（应用数学专业论文）伪压缩算子的迭代剑定理.pdf

学位论文的主要创新点 iiil i ii ii 1 1 11 11 1 11 1 111l y 18 7 9 2 9 2 、在b a n a c h 空间中研究无限族严格伪压缩算子迭代逼近变分不 等式的解的问题，证明了变分不等式的解也是严格伪压缩算 子的不动点此算法推广了| y y a o ，r c h e na n dj c y a o ， s t r o n gc o n v e r g e n c ea n dc e r t a i nc o n t r o lc o n d i t i o n sf o rm o d i f i e d m a n ni t e r a t i o n ，n o n l i n e a ra n a l 6 8 ( 6 ) ( 2 0 0 8 ) 1 6 8 7 - 1 6 9 3 等文献 的结果 二、分别在h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间下，将有限族严格伪压缩映射推 广到无限，研究无限族严格伪压缩映射迭代序列的收敛问题，并 且在假设这无限族的严格伪压缩映射公共不动点集是非空的前 提下，证明了迭代序列收敛到严格伪压缩映射某一公共不动点 此算法推广了k o j ia o y a m a ，w a t a r ut a k a h a s h i ，s t r o n gc o n v e r - g e n c et h e o r e m sf o raf a m i l yo fr e l a t i v e l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i nb a n a c hs p a c e ，f i x e dp o i n tt h e o r y , 8 ( 2 0 0 7 ) 1 4 3 - 1 6 0 和 h z h o u ，c o n v e r g e n c et h e o r e m sf o ra - s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n si n 2 - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s ，n o n l i n e a ra n 甜6 9 ( 2 0 0 8 ) 3 1 6 0 3 1 7 3 等文献的结果 三、提出了一种新的迭代算法，并将有限族m 一增生映射推广到无限， 证明迭代算法生成的序列收敛到无限族m 增生映射的_ 个解 此算法推广了 h z e g e y ea n dn s h a h z a d ，s t r o n gc o n v e r g e n c e t h e o r e m sf o rac o m m o nz e r oo faf i n i t ef a m i l yo fm a c c r e t i v e m a p p i n g s ，n o n a n a l 6 6 ( 2 0 0 7 ) 1 1 6 1 1 1 6 9 等文献的结果 摘要 非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，尤其是非线性算 子方程解的迭代逼近问题已成为非线性泛函分析领域近年来研究的活跃课题长 期以来，许多作者致力于研究有关非扩张算子迭代逼近不动点随着不动点问题 研究的发展，大量工作开始关注严格伪压缩映射，有很多结果得到不断地改进和 完善本文的主要工作是在前人的结果上进行了更进一步的改善主要针对严格 伪压缩映射及无限族m 一增生映射的不动点及相关的变分不等式的解做了一些工 作，改进和推广了一些近期结果在本文中，我们采用几种不同的方法分别对无 限族严格伪压缩映射及无限族m - 增生映射进行了研究，得到了若干强收敛定理 全文共分为五章第一章回顾了本文需要用到的一些性质，概念和结论；第二章 讨论了混杂算法迭代逼近变分不等式的解，在b a n a c h 空间中研究无限族严格伪 压缩算子迭代逼近变分不等式的解的问题，证明了变分不等式的解也是严格伪 压缩算子的不动点；第三章分别在h i l b e r t 空间和一致光滑b a n a c h 空间中讨论了 无限族严格伪压缩映射的迭代逼近问题，并且在假设这无限族的严格伪压缩映射 公共不动点集是非空的前提下，证明了迭代序列收敛到严格伪压缩映射某一公 共不动点；第四章在自反的b a n a c h 空间中讨论了无限族m - 增生映射问题的迭代 逼近，并将有限族m 增生映射推广到无限，证明迭代算法生成的序列收敛到无限 族僻增生映射的一个解；第五章对本文做了总结与展望 关键词：严格伪压缩映射；变分不等式；h i l b e r t 空间；b a n a c h 空n m - 增生映射 a b s t r a c t t h e 缸e dp o i n tt h e o r yo fn o n l i n e a ro p e r a t o r si sa l li m p o r t a n tp a r to fn o n - l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，e s p e c i a l l y , t h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t i n gt os o l u t i o n s o fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sh a sb e c o m et h ea c t i v et o p i ct h a tp e o p l es t u d - i e di nt h er e c e n t l yy e a r s f o rar a t h e rl o n gt i m e ，m a n ya u t h o r sc o m m i t t e dt o r e s e a r c ht h en o n e x p a n s i v em a p p i n g si t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o nf i x e dp o i n t a st h e d e v e l o p m e n to ft h ep r o b l e m ，l o t so fw o r kw o r kb e g i n st op a yc l o s ea t t e n t i o nt o t h es t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n sm a p p i n g s ，a n dm a n yr e s u l t sh a v eb e e ni m p r o v e d i nt h i sp a p e r ，w eh a v em a i n l yu s e ds e v e r a ld i f f e r e n tm e t h o d st od or e s e a r c ho n i n f i n i t ef a m i l yo fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，s t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o n sm a p p i n g s ， m - a c c r e t i v em a p p i n g s ，a n dr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e ri m p r o v e ，e x t e n da n d u n i f ym a n ya u t h o r s sr e c e n tr e s u l t s a n dw eh a v eg a i n e ds o m es t r o n g l yc o n v e r - g e n c et h e o r i e s t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v ec h a p t e r s n o ww ew i l ld e s c r i b et h e m b r i e f l yo n eb yo n e c h a p t e r1m a i n l yr e v i e ws o m en o t i o n sa n dc o n c l u s i o n sw h i c h a r eu s e di nt h i sp a p e r ；c h a p t e r2m a i n l yc o n c e r n sa b o u ta p p r o x i m a t i o np r o b - l e m so fa ni n f i n i t ef a m i l yo fh y b i r da l g o r i t h mf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi nh i l b e r t s p a c ea n db a n a c hs p a c e i nb a n a c hs p a c e ，w er e s e a r c hi n f i n i t ef a m i l ys t r i c t l y p s e u d o - c o n t r a c t i v eo p e r a t o ri t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o nt h es o l u t i o no fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，w ep r o v et h es o l u t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi st h ef i x e dp o i n to f s t r i c t l yp s e u d o - c o n t r a c t i v eo p e r a t o r ；c h a p t e r3p a y sa t t e n t i o nt os t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o 璐m a p p i n g si nh i l b e r ts p a c ea n db a n a c hs p a c e a n do nt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ei n f i n i t ef a m i l yo fs t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g sc o m m o nf i x e dp o i n t s e ti sn o n e m p t y , w ep r o o fo fi t e r a t i v es e q u e n c e sc o n v e r g et oac o m m o nf i x e dp o i n t o ft h ei n f i n i t ef a m i l yo fs t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g s ；c h a p t e r4m a i n l y d i s c u s s e sa b o u ti t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m sf o rac o u n t a b l ef a m i l yo fm - a c c r e t i v em a p p i n g s a n de x t e n dl i m i t e dm - h y p e r p l a s i am a p p i n gt oi n f i n i t e a n d p r o o fi t e r a t i v ea l g o r i t h mg e n e r a t e ds e q u e n c ec o n v e r g e st oas o l u t i o no fi n f i n i t e f a m i l ym - h y p e r p l a s i am a p p i n g s ：t h el a s tc h a p t e rw ej u s tm a k eas u m m a r i z e s a n dp r o s p e c t k e y w o r d s ：s t r i c tp s e u d 伊c o n t r a u c t i o n sm a p p i n g s ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；h i l b e r t s p a c e ；b a n a c hs p a c e ；m - a c c r e t i v em a p p i n g s 目录 前言1 第一章基本知识3 1 1h i l b e r t 空间几何性质3 1 2b a n a c h 空间几何性质3 1 3基本概念4 1 4主要引理6 第二章一个混杂算法迭代逼近变分不等式的解9 2 1引言与预备知识9 2 2混杂算法逼近变分不等式的解1 0 第三章无限族严格伪压缩映射的迭代逼近1 9 3 1引言及预备知识1 9 3 2h i l b e r t 空间中无限族严格伪压缩映射的收缩投影法2 0 3 3q - 一致光滑b a n a c h 空问中无限族严格伪压缩映射的强收敛定理2 2 第四章无限族m 增生映射迭代逼近公共零点2 9 4 1引言及预备知识2 9 4 2无限族m 一增生映射逼近公共零点3 0 第五章结论与展望3 5 参考文献3 7 发表文章目录4 3 致谢4 5 前言 - - - j 刖舌 非线性泛函分析作为一门独立的学科是一个内容丰富、应用广泛的现代数 学分支而非线性算子不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论 的重要组成部分它与近代数学的许多分支有着密切的联系特别是在建立各类 方程( 其中包括各类线性或非线性的，确定或非确定型的微分方程，积分方程 以及各类算子方程) 解的存在唯一性问题中起着重要的作用此外，对不同类型 算子的讨论，如从早期的压缩算子，一致压缩算子族，全连续算子到如今各种各 样的算子因此，非线性算子不动点理论是一门理论相当丰富且应用十分广泛 的学科 上世纪6 0 年代，l c o l l a t z 在应用于数值分析的泛函分析一书的引言中 说到：”两件事使得数值分析发生了革命性变化，那就是应用了电子计算机和应 用了泛函分析【1 0 ”可见泛函分析的作用是不可估量的也可以说非线性问题 是一个更广阔且更具挑战的领域非线性泛函分析中的非线性算子理论作为 非线性科学的基础理论之一，已经成为现代数学的一个重要分支自上世纪 初b r o u w e r 和b a n a c h 提出两个以他们姓氏命名的b r o u w e r 定理和b a n a c h 压缩映射 原理之后，半个多世纪以来，特别是最近三十年来，由于实际需要的推动和数学 工作者的努力，这门学科已经出现了多样化的局面b a n a c h 压缩映射原理是经典 的p i c a r d 迭代法的抽象表述，根据这一定理，不仅可以判定不动点的存在性和唯 一性，而且还可以构成一个迭代程序，逼近压缩映射的不动点到任意精确程度 因此b a n a c h 压缩映射原理在近代数学的许多分支，特别是在应用数学的几乎各 个分支都有广泛的应用，它的概念和压缩映射原理已经从各个方面和各个不同 的角度有了重要的发展，其中的某些结果已被成功地应用于研究b a n a c h 空间中 非线性v o l t e r r a 积t , 分方程、非线性方程一微分方程和非线性泛函微分方程解的存 在唯一性，有些还被应用到了随机算子理论和随机逼近理论有两类迭代模式经 常被用来逼近一个映射的不动点第一个是f l j m a n n l l l 】引入并且如下定义： ，x o c ，( 1 1 ) iz n + 1 = ( 1 一q n ) z n + a , t x n ， v n 0 ， 、 其中序列 q 。 在区间( 0 ，1 ) 中第二个迭代模式被定义为i s h i k a w a 8 迭代过 程f 心】定义如下 i 而件1 = ( 1 一q n ) t 拶h + q 竹z n ， n 0 ， i 鲰= ( 1 一尻) t z n + 风z 。， n 0 ， ( 1 2 ) 其中初值x o 在c 中任意取， q n ) ， 风) 是区间( o ，1 ) 中的序列但是( 1 1 ) 和( 1 2 ) 仅 仅有弱收敛许多作者试图改善以上两类迭代来得到关于非扩张映射的强收敛 定理1 1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 1 一个算子方程解的问题常可以转化为算子不动点的问题对 非线性算子不动点的迭代逼近研究，密切相关于b a n a c h 空间的几何结构与性质， 如要求b a n a c h 空间的凸性、光滑性、具有f r e c h e t 可微范数等等 1 天津工业大学硕士学位论文 变分不等式问题( p ) 是应用数学中一个十分重要的研究领域【2 4 1 ，这不仅仅 是由于v i p 在非线性最优化中具有相当广泛的应用，而且在微分方程、力学、控 制论、对策论、经济平衡理论、社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 有兴趣的读者可参阅文献【趵，泌】关于v i p ，大致可分为理论和算法两大研究方 向，理论方面的研究焦点集中于v i p 解的存在性、唯一性等而算法方面主要是 研究如何引进和借助于各种技术、概念和思想等以建立各种类型的v i p 的具体 求解方法近几年来，v i p 进一步受到广泛和高度的重视，引起许多学者，尤其是 国外学者浓厚的研究兴趣，无论是理论研究还是算法研究都取得了长足的进展 仅就算法方面来看，研究不仅十分活跃，优秀成果也很丰富【2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 1 国内 关于v i p 的研究，目前除部分学者发表了一些较有价值的研究成果外，与其它方 向相比却相对簿弱基于对变分不等式的兴趣，在本文第三章中研究了关于严格 伪压缩映射迭代逼近变分不等式的解得问题得到的结果推广并改善了前人的一 些结论 众所周知，很多工作是关于非扩张映射不动点的迭代收敛的然而从1 9 6 7 年， b r o w d e r $ i l p e t r y s h y n ；t 】开始研究严格伪压缩至今，对于严格伪压缩的迭代算 法却不如非扩张发展快，可能的原因是严格伪压缩映射的定义式( 第二章定 义2 3 6 ) 中后半部分阻碍了寻找不动点的新迭代算法收敛性，但是经过长时间的 研究发现严格伪压缩映射在解决反问题上却比非扩张更有效i 列】正问题和反问 题是相对而言的用系统论的语言来说，正问题是对应给定系统已知输入求输出 而反问题是由( 部分) 输出反求输入或系统的某些结构特征与正问题相比，反问 题的发展历史相对较短，其原因是反问题大多是不适定的问题而反问题在实际 中更有用比如反问题应用到解决图像恢复，图像重构等问题上取得了巨大成功 既然严格伪压缩映射在解决反问题上非常有利，因此努力发展关于严格伪压缩映 射的迭代方法是非常有意义的这方面的工作可见文献，上苎，上9 ，z u 】 本文研究的主要内容 本文主要讨论了一些非线性算子特别是严格伪压缩算子和增生算子的迭 代逼近问题，全文共分为五章第一章预备知识，回顾了本文要用到的一些概念 和结论；第二章讨论了一个混杂算法迭代逼近变分不等式的解；第三章分别 在h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间讨论了无限族严格伪压缩映射的迭代逼近问题；第 四章讨论了无限族m 增生映射问题的迭代逼近第五章结论与展望 2 第一章基本知识 第一章基本知识 1 1h i l b e r t 空间几何性质 设日为一个实h i l b e r t 空间，定义内积为( ，) 和范数为i l | i 性质1 1 1 忱，y h ，下面性质成立： ( 1 ) ( s c h w a r d z 不等式) i ( z ，可) i i i x l l l l 可1 1 ( 2 ) ij z + | | 2 l i z i l 2 + 2 扫，z + 可) ； ( 3 ) i l z + l | 2 | | z l l 2 + 2 ( y ，z ) 性质1 1 2 比，y h ，t 0 ，1 1 ， ( 1 ) i i z + 可1 1 2 = j | z i l 2 + 2 扛，y ) + l l y l l 2 ( 2 ) l 忙z + ( 1 一t ) y t l 2 = 圳z i l 2 + ( 1 一t ) l l y l l 2 一t ( 1 一t ) l l z y 0 2 性质1 1 3 ( 平行四边形法则) 比，y h ， i i z + 可1 1 2 + i l z y i l 2 = 2 ( 1 l x l l 2 + i | 可0 2 ) 性质1 1 4 设日是实h i l b e r t 空间，k 为日中的非空闭凸子集，z h ，则存在 唯一的；t o k ，满足忙一x o l i = d ( x ，k ) = i i l k 忙一训 1 2b a n a c h 空间几何性质 性质1 2 1 1 1 设e 为b a n a c h 空间，下面的说法等价： ( 1 ) e 为一致凸的； ( 2 ) 垤 0 ，6 ( ) 0 ； ( 3 ) 任意序列 z n ) ， ) ce ，l i m 。_ + i | z n 0 = l i r _ + i l l l = 1 ，且l i h l t l + i | z n + g h | | = 2 ，l i i 【1 n + i j a 一h i l = 0 性质1 2 2 1 1 1 下面的说法等价： ( 1 ) e 为严格凸的b a n a c h 空间； ( 2 ) v z ，y e ，l i z i i = l i y | | = 1 ，z 可都有监专业 o ；如 果c l ( d ( a ) ) r ( i + r a ) ，v r 0 ，则称a 满足值域条件 定义1 3 6 设e 是q 一一致光滑b a i l a c h 空间同，t 是e 中的映射， ( 1 ) 称t 为伪压缩的，如果存在j 。( z y ) j q ( x 一) 满足 ( t z t y ，j g ( z 一可) ) i i x 一可1 1 9 ， 对v z ，y c ( 2 ) 称t 是a 一严格伪压缩映射，如果存在常数入 0 ，对每个x ，y c 及某 个歹g 一y ) 山 一y ) ，满足 ( t x t y ，j 。( z y ) ) i l z 一可0 9 一a i i ( f t ) x 一( j t ) y h 9 ( 1 3 2 ) 显然( 1 3 2 ) 与下列不等式等价： ( ( j t ) z 一( i t ) y ，j q ( z 一) ) a | | ( j t ) x 一( j t ) y l l 9 ( 1 3 3 ) 设c 是实h i l b e r t 空间日的非空闭凸子集且t 被叫做是肛严格伪压缩映射的【3 1 ，如 果存在常数k 【0 ，1 ) ，对每个z ，y c ，满足 t x t v l l 2 0 z 一可1 1 2 + k l l ( x t ) x 一( j t ) y l l 2 。( 1 3 4 ) 称丁是加m 匆非扩张的，即 i i t x t v l l 2 ( z 一可，t x t y ) 5 天津工业大学硕士学位论文 ( 3 ) 称t 是强伪压缩的，存在入( 0 ，1 ) ，对所有的z ，! ，c 满足 ( t x t y ，如( z 一可) ) x l l = 一y i l 9 注严格伪压缩映射真包含于非扩张映射而且每个严格伪压缩映射 是l i p s c h i t z i a n 的且具有l i p s c h i t z i a n 常数l ：= 半强伪压缩映射与a - 严格伪 压缩映射是相互独立的【4 1 定义1 3 7 称函数p ( 亡) ：【0 ，o o ) j 0 ，o 。) 为b a i l a c h 空间e 的光滑模： 肿) = s u p 崆掣_ 1 i i 圳- 1 i i 可i i - 1 ) i 拘b a n a c h 空间，若存在常数c 0 ，使 得p ( t ) c t q ，其r a p ( t ) 为e 的光滑模如果e 是q 一一致光滑的，则g 2 且e 一致光 滑的，e 中的范数是一致f r 芭c h e t 可微范数 定义1 3 1 0 称函数6 ：【0 ，2 】一 0 ，1 ：为b a n a c h 空间e 的凸性模： 6 ( ) ：i n f 1 一旦兰姜量坐：i l z o 1 ，i l y o 1 ，i i z y i i e ) 容易知道，6 是一个非降的函数，即指若1 e 2 ，其中1 ，2 0 ，2 】，则6 ( s 1 ) 6 ( 2 ) 1 4 主要引理 引理1 4 1 【1 】( 次微分不等式) 设e 为b a l l l a c h 空间，比，y e ，v j ( x + y ) j ( z + 可) ，j ( x ) 了( z ) 有 i | z i l 2 + 2 ( u ，歹( z ) ) | l z + y l l 2 l i x l l 2 + 2 ( 剪，j ( x + 可) ) a 严格伪压缩映射和非扩张映射的关系可由下列引理得到 引理1 4 2 1 5 1 设c 是q 一致光滑b a n a c h 空间e 的一个非空凸子集且t ：co c 是一个人严格伪压缩映射对o l ( 0 ，1 ) ，定义死z = ( 1 一q ) z + a t x 则，当o l ( o ，川，p = m i n 1 ， 番) 寿) ，死：c _ c 是非扩张映射满足f ( 死) = f ( t ) 引理1 4 3 【6 】设 z n 和 ) 是b a n a c h 空间的有界序列， 风) 是 o ，1 】中的实数 列且满足0 1 为固定实数，则e 为一致 凸b a i l a c h 空间的充要条件为存在连续的、严格增的、凸函数g ：【o ，o 。) 一 0 ，0 0 ) ，g ( o ) = 0 ，使得 a z + ( 1 一a ) 可i | p a | l z i | p + ( 1 一a ) l l y l l p 一( a ) 9 ( 1 l z y 1 1 ) ， 其中“p ( a ) = ( 1 一a ) + 入( 1 一a ) p ，v a 【0 ，1 1 ，z ，y 且i r ( o ) = z e ：i l z i i r ) 引理1 4 5 1 7 设e 是实g 一致光滑b a i l a c h 空间，则存在一个常数q 0 ， 对比，y e ，满足 0 z + y i i 口i i z 酽+ q ( y ，j 口z ) + q i i 矽酽 特别地，如果e 是实2 一致光滑b a n a c h 空间，则存在一个最优光滑系数k 0 满足 z + 1 1 2 i i z i l 2 + 2 y ，九z ) + 2 i i k 可1 1 2 引理1 - 4 6 1 4 设c 是一个实b a n a c h 空间e 的非空闭凸子集，t ：c - c 是一 个非扩张映射满足f ( t ) 砂则存在唯一的向阳非扩张收缩q f ( 刃：c _ f ( t ) ， 对v u c ，满足 l i ms u p ( ( i q f ( t ) ) u ，j ( x n q f ( t ) u ) ) 0 - - b o o 引理1 4 7 设c 是日的非空闭凸子集给定z h 和z c 则名= 只z 当且仅 当有下列不等式成立： ( z z ，y z ) 0 ，v y c 引理1 4 8 【8 】设 8 n ) 是一个非负实数列满足 a n + l ( 1 一) + 风，佗0 ， 其中， ) c ( 0 ，1 ) 和 风) cr 使得： ( 1 ) l i m 。+ = o 和甚o = o 。， ( 2 ) 墨ol 风i 0 和z e 定义个如下映像已：e - 2 c ：对任意z e ， 1 耳( z ) = z c ：f ( 名，暑) + 主妇一名，j z j x ) 0 ，v y c ) 则有 ( 1 ) 耳是单值的； 7 天津工业大学硕士学位论文 ( 2 ) 耳是强制非扩张类型映像，即对任意z ，y e ， ( z z t r y ，巧z 一，0 ) ( 乃z t r y ，j x j 可) ； ( 3 ) f ( 耳) = f ( 乃) = e p ( f ) ； ( 4 ) e p ( f ) 是闭凸的 则当礼一o 。时，序列 o n ) 收敛于0 8 第二章一个混杂算法迭代逼近变分不等式的解 第二章一个混杂算法迭代逼近变分不等式的解 2 1 引言与预备知识 设e 是b a n a c h 空间，日是h i l b e r t 空间，c 是日的闭凸子集f 是c 上的一个非 线性算子变分不等式问题( v i p ) 就是寻找一点矿c 满足 ( f x + ，z + 一p ) 0 ，坳c 众所周知，如果f 是强单调和l i p s c l l i t z i a i l 的( 定义【1 3 4 】) ，贝i j v i p 有唯一解 在1 9 6 4 z ，变分不等式由s t 锄p a c c h i a 3 1 】首次提出，之后很多作者也致力于 求解变分不等式来得到满意的结果【3 2 ，3 7 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 1 引理2 1 1 设f ：coc 的一个压缩，系数为口 1 ，则 ( z y ，( i i ) x 一( j f ) y ) ( 1 一q ) l l x 一可| 1 2 则，一，是强单调的且具有单调系数1 一口 由上引理可得下列变分不等式 ( ( ，一，) z ，z 。一p ) 0 ，坳d 有唯一解至1 1 2 0 0 4 年，x u 【3 8 】在b a n a c h 空间中证明了下面引理： e j i 理2 1 2 1 3 8 设e 是一个一致光滑b a n a c h 空间，c 是e 的闭凸子集，t ：c _ c 是非扩张映射满足f ( t ) 妒且设，兀c 是一个有压缩系数为q 的压缩映射则 序列 】- ： 玩= t f ( x t ) + ( 1 一t ) t x t 强收敛到t 的一个不动点v f 丌c ，定义映射q ：兀c 叶f ( t ) 且有q ( ，) ：= l i m t + o 貌则q ( ，) 是下列变分不等式的解： ( ( ，一，) q ( ，) ，( q ( ，) 一p ) ) 0 ，v ，i i ，p d ( 木) c 本章节重点考虑变分不等式( 木) 再看如下算法： y a oe ta 1 【2 1 】改进m a n n 迭代【1 1 1 定义如下： 1 2 ( 1 一) t + 他n ) ，n 0 ， ( 2 1 1 ) i = ( 1 一风) t x n + 尻z n ， n 0 、 其中t 是非扩张映射，是c 上的压缩 在本章中，受以上结论的启发，我们利用一映射( 定义1 3 3 ) ，定义新的迭代 算法，并证明了强收敛逼近变分不等式的解 天津工业大学硕士学位论文 为了证明本章结果，我们还需要以下引理： 引理2 1 3 1 2 2 设c 是严格凸b a n a c h 空间e 的闭凸子集设乃，乃，是c 中 的非扩张自映射满足n 墨1 f ( 霸) 非空，且m ，能，是实数满足对所有的n 1 ， 有0 b 1 则对v x c 及k n ，极限l i r a n _ + 巩，k x 存在 利用引理2 1 3 ，我们可以定义c 中的自映射，见定义1 3 3 ，满足下列关系： w x = l i m 眠z = l i m 巩，i x ( 2 1 2 ) n - - - + o on 寸 引理2 1 4 1 2 3 1 设c 是严格凸b a n a c h 空间e 的闭凸子集设乃，死，是c 的非 空白映射满足n 甚1f ( 死) 是非空的而且，y 1 ，伪，是实数满足o o 是常数，且对v t ( 0 ，1 ) 及佗 1 ，满足m i k z n 限令( 2 2 4 ) 式 中t _ 0 ，有 l i ms u pl i ms u p ( x t f i x t ) ，j ( x t x 。) ) 0 ( 2 2 5 ) 另一方面 ( f ( x ) 一z ，j ( x n z ) ) = ( f i x ) 一z ，j ( 一z ) ) 一( f ( x ) 一z ，j ( x