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摘要 光子晶体光纤传输特性的数值模拟分析 摘要 光子晶体光纤( p c f ) 是一种将光子晶体结构引入光纤中而形成的新型光纤。由于 它具有很多奇异的特性，如无截止波长的单模特性、极低的理论损耗、可调的色散、良 好的非线性及高双折射特性等，故近年来p c f 引起了国内外广泛的关注，在近几年里迅 速发展成为光纤通信、光纤传感和光电器件领域的一个研究热点。本文利用两种数值模 拟方法分析了几种p c f 的传输特性，计算了不同结构p c f 的截止、偏振、色散等特性。 论文主要内容包括： ( 1 1 应用平面波法，结合无限边界周期问题的布洛赫边界条件、倒格子空间和第一 布里渊区理论，分析了二维正方晶格和二维三角晶格光子晶体光波白面内和面外入射时 的光子带隙和光场分布特性。 ( 2 ) 建立了频域有限差分法p c f 模拟分析程序，对两类典型的商用p c f l m a 一2 0 型大模场p c f 和带隙型p c f 的相关传输特性，包括模场分布、截止特性、模场半径、 数值孔径和模场有效面积等进行了模拟计算，计算结果与测试结果吻合很好。 f 3 ) 提出一种新的高双折射p c f 结构。通过在类矩形p c f 纤芯中引入一对大空气孔， 去掉大空气孔附近的四个小孔，并调整包层的横、纵向空气孔间距，形成一种具有不同 顶角的三角结构p c f 。采用频域有限差分法分析了该高双折射p c f 的模场特性、偏振 特性、色散特性、截止特性及限制损耗。分析表明，合理设置光纤结构参数可使该p c f 的模式双折射比普通光纤至少高出一个数量级；并且可以在很宽的波长范围内保持单模 传输，同时具有极低的限制损耗。 f 4 ) 应用m a t l a b 语言，初步设计了用于分析p c f 传输特性的软件图形用户界面。 关键词：光子晶体光纤( p c f ) ，光子带隙( p b g ) ，平面波，频域有限差分( f d f d ) ， 高双折射 a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n da n a l y s i so f p h o t o n i c c r y s t a lf i b e rp r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s a b s t r a c t 1 1 l ep c fi san e wk i n do fo p t i c a lf i b e rw i t hp h o t o n i cc r y s t a l ( p c ) s t r u c t u r e t h e r ea r e m a n yu n i q u eo p t i c a lc h a r a c t e r i s t i c si nt h ep c f , s u c h a se n d l e s ss i n g l em o d e ，l o wl o s s ，f l e x i b l e d i s p e r s i o n s a d j u s t a b l en o n - l i n e a ra n dh i g hb i r e 衔n g e n c e t h ep c fh a sa t t r a c t e dal o to f i n t e r e s t sd u r i n gp a s t y e a r s i nt h i st h e s i s ，t h ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s o fp c fa r e i n v e s t i g a t e dw i mt w os i m u l a t i o nm e t h o d s t h em a i nc o n t e n t si n c l u d e ： ( 1 ) b a s e du p o nt h eb l o c kt h e o r yi nt h ep e r i o d i cd i e l e c t r i c ，t h er e c i p r o e a ll a t t i c ea n dt h e f i r s tb r i l l o u i nz o n e ，t h ep l a n e w a v em e t h o d ( p w m ) i si m p l e m e n t e dw i t hm a l r l a b ，w h i c hi s u s e dt oa n a l y z et h eb a n dg a pm a pa n dm o d ef i e l dd i s t r i b u t i o no ft h et w od i m e n s i o n a ls q u a r e l a t t i c ea n dt r i a n g u l a rl a t t i c e ( 2 ) b a s i n go nt h ep r o g r a mo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ( f d f d ) ，t w ok i n d s o ft y p i c a lc o m m e r c i a lp c f s ：t y p e - l m a 一2 0l a r g em o d ea r e aa n dt h ep h o t o n i cb a n dg a pa r e a n a l y z e d t h cc h a r a c t e r i s t i c so fp c f , s u c ha sc u t o f fp r o p e r t y , m o d ef i e l d ，m o d ef i e l dt a d i u s ， e f f e c t i v ea r e a ，a r ed i s c u s s e d t h er e s u l t so f s i m u l a t i o na r ea g r e e dw i t ht h a to f t e s t i n gw e l l ( 3 ) an e wh i g h l yb i r e f r i n g e n tp c fs t r u c t u r ew a sp r o p o s e d t h ep c fa r ec o n s t r u c t e d w i t hr e g u l a rc i r c u l a ra i rh o l e sa n dt h ec o r ef o r m e db ye n l a r g i n gt w oa i rh o l e si nt h ec e n t e r ，t h e s p a c ed i s t a n c ei sd i f f e r e n ta l o n gt w op e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n s ，w h i c hi n c l u d e se i t h e rg l o b a l e f f e c to rl o c a le f f e c t t h en e wp c fw a sa n a l y z e db y “l - v e c t o rf d f dm e t h o d s t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h a tb i r e f r i n g e n c ei nt h ep c fc a l la p p r o a c ht h eo r d e ro f1 0 。w i t h b r o a d s i n g l e m o d er e g i o n ( 8 0 0 n m - - 1 8 0 0 n m ) b yc h o o s i n g s u i t a b l er e l a t i v es t r u c t u r e p a r a m e t e r s as e to fo p t i m a ls t r u c t u r ep a r a m e t e rw a sf o u n do u tb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i ti s a l s os h o w nt h a tal o wc o n f i n e m e n tl o s sc a nb eo b t a i n e di nap r o p e r l yd e s i g n e dg e o m e t r i c a l s t r u c t u r eo f p cf ( 4 ) b a s e do nf o i t n e ra n a l y s i s ，w ee l e m e n t a r i l yd e s i g nag r a p h i c a lu s e ri n t e r f a c e si n m a t l a bt or e a l i z ep c f p r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ( p c f ) ，p h o t o n cb a n dg a p ( p b o ) ，p l a n ew a v e ，f i n i t e d i f f e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ( f d f d ) ，h i g hb i r e f r i n g e n c e i i 西北工业大学硕士 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：进必 川年弓月；。日 指导教师签名： j 呻年雩月夕。日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：墨壹选强 滞1 年弓月；口日 西北工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 光子晶体 光子晶体概念是e y a b l o n o v i t e i l 】在1 9 8 7 年讨论如何抑制自发辐射时提出来的。几乎 在同时，s j o n e l 2 】在研究光子的局域特性时也涉及到这一概念。将不同介电常数的介电 材料构成周期结构，光在其中传播时，由于受到周期性势场的影响而被调制，形成能带 结构，这种能带结构叫做光子能带。可以产生光子带隙的周期性结构材料就是光子晶体， 或叫做光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，p b g ) 材料。光子晶体与一般晶体的相同之处是 它们都由有序排列的微结构构成，不同之处是一般晶体的晶格常数大约是0 1 u m ，而光 子晶体的晶格常数与其相关波长同数量级( 微米或亚微米) 。近些年来，有关光子晶体 的研究已经成为一个热点。人们从理论和实验两个方面进行了大量的工作，得到了很多 有用的结果。 如果在光子晶体的周期性结构中掺入杂质或引入缺陷，那么在光子带隙中将形成相 应的杂质或缺陷能级。于是，在带隙范围内只有与此能级相符合的特定频率的光可以在 晶体中传播，而当在光子晶体中形成缺陷能级时，就可以形成一条光的通路，光只能沿 此通路顺利传播，其他方向上光的传播都将被完全禁止。这样，可以在理想状态下制造 出无任何损耗的光通路，这种光通路甚至比传统的光纤更有效。而光子晶体的一个重要 应用就是光子晶体光纤。 1 2 光子晶体光纤( p c f ) 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，p c f ) 的概念最早由s t j r u s s e l l 等【州人于 1 9 9 2 年提出。p c f 是在二维光子晶体纤维的长度方向上制造缺陷，从而能够导光的波导。 最早的p c f 制作于1 9 9 6 年【4 】，在纯硅光纤上沿横向周期性地排列空气孔，即形成周期 性的折射率分布。p c f 中有两种导光机制【5 】：全内反射机制和光子带隙机制。全内反射 型p c f ( t i r - p c f ) 与传统光纤导光机制一样。这种结构从等效观点来说，就是包层的 等效折射率比纤芯的折射率低，通过全内反射的原理导光。虽然传统光纤也是通过全内 反射原理来传输光，但是其相对折射率差很小，一般为o 0 1 左右。相比之下，t i r - p c f 完全可以由在一种材料中周期性地分布一些空气孔而构成，调整它的占空比可以使其相 对折射率差较大，达到传统光纤相对折射率差的一个数量级以上。这种导光机制对气 孔大小以及周期排列方式的要求不高，即使包层气孔没有较严格的排列，仍然可以使纤 芯形成光波导。另一种p c f 是p b g p c f ，其包层横截面的折射率具有规则的周期分布， 出现的p b g 效应把频率位于带隙内的光约束在纤芯中。在p b g p c f 中，光场主要在空 气芯中传播，因此最有可能得到极低的损耗。p b g p c f 的制作困难在于要求空气占空 第1 章绪论 比要大，空气孔的排布要规则，对空气孔的形状要求也很高，在纵向亦要求具有均匀性。 1 2 1p c f 的特性及应用 p c f 包层中空气孔的特殊排列结构使其呈现出许多在传统光纤中难以实现的特性。 因此，自从p c f 的概念被提出以来，其特殊的导光机制和模式性质便得到了越来越多的 关注和研究。 ( 1 ) 无截止波长的单模传输特性【6 】：对p c f 而言，可以通过对结构参数的调整，使 得单模的截止波长较传统光纤短很多，可以在近紫外到近红外全波段维持单模。目前 p c f 可以做到在5 0 0 1 6 0 0 n m 范围内保持单模传输，这就为波分复用增加信道数提供了 充足的资源，同时对于作为光纤传感器件的p c f ，较大的单模波长范围扩大了检测范围。 极低的损耗、可调的非线性1 7 , s l ：p b g - p c f 可以做成空心结构，即纤芯可以是 空气，而不是二氧化硅，这样传统光纤中限制传输损耗极限的介质材料本身对光波的吸 收、散射、色散和非线性等效应将不存在，理论上极低的损耗、可调的非线性效应使得 这种光纤将会在光纤通信损耗极限的突破中发挥重要的作用。 o ) 良好的色散性剧9 j ：与普通光纤不同，p c f 可以由单一材料制成，因此纤芯和 包层在力学与热学上可以做到完全匹配，即纤芯和包层的折射率差不会因材料的不相容 性而受限制，从而可以在很大的波长范围内得到较大的色散。在纯石英及普通单模光纤 中产生正常色散的波长上，在p c f 中却可以实现反常色散，因此容易实现孤子传输、色 散补偿及超短脉压缩等。另外，p c f 在短于l p m 的波长上就可以实现反常色散，而普 通单模光纤要求波长大于1 2 8 p m 。t a b i r k s 等人经过计算得到的结论是：在p c f 中 实现- 2 1 0 3 p s ( n m k m ) 的色散是完全可能的，它能够补偿相当于其自身长度1 0 0 倍 的普通单模光纤的色散，大大超过了传统色散补偿光纤的色散补偿能力。此外，p c f 还 有一个重要特点，即零色散点波长可调。只要改变p c f 的尺寸，就可以在几百i l i n 范围 内取得零色散。 ( 4 ) 产生超连续谱i o l ：利用超快激光在p c f 中引起的强非线性效应，可产生宽带 超连续谱激光。超连续谱对于非线性光学中超短脉冲的产生、光谱分析、光学相干层析、 光计量学、光通信等许多方面都有非常重要的意义。近年来，人们在多种光纤中都得到 了超连续谱，有关p c f 中超连续谱的产生理论和实验报道也有很多。 ( 5 ) 双折射效应【1 1 4 1 ：相对于传统光纤，p c f 有很大的设计自由度。因此可以直接 通过调整p c f 结构，设计具有很大双折射的p c f 。例如：将空气孔做成椭圆形，将中 心孔制成不对称状，将空气孔做成不规则状，或者将空气孔的分布调整为不对称状等等。 2 0 0 0 年，a o r t i g a s t a b l a n c h 等【1 2 】首次通过设置不规则的空气孔获得了模式双折射为 3 7 1 0 - 3 的保偏光纤。此后有关高双折射p c f 结构陆续被提出 4 5 4 7 1 , ( 6 ) 易于多芯传输：多芯传输有两个优点：一是可提高信道通信容量，二是可解决 单芯难以胜任的复杂的通信网络、矢量弯曲传感、光纤耦合等问题。p c f 是通过堆积的 西北工业大学硕士学位论文 方法制造的，这使得多芯结构能被精确地定位且具有良好的轴向均匀性，而无须附加其 它工艺。目前已在这方面做出了一些有益地探索，如：j c k n i g h t 等【”】进行了该方面的 理论研究，发现改变空气孔的比重或改变纤芯的位置可以获得具有不同耦合度的多芯光 纤。 p c f 的这些特性突破了传统光纤光学的局限，拓展了光纤的应用范围，在超快激光 光学、光通信、微光电子学及强场物理学等领域开辟了新的研究方向。 1 2 2p c f 的研究进展 近年来，基于p c f 特性的应用实验研究已经取得了很大进展【1 6 l 。 1 9 9 6 年，英国b a t h 大学j c r a a g h 等【4 】研究出第一根p c f 以来，有关p c f 的理论和实 验研究受到了广泛的重视。同时莫斯科大学a m z b e l t i k o v 等【l7 j 也进行了包层具有周期 分布空气孔的多孔光纤的研制。研究发现，改变多孔光纤包层的几何结构，可有效地增 强光纤中的非线性效应。 2 0 0 1 年，英国b a m 大学w a d s w o r t h 等【ls 】实现了双包层p c f 结构。典型的双包层p c f 掺杂离子为y b 3 + 离子，纤芯直径1 5 2 岬，数值孔径0 1 1 ，内包层直径1 5 0 p m ，数值孔径 o 8 ，利用2 0 w 光纤耦合二极管阵列泵浦该光纤，光纤长度为1 7 m ，获得了3 9 w 功率输出， 斜效率2 1 。实验中发现，双包层p c f 中存在随机散射中心，说明纤芯中存在着缺陷， 有待进一步完善p c f 的结构。 2 0 0 2 年，日本n o r i h i k o 等【1 9 1 以锁模掺e r 3 + 光纤激光器为泵浦源，结合周期极化 l i n b 0 3 ，泵浦长6 0 c m 的高非线性p c f ，得到波长调谐范围为0 7 8 0 9 0 i u n 的孤子脉冲， 脉宽为5 5 f s ，所用p c f 芯径为1 7 岬，零色散波长大约在0 6 9 p m 处。 2 0 0 3 年1 月，w a d s w o r t h 等【2 0 】报导了利用大模面积空气包层p c f 研制的高功率p c f 激 光器，其结构为双程后向线性腔结构，最大输出功率3 9 w ，斜率效率3 0 ，实现单横 模运转。所采用的p c f 纤芯直径为1 5 1 m ，内包层数值孔径大于0 8 。为了使包层中的泵 浦光最大限度的耦合到纤芯中，提高纤芯对泵浦光的吸收，p c f 的掺杂纤芯采用了偏芯 设计。 2 0 0 4 年初，b l a z e 发布了一款新型p c f ，该光纤是针对n d 3 + 微芯片激光器特别优化 设计的，可产生超连续光谱，这种光谱可在单模光纤中产生一个宽带输出，光谱亮度超 过太阳1 0 0 0 0 倍。b l a z e 表示利用微芯片激光器和p c f 可获得高性能光源，将会取代l a m p 和超高亮度l e d 等传统的宽带光源。 2 0 0 5 年，英国b a m 大学的a o n i g o s a 和b l 锄c h 等【2 l 】用2 0 0 f 的泵浦脉冲在p c f 中产生了 超连续谱，日本电报电话公t y a m a m o t o 等【2 2 1 用波长1 5 6 2 n m 、脉宽2 2 p s 、重复频率 4 0 g h z 的光脉冲注入至t j 2 0 0 m 长的色散平坦保偏p c f 中，在1 5 5 0 n m 区域产生了超过4 0 n m 的均匀超连续谱，而美国r o c h e s t e r 大学z m z h u 等 2 3 l 利用丹麦c r y s t a lf i b e ra 公司低双 折射、高非线性p c f 获得6 0 0 1 0 0 0 n m 的超连续谱。 第1 章绪论 1 3p c f 的研究方法概述 由于p c f 的包层分布着很多波长量级的空气孔，传统的电磁理论不能直接使用。而 且由于电子和光子的量子状态服从不同分布规律，也不能直接用电子能带理论来分析， 必须建立新的理论模型。从最初的标量法到现在的矢量法，目前国内外已经建立了多种 分析p c f 特性的理论方法，如有效折射率法、平面波法、时域有限差分法、频域有限差 分法、多极法、超格子法、正交函数方法及有限元法等，这些方法各有其特点。 1 3 1 等效折射率法 等效折射率法肼】先求解麦克斯韦方程组得到基空间填充模的等效折射率作为包层 折射率，然后将p c f 简化为阶跃光纤，再求解等效阶跃光纤的基模特征方程，得到模式 的传播常数，最后求得p c f 的模式特性和传输特性。这种方法可以对p c f 的单模运行 机制做出很好的解释，忽视了p c f 截面的复杂折射率分布，能够给出一些p c f 的深层 运行规律，但对于p c f 包层空气孔较大的情况不能使用此方法，主要原因是一般认为其 近似精度比较低，而且仅适用于纤芯材料大于包层有效折射率的情形。 1 3 2 有限元法 有限元法瞄j 适用于不规则截面、不同形状空气孔及不同折射率材料的情况，通过对 于波方程使用有限元的程序而得到特征值方程。这种方法非常精确，同时也广泛适用， 但存在大量的未知量，因为交叉部分不可避免的要被离散化为很多小块。 1 3 3 正交函数法 正交函数法 2 6 1 是将p c f 的横向折射率和横向电场用正交函数展开，通过直接求解麦 克斯韦方程得到模式场的传输常量和场分布。在空气孔很小的情况下正交函数法对横向 折射率的表示有较高的精度，但空气孔较大时，会存在很大的误差。 1 3 4 超格子法 超格子法【2 7 1 是将p c f 的横向介电常数表示为两种周期性结构叠加，两种周期性结构 分别用余弦函数( 或正弦函数) 展开，同时将横向电场按厄密高斯函数分解展开。利 用正交函数的性质，将全矢量波动方程转化为矩阵本征值问题，可求得p c f 的模式特性、 色散特性、偏振特性等，但计算过程复杂。 1 3 5 有限差分法 有限差分法包括时域有限差分( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f 啪) 法和频域有 限差分( f i n i t ed i f f e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ，f d f d ) 法。f d t d 【2 8 1 法作为一种主要的电 磁场计算方法，通过将麦克斯韦旋度方程转化为有限差分式而直接在时域进行迭代求 解。通过建立时间离散的差分方程，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。它 4 西北工业大学硕士学位论文 直接将随时间变化的麦克斯韦方程组中时域旋度方程的微分式转化为有限差分方程。利 用y e e 氏空间网格及电磁场的初值和边界条件，可以直接得到方程的数值解。因此可用 来研究p c f 中的各种问题，包括色散，模式和非线性等。 f d f d 2 9 3 0 】法利用有限差分原理，将麦克斯韦方程组化为矩阵形式的特征方程，通 过求解特征方程直接得到模场分布和能带图。无论是差分方程还是边界条件的差分近似 都较时域法简单、方便，同时有限差分法对不规则非均匀介质的散射问题有广泛的适用 性。用f d f d 法可快速得到整个剖分域中的场值，而不必人为细分总场值，因而简单易 行。其生成的矩阵为稀疏矩阵，其中只有一些为数不多的非零矩阵元，求逆时间为o ( n 2 ) ，明显的减少了计算量，节省了计算机内存。 f d t d 法精度较高，能得到电磁波的时域解，通过傅里叶变换可得到频域解。但是 f d t d 法的计算需要大量的存储空间，且计算时间较长。与f d t d 法相比，f d f d 法可 以直接求解亥姆霍兹方程，更适合计算禁带结构和本征态。也可以求解带隙图、模场分 布及有效折射率分布等问题。同时在频域中不必对时间作量化处理，可以减少迭代过程， 计算效率较高。但是，随着离散节点数的增加，f d f d 法的计算时间会变得相当长，这 一点极大地限制了该方法在分析实际问题中的应用。 1 3 6 平面波法 顾名思义，平面波法是将模场分解为平面波分量的叠加，考虑了p c f 的复杂包层结 构，同时将折射率展开为傅里叶级数，并将以上分解代入电磁场的全矢量方程，通过求 解本征值问题得到模式和相应的传播常列3 1 】。这种方法的优点是：没有引入假设条件， 可以精确模拟p c f ，为频带的结构计算提供了一个稳定可靠的算法；编程简单，可以借 助现有算法库中的傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ) 、矩阵对角化等标准程序。缺点是： 当介电常数提频率的函数时，没有确定的本征方程，计算过程会变得较为复杂与困难； 而且对于较大的超格子，需要极大的计算量。 1 4p c f 的应用前景 p c f 的应用可涉及到通信、航空、微加工、空间、成像、生物、印刷、军事、医药、 环境、制造业、石化等科技领域。其中，在光通信方面的应用涉及到高功率光的光纤传 输、色散补偿、白光源、波长变换器、多芯光纤耦合器、脉冲成型器、长时间作用的化 学传感器、模变换器、高双折射型陀螺仪光纤、压力和温度传感器等。 p c f 在飞秒激光技术领域的应用前景也很明了。通常介质中的窄谱带和正色散使得 飞秒激光脉冲无法长距离传输，故成为飞秒激光研究中急需解决的两个难题。p c f 具有 的独特性能恰恰为解决这两个技术障碍提供了可能性。首先，p c f 具有强烈的非线性使 得未经过放大的飞秒脉冲可以在这种光纤中产生超连续剖3 2 】。其次，与传统光纤在可见 光波段呈现正常色散不同，p c f 由于其包层的独特结构使得其波导色散对光纤色散的贡 第1 章绪论 献很大，结果在可见光波段能够呈现反常色散1 3 3 1 ，因而在p c f 中允许在更大的光谱范 围内产生光孤子，这已经成为当前的研究热点1 3 “。p c f 将以普通单模光纤不具备的特 性为光纤应用带来新的变革。在长距离通信方面，当前研究主要集中在具有周期结构包 层的光子带隙型p c f 上。如前所述，由于这种光纤采用空气孔作为纤芯，使原来材料的 杂质和本征吸收、材料色散、非线性带来的影响大为降低。几年前，这种说法无异于梦 呓；现在不但开发成功，而且列入一些公司的市场计划。c r y s t a lf i b e ra s 公司执行总 裁m i c h a e lk j a e r 说；“目前光纤市场减缓并不影响我们发展p c f 的计划。光纤市场和需 求再度增长之时，也是p c f 实际应用之日。我们的主要目标是长距离通信。”该公司认 为光纤通信是p c f 的主要市场，并计划在几年之内率先推出这种产品。 1 5 本文的主要工作 本文主要应用频域有限差法和平面波法对不同结构p c f 进行数值模拟研究，在模拟 分析的基础上提出一种高双折射p c f 结构。本文的主要研究内容包括： 第1 章：从光子晶体的概念出发，简要阐述p c f 的分类、特性及应用，分析目前被 用来对p c f 特性分析的各种理论模拟方法的优缺点，同时展望p c f 的应用前景。 第2 章：对两种数值模拟方法平面波法、频域有限差分法进行详细的理论推导， 得到相应方法的本征方程。 第3 章：采用平面波方法模拟不同结构光子晶体的光子带隙和模场分布，同时给出 算法实现时需要注意的一些基本问题。 第4 章：实现频域有限差分方法对不同结构p c f 的传输特性分析，包括能带分析、 模场分布、偏振特性、色散特性、截止特性、限制损耗及模场有效面积等。 第5 章：在模拟分析的基础上，应用m a t l a b 语言，初步设计了用于分析p c f 传 输特性的软件用户界面。 第6 章：对全文进行总结，对下一步工作提出建议。 西北工业大学硕士学位论文 第2 章计算方法 本章主要论述了两种数值分析方法平面波法、频域有限差分法的理论基础。从 麦克斯韦方程组出发，推导出相应本征方程的理论过程，同时给出了算法实现时需要注 意的一些基本问题。 2 1 平面波方法 2 1 1 特征方程的建立 假定所研究的p b g 为无源结构，且介质为非磁性材料，将麦克斯韦方程组经过适 当变换可得到波矢量为k 、频率为的单色光波的磁场日( ，) e ) 【p f ( 科一k ，) 】所满足的方程 弘b v 叫2 等嘶， 旺， 这是一个标准的特征值问题，从上式中可以看出，s ( ，) 与碱线性关系，即当( ，) 邓( r a ) 时，特征频率6 0 = ( o a 。这正是p b g 原理同时适用于不同频域范围光学和 微波的原因。 一旦计算出磁场日，可以通过式( 2 1 2 ) 得到电场e 的分布 e ( ，) = 二_ ：v x 日( r ) ( 2 1 2 ) 在无限周期性结构问题中，根据布洛赫理论，式( 2 1 4 ) 中的磁场h 和l i 可分别 表示成式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) 的形式： h ( r ) = e i e “h ( g ) e 册= h ( g ，k ) e m 栅e j “ ( 2 1 3 ) 丽12 善一( g ) 7 ( 2 工4 式中g 是倒格矢，且z 是任意格子矢量，e 幅是垂直于k + g 的单位矢量。将f h g 分解为 两个正交分量自斜g ，吮j + g 。则日可进一步写成 日( ，) = h ( g ，a 啦“p p + g ( 2 1 5 ) 将式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 代入方程( 2 1 1 ) 中，得到关于日的本征方程为 沙蚓娜 弋g 叫= 乏- 1 i f 如1 = 稚 晓，射 这就是矢量平面波展开方法的基本方程形式，对各个维度的光子晶体都适用，其中 e 月g a h g ，勖。诎+ g ( a - - 1 ，2 ) 。文献3 7 中已给出上述本征方程的详细推导过程，这里不 再赘述。 7 第2 章计算方法 2 1 2 光子带隙的计算 ( 1 ) 带隙结构的形成 在式( 2 1 6 ) 中代入不同的波矢量k ，可以获得不同的频率t o ，即光子晶体的色散 关系。与电子的色散关系类似，光子晶体的色散关系也结成带状，即带与带之间是有间 隔的，这种能带间隔就构成光子带隙 3 8 1 。 依据布洛赫理论，这种k 邗，的关系具有周期性。根据固体物理学中的相关知识， 在倒格空间中，以某一倒格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂直平分面，则被这些平面 分成许多包围原点的多面体区域，称为布里渊区。其中最靠近原点平面所围的区域称为 第一布里渊区。由于对称结构的倒格空间也具有一定的对称性，所以各布里渊区经过适 当地平移，都可移到第一布里渊区的位置，且与之重合。 在分析光子带隙特性时，倒格空间所有方向波矢的带隙性质都可以通过第一布里渊 区边界上的波矢体现，因此通过对第一布里渊区边界上的波矢k 的计算即可得到整个周 期空间的带隙结构。 ( 2 ) 入射光波位于二维平面内 入射光波位于二维平面内时，_ i 和g 都在x - y 面内，所以k + g 也在x - y 平面内。在 两个方向上分解入射光的振幅，其中一个方向的单位矢设为e 2 , k + g = e z ，则另外一个单位 矢e l k + g 在x - y 平面内，即巳= e l , t + 6 = ，p 2 = e 2 j + g = ，于是有 ie 2 e 2 叫：。，i - 1 1 o l ( 2 1 7 ) l e l e 2 。e l e l 。jl oc o s ( 0 一p ) j 这样，式( 2 1 6 ) 可以分解为两个等式。由于t e 波沿z 轴方向的磁场分量不为0 ，t m 波沿z 轴方向的磁场分量为0 ，所以由式( 2 1 6 ) 分解得到分别对应于t e 和t m 波的 两个等式 2 t m ：i 五+ g 露+ g i s - 1 ( g g ) 啊( g ) = 号 啊( g ) ( 2 1 ，8 ) g - ，2 t e ：y l 盂+ gj l k + g p 1 ( g - g ) ( 巳e l t ) 吃( g ) = 吃( g ) ( 2 1 9 ) g o 式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 在计算时不再需要设置对应于偏振方向的单位矢，通过代入第 一布里渊区边界上的不同波矢露即可计算得到相应的带隙结构。 ( 3 ) 入射光波位于二维平面外 当入射光波位于二维光子晶体平面( x - y 平面) 外时，t e 模和t m 模之间存在耦合， 不能分开，因此本征方程的形式不能简化，需要直接求解式( 2 1 6 ) 得到带隙关系。不 同于入射光波位于平面内的情况，这里代入计算的波矢不在x - y 平面内。求解时，将波 矢k 分解为沿z 轴的纵向分量膏z 和垂直于z 轴的横向分量k t ，保持纵向分量也不变( 非 0 值) ，取横向分量氟为x - y 平面内第一布里渊区边界上的不同波矢，求解特征方程即可 西北工业大学硕士学位论文 得到对应于不同纵向分量岛的光波面外入射的带隙关系。 由于波矢纵向分量与横向分量的比值可以表示光波入射时与轴向夹角的大小，当横 向分量取最大时表示入射角度最大，模拟结果显示，一般波矢纵向分量k ：的值大于空气 孔间距的7 倍以上时，面外入射存在光子带隙。 ( 4 ) 周期结构中的傅里叶变换理论 设有一个面积为a 的正方形单位原胞，其中心原予具有反转对称性，这充分保证了 傅里叶变换位于实数域。如果原胞用函数占( ，) 来表示，那么它的傅里叶变换可定义为 占( g ) = f p ( r ) p “7 ( 2 1 1 0 ) 占( ，) ：卜 【岛 r r r r 邓h g 地- b ) 等等 ( 2 1 1 2 ) f ：a r e a 一o ( 2 1 1 3 ) a r e a c a t 这个理论被证明在处理周期性结构中是非常有用的，同样的步骤可用来计算其他形 状的“原子”。注意在上述计算过程中没有包含单位原胞的形状，这意味着原胞的形状 与傅里叶变换没关系，这保证了在不同形状格子的光子晶体中计算结果相同，这一点在 具体计算中非常的重要。 傅里叶变换的相移性质对于超原胞结构的计算特别重要，即： s ( r + r o ) 付e c , e ( g o ) ( 2 1 1 4 ) 其次需要特别注意的是原胞的选择，若所选原胞是反转对称性将得到实的傅里叶变 换，否则得到复数的傅里叶变换。此时，如果仅仅利用到实部将会产生错误。 2 1 3 模场的计算 求解本征方程得到本征值，进而对本征值进行排序后从中选择出一定的本征频率， 再求出本征模式。这是量子力学中求解本征值问题的最基本方法。 对于t m 波，日的分布在平面内，d 沿着z 方向，所以比较容易绘制d 的模式分布： 研( ，) = 啊( g ) “鼢 ( 2 1 1 5 ) 9 矗 驴o ，、l + 岛 = 到得算计过经 第2 章计算方法 鲜( ，) = 占( ，) e ( ，) = s ( r ) 二妥v 雕( r ) 雠i r 2 詈善忡) f ( _ i + g ) 秽删7 ( 2 1 1 6 ) 2 高荟陋+ 0 恫耻誓 注意：在这里只需要计算d 的实部部分。 对于t e 波，d 和e 的分布都在平面内，h 沿着z 方向，所以比较容易绘制h 的模 式分布： 群( ，) = g 啊( g ) 7 2 1 1 7 鲜( ，) = 占( ，) e ( r ) = 占( ，) 二去v 钟( ，) 嬲t r ) = - 。 。z g i ( k + g ) 扩”p ( 2 8 ) 2 高善陋+ g h ( g m 回乍z 注意：这些场的分布都是复数的，但只需要计算它们的实部，基于这些复数波的定 义虚部皋半个周期场 # 日不可能为零。 2 2 频域有限差分法 2 2 1 模场计算理论 研究辐射和散射这类开放空间的电磁场问题时，一般假设电磁波的传播空间是无限 的。利用f d f d 方法模拟电磁场的传播需要对整个研究区域划分网格，因此所需的网格 空间也是无限大的。但是由于计算机容量的限制，不可能划分出数量无限的网格，所以 在实际计算中总是在某处对网格空间截断，使网格成为有限的。然而，这种非物理的截 断，必然会在截断处引起空间的突变，进而引起电磁波在此处的异常反射。而且计算表 明，这种非物理的反射强度很高，可能严重影响计算的精度。因此，如果要模拟开域的 电磁辐射和散射，这种反射必须设法加以减弱消除。这就要求在计算区域的截断边界处 给出吸收边界条件，使得传播到边界的电磁波被吸收而不产生反射。目前f d f d 方法主 要应用两种边界条件：零边界和各向异性完全匹配吸收层边界。利用不同的边界条件可 以计算得到不同的模式特性。 ( 1 ) 零边界条件下的f d f d l 2 5 】法分析 假设在光纤中传输着频率为m 的单色光波，则其场分量可以表示为o = g e x p i ( 庳c o t ) 】，其中p = k o n c f r ，庐代表电磁场强度矢量e 或日的某一个分量。于是可将麦 克斯韦方程组中的两个旋度方程 l o 西北工业大学硕士学位论文 v e ：一竺，v h ：竺( 2 2 i ) 国西 按f d f d 方法离散化为 i k o h x ( j ，f ) - 塑塑掣兰迦一以b ( ，) (222)a y 。 i k o h y ( j ，f ) = i f l e 。, ( j ，f ) 一业学 泌3 ) i k o h ：啡盟半一盟学 ( 2 2 _ 4 ) 一i k o ( ，t ) e a j ，) ：h z ( j , i ) - - h z ( j , 一l - 1 ) 一i f l h y ( j ，) ( 2 2 5 ) 一i k o c , y ( j ，f ) 驯，f ) = i f l h 。, ( j f ) 一型乞竽型 ( 2 2 6 ) 一i k o e , , ( j ，f ) 删) = 业旦毫半塑一型韭等坠旦 ( 2 2 7 ) 式中的相对介电常数根据平均折射率方法可以分别表示为 厶( _ ，) ：丛监掣 岛( ，d ：丛监笔也二业 ( 2 2 8 ) ( ，f ) 地巫丛盥垡半盟生型 这里矗 f ) 表示每个元胞的相对介电常数，计算时用平均相对介电常数来表示，即昂 u ，) 铂。t 而“+ 胁，其中五十石+ 石= i 。 将式( 2 2 2 ) ( 2 2 7 ) 中的表示扩展到整个研究平面，并采用零边界条件，可得 p 盏 = 乏岛e j l e e , 1 j = 象 c 2 2 9 ， q 象 = 赛e f j l 皿d = t 。q l c z 2 - 。， 式中 巳= 一k o 。u ，一v ，v , u ，+ ( 2 i + u ，。v ) ( + k 。v u ，) 厶2 岛一2 u ，f 一- 1 v v u r + ( 2 ，+ u ，一1 v ) ( 岛+ 一2 v u ，) ( 2 2 1 1 ) 易= u ，- 1 v ( 岛+ “v u ，) 一k ( k oi + u ，o c r z l v ) v u ， 只。= u ，s _ 1 v 。( + k o 一2 v ，u ，) 一- 2 ( k 0 2 i + u ，f 。- i v ，) v 。u ， 第2 章计算方法 u = 去 u = 石1 i f ：一1 4 血 ，v ，：一1 心 ( 2 2 1 2 ) 由于v x = 一u 1 ，v v = 一u v ，因而可以得到 线；易1 ，如= 匕1 ，绒= 一& 1 ，如= 1 ( 2 2 1 3 ) 式中p 和q 是与波长及相对介电常数分布有关的系数矩阵，【点岛别1 和 峨，风】1 是由网 格点场量构成的向量。 通过求解式( 2 2 9 ) 和式( 2 2 1 0 ) 构成的特征方程，并对特征值进行筛选，可以得 到光纤中实际可能存在的模式