（应用数学专业论文）二级价格歧视的数理研究.pdf

武汉理_ 【大学硕士论文 摘要 二级价格歧视理论近年来受到普遍关注，有许多文献对其进行了研究。目 前实行二级价格歧视的方法有两种，一是在既知的需求曲线约束下研究如何对 需求区间进行分段以使厂商获取最大的消费者剩余，研究指出：在线性需求条 件下当且仅当对需求区间实行等分时，可使垄断厂商获取最大的消费者剩余。 另一类则是在线性需求函数的约束下，垄断厂商通过实行向消费者宣称打折幅 度即固定折扣率的方法进行二级价格歧视，研究指出：在线性需求条件下以最 优固定折扣率定价实行二级价格歧视所获取的消费者剩余近似于以等分的需求 区间实行二级价格歧视所获取的消费者剩余。 本文基于现有的实行二级价格歧视的两种方法以及所取得的重要结论，对 二级价格歧视理论进行了系统的、更符合实际情况的拓展，分别对需求区间分 段数的确定、固定折扣率的求解、竞争状态下二级价格歧视的贝叶斯均衡、随 机需求下的二级价格歧视问题等作了较为深入的研究，得出了一系列重要的结 论。首先，提出了二级价格歧视的需求区间分段数的概念，指出需求区间的分 段数不是越多越好，而是以- - n 三段为宜；并用市场营销的思想和严格的数学 推理解释了实际生活中这种分段数较少的现象。其次，研究了垄断厂商以固定 折扣率定价的方式执行二级价格歧视的情形。其结果有二：第一，证明了非线 性需求下固定折扣率定价解的存在性；第二，给出了两个常见的特殊非线性需 求函数的固定折扣率的具体计算结果。再者，讨论竞争状态下二级价格歧视均 衡解的形式和存在条件时，根据情况使用完全信息动态博弈模型，使得所研究 的问题更加实际化。最后，在随机需求总需求为齐次p o i s s o n 过程下，分别 研究垄断厂商和竞争厂商执行二级价格歧视的情形。其结果有二：第一，分别 研究了垄断厂商二段、三段定价执行二级价格歧视的情形，并给出了需求区间 的最优分段点；第二，研究了有市场竞争的厂商二段定价执行二级价格歧视的 需求区间分段问题，并将其抽象为一个完全信息静态博弈模型，给出了纳什均 衡结果。 关键词：二级价格歧视，需求区间分段数，固定折扣率，动态博弈模型，随 机需求 武汉理工大学硕士论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo fp r i c ed i s c r i m i n a t i o nh a sb e e ng e n e r a l l yc o n c e m e di nr e c e n ty e a r s t h e r ea r em a n ya r t i c l e si nw h i c hi th a sb e e nd e e p l yr e s e a r c h e d t h e r ea r et w ow a y s t os t u d yt h et h e o r y o n ei st os t u d yt h ep r o b l e mo fm a x i m i z i n gm o n o p o l yr e v e n u e u n d e rt h el i n e a rf u n c t i o na n dd e r i v e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a ti t s h o u l dd i v i d et h ed e m a n ds e c t i o ne q u a l l ya n df i xt h ep r i c ep i e c e w i s e t h eo t h e rw a y i st os t u d yt h ep r o b l e mo fh o wt op r i c ew i t ht h ef i x e dd i s c o u n tr a t ei no r d e rt om a k e t h e 母o s si n c o m em a x i m a lu n d e rt h el i n e a rd e m a n d ，a n dh a v ep r o v e dt h a t 也eo p t i m a l f i x e dd i s c o u n tr a t ew h i c hm a k e st h ei n c o m em a x i m a le x i s t s ，a n dw h a tm o r e ，h a v e s o l v e dt h eo p t i m a lf i x e dd i s c o u n tr a t e si nc a s eo ft w oa n dt h r e es e c t i o n a lp r i c i n g b a s e do nt h ei m p o r t a n tr e s u l t so b t a i n e df r o mt h ep r e s e n t l ya p p l i e dt w om e t h o d s o fs e c o n dd e g r e ep r i c ed i s c r i m i n a t i o n p r i c i n go fe q u a ld i v i s i o n a ld e m a n ds e c t i o n a n df i x e dd i s c o u n tr a t e p r i c i n g ，t h i sd i s s e r t a t i o nm a k e sas y s t e m a t i ca n dm o r e p r a c t i c a lm a t h e m a t i c ss t u d y ，i n c l u d i n gf u r t h e ra n dm o r ed e e p l yr e s e a r c ho nt h e d e t e r m i n a t i o no fs e c t i o n a ln u m b e ro fd e m a n ds e c t i o n ，t h es o l u t i o no ff i x e dd i s c o u n t r a t e ，b a y e s i a ne q u i l i b r i u mo fs e c o n dd e g r e ep r i c ed i s c r i m i n a t i o nu n d e rt h ec o n t e x t o fc o m p e t i t i o n ，t h ep r o b l e mo fd i v i d i n gd e m a n di n t e r v a l so fs e c o n dd e g r e ep r i c e d i s c r i m i n a t i o nu n d e rt h es t o c h a s t i cd e m a n d t h ea g g r e g a t ed e m a n dd e s c r i b e sa sa p o i s s o np r o c e s s f r o mt h ea b o v em e n t i o n e dr e s e a r c h e s ，s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s h a v em a d e f i r s t ，w ep u tf o r w a r dt h ec o n c e p to fd i v i s i o n a ln u m b e ro fd e m a n d s e c t i o n p o i n to u tt h a tt h em a x i m u mf o rd i v i s i o n a ln u m b e ro fd e m a n ds e c t i o ni sf r o m 2 ”s e c t i o nt o3 ”s e c t i o n ，a n de x p l a i nt h ep h e n o m e n o nt h a tt h el e v e lo fs e g m e n t si s l e s si n a c t u a l l ye c o n o m i cl i f eb yu s i n gt h et h o u 吐to fm a r k e t i n ga n ds t r i c t m a t h e m a t i cr e a s o n i n g s e c o n d l y ，w es t u d ym o n o p o l i s t ss e c o n dd e g r e ep r i c e d i s c r i m i n a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o no ff i x e dd i s c o u n tr a t e t h er e s u l t sa r ea st h e f o l l o w i n g ：1 w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fs o l v eo fp r i c i n go ff i x e dd i s c o u n tr a t i o u n d e rt h en o n l i n e a rd e m a n d 2 w eg a v et h ec o n c r e t er e s u l to ff i x e dd i s c o u n tr a t e u n d e rt w os o r t so ff a m i l i a rt y p i c a ln o n l i n e a rd e m a n df u n c t i o n s t h i r d l y ，w h e nw e d i s c u s st h es h a p ea n dt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no ft h ee q u i l i b r i u mo fs e c o n dd e g r e e p r i c ed i s c r i m i n a t i o n w eu s et h ed y n a m i cg a m e sm o d e lf u l lo fi n f o r m a t i o nt om a k e t h ep r o b l e mm o r ep r a c t i c a lf i n a l l y ，w es t u d yr e s p e c t i v e l yt h ec o n d i t i o no fs e c o n d d e g r e ep r i c ed i s c r i m i n a t i o no fm o n o p o l ye n t e r p r i s ea n do l i g a r c h i ce n t e r p r i s e su n d e r t h es t o c h a s t i cd e m a n d t h ea g g r e g a t ed e m a n dd e s c r i b e da sap o i s s o np r o c e s s t h e r e s u l t sa r ea st h ef o l l o w i n g ：1 t h eb e s td i v i s i o np o i n t so fd e m a n di n t e r v a li nt h ec a s e o ft w os t a g ep r i c i n ga n dt h r e es t a g ep r i c i n ga r er e s p e c t i v e l yg i v e n 2 t h ep r o b l e mo f d i v i d i n gd e m a n di n t e r v a l so fs e c o n dd e g r e ep r i c ed i s c r i m i n a t i o no ft w os e c t i o n a l p r i c i n gi ss t u d i e d ，w h i c hi sg e n e r a l i z e da sac o m p l e t es t a t i ci n f o r m a t i o nm o d e l t h e n t h er e s u l to fn a s he q u i l i b r i u mi sg i y e n k e yw o r d s ：s e c o n dd e g r e ep r i c ed i s c r i m i n a t i o n ，s e c t i o n a ln u m b e ro fd e m a n d s e c t i o n ，f i x e dd i s c o u n tr a t e ，d y n a m i cg a m e sm o d e l ，s t o c h a s t i cd e m a n d n 此页若属实请申请人及导师签名。 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：圣边! 鑫日期塑世：! f ：f o 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部内容，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 名：煦一弹占期一。 武汉理工大学硕士论文 1 1 价格歧视的概念 第1 章概论 所谓价格歧视是指在同一时期具有相同平均成本的同种商品以不同的价格 出售给不同或相同的买主的市场行为。价格歧视是不完全竞争市场特有的市场行 为。因为在完全竞争市场，需求弹性无限大，厂商是价格的接受者而不是制定者， 所以处于完全竞争市场的厂商不可能对买主进行价格歧视；而处于不完全竞争市 场的厂商是价格制定者，其有对买主实行价格歧视的可能。值得注意的是，价格 歧视和价格差别是两个不同的概念。价格差别也是指同种商品以不同的价格出售 给不同的消费者，但引起价格不同的原因是由于成本不同，即价格差异反映的是 成本差异。如，同一商品运到不同消费者所在地成本的不同，会引起价格的差别。 而价格歧视是指在成本条件相同的情况下以不同的价格出售同一商品。 著名经济学家庇古将价格歧视区分为三种不同类型：一级价格歧视、二级价 格歧视和三级价格歧视。一级价格歧视是指厂商对每一单位商品收取一个不同的 价格，该价格正好等于它的需求价格，即消费者愿意支付的最高价格，厂商由此 剥夺了全部消费者剩余，获取了最大利润。一级价格歧视也被称为完全价格歧视。 现实中，服装零售商对每一个顾客讨价还价，并通过讨价还价判断每位顾客的购 买意愿，从而收取不同的价格。这种司空见惯的现象就近似于一级价格歧视。二 级价格歧视是指厂商销售同一种商品时，对不同的消费数量段收取不同的价格， 由此占有部分消费者剩余，利润得到增加。这种因购买数量不同而价格也不同的 情况更是广泛存在于经营活动及人们的日常经济活动中。三级价格歧视是指厂商 在销售同一种商品时，把消费者分为两种或两种以上不同类型，分别收取不同的 价格，不同类型的消费者群构成不同的市场。三级价格歧视要求在需求价格弹性 小的市场上提高价格，在需求价格弹性大的市场上降低价格。即对对价格变化反 应不敏感的消费者群制定较高的价格，而对对价格变化反应敏感的消费者群制定 较低的价格，以此获取更大的利润。如一些高档酒吧、饭店、娱乐场所出售的酒 水等饮料价格要比一般市场上的同样商品价格高好多倍。 1 2 二级价格歧视的研究现状综述 本文研究的是二级价格歧视。目前实行二级价格歧视的方法有两种，一是在 武汉理工大学硕士论文 既知的需求曲线约束下研究如何对需求区间进行分段以便厂商获取最大的消费 者剩余，文献【9 ，1 0 】指出在线性需求条件下当且仅当对需求区间实行等分时， 可使垄断厂商获取最大的消费者剩余。另一类则是在线性需求函数的约束下，垄 断厂商通过实行向消费者宣称打折幅度即固定折扣率的方法进行二级价格歧视， 文献 1 1 ，a 2 研究了线性需求条件下最优固定折扣率的确定问题，指出在线性需 求条件下以最优固定折扣率定价实行二级价格歧视所获取的消费者剩余近似于 以等分的需求区间实行二级价格歧视所获取的消费者剩余。文献 1 3 1 5 1 则在非线 性需求条件下对上述两类二级价格歧视方法进行了研究，指出在一类特殊的非线 性需求函数条件下两类最优解即最优区间分段方式和最优固定折扣率是存在的。 上述研究成果开辟了二级价格歧视的一个全新研究方向，其标志为文献9 1 5 t 作的发表。国内对二级价格歧视方法的研究大多处于定性研究的状态下，文献 【1 6 2 0 】从概念、制度的范畴对二级价格歧视的方法作了一般性的阐述，而对二 级价格歧视较为完整的数学模型描述还比较缺乏。是文献9 1 5 开创性的工作对 二级价格歧视的研究奠定了基础，即在既知的需求函数条件下，以获取最大的消 费者剩余为目标，讨论最优的需求分段区间和最优的固定折扣率。对寡头市场及 竞争市场中二级价格歧视的讨论虽有大量的最新成果1 2 3 - 2 6 1 ，但这些结果主要是 对垄断状态下和竞争状态下二级价格歧视的结果进行比较；文献 3 3 ，3 4 贝1 j 用博 弈论观点讨论了竞争厂商实行二级价格歧视的情形。 国外对二级价格歧视的定量研究基本上集中于实证研究范畴，它们都是针对 具体的产品，讨论在不同的供求关系条件下对不同特性产品实施二级价格歧视的 可能性及其福利效应。a n d e r s o n ，s ( 1 9 9 2 ) 指出，在不同的价格政策下，厂商 实行二级价格歧视所获得的社会剩余和福利均不相同 2 1 1 ，进而讨论在垄断厂商 或消费者承担运输成本的不同条件下实行二级价格歧视的最优选择问题。 但是，已有结果大都是在市场需求是线性需求函数条件下而这个限制无论从 哪方面讲都太过严格，非线性需求函数是最为常见的实际经济状态，因此，应当 在非线性需求函数条件下对二级价格歧视方法进行讨论。再者，讨论竞争状态下 的二级价格歧视均衡解的形式和条件时，根据情况使用完全信息动态博弈模型， 使得所研究的问题更加实际化。另外，需求函数的不确定性是实际经济生活中更 为常见的情形，对需求函数的未知造成了以需求函数为前提的研究离实际较远， 现实经济活动中，厂商要实行二级价格歧视所面临的最大困难是对需求函数信息 的未知，对需求函数形式的任何事先的假定都只有纯粹的理论意义，厂商们只能 通过对需求历史资料的分析来确定需求函数的大致形态，其精确的函数表述在实 际经济活动中是不可能存在的从而是不可获取的，为了解决这个问题，假定需求 函数具有某种随机形式是完全必要的。 2 武汉理工大学硕士论文 1 3 研究内容及主要贡献 1 3 1 论文的研究内容 论文主要基于以下四个既有的重要的已知结论，对二级价格歧视理论进行了 四个方向的研究。这四个基础结论是； 结论1 ) 垄断厂商在线性需求函数条件下使收益( 利润) 最大化的充要条件 是，对需求量区间实行等分，分段定价【9 ，1 0 】。 结论2 ) 垄断厂商在线性需求函数条件下，对需求量的分段越细，则获取的 消费者剩余越多，但获取量的增幅递减，1 1 段定价获取消费者剩余的竺兰，实 h 际分段以二至三段为宜1 2 9 。 结论3 ) 垄断厂商在非线性需求函数条件下的利润最大化问题不一定有解， 但对需求量作一个限定以后则一定有解。且使利润最大化的分段点取法为 ，( q j ) 昌紫，其中，p 皇，( q ) 为需求函数，( q ) o 的y ，定义 ( 1 ) y = y 时x 的条件概率为 p x x l y y 一兰轷 ( 2 ) y = y 时x 的条件分布为 f ( x l y ) = g xs x p ；y ) ( 3 ) y = y 时x 的条件期望为 e ( x l y y ) = p ( x l y ) = 舻 x ；x l r ；y ) 公式1 5 1 1 设x 、y 是离散型随机变量，证明公式 v a r ( z ) 一e 砌r ( 彳 y ) + l a ， e ( x l r ) 】 证明： 玩，( x l y ) t e ( x 2 i y ) 一p ( z 嗍2 e p ( x l y ) 】t e 卜x 2 i y ) 一 e ( z f y ) 】2 1 = e t e ( x 2 i r ) l 一研 e ( z 哪2 】 一e ( x 2 ) 一耳【e ( x 咖2 翘陋( x 2 脚一研e ( x 哪2 】 一e ( x 2 ) 一e e ( x p ) 】2 ) 6 武汉理工大学硕士论文 另一方面， 所以， v a ， e ( x l r ) l 科【e ( z 2 i y ) 1 2 卜 e t e ( x l r ) l 2 一怛陋( 石i y ) 】) 2 一陋( x ) 】2 e v a ，( x | y ) + v a r e ( x l r ) 】 t e ( x 2 ) 一f ( x ) 】2 ，v a r ( x ) 1 5 2 泊松过程的定义 定义1 5 2 1 称随即过程 ( f ) ，t 苫0 为计数过程，若表示到时刻为止已发生的 “事件a ”的总数，且满足下列条件： ( 1 ) n ( t 1 之0 ； ( 2 ) n ( t ) 取正整数值； ( 3 ) 若5 f ，则n ( s ) s ( f ) ； ( 4 ) 当sc f 时，( f ) 一( s ) 等于区间o ，f 】中发生的“事件a ”的次数。 定义1 5 2 2 称计数过程 z ( f ) ，f 之0 为具有参数a ，0 的泊松过程，若它满足下 列条件 ( 1 ) x ( 0 ) 一0 ； ( 2 ) x f t ) 是独立增量过程； ( 3 ) 在任一长度为t 的区间中，事件a 发生的次数服从参数a 0 的泊松分 布，即对任意蹦= o ，有p x ( f + s ) 一工( s ) ；n ) = e - a t 芝芋，n 一0 ，1 ， 1 5 3 复合泊松过程 定义1 5 3 1 设 x ( f ) ，f 2o ) 是强度为a 的泊松过程，协，i 1 , 2 ，) 是一列独立同 分布随机变量，且与 x ( f ) ，f o ) 独立，令 q ( f ) 。巩，f 芑o ， 则称 q ( f ) ，t 芑o 为复合泊松过程。 并“1 定理1 5 3 l 设q ( f ) = 艺仇，f 乏o ，是复合泊松过程，e 叩1 2 】c + m ，则 7 武汉理工大学硕士论文 ( 1 ) e q ( f ) 】| e x ( f ) 】e h = 脑 氇 ( 2 ) v a r q ( t ) 1 - e x ( t ) v a r ( u ，) + 妇r 工( f ) e ( 叩1 ) 一加e ( r h 2 ) ( 3 ) c o v q ( s ) ，q ( f ) _ a e ( 7 7 , 2 ) 1 1 1 i n ( s ，f ) 证明： ( 1 ) 由条件期望的性质e q ( f ) 】一层 e 【q ( f ) p ( f ) 】) ，由假设知 e q ( f ) f x ( r ) 一厅】- e 冀叩i i z ( t ) 一刀1 - e 耄叩；i j ( r ) l n 】。e 耋仇】。厅e ， 所以 e 【q ( f ) 】一e e q ( r ) f 石( f ) jt e j ( f ) 】e ( 研) 一缸e ( 叩1 ) ( 2 ) 类似( 1 ) ，有 v a r q ( t ) l x ( t ) 】| z ( f ) 砌，( 叩，) ， 再由公式1 5 1 1 ，有 v a ， q ( r ) 卜e 砌r q ( r ) j x ( r ) ) + 砌r e q ( r ) 眺) ) - e x ( , ) v o ，( ) + p 钮r x ( f ) e ( 仇) 一舢 惭“) + 加2 h ) 一凇( 仉2 ) c o v q ( s ) ，q o ) t c b v q ( s ) ，q ( f ) 一q ( s ) + q ( s ) 一c o v q ( s ) ，q ( f ) 一q ( s ) + c o v q ( s ) ，q ( s ) 】 一c o v q ( s ) ，q ( s ) 】一d q ( s ) 2 l s e 2 ( 仇) 一般地有 铆【q ( s ) ，q ( f ) 】i a e 2 ( r h ) m i n ( s ，f ) 武汉理工大学硕士论文 第2 章二级价格歧视中的需求区间分段数研究 2 1 垄断厂商执行二级价格歧视需求区间分段数研究 2 1 1 引言 关于二级价格歧视的概念，许多专著类文献 4 1 4 3 都有较为详尽的阐述，但 是，在二级价格歧视的研究中，如何对需求区间进行分段，在此分段的基础上实 行区别定价以使垄断厂商的收益达到最大，将这个问题以明确的数学模型表述出 来则是文献9 ，l o 所发表的工作。 文献【9 ，1 0 】给出了垄断厂商在线性需求函数条件下收益达到最大的充要条 件，即当垄断厂商将需求区间等分而实行价格歧视时，可使其收益最大。另一方 面文献【1 1 】从寻找价格的最优固定折扣率角度研究了垄断厂商最大收益获取的条 件。另外，在非线性需求条件下关于上述两个问题的结论也很多，但是，对垄断 厂商而言，如何对需求区间数作一个符合实际情况的可操作的确定，则是一个非 常重要的问题。理论上讲，对需求区间的分段越多，垄断厂商所获取的消费者剩 余也就越多，其极端情形就是所谓的一级价格歧视。但这在实际定价过程中是不 可能发生的事情。需求区间分段数在实行二级价格歧视时是一个必须面对的问 题，同时它也是一个客观存在的问题。本节将在线性需求函数和特殊非线性需求 函数条件下对需求区间分段数的确定作相应的讨论，以期得出一些符合实际情况 的可操作的结果。 2 1 。2 线性需求条件下，需求区间分段数的确定 设需求函数是线性的，即p = n b q ，a ，bo ) ，在单一价格条件下，总收益 为豫- p q 一。一6 q ) q 。, 令d 蛔t r - 。，h j 当q - 云，p 一量，时，总收益t r 为最大。 在实行二级价格歧视时，我们不妨设总需求q4 q t 西a ，在等分需求区间的定 价方法下，总收益为 豫一p 。0 1 + p 2 ( q 2 一q 1 ) + + 见( q 一q 1 ) ( 2 1 ) 由于需求区间等分，所以q l 一石l a ，将n = 口一b q , ，q f q 一。一羔代入( 2 1 ) ，得 z 口hz 铆 9 武汉理工大学硕士论文 t r 一竺一_ n 一6 ( q l + q 2 + + q ) 】2 bnl j ：一生n + 马 动8 bn 一譬唁一刍。了唁一一 显然豫是n 的增函数，这与实际情形相符，r m a x t r 。l i m t r 。要，由于 t 妇 实行二级价格歧视而使垄断厂商所获得的消费者剩余 m a x ( a t r 卜m a x t r - t r 一吾- p q 孙2n2口2 。面一石2 面 在实际情况中，垄断厂商获得这个剩余是不可能的，现不妨以市场营销的思 想解决此问题。作为垄断厂商，其营销部门有许多战略目标须根据实际情况和历 史资料予以事先确定，如本年度产品市场占有率等。基于此，不妨设垄断厂商营 销部门在其营销计划中对消费者剩余的获取有一事先规定的比率。即给定使垄断 厂商获取消费者最大剩余的0 倍，亦即： 刀2 一t r = 0 m a x ( a t r 1 t r 一t r + 0 m a x ( a t r + 1 譬c ；一刍- 丢+ 等= 蔷c z + 亦即： 蔷。一一蔷c z + 口， 所以， 一5 击 当0 0 9 ，n = 1 0 ，而当0 = - - 0 8 ，n - 5 由此可见，在等分需求区间的二级价格歧 视下，分段数的任意增大是不现实的，即使垄断厂商计划获取消费者最大剩余的 8 0 ，也只须将需求区间分为五段为宜。 2 1 3 特殊非线性需求函数条件下，需求区间分段数的确定 一类典型的非线性需求函数为p = ，( q ) = 昙( a o 为常数) ，p 为价格，q 为 需求量。该函数是反比例函数，( q ) 。参表明p 随q 的增加而递减，符合需 1 0 武汉理工大学硕士论文 求法则。需求区问的两端点q o ，q 一。既定，o q oc q - l ，q o 可以足够小。垄断厂商 在q 与q 。之间确定n 一2 个点q l ，q 2 ，幺_ 2 ，在( q j 。，q 】上定价p i ，i 一1 ，2 ，月一1 ， 在( o ，珐】上定价昂，以使总收益豫： t r 一只q o + 号( q 1 - q o ) + 只( q 2 - q o + 只。( q 。一q 一：)( 2 2 ) 达到最大。分段点q 1 ，q 2 ，q 一：应该满足： 由( 2 3 ) 式，有 化) 一紫，f i 坛，n ( 2 3 ) 4爿 一爿 q + ，q q 。q q j 一。 j 蛘出 q f ；瓯 一21 22 1- 一2 从而 q 1 = g ”1 q 一。“，q 2 一q o ”1 q 。”1 ，q 一：- q o ”1 q 一。“ 令d = 导则 鱼：堡：堡。垡生- d 击：垒二鱼：- q z 。g = ! 二垡= 2 。d 击； q 0q 1q 2q 一： q 1 一q oq 2 一q l q 一：一q ， q 1 一d “q 0 ，q 2 一dn - i q l d “i 2 d ，q 3 一d ”1 q 2 一d “1 岛， 一， 上上上上 q 。一d ”1 q ：- d q o ；q i q o - 似”1 1 ) ! 盈，q 2 一q 1 - d ”1 “”1 1 ) q o ， 土上盟上 q 3 一q 2 一d “似“一1 ) q o ，q 一，一q ：一d ”1 p ”1 1 ) 骗 垄断厂商不进行价格歧视( 单一价格) 时的收益最大值 一 豫。p , - 1 q , 一云乳卅 垄断厂商实施二级价格歧视时获得的最大收益t r 为 t r = 异q 0 + 置( q 1 一q 0 ) + 罡( q 2 一q 1 ) + 只，( q 。一q 一：) 2 丢q o + 西a ( q 1 一q 0 ) + 爱( 鲮一q 1 ) + 西aq ，一q 2 ) + + 丢( q 一一q - 2 ) 武汉理工大学硕士论文 硎叫鲁+ 肇扣+ 馨 、q lq 2q 3幺。7 。、 一州一。一伽叫孝 垄断厂商最多可能获取的消费者剩余为 m a x ( a t r ) 一f ，( q ) c 女q + 最q 一只。q 。 墙 一了争“_ ， 一a m q 1 一a l n q = a l n d 不妨设垄断厂商营销部门在其营销计划中对消费者剩余的获取有一事先规 定的比率。即给定使垄断厂商获取消费者最大剩余的0 倍，亦即 t r 一t r 一0 m a x ( a t r ) t r 。= t r + 0 m a x ( a t r ) 叫一。一蛐d 吉利+ 鲥m 亦即 厅 ”( n - 1 ) 4 柠旬枷m 给出0 和d 的值，可很容易求出n 的值。 2 2 竞争厂商执行二级价格歧视需求区间分段数研究 2 2 1 引言 ( 2 6 ) 关于二级价格歧视的概念，许多专著类文献 4 x 4 3 1 都有较为详尽的阐述，但 是，在二级价格歧视的研究中，如何对需求区间进行分段，在此分段的基础上实 行区别定价以使垄断厂商的收益达到最大，将这个问题以明确的数学模型表述出 来则是文献【9 ，1 0 】所发表的工作。文献1 9 ，l o l 给出了垄断厂商在线性需求函数 条件下收益达到最大的充要条件，即当垄断厂商将需求区间等分而实行价格歧视 时，可使其收益最大。文献 n l 研究认为，对需求量区间分段越多，则垄断厂商 获取的消费者剩余越大，但获取量的增幅递减，实际分段以二至三段为宜。同时， 不管对垄断厂商还是竞争厂商而言，如何对需求区间分段数作一个符合实际情况 的可操作的确定，则是一个非常重要的问题。理论上讲，对需求区间的分段越多， 武汉理工大学硕士论文 厂商所获取的消费者剩余也就越多，其极端情形就是所谓的一级价格歧视。但这 在实际定价过程中是不可能发生的事情。需求区间分段数在实行二级价格歧视时 是一个必须面对的问题，同时它也是一个客观存在的问题。目前国内外对此的研 究还是一个空白。 本节对两寡头实施二级价格歧视时，对需求量区间的合理分段数进行研究， 以期得出一些符合实际情况的可操作的结果。 2 2 2 需求区间分段数的确定 2 2 2 1 产量决策( 古诺的寡头模型) 假设寡头厂商1 和2 生产同样的产品，面对相同的线性需求函数 p a b q ( a ) o , b ，o ) ，其中p 为价格，q 为需求量。它们各自选择产量，以使 自己的得益最大，设厂商1 和2 的产量分别为吼和q ：，则市场总产量为a = q 。+ 口：， 两厂商同时决定自己的产量，即它们在决策之前都不知道对方的产量。设两寡头 的得益就为它们的销售收益，分别为 “t2 p q l ；【口一b ( q 1 + q z ) 吼，“：t p q 2 吖n b ( q l + 口z ) 】口： 容易看出，两博弈方的得益都取决于对方的策略( 产量) 。设( 订，q ：) 必须 是最大化问题 m a x 口一6 ( 吼+ 吼) 吼 l m a x n 一6 ( 吼+ 口2 ) 吼 l 啦 的解。由 + a ；0 + a - 0 解得吖一鼋2 一导，此时 5 0 p 一。一6 ( q 1 ) 一詈，q 一吼+ q 2 一石2 a 最大消费者剩余为 m a x t r = i 1 ( 口一p ) q 一2 a 2 9b ( 2 7 ) 2 、 1 7 一 、7 因为q l + = q ：+ ，可以认为两厂商实力相当。 膨 鲫 一 一 毋 如 施 孙 一 一 _ 一 帆一姐丝魄 ，_lj_i_j、_【 武汉理工大学硕士论文 2 2 2 2 价格歧视 设市场对两厂商产品的需求分别为q ( 1 ) 及q ( ”，q ( 1 ) + qc 2 ) = q ，现两厂商 均实行二级价格歧视，将需求区间分为n 段，即 o ，q 】2 o ，q 1 0 ) 】u 蜴o ，幺o u u q t ，q 】， 【o ，q 仁) | o ，q 1 怛u q 1 1 2 ) , q 2 忙) 】u u q 一”，q 2 ) 厂商1 所获取的消费者剩余为 嚣tro)撇瓣p20)_p(o)(硝”刮+晓8，p + ( 见一l ( 1 ) 一n ( 4 ) ( q 一。( 1 j q 一2 ( 1 ) 一 在这里，p l 1 ) 是厂商1 针对其需求量q ( 1 ) 的价格，由于两厂商出售同种商品，它 们都受同一需求函数的制约，当市场对此商品的需求量为q 时，市场将对应地 对厂商1 和厂商2 生产的产品有相应的需求，不妨设此时市场对厂商1 产品的对 应需求为q ( 1 ) 而对厂商2 产品的对应需求为q ( ”，两厂商在任何需求量下的产品 定价都直接受制于市场对该产品的需求函数而不必知道他们自己的需求函数曲 线( 这个曲线可能是非线性的) ，因此有 n ( 1 ) 。只2 ) 一口一6 q 一4 一b ( o c 1 ) + q ( 2 ) 故 刀t ( 1 ) 一6 n - ! ( q j q ) ( q f ( 1 l q 一。( 1 ) ( 2 9 ) 同理，厂商2 获得的消费者剩余为 豫( 2 ) 一6 芝( q q j ) ( q ( 2 ) 一q l - 1 ( 2 ) ) ( 2 1 0 ) 为求得厂商1 的反应函数，令 面o a t r 矿o ) 一o ，f 一堵小1 2 蜴( ”一q ( 1 ) = q ( ”一q ( 2 ) 2 q 2 ”一一q 3 ( 1 ) = q ( z ) _ q 2 ” ( 2 1 1 ) 2 q 一。( ”一q 一2 ( 1 ) = q q 一1 ( 2 1 4 武汉理工大学硕士论文 同理，口j 得j 茼2 阴反厦豳毅为 f2 q 1 ”一q z ( 2 = q 2 ”一0 1 1 j2 0 2 ( 2 ) - - q i ( 2 ) - - 0 3 ( 2 ) = 0 3 0 _ q 2 ( ”( 2 1 2 ) 【列：i 万：妄划t ， 可以解得 q 1 0 ) = q l ( 2 ，= 号罕驴淼2 1 ) 也：；等q ， 列1 ) _ 时k 害q 则 q _ q o + q 2 5 毛 ( 2 1 3 ) 将其代入( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) q b ，则有 a t r ：a t r ( 1 ) a t r ( 2 ) 一纩n - i q 一鲁q ) 。丽2 n - i q 峨2 驴n - i 并) 毛 仁1 4 峨2 陪南) 不妨设生产厂商营销部门在其营销计划中对消费者剩余的获取有一事先规 定的比率。即给定使生产厂商获取消费者最大剩余的0 倍，亦即 即 蟛陪南卜一豫 由上面的产量决策，取q ；虿2 a ，m a x 豫= 万2 a 2如 则有 z p 高卜 仁均 武汉理工大学硕士论文 6 7 ( 因8 s 三圭6 7 ) 。在二段定价时获取消费者剩余的4 4 ( 同时收益增加4 4 ； 3 三段：5 7 ；四段：6 2 ；五段：6 5 ) ，容易看出，二、三段定价时己获可观的 消费者剩余，四段定价获取消费者剩余比三段定价高一些，但只增加5 个百分点， 而五段定价获取消费者剩余比四段定价只增加3 个百分点。考虑到分段越多则操 作越困难，实际分段当以二到三段为宜。 2 3 结束语 本文用完全信息静态博弈的方法分析了两寡头厂商二级价格歧视的问题，指 出对需求区间的分段不是越多越好。首先，分段多则实施困难；其次，分段多获 取的消费者剩余增加得并不多。实际分段以二到三段为宜。这个结果与实际经济 生活是相符的。 1 6 武汉理工大学硕士论文 第3 章二级价格歧视时固定折扣率的确定方法 3 1 线性需求条件下的固定折扣率定价研究 在我们的经济生活中，打折是一种普遍的经济现象。比如在批发市场，批发 商规定，顾客购买量在q 1 以下时按置计价：当顾客购买量在q 1 与q 2 之间时打卢 折，按芦日计价；当购买量大于q 2 时，再打卢折，按卢2 号计价，等等。这实际上 就是垄断厂商实行二级价格歧视的问题。关于二级价格歧视，文献9 ，1 0 ，1 3 1 研究了在线性需求函数条件下，如何按固定折扣率定价，以使总收益最大化的问 题，证明了使总收益最大化的最优固定折扣率存在，并计算了二段、三段定价时 的最优固定折扣率。 设垄断厂商的需求函数为线性函数，即p n b q ，