（运筹学与控制论专业论文）非线性时滞控制系统的指数稳定性研究.pdf

复旦大学硕士毕业论文 中文摘要 在许多实际问题当中，如航天器控制，核反应堆控制，经济系统，生物工程等众多邻 域，由于在系统发出的信号和对此信号作出的反应之间，存在一个时间差，这样一来，时滞 对系统的行为能产生显著的影响，也使得对时滞系统的镇定变得更加困难。此外，由于我 们获得信息能力的限制，系统往往受到许多不确定因素的干扰，其中包括各种各样的误差 。所以研究时滞系统，特别是包含不确定项的时滞系统的镇定问题，有重要意义。 从八十年代开始，时滞系统的研究获得了广泛的重视，出现了许多研究此类问题的文 章。最初，人们研究的主要对象是包含扰动项的线性时滞系统，比较有代表性的文章是文 献 5 和 6 。后来，人们开始研究非线性时滞系统，如文献1 和 9 】。这些研究的主要目 标是设计连续的状态反馈控制器，使之能镇定时滞系统。由于控制带时滞在实际问题中是 广泛存在的，在文献 7 j 中，作者指出：在设计控制器时，如果不考虑控制中的时滞，将会 对系统的镇定产生影响，故本文主要研究对象是状态和控制均带时滞的非线性系统。 在第二部分，我们首先阐述我们将研究的系统，并给出一些基本概念。在第三部分， 我们计连续的反馈控制器来镇定系统，鉴于在前面的工作中，还没有研究过时滞系统的指 数稳定问题，所以我们着重考虑非线性时滞系统的指数稳定性。最后一部分，给出了一个 数值例子来阐述本文结论的应用。 关键词：非线性时滞系统；反馈镇定；l y a p u n o v 函数； 复旦大学硕士毕业论文 a b s t r a c t t i m ed e l a y sc a nb ef o u n di nw i d ec l a s s e so fc o n t r o ls y s t e m s ，s u c ha st u r b o j e te n g i n e 】s h i p s t a b i l i z a t i o n lc h e m i c a lp r o c e s s ，e n g i n e e r i n gs y s t e m s ，b i o l o g i c a ls y s t e m sa n d e c o n o m i cs y s t e m s o n e i n a j o rp r o b l e mi nt h ea n a l y s i so ft h e s es y s t e m si st h es t a b i l i z a t i o np r o b l e m m a n yw o r k s h a v eb e e n d e v o t e dt ot h el i n e a rd e l a ys y s t e m s ( s e e 5 1a n d 6 】) ，w h i l et h e r ea r en o tm a n yp a p e r sa b o u tn o n l i n - c a 4 d e l a ys y s t e m s ( s e e 1 】a n d 9 ) t h es y s t e m sc o n s i d e r e di nt h e s et w op a p e r sd on o tp o s s ei n p u t d e l a y h o w e v e r ，t i m e - d e l a y si nc o n t r o la r eo f t e ne n c o u n t e r e di nm a n yi n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，t h e p r e s e n c eo fi n p u td e l a y s ，i fn o tc o n s i d e r e di nac o n t r o l l e rd e s i g n ，m a yc a u s ei n s t a b i l i t yo rs e r i o u s d e t e r i o r a t i o ni nt h ep e r f o r m a n c eo ft h er e s u k i n gc o n t r o ls y s t e m s ( s e e 【7 】) a n dt h e s et w op a p e r s o n l yc o n s i d e r e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m s ，n o te x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rd e l a y s y s t e m s ，w h i c hp o s s e s sm a t c h e da n du n m a t c h e du n c e r t a i n t i e sw i t ht i m e - d e l a yi nb o t hs t a t ea n d c o n t r o l s s i n c ei np r a c t i c a lw o r l d ，c e r t a i nt i m ei sn e e d e df o rt h es i g n a lt ob et r a n s m i t t e da n d p r o c e s s e da n dt i m e - d e l a yp r o v i d e sp e o p mw i t hc e r t a i nt i m et od e a lw i t hs i g n a l ，t h u st h e r ee x i s t s t i m e d e l a yi nm a n yp r a c t i c mf e e d b a c k s ow ed e s i g nac o n t i n u o u sm e m o r yf e e d b a c kc o n t r o l l e rb y u s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，w ep r o v e dt h a tw i t ho u rm e m o r yc o n t r o l l e r ，t h ed e l a ys y s t e m s a g ee x p o n e n t i a l l ys t a b l e k e y m o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m s ；c o n t r o l l a b i l i t y ；f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o n ；a l g e b r a i cp j c c a t ie q u a - t i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n 2 复旦大学硕士毕业论文 5 1 引言 时滞问题广泛的存在于实际问题当中，如航天器控制，核反应堆控制，经济系统，生物 工程等众多邻域，因此对时滞系统的研究有重要的意义。 时滞系统的一个主要研究方向是考虑其是否能反馈镇定。从八十年代以来，人们对线 性日寸滞系统做了许多工作，如文献 5 和( 6 ，但是研究非线性系统的文章还不多，如文献 1 和 9 】。这些文章考虑的系统中，控制作用都没有时滞，而控制带时滞在实际问题中是 广泛存在的。在文献 7 中，作者指出：在设计控制器时，如果不考虑控制中的时滞，将会 对系统的镇定产生影响。这些系统的扰动项只有匹配扰动，而没有非匹配扰动项。同时他 们只考虑了系统的渐进稳定性，未考虑系统的指数稳定性问题。 本文研究一类非线性时滞系统的指数稳定问题，该系统包含控制和状态时滞。通过设 计一个连续的反馈控制，使用李雅普诺夫稳定性理论，我们证明了在这个控制器下，系统 是指数稳定的。 本文余下部分是这样安排的：第二部分是我们研究的系统和文中需要的概念和引理； 第三部分是本文主要结论，给出这类非线性时滞系统反馈镇定的一个充分条件；第四部分 为我们的结论给出一个具体例子。 4 复旦大学硕士毕业论文 5 2 问题的提出与假设 让我们先介绍一些基本符号和定义。 观( 日) ：= x ( t + p ) ，v 目( 一。，o ； c r ( 一口，o ，r ”) ：从( 一o o ，0 到口的所有连续函数集。 b c ：= 曲g ( ( 一。o ，o ，r “) ，s u p | | ( 口) | | 0 ，使得l l v ；，( t ，z ) | | 加， v ( t ，z ) r b ( 5 ) 。 假设2 4 存在非负实数a 埒，脚( 1s ism ) 使得 l t p t ( t ，z ( t ) ，x ( t 一 ) ，“( t ) ，u ( t 一下) ) | | 冬九- t t x ( t ) l i + 九。i i x ( t h ) l i + a i a l u i ( t ) | | + a “| j “。( t r ) | | ， 其中0 a ：3 + a 秘 1 ， i q ( t ，y l ，y 3 ，y 4 ) l i 如恢m j = l 对任何t 0 成立 下面的引理在证明本文主要结论时将要用到。 引理2 1 若对系统( 2 ) ，假设2 3 成立，则下面两个命题等价： ( i ) 系统( 2 ) 局部指数稳定 ( i i ) 存在连续可微的李雅普诺夫函数v ：r b ( d ) _ r + 和正实数咄( 1 i 3 ) ，满足下 述性质： u l l i z l l 2 v ( t ，z ) su 2 i i z | 2 ， 秘卅v 姚咖f ( t ，x ) _ 2 毗咄 ( 4 ) f i v 三v ( t ，x ) jj u 。i l x l l ， v ( t ，茁) r b ( 5 ) 。 注：引理由参考文献 2 j 证明，在此，仅简要给出李雅普诺夫函数及三个正实数的定义。 若( i ) 成立，设和舀为满足口 西 0 成立。在文献 2 j 中定义的李雅普诺夫函数如下： t ， 矿( f ，z o ) = e 2 胡慨f + 目，t ，x 0 ) f f 2 甜，( 5 ) 6 复旦大学硕士毕业论文 其中，丁为满足t 三i n 万( 百一。) 的任意正实数 ( 6 ) 定义2 3 若存在非负实数血，卢d ，使得对任何初始条件妒e ( 一毋，o j ，尼。) ，忡f i 灿1 u 3 + # 2 w 3 成立，则使用控制器( 7 ) ，系统( 1 ) 局部渐进稳定。 证明：由于假设2 1 2 4 满足，我们定义泛函：矗b c _ r + 如下 k ( ) = v ( t ，妒( o ) ) + ；俐3 | j p ( 日) j j 2 眠 0 ( 8 ) 7 口d 日万一弛+ w e o p 2 | | 3 u口d dd 一西2一 e护 = 2 upd 日 w o 矿 l l u 复旦大学硕士毕业论文 其中v ：r b ( 6 ) _ r + 由引理21 给出，显然 w l l l 妒( o ) 1 1 2s k ( t ，妒) s ( u 2 + 2 1 。w 。h ) 2 对任何( t ，妒) 冗b c 成立，其中u 1 ，u 2 由( 6 ) 式给出。 ( 9 ) k 沿系统( 1 ) 解的方向导数满足： 爰k = 罾) ) + v 。t 即，邢) ) 弛，雄) ) + 曼i = 1 v t 。帅，) ) “柚) 州t ) + 乏二v ；v ( t ，。0 ) ) 目； ，。( t ) ) p 。0 ，z ( f ) ，x ( t 一 ) ，u ( t ) ，u ( t r ) ) + v t v ( t ，z ( t ) ) q ( t ，z ( t ) ，x ( t 一 ) ，u ( t ) ，u ( t 一7 - ) ) + 互1 “z u a ( j j z ( t ) 1 1 2 一1 1 - z ( t h ) 1 1 2 ) 使用控制器( 7 ) ，我们得到 s 豢协球) ) + v ；即，础) ) f ( t ，坤) ) 一子。 型型蟹 差j 。a ：。j l z ( t ) i l j v ；v ( t ，。) - g i ( ，。) + e e 一种 a 乏l l x ( t ) 1 1 2 。a t 。1 1 z ( t h ) 1 1 i v ；v ( t ，z ) 9 ；0 ，z ) l + s e 一矿 +硼硒j丌a丽乏m(t两-t百)ii；币丽jv。tv；v(t 眦z ) 北：一- 、v j i l 。 a “( t 一了- ) f，z ) 吼( t ，z ) f + e 一班川。“叫驯h + 量( a 。i i z ( t ) l l + a 。i i 。o 一 ) | | + 凡。i | o 一，) i i ) 1 y r e ( t ，z ) m ( ，。) + 塾口t 丽丽蔷辫 a 酬z 0 ) 胪 十习丽f 砑丌可可兀磊习丽 +研矿斋糟特篓丽v龇tt)iv y v ( t i 小“胪 a ：。怯( 一，z ) 肌( t ，z ) 十e 一种j l 。m 山j 。垅l 。川 + ( p d l x ( t ) 1 1 24 - 他l l x ( t ) l i 忙( t 一 ) i i ) u 3 + ；( i l z ( t ) 1 1 2 i i x ( t h ) 1 1 2 ) p 2 叫3 复旦大学硕士毕业论文 定义函数 ( 护) = 西( 目) 日f - - 5 5 ，o ， 0 目( 一。o ，一( 留+ 1 ) 】 咖( 一) ( 曰+ + 1 )p _ ( 钌+ 1 ) ，一u ( 1 0 ) 则，参b c 因为。( ) 是系统( 1 ) 的解，故连续，我们可以找到正实数0 ( j ，满足 忪f | = s u p 。渺( 口) f j ( ( 显然忙( o ) f jsj i i t b 0 ，使得忙( 洲 j 对 口引一曰，0 l 。、。 任何t o ，t l i 成立。同时( o ，两 0 由于2 1 1 x ( t ) i | - i l z ( t 一九) | 】一| | z ( 一h ) 1 1 2sl i z ( t ) l l z ，我们得到： 丢哪，一i i x ( 驯f 。+ 3 眦e 叫 复旦大学硕士毕业论文 对t 0 ，t l 】成立。取s ，p 满足k ( o ，孑) + 3 m e # 叫l d 。 从( 9 ) 式和( 1 1 ) 式我们得到 “l l z ( t ) i l2 ( 扣v “o ，孑) + ( 刍k ( 口) ) d 口 s g ( o ，；) 一忙( e ) i 1 2 d 日+ 3 m s e 一卯棚 = 踯，孑) + 3 m 。8 ( i _ e - 。) 一f 圳川t 枷 u 1 占2 从( 1 2 ) 式可知z ( t ) 一致有界。由( 7 ) 式可得 当t 【一r ，0 时，“：( o ) = o ； 当t 0 ，r 】时， i 面i ( t ) j j 盯a ：1 i x ( t ) jj a i l 口6 ， i 磁( t ) | | 一a 。2 l i z ( t ) | | a ，2 0 - 5 ， 故： ( 训口d ( 凡14 - a 。2 ) 同理可知，当t r ，( + i ) t 】时， i | 珧( t ) i q s ( a i l + a 。2 ) e 口a ：4 ， 所以 忆水) i is 掣， 对任何1 z m 和t 0 成立。其中从假设2 4 我n 得到：0s 盯a 。 1 。 此外，我们还从( 1 2 ) 式可得 t ， l l z ( e ) 1 1 2 瑚 0 ，使得j i v ；f ( t ，z ) j | s7 对任何( t ，。) r 形成立。 则，用控制器( 7 ) ，系统( 1 ) 整体渐进稳定 下面我们给出系统( 1 ) 指数稳定的一个充分条件。 定理3 2 若假设21 2 4 满足，且不等式( 8 ) 成立，则使用下面定义的控制器( 1 8 ) ，系统 ( 1 局部指数稳定。系统的收敛宰可为不等式( i 7 ) 的任意一个正实数解。 证明：设0 面( 面( d ) ) 为系统( 2 ) 的任意一个收敛率，令y ( t ) = ee l z ( t ) ，其中叩是满足 o ，7 西的任意正实数。则系统( 1 ) 可变为如下系统： 其中 m 口( ) = f ( t ，( t ) ) + 【e 啡“i ( t ) + 西( t ，可( t ) ，y ( t 一 ) ，札( t ) ，u ( t r ) ) g ：( t ，( t ) ) t = l + 敢。，弘( ：) ，y ( t 一妨，( ，鞋( 一r ) ) ， ( 1 4 ) 可( 口) = 每( 口) ，8 ( 一w ，o ， f ( t ，( t ) ) = e ”f ( t ，e 一”。g ( t ) ) + 砌( t ) ， b ( t ) ) = 虫蛾e 1 备) ， 石( 口) = e 咿( 目) ， 癍( t ，口( t ) ，y ( t 一 ) ，u ( t ) ，u ( t r ) ) = e 1 p 。( t ，e 一讲( t ) ，e - a ( 。一“9 ( t 一九) ，u ( t ) ，u ( t 一1 - ) ) 虿( ，( t ) ，y ( t 一 ) ，“( t ) ，“( 一f ) ) = e ”q ( t ，e - 书g ( ) ，e q ( 。一“( 一 ) ，“( ) ，“( t r ) ) 系统( 2 ) 变为： 寨= 邢，删 由假设2 2 ，我们知道( 2 ) 是指数稳定的，则 l l y ( t ) l l = e 啦似t ) | | s 可e ( “”i i z ( o ) 1 1 注意到可( o ) = z ( o ) 且叩 西，我们得到系统( 1 5 ) 是指数稳定的，收敛率为酉一卵。 ( 1 5 ) 复旦大学硕士毕业论文 显然： f l v f ( t ，y ( t ) ) j f i v t f ( t ，e 一”。( f ) ) | | + q + 目= 孔， 对任何( t ，y ) 0 ，+ 。) b ( d ) 成立， 由引理2 1 ，我们知道存在v ( t ，y ) ：r b ( 6 ) _ r + ，三个正实数o ，白2 ，函3 使得( 4 ) 式对任何( t ，y ) r _ b ( d ) 成立。对任意0 0 ( m 可能与s u pj f ( p ) i f 有关) ，使得怙( t ，0 ，) 0 ，存在d 0 使得： 妒( 。) | | 恻l ，嚣b ( d ) 若矩阵a 稳定，则李雅普诺夫方程a 了1 h + h a = 一厶有正定解日。令y ( 石) = x t h x ， 我们得到 v t v ( z ) f ( x ) = 一i i z | | 2 + 2 x t 日c p ( 茁) 对任意e 0 ，存在d 0 ，使得1 1 2 z t 日训e 恻1 2 在b ( 6 ) 上成立。所以存在d 0 和 0 0 ，使得 i v ：f ( t ，z ，a ) f | 舶， 1 4 复旦大学硕士毕业论文 对任何( t ，z ，a ) r b ( d ) a 成立。 假设3 6 存在非负实数a 。弘，( 1 i m ) 使得 i i p i ( t ，。0 ) ，z 0 一九) ，u 0 ) ，u ( t 一7 - ) ，a ) i lsa 。- l i z ( t ) | | + a 。j i z ( t h ) | j + 凡3 l i - , ( t ) | | + 九4 i l u 。( t r ) 1 其中0sa 铂+ a “ 1 ， i i q ( t ，y l ，y 2 ，y a ，y 4 ，a ) i | e 如i l 玑m 由类似引理2 1 的方法，我们可以证明，若假设3 2 成立，如下定义的函数： 罩 y t t ，3 7 0 ，a ) = 卜2 础忙0 + 口，t ，a ) f f 2 d o ，( 2 3 ) j 0 连续可微，且满足： u 1l l ：r l l 2 y ( t ，z ，a ) u 2 i l z l l 2 ， 面o v ( t ，z ，a ) + v 三y ( t ，。，a ) ( t ，z ) 茎一2 c v v ( t ，z ，a ) ， ( 2 4 ) i i v v ( t ，z ，a ) | i u s i i z | i ， 对任何( t ，x ，a ) rxb ( d ) a 成立。 若假设3 4 满足，类似定理3 2 ，我们为系统( 2 0 ) 定义控制器如下： u d t ，g ( t ) ，a ) = 砸( t ，g ( t ) ，a ) + 磁( t ，( t ) ，a ) + 瓯( t ，g ( t ) ，a ) ， 其中：可( 曲= e 乖z ( f ) ，其中q 是满足0 1 ，o 5 1 卿峪学陋” 复旦大学硕士毕业论文 由( 1 9 ) 式我们得到 5 一、5 “1 2 虿一 不等式( 8 ) 成立。其中 5 + 、5 忱2 i 一 由推论3 1 知，系统局部指数稳定。 5 + 5 “32 丁 n b = ； 11 p 1 2 百，p 22 西 5 一, 5 q = k - 复旦大学硕士毕业论文 参考文献 1 】c l a r k s o ni da n d g o o d a l ld p ，r o b u s ts t a b i l i z i n gf e e d b a c kf o rac l a s so fi m p e r f e c t l y k n o w nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e d e l a y si m aj o u r n a lo fm a t hc o n t r o l i n f o r m a t i o nv o l1 8 p p 3 5 5 3 7 9 ，2 0 0 1 【2 c o r l e s sm a n dg l i e l m ol ，n e wc o n v e r s el y a p u n o vt h e o r m sa n dr e l a t e dr s s u i t so n e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y m a t h e m a t i c so fc o n t r o l ，s i g n a l s ，a n ds y s t e m sv 0 1 1 1 p p 7 9 一1 0 0 1 9 9 8 3 h a l eja n dl u n dsm v ，i n t r o d u c t i o nt of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e w y o r k ：s p r i n g e r 1 9 9 3 4 】h i o ny ，m u r a k a m isa n dn a i t ot ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t e d e l a y n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 9 1 5 r i mj h ，j e u n ge ta n dp a r kh b ，r o u b u s tc o n t r o lf o rp a r a m e t e ru n c e r t a i nd e l a y s y s t e m si ns t a t ea n dc o n t r o li n p u t a u t o m a t i c s v o l 。3 2 n o 。9 ，p p 1 3 3 7 - 1 3 3 9 1 9 9 6 6 1 k o w nw ha n dp e a r s o na e ，f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no fl i n e a rs y s t e m sw i t hd e l a y e d c o n t r o li e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i ca n dc o n t r o lv o l2 5n o 2 p p2 6 6 2 6 9 1 9 8 0 【7 m a r s h a l lj e ，c o n t r o lo ft i m e - d e l a ys y s t e m s s t e v e n a g e ：p e t e rp e r i g i n i u s 1 9 7 9 8 q uz ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fc o n t r o l l i n gu n c e r t a i nd y n a m i c a ls y s t e m si n t e r n a t i o n a l j o u r n a lo fc o n t r o l v 0 1 5 9 p p 1 3 4 5 1 3 5 5 1 9 9 4 【9 】w uh ，d e c e n t r a l i z e ds t a b i l i z i n gs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sf o rac l a s so fl a r g e s c a l e s y s t e m si n c l u d i n gs t a t ed e l a y si nt h ei n t e r c o n n e c t i o n s j o u r n a lo fo p t i m a lt h e o r ya n d a p p