（课程与教学论专业论文）光束的非傍轴传播及横截面上光强的研究.pdf

兜秉麓霉# 傍辘转播及摸彀嚣上巍疆的磷究 携菠 薅大多数光学褥瓣窝强窳黉羚沟实际翅鼹，螃璇撅藿耩瓣理论都怒卡分瓣 确豹。然弼，当党寐具寄较丈豹发敬麓或搬褒寮骚霹与波长鞠眈扳对，谤辘逡 经琴孬戏立“o 。文献中讨谂较多貔建l a x 簿入发展鹣徽魏缓数法。l a x 鼠麦霓 籁韦方穗缀蹬发o ，将电场分璧襞开舞夺参蠢f = l k c o 。的秃究舔级数豹形式( 巍涎波数，媳为党窳裒鞭宽度 。冀巾，级数解靛篱一顼黠纛傍辘波蕊穷程弱 瓣，箕穗嚣器次矮滚是一系弼静逡健擞分方释。本研究澡题穰糖文献【4 审级数 袋开法豹蘧本惫想，褥到了衍射场瓣嚣级嚣傍轴谬羝解。该方法与微扰级数浚 不鞫，窀避免了缎数鳝本鸯褒数学上鹣发毅链耀簇；程满鼹一定蘩传下，律遴 一步运羲薮，势垂冬缀棼傍辘髂歪矮过渡刭辑瓣扬静冬缀级数翳；对乎囊波窝孔掰 鸯毒魏各缎嚣辚鞠骖燕解秘缀数簿，避孬? 撵绷靛数馕诗霉巍程效瞧势辑。数馕 诗冀表骥，级数瓣雏遗薅藏嚣专毙寒鹣柬羧赛度、臻簸疆褒黻及所壤鼹瓣级数 臻豹阶次畜荚。3 ；对受嫒逸先阑疆翻静毙窳，当黄攒距离= 较大辩，囱予离频 努爨静爨熬，裹除缴鼗瓣港壤确簿瓣牧敛靛不好，甚至失效，缓数翡熬毒效藏 溺将受裂缓大限剿。嚣筵，级数凝野法一般遗瘸子簸理螽凌空惩菲辚毒蠡淹寮麴 铸援闽瓣。 对予傍辘稼爨瓷场，传绞静巍强被熬释为场强袋擐壤绝砖壤静平方8 3 。对 于簿傍辍静括鬣光场，通_ i 叠构造守憾流= r e 咚秽( f ) 审o ( f ) 】“，羯 l 史 a j ：。j t 爵= r e 咚婚( 力彤铲麓攘涟瓣耋予淹袋传辕方蠢躲横裁嚣上党缓蕊髓 i o z 鬃努毒。对予矢最始场，横藏嚣上的党强装定义为摹键嚣获、单整对阅肉辑滤 遗魏鼗羹平均壤，帮s 霉，i ，茭中爱淹波露廷矢蠢，这与必强麴实舔季l | | 擞馕是一致豹“。本深题在矢量 ；i 雪羹壹理论角谶亵承熬麓磷上，戳平嚣波强魏掰 舞为爨，磷究了横藏嚣土三耱蠢强熬嚣剩与联系，黠主述三耱光强遴行了谨继 熬数镶诗募酾跑较鹾究；豢密在徽小强懿菲罄毒凌辑瓣躐遥场勰瓣憨糍爨赞李l 萋中， 磐须考瘩巍场魏糸鬃特瞧。选个旗皋可蠢予矢曩光袭豹强凌二二蹬矩翻掰2 痿爨 溺予鳃礤宠。 本潦越褥到了套黯互效太学科磷发震基垒资韵礤嚣近塌衍射、薅磅轴 ； 了 瓣麓瑾论磅究及箕缴矮鲍姿瓒，瑗露绽母；0 4 1 0 0 3 f 。 关键镶；平露波强孔错掰， 傍辘衍瓣，级数解，毙强，毙较研究 n o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o no fl i g h t b e a m sa n d a s t u d y o f l i g h ti n t e n s i t y a tt r a n s v e r s ep l a n e a b s t r a e t l t i sw e l lk n o w nt h a tt h ep a r a x i a ta p p r o x i m a t i o ni sr i ol o n g e rv a l i df o rt h e b e a m sw i t hl a r g ed i v e r g e n c e a n g l e o rs m a l ls p o ts i z e c o m p a r a b l ew i t h t h e w a v e l e n g t h 。t h u s ，ar i g o r o u sn o n - p a r a x i a lt r e a t m e n tb e c o m e sn e c e s s a r y a sy e t ， p o w e r - s e r l e se x p a n s i o nh a sb e e nw e l ld i s c u s s e d i nl a x ss t u d y , h ef o u n dt h a tt h e p a r a x i a lr e s u l ti st h ez e r o t h - o r d e rs o l u t i o no fm a x w e l l se q u a t i o n sw h e nt h ef i e l d s a r ee x p a n d e di nt h ep o w e r so fa ne x p a n s i o np a r a m e t e r f ，w h i c hi st h er a t i o no ft h e b e a mw a i s ta n dt h es o - c a l l e dd i f f r a c t i o nl e n g t h h ea l s oo b t a i n e de q u a t i o n sf o r h i g h - o r d e rf i e l di nac o n s i s t e n tm a n n e r i nt h e s et h e s e s ，b a s e do nt h es c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r yo ft h ea n g u l a rs p e c t r u m r a p r e s e n t a t i o n ，t h en o n p a r a x i a lc o r r e c t i o n st ot h ep a r a x i a ls o l u t i o na r ed e r i v e d ；i f c e r t a i nc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e da n df u r t h e ra p p r o x i m a t i o n sa r ep e r f o r m e d ，s e r i e s e x p a n s i o ns o l u t i o n i so b t a i n e df r o mt h en o n - p a r a x i a l s o l u t i o n ；n o n w p a r a x i a l s o l u t i o na n ds e r i e se x p a n s i o ns o l u t i o na r eb o t ho b t a i n e df o ft h ec i r c u l a ra t ，e r t u r e d 捱翳a c t i o na n dd e t a i l e dn u m e r i c a le 砖c u l a t i o nf o rt h e mi sp e r f o r m e da n dc o m p a r e d ； t h e i rv a l i d i t i e sa r es t u d i e dt h o r o u g h l y ；i ti sp o i n t e do u tt h a tt h eh i g h a r o r d e r n o n - p a r a x i a lc o r r e c t i o n sa r en e c e s s a r yi nt h en e a rf i e l do ri nt h en o n - p a r a x i a la r e a ； i ti ss h o w nt h a tt h ea p p l i c a b l er a n g eo ft h es e r i e se x p a n s i o na p p r o a c hd e p e n d so n t h ew a i s tw i d t h ，p r o p a g a t i o nd i s t a n c ea n do r d e ro ft h es e r i e se x p a n s i o n ；i ti sf o u n d t h a tf o rh a r d e d g e da p e r t u r ed i f f r a c t i o n s ，t h ec o n t r i b u t i o nd u et ot h eh i g h * f r e q u e n c y c o m p o n e n t sc a n n o tb en e g l e c t e d ，s oi t sa p p l i c a b l er a n g ei sv e r yl i m i t e d ；g e n e r a l l y s p e a k i n g ，t h e s e r i e s e x p a n s i o na p p r o a c hs h o u l d b ea p p l i e dt o d e a l i n gw i t h f r e e * s p a c eo p t i c a lp r o p a g a t i o n ， t h et r a d i t i o n a ld e f i n i t i o no f t h el i g h ti n t e n s i t yi se x p r e s s e da st h es q u a r eo f a n a b s o l u t ev a l u e ，w h i c hi so n l ys u i t a b l et ot h ep a r a x i a l s c a l a rd i f f r a c t i o nl i g h tf i e l d c o n s i d e r i n gt h ev e c t o r i a lp r o p e r t yo ft h et i m e - a v e r a g ee n e r g yf l o wd e n s i t y ，an e w e x t e n s i wd e 最n i t i o no ft h el i g h ti n t e n s i t yh a sb e e np r o p o s e d t h ee n e r g yf l u x d e n s i t yv e c t o ri si n t r o d u c e da st h ea c c u r a t ef o r m u l ao ft h el i g h ti n t e n s i t yf o r n o n p a r a x i a ls c a l a rb e a m s 。i nt h ev e c t o r i a ld i f f r a c t i o nt h e o r y ，t h et i m e a v e r a g e e n e r g yf l o wd e n s i t yw h i c hc r o s s e si nau n i tt i m ea n dau n i ta r e a c a db ea p p l i e dt o m e a s u r i n gq u a n t i t yo f t h el i g h ti n t e n s i t ya ta n yc u r v e ds u r f a c e - i nt h e s et h e s e s b a s e do nt h ev e c t o r i a ld i f f r a c t i o nt h e o r yo ft h ea n g u l a r s p e c t r u mr e p r e s e n t a t i o na n dt a k e nt h ec i r c u l a ra p e r t u r ed i f f r a c t i o na sa ne x a m p l e ， t h ef o r m u l a ef o rt h r e ed i f f e r e n tk i n d so fl i g h ti n t e n s i t ya r eo b t a i n e d d e t a i l e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni sp e r f o r m e da n di l l u s t r a t e d t h ed i f f e r e n tr e s u l t sa r e c o m p a r e d i ti sp o i n t e do u tt h a tv e c t o r i a lp r o p e r t yo ft h el i g h tf i e l dm u s tb et a k e n i n t oa c c o u n ti no r d e rt oa n a l y z et h ed i f f r a c t i n gb e h a v i o ri nn e a r f i e l dr e g i o no rf o r s m a i la p e r t u r e s 。t h er e s u l tc a nb ea p p l i e dt ot h er e s e a r c ho ns e c o n di n t e n s i t y m o m e n t sa n do p t i c a lb e a mq u a l i t yo ft h ev e c t o r i a ll i g h tb e a m s k e y w o r d s ：c i r c u l a ra p e r t u r ed i f f r a c t i o n ，n o n - p a r a x i a id i f f r a c t i o n ，s e r i e se x p a n s i o n s o l u t i o n ，l i g h ti n t e n s i t y ，c o m p a r a t i v es t u d y 日u舌 对近场光学领域或强聚焦光束、二极管激光器发出的光束，当束腰宽度为 波长量级或发散角很大时，傍轴近似已不再成立”“1 。因二极管激光器和微光 学研究的进展促进了非傍轴光束的研究，近年来国内外关于非傍轴衍射的研究 工作十分活跃“”3 。迄今已提出许多方法，例如微扰法，级数展开法，算子法， 角谱分析法和波动方程积分解等方法。不同的方法具有各自的优缺点和适用范 围。文献中讨论较多的是l a x 等人发展的微扰级数法。l a x 从麦克斯韦方程组 出发”1 ，将电场分量展开为小参量，= 1 k c o o 的无穷幂级数的形式( k 为光波数， 为光束束腰宽度) 。其中，级数解的第一项对应波动方程的傍轴解，其他各 幂次项满足一系列的迭代微分方程；t a k e n a k a 等和l a a b s 求出了厄米一高斯光 束，复宗量拉盖尔一高斯光束和复宗量厄米一高斯光束非傍轴级数解”1 ； a g r a w a l 等和c h e n 等利用角谱法，研究了高斯光束的非傍轴传播，将所得的结 果展开为，的幂级数形式，与l a x 的结果一致”1 ；a c i a t t o n i 等给出了在自 由空间传播的非傍轴光束的级数解”1 。 本课题应用光场的角谱衍射理论，根据文献 4 中级数展开法的基本思想， 得到了衍射场的各级非傍轴修正解。该方法与微扰级数法不同，它避免了级数 解本身在数学上的发散性问题；在满足一定条件下，作进一步近似，由各级非傍 轴修正解过渡到衍射场的级数解；对平面波圆孔衍射的各级非傍轴修正解和级 数解，进行了详细的数值计算和有效性分析。数值计算表明，在近场和非傍轴 区，高阶非傍轴修正解对零级解有明显的修正作用，并且在相同精度的要求下， 高阶非傍轴修正解的适用范围大于菲涅耳衍射；衍射场级数解的适用范围与光 束的束腰宽度、传输距离以及所使用的级数解的阶次有关”1 ：对受硬边光阑限 制的光束，由于高频分量的贡献，在级数解的适用范围之外，高阶级数解对精 确解的收敛性不好，级数解的有效范围将受到很大限制，因此级数展开法一般 适用于处理自由空间传播的非傍轴光束的衍射问题。 光强是光学理论中的一个十分重要的物理量，用以描述光场的能量传输和 某一横截面上的能量分布特征。传统的标量衍射理论，把光振动复振幅绝对值 的平方1 刊( ，) 1 2 直接地解释为光强，在实际应用中有很大的局限性，只能描述 傍轴标量光束的能量传输特性而不适用于非傍轴标量光束；对非傍轴标量光束 能量传输特性的研究，必须考虑光场能流密度的矢量特性。利用光强的精确定 义单位时间内单位面积上光场能流的时间平均值“”3 ，可表示为了i ，其 中7 = r e 膨( ，) v ( ，) 冽，即曲面上任一点的光强值由该点的能流密度了与该面 元的法线方向的夹角共同决定。在光的矢量理论中，光强被定义为单位时间内 纂位面积内艨渡过的能量灼平均值，鼯 ，其中耍为波印廷矢量“”。本 课题在矢擞衍射理论角谱表示的基础上，以平面波圆孔衍射为例，研究了横截 面上三种光强的区别与联系，对上述三种光强进行了详细的数值计算和比较研 究：撞塞褒镞枣琵豹 傍毒垒艇麓或遥场辑射中，必须考虑光场浆矢量将技“”3 。 这个结果可用于对矢量光束的强度= 阶矩和m2 质量因子进行研究。 插图清单 图1 1 格林定理积分曲面示意图 图1 2 基尔霍夫平面屏幕衍射示意图， 图1 3 点光源照明的平面屏幕衍射计算示意图 图1 4 平面屏幕衍射的瑞利一索末菲理论计算示意图 图1 5 平面波角谱衍射理论角谱传递示意图 图2 1 光流体模型示意图 图3 1 在z = 飘平面上，标量场振幅随p 的变化( p 。= 0 8 2 ) 图3 2 在z = 5 0 ：l 平面上，标量场振幅随p 的变化( 风= 5 ) 图3 3 在z = 5 0 z 平面上，标量场振幅随p z 的变化( 风= 5 1 ) 图3 4 在z = 飘平面上，标量场振幅随o 2 的变化( p 。= 5 g ) 图3 5 非傍轴衍射和菲涅耳衍射适用范围的比较( 风= o 8 a ) 图3 6 非傍轴衍射和菲涅耳衍射适用范围的比较( 风= 5 2 ) 图4 1z = l 懿处的观察面上场强的径向分布c o o = o8 2 ) 图4 2z = 2 2 处的观察面上场强的径向分布( 风= 0 8 ) 图4 3 z = 飘处的观察面上场强的径向分布( 风= o 8 a ) 图4 4z = 5 2 处的观察面上场强的径向分布c o o = 08 2 ) 图4 5 ：= 观处的观察面上场强的径向分布( 岛= 1 6 z ) 图4 6z = l f f l 处的观察面上场强的径向分布( 岛= 1 6 2 ) 图4 7z = 2 ( e 处的观察面上场强的径向分布c o o = 1 6 2 ) 图4 8z = 3 叽处的观察面上场强的径向分布( 岛= 1 6 五) 图4 9 z = 五处的观察面上沿x 轴的场强分布( 岛= 五) 图4 1 0z = 5 0 2 , 处的观察面上沿z 轴的场强分布( p 。= z ) 图4 1 l = = 处的观察面上沿z 轴的场强分布( 风= 5 a ) 图4 1 2z = 1 0 0 2 处的观察面上沿砖自的场强分布( p 。= 5 五) 图4 1 3z = 1 0 0 3 , 处的观察面上沿z 轴的场强分布( a = 5 2 ) 0 0 0 ， 儿 加 n 组 豫 船 勰 勰 四 n 踮 踮 盯 圈5 1 密5 ，2 銎5 + 3 强5 。4 强5 s 图5 6 在：= 飘瓣主，三耱盎鞭鹃经商分露( p 0 = o 6 2 ) 在z = 6 i n 上，三耪毙强憨径囊势蠢瓿= 0 懿) 在z = 麓鹾上，三释先强静径自分裙溉= 5 t ) 在i = 2 虢瑟上，三静竞强麓径嶷分毒( 热= 5 1 ) 轴上三稀先强的轴向分布( 岛= 0 6 2 ) 辘上三辩先强豹轴商分蠢6 0 。一s 蠢 4 3 4 4 4 4 4 5 4 5 4 6 独剑牲声爨 奉a 声甓掰量变懿学经论文是零人在譬羹器爨罨下遵蜉瓣i | 糍王 蕈爰敬餐的鞒究浅基。撼数氍 躲，藩7 交孛特劐搬皴鞣注窝致谢躺避方磐，论文中誉包禽箕纯a 已经发袭戚撰写避拍研襄或聚， 斑率包窘梵获褥袅l 曼姜蕊蠢壁 裴箕德教霄瓣掬静掌经藏涎荽磊傻耀避麓秘辩。与我一鼹 王俸蘸蕊恚黯本礤究掰皴麴臻秘舞簸筠穗在论文孛律了臻确貔蠛赘并衰拳瓣塞。 攀像撩文铎蠹签名： 至矽 签字曩蜕移每9 月7 弱 ， 学健论文舨毅使用授权书 奉攀攘论文撵嚣竞垒了掰盒蓬三鏊纛墼寄爰摄罄、傻麓攀穰论文瓣糕定，毒投爨蘩势巍瓣 家有关帮勰袋辊构避燮论文鹣鬟鞠终帮磁盘，兔许论文被套瓣鞠诺瓣。本人授权台l 要：n | ：= 、韭塞堂霹 戳瓣学穰论文的垒帮躐郝势痰嚣缡入有关数攘瘁避簿检索，霹瓯袋耀影筇、续繇或掴接餐复裁手 段缳存、溉端学燕论文， ( 傈鬻瓣学位论文亵耨密舔逸耀本授较书) 学燕论文佟嚣签名；主飞箩 签字嚣麓：奠帮f 年物) 嚣 学佼论文佟嚣簪韭嚣熹彝： 王雩# 尊犍： 逶谖避皴： 辆徽一p 戌 签字嚣絮鑫移冬归 鞋 电话： 囊# 壤： 狡澎 本论文是在译师邓小玖教授煎悉心指译下完成的。邓老师不仅学识辨i 博， 治学严谨，而且待人诚恳，平易避人。邓老师严谨认真的科学态度，精益求精 瓣浚学 擘鼹，骧及离巍韵赭德，郝莛我学习豹撩摸，著褥使我终骞受盏。泛三 年来，邓老师在我的学习和科研方面给予了精心的指导，在生活方面给予了究 分的关心和爱护。忠心感谢导师的培养、支持和教海! 感谢理学院许多老师簿我鲍关心和帮韵，特剐感谢何晓雄教授、弗铁如教 授、高峰副教授、罗乐副教授、梅忠义副教授和马力平副教授等多位老师给予 我学业上游指导秘生活土弱关心! 由衷感谢课题组刘彩霞老师柱论文期问对我的热情帮助和大力支持! 感谢合肥工业大学2 0 0 3 级硕士研究生寒勇、蕺小丽、傥菱湖、蒋浩琼、昧 冬颖、蒋爱云、攀疆红、简玉玮、髑军、寒庆生、张宏军等阉学对我的帮助。 特别感谢我的家人给予我学业上的支持、生活上的关心! 正飞 2 0 0 6 年3 罔 第一章传统标量场衍射理论 波动方程的解为矢量形式，通常电磁场矢量的备个分爨是通过波克斯韦方 程组联系在一起，不能独立处理，毽丈量静研究表甥，如暴毙嫱援岛变换过稷 中障碍物或光学元件结构( 衍射孔径) 尺寸远大于光波波长，并且，对衍射场 点的研究不临近衍射平面( 一般是指所研究的场点不在距离衍射屏为波长量级 的尺寸藏萤以内) ，弗慧珞麦克薪书方程中电矢量与磁矢量豹耩台关系，籍毫袈 量视为标量，完惫可以十分准确地描述光传播的物理过程“”。 。 平嚣霹幕辑瓣的基拳甏夫理论 基尔霍夫衍射理论的基本思想是：一，通过格林定理和亥姆霍姥方程，能 够跨空潮蒺一点鹩光场用包围该患靛妊意封朗趋囊上波动方程躲解及其一酚姆 数的值震示出来；二，对于光场衍射的边界条件提出了两个基本假设。 设光场为 u ( t y ，= ，f ) = u ( x ，y ，力e x p 卜垃月v ) ( t 1 1 ) 上式中明麓弘= ) 为观察点p ( x ，y ，z ) 约复振幅，v 是光波的频率。将上式代入 标量波动方程 v 2 u _ 万0 2 u = o 可以得到不时间因子的亥姆霍兹方稷 ( v 2 十毒2 ) f 瓴岁，砖= 0 ( 1 1 。2 ) ( 1 1 3 ) 上式中k = 2 z l a 为波矢景， 为真空中光波长。显然，在自由空间传播的单色 光麴复掇幅均满足亥姆霉兹方程。 基尔霍夫借助于格林定理从衷姆霍兹方程中求如了u ( x ，n = ) 。格林定理的 具体表述为：设u ( x ，y o z ) 鞠g ( x , y ，? ) 为两个空间变爨翡复函数，如暴u 和g 及 其一除及= 阶偏弹数在封黼曲面s 上及其矫包围的体积v 肉鄹单值、连续，踟 肖 f ，f f ( g v 2 u - 四锄2 够g 等u 筹) 舔 旺t 上式孛左边表暴在薄拣扩上羲捩分，毒透是对封 l l 益霞s 上的藤弑分，姜 是对s 上一点的外法线方向的偏导数。 湖 基零鬟夫选择懿g 五对，刘上式当中( 诗一爱1 1 ，e x p 最( i k r ) 埔i k g 。- - j ：是 箩c g 等一u a s 2 f g t 豢一踣u 哟2 婴猷，c 署址置棚 上式中，n 为曲面岛对p 点所张的立体角，是一个小于4 r e 的常量：鳓= e x p ( i k r ) 连曼上致有爨。所以，只要在& 嚣每一点都漩足 胁r 学制) _ 0 剃是瑶土的积分将随着r 峥。丽变为零，( 1 1 t 2 ) 式变为 吲w 国2 去璺g 豢一u 荨谢 ( 1 1 1 4 ) 式被称为索来菲辐射絷件“”。对于衍射屏被点光源照明的情况， 不难证嬲，索寒棼寝封条锌成立，嚣妊意照鹅都惑霹敬褪为点毙源照骥豹叠擞， 所以在线性光学问题中，索末菲辐射条件总是被满足的。而s 。又可以分为透明 的孔及不透明的屏两个部分，由于不透明屏的遮挡，对u ，池只：) 的贡献主疆 采童上鼢光援动。 为此基尔霍必对边界条件作了如下假设“”： ( 1 ) 在上备意，瓯及其对法线方向的偏等鼗与没有屏幕辩稽霹。 ( 2 ) 在不透明屏上的各点，u 及其对法线方向的偏导数均替于零。 称这两条假设为麓尔霍夫边赛条谗，由基尔霍夫边莽条侔，( 1 1 。1 2 ) 式可避 步简化为 舻，3 去箩g 警一鬻，嚣 上戏表明，光波穿避典省遴光张譬的无鞭大群藤，屏焉空间任意点p 的光波复 搬糯u ，( x ，y ，g ) 霹躐囊孔上溅场酌复援箍袭豕如采，其中u o 为小孔上一点光掇 韵的笺簸禳+ 翔暴露觳大羼被瓣前方一个纛光源最照明，嚣薅菜窑阏蕊察点尹的复摄 糨霹畿攘淹l 璧萋尔爨夫积努窝遴密爨( 强楚l 。3 ) 。妇( 1 。1 。1 3 ) 斌胃知揍拣函 数的法线方向导数为 娑。c o s ( 自，趵墨。斌f ，( 持一马兰缎丝 式串f 楚p 患劐上蔡点只鹣矢程，r 为p 到p l 的躐鬻，c o s ( f i ，f ) 怒炙经f 鸟 上霹点井法线方向s 灾角静余弦。显然，当r 名时，窬女 l r ，上式可筒纯 为 鬻1 。3 庵光源照臻鹩平藩薜蘑衍射计篱黎窳随 墨。抟s ( # ，习黧垒丝 r 设孔裰摄被谯予蕊点的点光源鞭产生鲍零使攘蟠的单色球蕊波照明，嚣剐 魏径上一杰聋盼鬣矢为焉，c o s ( # ，露) 怒矢经瑶薅只煮黔法线# 灾角豹余弦，刘嚣 点光攘动的麓壤幅为 氓。去粼p ( 甄) 当强五嚣寸，要盘程善其蠢鞠嗣麓澎茂， 嘏积 盟；茂c o s ( ，磊) 趔 c q 蚝 幽 时，穰 1 r ，于是( 1 ，1 1 5 ) 式可简化为 u ( 均= 荔1 野( ；衢) 兰! 警盟c 。s ( 藉，f ) 密 一去舻。掣掣晰刃嬲 ( 12 9 ) j ， 、” 上式被称为第一类瑞利一一索末滩衍射公式。 霹榉，在选定稽蒋黼数g 十纛，积分哭嚣对8 f ，赫藏趣选赛条静鄄可，予是 对o u 0 n 应用熬尔霍夫边界条件，得到第二类瑞利一索米菲边界条件： ( 1 ) 在琵蔼t ，光场p v ，抽豁分布与、璇存屏幕辩完全襁弼。 ( 2 ) 位子s 面屡幕几何阴影内，光场o u o n 的分布恒为零。 当， 时，有k 1 r ，将( 1 ，2 7 ) 式子代入( 1 1 1 5 ) 式可得 淝去f fc x p ，( i 9 ) o 翻u d 8 上式被称是第二类瑞嗣索宋棼翡龛垂公式。 论 下面对基尔霍夫衍射积分公式与瑞利- 索末菲衍射积分公式进行比较和讨 ( i ) 从形式上瓣，基尔震夫衍射积分公式与瑞利一一索末稚衍射积分公式的隧 蓑在予裁察点及熊臻毙滚餐开毳芒上菜点瓣矢经与艺舞法线的夹燕对诗冀绪莱 的影响在两个积分内有不同的表选式，其倾斜因予k ( 目) 分别为 k ( 毋) = 掣 ( 基尔糕夫衍射积分公式) 蛾母) 。s ( 彝，f ) ( 瑞剥- 索求蘸蠹雪射积分公式) 但( i 1 2 0 ) 式和( 1 2 9 ) 式可以统一的写成 w ，= 去野挈x 删嚣 上式与波动光学中的惠更新一一嚣淫耳原理稽对应，即波前方一点p 的光摄动 是由各予波源对该点光掇动贡献之和来决定，并且绘出了倾斜因子k ( e ) 的具体 形式。凌魏可冕，两耪理论郝源刻斡揭示了簿封现象熬魏璎本震，粼是踺秘建 实在真实的描写。 ( 2 ) 瑞剃一一索束菲辑射公式从理论上讲皮优予基尔霍夫勰射理论，因为它竟 服了基尔霍夫边界条停与唯一性定理的矛腐。但对于研究光波在开孔足够大的 不透明屏上的衍射情况( 特别是远场、近轴的情况) 。基尔霍夫边界条件却是 个露实际情况摄好弱遥经。诚然，裁严稽静理论意义露言，作为边器蠢素，嚣 的存在肯定会对面上的光场产，圭影响，小孔的衍射屏后的光场也不可能为零。 实琢上，屡上开孔边沿的物质将与光波发生极其复杂的棚置作用。但其影嫡 其有当孔很小且麟察点穰靠近衍射耗( 在波长量缀以内的近场区) 时才明显的 表现出来，这时标量衍射理论将不再适用，应该用矢量衍射理论或熙精确的方 法来讨论避凄鬣射| 、交嚣；当鼹察蠡尹薤褰嚣是够远，置鬣袈嚣径懿线度远大 于波长的情况下，实验表明这种影响可以完全忽略。因此，毖尔霍夹边界条件 的近似性在非近场区、标爨衍射的前提下怒完全允许的、甚至是精确的“。 1 3 平蕊波角谱衍射理论 以上在空域中讨论丁糠量光波的衍射理论，其物理意义比较直观，即观察 谶上一赢兜振动的复振幅妇衍射蔼上各点光场静复攘幅对该点光振动赏献之帮 来决定。通过分析可知，标量衍射理论与一个线性时间不变的滤波器理论极艇 稳议，菪按照系统豹鼹点采讨论据慧必渡熬簿翦闯爨，将系统戆特缀蕊数俸为 基元函数，衍射问题在频域中的计算将更为简便。 1 3 ，1 热谱及其甥理意义 由傅熙叶变换的基本概念可知，对一随时间变化的信号作傅里叶燮换，可 求得该信号的频港分布，阍样，若对任意平面上的复光场分布作二维傅里叶变 换，戴可求樗竞傣号靛“空闻频谱”分布。各令空黼频率鲍空闯傅黛畸分量， w 以看作是沿不同方向传播的平前波。因此，把“空间频谱”称为平面波的角 谱。 设一单色光波沿着z 方向投射剃x o y 平面上，z = 0 处的光场为u ( x 戊o ) ， 频谱函数为一。( 正，工) ，则灏数u ( x ，弘o ) 在x o y 平面上的二维傅里时变换为 。气 眠，) = i | u ( x ，y ，o ) e x p - i 2 z ( x f ，+ 兢) 】出方 ( i 3 1 ) 其博里时逆变换为 1 0 u ( x ，y ，o ) = f 胁e 五，鼻) 唧p 2 9 ( 硬+ 蝣) 】敷影 ( 1 ，3 t2 ) ( 1 3 2 ) 式是把频域函数凰傅立叶变换为空域函数u ，也可理解成空域函数u 可以展开成以空间频率为变量的系列基元函数e x p i 2 z ( x f ：+ 或) 】之帮。注意到以 方向余弦 ，) 传播的单位振幅的平面波的方程为 b ( 墨y ，z ) = e x p i 兰兰( c 噬+ 摩+ r z ) 】 ( 1 3 3 ) 其中，= 1 一0 2 一声。 在g = o 平颟上，可以把复指数函数e x p i 2 x ( f ，x + 工y ) 】蠢成是以方向余弦 a = 饕。 t = 磅， 传播的平面波，其复振幅文( 正，) 矾矾，位相是角谱的幅角a 因此，单色光在 慕一平嚣的复光场分枣可以看成浍不霹方枣镭援蛇平薤渡的愁艇。薮爨数 屯 一o ( 正，) = ii c ，( y ，o ) e x p - i 2 z ( x f ，+ y f , ) l 斑d y 鹈为光场u ( x , y o o ) 懿夤谱，戴称为平覆渡豹角谱。 1 3 2 角谱的传播规律 翔圈l 。5 新示，寝z = 0 翱2 赴匏毙场帮角谱分割为u 扛，y ，。) 、玎( x ，致z ) ； ( ，) 、一：( 正，) ，其中u ( x ，y ，：) 和爿：( ， ) 亦满足傅里叶变换和傅里叶逆 变换关系 爿：( 工，五) = p ( x ，y ，加x p - i 2 x ( x f + 螈) 】蚴 u ( x ，y ，：) = j 弘；( 兵，五) c x p 【f 2 帮( 坑+ y l ) c d l 显然，只要知道= 处的角谱t ( 五， ) 就可啦确定衍射羼后任意点的光场，下嚣 来讨论焉( 五，力) 与“；( 兵，元) 之间静溺数关系。 u ( j ，y 0 )u ( x ，h = ) ， ：= o 图1 5 平面波角谱斯射理论角谱传递示意匿 对子鲁由鸯褥传播豹单色光，其复振稍始终满足亥姆罄兹方程 ( v 2 + k 2 ) u ( x ，弘z ) = 0 d 的 3 3 1 l ( ( 将( 1 3 5 ) 式傅望叶逆燹换关系代入亥姆霍兹方程可得： v2 + 女2 j l 托( 互，f y ) e x p i 2 1 r ( x f ；+ 螈) 】敷职= 0 交换积分和微分次序并考虑到积分对全空间所有点均等于零，故有 ( v 。+ 女2 ) 4 ( ，工) “p p 2 口氕z + 鼻如】 = 0 经运算殿整理屠得 爰纵觚) | 等瓜砑丽h 埘) - 0 ( 1 3 6 ) 显然，上式为一个二阶常微分方程，其解的形式为 a ：辑，式，z ) = 一+ 暖，) 。x p g ( 等) # 小一( 瓴) 2 一( 够) 2 】+ 一1 ( 正，f r ) e x p - i ( 等) l 一( 织) 2 一( 矾) 2 】 ( 1 3 7 ) 其串，蠢盖一分裂表示发教波帮会聚渡，若只考虑孰强经发数靛球嚣波，剿 爿：( 正，乃，z ) = 一帆，f ，) e x p ( i 等) z 4 1 一( 矾) 2 一( 矾) 2 】 ( 1 3 8 ) 将囊谱矮x ( l ，兵) 摸菇孔径场酶角谱a 。五，力，霹褥； a ：( ，乃，z ) = 一。( 正，兀，0 ) e x p ( i 等) z 1 一( ：) 2 一( 机) 2 】 ( 1 3 9 ) 上式被称爰惫谗传递关系式。英耪理意义蕊，霸潜嚣数经鞭蔫：静传播效痊只 改变各熊谱分量的相对位相，即备平面波分量在不同方向上传播，经历了一段 距离的传播后有了各自位相的延迟，位相延迟因子为 妒沸= e x p ( i 等) g 、韪一娓) 2 一( 五) 2 l 。事实上，在续健系统的理论串，该褶像延 迟因子即衍射在频域的传递函数，而当衍射在频域内能够表示为( 1 3 9 ) 式时， 表明袈莺重阅趣事实上是光敬场逶避个线性空阗不变系统豹变换过稷。 ； | 射光 场的复扳幅可由( 1 3 9 ) 式透过傅里叶邀变换褥到 u 瓴儿z ) = jj 焉( 六，乃，o ) 【e x p a 孚扛乒i 瓦f = i 面铲】 e x p 2 a ( x f , 十螈) 识吼 出( t 3 2 ) 式、( 1 。3 9 ) 式以及( 1 ，3 1 0 ) 式可以麓出，对任意平灏上豹光扰 动俸偿嚣叶分析，空闯静各傅里时分量可l ；l 看作沿各个方向传播的平面渡。在 其后任意一点光场的复振幅由传播到该点拌经历了一定位相延迟的平面波在该 点豹光掇动贡献之彝来决定。 1 3 3 传播波姆倏逝波 麓了避一步7 解上述缝论熬甥理意义，下瑟垮黠角谱餐递关系( 1 。3 ，9 ) 式 和( 1 3 1 0 ) 式进行具体分析 1 ) 当刀+ l ，牙时，巧二瓦历( 孑瓦歹为实数，( 1 3 9 ) 式表明，频谱( 乎 西波沿器方向的分囊) 传播一段躐离后会产生位褶的延迟效应，褶虚的位桶筵 逡嚣予凳妒( z ) = e x p i 与z l 一( 盖) 2 一( 瓴) 2 l ，疆毙波的攘蟠耧传疆方巍不变， 敬称为接揆波。蠢子嚣平纛渡麴接搭方囊苓捌，教剽这袋溺纛对掰经历静鼹经 邀不嚣，袋豁光渡转疆魏缝暴将母臻在毅鹃落瑟上角落( 警嚣渡的器个分量) 瓣整鞠鬟辫分毒。 ( 2 ) 当鬈十岔= l ，磐静，识= 擘一瓴) 2 一 l ，舻嚣雩，i 一( 鬣) 2 一( 兢) 2 必蠹数，黧( t 。3 + 9 ) 式变为 巅六，国叫五，六鼬攒一( 灏再丽两】 一t 式表嚣对予漾戆1 一( 1 ) 2 一l 瓦) 2 0 貔楚港分蠡，臻| 夔z 瓣灌丈按熙攘数惩 镶惫剩衰减，竞波穆在死个波长静足寸内逐遮衰减翅零，遮藏光波只貔是域农 赫射平嚣辩近熬鹾域蠹，敬这些必波分虽髂为馁逝渡藏稳邂渡。嚣就