 对任意的( s ，z ) 【0 ，引舻，我们考虑如下的状态方程： d 歹擘) 一“以功一 ”出扣 ) ，似力) d 既 亡 s 捌，( 2 - 2 ) 【z ( s ) = z 对应的性能指标函数如下： ，t j ( s ，z ；( ) ) = e ，( z ( t ) ，u ( ) ) 出+ 九( z ( t ) ) ( 2 - 3 ) 随机最优控制的目的，就是寻求容许控制仳( ) u ，使得( 2 3 ) 式达到最小。 我们定义： y ( s ，z ) = i n f j ( s ，z ；让( ) ) 于是动态规划方程为： ，8 + t y ( s ，z ) = i n f e 【 ，( z ( t ) ，札( t ) ) 出+ y ( z ( s + a s ) ，5 + s ) 】 我们假设y ( s ，z ) c 1 ，2 ，则运用i t 6 公式，然后两边同除以t ，并令出_ 0 ，可以得到相应的h j b 方程如下： f 警+ 掣；磐加) 智 + 耋掣谁+ m ，u ) ) - 0 ，吲础) 却( 掣) 矿( 删劬 【y ( z ，t ) = ( z ) ( 2 4 ) 至于相关h j b 方程的证明，在随机控制相关的书中都有介绍，不是本文讨 论的主要内容，这里就不再赘述。 7 行账 。假 ( 3 - 1 ) 款利 投资者把其另一部分资产投资在工厂某单一产品的实际生产当中。假设产 品的成本价格满足如下的随机微分方程方程： d p ( t ) = o ，p ( t ) 尸( t ) 出+ a ( t ) p ( t ) d b t ( 3 - 2 ) 产品的出售价格满足如下的方程： d s ( t ) = q 。( t ) s ( t ) d t + c r ( t ) s ( t ) d b , ( 3 - 3 ) 我们用扇和昂分别表示产品的成本和出售的初始价格。我们假设工厂对该产品 的生产数量依赖于该产品的售价，即s ( ) ，我们用舻( ) 来表示该产品的生产数 量，通常在经济学意义下，p 为负常数。和a 。为投入、产出价格的瞬时期望 收益率，仃为生产的瞬时波动率。由此可得，投资者投资在工厂中的收益为 g ( t ) = ( 1 一丁) s 卢( t ) ( s ) 一p ( t ) ) 其中r 为市场上的税率。 假定通货膨胀是随机过程，而且价格水平由以下过程描述： 等：o d t + 5 d b t ( 3 - 4 ) 考虑通货膨胀的影响，则投资者所投资的债券( 或是银行存款) 的真实价值 为器。记 ( q ，局) = 将，投资者投资在工厂的真实收益为器，i p _ j ( h ，q ) = 雨r e ( t ) 。在整个投资过程中，投资者同时在消费，其消费率为c ( t ) 。我们的目的在 于寻求最优的投资于生产该单一产品的实体项目的资金额丌( t ) 和消费率c + ( t ) ， 使得投资者的期望效用 m ，叩，伽) = ef a ru ( 蝴) ) d t + ? ( e w ( 丁) ) ( 3 - 5 ) 硕士学位论文第三章研究问题 最大化。 3 1问题描述 假定通货膨胀是随机过程，而且价格水平由以下过程描述： 笑：e d t + 5 d b t ( a - 6 ) 其中鼠为定义在概率空间( q ，厂，p ，五) ，五= o - b , ：0 sst ) 上的一维标准布 朗运动。该过程的漂移率口为每单位时间的期望通胀率，5 2 为过程的每单位时间 的方差。( 3 - 6 ) 式告诉我们价格水平在很小的时间间隔内成比例变化，而且变化 比例服从一期望是8 d t ，方差为铲d t 的正态分布通过求解( 3 - 6 ) 式，得到该式 的解为： r 2，t q ( t ) = q ( o ) e 印 一告) t + 6 d 玩】 ( 3 - 7 ) 假设投资者投资在债券( 或者是银行存款) 上的资产满足如下方程： 删= ：裟t ) d 眠t , 黧三吕 c 其中，r ( 舌) 是t 时刻的存款利率，而兄( t ) 是时刻的贷款利率，一般总假定兄( ) r ( t ) 。考虑通货膨胀的影响，则该债券( 或是银行存款) 的真实价值为业q c t ) 。 记危( q ，岛) = 豁，显然，h ( q ，p o ) 为随机过程，将 旧，r ) 简记为 ，利 用i t 6 公式，我们容易得到： 扯_ _ _ h d t + o h i m 器岍三( 蒜d 焉+ 2 丽o a h 州q + 髻蚺( 3 - 9 ) 经过整理，可得： d 九= q d p o 一万p o + 互1 伊2 p o ( q 2 5 2 ) d t = 鲁( 盂。) 出) 一百p o ( 口d t + 6 d b t ) + 鲁( 6 2 d ) = 铷叻- 8 + 5 2 肛扣跗 即 一一 t d h = 【屁( t ) 一口+ 6 2 a t 一甜b ( 3 - 1 0 ) 其中盂c t ，= ：笛，雪竺 昌三： ( 3 - - 1 0 ) 式即为投资者投资在债券上( 或者是银行存款) 的真实收益。 1 0 硕上学位论文 第三章研究问题 投资者把其另一部分资产投资在工厂某单一产品的实际生产当中。假设产 品的成本价格满足如下的随机微分方程方程： d p ( t ) = a p ( t ) p ( t ) d t + a ( t ) p ( t ) d b t ( 3 - - 1 1 ) 而产品的出售价格满足如下的方程： d s ( t ) = q 。( t ) s ( t ) d t + a c t ) s c t ) d b t ( 3 - 1 2 ) 我们用扇和岛分别表示产品的成本和出售的初始价格。我们假设工厂对该产品 的生产数量依赖于该产品的售价，即s ( 亡) ，我们用舻( t ) 来表示该产品的生产数 量，通常在经济学意义下，卢为负常数。和a 。为投入、产出价格的瞬时期望 收益率，盯为生产的瞬时波动率。由此可得，投资者投资在工厂中的收益为 h ( t ) = ( 1 一r ) s 口 ) ( s ( t ) 一p ( t ) ) 其中丁为市场上的税率。 通过求解( 3 - 1 1 ) 式和( 3 - 1 2 ) 式，我们可以得到： p ( d = , r i o 。p o e x pa ( s ) d b 。+ z 0 ( ( s ) 一丢盯2 ( s ) ) d s 】， p ( t ) = + ( ( s ) 一去盯2 ( s ) ) d s 】， ， s ( ) = 【t+ z ( a 。( s ) 一互1 s o e x pa ( s ) d b 。0 仃2 ( s ) ) d s 】s ( ) = 【+ ( a 。( s ) 一百仃2 ( s ) ) d s 】 j q j 厶 于是，我们得到 这里 日( t ) = ( 1 一下) 鬻e ( 1 + p ) 露，( 8 ) d 玩f ( t ) f ( t ) = 扩后一；o 2 ( s ) ) d s 障e 肥一辨肛- p o e 詹( 洲一辨 对h ( t ) 求导，则可得 d h ( t ) = 日( ) ( 1 + ) a ( t ) d b t + h ( t ) f ( t ) d t ( 3 - 1 3 ) 其中，( t ) = 器+ ；( 1 + p ) 2 盯2 ( t ) 这里f ( ) 0 也就是说该工厂生产的产品的 成本价格与出售价格是不同的。 在通货膨胀的影响下，投资者投资在工厂的真实收益为器，记z ( 日，q ) = 1 1 硕士学位论文 第三章研究问题 渊，并且将2 ( 日，q ) 简记为z ，则运用i t 6 公式，司得 拈挚+ 嘉d 日+ 品岍m 1 r 0 日2 1 ：d h = + 丽0 2 1 删q + 罢呼 = 苦 ( 1 + 卢) 盯( t ) d 玩+ ，( t ) d 胡一虿h - q ( 口出+ 6 d 鼠) + * 害( 1 + f 1 ) a 6 d t + 虿2 h 衄刁 = z ， ) 一口一互1 ( 1 + 卢) 矿( t ) 6 + 6 2 d t + f ( 1 + p ) 仃( 亡) 一卅d 尻( 3 - 1 4 ) 丁d l = i s ( t ) 一目一互1 ( 1 + 卢) 盯( t ) 5 + 6 2 心+ ( 1 + p ) 盯( t ) 一5 d b t ( 3 - 1 5 ) 重新整理一下，我们将投资者投资在债券上( 或是银行存款) 的资产所产 生的真实收益表示为： 警= 一0 + 5 2 d t 一甜岛 f 【r ( t ) 一0 + 6 2 a t 一6 d 鼠， 当岛( ) 0 ， ( 3 1 6 ) i n ( t ) 一0 + 5 2 d t 一阳b ，当p o ( t ) 0 为方便起见，我们引入简单的记号，将投资者投资在工厂的实际生产中的资产 所产生的真实收益表示为： 警= m ) 一口一互1 ( 1 + 卢) ( t ) 6 彬+ ( 1 p ) 盯( t ) 一卅d 鼠( ) 全a ( t ) d t + 【( 1 + 卢) 盯 ) 一5 d b t 我们分别用w ( t ) ，c ( t ) ，7 r ( t ) 表示t 时刻投资者总的财富、消费率过程和 投资在工厂的实际生产中的资产数。我们假设c ( t ) ，丌( t ) 适应于信息流r = 仃 玩；o s ) ，而且满足e 譬c 2 ( t ) d t o o 和e 舒丌2 ( t ) 叫 o o 投资者在t 时刻总的财富方程为： id w ( t ) = ( r ( t ) 一0 + 铲) ( 亡) + 7 r ( t ) ( n ( t ) 一r ( t ) + 0 6 2 ) 一c ( t ) d t 一( r ( t ) 一t i t ) ) ( w ( ) 一7 r ( ) ) 一d t 一 ( ( ) 一d t ) ) o + 丌( ) ( ( 1 + p ) 盯( t ) 一万) d 鼠， i i ( s ) 一 ( 蛐) 其中z 一= ( 1 z l z ) ，v z r 如果关于彬c ，7 r 的财富过程( t ) 满足w ( ) 0 ，t 【0 ，卅，我们称( c ，7 r ) 是容 1 2 ( h 1 ) 系数7 ( t ) ，r ( ) ，( t ) ，( t ) ，盯( t ) ，t 【0 ，叫均为确定性的，并且在 o ，卅上一 致有界； ( h 2 ) 对所有的t 0 ，卅，c ( t ) 0 ，叫( t ) 0 即消费率不能是负值，投资者也不 能破产； ( h 3 ) u ( t ，c ( ) ) ，b ( ew ( w ) ) i c s j j 关于 c , w 是单调递增、凹的且可微。即投资者 喜欢高水平消费，但是终端财富水平较低，且他她的边际效用( 形& ) ( ，c ) 和 ( 州o w ) b ( t ，w ) 分别关于c ，w 递减。 上一节所述问题便构成一个随机最优控制问题，其经典方法是运用随机动 态规划原理，得到相应的h a m f l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) 方程，然后求解得到 最优投资额和消费率。 让我们定义一个值函数：v ( s ，叫) = j ( c 。，矿；s ，加) ，分别用虼和表 示y ( ，) 关于叫的一阶偏导数和二阶偏导数，根据( h 3 ) ，有k 0 ，。 o + s u p 一 丌 丌 一 一 伽 伽 当当 丌 丌 甄恐 ，(1一， 硕士学位论文 第三章研究问题 由上图易知： s u p k ( t r ) = s u p k 2 ( 丌) 7 i r = ( r ( s ) 一7 ( s ) ) 硼一 ( o ( s ) 一r ( s ) + 0 6 2 ) k 一6 ( 1 + 卢) 盯( s ) 硼k 。 。 2 v 0 。( ( 1 + p ) 盯( s ) ) 2 ( 3 - 2 7 ) 丌+ ( s ) = 鹕( s ) = 一( a ( s ) - r ( s ) + 瓦g - 丽6 2 邗) v w 而- 6 驴( 1 + f 1 ) 一a ( s ) w v w w ( 3 - 2 8 ) fk + ( r ( s ) 一0 + 6 2 ) 伽+ 6 2 w 2 。+ u ( s ，g ( s ，) ) 一g ( 8 ，) 一删丑氅蒜锑帮业业- 0 ，( 3 - 2 9 ) iv ( t ，w ) = b ( t ，w ) 因此，最优决策由( 孓2 8 ) 式和( 3 2 5 ) 式给出，其中y ( s ，叫) 是偏微分方程( 3 - 2 9 ) 的 解。 第二种情况 假定( s ) w 7 r ：( s ) ： 1 6 研究问题 则由上图易知： s u p k ( 7 i ) = k ( ( s ) ) = ( o ( s ) 一r ( s ) + 0 6 2 ) 伽一万( 1 + p ) 仃( s ) 叫2 。+ 去k 。叫2 ( ( 1 + 卢) 盯( s ) ) 2 = ( 。( s ) 一r ( s ) + 口一6 2 ) w v 。+ 1 w 2 。 ( ( 1 + ) 盯( s ) 一6 ) 2 一铲 ， ( 3 - 3 0 ) 丌( s ) = w ( s ) ( 3 - 3 1 ) 此时，相应的h j b 方程为 j ，k + 。( s ) 叫。+ u ( s ，夕( s ，) ) 一9 ( s ，) + 烛咝雩盥噬k 。= 0 ， 【v ( t ，w ) = b ( t ，w ) ( 3 - 3 2 ) 因此，最优决策m ( 3 - 2 5 ) 式和( 3 - 3 1 ) 式给出，其中y ( s ，伽) 是偏微分方程( 3 - 3 2 ) 的 解。 第三种情况 假定丌：( s ) 叫： 1 7 硕士学位论文 第三章研究问题 则由上图易知： s u 。p k ( r ) 2k ：( 7 r ) “ ( 。( s ) 一r ( s ) + 口一铲) 一6 ( 1 + p ) 盯( s ) 叫。 2 ( 3 - 3 3 ) 2 一1 瓦而耳雨丽f 一 2 1 么伽( ( 1 + 卢) 盯( 5 ) ) 2 丌+ ( s ) = 丌= 一( a ( s ) - - r ( s ) + 瓦0 - 丽铲巧) v w 丽- 8 丽( 1 + 厂1 3 ) a ( s 一) w v w w ( 3 - 3 4 ) 此时，相应i 拘h j b 方程为 fk + ( r ( s ) 一0 + 铲) 叫圪+ 6 2 伽2 圪。+ u ( s ，9 ( s ，圪) ) 一g ( 8 ，) 圪 一。1 迪型笔篙器掣，( 3 - 3 5 ) 【v ( t ，) = b ( 丁，) 此时，最优决策由( 3 - 2 5 ) 式和( 3 - 3 a ) 式给出，其中y ( s ，叫) 是偏微分方程( 3 _ 3 5 ) 的 解。 在这一节中，求解最优投资组合和消费率选择所用的方法为理论方法，一 般情形下，只能用数值方法来求解。然而，针对“绝对风险厌恶( h a r a ) ”情 1 8 第三章研究问题 得到明确的最优投资组合和消费率选择，我们将在下节 1 9 经过计算，很容易得出： c ( s ) ( 圭丽o v ) ， 辫( 啉( s ) ) _ 丽o vc ( s ) ) 邛e 叫) 击等a v 1 - m 4 1三种情况 翌匹奠8 0 v 、一蠡 丽i z 。丽j j ” = 尚( 扩1 击( 笳) 謦 第一种情况倒t w ( 8 ) ( s ) ，贝u ( 3 - 2 9 ) 式有如下形式： 让我们来解一下上式： 设y ( s ，伽) = ( s ) 譬鲁，这里咖( t ) 为时间t 的确定性函数，其解稍后给出。则 k = 函( s ) 酱 ( 4 - 1 ) = ( s ) 伽一m ，k 。= 一m ( s ) 伽- 1 - m ，故相应的h j b 方程 2 1 簪l 别：| 1 勺铆一 1 垫 弦芦盏 + 陋丽 埘 + 一” p u wk 些k 2 拿一 u j 一 丑 一一 铲竺 氅 + 坐兰 铲 兰 + j o 生h= 李 叫 k 尉 ” k 叭 硕士学位论文 第四章绝对风险厌恶情形 f 函( s ，w 。一i - m m - + ( 冗( s ) 一伊+ 铲) ( 5 ) 叫1 一肘一；m 6 z ( s ) 硼1 一m + 芒铬( 己e l s ) 击( ( s ) ) 等尹伽1 一m + 迪型等黼寄鬻秽业巫_ 0 ， 【妒( t ) = k p 2 ) 整理得： j 如) + ( 1 一划脚) 一p + 铲一 m 邢( s ) + 坐啦篇蔫需掣帅) 1 + m ( l e 邓) _ 【1 州) 可m - 1 = 0 ， “。 【( r ) = k ( 4 - 3 ) 显然，上式是一个b e m o u l l i - t y p e ：疗程。下面我们用一种经典的方法来求解 这一方程。令 9 1 ( s ) = ( 1 一m ) 【兄( s ) 一0 + 铲一去m 铲】 -1(1-m)(a(s)-r(s)+0-o蛇)+5(1+f1)a(s)m2(4-4) 2 m ( ( 1 + 卢) 仃( s ) ) 2 9 2 ( s ) = m ( l e 一7 8 ) 击 则( 垂3 ) 式可以写为如下形式： d z e r t ( s 、) + g i ( s ) 妒( s ) d s = 一9 2 ( s ) 妒1 一击d s ， (45)k i ( t ) = p 叫 令函( s ) = e - j ，g t ( r ) d r ( s ) ，贝0 $ 7 ( s ) = e - f f g - ( r ) d 7 ( s ) + 夕1 ( s ) e j 丁f z ( 一d r 矽( s ) = 一仍( s ) e f s t g l ( r ) 打( s ) 1 一击 = 一卯( s ) e hf f g ( ) d r 参1 一击 记仍( s ) = 仍( s ) e 一耵1j 。t 9 - ( r ) d r ，则我们有如下方程： 矧三湍缎k 矗= o c 删 【( r ) = 妒( f ) = r 叫 通过求解上式，可得： 乒= 睁+ 击t 嘶) d 矿 恶情形 ( 4 - 7 ) ( 4 - 8 ) 铲 ( 4 - 9 ) 设y ( s ，叫) = 九 j ，、r i v i - 万m ，则相应的h j b 方程可以写为： ，乒2 ( s ) + ( 1 一m ) 口( 8 ) 一；m ( ( 1 + p ) 仃( s ) ) 2 】妒：( s ) + m ( l e 一7 8 ) 击( 妒2 ( s ) ) 尹= 0 ， i 也( t ) = k ( 4 - 1 0 ) 我们运用与第一种情况中相同的思路，令： ( s ) - - - ( 1 一m ) ( 口( s ) 一三m ( ( 1 + 卢) 盯( s ) ) 2 ) ，( 4 - 1 1 ) 则( 4 1 0 ) 可以写为如下形式： ! 唑) + 烈曲山一9 2 ( s ) ( 似s ) ) 1 咭d 8 ，0 - 1 2 ) l 毋2 ( t ) = k 令西( s ) = e - 1 1 ( r ) d r 2 ( s ) ，贝0 祝( s ) = e 一 ( r ) d r 妒：( s ) + ( s ) e f ( r ) d r ( s ) = 一9 2 ( s ) e k1 1 ( r ) d r 晚( s ) 1 一面1 ：一仍( s ) e 一击j ：r ( r ) d r 扔( s ) 1 一击 记，3 ( s ) ：卯( s ) e 一击f ( r ) d r ，则我们有如下方程： 揣嚣喾k 1 _ 也0 ( 伽) 【2 ( 丁) = 妒2 ( t ) = 、 7 通过求解上式，司得： 扔= 畔+ 击2 蒯d r r 则： 也( s ) ：e x p ( , t ( r ) d r ) 区击+ 击r 眈( 咖印( 一丽1 t ，l ( r ) 出) d 司m ( 4 - 1 4 ) 于是，我们得到： fv ( s ，协) = 也t 5 ，x 荫, # i - - 旷m ， 矿( s ) = ( 圭矿5 2 ( s ) ) 一击t ， ( 4 1 5 ) 【矿( s ) = ( s ) 从而，在假设呓( s ) w ( 8 ) 7 r ：( s ) 下，如果r ( s ) 一口+ 铲 a ( s ) 一m ( 1 + 卢) 盯( s ) 一6 1 ( 1 + 卢) 仃( s ) r ( 8 ) 一p - - 6 2 成立，则最优决策和值函数由仕1 5 ) 式给 出。 第三种情况假设7 r ：( s ) w ( s ) ，则( 3 _ 3 5 ) 式有如f 形式： fk + p ( s ) 一p + 铲) 伽+ 6 2 叫2 。+ 芒舞( l e 一 ) 击( 笳) 尹 一 一f c a c s ) - r ( s ) - k o - 抓6 e ) 1 v w - $ 删( 1 + f l ：) o ( s ) w v u j ” = o ， 【y ) = b ( t ，) 设y ( s ，伽) = 九 a ，、霸w l - - 旷m ，则相应的h j b 方程可以写为： ( 4 - 1 6 ) il ；3 ( s ) + ( 1 一m ) p ( s ) 一伊+ 铲一譬) 3 ( s ) + 型唑盟纂篙器笋必九( s ) + m ( l e 叫) 击(