（理论物理专业论文）在hqet下b→kγ稀有衰变的形状因子的光锥求和规则.pdf

国 防 科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 摘 要 b 介子单举稀有衰变是检验弱电同一标准模型以及测量c k m矩阵元，检验量子 色动力学效应，探索c p 破坏起源的重要场所。近年来，对 b物理的实验研究有了长 足进步，取得了大量的实验数据，为理论研究提供了丰富的材料，也提出了巨大的 挑战。在m q _ _ 0 o 的 极限 下， 重夸克 系统的自 旋 一 味对称性在重味 物理中 起着重要 的作用。h q e t显式的处理这种对称性，是处理重味物理的合适的理论框架。 由 于q c d渐近自由性质， 重介子中的计算必须借助于非微扰技巧。光锥求和 规则 ( l i g h t - c o n e s u m e r u l e ) 是标准求和规则 ( s v z )技巧和硬单举过程结合的 结果， 本文在h q e t 理论框架下， 对b-+k y 稀有衰变过程利用光锥求和规则进行 计算，求出了矢量介子的形状因子，给出形状因子在h q e t 下的表达式，比较其同 完全理论下的形状因子的关系，并在渐进模式下 讨论了其数值结果。 关键词:重夸克有效理论 ( h q e t ) 光锥求和规则 ( l c s r ) 形状因子 第 1 1页 国 防 科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 abs t r a c t b e x c l u s i v e r a r e d e c a y i s a n i m p o r t a n t t o o l t o t e s t t h e s t a n d a r d mo d e l a n d e ff e c t s o f q c d , a n d i t i s a l s o i m p o r t a n t f o r t h e m e a s u r e m e n t o f c k m m a t r i x e l e m e n t s a n d a n e ff e c t i v e w a y t o r e s e a r c h c p v i o l a t i o n . n o w a d a y s , e x p e r i me n t s o n b p h y s i c s h a v e m a d e g r e a t p r o g r e s s a n d g o t p l e n t y o f m a t e r i a l s . a t t h e s a m e t i m e ,i t c h a l le n g e s t h e t h e o r y p h y s i c s g r e a t l y . i n t h e l i m i t m q -4 o o , t h e s p i n - f l a v o r s y m m e t r y o f h e a v y q u a r k p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n h e a v y fl a v o r q u a r k . h e a v y q u a r k e ff e c t i v e t h e o r y ( h q e t ) m a k e s t h i s s y m m e t r y e x p l i c i t a n d p r o v e s t o b e a d e s i r a b l e f r a m e w o r k t o p r e d i c t t h e p r o p e r t i e s o f h e a v y h a d r o n s . d u e t o t h e a s y m p t o t i c f r e e d o m o f q c d ,t h e c a l c u l a t i o n i n h e a v y m e s o n s m u s t r e s o r t t o t h e n o n - p e r t u r b a t i v e t e c h n i q u e .t h e l i g h t - c o n e s u m r u l e i s a h y b r i d o f t h e s v z t e c h n i q u e a n d t h e t h e o r y o f h a r d e x c l u s i v e p r o c e s s e s . i n t h i s p a p e r t h e r a r e d e c a y p r o c e s s b - 4 k 7 w i l l b e d o n e w i t h i n t h e h q e t w i t h t h e h e l p o f l c s r . a n d w e w i l l g i v e t h e f o r m f a c t o r s o f t h e v e c t o r m e s o n . a t l a s t , w e w i l l c o m p a r e t h e r e s u lt w i t h t h a t i n f u l l q c d t h e o r y a n d g i v e t h e n u m e r i c a l r e s u l t o f a s y m p t o t i c m o d e . ke y wo r d s : he a v y q u a r k e ff e c t i v e t h e o r y l i g h t - c o n e s u m r u l e f o r m f a c t o r 第 i i i贡 第页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果. 尽我所知，除了 文中 特别加以 标注和致谢的地方外，论文中 不包含 其他人已 经发表和撰写过的 研究成果， 也不 包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而 使用过的 材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意. 学 位 论 文 题目 :在h q e t 下 b - r k - y 稀 有 衰变 的 形 状因 子 的 光 锥求 和 规 则 学位论文作者签名:日 期 : 0 3 年/月，日 学位论文版权使用授权书 本人完全了 解国防科学技术大学有关保留、 使用学位论文的规定。 本人授权 国防科学技术大学可以 保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印 件和电 子 文 档， 允许 论文 被查阅 和借阅 ; 可以 将学 位论文的 全部或部分内 容编 入有关 数 据 库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。 ) 学 位 论 文 题目 : 在h q e t 下b - - k y 稀有 衰变 的 形状因 子的 光 锥求 和 规则 学位论文作者签名 作者指导教师签名 日 期: w o 了年 i r 月2 - 。 日 日 期: 夕 ， 。 了年i 亿月5日 国防科学技术人学研究生院学位论文 图 表 目 录 ab s t r a c t 1 1 摘要 第一章 重夸克有效理论 ( me t ) rqojlb l1 第二章光锥求和规则， ， 图 2 . 1关 联 函数 的光锥展 开 ， ， ， ， ， ， 第 三章 在 h q e t下b - 4 k y 稀有 衰变的 形 状因 子的 光 锥求 和 规则 图 3 . 1 (b k , ( 8 9 2 ) y)的 形 状 因 子 hcu工卜u户cbq j弓五.二叼.土，工11 图3. 2 ( b - 4 k i ( 1 2 7 0 ) y)的形状因子 一 图3. 3 ( b - k , (1 4 0 0 ) y)的形状因子。 图3. 4 ( b - + k , ( 1 4 1 0 ) y)的形状因子 一 图3. 5 ( b - s k , ( 1 6 5 0 ) y)的形状因子 ，. 图3， b ( b k , ( 1 6 8 0 ) y)的形状因子， 表3 . 1重夸克有效理论与完全理论结果的比较 ，口4 ojq口 第四章 结论与展望 ， ， ， ， . ， . . ， ， . 参考文献， 一 37 致谢 ， 第 a 页 国 防科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 第一章重夸克有效理论( hq e t ) ii 有效理论是理论物理学中的一个重要工具。理由很简单:对于物理问题的理 解，考虑完全的理论往往是不必要的，在一个恰当的层次上来考虑问题反而会更为 行之有效。h q e t是重夸克与轻自由度之间通过软胶子交换而形成的相互作用的一 个 简单 描 述。重夸 克质量7 1 1,q是 高能 标 度， a q c d 是 所感兴 趣的 重 子 物理的 标 度 由于需要考虑包含重夸克强子的衰变性质，在有效理论中完全去除重夸克是不可能 的。可行的是把完全理论中旋量的小分量 ( 描述质壳附近的涨落) 积分掉。 1 .1 重夸克对称性 轻夸克 u ,d ,s 的 质量m q 相对于非 微扰的 强 动力学 标度来说很小， 所以 在q c d 中 选 取 二 : 、 =0 是一 个很好的 近似。 在这 种极限 下 ，q c d 有 着 s u ( 3 ) l x s u ( 3 ) 二 手征对 称 性，这可以 用来预言包含轻夸克的强子的性质。对质量远大于非微扰强动力学标度 的 夸 克 来说， 选择 二 q - + 0 0 也 是 很 好的 近似， 在 这 种 近 似 下， q c d 有 着自 旋一 味重 夸克对称性，这对预言包含一个重夸克的强子的性质是很重要的。 描述轻夸克和胶子强作用的拉格朗日密度为 l q c 。 一_1 g a g a fl a4 0s + 。 ( )(。 一 。 )。 ( ) + 一 亡。 一 ( 1 . 1 ) 考 虑 q q 介 子，m q a q c d ，二 。 a q c d ，这 样的 重轻 介子 像轻 介 子一 样， 有一 个典型尺度1 / a。由非微扰q c d 动力学引 起的动量转移也是a q c d量级的: 这个 事实 使得 重夸 克的 速度。 在强 相互 作 用下 几乎 不 变， 而其 动量 变 化为a q c d 量 级。 在重夸克极限下，介子中重夸克可以用不随时间变化的四分量速度: 来表 征， 而重夸克场可以等效为以色三态变化的外场，这样介子动力学就约化为轻 自由 度和色场源的相互作用。我们可以 看到， 在 m 0 - y 0 0 极限下， 相互作用 与重夸克质量无关，在重介子中所有重夸克都无差别的与轻夸克作用，这就是 重夸克味对称性 h e a v y q u a r k f l a v o r s y m m e t r y ) : 重夸克味交换下动力学不变。 1 / m q 修正 考虑 重夸克的 质量有限 及 各味 质 量不同。 因 此重 夸克 味破缺效果正比 于 ( 1 / - q i 一 1 / r n q ; ) , q i , q ， 是 任意两 个重 夸克 味。由 于 拉 格朗日 密 度中 没有 夸克一 夸克相互作用，所以重夸克只与胶子发生相互作用。在重夸克极限下，静止重夸 克只能通过色荷与胶子作用。这种相互作用是与自旋无关的，这导致重夸克自旋 对称性:在任意自旋变换下重夸克动力学性质不变。与自旋有关的相互作用正比 第 1 页 国 防科 学技术 大 学研 究生 院 学位 论 文 于夸克 的色 磁矩， 量级是1 / r n q 。重夸克自 旋对称性 破缺并 不正比 于1 / m q 的不同， 因为即 使对相同 质量的两个夸克自 旋对称性也是破坏的。重夸克s u ( 2 ) 自 旋对称性 和 u ( ? 4 h ) 味 对称( 对 n h 个重 夸克) 在。 q - o 0 下可以 归 结 为一 个 更 大的 州2 n n ) 自 旋 一味对称性。在这种对称性下带有上，下自 旋的n h 个重夸克的2 从个态作为基本表 示进行变换。 怪 1 .2 量子数 重强子包含一个重夸克和轻夸克或者反轻夸克及胶子。所有的自由度归结于轻 自 由 度t ，对q 4 ，轻自由 度可能是反夸克4 ， 胶子和时的复合，但是他它们一定有单 个反夸克的量子数。强子总角动量守恒，在重夸克极限下，重夸克自旋也是守恒 的，所以，轻自由度的自 旋 s ， 定义为 (lz) s t =j 一s q 它在重夸克极限下也是守恒的。在强子中，轻自由 度是很复杂的，包括了不同粒子 数的叠加。尽管这样， 轻自 由 度仍是一 个好的量子数。 定义 3 , s q ,s t 是 助态韵 (l基(l j 2= 3 ( 3 + 1 ) s q 2=s q ( s q +1 ) s t2=s t ( s t +1 ) 的本征值，除了$ i =0 的情况，重强子组成二重态，总自旋 3 t =s ， 士1 / 2 包括一个重夸克的介子由重夸克和反轻夸克组成 介子由 s q 二1 / 2 的 重夸克和s t 二1 / 2 的轻自由 度组成， ( 加上胶子和夸克对) 形成 自旋 j = 1 / 2 1 / 2 =0 1 宇称为负的强子多重态。如果重夸克是c ，这些态就是d 和d ，如果重夸克是b , 对应 b和 b 。轻夸克可以是u , d ，或者 s ，所以这些重介子场形成一个轻夸 克 s u ( 3 ) v 味 群。 在非相对论夸克模型中，重介子的第一激发态有轨道角动量1 。这些l=1 介子 有 s , =1 / 2 或 3 / 2 ，这 取决 于角 动 量 和反 夸克 如 何藕合。 s : 二1 / 2 介子 形成自 旋宇 称 为 0 + 和 1 + 的多 重态， s , =3 / 2 介子形成多重态 1 + 和 2 + : =1 / 2 和3 / 2 态的 性质与非 相对论夸克模型有关， 而不是与重夸克对称性有关。重子的情况和介子类似，这里 就不详细讨论了。 第 2页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 互 1 .3 有效拉格朗日 q c d 拉格朗日在重夸克极限下不具有显式的重夸克自旋一味对称性，因此 对q c d 使用一个在重夸克极限下有明显对称性的有效理论是很方便的。这个有效 理论就是所谓的重夸克有效理论 ( h q e t ) ， 它描述包含一个重夸克的强子动力学。 对于动量远小于重夸克质量的物理学描述，h q e t 是很有用的。构造有效理论， 使得只有 m g 的倒数项出 现在有效拉格朗日 中， 而完全q c d 中， 拉格朗日 中出 现的 是 。 q 量级。 考虑与外场作用的单态重夸克， 具有速度v 。 在壳层上的 v 定义为 p =m q v ， 而在 非壳层上， 动量定义为p =m q v +气 剩余动量k 决定了 夸克由于相互作用远离壳的大 寸 强子中的夸克， k 是a q c d量级的。 通常的 狄拉克夸克传播子简化为 : 二 p + m qi ,一 : p - 一 mq十 z e m 洲+ m q + 1y 2 mg v k +k 2 +a e i +v 一 卞 2 : 尸 es es 气 尸 es ， - 甲 es l v . 凡 + x e ( 1 . 5 ) mq丹 oc o 传播 子中 包 括了 一 个依 赖速 度的 投 影 算子 p f =2 ( 1 士 y ) 。中 小其 子为麦 ( 1 + -t o ) -它投影到四 分量狄拉克旋量的 粒子分 量上 在静止系中，投影算 直接用依赖速度的 场h t, ( x ) 构造有效拉格朗日 密度是很方便的， 在树图 近似下，它直接与夸克场q ( x ) 联 系。我们可以 将初始夸克场q ( x ) 写成 q ( x ) = e x p ( 一 ， m q v ， x ) ( h( x ) +从( x ) )( 1 . 6 ) 其中 h( x ) =e x p ( i m g v x ) p + q ( x )，h v ( x ) =e x p ( i m q v x ) p - q ( x ) ( 1 . 7 ) 。 指 数 二 q v u 来自 于 重夸 克 动 量。 h 场是 领 头 阶 效 应， 而 h是 1 / m q 级的 。 忽略 h， 将 ( 1 .s ) 插 入 q c d 拉 格 朗 日 密 度， 得 到 h v ip h v ， 两 边 插 入 告 ( 1 + z/ ) , 得 到 (ls)回 翰 = 这与m q 无关， h 。 的 传播子为 帆i v ， d机 2 v- 无+z e 与 。 q - 4 0 0 极 限 相 同 ， 注 意 到 场” 一 h 。 若 不 仅 仅 考 虑 树 图 ， 则 h f n q c d 中 的 q 没 有这样简单的联系。有效理论的构造要保证壳层上的格林函数等于在q c d 中给定 第 3页 国 防科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 的 1 / m q 和a , ( m 动修正的格林函 数。还要证明 胶子作用顶点在两种理论下是相同 的， 考虑一般胶子相互作用，在完全理论中相互作用顶点为一 i g t a -y ，而在有效理 论中是一 i g t a v , .完全理论中顶点夹在两个夸克 传播子之间，每一个重夸克传播子 正 比 于 2 ， 所 以 因 子 、 可 以 作 替 代 、 一 荟. l -+ v 这 和 有 效 理 论 中 给 出 的 结 果 相同 。 这 样有效拉 格朗日 密 度在 1 i m q 的 领头 阶和 - , ( - q ) 下重新 产生了 所有 格林函 数。如果多于一个重夸克味，有效拉格朗日 密度在领头阶下为 i =nh l e f f 一 e h i i v 。 。 。 :( 1 . 1 0 ) 其中n h 是重夸克味的数目，所有重夸克都有相同的四速度 。 上式中有效拉格 朗日 密度不依赖重夸克的质量和自 旋， 这样在明显的u ( 2 从) 自 旋一味对称性下， 2 n h 个夸克场在2 n h 维表象中 变换，在 n h 个场h y (= ) 中只有2 n h 个独立元素，这是因 为 i t c h2 。 一 。 。 的 限 制 消 除 了 每 一 h (， 自 旋 场 的 四 分 量 中 的 两 个 。 虽 1 .4 非微扰修正 对重夸克 有效 拉格朗日 密度 有a , ( m 动 和1 / m q 展开。 在这里， 讨论 1 / m 。 展开。 通 过 维 度 分析， 这 些 修正正比 于 a q c 可m q 。 将( 1 .6 ) 带 入 q c d 拉 格朗日 密 度 得 到 y= 凡 ( i v - d ) h 。 一 h ( i v d十 2 m q ) h十 b y y h v + halp k ( 1 . 1 1 ) 用到咖， 二h 认 汀 = - h。将四矢量投影到与速度。 平行和垂直的方向 上是很方便 的。对任一四矢量x， 它的垂直分量定义为 x 上 三x -x- v v 因 此， 在( 1 .1 1 ) 中 lp 可以 用p 1 代 替伍 ,; j h v = 0 ) . ( 1 .1 玄 ) 场氏对 应于 质量2 m 。 的 激发， 这个能 量 正 是产生 正负 夸克对的能 量。 在h q e t 使 用的范围内，h可以被积掉，在树图近似下这点可以通过解h的方程得到 ( 。 d+2 m 动从 =动协。( 1 . 1 3 ) 带回到( 1 . 1 1 ) 得到 y e j f =h i v d h+ h i1p 1 ( i v ， d+ 2 m q 一 i c ) 一 ， i p 1 h( 1 . 1 4 ) 对 : d / m q 进 行 展开， 得 到 y el! 一 咖 一 ” 十 会几 )h + ( 1 . 1 5 ) 第 4页 国 防 科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 其中省略号表示1 / m q 的高阶展开。为方便， 可以 将1 1 m q 写成两项之和 重夸克自旋对称性，另一项不满足。特别 项满足 lp 尹 土 一 : u y d 上 “ d l 一d 1 ， 十 类 、 ， -y, d 上 。 d 1 ( 1 . 1 6 ) 最后可以得到 y =马 +马 +其中 二一 、 v t v . d h， y t 一、 。 鬓、 。 一 。 b 。 a ty . g b y z 饥q 4 爪q ( 1 . 1 7 ) 在非 相对论 夸克 模型中， 凡 ( d 广 / 2 m 动 h 。 是重夸克 动能p 矿/ 2 m q 。由 于它与 二 q 有 关，所以打破 了重夸克味对称性，但不打破 自旋对称性 。 磁场动量作用项 - h 4m g v yq b 打 破 了 两 种 对 称 性 ( 1 . 1 7 ) 是在树图下得到的， 考虑圈图修正， 马变为马 =一 几 。 d l a/bv 2m o h 。 一 “ (f2)9h, 吞 y ， g l - 4 mq 对照 1 .1 7 ， 得 。 ( ? - q ) 二1 十 0 ( a , ( 二 动 ) ， 依 赖于 a 的 磁矩算符 被依赖于 h 的 。 ( u ) 抵 消 在领头对数近似下， r i、 -19 / ( 3 3 -2 入 o ) 、 an , q) i a k 赵 ) = . - ， 下 甲 长 ， l“ 。 、 拼 )i ( 1 . 1 8 ) n , 是轻夸克味的数目 ，圈图 效应不改变重夸克动能项的系数。 1 .5 h q e t 在重味物理中的应用 h q e t 在重味物理中有着非常重要的应用，主要包括半轻b 衰变和c k m 矩阵元 v b 和 v b 的 测量， 半轻分支比、包含b 夸克的 介子和重子的寿命，重介子衰 变常 数的定性分析，强子质量之间的关系等。下面对一些应用进行讨论。 重介子衰变常数的研究 重介子衰变常数是可以 用h q e t 进行研究的简单物理量之一。用p 和p 表示鹰标 介子和矢量介子，将完全理论中 衰变常数的定义式在h q e t 下表示， 利用流的洛仑 兹协变性，可以将其表示为只有一个因子的简单形式，然后将它与完全理论中的定 义式进行比较，可以得到关于质量的两个衰变常数的关系，具体说来，有 f p = 7 - , f p =mp 介( 1 . 1 9 ) 例如对b 和d，有 ( 1 .2 0 ) 一- 九-知 在考 虑了 。 s ( - q ) 和1 / 7 n 。 修正 后， 和实 验符合的 很 好。 第 5页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 又 形状因子的研究 和衰变常数的处理技巧类似，应用h q e t ，可以将形状因子简化为只依赖 于 ， 。 =: : 的单 个函 数， 即 i s g u r - wi s e 函 数。 例如对 力- r d ， 共有六个形 状因 子， 下面我们看怎样应用重夸克对称性简化为一个。 一 般q c d 矩阵 元有形式恤 ( ) ( p , ) c r b h ( ) ( p ) ) ， 其中 r = y l , 7 y s , h ( ) 是尸 ( q ) 或尸 . ( q ) . 在1 / m b 和 a s ( m a b ) 的 领头 阶 近似 下， 流 c r b 在 h q e t 下 写 成 c , r b , 重 介 子 态 h (q ) (p (,) ) 写 成 h ( q ) ( v ( , ) ) 。 利用洛仑兹不变性， 在h q e t 下将矩阵元写成 c , r b = t r x 积r h (b )( 1 .2 1 ) 其中x最一般的形式为 x二x o +x 了+x 扩+x * q( 1 .2 2 ) 系数是、=v - v 的函数。其它所有允许项都可以写成x i 的线形组合。再利用 咖 v (b )=h v (b ) v h v , ( )二一 h , ( )( 1 .2 3 ) 则 ( 1 . 2 1 )写成 c ,r b = 一 x ) t r l, ,(0) r h (b) ( 1 .2 4 ) 其中 系 数 s ( x ) 就是 i s g u : 一 wi s 。 函 数。 这使得计算大大简化，实验上也验证了 h q e t 的合理性。 c k m 矩阵元的计算 h q e t 最重要的应用涉及到单举半轻衰变的描述，它基于夸克跃迁b - 4 c l y 。在 这里，理论得到了很好的验证，理论上的不确定性也得到了很好的理解，它最重要 的结果就是c k m 矩阵元i v b 的 确定. 通过理论分析可以 得到与 v v 12 有关的 该过程的 微分衰变宽度，它是 。= v e - v d 的函数，由重夸克极限， 在考虑到微扰和级数截断的不确定性的 情况下， 确定 出形状因 子，然后利用实验测出 来的 在零反 冲点处的衰变宽度， 就可以 得到 v .b 的 值， 文 献 2 1 给出 的 值为 v c 6 卜0 .0 3 9 t 0 .0 0 2 。 另 外， 也 用 h q e t 算出了 v.6 的 值， 文献3 给出的结果是 i 矶 。 卜( 3 .3 士 0 .4 . x ， 士 0 .7 m o d e l ) x 1 0 - 3( 1 ,2 5 ) 第 6页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 对b -4 t r l v 文献4 ) 用光锥求和规则给出的结果是 矶。 =( 3 . 4 士0 . 5 士0 . 5 ) x 1 0 - 3( 1 . 2 6 ) 对b升p l 。 文献5 ) 给出的结果是 砚。 i = ( 3 .9 士0 .6 士0 . 7 ) x 1 0 - 3( 1 . 2 7 ) 重夸克对称性的检验 一般情况下，衰变过程刀- r d l v 和方- 4 d l v 是用四个形状因子描述的， g ( w ) , h a , ( 二 ) ， r 1 ( 二 ) ， r 2 ( w )( 1 . 2 8 ) g ( w ) 描述前者，其它三个描述后者。 f ( w ) 用r , ( w ) , r 2 ( w ) 的组合表示描述。 在 重夸克极限下， g ( w ) , f ( w ) , h a , ( 二 ) 等于函数 万 ( 二 ) ，而r i ( w ) , r 2 ( w ) - 1 。通过测 量 f (m ) 可 以 检 验 二 ) 实 验 值 e)在 误 差 范 围 内 与 形 状 因 子 是 一 致 的 在 大 反 冲 点 ， 实验误差最小，它对重夸克对称性的检验可以精确到1 0 %- 1 5 %。在考虑了 对称性 破缺后的 修正后， 文献(6 ) 给出的r i , r 2 与实验符合很好。 第 7页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第二章 光锥求和规则 光锥求和规则 ( l i g h t - c o n e s u m r u l e ) 是标准求和规则 ( s v z ) 技巧 和硬单举 过程结合的结果。 它的基本思想是将流乘积在光锥附近展开。这个过程实现了局域 算子的部分求和，避免了在三点求和规则中的截断o p e( 算子乘积展开)的特定的 不规则性，在这种近似下，我们可以考虑硬散射和软 ( 端点)的贡献。 号 2 . 1 色散关系il l 色散关系的 精神可以由 光学中 的k r a m e r s - k r o n ig 关 系看的 很清楚。k r a m e r s - k r o n i g 关系将固定频率、的 光 在原子上的向 前散 射振幅实 部表示为 所有频率的 光 在 原子上的吸收截面的一个积分。用宏观的术语来讲，即这些原子构成的介质的折射 率的实部由 其虚部对所有频率的积分给出。这种关系是通过向前散射振幅在。复平 面的上半平面是解析的这一数学性质导出的。这个性质的物理基础是电磁信号不能 以超过光速的速度传播。 为确定起见，考虑单色波 a irz ( w ) e 一 m (， 一 二 ) 沿 x轴传播并投射到一个散射中心上。沿x轴的向前散射波通过向前散射振幅 a s c ( w ) =f ( w ) a in ( w ) 与入射波线性的相联系，并渐近地成为 - i . ( t - x ) a . , ( 二 ， t ) x -i o a a , , ( w ) v 叠加不同的波以构成一个一般的波包，可以将入射波与向前散射波写为 (zl)网 a irz一 卜 左 “ ，一 (。 ，)一 。一 ， a ,c(x ,。) : 、1 d w a ,(w )。 一 (一 ) x j_ o o 假定入射波包 (2 . 1)代表一个当xt 时为零的信号。 f o u r i e r 振幅一个数学条件 a ; (w ) _ 工 。 d x a ; (x , 。 、 。 一 、 z o r ,i _ _ 这一物理条件意味这给 ( 2 . 3 ) 第 8页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 其中积分上限来自当x亡 时a i 。 为零的条件。因为对于、份、+: 川积分 ain (w + il?i) = 27r 八 dx a in (x , 0 ) e-iwz- h i i=i ( 2 . 4 ) 是绝对收敛的，因此 a i 。可以解析延拓到复。平面的上半平面。因果性的要求是 a ,s , ( x , t ) =0 , x 亡 即，没有信号传播到x t 而超过入射波前。 用同 样的论证，通过( 2 . 2 ) 我们可以 得 到a ., ( - ) f ( w ) 也可以 解析延拓到上半平面。 于是， f ( w ) 在上半平面解析且对于在上 半平面上任一: 二、 +; 川和积分回路c 有c a u c h y 关系 ， (: ) 一1 l 7 r c j, 山r f ( w ) w 一 艺 ( 2 . 5 ) 让 :从上半平面趋于实数值 w，得到 八o q乙 f ( w ) = ，漂f (w + “ ) - 上尸 2 7 r i f - d w f ( w ) . 1 ， ， 、 . l _ i十 7z j i wi 十 ; ; b - j 一 00w 一w乙 其中p f 指 沿 实 轴由一 co到00的 主 值 积 分。 绕 极 自 无 穷 半 圆 的 贡 献 是 复 量t -= c - 十 : c 。 式( 2 . w =w的半圆给出第二项，来 的实部及虚部分别是 点旬 洲侧 r ef (w ) 一 1 p7r 成 dw im f (w )w - w+ im f 间 一 17r 尸 00 dw r e f (w )w - w + c - 方程 ( 2 . 7 ) 是 o口 ，曰 f (w ) 一 蠕f (w + “ ) 一 。蹂 f - d w i m f ( w ). ， ， i _ 二 w - w 二 一 t e 十 e 的实部而且是色散关系更普遍的有用形式。 如果当、- 0 时了 ( 司 不趋于零， 则来自w处半圆的贡献c -不是零。 它可以 通过作减除 而去 掉。不是用f ( w ) 而是用振幅f ( w ) / w来构 造c a u c h y 关系( 2 . 6 ) : 仅有的 差别 是f ( w ) l w在。=0 有一 额外的 极点，但在co处有 较好的 行为。 如果当 w。00时f ( w ) 不超过一个常数，则代替( 2 . 7 ) 有 r e f (w ) 二 r e f (0 ) + 1 p 左 d w i m f ( w ) 。 ( 。 一 。 ) ( 2 . 1 0 ) w 7 f 第 9页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 这是一次减除的色散关系。如果作更强的收敛假定，即当。-400 时f ( 司 -40，又 可以得到( 2 . 7 ) 的无减除形式，这时c _=0 a 不管是哪一种形式，色散关系都可以通过虚部的知识去计算完全的散射振幅， 如果需要减除， 则还要知道其在 、=0处的值 ( 如果需要更多的减除，还要知道 。=。 处f ( w ) 的导数值)。 得到这种好处的代价是:为了 计算任意频率处的完全散 射振幅，需要知道所有频率的振幅的虚部。实际上，在目 前的情况下这几乎不是一 个缺点，因为正频率、向前散射振幅的虚部与该频率光的吸收截面按光学定理由下 式联系 i m f (w ) 一 共 q co c (w ) , 。 0 ( 2 . 1 1 ) 而且，由( 2 . 功和( 2 . 2 ) 可以 看出 入射 波以 及散 射波的实 数 性要求 是 a in ( 一 、 ) =a in ( w ) , f ( 一 、 ) =f * ( w ) 因而 i m f ( 一 、 ) =- i m f ( w ) 因此我们可以从色散积分中去掉负频、的积分，色散积分只需要考虑正频谱: r e f ( w ) / 0 0 w d w 二， ， ，、 1 - 1 1 一 一 甲 尸 苏1 t i 6 j k w) j o脚 -一 侧- ( 2 . 1 2 ) r e f (w ) 一 : e f (0 ) 、 2 w 2 p 一 下d w 共丈 i m f (w ) 7r j o l w -一 w- 1 ( 2 . 1 3 ) 这样， 应用光学定理 ( 2 . 1 1 ) ，就可以 得到一个确定的预言，而这只是非常一般的 根据光信号传递的因果性以及通过光学定理表达的散射过程中几率的守恒性 ( 么正 性)。原子介质中光的相干散射的实部，即折射率的实部，可以通过色散关系由测 量或计算得到的的描写介质中光吸收的较简单量来算得。这种关系 r ef (w ) = : ， (。卜 w 2 尸 关 - 不 dw 2n 2 p j o w (w 2 - w 2)一 w ) ( 2 . 1 4 ) 就是原来的k r a m e r s - k r o n i g 关系。 的做法。 虽 2 .2 一般色散关系都紧密遵循k r a m e r s - k r o n i g 关系 基本方法18 1 s v z 求和规则是通过计算真空一真空关联函数来进行的，而l c s r 则不同。我 们考虑一个关联函数，求其在真空态和一个在壳层上的态之间的夸克流的t 乘积。 第 1 0页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 ( p ) . ，一 一 一一 产 7 r ( p ) 。 犷 - 一 乙 气 几 4 杯 ，气 们 二 ( p ) 七 公 n (p 丫 一产 厂 厂 f i g u r e 2 / / ( e ) . 1 : 关联函数的光锥展开 这个 态可以 是轻夸克强子( 7 r , k , p , k , 功或光子。 下面通过一个例子说明。考虑过 程 。 + 。 一升,7 ro e + e - 这个过程的强子部分是两个虚光子通过电磁流生成砂，对应的振 幅如图 ( a )。 ( a )的l c s r 关联函数的结构为 f . , ( p , 4 )= ! f d4x e- iq x (一 (， ， ，t ，一 ，一 (0 ) ，。 ， e u q a p a 9 f ( q 2 , ( ; 一 。 ) 2 ) ( 2 . 1 5 ) 其中 p 是 二 的 动量， 9 和( p - 的 是 光 子 动量， q 2 = _ 4 2 ， j m e m 是夸克电 磁 流, f 是 该 动 力学过程的不变振幅。 我们采用手征对称胜 p 2 =m 2 =0 a 为了 得到l c s r ， 应该在q c d 中 在大q 2 和i ( p 一 哟12 范围内计算 ( 2 . 1 5 ) 中的关 联函数， 然后应用色散关系将结果同强子矩阵元对照，下面对此进行详细讨论。 第 1 1 页 国 防 科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 对于固定的 q 2 , 通过插入强子态完备集， 可以 得到关于变量( p 一4 ) 2 的色散关系 凡。 ( 刀 ， )= 2 ( - 0 ( p ) 7 u e m ( x ) p 0 ( p 一 4 ) ) ( p 0 (p 一 4 ) j u e m 0 ) j,on 二 ， 2 一( p 一9 ) 2 , _ i m 凡, ( q 2 , s ) “。 一-下-，戈了 s一 l p一q ) - ( 2 . 1 6 ) ，-7t + 在上式中，p 介子的基态贡献包括了决定犷p - 7 r 过程的形状因子的矩阵元，以 及a 介子的衰变常数: (，“， 一 。， ，;一 ，“， 一 j p ,m pev(p) ( 2 . 1 7 ) 色散积分包括了激发连续态在 s， 。 “ 时的贡献，系数2 是考虑到、介子近似等 于p 介子的贡献。在q c d中计算凡， ，就可以 应用标准 s v z 的技巧了: 对变 量( p - 的 2 和 夸克一 强子对偶性进 行b o r e l 变换。 求 和规则的 结 果可以得到 丫 p - 7 r 的 形状因子，并决定其对动量转移q 2 的依赖关系。 对关联函数 ( 2 . 1 5 )的计算可以通过对夸克流的t 乘积在光锥护=0 附近展开进 行。这个展开和局域o p e不同，它包括了局域算子的无穷级数求和。 在进行光锥展开 之前， 我们 要确定， 在 q 2 =一 尹 和( ( p 一的i) 2 足够大的 情况 下， 关 联函 数( 2 . 1 5 ) 的 主要 贡献 来自 于 光 锥 尸二0 附 近的 取 值， 同时 ， 动量 不 需 要 为 零。 这 样，变量 。 二 p , 4 二( 护一 ( p 一 的 2 ) / 2 可以 很大， 1 。 i- i (p 一 。 ) ， i- q 2 a q c d 2 ( 2 . 1 8 ) 为方便，定义c ，满足 ( 2 . 1 9 ) 这样定义使得( 2 . 1 8 ) 对应这个比 值的有限值， -1 。考虑相对参考系， 7r 的三动 量p 有限， 但相对于光子的虚度很小， p卜 4 , i p o卜 “ 且 少 守， 。 。 p二 沙 o , 0 , 0 , p 3 ) , 9二( 4 o , 0 , 0 , - 4 3 ) , p - 4 = ( u - 4 o , 0 , 0 , 4 3 ) 。在 这个参考系下， 4 o 豁+ 0 润， 助. x 可 以 近 似 为 : 、 . : 一 。 x 。 一 。 3x 。 二 单x 0 - i什 为了避免积分的激烈振荡，要求x 3 iq 4c2 + q 2x 3 _ q 2tw2 up (一卜 2p x3 (， ，。) 4q， 同 时 。 、 务 由 这 两 个 条 件 得 到 一(一 + _4 u ， 2q 2 ) 二 一 + q 2 + 0 ( q 4) ( 2 . 2 1 ) 第 1 2 页 国 防 科 学 技 术 大 学研 究 生 院 学 位 论 文 所以 在 怀1 8 ) 的 情 况 下 护一小- r 0 0 同 时 短 程 作 用 不 起 主 要 作 用( 因 为 二 。 一二 3 一 7 -i) ， 这里也隐含局域算子在二 =0 展开是不适用的。 卜丫q . . 下面计算关联函数中对应图( a ) 的光锥o p e 的领头阶贡献。为简单我们只考虑夸 克流中的， 夸克部分，且不考虑电荷因子。把 ( 2 . 1 5 )中的二 夸克收缩掉，并使用自 由无质量夸克的传播子 i s o ( x , 0 ) =( 0 t-(-)u(0) 1 0 ) =2 a r 2 x 4 ( 2 .2 2 ) 且作 变 换 7u1.7,斗- i 6 . v p 尸 7 75 +一得 到 二 ， ，。 ) - 一 i d 4x x . 2 x 4 e 一 ( 7 r 0 ( p ) i u ( x ) - y v 、 二 ( 0 ) 0 )( 2 .2 3 ) 为看出 ( 2 . 2 3 )中非局域夸克一反夸克的结构，将它在x =0 附近进行局域展开 u (x )y v7 5 u (0 ) = e 六 u (0 )(15 x ),-yp y5u (0 ) ( 2 .2 4 ) 这些算子的矩阵元有下面的一般分解 (二 。 (， ) 1 (x ) - , - 2 i. ,7 v ys u (0 ) 1 0 ) 二(一 1 ) r n , p - z 二 ， . *p p m l + ( - 1 ) , 9 . , - 2 9 . 3 一p - . p v