（概率论与数理统计专业论文）随机渗流股价模型构造及期权定价研究.pdf

提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：丁薨 签字日期：2 0 , 年占月弓。日 导师签名： 签字日期：知户年6 月 7 硕士学位论文 随机渗流股价模型构造及期权定价研究 s t o c h a s t i cp e r c o l a t i o ns t o c kp r i c em o d e l i n ga n d o p t i o n p r i c er e s e a r c h 作者姓名：丁蓉 导师姓名：王军 学位类别：理学 学科专业：概率论与数理统计 北京交通大学 2 0 1 0 年5 月 学号：0 8 1 2 2 1 3 0 职称：教授 学位级别：硕士 研究方向：金融数学 严谨的治 来王老师 论文的选 。两年的 研究生生活之中，王老师渊博的知识，严谨的治学态度和认真负责的工作态度使 我受益匪浅，并将受益终身。而跟随王老师学习以及课题研究也为我以后工作的 发展打下良好的基础。在此，向王老师表示衷心的感谢。 感谢我的父母对我多年的教育与培养，在我遇到各种困难时，他们总是在积 极地鼓励我，支持我，给与我精神上的支持和物质上的帮助，使我能够全身心的 投入到课题研究中去。 两年多的研究生生活使我学习了很多新的知识，使我有了新的人生目标，感 谢所有在学习中帮助过我的老师，感谢帮助过我的所有同学。 感谢我同门的师弟师妹，和他们共同学习的过程中，收获颇多。 感谢各位学者，专家在百忙之中审阅我的文章，并给出批评意见。 中文摘要 摘要：传统理论认为在某一股市中，股票价格和股票指数的收益过程类似于高斯 分布。然而，近年来的实证研究表明金融时间序列的价格收益的分布大体服从中 心勒维分布并且表现出“厚尾 的性质。在本文中，我们将统计物理中的渗流理 论应用到股票市场中，对股票价格进行了研究，模拟和分析，并且研究了相应的 欧式期权定价问题。 我们考虑一种包括a 组和b 组这两组投资者的股票价格模型。a 组投资者被看作 是机构投资者，他们非常理智，表现在运用对历史数据和投资策略的分析来决定 他们的投资方向，他们的投资行为将使得股票价格的变动服从b l a c k - s c h o l e s 公式 k = 卜彳( f ) 出+ j c r ( t ) d b ( t ) ；b 组投资者被看做是散户投资者，他们从一长程渗流 oo 模型得到信息并且完全跟随市场的投资趋势来进行投资，这将对股票价格造成一 个个大的波动。在他们的投资行为的影响下，股票价格将出现一个符合复合p o i s s o n 过程的跳跃项谚= 艺h i l g 。 i = 1 在研究期权定价问题的过程中，我们将结合上一部分我们得到的含复合 p o i s s o n 过程跳跃项的股价模型来给出一个合理的无套利价格公式。 关键词：长程渗流；复合p o i s s o n 过程；股票价格：期权定价；b l a c k - s c h o l e s 公式。 分类号：0 2 1 1 9 a l s oh a v es t u d i e dt h ec o r r e s p o n d i n ge u r o p e a no p t i o np r i c i n gp r o b l e m w ec o n s i d e ras t o c kp r i c em o d e lt h a tc o n t a i n st w og r o u p so fi n v e s t o r s ：g r o u paa n d g r o u pb i n v e s t o r si ng r o u pa a r es e e na sc h a r t i s t sw h oa r ev e r yr a t i o n a la n dm a k et h e i n v e s t m e n t sa c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i so fh i s t o r i c a ld a t aa n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e s t h e i r i n v e s t m e n tb e h a v i o r sw i l lm a k et h ef l u c t u a t i o no fs t o c kp r i c e0 b e yb l a c k - s c h o l e s f o r m u l a 墨= p 0 d r + p ( f ) 招( f ) ；i n v e s t o r si ng r o u pb a l es e e na sd e t a i l e r s ， 00 m e yg e tn e w st h r o u g hal o n g - r a n g ep e r c o l a t i o nm o d e la n dt h e yc o m p l e t e l yf o l l o wt h e t r e n di nt h em a r k e tt oi n v e s t , t h i sw i l lc a u s eh u g ef l u c t u a t i o nf o rt h es t o c kp r i c e u n d e r t h ei n f l u e n c eo ft h e s ei n v e s t o r s ，t h e r ew i l lb eaj u m pc o m p o n e n ti nt h es t o c kp r i c e n m o d e lw h i c ho b e y sc o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s s ：t = 枷 i nt h es t u d yo ft h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e m , w ew i l ls h o wo n er e a s o n a b l ea r b i 仃a g e - f r e e e u r o p e a no p t i o np r i c i n gf o r m u l aa c c o r d i n gt ot h e s t o c kp r i c em o d e lw i t hj u m p c o m p o n e n tw h i c ho b e y sc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s st h a tw e h a v eg a i n e d k e yw o r d s ：l o n g r a n g ep e r c o l a t i o n ；c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ；s t o c kp r i c e ； o p t i o np r i c i n g ；b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a c l a s s n o ：0 2 1 1 9 t，r 1 2格点渗流简介7 1 3连续渗流简介。9 1 4停时的基本概念1 2 1 5p o i s s o n 过程在股票价格中的应用l5 2股票价格含跳跃部分的模型2 0 引论与模型构造2 0 停时的构造2 1 模型分析2 4 模型拓展2 8 股票价格平稳部分的模型2 9 引论与模型构造2 9 模型分析3 0 模型总结3 4 基于含跳跃股票价格模型的欧式期权定价3 5 4 1基于含跳跃股价模型的无套利价格3 5 5 结论3 9 参考文献4 0 作者简历4 3 独创性声明4 4 学位论文数据集4 5 1 2 3 4 1 2 3 2 2 2 2 3 3 3 1绪论 1 1 选题背景 伴随着经济的快速发展，各种研究金融的工具不断产生而金融数学是最近发 展起来的新兴边缘学科，是数学与金融学的交叉。主要运用现代数学理论和方法 ( 如：随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析、数学规 划、现代计算方法等) 对金融( 除银行功能之外，还包括投资、债券、基金、股票、 期货、期权等金融工具和市场) 的理论和实践进行数量的分析研究。金融数学已成 为发展最快的应用数学分支之一。 渗流理论是概率论的一个分支，它多用于统计物理学的研究中。由于渗流理 论中粒子间相互作用的模型与股票市场中投资者间相互影响的机制有相似之处， 因此可以将渗流理论应用于对股票市场投资者投资行为的研究，由于股票投资者 的投资行为将在很大程度上对股票价格的波动产生影响，我们可以利用渗流模型 对股票价格的波动特征进行模拟和分析。 传统理论认为在某一股市中，股票价格和股票指数的收益过程类似于高斯分 布。然而，近年来的实证研究表明金融时间序列的价格收益的分布大体服从中心 勒维分布并且表现出“厚尾 的性质。 对这一现象最主要的解释是，投资者微观投资行为的合成反应为股票价格宏 观上的波动。投资者的行为决策不仅仅受到股票价值，历史数据，投资策略，投 资风险和收益的影响，同时也受到从股票市场上其他投资者处获得的信息的影响。 “羊群效应”造成了股价的大波动，也使股价和股指收益的分布偏离高斯分布同 时产生“厚尾现象。 在经济物理学的理论中，金融市场模型和数学工具被结合在一起来解释这一 现象，其中，一些运用渗流理论和计算机模拟技术的模型取得了成功。例如， b a m d o r f f - n i e l s e n 和s h e p h a r d 3 提出了一组模型，其中波动行为在勒维过程而 非高斯分布的影响下遵循o m s t e i n - u h l e n b e c k ( o u ) 过程；u w ek u c h l e r 1 1 提出 了一组用来模拟金融市场波动的勒维过程：双边伽马过程；m o m s 1 6 提出了 s c r e e n i n g 方法，该方法被c a m p o l o n g o 4 进行了改进，并且被用来估计欧式期 6 权模型中跳跃项的权重 5 。m a e k a w a 1 7 证明了跳跃项分布的模型在模拟 日本股票市场n i k k e i2 2 5 的时候比经典的b l a c k - s c h o l e s ( b s ) 更具适用性；c a l v e t 6 引入了一种平衡方法来证明当频率趋近于无穷时，价格过程将趋近于一个新颖的 随机过程：m u l t i f r a c t a lj u m p - d i f f u s i o n 在本文中，我们考虑一种包括a 组和b 组这两组投资者的股票价格模型。a 组投 资者被看做是机构投资者，他们非常理智，表现在运用对历史数据和投资策略的 分析来决定他们的投资方向，他们的投资行为将使得股票价格服从平稳的分布；b 组投资者被看作是散户投资者，他们从一长程渗流模型得到信息并且完全跟随市 场的投资趋势来进行投资，这将对股票价格造成一个个大的波动。因此，我们将 证明股票价格服从b l a c k - s c h o l e s 模型和复合泊松过程的相应分布。 在研究期权定价问题的过程中，我们将结合上一部分我们得到的含复合 p o i s s o n 过程跳跃项的股价模型来给出一个合理的无套利价格公式。 1 2 格点渗流简介 记z d = 圣兰圣琶：兰圣，z = ，一3 ，- 2 ，一1 ，0 , 1 ，2 ，3 ，) ，我们称z d 为d 维整数格 点，z dc r d ，z d 中的点工= ( 而，而，x d ) z d ，x a ，x 2 ，而z ，我们认为在z d 的 每一个顶点x 处有一个粒子，记 如k 办训趔m 小孙d 刊却 e e e d 表示e 是x ，y 之间的一条边，设对于v p e d ，e 有两种状态，用x ( e ) 表示p 的状态，则有x ( e ) = 0 , i ) ，即：当x ( p ) = 1 时，称p 开；当x ( p ) = o 时，称p 闭。 下面引进随机性。我们假设对p ，q ( o ，1 ) ，满足p + g = l ，我们认为e d 中的边 独立地以概率p 开，以概率g 闭，即v p ，x ( e ) 独立且服从两点分布。 特( 7 事实上，对于0 , 9 q ，我们都可以把它看作一张图，这样渗流模型在某种意义 上就是z d 上的随机子图模型，因而图论中的许多知识在渗流的研究中发挥这重要 的作用。 定义了所要研究的概率空间之后，我们在z d 上定义路，称万为路，如果万是 由x o ，e o ，五，q ，巳- l ，组成的集合，其中x a ，恐，x d z d ，岛= ( ，毛+ 1 ) e d 为连接 毛和稚。的边，这样的路万长度为刀。称石为白回避路，若对于万，当f 时，都 有；称万为环路，若有而= ；称万为开路，若万中任一条边开，类似若任 一条边闭，则称万为闭路。若工和y 之间可以通过开路连接，- i g x 付y 。 在e d 中考虑由开边组成的子图( 如图1 ) ，此子图的连通部分成为开串，记c ( x 1 为包含x 的开串， f c ( x ) l 为c ( x ) 中的顶点个数， 则我们可记 c ( x ) = y z d ：xhy ) ，由此c ( o ) = y z d 0 y ) ，其中。为坐标原点，则我们 知l c l = 等价于oh ，此时渗流发生。令目( p ) = 0 ( i c i = o 。) = 0 ( oho 。) ，我们 称口( p ) 为渗流概率函数。 8 引理1 1 存在见，满足o 见 - p c 这里见称为渗流的临界概率。 定义1 1 p c = s u p p ：口( p ) = o = i n f p ：8 ( p ) o 。 1 3 连续渗流简介 参考文献 1 9 ，在这里首先介绍一下连续渗流的基本概念和性质。设( q ，f ，p ) 为一个概率空间，考虑二维实数空间r 2 ，用b 2 表示r 2 中b o r e l 集的盯一代数。用 n 表示b 2 上所有计数测度的集合，则它把有限测度对应到有界b o r e l 集，并且单 点的测度至多为1 。构造n 的盯一代数= ，l n ：万( 么) = 七 ，其中a eb 2 ，k 为整 数。 定义1 2 一个点过程x 即为由概率空间( q ，f ，p ) 到( n ，忉的可测映射。 定义1 3 点过程石称为强度( 或密度) 为名的齐次p o i s s o n 过程，如果它满 足： ( i ) 对相互不相交的b o r e l 集4 ，4 ，4 ，随机变量x ( 4 ) ，x ( 4 ) ，x ( 4 ) 相 百独立： 9 ( i ) 对相互不相交的b o r e l 集4 ，4 ，4 ，随机变量x ( 4 ) ，x ( 4 ) ，x ( 4 ) 相 互独立； ( i i ) 存在一个测度函数人：r 2j 【o ，o o ) ，对任何有界b o r e l 集彳b 2 ，有 p ( x ( 彳) ：七) ：口一l a “) 矗! 竺 三芋塑空二 c - 一2 ， 由定义1 4 可见当a ( x ) 暑a 时即为强度为名的齐次p o i s s o n 过程。 考虑r 2 上强度为五的齐次p o i s s o n 点过程，记为 五：f ，) 。对每个f ，以 置为心，1 为半径作二维闭球，记作墨，我们所感兴趣的是球，例如图( 2 ) ，在平 面r 2 上的一个区域内考虑，图( 2 ) 中球的中心即为p o i s s o n 点，曲线表示一条从区 域的一边到达另一边的二维闭球所构成的路径。以下将会知道，当兄足够大时，这 样的路径是存在的。 图2 连续渗流 f i g 2c o n t i n u o u s p e r c o l a t i o n 我们称两个二维闭球s 与邑相邻接，如果墨n s a 。若存在一列球 瓯，& ，& 满足& = 墨，& = 且& 与屯( i = i ，2 ，k 一1 ) 相邻接，则记墨停s 。 一个球串( 渗流连接串) 墨：f ，( ，瑚指对所有的f ，- 厂，满足性质 1 0 孵酬帅) i - 2 仁裂嚣 m 3 ， 引理1 3 存在丸满足o 屯 o o ，使得 y ( 五) 2 三： 萋三三龛 c 一4 ) 并且当a 0 有 日 c ( 昧( z ) ) = 兄i ( z ) b 砚r 2 因此有 只( c ( 瞰( z ) ) = ) = o 所以 只( c ( 吼( z ) ) k ) ，k 1 0 显然，五是停时，而其余皆然：因为若互是停时，则对于每个以l 有( 约定u ) = g ) n - ! 瓦“= 刀) = u 互= f ，互+ 。= 行 i = l ：u n - i 五：i n x i + 。五，k 。置；但以 五) c 从而五+ 。也是停时。如此，就归纳地证明了 互，k 1 ) 是一列停时。墨( 彩) ，乏( 缈) ，是 数列置仞) ，五( ) ，在数值大小上一再突破其先前值的破纪录时刻( 序列) a 设 五，以o ) 是一个适应于 c ，以o ) 的随机过程，则停时f 具有如下性质： ( 1 ) f 是c 可测的，墨也是c 可测的； ( 2 ) 设，砭是停时且气乇，则有c ； ( 3 ) 设- ，砭是停时，则五+ 乞， 砭= m i n 纯，砭) ，v t = m a ) 【纯，乃) 都 是停时。进一步地，设钒) 是停时序列，贝t js u p q ，i n f r a 都是停时。 定理1 1 ( 停时定理) 设 e ，n 0 ) 是关于 e ，l 0 ) 的鞅，若停时_ 满足下述 条件之一： ( 1 ) f 是有界停时； ( 2 ) e = n s u p b , a - t i c - o , t o o q = nu 忍 a - t l e q ，t r , o s e q + ，g 其中后一个集合属于e ，因此辑- t e e ，即艺是一个停时。 为了计算式( 1 - 6 ) ，将停时定理应用于鞅 z = e x p ( 盯e 一譬f ) ( 1 - 7 ) 上由于乃不一定有界，不能直接将停时定理应用于乏，所以令刀是一个正整数， 则互 刀是一个有界停时，根据停时定理有 e ( 五m ) = l 一方面，有 。= 口。气m 一矿瓦训g 卯 另一方面，若l 佃 1 4 ，骢，、。= 鼍 _ j 口 一1 4 若乙= 佃，则在任意f 时刻，e 口，因此 。l 专i m 。= 0 由上面的讨论及l e b e s g u e 定理有e ( 1 瓦。佃) ) = l ，于是由式( 卜7 ) 有( n n n z 佃时，= 口) e ( 1 亿。佃 e x p ( 一了0 2 互) ) = 矿印 令仃趋于o ，可以得到p ( 乃 佃) = l ，这表明布朗运动一定能达到口。n g l n e ( e x p ( 一e t r a ) ) = 匹o i 当口 - 0 ) 是均值为0 ，方差为f 且具有独立平稳 增量的随机过程，所以它是关于犯，f o ) 的布朗运动。取见= 了o 2 ，综合上面所述， 式( 1 - 6 ) 成立。 应用停时定理，还可以得到如下很有用的结论：若五是一个平方可积的鞅， 则s u pl 置i 的二阶矩是有界的，即如下的d o o b 不等式： 定理1 2 ( d o o b 不等式) 设 置，0 t r ) 是一个连续鞅，则 e ( s u pi 五1 2 ) 4 e ( 1 41 2 ) 。 1 5 p o i s s o n 过程在股票价格中的应用 定义1 7 随机过程 ，f 0 ) 称为计数过程，如果m 表示在时间区间( o ，t e p 发 生的某种时间( 因事件的发生为时间轴上的一个点，所以人们也把事件称作点) 的数目。因此，一个计数过程必须满足： ( 1 ) f 取非负整数值； ( 2 ) 若s f ，则m 0 ，如果 ( 1 ) n o = 0 ： ( 2 ) 过程又平稳与独立增量； ( 3 ) p ( m = 1 ) = 2 h + o ( h ) ； ( 4 ) p ( 1 ) = d ( j 1 ) 。 定义1 1 0 计数过程 m ，t 0 ) 称为非平稳或非齐次p o i s s o n 过程，有强度函 数兄( f ) ，t 0 ，如果它满足下列条件 ( 1 ) 0 = o ( 即仍从时刻0 开始计数) ； ( 2 ) f ，f 0 具有独立增量； ( 3 ) 以m + ，一m 2 ) = o ( h ) ； ( 4 ) p ( m + ，一m = 1 ) = 2 ( t ) h + o ( h ) 。 若令 m ( f ) = f 元o ) a s 则可以证明 1 6 p 州州一n t = 确 = e x p - ( ，l ( f + j ) 一所( f ) ) ) 【( ，z ( f + s ) 一聊o ) ) 】“n ! t l = 0 , 1 ，2 即m + ，一m 具有均值为m ( t + s ) - m ( t ) 的p o i s s o n 分布。 非齐次p o i s s o n 过程的重要性在于不再要求平稳增量性，从而允许事件在某些 时刻的可能性较之另一些时刻来得大。 当强度兄( f ) 有界时，可以将非齐次p o i s s o n 过程看作一个齐次p o i s s o n 过程的 随机取样具体说就是：设兄满足 名( t ) 名，对一切f 0 且考虑一个强度为a 的齐次p o i s s o n 过程设此过程在时刻f 发生的事件以概率 2 ( t ) 2 被计数，则被计数的事件构成的过程就是具有强度函数兄o ) 非齐次p o i s s o n 过程。 定义1 1 1 称随机过程 r ，f 0 ) 为复合p o i s s o n 过程，若】：= 丝。六，其中m 是p o i s s o n 过程，辑，l 1 ) 是独立、同分布的随机变量序列，且 m ，f o ) 与 乞，刀1 ) 相互独立。 引理1 5 z = 竺。磊为复合p 。i s s o n 过程，则 ( 1 ) z 是一个独立增量过程； ( 2 ) r 的特征函数为 ：( t ) = e x p 2 t ( o f ( “) 一1 ) ) 其中。 ) ( 全，j = 一1 ) 是随机变量序列的特征函数，旯是事件的到达率 证明：( 1 ) 令0 t o f m ，则 气= 竺磊 气一i 一= h 六 k = 1 ，m p 根据 川，f o ) 和 磊，疗1 ) 的假设，不难看出z 是一个独立增量过程。 ( 2 ) e ( f ) = 矿7 1 7 ，i = 1 ，2 ，) 是独立同分布随机变量序列，而且这个随机变量序列与跳跃发生的 时间是相互独立的。具体而言，设s ( o ( o - t o ( 1 8 ) 其中，( f ) ( f o ) 是一个漂移参数为、波动参数为盯的几何b r o w n 运动，它和 以) 及跳跃发生的时间是相互独立的。而且定义 ( f ) ，( f ) = 兀= l ，当( f ) = o 时 i = 1 下面计算，( f ) 的均值和方差。令 所以有 ，( f ) j r ( f ) = 兀f ，聊= 1 ，2 万 玎 = = 、j、 f f ，一， f f ot_t工川兀=e。兀渊 。l。l e e = i i 1 j 万 = 、l， f 、，- i 、 辨 ， 。l e 因此有 = o x p 名t ( e ( j ”) 一) e ，( f ) = p 叫耳- ，卜l l ， e ，2 ( f ) = p 叫耳，2 卜1 ) ( 1 - 9 ) 其中，e ( 厂) = e ( 以) 是跳跃值大小的期望值。且有 胁p o 翟髅2 a t ( e p ( j ) - o i ) 妇) 2 ( 1 - 1 0 ) ：已由( 可，2 卜i i p 、1 7 由于s ( f ) ( f o ) 是一个漂移参数为、波动参数为盯的几何b r o 、n 运动，所以由 文献 2 4 】有 e s ( f ) = s ( o ) e ( + 口2 止) r e s ( o - - e s ( o j ( o = e s + ( f ) e ，( f ) ( 由独立性) ( 1 11 ) = s ( o ) e x p k t + 盯2 2 + 允( e ( ，) 一1 ) f 1 9 2 股票价格含跳跃部分的模型 2 1引论与模型构造 我们将股票市场上的投资者分为a ，b 两组，a 组投资者被看做是机构投资者， 他们非常理智，表现在运用对历史数据和投资策略的分析来决定他们的投资方向； b 组投资者被看做是散户投资者，他们从一长程渗流模型得到信息并且完全跟随市 场的投资趋势来进行投资，这将对股票价格造成一个大的波动。 应用连续渗流理论，我们研究由b 组投资者引起的股价波动现象。考虑股市上 的股票竞价模型，我们由这样的模型得到股价过程的相关结论。 在这一组中，有可数个投资者。对于一支股票，假定每个投资者在每一个交 易日s 1 ，2 ，刀) 都可以对该股票进行交易。在每一天该股票交易开始之时，假设 只有在原点的投资者得到某关于该股票的消息。定义一个随机变量岛，当岛= l 时， 表示在原点的投资者收到利好的消息，当岛= - 1 时表示其收到利空的消息， 岛= o 表示未收到消息，岛= l ，岛= - 1 ，晶= 0 的概率分别为哆，屈以及卜一屈。 接下来这个投资者向离他最近的投资者发出利好，利空或中立的消息，此消息将 通过渗流模型在b 组投资者中间进行传播。这将被看做引起b 组股价波动的最重要 因素。定义f 为随机变量，服从均值为牟，方差为的高斯分布。f 可以看做 是消息对股票价格的影响力因子。对于给定的s l ，2 ，以 ，令g ，= “掣瑚+ 毋掣 刚，其中i c , ( x o ) l 表示e ( ) 的绝 岛 。面。沁丸) + 毋丽。0 是) 共甲 衣不q 【) 嗣绝 对值，m 为单调递增的序列。根据以上定义，b 组该支股票在时间点s o = 1 ，2 ，行) 的 价格g 占( s ) = e x p 妇，) g 占( s - 1 ) 。由此我们得到 g b ( s ) = g 占( o ) e x p 艺云) ( 2 1 ) 其中g 口( o ) 是该股票在时间s = 0 的价格现在我们讨论将时间连续化后的股价过 程归一化过程j ”( f ) ，t 【0 l 】，定义为 对离散时间模型取极限，我们将得到一个连续时间过程，并且我们将讨论此 连续时间模型的概率分布。定义 0 t 1 ， t i t 】 o ，行】 ( 2 - 3 ) 其中i n t 】表示耐的整数部分。通过( 2 2 ) 我们定义股价模型为 s 口= s 口o ) = s 矗( 0 ) e x p x 4 0 ) ) ，0 t 1( 2 4 ) 其中s 口( o ) 是该股票的初始价格刀专时，我们将得到如下的股票价格的模型： f s 口( 0 ) e x p l 口( f ) 出+ 绣) ( 2 5 ) 6 其中“口( f ) 为趋向函数，绣为复合泊松过程。( 2 4 ) 收敛于( 2 5 ) 的过程将在下一 部分做详细阐述。 2 2 停时的构造 我们定义b 组投资者股价模型中的停时，这也表明b 组投资者在作出投资行 为时也依据历史和将来的信息来做出判断。将停时互，互，五，定义如下： 存在某一特定值万，0 万 o ，使得若 n t 石+ + 曩lf tn t 五+ + 巧，五 五， 丸之定义 见1 3 。 对于停时墨，互，乃，令o 占 刀；占+ ；+ 8 ) + p ( 霉n 号+ ； 0 ，使得若 n t 写+ + 军in t 石+ + 霉，以 以，五之定义 见1 3 。 对于停时z = z z 根据切比雪夫不等式有 止有负，但俘时在此刻代表的是时间的长度，若出现负值，则与现实不符。因此 我们考虑将停时定义为只取非负值的随机变量。 ( 2 ) 将霉，i = 1 ，2 ，定义为一仅取非负值的随机变量，则满足切比雪夫不等式： p ( 肾e ( t 3 茁) 挈 令 、艿+ ；艿+ ! + 8 e ( 互) = 捍2 ，茁= 以2 2 一 ( a ) 若z ，f ：1 ，2 ，服从参数为，l j l + 万的p 。i s s c h l 分布，则 p ( i 乃一e ( 巧) i r ) 7 d ( t i ) 2 另= 亡专。 这表明停时z ，f ：1 ，2 ，的长度近似为刀；。 ( b ) 巧，f = 1 ，2 ，服从参数为 ；的指数分布，令g 。丑叱) 其中0 。丑= l ，2 ) ( 2 - 1 0 ) ( i ) 我们来估计厶。依据( 2 7 ) 可得当刀时，厶专o 。 ( i i ) 我们来估计。依据上面的讨论，当彤= 石+ 互+ + 乃，f ：1 ，2 ，时， 五 以；f f a n t ( 石+ + 曩l ，墨+ + 互) 时，名 以。 ( a ) 若彤= 五+ 正+ + 霉，f = l ，2 ，定义随机变量g 服从自由度为胁；一】的 z 2 ( 【刀三2 一】) 分布，因此e ( q ) ： ，l 里2 】。由陬扣】 屯，我们可以选取合适的独立同分布的随机变量序列 鬼：江1 ，2 ，) ， e z 电堋附刚掣 - ( 卅隽志2 万h d u ( 2 - 1 2 ) e ；，2 咆嗍附2 ) e 掣2 - ( q 堋了f 1 2 _ i 0 , 2 丽2 h i = 业竽 ，磊仙 + 老警坝去) ) = s e j ( q ) = s e j ( q c 老筹似去， c 老筹州嘉， 所以在每一随机区间( 五+ + 禾。，五+ + z ) 上，股价保持稳定，并且在随机时间 点巧+ + l 股价发生跳跃，跳跃幅度为岛，i = l ，2 ，定义m 为服从参数为名的 泊松分布的随机变量，并且与j l f ，i = l ，2 ，相互独立。f 被用来描述在时间t 已发 生的跳跃的数量。所以，跳跃幅度谚= 鬼为一复合泊松过程。 ( b ) 若 n t ( 石+ + r i - ! ，五+ + 巧) ，肖4 ( f ) 在时间n t 的特征函数为 ( p t ( z ) = e e x p i z x ”( f ) 】) 2 k 一。，+ 季扣扣e t e x p c 切弓 霎；s ，i 乃2 ，：护c z 2 ，；， ：兀e e x p ( z z - - 石一g 。) 鸠= ，；妒( z = ，；) id + ! lb fs = i v ， l ，；一开 z j n 2 2 ：l ，萃b k 辫e 1 + 拓7 ，i ，一g ，一丢；。2 + 。( 砉) 】i 互= ，；垆( z = ，；)声+ ! ib + ! ”j = l ， 么，z乃 k 一疗2 l n 2 2 e g s = c 吒堋e c 掣2 = ( q 堋苦知= 万2 u b 由( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 我们将( 2 - 1 5 ) 写为： 纠州斟 = 塾z 妥州七， 一 刀2 刀2 。 = m ( 七) f 缈i + 切忑1e ；，一_ z 2 1 z ne 。( 扮咄”“。( 七) ) ，=v ，l ，l 一 一j 所以我们得到： o p t ( z ) = e e x p i z x ”( f ) 】) 2 h + 蠹 争啡以堋1 糌，；， i 吩一一j + ；j 一 + 刀j 一占 l 。i r a 。仍( z ) 2e x p i z u 气+ 坛) 矗 ( 2 - 1 9 ) 其中矿= ”b ( f ) 为股票价格的局部趋向，谚= 艺名名f ：1 ，2 ，的概率密度函数为 i = l ，( 五) 。 ( 2 1 9 ) 表明股价模型的概率分布收敛于( 2 5 ) 中所描述的分布，即股价过 程s 口的表达式为： s 口o ) 2 s 口( o ) e x p u 口( f ) 出+ 谚) ( 2 2 0 ) 其中“口( 力为趋向函数，谚为复合泊松过程。 2 4 模型拓展 推论：重新定义f 并且采用( 2 5 ) 的证明中的相同的讨论，我们将得到如 下结论： ( i ) 如果f 服从参数为等的指数分布，则跳跃项变为谚：芝吩目； ( i i ) 如果f 服从参数为l ，砉的r 分布，则跳跃项变为i f i ：兰吩孝；n v。_ 一 ( i i i ) 如果f 服从参数为p ，i 的分布，则跳跃项变为仍：兰吃p 3 股票价格平稳部分的模型 3 1 引论与模型构造 在股票市场中，不同区域会在某天早上一开盘时会受到利好、利空或中立的 市场消息，这些消息会经过渗流模型传播，从而影响投资人的行为，进而影响股 价的波动。现在考虑有k 个不同区域，k 是一随机变量且服从参数为矗的p o s s i o n 分布；设交易时间s ea 。= 1 ，2 ，刀 ，( t 可以表示某一天) ，且它们相互独立在每 一天内，我们假设每个区域f ( 1 i k ) 以概率口发出买入的消息，以概率发出卖 出的消息，以l 一口一保持中立下面我们来分析一下，并给出适当定义。 对于区域f ( 1 i k ) ，有可数个投资者对于一支股票，假定每个投资者在每 一个交易日s 1 ，2 ，孵) 都可以对该股票进行交易在每一天该股票交易开始之 时，假设只有在原点的投资者得到某关于该股票的消息。这样受到消息的投资者 的集合为b ( n ) ，设其个数为c j v ( o ) ，当原点处的投资者发出卖的消息时，也有同样 的假设。 假设某天s ，站在原点的投资者发出卖的消息，定义： = + l ，如果站在原点的投资者发出买的消息 - - 1 ，如果站在原点的投资者发出卖的消息 毋= 0 ，如果站在原点的投资者发出中立的消息 且 p ( = 1 ) = 口，p ( g ，= 一1 ) = ，p ( 岛= 0 ) = 1 一口一，0 岱 1 ，0 1 ； 并且 蜀，9 2 邑) 是相互独立的。 对于某区域f ( 1 i k ) 我们定义： 2 毋挚( 3 - 1 ) 这是以实施行为的投资者占总人数的比例来定义的，从某种意义上来讲能影 响股票的价格。如果定义第s 天的股票价格为墨，由于每个地区墨是否发出消息 服从参数为九的柏松分布。此时有 o j l i = 1 = e ) 【p ( c 壹彰) 其中c ( 0 c o ，巩 o ，使得哪 c 时，有： 当兄 丸一g 时，有b ( 争) 丸时，有巳( 争) 9 ( p ) 2 一f ( 3 - 4 ) 同理，对于随机变量( 争) 2 仍有以上结果 通常情况下，我们不是研究每一天的股票价格，而是研究某一时间段内的股 价，为此，我们可以把时间分成一些时间带，每一段时间为疗“抛( 0 万 1 2 ) ， 设互= 刀砰2 ，而且假设在每个时间带 【1 ，互l 阢+ l ，正+ 正】阮+ 互+ 瓦一。+ 1 ，五+ 互+ 疋】 内口，和p 的值都是变化的。设初始时刻磊 丸，各时间带的参数为五根据式 ( 3 4 ) 存在充分大的m ，对于( p 1 2 ) 有： 当名 五一( 以- p o ) n ”时，有 3 0 五= 厶+ ( 2 七一1 ) ( 忍一厶) n ” i 五，：，= 丸一( 丸一九) 刀p 0 ，：= 以+ ( 丸一凡) 矿 即k ”2 + 1 ，已经达到了渗流概率，对所有五= 以+ ( 丸一凡) 珂”，我们如果假 定以”2 n “2 = n 2 ，即s n 2 时，渗流没有发生；s n 2 时，渗流开始发生， 股价开始有较大的波动下面我们将对达到渗流临界值之前和渗流临界值之后分 别进行讨论 第一步：ns e 1 ，石+ 互+ 巧胁。】时，对于适当的口，可使得： e m 却柏q ( 争) - 1 石( 1 妪k ) ( 3 - 7 ) 髟 ( 吒) 2 】_ ( 针f 1 ) e ，( c n ，2 i = l 石( 1 f k ) ( 3 8 ) 第二步：当k n p 2 + 1 ，时，对于适当的口，可使得： 研吃】唯钢( 争) 圳石( 1 娜k ) ( 3 - 9 ) e (