（动力机械及工程专业论文）基于内积相关性的小阻尼诊断研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 工程领域内，阻尼比是描述系统是如何在受到扰动产生振荡到趋 于平衡的一个参数，在结构故障诊断、安全评估、振动实时监控、荷 载识别等结构动力学的课题研究当中有重要意义。结构振动中的各种 响应都是阻尼的函数，能否正确估计阻尼，直接影响到结构动力分析 结果的可靠性。 阻尼是系统损耗能量的能力，在控制振动、冲击和噪声中起到极 其重要的作用。频率、阻尼和幅值是振动的三要素，与频率和幅值的 诊断相比，阻尼的诊断是最难测定的。因此，提高结构阻尼值( 或称 阻尼比) 的识别精度一直是结构动力学研究者追寻的目标。 本文利用内积相关性，提出一种新的阻尼比诊断方法。该方法运 用内积运算的柯西一施瓦兹不等式定理，克服了截断误差的影响，具 体分为两个步骤：首先通过基于非先验基信号分析方法求出高精度的 信号同有频率；然后选择指数衰减函数，并将其归一化，再做内积运 算，通过优化方法求内积模的极值，根据柯西一施瓦兹不等式定理诊 断出衰减系数，从而得到阻尼比。 在测量某点的自由振动响应信号( 位移、速度、加速度均可) 的 基础上，利用内积相关性可以有效地诊断出阻尼比，尤其针对小阻尼 的计算精度高，适用于单、多自由度系统。通过直接对系统响应信号 进行阻尼比识别，解决传统小阻尼识别易受到时域截断影响的问题， 在不增加采样长度的前提下，小阻尼识别精度得到较大提高，而且受 噪声干扰小。通过仿真算例，验证了该方法的有效性。 在理论分析的基础上通过试验对悬臂梁阻尼比进行了诊断。通过 对悬臂梁的自由振动响应信号分析，利用基于内积相关性小阻尼诊断 i 江苏大学硕士学位论文 新方法诊断出悬臂梁阻尼比，为进一步的结构动力学研究奠定了基础。 关键词：内积，相关，小阻尼，非先验基，离散傅立叶变换 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ne n g i n e e r i n g ，t h ed a m p i n gr a t i oi sam e a s u r eo fd e s c r i b i n gh o w o s c i l l a t i o n si nas y s t e md i ed o w na f t e rad i s t u r b a n c e i ti s i m p o r t a n tt o i d e n t i f yt h ed a m p i n gr a t i oi nt h e s t r u c t u r eo ff a u l t d i a g n o s i s ，s a f e t y a s s e s s m e n t ，r e a l t i m em o n i t o r i n go fv i b r a t i o n ，l o a di d e n t i f i c a t i o n ，e t c s t r u c t u r a lv i b r a t i o n r e s p o n s e s a r eaf u n c t i o no fd a m p i n gr a t i o ，w h i c h d i r e c t l ya f f e c t st h er e l i a b i l i t yo f t h er e s u l t so ft h es t r u c t u r ed y n a m i c r e s p o n s ea n a l y s i s t h ed a m p i n gr a t i oi sl o s sc a p a c i t yo fs y s t e me n e r g y ，w h i c hp l a y sa n i m p o r t a n tr o l ei nt h ec o n t r o lo fv i b r a t i o n ，s h o c ka n dn o i s e f r e q u e n c y ， d a m p i n gr a t i oa n da m p l i t u d ea r et h r e ee l e m e n t so fv i b r a t i o n ；t h ed a m p i n g r a t i oi st h em o s td i f f i c u l to n et ob em e a s u r e d t h e r e f o r e ，i m p r o v i n gt h e d a m p i n g ( o rd a m p i n gr a t i o ) a c c u r a c yi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hw o r k am e t h o df o r d a m p i n ge s t i m a t i o n b a s e do nt h e i n n e r p r o d u c t c o r r e l a t i o ni sp r e s e n t e d ，w h i c ha i m sa t a v o i d i n gt h ee f f e c to ft h ed a t u m t r u n c a t i o ne r r o r s t h e r ea r et w om a i ns t e p sf o rt h i sm e t h o d f i r s t ，t h e r e s o n a n c ef r e q u e n c yo far e s p o n s es i g n a li sc a l c u l a t e db yu s i n gf o u r i e r t r a n s f o r ma n dt h en o n - p r i o rb a s es i g n a lt r a n s f o r mm e t h o d t h e nc h o o s ea d e c a y i n ge x p o n e n t i a l f u n c t i o na n dn o r m a l i z ei t a f t e r t h a t ，t h e c a u c h y - s c h w a r t zi n e q u a l i t yi sc a r r i e do u ta n da no p t i m i z a t i o nm e t h o di s a d o p t e dt os e a r c ht h em a x i m u mo ft h ei n n e rp r o d u c tm o d u l e ，m e a n w h i l e ， t h ed a m p i n gr a t i oi se s t i m a t e d t h i sm e t h o da p p l i e sb o t ht os i n g l ed e g r e eo ff r e e d o ma n dm u l t id e g r e e o ff r e e d o ms y s t e m t h ed a m p i n gr a t i oc o u l db ec o m p u t e dd i r e c t l yb ya r e s p o n s es i g n a l ，w h i c hs o l v et h e d a t u mt r u n c a t i o ne r r o r so ft r a d i t i o n a l p r o b l e m w i t h o u ti n c r e a s i n gt h es a m p l i n gl e n g t h ，t h es m a l ld a m p i n gr a t i o a c c u r a c yh a sb e e ng r e a t l yi m p r o v e d s i m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h a tt h i s 江苏大学硕士学位论文 m e t h o di sn o tb ei n f l u e n c e db yn o i s ew h i c hh a sh i g hp r e c i s i o ni ns m a l l d a m p i n g r a t i oi d e n t i f i c a t i o n t h ea p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o dt om e a s u r ed a m p i n gr a t i o so na c a n t i l e v e rb e a mi sd e s c r i b e d t h i sm e t h o dl a y st h ef o u n d a t i o nf o rt h e f u r t h e rr e s e a r c ho fd a m p i n gr a t i od i a g o n o s i s k e yw o r d s i n n e rp r o d u c t ，c o r r e l a t i o n ，s m a l ld a m p i n g ，n o n - p r i o rb a s e ， d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o i t l l i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 保密口， 在年解密后适用本授权书。 不保密囹。 刭蔚 签字日期：力唧年6 月岁日 翩魏灸材剔醴轹裂碳：丹 签字日期? 。吵年多月汐日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 ： 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：别烤 n 日期：秽哆年 石月髟 日 江苏大学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 随着生产技术的发展，对工程结构、机械设备的动态特性提出越来越高的要 求，振动直接影响到机器或结构的工作性能、精度、效率、寿命、安全性和可靠 性。许多机械设备、船舰、飞机、火箭、车辆、高层建筑等的严重振动及由此引 起的破坏，从本质上来说，是由于它们的模态参数不恰当，在某种激励下导致损 坏。振动系统的模态参数辨识是结构动力学中一个十分重要的课题，在故障诊断、 减振降噪、结构设计及状态监测等方面都有重要的作用。因此，振动系统的模态 参数辨识有着重要价值。 阻尼比是振动系统模态参数中的一个重要参数，表征振动系统损耗能量的能 力，是材料结构的重要参数，在机械结构振动性能的分析中具有重要作用。从减 振的角度看，就是将机械振动的能量转变成热能或其它可以损耗的能量，从而达 到减振的目的。增大振动结构的内阻尼可以衰减振动幅值、衰减沿结构传播的弹 性波及减小结构传递的振动能量，增加结构在耦合频率处的隔振能力。 阻尼对于结构的振动控制具有重要作用，有助于降低机械结构的共振振幅， 从而避免结构因动应力达到极限所造成的破坏。在稳态振动时，系统的共振响应 随阻尼的增大而减小，因此，增大阻尼是抑制结构共振响应的重要途径；在机械 系统受到瞬态冲击后，阻尼有助于其很快恢复到稳定状态。结构受瞬态激励后产 生自由振动时，要使振动水平迅速下降，必须提高结构的阻尼；阻尼有助于减少 因机械振动所产生的声辐射，降低机械噪声。许多机械构件，如交通运输工具的 壳体、锯片等的噪声，主要是共振引起的，采用阻尼能有效地抑制共振，从而降 低噪声。可以提高各类机床、仪器等的加工精度、测量精度和工作精度乜1 。 各类机器尤其是精密机床，在动态环境下工作需要有较高的抗振性和动态稳 定性，通过各种阻尼处理可以大大提高其动态性能；阻尼有助于降低结构传递振 动的能力。在机械系统的隔振结构设计中，合理地运用阻尼技术，可以使隔振、 减振效果显著提高。在内燃机的减振降噪处理中，可以利用阻尼薄壁件进行减振 降噪，通过半功率带宽法诊断材料阻尼比，对复合阻尼材料薄壁件的降噪机理进 江苏大学硕士学位论文 行了研究，并通过比较普通钢板油底壳的阻尼特性与复合阻尼油底壳的阻尼特性 之间的区别，说明了复合阻尼油底壳减振降噪的优越性1 。 阻尼材料中，应用最多的是粘弹性材料，包括塑料和橡胶两类。适合高温条 件下应用的有阻尼陶瓷和阻尼珐琅，另外还有阻尼合金，包括铁基合金及以各种 有色金属作为基本材料的阻尼合金n 1 。 对于阻尼的微观机理研究正处于不断探求的阶段，而在阻尼技术的开发和应 用方面已经有成熟的经验。从工程应用的角度讲，阻尼的产生机理就是将广义振 动的能量转换成可以损耗的能量，从而抑制振动、冲击、噪声。 从物理现象上区分，阻尼可以分为：材料内阻尼、流体粘性阻尼、接触面阻尼、 滞后阻尼和库仑摩擦阻尼、冲击阻尼、磁电效应阻尼等。本课题中研究的是材料 的内阻尼。本文以后提到的阻尼比，如没有特殊说明，均指材料的内阻尼。 实际结构振动时耗能有多方面的因素，耗能机理也十分复杂，而且耗能不像 结构尺寸、结构质量和刚度一样，有明确的、直接的测量和分析方法，使得阻尼 问题难以用精细理论分析方法，而主要是采用宏观总体表达方法。在结构的振动 中，各种响应都足阻尼的函数，能否正确估计阻尼，直接影响到结构动力分析结 果的可靠性。 在噪声和振动控制中，阻尼诊断是很重要的一个方面，相比较于幅值、频率 的诊断，阻尼是最难诊断的，因此提高阻尼比的识别精度是国内外学者一直关注 的问题。对于实际工程结构，其阻尼范围非常广泛，工程阻尼比一般在0 0 0 1 0 1 之间，对不同结构不同材料，阻尼比范围大体分为四类瞄3 ：第一类是超小阻尼系统， 阻尼比范围是0 0 1 0 1 ；第二类足小阻尼系统，阻尼比范围是0 1 一1 ；第 三类是中阻尼系统，阻尼比范围是1 1 0 ；第四类是高阻尼系统，阻尼比范围 是1 0 6 5 。 了解振动系统的阻尼特性，对于研究机械结构的动态特性，改善结构的阻尼 状况，控制系统的振动和噪声都足至关重要的。目前在结构振动分析中确定阻尼 比值的方法主要有两种：一种是根据结构材料柬确定，如钢、橡胶等；另一种是 根据结构的实际动力测试结果来识别。本文采用结构的实际动力测试结果，通过 基于内积相关性的小阻尼诊断方法，诊断结构小阻尼。 2 江苏大学硕士学位论文 1 2 阻尼比诊断研究现状 阻尼比的诊断方法有很多种，诊断方法可以分为时域方法和频域方法，时域 方法主要有自由衰减法1 6 1 、时域峰值法川、遗传算法优化罔、i t d 法和s t d 法【9 l 、时 间序列分析法【1 0 】等，频域方法有半功率带宽及其改进方法【1 1 。1 4 】、传递函数法【1 5 t1 6 1 、 实验模态分析法【1 7 , 1 8 】、功率谱法【1 9 】等。虽然有很多阻尼比的诊断方法，但是小阻 尼的诊断问题还没有得到很好的解决。 自由衰减法是一种直观的时域诊断阻尼的方法，一般适用于单自由度系统， 1 9 9 6 年，j e c o o p e r 提出经过改进的扩展方法，使得该方法能应用于两自由度情 形【2 0 】，若用于多自由度情形时，需配合带通滤波器将模念逐一分离，此方法受到 噪声影响较大【q ，计算精度不高；在自由衰减法基础上，张强等人在2 0 0 6 年提出割 线法诊断阻尼比，该方法利用波峰间距离诊断阻尼比，但是波谷或波峰距离易受 到漂移影响，计算精度不高，且只能针对单自由度系统【2 1 】；2 0 0 1 年，李中付、华 宏星等人提出“遗传算法在结构模态参数辨识中的应用”和“时域峰值法诊断频 率和阻尼”，通过对某个单一频率成份的脉冲响应进行时域峰值分析，当采样间隔 满足采样定理时，根据脉冲响应序列中的最大正( 或负) 峰值的序列和最大正( 或负) 峰值对应的时间序列，诊断阻尼比等参数，该方法只能对单个频率成份求解，且 受到采样频率的影响较大基于遗传算法优化诊断方法是先把线性结构系统的频 率、阻尼比、幅值和相位的识别问题转化为优化问题，然后利用遗传算法进行全 局寻优，找出全局最优解，该方法能够高精度地识别单自由度系统的幅值、频率、 阻尼比和相位，但是对多自由度系统的参数诊断效果不佳，且计算时间较长【8 】；i t d 法直接使用自由响应或脉冲响应信号，使用同时测得的各测点的自由响应( 位移、 速度或加速度三者之一) ，通过三次不同延时采样，构造自由响应采样数据的增广 矩阵，根据自由响应的数学模型建立特征方程，求解出特征值后再估算各阶模态 参数，阻尼诊断结果极不稳定，误差很大，s t d 法实际上是i t d 法的一种新的解算 过程，使i t d 法的计算量大为降低，诊断精度有一定提高，但是在处理噪声干扰时， i t d 和s t d 法考虑噪声模态，不得不描述毫无用处的噪声特性，造成计算时间的增 加【9 】；时间序列分析法通过对有序的随机数据进行分析、研究和处理，直接使用随 机激励和响应信号建立数学模型，主要是a r 和a r m a 数学模型。利用差分方程和z 变 换，分别建立强迫振动方程与a r m a 模型、传递函数与a r m a 模型的等价关系，由a r m a 3 江苏大学硕士学位论文 模型识别模态参数，但是a r m a 模型的阶数和模型各参数不容易确定，因此由此方 法所计算的阻尼比误差较大【1 0 1 。 经典的半功率带宽法是最常用的频域诊断方法，目前大部分都采用该方法来 计算阻尼比，但是由于快速傅立叶变换计算得到的频率响应函数只是一系列固定 频率问隔上的离散谱线，很难得到幅值恰好为半功率点的谱线，半功率点谱线只 能由邻近的谱线来近似，因此半功率点无法精确定位，利用该方法计算的阻尼比 存在不确定性，尤其对于小阻尼存在很大误差【1 3 l 。为克服这一问题，提出改进的 半功率带宽法，如应怀樵等人提出“z o o m b d f t 法【1 1 l 和“频率细化与大容量数 据采集分析法【1 2 1 ，陈奎孚提出的“半功率法估计阻尼的一种改进【1 3 】”等，虽然通 过频谱细化之后阻尼比估计精度有很大提高，但是由于小阻尼情况下时域截断造 成能量泄漏，固有频率附近的谱峰窄，使得其与窗函数的频谱卷积后谱峰明显变 宽，阻尼计算值随采样频率的不同而变化，受到采样长度影响较大【1 3 】；2 0 0 3 年， 苏向荣等人提出“传递函数法诊断小阻尼”，通过对冲激响应函数信号从起始点和 隔l 点为新起始点分别进行两次同样点数的傅立叶变换，再分别与输入的力信号进 行两次传递函数分析，利用其对应谱峰处的幅值计算出阻尼的方法，该方法需要 联立两段傅立叶变换求解，需要很高的采样频率，而且不适合应用于高阻尼诊断【1 5 1 6 】；实验模态分析法是利用模态矩阵作为变换矩阵来求解结构振动的运动方程，由 于产生阻尼的机理很复杂，而且表现形式多种多样，使得阻尼矩阵的求解很困难， 易受噪声干扰1 1 7 1 8 1 ；功率谱法根据结构响应和激励源的自功率谱与结构传递函数 之间的关系，在已知激励源和结构响应的条件下，根据结构的传递函数来确定频 率和阻尼等参数的方法，且只适合于单自由度情况【1 9 1 。 另外还有基于信号能量分析方法的阻尼比诊断方法【2 2 l 、基于小波变换方法的 材料小阻尼识别1 2 3 】等阻尼诊断方法也在研究发展中。 总结目f j 阻尼的几种主要诊断方法可知，因为小阻尼诊断受到一些先决条件 的影响，小阻尼的诊断问题还未得到解决。时域内阻尼比计算方法的局限性，阻 尼比诊断以频域诊断方法为主，但是频域内存在时域截断误差和频率分辨率问题， 使得小阻尼诊断存在较大误差。 4 江苏大学硕士学位论文 1 3 本课题的研究意义 在进行结构损伤识别、响应预测、载荷识别时，建立准确的结构模型是非常 必要的，而材料阻尼比的确定是建模中至关重要的环节，结构振动中的各种响应 都是阻尼比的函数，能否正确诊断阻尼比，直接影响到结构动力分析结果的可靠 性。在实际工程机械结构中，材料阻尼比一般为小阻尼，如果能够准确诊断出小 阻尼，就可以建立起精确的结构数学模型，为下一步的结构损伤探测、结构动力 学分析等研究奠定分析基础。 目前主要阻尼比诊断方法是频域分析法，受到频率分辨率和截断误差影响使 得小阻尼诊断存在较大误差。采用常规的阻尼诊断方法，模态阻尼比的识别重复 性差，而且诊断精度远比模态频率的诊断精度低，因而提高阻尼比的识别精度一 直是该领域的研究课题。对小阻尼情形，时域窗截断引起的能量泄漏使得半功率 带宽法的识别精度很差，如果不增大采样长度，即使采用频率细化方法也会受到 限制。 为提高小阻尼计算精度，克服截断误差对小阻尼计算精度的影响，在内积相 关性基础上，提出基于内积相关性诊断小阻尼的方法。该方法克服时域截断造成 的影响，提高了小阻尼的计算精度，受噪声干扰影响小。 1 4 本文主要研究内容 在传统的模态参数识别的基础上，结合欧氏空问中的内积相关性诊断阻尼比， 探讨一种新的模态参数诊断方法，通过对响应信号进行分析，利用内积相关性诊 断小阻尼，解决传统小阻尼精度受到时域截断误差的影响，提高小阻尼诊断精度。 主要内容如下： ( 1 ) 深入研究国内外学者提出的估计结构阻尼比的各种方法，了解这些方法 的特点，提出了利用内积相关性识别阻尼的观点和该方法的重要意义。 ( 2 ) 粘性阻尼系统基本理论和阻尼比诊断的基本理论及诊断方法。介绍结构 阻尼的产生机理以及诊断方法，比较目前几种主要的阻尼比诊断方法的优点和缺 点。 ( 3 ) 离散傅立叶变换及基于非先验基策略的信号分析方法研究。研究离散傅 立叶变换的基础理论以及存在的误差，引入基于非先验基策略的信号分析方法， 5 江苏大学硕士学位论文 提高信号频率的计算精度，为后面的小阻尼计算奠定了基础，最后通过仿真算例 验证了该方法的有效性。 ( 4 ) 基于内积相关性的阻尼比诊断理论及应用。介绍内积空间的内积相关性 理论，利用内积相关性，提出一种新的阻尼比诊断方法。该方法运用内积运算的 柯西一施瓦兹不等式定理，克服了截断误差的影响，具体分为两个步骤：首先通 过基于非先验基信号分析方法求出高精度的信号固有频率；然后选择指数衰减函 数，并将其归一化，再做内积运算，通过牛顿优化方法求内积模的极值，根据柯 西一施瓦兹不等式定理诊断出衰减系数，从而得到阻尼比。通过仿真信号验证了 该方法的正确性，与半功率带宽法和频谱细化半功率带宽法的阻尼比计算结果进 行比较，并考察噪声对阻尼比计算结果的影响。根据衰减系数、频率和内积模极 值之间的关系，利用本文方法得到的阻尼比和频率参数量作为初值，利用拟牛顿 优化方法重新进行搜索。 ( 5 ) 最后将该方法应用到悬臂梁的阻尼比诊断中，通过改变采样频率和采样 长度，分别考察基于内积相关性阻尼比诊断方法、半功率带宽法和频潜细化半功 率带宽法的阻尼比计算结果，比较三种方法的特点和对小阻尼的计算精度的影响。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章粘性阻尼系统基本理论及阻尼比诊断方法 近几十年来，人们提出了多种阻尼理论假设，在众多的阻尼理论假设中，用 得较多的是两种线性阻尼理论：粘性( 或粘滞) 阻尼理论和复阻尼理论( 滞变阻 尼理论) 。 复阻尼理论认为结构具有复刚度，在考虑阻尼时在弹性模量或刚度系数项前 乘以复常数v 即可，1 ，为复阻尼系数。复阻尼理论对于一般的结构动力响应来说， 计算过程非常复杂，因此，在动力响应分析中，复阻尼理论应用不多【2 4 1 。 粘性阻尼理论所建立的振动方程为线性微分方程，求解简便，是工程中应用 最广泛的阻尼模型。线性系统数学求解简单，在工程上常将其它形式的阻尼按照 它们在一个周期内能量损耗相等的原则，折算成等效粘性阻尼【2 5 1 。 2 1 粘性阻尼系统的自由振动理论 一般实际系统总是存在阻力，阻尼力可以由各种不同的因素产生，如干的滑 动接触面之间的摩擦，润滑面间的摩擦，空气或流体阻力，电阻尼，非完全弹性 材料的内摩擦等，为便于分析，其它较复杂的阻尼常用等效粘性阻尼来代替。 在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力r 的大小与 运动质点的速度y 的大小成正比，方向相反，记作r = _ c y ，c 为粘性阻力系数， 等于单位速度所对应的阻尼力。如物体以适当速度( 低速) 在液体内运动，物体 沿完全光滑表面的滑动等。液力缓冲筒、吸震器及仪表浸在液体中的运动部分都 受到粘性阻尼力的作用f 2 6 】。 单自由度有阻尼系统的振动微分方程为 戈+ 2 9 砚莺+ 吧2 z = 0 ( 2 1 ) 式中：f 和q 分别为阻尼比和无阻尼固有频率，f = 形q ，n 为衰减系数。 上式可以写为 其解的形式为 舅+ 2 ，西+ 2 z = 0 ( 2 2 ) x = x e 盯 7 ( 2 3 ) 江苏大学硕士学位论文 式中：s 为复数；x 为不依赖于时间的量。 代入微分方程可得 s 2 + 2 n s + 2 = 0 ( 2 4 ) 由上式可解得s 的两个根： s ：- 2 n 4 4 i n 2 - 4 m 一2 ：一厅qf f 孑2 - 1 ( 2 5 ) 则自由振动微分方程的通解为 x = 4 e 即+ 如e 蹦 ( 2 6 ) 其中a 和a 为任意常数，由初始条件决定。 根据阻尼比的大小，又可以分为欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种情况。 ( 1 ) 欠阻尼 一般情况下，阻尼比g - 1 ，这种阻尼属于欠阻尼，如钢结构。因此j 的两个 根应为 s = - - n + - - j 1 一f 2 ( 2 7 ) 该单自由度有阻尼系统的单位脉冲响应函数可以表示为 x ( f ) = a e 州s i n ( c o j + 咖 ( 2 8 ) 式中：伤= q l f 2 一有阻尼固有频率，小阻尼情况下，q q ； a 、矽一分别为幅值和初相位，由初始条件决定。 由式( 2 8 ) 可看出，这是一个拟谐波运动，具有按指数衰减的振幅a e 一，有 阻尼固有频率伤= 卜f 2 ，阻尼周期乃= 2 州嘞，初相位缈。 下面考察欠阻尼情况下的三种振动特性。 第一种特性：等时性。 考虑离平衡位置的最大偏离点，即位移曲线的极值点，对式( 2 8 ) 求导得 戈( f ) = a e 州c o s ( f + 咖一a e 州n s i n ( a ，a t + 劝= 0 t a i l ( h 咖：丝 ( 2 9 ) 即有 颤o d t + ( p = 七万+ a n ：t 觚( 型生) ，k = 0 ，1 ，2 ( 2 1 0 ) 8 江苏大学硕士学位论文 上式表明每隔时间间隔f = 云= 互2 ，振动物体达最大偏离点。由于阻尼的影响， 物体不再作简谐振动，但是每隔时间间隔f = 乃，物体在同方向达到最大偏离，这 就是阻尼自由振动的等时性。 位移曲线x 与其幅值曲线a p 州的切点同曲线x 上的极值点并不重合，只有当 阻尼非常小时，即n 6 0 d 1 时，这两种点非常接近。 第二种特性：欠阻尼对频率和周期的影响。 欠阻尼自由振动的频率和周期的计算公式 纰5 q 扯乏) 2 乙= 薏2 筹2 当阻尼很小时，即旦1 时，堕1 ，此时阻尼对频率及周期的影响可忽略不计。 qq 第三种特性：振幅衰减性质。 阻尼系统响应值幅值a e - 雕随时间的增大而按指数迅速衰减，振动趋于消失。 经过一个周期，任意相邻两振幅的比值 导：若斋副巧 ( 2 舷) ( i + 1 ) a e l 州4 艿：l i l 至：以乃：丝丝 ( 2 1 3 ) ( “1 ) 其中万= 万死称为对数减缩，上式可以用来确定衰减系数刀。在阻尼比诊断方 法中将介绍这种确定阻尼比的方法。 ( 2 ) 过阻尼 当阻尼比f 1 时，即厅 q ，式( 2 5 ) 的两个根都是负实数，在此情况下， 大阻尼使得物体离开其平衡位置后，不再振动，而是迅速回到平衡位置，这种系 统称作过阻尼系统，是非周期运动。 ( 3 ) 临界阻尼 在欠阻尼与过阻尼之间存在一种临界情形f - - 1 ，即甩= q ，它是使运动开始 9 江苏大学硕士学位论文 失去振动特性的阻尼之分界线。 在这种情况下，式( 2 5 ) 就有两个重根 s = s 2 = 一万= 一q 且有阻尼固有频率= 0 ，则自由振动方程的通解为 x ( t ) = a e q + a t e 一 其中a 、如为任意常数，由初始条件决定。 2 2 目前主要的几种阻尼比诊断方法 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 目前阻尼比诊断方法有很多种，通过时域或者频域有许多种诊断阻尼比的方 法，方法各不相同，有各自的特点，下面将介绍目前几种主要的阻尼比诊断方法。 2 2 1自由衰减法 自由衰减法是一种古典的时域方法。机械振动系统受到瞬时或持续的激励后， 接受输入的能量作振动响应，当激励停止后，响应在阻尼耗散能量的影响下会逐 渐衰减而到达静止状态，衰减速度和阻尼直接有关，阻尼越大的结构，衰减速度 越快，达到静止的时间就越短【韧。可以利用阻尼的这一特性，对阻尼值作出判别， 自由衰减曲线如图2 1 所示。 单自由度系统振动微分方程式 戈+ 2 9 吨文+ q 2 x = o ( 2 1 6 ) 随时间变化的自由振动位移可表示为 z = x o e 一嗥c o s ( c o d t + 纠 ( 2 1 7 ) 式中：一无阻尼固有频率，r a d s e c ； 锄一有阻尼固有频率，r a d s e c ，小阻尼情况下有哟= 1 一f 2 ； f 一阻尼比f 2 石c2 妄； c 粘性阻力系数； c o 一临界阻力系数。 江苏大学硕士学位论文 1 0 8 0 6 0 4 。，j一+ o 0 10 舵0 0 0 40 0 50 0 6 时间t s 0 0 70 0 80 o 1 图2 1 自由衷减曲线 f i g 2 1f r e ed a m p i n go s c i l l a t i o n 由图2 1 可以看出，n ) e 系统响应之幅值e 州是一条包络线，即图中虚线所 示，随f 的增大而按指数迅速衰减，振动趋于消失，经过一个周期乃，乃= 2 衫嘞， 即相邻两个正( 或负) 峰值之间的时间间隔，任意相邻两振幅的比值为 玉：p 一乃( 2 1 8 ) x m o + 1 ) 令 万：l i l 生：，l 毛：2 n n 2 n n ( 2 1 9 ) x m ( i + 1 ) q 万称为对数减缩率，则阻尼比为 ：旦 ( 2 2 0 ) 。 2 万 由公式( 2 1 9 ) 可以看出，该方法需要用到时域峰值，但是实际采样时不一定 能够取到实际的极大值，而且受到噪声干扰较大，一般只能针对单频率成分的脉 冲响应，改进后也可用于两自由度情形n8 | ，受到噪声和采样峰值影响，该方法阻 尼比计算精度不高。 1 l 2 o 2 4 6 n n n n 妒逛星蜃 江苏大学硕士学位论文 2 2 2 半功率带宽法及其改进方法 半功率带宽法是在频域中获得阻尼比的最常用方法，是一种经典的频域分析 法。大多数的信号分析设备中，仍然在使用半功率带宽法n4 2 8 1 。 在恒力激振之下，记录结构的位移( 或速度、加速度) 幅一频响应曲线，共振 峰值的位置如图2 2 所示。取峰值x 一的1 乏倍处即o 7 0 7 倍的x 一，并得出与 此值对应的在固有频率厶两旁的两频率矗和厶。根据单自由度系统振幅随频率的 变化规律有 x ：墨车：兰：一 ( 2 2 1 ) k ( 1 一2 靠) 2 + 4 f 2 ( f l ) 2 式中：f o 一施加于系统的交变力幅值； k 一刚度； 厶一固有频率； 厂一激励力频率； 一系统阻尼比。 趔 颠 骚 o5 01 0 0 频率h z 图2 2 幅频响应曲线 f i g 2 2t h ec u r v eo f a m p l i t u d e - f r e q u e n c yr e s p o n s ef u n c t i o n 江苏大学硕士学位论文 当f 专厶时，有 盖一= 譬。虿1 旺2 2 ， 又当x = 工懈互o 7 0 7 x , 。, 时，对应两个频率点石和厶，由幅频公式可得 昼【_ ：盈 k2 2 k 2 霹= 1 8 冉( 1 一甜川哮 ( 1 一甜叫2 c 争2 鲁j 1 则有 2 一等j 等 。一争州2 鲁 l 一堡斗垃 鱼 j j i 。 可以得到近似的二次方程式： 肇2 量一1 ：o j j 氇 解这个方程式可得 鲁吲历 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 江苏大学硕士学位论文 粤= 一f + 历 j o ( 2 2 8 ) 拿= f + 而 ，o 合并求两解之差可得到阻尼比 立一五：2 兀厶 7 ( 2 2 9 ) f ：立五 7 2 厂。 式( 2 2 9 ) 中的厶一石称为半功率带宽，半功率带宽法是根据简谐振动系统共 振时的振幅放大因子曲线来推算阻尼比。特别是在环境激励的情况下，被广泛的 用于诊断结构阻尼比。 但是该方法受到截断误差和快速傅立叶变换离散谱线的影响。若设时域振动 信号为x ( t ) = a e 叫c o s ( c o d t + 力，则该信号的傅立叶变换即频响函数为 日( 缈) = af e - , uc o s ( f + 力e - j 埘d t ( 2 3 0 ) 式( 2 3 0 ) 的脉冲响应持续时间为无穷，因此式( 2 3 0 ) 的积分上限理论上应 为无穷大。但是实际上只能得到时域信号在有限时段【o ，t 】的离散抽样值，因此得 到的只是式( 2 3 0 ) 的近似结果。小阻尼情况下，这种截断误差对频率的影响较小， 但是对阻尼影响显著n3 1 。采样长度越大，半功率带宽法阻尼比计算结果越好。 对小阻尼影响大的原因是：小阻尼系统的响应频谱谱峰尖锐，半功率带宽相 对较窄，两半功率点的确定即使有很小的误差，也会给半功率带宽的计算带来可 观的相对误差。 除了截断误差的影响，还存在离散傅立叶变换的“栅栏效应 问题。利用快 速傅立叶变换计算得到的频率响应函数只是一系列固定频率间隔上的离散谱线， 很难得到幅值恰好为半功率点的谱线，当所求频率位于谱线之间时，只能由邻近 的谱线来近似，因此半功率点无法精确定位，这就产生了误差。 阻尼比f 的精确度取决于兀、五、厶这三个频率点的选取，l i j 取决于用叮谱 频率分辨率，对感兴趣的频率范围进行细化可以提高频率分辨率，阻尼比计算精 度有一定提高，提出了半功率带宽法的改进方法，如聚焦细化大容量数据谱分析 ( z o o m b d f t ) 法等1 1 1 引。 江苏大学硕士学位论文 z o o m b d f t 法即大容量数据频域任意区间聚焦细化技术，这种方法首先要对 系统振动信号进行大容量连续不丢点的数据采集，然后用只珂法粗略观看全程频 谱，最后对感兴趣的频域任意区间进行刀计算，并且计算的数据长度打破1k ( 即 1 0 2 4 点) ，2 k ，4 k ，8 k 的限制，可以使用1 0 k ，3 0 k ，5 0 k ，l o o k ，2 0 0 k ， 1 0 0 0 k 等更长的数据进行计算。在实际应用中如果选择了比较合理的采样频率并 记录了足够长度的数据，用此种方法可以使阻尼比的计算误差控制在5 以下。 z o o m b d f t 法需要增加采样长度才能得到细化效果，还有一种频谱细化的方 法是刘进明、应怀樵的“即r 谱连续细化分析的傅立叶变换法 ，简称为“用叮一刀 方法，该方法在不增加采样长度的条件下克服了频率分辨率的限制，但是计算工 作量增大啪1 。对于采样频率为正，采样点数为的时间序列x ( 气) ，该序列包含有 从0 至疋2 的频域信息，把频谱曲线看成是连续的，用连续的傅罩叶变换进行频谱 计算，计算公式为 一l z ( 厂) = z ( f 七) e 叩石可 ( 2 3 1 ) 其中厂是所关注的频率范围内的细化频率，按照上式计算时频率分辨率不受 采样点数的限制，细化密度可以任意设定，但是随着细化密度和细化范围的增加， 计算量也随之增加。 虽然阻尼估计精度有一定提高，但是对于小阻尼系统的时域截断所造成的能 量泄漏，使得固有频率附近的谱峰窄，与窗函数的频谱卷积后谱峰明显变宽，所 以计算出的阻尼随采样频率的不同而变化，该方法计算的小阻尼误差较大n 剐。 2 2 3 模态圆法 任何一个机械系统；原则上都是一个多自由度系统，即使足连续体，忽略了 振幅较小的高阶模态，仍然可以看成是一个多自由度系统。对于这种机械系统的 结构动力学问题，可用模态矩阵作为变换矩阵来求解它的结构振动的运动方程， 这就是模念分析方法n0 1 6 卫副。对具有粘性阻尼的单自由度系统，若阻尼系数较小， 其频响函数矢端轨迹近似为圆，但是由于存在模态测试等方面的不可避免的误差， 频响函数的矢端轨迹不一定都落在理论圆上，模态圆如图2 3 中( a ) 所示。 江苏大学硕士学位论文 h 1 l1 0 心面 卜刘 砥 h i ，( )i o l 二 ， 。、公魂 钆， l| ，7 、- ) 钒i ， 、， ，a ， 妣、? j y 一过。 l 、 f i g 2 3m o d ec i r c l e 对一个具有自由度的粘性阻尼系统，在p 点激励，z 点测量响应的实模态频 响函数表达式可表示为 峒2 纠一“一| ( 2 3 2 ， 式中：如= 而k r，为第，阶等效刚度；可= 虿c o ，频率比；缶= 去，“p i ，。q“刎，q 荆= 爿一十歹 一2 ( ：历 ( 1 一( 历) 2 ) 2 + ( 2 乒) 2 i( 2 3 3 ) j q 为固有频率。由h ( 缈) 的实部和虚部可以得到 州 2 + m ) ) 2 + 去 = ( 去) 2 旺3 4 ， h 月( 缈) 表示日( 缈) 的实部，h 7 ( 缈) 表示日( 国) 的虚部。由上式可见，在方程 式中，圆心坐标为( o ，1 4 七勿) ，半径1 4 k ( 历均与频率比历有关，当历变化时，上 1 6 江苏大学硕士学位论文 式就不再是一个圆的方程。频响函数图即耐奎斯特( n y q u i s t ) 图呈桃子形，不是 一个正圆，阻尼比越小，轨迹圆越大；反之亦然。当阻尼比很小时，其轨迹接近 于正圆。 一般可以取固有频率附近两点q 、哆，对应的相位角为b 、幺，对应的圆心 角为q 、吃，见图2 3 ( b ) 。 q = 9 0 。一i 1q ，o 2 = 9 0 。一丢吃 ( 2 3 5 ) 则可得 睁= 搿= 字，培拿= 搿= 譬他3 6 ， 则第r 阶模态阻尼比为 t ：生善j 【- 一盟j l 一 ( 2 3 7 ) 群留等+ 留警一q 增粤+ 留鲁 “一 用模态坐标来描述振动，用模态参数模型束描述机械系统的动力特性，模念 坐标下的阻尼矩阵描述了系统阻尼特性的总体。但是这种阻尼矩阵并不一定都能 找到相应的物理坐标下的阻尼器与之对应。所以，它只能描述系统总的阻尼状况。 模态法要用传递函数为信息进行数学运算才能得到各阶模态的阻尼值，数据 的收集及计算比较复杂口9 l ，阻尼比诊断存在较大误差，不适合应用于小阻尼诊断。 2 2 4 传递函数法 设系统的脉冲响应函数为 j ，( f ) = a e 一觎s i n ( c o j x 1 - f 2 + 劝 ( 2 3 8 ) 式中：a 为幅值；f 为阻尼比；q 为固有频率；缈为初始相位。 设z o ) 是由锤击法测得的输入的力信号，其表达式为 x o ) = k d ( t ) ( 2 3 9 ) 式中：k 为脉冲力的冲量。 则x ( t ) 的傅立叶变换为 x ( 砷= e 石( f ) p 耐d t = k ( 2 4 0 ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 为了计算方便，上式两边同乘以 k ，使得傅立叶变换的幅值为1 。以t = 0 为 起始点，对系统的脉冲衰减函数加长度为z 的矩形窗，进行傅立叶变换有 k ( 国) = r 彳p ( 一勉f ) s i n ( q ，厅+ 缈) p ( 一，耐) 魂 ( 2 4 1 ) 对脉冲衰减函数向前平移“，加长度为丁的矩形窗，进行傅立叶变换有 x ( ) 与k ( 功进行传递函数分析有 脚) = 鬻 ( 2 4 3 ) x ( 妫与e ( 叫进行传递函数分析有 姒妒鬻 ( 2 对- i , ( 叻和h ：( 缈) 取模并求比值后有 l 器l _ l 焉卜哪 旺4 5 ， 缈在附近取值，将上式两边去自然对数得 ：划：划眨4 6 ，厂一! 兰燮l ：些! 趔! f ，4 6 、 设采样频率为正，离散时f b j 序列的延迟点数为工，则有 丁：一l ( 2 4 7 ) s 将j 代入f 得 f ：l n f 塑l 土五：l nj 旦垃l 土五 ( 2 4 8 ) 7 l 匕( 缈) lq l i h ：( 缈) iq l 其中国在q 附近取值。 采用用叮+ f t 的方法细化函数，求出精度相当高的固有频率，再用此频率的 川 呦 例焉 喊篙 螂 出 绯 一 k n 妒 一 以 邓 江苏大学硕士学位论文 1 1 个自由度有阻尼振动系统的冲击响应函数为 y ( ，) ：窆4 p ( 讯os i n ( ，乒虿+ 咖 ( 2 4 9 ) i = 1 ，l 阶自由度系统可看成n 个单自由度系统的线性迭加。当各阶固有频率间隔较 大时，可以按照上