《微积分下》复习大纲.doc

八、多元函数微分法及其应用 多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学活动：一 多元函数的概念1、平面点集（邻域、聚点、区域），n维空间2、二元函数的概念（定义、图形）3、例题例1 求函数 的定义域例2 求 的定义域例3 设 试确定f 及z.例4 设二 多元函数的极限1、定义注：二元函数极限与一元函数极限的区别和联系（1）二元函数的极限也叫二重极限（2）函数在 点的极限存在与该函数在此点是否有定义没有关系。（3）定义中 的方式是任意的；（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（5）二重极限 与累次极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.2、例题例5 求证 例6 求极限 二元函数求极限的方法：总的原则是化为一元函数的极限。常用的有：定义、代换成一元函数、夹逼准则、重要极限、应用连续性等。例7 求下列极限 3、确定极限不存在的方法：（1）令沿趋向于，若极限值与有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言在点处极限不存在例8 证明下列极限不存在三 多元函数的连续性1、定义（连续、间断点）2、例题例9 讨论函数 在(0,0)处的连续性例10 讨论函数 在(0,0)的连续性注：注意以上两例的讨论方法3、性质（1） 最大最小值定理（2） 介值定理（3） 一致连续性定理四 小结1、多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）2、多元函数连续的概念3、闭区域上连续函数的性质 偏导数教学目标：1、理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和高阶偏导数的求法.2、了解偏导数存在与连续的关系以及的几何意义，了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件.重点：偏导数的概念难点：偏导数计算教学活动：一 偏导数的定义及其计算法1、定义注意: 2、例题例1求在点(1,2)处的偏导数例2设求证：例3设求例4 已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.3、有关偏导数的几点说明：（1） 偏导数是一个整体记号，不能拆分;（2） 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；（3） 偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导则该点连续，而多元函数中在某点偏导数存在，则未必在该点连续，（4）偏导数的几何意义：偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率. 偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.例6 曲线,在点(2,4,5)处的切线与正向轴所成的倾角是多少?二 高阶偏导数1、例题例7设，求例8设，求二阶偏导数.2、问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？3、定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等三 小结1、偏导数的定义（偏增量比的极限）2、偏导数的计算、偏导数的几何意义3、高阶偏导数（混合偏导相等的条件）四 思考题若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？ 全微分教学目标：1、理解多元函数全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用.重点：全微分的概念难点：可微的条件教学活动：一 全微分的定义1、全增量的概念2、全微分的定义二 可微的条件1、定理1（必要条件）说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.2、定理（充分条件）3、例题例1计算函数在点(2,1)处的全微分.例2求函数，当时的全微分.例3 计算函数的全微分.例4试证函数在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微.注：可微与连续的关系：如果函数在点可微分, 则函数在该点连续. 即可微一定连续，但反之未必成立。4、全微分在近似计算中的应用例5三 小结1、多元函数全微分的概念；2、多元函数全微分的求法；3、多元函数连续、可导、可微的关系（与一元函数有很大区别） 多元复合函数的求导法则教学目标：掌握各种情况下的多元复合函数偏导数的求法.重点难点：复合函数偏导数教学活动：一 链式法则1、定理1（中间变量均为一元函数）注：若定理中偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立.2、定理2（中间变量均为多元函数）3、例题例1设，而， 求和.例2设，而，求全导数.例3设 求 例4设，f具有二阶连续偏导数，求和.例5 设 的所有二阶偏导连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式二 全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.例；利用全微分形式不变性再解例1. 三 小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）四 思考题：设，而，则，试问与是否相同？为什么？ 多元函数极值及其求法教学目标：1、理解多元函数极值和条件级值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解多元函数极值存在的充分条件.2、掌握求二元函数的极值以及运用拉格朗日乘数法求条件极值的方法.3、会求二元函数的最大值和最小值，并解决一些实际问题.重点难点：二元函数极值及其求法教学活动：一 问题的提出例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？二 多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义2、多元函数取得极值的条件（1）定理1（必要条件）注：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.（2）（2）定理2（充分条件）3、多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.4、例题三 条件极值拉格朗日乘数法1、条件极值：对自变量有附加条件的极值2、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况3、例题例1 例2 例3求由方程确定的函数的极值。例4.讨论函数及在点(0,0)是否取得极值.例5求二元函数在直线，X轴和Y轴所围成的闭区域D例6求的最大值和最小值.例7将正数12分成三个正数之和 使得为最大.例8在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.例9 四 小结1、多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件、求函数极值的一般步骤）2、多元函数的最值3、拉格朗日乘数法五 思考题若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？ 二重积分的概念与性质教学目的和要求：1、 通过对曲顶柱体体积以及平面薄片质量的计算实例引入二重积分的概念，从中领会“有限到无限”、“特殊到一般”的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学知识解决实际问题的能力。2、 使学生掌握二重积分的定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。重点：二重积分的概念教学过程：一、 问题的提出1、 几何上，曲顶柱体体积的计算（1） 曲顶柱体的特征（2） 体积的计算方法2、 物理上，平面薄片质量的求法注：让学生比较两个问题的共性（1） 解决问题的步骤相同，“大化小，常代变，近似和，取极限”（2） 所求量的结构式相同二、 二重积分的定义1、 定义注意问题（1） 二重积分的定义和定积分定义的区别与联系（2） 在定义中，区域的划分和点选取的任意性（3） 若用平行于坐标轴的直线网划分区域时，小区域面积的表达方式（4） 所划分的小区域直径的最大值趋于零和面积的最大值趋于零及所分小区域无穷多之间的关系（5） 二重积分的值只与被积函数和积分区域有关，与积分变量的写法无关2、 二重积分存在的充分条件3、 二重积分的几何意义三、 二重积分的性质1、 线性性质2、 积分区域的可加性3、 用二重积分求平面区域面积的公式4、 二重积分的比较性质5、 二重积分的估值性质6、 二重积分的中值定理四、 例题分析例1：求，其中为圆域：注：本题考察对几何意义的理解和运用例2：不作计算，估计的值，其中为椭圆闭域：注：本题考察最值的求法和二重积分估值性质的应用。例3：比较积分与的大小，其中是三角形闭区域，三顶点各为注：本题考察二重积分比较性质的应用。强调区域相同被积函数不同；区域不同被积函数相同情况下的比较方法；同时也可判别积分值的正负。 二重积分的计算方法教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）重点：直角坐标和极坐标下二重积分的计算。难点：1 坐标系的选取。2 直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。一利用直角坐标计算二重积分：1型和型积分域的特点。注：一般区域总可以分割成型区域和型区域。2积分限的确定方法：1）先画出积分区域。2）定积分限的原则：先积后定限，外层常数见，域内画条线，先交写下限，后交写上限。3 二重积分的计算方法公式累次积分法。4 二重积分计算时注意的问题：1） 确定坐标系选择、选择积分次序、确定积分限是关键。2） 注意何时、何类型的题目要交换积分次序。3） 如何利用奇偶性、对称性简化计算。4） 被积函数绝对值的处理：分块积分；利用对称性。5） 何时必须用分块积分。5 例题分析：例1计算，其中是由围成。注：1）积分域类型。2）积分限的确定。例2计算，其中是由围成。注：1）积分域类型：既是型，又是型。2）比较两种计算方法的难易，从而得到什么启示？3）何时要分块？例3求，其中是以为顶点的三角形。注：1），这类无法用初等函数表示时，必须考虑积分次序。2）有时给出了定好限的积分，要求值时，往往考虑交换积分次序。3）由例2和例3，归纳何种类型题目要交换积分次序。例4设是以为顶点的三角形区域，求。 注：1）整个区域没有对称性，但若化分后即有对称性。2）由于被积函数（或积分）有奇偶性，故据奇偶性将化分为对称域。3）利用对称性计算时应注意的问题。例5求和，其中。注：1）如何利用对称性。2）通过两个题比较，你得到什么启发？例6计算，其中。注：1）绝对值积分的处理。2）将化分的原则。例7求两个底圆半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。注：1）二重积分的几何意义。2）被积函数的表达式求法。3）对称性的利用。4）积分限的确定。例8求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。注：1）被积函数表达式。2）利用对称性简单。3）不用对称性时应注意的事项。二利用极坐标计算二重积分1 公式注：换成。2 积分限的确定：注：1）极点在之外。2）极点在之内。3）极点在的边界上。3 极坐标计算适合的类型：1） 积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）。2） 被积函数含有的因子或为的形式。4 例题分析：例1写出的极坐标二次积分形式，其中积分区域：1）。2）或。3）注：1）考察圆心在平面上不同位置时，的确定和的确定。2）定时，要从极点出发，从域内做射线，善于从的边界方程去解 。例2计算，其中是中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域。注：1）先整理被积函数，将提出。2）典型的用极坐标计算的题目。例3求，其中。注：1）从被积函数和区域的特点看要用极坐标计算。2）可利用对称性：，其中为在第一象限的部分。三小结：二重积分计算应注意的问题：1 选择适当的坐标系。2 恰当选择积分次序。主要根据：积分区域的形状（画图分析）；被积函数的特点。3 对称性的应用要求被积函数的奇偶性与积分域的对称性同时具备才可以用。九、微分方程 微分方程的概念及一阶微分方程的解法教学目标：1、掌握微分方程概念（阶、解、通解、初始条件、特解）以及积分曲线的概念.2、掌握可分离变量微分方程的解法. 3、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法.重点：微分方程的概念及解法难点：微分方程的应用教学活动：一 问题的提出1、例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点处的切线的斜率为,求这曲线的方程.2、例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？二 微分方程的概念 1、定义2、分类（1）（2）（3）3、微分方程的解（1）特解（初始条件）（2）通解4、例题例3 验证:函数是微分方程的解. 并求满足初始条件的特解.三 可分离变量的微分方程1、概念2、例题例1. 求微分方程 的通解.例2求微分方程满足初始条件的特解例3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量成正比,已知,求衰变过程中铀含量随时间变化的规律.例4 解方程例5 试求满足方程的例6有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.四 齐次方程1、概念52、例题例 1 求解微分方程例 2 求解微分方程例 3 有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的方程。实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面例4 求的通解。例5求的通解。五 可化为齐次的方程1、概念2、例题例1求的通解。例2 求解微分方程例3 求解微分方程 一阶微分方程教学目标：1、利用常数变易法求非齐次线性方程的通解，掌握一阶线性微分方程的通解公式，根据初始条件会求特解.2、了解用变量代换求解方程的思想，掌握全微分方程的解法.重点：利用常数变易法求非齐次线性方程的通解难点：用变量代换求解方程教学活动：一 一阶线性微分方程1、一阶线性微分方程的标准形式2、例题例1 例2 例3