（计算数学专业论文）延迟积分微分方程的数值稳定性.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 非延迟积分微分方程0 d e s ) 广泛出现于物理、生物、医学及经济等领域，其数值 算法及理论研究至今已延续了二十几年，大量优秀成果已见诸各类科技文献或应用 于实际工程问题中。近年来，随着延迟系统理论与计算技术的高速发展，人们发现 科学工程牢的许多问题用延迟积分微分方程i d e s ) 来模拟具有更佳的效果。因此， d i d e s 的数值计算问题引起众多学者的兴趣。在其理论研究方面，人们利用l y a p u n o v 函数、h a l a i l a y 不等式等分析工具研究了各种新型算法的稳定性，利用经典l i p s 出t z 条件研究了算法的收敛性。由于这一领域的研究才刚刚起步，因此，大量的问题有 待于人们去探索和解决。本文则针对多( 单) 步r l l n g e - k u r a 方法求解线性d i d e s 问题 展开了系列新的研究。 论文主要内容可分为以下几个方面。首先，给出了应用于线性d i d e s 的算法的 稳定性。其次，针对线性双延迟积分微分方程d i d e s ) ，探讨了解析与数值稳定性。 此外，针对线性中立型延迟积分微分方程( n d i d e s ) ，我们进一步给出了新的稳定性 结果。最后，借助于数值实验呈出了求解菲线性延迟积分微分方程( d i d e s ) 的 r u n g e k u n a 方法的误差。 上述研究在理论上丰富了延迟系统稳定性理论的内涵，在实践上为未来构筑高效 实用算法提供了重要的理论依据。 关键词：延迟积分微分方程中立型 r u n g e k u r a 方法多步 m l n g e k u r a 方法稳定性误差 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n d e l a yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so d e s ) a r i s ew i d e l yi nm a n yf i e t d ss u c ha s p h y s i c s ，b i o l o g y , m e d i c a ls c i e n c e ，e n g i n e e r i n g ，e c o n o m i c se r e u pt on o w ；t h e n u m e r i c a l a n da n a l 舛i c a ls o l u t i o n sh a v eb e e ns t u d i e df o rm o r et h a nt w e n t y y e a r s n u m e r o u s e x c e l l e n ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e np r e s e n t e di na l lk i n d so fl i t e r a t u r ea n dh a v eb e e n a p p l i e d i n p r a c t i c a lp r o b l e m s r e c e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t a t i o n a l i m p l e m e n t a t i o na n dt h et 1 1 e o r e 6 c a la n a l y s i so fd e l a ys y s t e m i t ss h o w nt h a ti tw o u l db e m o r ee f f i c i e n tt ou s ed i d e st os i m u l a t ep r a c t i c a lp r o b l e m si nt h es c i e n c ee n g i n e e r i n g t h u s m a n y r e s e a r c h e r sh a v et u r n e d 也c i ra t t e n t i o nt ot h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no f d i d e s a sf o rt h et h e o r e t i c a l a n a l y f i s o fn u m e r i c a l m e t h o d s ，l y a p u n o vf i m c t i o n s ，h a l a n a y i n e q u a l i t y a r eu s e dt o s t u d yt h es t a b i l i t y o fa l lk i n d so fn e wm e t h o d s 、a n dc l a s s i c a l l i p s c h i t zc o n d i t i o ni s u s e dt o s t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d s c o m p a r a t i v e l y , d i d e si san f f c rf i e l d ，a n dh a s n tb e e na d v a n c e dd e v e l o p e d ，s ot h e r ei sm u c ho fc r e a t i v e w o r kt ob ed o n e t ot h i sp a p e r , id i s c u s s e dt h es t a b i l i t yo f r u n g e - k u t t am e t h o & a n d m u l t i - r u n g e k u a a m e t h o d sf o rd i d e s w ef o c u so nt h er e s e a r c hw o r ka sf o l l o w s f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e ss t a b i l i t yo f l i n e a rd i d e s ，s e c o n d l y , 诚mr e g a r dt ob d i d e s 1d i s c l 】踌t h es t a b i l i t yo f t h es y s t e ma n d t h e c o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lm e t h o d s i na d d i t i o n ，a sf o rn d i d e s ，n e w r e s u l t so f s t a b i l i t y h a v eb e e ng i v e n f i n a l l y , r e c u r r i n gt on u m e r i c a lt e s t ，i p r e s e n tt h ee f r o rm 磕l y s i s o f r u n g e - k u t t a m e t h o d sf o rd i d e s i nt h e o r y , t h ea b o v er e s e a r c hh a se n r i c h e dt h ec o n n o t a t i o no f s t a b i l i t yo f d i d e s i n p r a c t i c e ，i tp r o v i d e st h e t h e o r e t i c a lg r o u n df o r c o n s t r u c t i n ge f f i c i e n tp r a c t i c a lm e t h o d s g k e y w o r d s ：d e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e u t r a l r u n g e - k u t t a m e t h o d s m u l t i r u n g e - k u t t am e t h o ds t a b i l i t y e r r o r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：姗 日期：o 。乒年咋月桫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可l ；上将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：绷掰 日期：堆蝴砑日 澉自躺舶 名 小 签k p燃巾 蛳 驴 华中科技大学硕士学位论文 1 1 研究方向及其意义 1 绪论 在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物 理勘探等学科中，许多问题的解决都可归纳为解其对应的积分微分方程( i d e s ) 的初 值问题： y ，( ) = ，( f ，y 。) ! g ( 足y ( 。”出) ，f q( 1 1 1 ) m 、 7 y ( t o ) = y o 这里y ( t ) 表示与时间变量有关的物理量。 同一问题有时既可以用微分方程的定解问题又可以用积分方程或者积分微分 方程来描述，而微分方程定解问题本身也可以化为积分微分方程。因此，积分微 分方程这一数学工具正日益受到重视，主要因为化为积分微分方程或者积分方程 可以降低维数，减少所有节点的个数，缩短计算时间，节省费用。这样，问题的 处理就比较方便，解的性质也显得比较清楚。而且可以使未知数( 性质上) 的限制减 弱。 考虑积分微分方程： f x = 一3 x f ( - 4 + e - ( t - s ) ) x ( j ) 出，( 1 1 2 ) i 两边同时乘e 。，并求导可获得微分方程： x ”+ 4 x + 4 x = 0 ， ( 1 1 3 ) 上述方程( 1 1 3 ) 具有一般解： x ( f ) = c z e 。+ 。2 t e 。( 1 1 4 ) 在( 1 1 2 ) 中，我们可以得到：x ( 0 ) = - 3 x ( o ) ，结合( 1 1 4 ) ，可获得 、 l 、 华中科技大学硕士学位论文 f x ( f ) = - 2 c l e - 2 + 。2 p _ 2 一2 c 2 f e - 2 ， x ( o ) = - 2 c l + c 2 ， - 3 x ( o ) = 一3 c l ， 从而得到方程( 1 1 2 ) 的解： x ( t 、= c i e 4 一c z t e 。2 。 由此我们可以看出，常微分方程的定解问题可以转化为等价的积分微分方程， 这样可以不再通过先寻求微分方程所有可能的解，到最后利用定解条件来确定定 解问题的解，而是把满足方程与适合定解条件，同时体现在积分微分方程这一个 紧凑的形式中，从而便予获得理想的结果，这对问题的解决有重要的意义。 随着人们对积分微分方程系统的认识越来越深入，从而发现在某些情形下，与 时间变量有关的物理量y ( t ) 不仅依赖于当前的状态，还依赖于它之前的一些数据。 为了使所建模型更加精确的描述实际现象，人们在系统( 1 1 1 ) 中引入延迟项，从而 经修改后获得新的模型： r f f ) 知，m y ( 卜n f g ( f a y ( 呦蛾垃o ( 1 1 2 ) l ” 一r s t 0 、 y c t ) = 妒( f ) ， 这里f o 是延迟量，它既可以是常数，也可以是一个时间函数。对于此类问 题，人们常称之为延迟积分微分方程i d e s ) 初值闯题。 例1 1 1最佳广告政策模型 x ( f ) = g ( u ( 0 ，石( f ) ) 一i ，( f f k ( ”( f ) ，x ( r ) ) d r ， 其中，z ( f ) 表示对信誉产品的投资，“( f ) 为广告花赞额，是密度函数，g 是信誉 产品函数。我们所需要的是能够使净利润流达到最大，即 f g 一“r ( 球( f ) ，x ( f ) ) 如+ 8 - r t s ( 工( r ) ) _ m a x ，甜0 。 ； 例1 1 2 草原生态环境模型 华中科技大学硕士学位论文 了d g = g ：g ( g ， 1 - 警删t = u - r - ( + 6 “卜s ) ( g ( ) 西 ， 其中，g ( f ) 与【，o ) 分别代表牧草密度与牲畜密度，g ( g ，表示牧草的生长速度率， r 为牲畜的自然死亡率，厂( 表示牲畜数量的自我控制率， ( g ) 为牲畜消耗的牧 草数量，b 0 为延迟系数。 例1 1 3 生物- r 稗葡萄耩胰岛素模型 面d g = - b t g ( t ) 一k ) g ( f ) 十岛， g ( t ) ig 6 ，v t 【一b 5 , 0 ) ，g ( o ) = g a + 6 0 ， - 豢= - b 2 i m 毒枣“驴”蛐。， 其中，g 表示葡萄糖浓度，g 6 为注射前葡萄糖浓度，表示胰岛素浓度，。为注 射前胰岛素浓度，b i 为常数。 由此可见，延迟积分微分系统的确是普遍存在的，因此无论在理论还是数值 算法方面都很有必要对其做系统的研究。但是由于延迟积分微分方程的复杂性，从 理论上获得d i d e s 的解析表达式是非常困难的，可以说除了少数的简单模型之外 几乎是不可能的，因此研究这类系统的数值算法显得十分必要。从2 0 世纪6 0 年 代开始，随着计算机技术的发展，人们借助计算机对这类复杂系统进行数值仿真而 获得系统的数值解。近四十年来，在数值求解常微分方程( o d e s ) 的理论基础之上， 有大量文献探讨了求解常微分方程和求解延迟微分方程( d d e s ) 的数值算法的理 论，主要包括稳定性、收敛性。并有许多开创性的成果。尽管许多理论可以直接 推广到积分系统与积分微分系统，但是，相对于我们惯于处理的微分方程系统， 后者仍具有其自身的特点与复杂性。由此，对于延迟积分微分方程系统的理论解 与数值方法的研究尤为重要。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 当前理论与算法研究现状 从六十年代以来，许多学者探讨了延迟微分方程的数值方法理论和算法并取 得了一系列成果。1 9 7 5 年，b a r w e l l t t 】基于模型方程： y ( f ) = a y ( t ) 4 - b y ( f f ) ， ( 1 2 1 ) 提出了数值方法的p 稳定及g p 一稳定性概念后才开始在此领域有系统的研究。 1 9 8 5 年w a n t a n b e & r o t h 【2 1 对基于带线性插值的线性多步法证明了a 稳定等价于 g p 稳定。1 9 8 6 年z e n n a r o 3 首先讨论了r u n g e k u t t a 方法的p 稳定及g p 稳定性。 1 9 8 4 年j a c h i e w i c z 6 开始对中立型延迟微分方程的数值理论进行研究。国内，1 9 9 3 年，匡蛟勋【9 】针对多延迟微分方程的数值解，提出了p m 稳定及g p m 稳定的概念， 针对中立性延迟方程的数值处理，提出了n p 稳定n g p 稳定的概念。张诚坚 1 0 - 1 1 】， 黄乘明1 2 l 等人就线性多步法，多步r u n g e - k u t t a 方法，一般线性方法等方法做了更 深入的研究。关于算法的收敛性问题，基于经典l i p s c h i t z 条件的收敛性研究已获 许多重要结果。然而对于刚性问题来说通常l i p s c h i t z 常数是极其巨大从而导致了 经典理论严重失实，因此，1 9 9 7 年张诚坚和周叔子t ”1 对一类刚性延迟微分方程率先 提出了d 收敛性的概念，继而黄乘明 1 4 】、张诚坚等在此基础上深入地讨论了变 系数方法、单支方法、r t m g e k u t t a 方法、一般线性方法的d 收敛性质，并获得了 系列d 收敛性的结果。 对积分方程( v m s ) 进行系统的研究已经有很长的时间。在过去的二十年，人们 已经研究了关于求解v o l t e r r a 积分方程( v i e s ) 的数值方法的稳定性和收敛性“， 并且进一步研究到延迟v o l t e r r a 积分方程( d v i e s ) 的稳定性和收敛性。2 ”，主要基于 经典l i p s c h i t z 条件。由此张诚坚，廖晓昕【2 踟对v i d e s 作了关于b d f 方法的h i l b e r t 空间的非经典l i p s e h i t z 条件的数值稳定性的研究。 在积分微分方程( i d e s ) 领域，数值方法的理论分析与计算机处理也获得了显著 成果。主要研究模型如： d _ u = ，( f ，“o ) ，u ( t f o ) ) ，f g ( t , x , u ( 工) 西c ) ， ( 1 2 2 ) 4 华中科技大学硕士学位论文 b r a n n e r & v a nd e rh o u w e n 【2 2 1 ，b a k e r i ，l u b i c h ”l 主要针对非延迟问题( 即r ( t ) = o ) 进行数值处理。然而现实生活中许多问题是基于延迟积分微分方程( d i d e s ) ，于是， 近来许多学者、专家对d i d e s 产生浓厚的兴趣。b a k e r & t a n g t ”】，采用h a l a n a y 不 等式与离散h a l a n a y 不等式，针对线性d i d e s 讨论0 一方法、连续r u n g e k u t t a 方 法的稳定性。k o t 0 1 2 7 1 给出了线性d i d e s 的渐近稳定性的充要条件，并获得了 r u n g e k u t t a 方法的渐近稳定性证明。z h a n g & s r e f a n l 4 7 就中立型多延迟d i d e s ，研 究了r u n g e k u t t a 方法与线性多步法的延迟依赖稳定性。h u a n g & s t e f a n m l 针对 r u n g c k u t t a - p o u z e t 方法的具体的不同格式，讨论了方法的延迟依赖稳定性。 b r u r m e r ”1 ，b a k e r & f o r d ，e n r i g h t & h u 弛1 基于经典l i p s c k i t z 条件，还研究了求 解d i d e s 的线形多步法与连续r u n g e k u t t a 方法的收敛性。b a k e r & t a n g ”1 研究了 基于经典l i p s c h i t z 条件的无界延迟d i d e s 中连续r u n g e k u t t a 方法的非线性稳定 性，此结果对于非刚性问题可以获得理想的结果，并不适用于刚性问题，于是， 2 0 0 3 年，z h a n g & s t c f a n 蚓做了基于局部l i p s c h i t z 条件的非线性稳定性的研究， 主要讨论了r u n g e - k u t t a 方法与b d f 方法，取得了不错的效果。 1 3 本文研究概要 基于上述研究，本文对r u n g e - k u t t a 方法，多步r u n g c - k u t t a 方法求解延迟积 分微分方程做了理论上的进一步阐述。 第二章针对延迟积分微分方程系统，在它们的渐近稳定性的充分必要条件的 基础上，研究了用多步r u n g e k u t t a 方法求解延迟积分微分方程系统初值问题： 象l u ( t ) + m u ( t - ) + k f 如 l u ( f ) = p ( f ) ，一f t s 0 的数值稳定性。 第三章针对双延迟积分微分方程系统： 华中科技大学硕士学位论文 罢乩吣) + m l l l ( 卜f ) + m z u ( 卜+ k - ，! u ( x ) d x + k ：，p u 妣 j u ( o = 妒( r ) ，一g f t 0 给出了其渐近稳定性的充分必要条件，并研究了用r t m g e - k u t t a 方法求解双延迟积 分微分方程系统初值问题的数值稳定性。 第四章针对中立型延迟积分微分方程系统： r ， j u o ) 一n u o f ) = l u ( t ) + m u ( t f ) + kf u ( x ) d x ， 1 二r i u ( f ) = o o ( t ) ，一f s t s0 ， 给出了其渐近稳定性的充分必要条件，并研究了用r u n g e - k u t t a 方法求解中立型延 迟积分微分方程系统初值问题的数值稳定性。 第五章针对非线形延迟积分微分方程系统，研究了具体的r u n g e - k u t t a 方法应 用其中所得到的数值解的误差分析。 第六章对全文进行总结，并就延迟积分微分系统的研究方向及发展前景作了 极有意义的展望。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 求解线性d i d e s 的多步r k 方法的渐近稳定性 2 1 引言 多步r u n g e k u t t a 方法首先于1 9 8 7 年由b u n a g e 提出，其后，张诚坚瑚1 将其 扩展到离散型延迟微分方程，并研究了它们的渐近稳定性。对于积分微分系统 ( d i d e s ) 的数值稳定性研究，k o t o 2 7 1 给出了线性d i d e s 的渐近稳定性的充要条件， 并获得了r u n g e - k u t t a 方法的渐近稳定性证明。h u a n g & s t e f a n 【”1 针对 r u n g e k u t t a - p o u z e t 方法的具体的不同格式，讨论了方法的延迟依赖稳定性。2 0 0 3 年，z h a n g & s t e f a n 口4 4 2 1 做了基于局部l i p s c h i t z 条件的非线性稳定性的研究，并讨 论了r u n g e k u t t a 方法、b d f 方法的全局稳定性与渐近稳定性。而多步r u n g e k u t t a 方法关于延迟积分微分方程的线性稳定性的研究，至今未见有人问津，为此，本 文在深入学习上述文献的基础上，讨论了求解d i d e s 的多步r u n g e k u t t a 方法的 渐近稳定性。 2 2 问题和标记 本文考虑下列积分微分系统( d i d e s ) 初值问题： 罂= l u ( f ) + m u o d t f ) + k j u ( j ) 出， u ( f ) = c o ( t ) ，一t t 0 ， ( 2 2 1 ) 其中l ，m ，k 均为d x d 复常矩阵，f o 是常数延时量，舻( f ) 表示一个给定的向量 值初始函数，u ( f ) 是未知函数。 定义2 2 1 若( 2 2 1 ) 式的每个精确解u ( f ) 均满足 l i r a u ( f ) = 0 ， t 则称系统( 2 2 1 ) 渐近稳定的。 华中科技大学硕士学位论文 当f 是常数时，考虑一种求解常微分方程系统( o d e s ) 的多步r u n g e - - k u t t a 方法用b u t c h e r 表表示如下： 其中， a = ( 口f ) 月。”，b = ( 6 口) r “。，晓= ( 口l ，口，) 7 r 5 ，1 3 = ( 6 l ，6 j ) 7 r 。， c = ( ，q ) 7e r s , a ，= l ，勺= 1 ，i = l ，5 ( 2 2 。2 ) = lj - l 把方法( 2 2 2 ) 应用到系统( 2 2 1 ) ，获得求解d i d e s 的j 级j 步r k 方法： u “= 口口u 。一l + + h z b e ( l u 。，+ m u 。，+ v ，) ，( 2 2 3 ) u 。 = 口u 。一“+ h ，- b j ( l u 。，j + 邶扣。j + k ，) ，( 2 2 4 ) 其中， v = k ( u 叫+ 6 ，u 。，- y a u n - m , j ) ，( 2 2 5 ) ，1t 5 1 ，2 1j i i 在式( 2 2 3 ) - ( 2 2 5 ) 中，f = m h ，u 。是初值问题( 2 2 1 ) 的真解u ( f ) 在t 。= t o + n h 处 的逼近值，u 。，f = l ，2 ，j 是近似u ( f 。) 的s 个中间逼近，v 。是积分 f 嚣，u 。) a x = f ，吣) d x + t 吣) 幽f ：一吣) a x 的近似值。 系统( 2 2 1 ) 的初值条件由下式给出： u 。，= p ( f 。+ c 冲) ，一m 刀s l ，u o = 缈o 。( 2 2 6 ) 引理2 2 1 1 多步r t m g c k u t t a 方法是a 稳定的，当且仅当r e z 0 时， i ，( z _ 1 。 多步r u n g e - k u t t a 方法的稳定函数r ( z ) 可写成： 、 8 、 华中科技大学硕士学位论文 r o i ，一1 i 一曲“1 磊h z 而p 百al i a 7 + 7 ( 1 。一矗扭) “l 考虑定义2 2 1 中，对于任意的r 0 。系统( 2 2 1 ) 的零解渐近稳定的充要条件a 令( z ) 表示( 2 2 1 ) 的特征矩阵， ( z ) = z i d - l - e m z 。( 1 一e 一) k ， 可以得到以下引理： 引理2 2 2 t ”1 系统( 2 2 1 ) 的零解渐近稳定，充分必要条件是： d e t a ( z ) = 0 的所有根都具有负实部，即 ( s ) 对任意的f 0 ，d e t e a ( z ) = 0 j r e z 0 。 引理2 2 3 条件( s ) 等价于下列条件： ( s o ) d e t l + m + 承 0 ，对任意的f 0 ( s dd e t z 2 i d 一九一k 1 = o ，z 0 j r e z 0 ( s 2 ) 纠( z 2 i d - z l k ) 一( z m k ) l ，我们首先。1 3 、z 碍到： d e t i 。2 d h b o ( y + z 一”r ) 0 。 ( 2 3 8 ) 事实上，若d e t i 。- h b o ( y + z ”r ) 】_ 0 ，则对于矩阵b 的一个特征值 d e t i ，。2 d 一 b o ( 甲+ ：4 r ) = r i d e t 1 2 f h p i ( t + z 一“r ) ， 其中，“，i = 1 , 2 ，j 均为b 的特征值，则有 l i ，引2 d o 限0 1 2 d z m - i ( a o l 2 d ) 咿x 0i f 一 p o ( 甲+ ：r ) x1 叫f 0 1 2 d f01 2 d f ， 华中科技大学硕士学位论文 y = = 4 ( i ，p 1 2 d ) - z “( a 1 2 d ) - z 1 1e p o h ( ( t + z 一4 r ) x 一1 ( a 1 2 d ) = 7 , m - 1 z ( i ，p 1 2 j ) 一( a o l 2 一) 一p o ( t + z 一”r ) i ，0 1 2 d - h b 圆( t + z “r ) 】_ l ( a 固1 2 d ) 。 则z 满足 d e t z 1 2 d r o g z - m 1 1 ) 】= 0 ， 也就是说，= 是矩阵r ( y z - m r ) 的特征值。 由引理2 1 2 2 知，集仃【 ( 甲一z ”r ) 】 0 全部落在复平面的左半平面内。由于矩 阵b 的特征值的实部均为非负的，则r ( z ) 7 e o h ( v - z ”r ) 】的邻域内是解析的，则 根据s p e c t r a lm a p p m g 定理可获得， 口【r ( ( 叩一z ”r ) ) 】= r ( 叮【( y z 一”r ) 】) 。 又由于多步r k 方法是a 稳定的，则由引理2 2 1 ，有 仃( 叩一z - m d 】的元素均为l 。 尽管所有的( a ) 的特征根均为( b ) 的特征根，但为了完整的证明，我们仍须证明 1 不是( a ) 的特征根。 假设( a ) 的一个特征根为l ，则存在不全为零的1 l ，u ，u ，r 。，使 i t l n = u ，u 月j = u i ， 满足( a ) ，则有 u j = u + h 6 f ( l + m ) u ，1 + 承e b i u i ， ，- l k = l u = u + 属 ( l + m ) u ，+ d 6 j u ，】， t ik - i 类似于文献【2 7 】中的证明，可获得1z f 1 ，定理2 3 1 获得证明。 2 4 小结 本章中，我们引用了线性延迟积分微分系统渐近稳定性的充要条件，并将多 1 2 华中科技大学硕士学位论文 = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一= ：一 步r u n g e k u t t a 方法应用于该系统中，获得方法的渐近稳定性的充要条件，得到与 r u n g e - k u t t a 方法类似的稳定性结论，而且是上述结果的更普遍意义的存在，后者 可以看作是前者的特例。 一 1 3 。 华中科技大学硕士学位论文 3 求解线性b d i d e s 的r k 方法的渐近稳定性 3 1 引言 r u n g e k u r a 方法作为求解常微分方程初值问题的一类数值方法，最早是在 1 9 0 0 年前后由r u n g e 和k u t t a 提出的，但直到1 9 6 0 年以后才出b u t c h e r 和b u n a g e 发展和完善起来。1 9 9 4 年，k o t o f 36 1 给出了线性d d e s 的渐近稳定性的充要条件， 并获得了一类r u n g e k u t t a 方法的渐近稳定性证明。h u a n g & s t e f a n 8 1 针对常微分 方程( o d e s ) 与偏微分方程( p d e s ) 中的不同延迟项，做了关于系统延迟依赖稳定性 的分析。对于延迟积分微分系统( d i d e s ) 的数值稳定性研究k o t o ”7 1 给出了线性 d i d e s 的渐近稳定性的充要条件，并获得了r u n g e - k u t t a 方法的渐近稳定性证明。 h u a n g & s t e f a n 针对d v i e s 与d i d e s 中r u n g e k u r a - p o u z c t 方法的具体的不同格 式，讨论了方法的延迟依赖稳定性。2 0 0 3 年，z h a n g & s r e f a n t 4 7 1 就更为广泛的中立 型m d i d e s ，讨论了r u n g e - k u t t a 方法与线性多步法的延迟依赖稳定性。本文即在 参考上述文献的基础上，讨论了b d i d e s 系统的渐近稳定性，并进一步讨论了应 用其中的r u n g e k u t t a 方法的渐近稳定性。 3 2 系统的渐近稳定性 本文考虑下列双延迟积分微分方程( b d i d e s ) 初值问题 云d u 、。：卜：7 ) + m 2 u ( t - q r ) + k 1 ，! u ( x ) d x + k s ，：l “) 屯暑主：；昌 u ( t ) = 妒( r ) ，一q r f 0 、一 这罩l ，m ，k ，( f - l ，2 ) 是f x d 复常矩阵，g 为自然数，f o 是常数延时量，烈f ) 表 示一个给定的向量值初始函数，u ( r ) 是未知函数。 由于模型( 3 2 1 ) e e ，包含r 与g f 两个两个延迟量，从而( 3 2 1 ) 为双延迟积分微分方程 4 华中科技大学硕士学位论文 f b d i d e s ) a 定义3 2 1 若( 3 2 1 a ) 式的每个解u ( 0 均满足 l i m u ( t ) = 0 ， ( 3 2 2 ) 则称系统( 3 2 1a ) 渐近稳定的 由于理论和实践上的需要，关于( 3 2 1 a ) 的渐近稳定性的一些代数准则一直为 人们所追求，文献3 8 1 给出7 ( 3 2 1 a ) 的特殊情形的某些结果，例如，m ，= 0 或者 k ，= 0 。本文给出( 3 2 1a ) 式在一般情况下的渐近稳定性准则。 引理3 2 1 h o 定义a ( z ) 为( 3 2 1 a ) 的特征矩阵，则 a ( z ) = z i d - l e - = m i - e 1 。m 2 一z - i ( 1 一e 一。) k l z - i ( 1 一e 一9 。) k 2( 3 2 3 ) = 0 从而，系统( 3 2 1 a ) 是渐近稳定的充分必要条件是； ( s ) d e t c a ( z ) = 0 r e c z ) 0 ，v r 0 定理3 2 1 条件( s ) 等价于下列的3 个条件： ( s o ) d e t l + m 1 + m 2 + d i ( 1 + q r k 2j o ，v r o ( s 1 ) d e t z 2 i d - z l - k l - k 2 l = 0 ，z o ，j r e z 0 0 , e “o o ( 3 2 5 ) 从而，当f 充分大时，d e t ( z ) 】= 0 具有满足r e z 0 的解，与( s ) 矛盾a 假设存在z o 0 ，r e z o = 0 ，使得d e t z 0 2 i d 嵋o l k l k 2 l - 0 。 不失一般性，我们仅设 i m z o 0 ，对y - v z c ，r e z = o ，i m z i m z o ，d e t z 2 i d 一= l k i k 2 1 0 ， 由于 p 【( z 2 i 。一z l k l - k 2 ) 一1 ( ( z m l k 1 ) + 。1 1 k ( z m 2 - k 2 ) ) l o ，i z i - 哼c o ( 3 2 6 ) 于是，由( s ) 可推出，如果r e z = o ，r m z i m z o ，则有： p t ( z 2 i d z l k i k 2 ) 一1 “z m l k 1 ) + e 1 4 k ( z m 2 一k 2 ) ) l 0 联合( s o ) ，( s 1 ) ，( s 2 ) ，便知( s ) 成立。 事实上，由( s ) 知，d e t a ( 0 ) 】o ，v f 0 。 如果，存在某些 z 0 ，r e z 0 ，f 0 ，d e t a ( z ) 】= 0 ， 则由( 3 2 5 ) ，( s 1 ) 有： e a l ( z 2 1 d z l k t k 2 ) 1 ( ( z m i - k 1 ) + e 。卜4 h ( z m 2 一k 2 ) ) 1 ， 于是由( 3 2 1 0 ) ，( s 2 ) 可得le ”f 1 。但对于r e z o f 0 ，这是不可能的。 从而定理( 3 2 1 ) 得证。 3 3 算法的渐近稳定性 我们在系统渐近稳定的条件下，把求解常微分方程的s 级r u n g e - k u t t a 方法： 七，= ，( r 。+ c 。h ，y 。+ q ) ，i = t , 2 ，5 = 1 y = 以+ 6 。t i f f i l 应用到系统( 3 2 1 ) 中。 诸口f ( 1 f ，_ ，s ) ，b i ，c ，( 1 i j ) 为s 级r u n g e k u t t a 方法的实系数，其中 j c ，= 4 f ，且满足o sc ，- 1 。 j = l 华中科技大学硕士学位论文 并考虑如下网格形式： t 。= n h ，r = m h ，q c = q m h 。 用r u n g e k u r a 格式分别近似系统( 3