（概率论与数理统计专业论文）模糊集值随机变量的dp距离空间及其应用.pdf

摘要 摘要 本文首先利用支撑函数为模糊集值随机变量定义了i l 距离及其等价距 离d ，随后证明了模糊集值随机变量空间关于玩距离具备完备性，以及距 离的一些重要性质。利用d 。距离，我们给出了模糊集值随机变量的方差、协 方差与相关系数的定义，并讨论了它们的性质。在前面结果的基础上，我们进 一步探讨了模糊集值随机过程的随机分析理论，即讨论了模糊集值随机过程 在均方意义下的连续性、可积性和可微性。最后，把区间值随机理论应用于投 资组合选择的四一矿模型中，并证明了区间值单指数模型的最小二乘解的存 在性，利用该模型改进了e y 模型中协方差阵的估计方法，提高了原有模 型对数据的处理能力 关键词：模糊集值随机变量_ p 距离 6 ，距离 协方差模糊集值随机过 程最小二乘估计 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es h a u 矗r s ti 七r o d u c et h ed e 6 n i t i o no fj j pm e t r i cf b rf u z z ys e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n di t se q u i v 出e n tm e t r i cd p ，w h i c hc a nb u i l dac o m p l e t e m e t r i cs p a c ef o rf u z z ys e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s w n ht h eu s eo fd m e t r i c ，w e s h a l ld e 丘n et h ev a r i a n c ea n dc o 咄i a n c eo ff l l z z ys e t v a l u e dr a n d o m 、7 a r i a b l e sa n d d i s c u s 8t h e i rp r o p e r t i e s n e x t ，w es t u d yt h es t o c h a s t i c 舢l a l y s i st h e o r yo ff u z z y8 e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ：ie c o n t i n u i 锄i n t e g r a t i o na n dd i 矗色r e n t i a t i o ni nm e a n s q u a r ec r i t e r i o n f i n a l l y ，w ea p p l yt h er e s u l t so fi n t e r v a lr a n d o mv a r i o b k st ot h e p r o b l e mo fp o r t f o l i os e l e c t i o ni e e ym o d e l ，a n dw ep r o v et h ee x i s t e n c e0 fl s e o ft h es i g l 争i n d e x e dm o d e l ，t h es o l u t i o n0 fw h i 出c a ni m p r o v et h ee s t i m a t i o nm e t h o d o fc o v a r i a n c em a t r i ) f o re ym o d e l ，s oa st oe n h a n c ed a t ap r o c e s s i r 堰a b i l i t yo f o r i g i n 出p o r t f 0 1 i os e l e c t i o nm o d e l k e y w o r d s ：f u z z ys e 乞- v 出u e dr a n d o mv 甜i a b l e ，瓯一m e t r i c ，6 p m e t r i c ，c o v a r i a n c e ，m z z ys e t - v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，1 e a s ts q u 叮e se s t i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名：查塑日期：丝1 6 生堇旦耋。q 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签各垫想导师签名：盔墨鱼嗽出至主旦勿匹 第l 章绪论 第1 章绪论 本文主要有四部分的研究内容，首先研究了定义在模糊集值随机变量空间 上的_ p 距离，及其等价距离：石，、给出了模糊集值随机序列依i l 收敛的等价命 题接着，应用d ，距离为模糊集值随机变量定义了方差、协方差与相关系数， 并讨论了它们的性质之后，又研究了模糊集值的二阶矩过程，讨论了均方意义 下的连续性，可微性及可积性最后，把区间值随机理论应用于投资组合选择的 e v 模型中在阐述本论文的思想和方法之前，首先了解一下集值及模糊集值 随机变量的概念、随机过程的相关结论以及投资组合选择理论方面的现有研究成 果 1 1模糊集值随机分析的发展 在现实中，我们所研究的数据的不确定性主要来自两方面，即随机性和模糊 性实验中，我们用随机变量及其分布来描述随机性，可以用于预测研究未来将 发生的事件而模糊性，是用来描述人们主观判断的更为有效的工具特别是， 我们经常要处理一些随机实验，其实验结果并不是数据，而是一些不确切的语言 描述，这就需要引入模糊集合来为这些概念建立模型 1 9 6 5 年l a z a d e h 的开创性论文p u z 珂s e t s 4 0 】的发表，创造了讨论研究模 糊不确定性问题的数学方法一模糊数学之后，模糊数学受到了各个方面的高 度重视在数学理论( 如拓扑、逻辑学、测度论等) ，应用方法( 如控制论、聚类 分析、模式识别、综合评估等) 和实际应用( 如中长期气象预报、良种选择、故 障诊断等) 诸多方面都取得了很多很有意义的成果 为了研究既有随机性，又有模糊性两种不确定性的复杂系统中的问题，有必 要考虑具有恰当距离定义的度量空间中的模糊集值随机变量1 9 8 6 年，m l p u r i 和dar 础e s c u 给出丁模糊集值随机变量( r n d o mf u 2 z yv i a b l e s ) 的定义【3 3 】， 和d a r 础e s c u 给出了模糊集值随机变量( r a n d o mf u z z y 、m i a b l e s ) 的定义f 3 3 1 ， 北京工业大学理学硕士学位论文 迈出了模糊集值随机理论研究上重要的一步， 这里我们主要研究的是具有二阶矩的模糊集值随机变量，如何定义其期望、 方差，以及研究相关的统计性质是我们首先要考虑的问题1 9 6 5 年，rj a u m a n n 在论文【2 】中给出了集值随机变量的积分，可以用于定义集值随机变量的期望，借 助水平截集的概念，这一定义被推广成为模糊集值随机变量的期望定义但是，由 于集合类关于集合的加法与数乘不是一个线性空间，很难定义两个集合的减法， 如何定义集值随机变量的方差仍是一个有争议的问题k r u s e 2 0 ，l is h o u m e i ( 2 2 ， l y a s h e k o 【2 7 】 a m o n da n dk 1 。e d e n 汛n a t h e t 【3 0 在他们的论文中都进行了讨论考 虑到两个子集的支撑函数是具有可减性的，y 缸g 和l i 在论文【3 9 】中定义了集值 随机变量的d 。距离，并给出了集值随机变量的方差及协方差的定义在他们研 究的基础上，我们对模糊集值随机变量理论的相关问题做出将要进一步的研究 1 2 模糊集值随机变量的距离空间 首先，我们给出集值随机变量的数学描述： 设( n ，4 ，肛) 为完备的概率空间，r 8 为d _ 维欧氏空间，s 是r d 中的单位球 面，k ( 础) 为彬上的非空闭子集的全体，k ( 豫d ) 为彬上的非空紧子集的全 体，k 虹( r d ) 为上的非空紧凸子集的全体。 定义1 2 1f ：n k ( r d ) 是一集值映射，如果f ( u ) k ( r d ) ( 讪q ) ， 且对于妊上的任意一个开集0 ，有f 。( 0 ) a ，则称f 是集值随机变量，其中 f - 1 ( o ) = 扣q ：f ( u ) n 0 册，曲为空集若f 1 和f 2 是两个集值随机变量， 且有f 1 ( u ) = 尼( u ) o ( 肛) ，即p ( f 1 f 2 ) = o ，则称f l 和毋相等 接下来，我们对集值随机变量定义以下的两种运算： ( 1 ) 加法：对于任意两个集值随机变量f l ，f 2 ， ( 日of 2 ) ) = c 2 ( f 1 ) + f 2 ) ) ，u n ( 2 ) 数乘：对于集值随机变量f 和可测的实值函数， 一2 一 第1 章绪论 恁f ) ( u ) = ( “) f ( u ) 作为点值函数积分的自然推广， a u m a n n 2 在1 9 6 5 年给出了集值随机变量 f 的期望的定义： 定义1 2 2 设f 是一集值随机变量，定义 即 = 上胁：，e 跏) ， 其中s f = ，：，( u ) f ( u ) 。s ( 肛) ，且，是可积的) ，则称e 【f 为f 的a u m a n n 积分关于集值随机变量的期望的性质的讨论参见阻【2 6 】 人们在讨论随机变量序列的收敛性时，往往会用到h a u s d o 世距离日，其定 义如下： 定义1 2 3 对出维欧氏空间r d 的两个非空紧子集a ，_ 日，它们的h a u s d o r f f 距离为 日( 且，b ) = m a x ( s u pd ，b ) ，s u pd ( z ，a ) ) ， 其中。( z ，a ) 2 ；嚣陋一训1 r d ， 1 i 掣表示在中由欧氏距离导出的范数 1 r a n g 和l i 在论文c 3 9 】中定义了k k 。( 州) 上的勘距离：v a ，b k 。( r 。) ， 蚶，耻吣( 州) - s 驯9 出r 1 p o 定理1 2 1 ( 参见 3 9 ) ( k k 。( r 。) ，南) 是一完备、可分的度量空间，这里1 p o ( 这里c 2 表 示集合在彬中的闭包) 很容易验证对任意的模糊集它的水平截集具有下面的性质： ( 1 ) 坳= 豫4 ； ( 2 ) d o k k ( 骢d ) 的模糊集合v 的全体 称模糊集合一n ( r 。) 是凸的，若它满足 ( a 。+ ( 1 一a ) y ) m i n ( z ) ，( ) ) ，v z ，r 4 ，入 o ，1 记f 。( r d ) 为n ( 倒) 中所有凸模糊集合的子集 实际上，普通集合族在一定的条件下也可以确定一个模糊集合，下面的一个 定理给出了确定方法 定理1 2 3 ( 参见 7 】) 设 如：o o ，l 】) 为r d 子集的全体，且满足以下条件： 1 ) 对于任意的o o ，1 ，地是r 4 中的一个非空紧凸子集； 2 ) 对于任意的o a p 1 ，有 妇互m 。； 3 ) 对于任意的毗ta ，有 缸= n 罂1m a 。 5 一 北京工业大学理学硕士学位论文 定义：r d f o ，1 v c 。， 5 u p 口5 。批k ) i ：i ： 则f k c ( 则) ，且对任意o 【o ，1 1 有= ，并且有= c f ( u 。( 。1 】) 有了模糊集的分解定理和上述定理，我们就可以借助于水平截集这一有效的 工具将模糊集与普通集联系起来，这对于我们今后研究模糊集有很大的帮助 下面在e ( r d ) 上定义的距离是h a u s d o r 丘距离的推广：对任意的一1 p 2 r ( r d ) ， 日。= s u p 日( 畦，) ， d ( 0 ，1 】 模糊集值随机变量的定义首先由p u r i 和r 越e s c u 在论文 3 3 中给出一个 模糊集值随机变量是一个函数x ：n f ( 则) ，且满足对任意的o ( o ，1 】，有 五( u ) = 如r d ：x ( u ) ( 。) n ) 是一个集值随机变量 我们用e x 表示模糊集值随机变量x 的期望，e x 是f ( 豫4 ) 中的一个模 糊集合，且满足对任意的a o ，1 】，有： r ( e 】) 。= c c j d p = d e 【， ：，5 k 。) ， js ! 这里的闭包是在r d 中取的 这一定义是a u m a n n 积分的推广，其中的闭包是为了保持模糊集值随机变量 期望的水平截集的封闭性质若x 是取值于f k 。( 邸) 的可积有界的模糊集值随机 变量，则由【2 6 】中的定理2 2 2 知它是闭的实际上它也是紧的，且旧 x ) 。= e 【 对于模糊集值随机变量序列，我们给出它独立性的定义： 一6 第1 章绪论 定义1 2 8 模糊集值随机变量序列f x “：n n ) 称为独立的，如果 a 弘：n n ) 是相互独立的；称其为同分布的，若 般n ：n n 是相同的；称为独立同分 布的，若该序列是相互独立且同分布的，简记为i e d 其中a x = 盯 x 一1 似) ：“日( f k 。( r 8 ) ) ) ，且x 1 ( 酣) = u q ：x ( u ) “) ， 8 ( f k 。( 舻) ) 表示在f 女。( r d ) 上依e k 生成的b o r e l 域在日( f 托( ) ) 上x 的分布 是概率测度眦，定义为船( “) = “一1 似) ) ，“g ( f 。( r 。) ) 1 。3 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 随机过程已广泛应用于许多领域中，如物理、生物、社会科学( 管理、经济) 以及工程科学技术中，并且在这些领域中显示出十分重要的作用研究随机过程 有两种常见的途径一条途径侧重于研究概率结构，如对马尔科夫过程的研究 另一条途径则侧重于统计性质的研究，如研究随机过程的相关函数、二阶矩、平 稳过程等本文就是从后一种途径进行研究的 定义1 3 1 设有随机过程 x ( t ) ，t t ) ，其中丁是一个指标集，若对每个 t ? ，x ( t ) 的均值和方差都存在，到称x ( t ) 为二阶矩过程 定义1 3 2 设有随机过程 x ( t ) ，t 码，对1 ，t 2 t ，若e ( t 1 ) x ( 2 ) 存在， 则称其为该随机过程的( 自) 相关函数，记作r ( t z ，t 2 ) 定义1 3 3 设有一个二阶矩随机过程 x ( t ) ，t t ) ，它的均值为常数，相关 函数仅是时间长度r = t 2 一t 1 的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机 过程 连续性、导数和积分的基础是极限的概念，在随机分析中也是一样为了研 究二阶矩过程的连续性、导数和积分，也必须定义随机变量序列的极限随机变 量序列的极限有许多种定义的方法，本文中采用均方极限的概念，因此后面的讨 论实际上是研究二阶矩过程在均方意义下的随机分析 定义1 3 4 设有随机变量序列 弱，n = 1 ，2 ，) 二阶矩存在，即日l 蜀，1 2 一7 北京工业大学理学硕士学位论文 o 。，n = 1 ，2 ：；又设有随机变量x ，它的二阶矩存在，即e 】x 1 2 o 。如果 熟驯一砰净o ， 则称序列 ) 均方收敛于x ，或序列 ) 的均方极限为x ，记作熙k = x 定义1 3 5 设有二阶矩过程 x ( t ) ) ，在每一个t 点，一。 。，有 l i 碘_ e2 x 0 + ) 一x ( t ) 1 2 = o ， 即x ( ) = 1 1 吗x o + h ) ，则称 x ( t ) ) 在任意一个点t 是均方意义下连续的，或称 x ( t ) ) 是均方意义下连续的随机过程，或称该二阶矩过程具有均方连续性 定理1 3 1 ( 参见【4 3 】) 均方连续准则 设有二阶矩过程 x ( t ) ，t d ，r ( s ，t ) 为其自相关函数，则 x ( t ) ) 在t = t o t 上 均方连续的充要条件是它的自相关函数r ( s ，t ) 在( t o ，t o ) ( t ，t ) 处连续 上面研究了适用于一般的二阶矩过程如果二阶矩过程是宽平稳随机过程， 则有如下的定理： 定理1 3 2 ( 参见 4 3 ) 设仁( t ) ，一。 t 。) 是宽平稳随机过程，则以下的 各条件是等价的： ( 1 ) x ( t ) ) 均方连续； ( 2 ) x ( t ) ) 在t = o 点均方连续； ( 3 ) 自相关函数r ( r ) 在一o 。 r 。o 上连续； ( 4 ) 自相关函数冗盯) 在r = o 处连续 定义1 3 6 设 x ( t ) ，t t ) ) 是二阶矩过程，考虑t = 【0 ，纠的一组分点 0 = t 0 t 1 - - t n = b ， 作和式 2 1 m 黑( “一址t ) “ 哟 x 。m | i 第1 章绪论 其中t ：e 一划若当。一。时，晶均方收敛，则称x ( t ) 在随b 上( r i e m a n n ) 均方可积，其极限记为 x ( t ) 出， 称为x ( t ) 在hb 】上的( m e m a n n ) 均方积分 定理1 3 3 ( 参见 4 3 】) 均方可积准则 x ( t ) 在【。，6 j 上均方可积的充分条件是下列普通的二重积分存在： z 6 肛s ，伽s 扭 定义1 3 7 二阶矩过程 x ( ) ，研称为在o o t 均方可微，如果 l i 。茎! 鱼塑二茎竺立 h _ 0凡 存在此极限记作x ) 或笔，称为x ( 。) 在t o 处的均方导数或均方微商 定理1 3 4 ( 参见 4 3 ) 均方可微准则 二阶矩过程x ( t ) 在处均方可微的充要条件是，它的自相关函数为r ( t ，s ) 在( t ，t ) 处广义二次可微即： 。船一。坠业型_ 业地名笋监型业巡 一0 ， l + 0 彬 存在 近年来，模糊集值随机变量和模糊集值随机过程得到了广大学者的关注与大 量研究，并且在积分几何、数理经济、随机优化理论等学科中找到了有趣而深刻 的应用但在模糊集值随机过程的研究中，由于定义模糊集值随机变量之差存在 困难性，对模糊集值随机过程的随机分析理论的研究目前涉及甚少类似实值随 机过程的分析性质，我们有必要对模糊集值随机过程在这一方面的理论做一些研 究 9 一 北京工业大学理学硕士学位论文 1 4 模糊集值随机变量在经济中的应用 ( 1 ) 研究背景 近年来，模糊数学被应用于宏观、微观的经济研究，提出了科学的定量化的 模糊综合评价、预测、决策方法，使系统论、信息论、控制论和模糊数学论相结 合，形成新的科学方法论，并将其应用到经济科学研究中去，构成新的经济科学 体系，攻克那些长期未突破的经济难题，这将是现代经济研究的重要趋势之一 应用模糊数学中的集值统计原理，建立探讨社会经济系统中决策指标的估计 方法应用这套方法，评估者可以较充分地利用评价过程中获得的信息，较容易 地处理评价中经常遇到的不确定性、随机性、模糊性和一些心理因素，更易于集 中多种不同意见，并分析指标评价值的置信程度 1 9 5 2 年，m 口k o w i t z 发表了他的著名论文“投资组合选择” 2 8 ，标志着现代 组合投资理论的面世投资组合的选择狭义的含义是如何构筑各种有价证券的头 寸来最好地符合投资者对收益和风险权衡广义的含义则包括对所有资产和负债 的构成做出决策，甚至包括对人力资本( 如教育和培训) 的投资在内对于集值 和模糊集值的投资组合选择问题还处于探讨阶段 ( 2 ) 多项风险的投资组合模型 基于m ”k o w i t z 提出的投资组合选择的理论，求解投资组合优化问题的基本 步骤是：首先给出投资决策的均值一方差准则( 即e y 模型) ，在此基础上建 立组合投资的优化模型；根据这个模型，可以得到相应的最小方差组合解和最小 方差集 在实值的多项风险资产组合优化问题中，假设有n 项风险资产，它们的收益 率记为r ( i 一1 ，n ) ( 随机变量) ，其预期收益率记为e ( n ) ( = 1 ，礼) ，它们 的协方差阵记为e = ( ) 。，其中a 舒= g o ”( 砬，马) t ，j = 1 ，n z 1 ，z 。表示 相应的资产在组合中的比重若记e ( r ) = ( r ，) ，e ( ) ) ，x = ( 。1 ，z 。) 7 ，1 = 1 0 第l 章绪论 ( 1 ，1 ) ，优化投资组合就是在要求组合有一定的预期收益率e ( r ) 的前提下，使 组合的方差越小越好，即求解以下的二次规划： m i nx 7 x u s t x ，e ( r ) = e ( r ) ； x 7 】= 】 在此基础上，可以对投资组合模型进行进一步的改进由于求解过程需要对 协方差进行估计，当样本数较大时，计算量将非常大通常的方法是考虑应用单 指数模型： 马t = o + 卢t + 勺t 这里马t 表示证券j 在时间t 的收益率，只“表示相应的市场证券组合收益率或 者是一些影响非常大的股票价格指数( 如s t a n d ”d & p o o r5 0 0s t o d 【si n d e x ) ，e j t 表 示j 在时间t 的残差项它包括了除市场证券组合外，所有影响玛运动的因素 之和，反映它们的综合影响 应用线性模型最小二乘估计的方法对p 进行估计，我们发现对市场中的任 意两种证券； 马= a j + 岛+ 勺；r k = a + 展+ “ 在满足一定假设的条件下，有c m ( 马，凰) = 岛凤y n r ( ) ，这样从很大程度上减 小了运算萱现在问题的关键就是为集值随机变量建立线性模型，并对模型的最 小二乘估计进行求解 1 5 本文研究的问题及论文结构 本篇文章主要由五章组成，其中第一章是绪论部分，属于准备工作，第二章 到第五章是本文的主要结果部分第二章给出模糊集值随机变量空间上的i l 距 离，及其等价距离6 p ，证明了它们的完备性，并给出模糊集值随机变量关于晚 北京工业大学理学硕士学位论文 距离收敛的等价问题；第三章利用d 。距离，给出了模糊集值随机变最的方差、协 方差与相关系数的定义，并证明了它们的性质；第四章研究的是具有二阶矩的模 糊集值随机过程，即讨论了模糊集值随机过程在均方意义下的连续性、可积性和 可微性；第五章讨论如何把区间值随机理论应用于投资组合选择的e v 模型 更具体的结构如下： 在这篇文章中，我们首先引入了一个关键性的概念模糊集值随机变量 空间上的耳距离，及其等价距离d ，借助于这一工具，我们对模糊集值随机变 量方面的理论做了一些必要的研究 首先，我们给出了定理22 1 和2 22 ，它们是对新定义的距离空间( c p ，百。) 的完备性进行讨论在此基础之上，我们得出了一个非常有用的定理2 2 4 一方 面，它给出了二元函数f ( x ，y ) = e ( x ，y ) + e ( 凰+ ，k + ) 连续性的结果另一方 面，它给出了( c 2 ，d 2 ) 上模糊集值随机变量序列是柯西列的充要条件这一定理 在后面的证明中多次用到 其次，利用西，距离，我们给出了模糊集值随机变量的方差、协方差和相关系 数的概念这一思路最大的优点是，它避开了在f 。( ) 上定义减法这一难题 将值随机变量的结果作进一步推广，很容易得到定理3 11 和3 2 1 作为这一 部分的简单应用，我们给出了例3 3 2 接着，再看d 。距离在模糊集值随机过程方面的应用在第四章中，我们引 进了模糊集值随机过程的相关函数，应用它给出了模糊集值随机过程在均方标准 下的连续、可积和可微方面的结果实质上，这些都是实值随机过程结论的一些 推广， 最后，在第五章中建立了基于区间值随机变量的投资组合选择优化模型，并 对模型进行求解随后，讨论了区间值单指数模型的最小二乘解的存在性及统计 性质最后，探讨了如何应用区间值单指数模型来改进投资组合模型中协方差阵 的估计方法 1 2 第2 章模糊集值随机变量空间上的耳距离 第2 章模糊集值随机变量空间上的耳距离 2 ，1 ( f k 。( 彬1 ，瓦) 的完备性 p h i ld i m 。n d 在f 7 j 中给出了如下的d p 距离定义，对咖1 ，2 f k c ( r 4 ) ，定义 d ，( v 1 ，v 2 ) = 【z 1 【( 1 s ( z ，”：) 一s ( z ，”：) 1 9 d z d 司1 7 9 ，p 。 由定理知，若，f k 。( 一) ，则有k k 。( ) ，这里s ( - ，) 是的支撑函数，即 对于v s ，s ( z ，v 。) = s u p ( z ，g ) 记i d 。= d p ( o ) ，”) 注： ( f k 。( r d ) ，d ，) 是距离空间且可分，但不是完备的，这可以从下例看出 例2 1 1 ：取定p ，lsp o 。定义矿f 虹( 一) ，= 1 ，2 ，3 ，和p ：r j ，( 这里 f o ，。隹 1 叫 矿= 【。，z m f o ，茹 1 从而有它们的截集 伽k 薹； 其中k = 1 ，2 因为弘o + 是无界的所以p f 虹( r 1 ) 一1 3 0 n l n = o 嘲吼 一 十 艘 l【r 【 ，、【 1 1 o p 北京工业大学理学硕士学位论文 对于距离如，我们有 s ( 一1 ，肛：) = s ( 一1 ，p 。) = 一l( o ，1 s ( + 1 ，“8 ) = q ( 一1 2 p )q ( o ，l 卅狰e i 塞： 由于在s = 1 ，1 ) 上的积分相当于求和，所以有 d p ( 矿，p ) = 芦：) 一s 。) ，捌缸r ( 口_ 1 卸一女一l 卸) 如 1 p 。 因此，f 托( r 1 ) 在距离岛下是不完备的 这里，在不改变空间限制的基础上，我们考虑对原如进行修正，使得f h ( r 。) 在修正后的距离定义下具有完备性定义 己p 1 ，2 ) = 如( y 1 ，2 ) + d p ( 瑶+ ，矗) ，1 p o ，知如( 瑶i ，踞) 一o 从而南( m 。，) 一 o ( m 一0 ) ( 4 ) 由( 泸：n n 是( f k ( r d ) ，弓) 中的c a u c h y 列，则存在予序列v q ，使得 啦：n n ) 是( k k ( r 。) ，南) 中的c a u d 列 由( k k 。( r 8 ) ，如) 的完备性知，存在m k 。( 一) ，使得南( 啦，m ) 一o ，( 唧一 o 。) 而由 a 缸：o ( o ，1 】) 的性质知 乱+ = d ( u 。 o a 站) 取伽o ， 画( m ，+ ) s 出( m ，啦) + 晦( 啦，癌) + 南( ，+ ) 由d p ( 癌，c 2 ( u 。，o m ) s u p 。，o 岛( 嫒，蛾，) 则有，勘( m ，a 岛+ ) 一o 从而m = 娲+ 即蛹+ 是紧集 综上所述 a 如，a ( o ，1 ) 满足定理1 2 3 的条件，从而存在v f h ( r d ) ，使得 = 缸，q ( o ，1 】) 且蜘+ = m 0 十 步骤四：证明：瓦( ，v ) 一o 显然，南( 睡，+ ) 一0 ，放只需证d p ( 扩，v ) 一o 由南( 嵋，如) 一o ，即对她( o ，1 】，e o ，| ，使 时，有南( ：，v 。) s 一1 6 第2 章模糊集值随机变量空间上的或距离 由定义知，d p ( u “，v ) = 咐( 如( 嵋，) ) p d n 1 p o ，使得q d l ( x 1 ，拖) sd 2 ( 蜀，恐) 岛d 1 ( 五，恐) 命题2 2 1 耳与6 ，等价 证明由定义显然有， e l 雌( x ，y ) + 晖( j ，0 + ，k + ) l e l 如( x ，】，) + 略( x 0 + ，确+ ) 卜 r1r p 即，6 ，玩 一1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 由m i n k o w s k i 不等式与g 不等式知， e d ，y ) + 勘( 凰+ ，砀+ ) 9 s 【e d ；( x ：y ) 1 扫+ e 哆( j 如+ ，k + ) 】1 p 9 妒_ 1 i e 嘟( x ，y ) + e 晖( 杨十，托+ ) l ， 即，乓( 2 p 一1 ) 1 加6 ， 综上，6 p 百p 2 宁6 p ，由引理知_ 芦与6 p 等价口 又记伊= ( x 甜旧f k c ( 彬) ：e x f 晤。】 时，有耳( x ”，x ) e 和珥( x ”，x ) e ， 从而有_ p ( x ”，x ”) _ p ( x “，x ) + 耳( x ，x “) o ，取定正整数，使得当n 三时，有 西p ( 舻，x ) ( ；) 由x c ，知，取定6 ( e ) ，使得当p ( 4 ) 6 ( ) 时，有l ( | | x “j 】孔尸中寺， 厶( | 】x l f 瓦) 9 舡曼参，“ 由( 2 2 ，1 ) 式，则对任意a a ，p ( a ) 6 ( e ) ，有v n ，厶( 州x “l l a 。) p 劫墨，即 圳x “晤。，n l 是一致绝对连续的 且由x “的极限存在，有鬻e 洲x “ 瓦) 9 o 。 综上所述，可得酬x “| | 乞，n 1 ) 是一致可积的 b ) 由m a r k o v 不等式，得 矧砖啦。冬掣：跫硼n 一 故面( x “，x ) 与o ( i n ) 争( i ) ，由瓦( x “，x ) 与o ，即有f i x “ i 瓦兰。i l x fj 瓦 由n t o u 引理，知 e 孵( x ( u ) ， o ) ) 】= e 1 1 呀n f 珲( x ”( “j ) ， o ) ) 1 1 呀n f e 霹( x “( u ) ，( o ) ) s 鄙p e 晖( x “( ) ， o ) ) ) = 乱1 p e 0 x “1 晤 o 。 nnu 口 故x p 由于圳x “i i 告。，礼21 ) 是一致可积的，以及不等式 ( 瓦( x “，x ) ) 茎( | | x ”瓦+ | | x ”瓦) s2 p _ 1 x ”| | 乞+ | x | | 乞】， 2 0 第2 章模糊集值随机变量空间上的珥距离 利用控制收敛定理，知e 瑶( x “，x ) + o 故玩( x “，x ) 一o 口 推论2 2 2 设是c ，中的序列，则以下三个命题是等价的： ( i ) x ，d p ( x “，x ) 一o ，n o 。； ( i i ) x “) 是d p c a u c h y 列，i e d p ( x “，x ”) 一o ，m ，n 一。； ( i i i ) 1 1 x “限一致可积，且瓦( x ”，x ) 乌o 由文献 3 9 知，可以对集值随机变量定义( ) ：( l 2 ，d 2 ) ( l 2 ，d 2 ) 一碾， ( x ，y ) = s 0 ，x ) s ( z ，y ) 如， 其中护= x “陋，k c ( r d ) ：e 川x 咭。 o 。 ，且可以得出如下定理： 定理2 2 3 ( i ) 映射，( ，) ：2 ，d 2 ) ( l 2 ，d 2 ) 一暖，( x ，y ) 一，( x ，y ) = e 伍，y ) 是连续的； ( i i ) x “，n 1 ) 是( l 2 ，d 2 ) 上的柯西列的充要条件是当n ，m o 。时， ，( x “，x ) 的极限存在 类似地，对于模糊集值随机变量我们可以定义下面符号并得出相应的定理 定义2 2 1 ( ，) ：( c 2 ，d 。) ( c 2 ，d 2 ) 一r ， ( 犁) = z 1 眙( z 川叫城胁卜 定理2 2 4 ( i ) 映射f ( ，) ：( 2 ，6 2 ) ( c 2 ，6 2 ) 一r ，( x ，y ) 一f ( x ，y ) = e ( x ，y ) + e ( 弱+ ，确+ ) 是连续的； ( i i ) 弘”，n 1 ) 是( c 2 ，6 2 ) 上的柯西列的充要条件是当n ，m o o 时， f ( x “，x ”) 的极限存在 证明( i ) 任取x ，y ，x o ，y o c 2 ，由s d l w z 不等式，有 1 e ( x ，y ) 一e ( x 。，y ) + e ( x 。+ ，k + ) 一e ( 础+ ，砀+ ) l 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 r 1，r i， | e 吃【上8 ( 。，墨) ”( 。，圪) d z 】如 一e 唬 上s ( 。，础) 。( z ，y 口) 如 d 。 | os0 。j s 一 。i 十 e 8 0 ，凰+ ) s ，+ ) d z 】一e s o ，盖番) - 5 扛，殇+ ) d z l j s s e z 1 ( z ( s ( z ，弱) 叫z ，程) ) 如嘲d a | + e | 正( 如，函+ ) 一s ( z ，硌) ) 如，确+ ) d z | j s s e z 1 ( 上 s ( z ，x a ) 一s ( z ，x ：) 1 2 d 。) d 凸l - e 【z 1 ( z1 s ( z ，台) 1 2 d 。) d0 = 1 7 2 + | e 1 s ( 。，x 。+ ) 一。( 。，硌) l z d 。 e 【f 】。( 。，+ ) i 。出 v 2 。 j s s 4 = d 2 ( x ，x o ) d 2 ( y ，臼) + 如( 弱+ ，硪) 如( + ，十) d 2 ( x ，x 。) d 2 ( y 8 ) + d 2 ( k + ，口。+ ) + 如( 凰+ ，x 磐) d 2 ( y 8 ) + d 2 ( 碥+ ，口。+ ) ：6 2 f x ，x 0 1 6 2 ( y 8 ) ， 其中。表示彬的原点，日表示单元索集 o ，选取某6 = m i n 1 ，5 ( 1 + 6 2 ( x o ，目) + 6 2 ( y o ，8 ) ) 一1 ) ，当6 2 ( x ，x o ) 6 ，6 2 ( f y o ) 6 时，因为 6 2 ( k 日) 6 2 ( v y o ) + 6 2 ( y o ，口) 6 + 6 2 ( y o ，日) s1 + 6 2 ( y 。，日) ， 所以有 i f ( x ，y ) 一f ( x o ，y o ) 1 = l e ( x ，y ) e ( x 。，y 。) + e ( x 。+ ，+ ) 一e ( x 孙，墙) 1 s i 层( x ，y ) 一e ( x 。，y ) + e ( 硒+ ，+ ) 一e ( x 辟，k + ) + l e ( x 。，y ) 一e ( x 。，y 。) + e ( x 蹿，砀+ ) 一e ( 硌，瑶) s6 2 ( x ，。) 西2 ( y 1 8 ) + 6 2 ( r y o ) 6 2 ( x o ，目) e 2 2 第2 章模糊集值随机变量空间上的珥距离 ( 必要性) 因为。、恕。d 2 ( x “，x ”) = 。，由推论22 l 知，存在x c 2 ，使得 1 i md 2 ( x “，x ) = 0 又由得 。驷。j ( 爿“，” = 。轻o 。p 【詹 如s ( z ，j 皤) s ( z ，砑) d 。 d n + e 厶s ( 。，x 4 ) s ( z ，x 弭) 如】! = e 【詹瞻( s ( 。，五) ) 2 d z d 。+ 帆( s ( ，x 叶) ) 2 d z i = e ( x ，x ) + e ( + ，弱+ ) ( 充分性) 令。齄。i e ( x 4 ，x ”) + e ( x 辞，x 骅) i = + 6 ： n ，m 一l 、 ， i 则当m 一。时，有 = e z ( s ( z ，霹) _ s ( z ，霸) ) 2 酬d n + e z ( s ( z ，碍) - s ( 。，碍) ) q d 司 = e 加z 罔) 2 d 小a 卜z e z 啦罔叫。，刀删如 + e z 1 【z ( s ( 。，x ) ) 2 d 叫d 。 + e z ( s 硪) ) 2 出 一2 e zs ( z ，碴) s ( z ，碍) 出 + e z ( s ( 。，砰) ) 2 如 = e ( x “，x