（应用数学专业论文）以minkowski减法研究凸体包含测度的新方法.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 本论文以凸体和星体为研究对象，主要涉及如下几个方面的内容： 1 定长线段在斜柱体内的运动测度与超平行体基本区域的格型b u f f o n - r e n 问题 本部分内容隶属积分几何学，所做的工作是利用积分几何的基本理论求解了线段在斜 柱体和超平行体内包含测度积分公式，并将所得结果应用到了超平行体基本区域的格型 b u f f o n - r e n 问题。 2 以m i n k o w s k i 减法研究紧凸集在凸体内包含测度的新方法 本部分内容隶属积分几何学中包含测度问题的理论研究。所做工作主要如下： ( 1 ) 在欧氏空间积分几何学和凸几何的基础理论上，提出了以m i n k o w s k i 减法研究紧凸集 在凸体内包含测度的新方法并阐释了该方法的基本原理； ( 2 ) 作为例证，借助于该方法给出了一些包含测度及平移包含测度公式，并解决了平移包 含测度极值问题； ( 3 ) 将该方法应用于线段在凸体内包含测度的研究，获得了几个新的一般积分公式，并利 用所得结果解决了高维空间中线段在椭球体内包含测度一般积分公式的求解问题； ( 4 ) 利用凸几何学工具对所提出的方法进行了较为深入的讨论，并获得了紧凸集在凸体内 平移包含测度的体积表达公式； ( 5 ) 作为应用，获得了同维单形在凸体内平移包含测度的一个整体性质，该性质是线段在 凸体内包含测度与该凸体弦幂积分关系的推广。 3 星体几何不等式的多元型抽象形式 本部分内容隶属对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论，所做的工作是在作者提出的星体的径向 乘法、径向幂运算和多元型对偶混合体积等概念的基础上，利用积分的方法获得了星体对 偶m i n k o w s k i 不等式的多元型版本以及星体相关几何不等式的抽象形式，并讨论了星体组 的径向平均体的几何性质及其应用。 关键词：积分几何，包含测度，凸体，b u f f o n - r e n 问题，对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o n v e xb o d i e sa n ds t a rb o d i e sa r et h em a i nr e s e a r c ho b j e c t si nt h ep a p e r 1 1 l cp a p e ri s c o n c e r n e dw i t ht h r e ea s p e c t s ：t h ei n t e g r a lf o r m u l af o rt h ec o n t a i n m e n tm e a s u r eo f al i n es e g m e n t i n s i d eas k e wc y l i n d e ra n di t sa p p l i c a t i o nt ot h eb u f f o n - r e np r o b l e m ；an e wm e t h o dt os t u d yt h e c o n t a i n m e n tm e a s u r eo fac o m p a c tc o n v e xs e ti nac o n v e xb o d yi nl i g h to fm i n k o w s l d s u b t r a c t i o n s ；t h em u l t i v a r i a n ta b s t r a c t i o n so f s o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e so f s t a rb o d i e s 1 n 圮i n t e g r a lf o r m u l af o rt h ec o n t a i n m e n tm e a s u r eo fal i n es e g m e n ti n s i d eas k e w c y l i n d e ra n di t sa p p l i c a t i o nt ot h eb u f f o n - r e np r o b l e m t 1 l i sp a r tb e l o n g st oi n t e g r a lg e o m e t r y i nl i g h to fb a s i ct h e o r yo fe u c l i d e a ni n t e g r a l g e o m e t r y , t h ea u t h o ro b t a i b st h ei n t e g r a lf o r m u l af o rt h ec o n t a i n m e n tm e a s u r eo fal i n es e g m e n t i n s i d eas k e wc y l i n d e ra n da p p l i e st h i sr e s u l tt os o l v et h eb u f f o n - r c np r o b l e mw i t h p a r a l l e l o t o p o sa sb a s i cr e g i o n 2 an e wm e t h o dt os t u d yt h ec o n t a i n m e n tm e a s u r eo f ac o m p a c tc o n v e xs e ti n s i d eac o n v e x b o d yi nl i g h to f m i n k o w s k is u b t r a c t i o n s t l l i sp a r tb e l o n g st 0t h e o r e t i c a ls t u d yo ft h ec o n t a i n m e n tm e a s u r ei ni n t e g r a lg e o m e t r ya n d i n c l u d e st h ef o l l o w i n gr e s u l t s ( 1 ) b a s e do nt h eb a s i ct h e o r i e so fi n t e g r a lg e o m e t r ya n dc o n v e xg e o m e t r y , t h i sm e t h o di s i n t r o d u c e da n dt h ef u n d a m e n t a l sa r eg i v e n ( 2 ) a se x a m p l e s ，t h i sm e t h o dy i e l d ss o m ek i n e m a t i cf o r m u l a so fc o n t a i n m e n tm e a s u r e ，a n dt h e e x t r e m ep r o b l e mf o rt h et m n s l m i o nc o n t a i n m e n tm e a s u r ei ss o l v e d ( 3 ) a p p l i e dt os t u d yt h ec o n t a i n m e n tm e a s u l o fal i n es e g m e n ti n s i d eac o n v e xb o d y ，t h i s m e t h o dy i e l d ss o m en e wi n t e g r a lf o r m u l a s ，a n dt h ei n t e g r a lf o r m u l af o rc o n t a i n m e n tm e a s u r e o f al i n es e g m e n ti n s i d eae l l i p s o i di nh i g h e re u c l i d e a ns p a c ea r eo b t a i n e d ( 4 ) i nl i g h to fc o n v e xg e o m e t r y , t h ed e t a i l sf o rt h i sm e t h o di ss t u d i e d ，a n ds o m ef o r m u l a sf o r c o n t a i n m e n tm e a s u r eo f c o m p a c tc o n v e xs e t si n s i d ec o n v e xb o d i e sa 把o b t a i n e d ( 5 ) a sa na p p l i c a t i o n , ag l o b a lp r o p e r t ya b o u tt h et m n s l m i o nc o n t a i n m e n tm e a s u r eo fs i m p l e x e s w i t hs a m ed i m e n s i o ni n s i d eac o n v e xb o d yi ss h o w n t h i sg l o b a lp r o p e r t yi st h e g e n e r a l i z a t i o no f t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n t a i n m e n tm e a s n r eo f l i n e si nac o n v e xb o d y a n dt h ec h o r dp o w e ri n t e g r a lo f ac o n v e xb o d y 3 1 1 wm u l t i v a r i a n t 曲s t r a c t i o n so f s o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e so f s t a rb o d i e s t l l i sp a r tb e l o n g st ot h ed u a lb r u n n m i n k o w s k it h e o r y f i r s t , t h ef o l l o w i n gn o t i o n sa r e i n t r o d u c e d ：r a d i a lm u l t i p l i c a t i v eo p e r a t i o n so f s t a rb o d i e s ；r a d i a lp o w e ro p e r a t i o n so f s t a rb o d i e s ； m u l t i v a r i a n td u a lm i x e dv o l u m e so fs t a rb o d i e s s e c o n d ，b a s e do ns u c hn o t i o n s ，t h em u l t i v a r i a n t v e r s i o pf o r mo fd u a lm i n k o w s k ii n e q u a l i t ya n da b s t r a c t i o nv e r s i o n so fs o m eg e o m e t r i c i n e q u a l i t i e so fs t a rb o d i e sa r eo b t a i n e d f i n a l l y ，t h er a d i a la v e r a g eb o d yo f s t a rb o d i e si ss t u d i e d a n ds o m ea p p l i c a t i o n sa r es h o w n k e yw o r d ：i n t e g r a lg e o m e t r y c o n t a i n m e n tm e a s u r e ，c o n v e xb o d i e s ，b u f f o n r e np r o b l e m ，d u a l b r u n n m i n k o w s k it h e o r y 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 综述 积分几何学( i n t a g r a lg e o m e t r y ) 1 ，2 ，6 ，12 ，1 3 ，3 5 1 是通过各种积分考察几何图形的一门学科， 本质上属于整体微分几何理论范畴【1 7 】。它起源于b u f f o n 投针和b e r t r a n d 悖论等几何概率问 题，其发展也始终与几何概率问趔5 ，6 ，刀密切相关。几何概率的研究是以有关的图形集合的 测度为基础，这也是导致积分几何学建立的主要原因。最早的几何概率问题当属b u f f o n 投 针问题 2 6 - 2 5 ：设( 欧氏) 平面上有一组间距为d 的平行线，若一根长为， , r ) 为凸体k 的限弦投影函数。 2 2 , 4 斜投影 一 在本文，为方便得到结果，作者引入了集合的斜投影这一概念。此概念为垂直投影的 一般性推广。给定e ”中的任意一紧集d 。设和厶一，分别为e ”中的r 维平面和加一r ) 维子 空问，并满足= + 上。，。定义d 沿在厶一，上的斜投影为下述集合 p r o k ( d ；0 ) = 乙，n u ( l , 一p + 力， 其中点p 为中的任意一点。若诸向量岛，e r 满足s p a n o ；e i ，e r ) = - p ，则也称 p m 。( d ；) 为d 沿方向组q ，在厶一，上的斜投影，并也记之为p m k ( d ；q ，q ) 。特别 的，若平面垂直于厶一，p r o ( d ；上，) 即表集合d 在厶一，上的垂直投影d l 一，。 2 3 主要结果 2 3 1 定长线段在斜柱体内的运动测度公式 设见为e 4 中一斜柱体，其高为日。单位向量p ：平行于见的母线。，： d ；岛，) 为e ” 的标准正交固定标架，且巳垂直于见的超底面。记s ”2 = s n s p a n o ；e , ，e n 。再令m ( 1 ) 表定长为，的线段在见内的运动测度。作者得到如下结果 定理2 1 如前述记号及条件，令 h - c o s 2 c , 0 4 爵一器“ l ，2 地j 娟i n 巩一( c o s 巩一卷， - 嘶。) = e 芝盎川a ( n - 2 ) ( 叫( ) 打， j i l ，s ”- 0 妒s 万，必l j 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 m ( 0 = 丐1 0 q z f ( 日一，c 。s 伊) + s i n n - 2 妒l ，m ( ：) 帆一：却 2 3 2 定长线段在超平行体内的运动测度公式 定理2 2 设e ”中超平行体只被定义为 只= p + u ( k i c t l + + k 口) ， k l r e - o , a g j 其中诸口， 0 ，q ，es n - i性无关，p f 。 d ；q ， 为e ”的标准正交固定标架。 令r e ( 1 ) 表定长为，的线段n 在只内的运动测度则 m ( ，) = 0 0 0 , 艮：l 州彳) if ，血口广j ( 一。“) p 坳 其中彳为在标架 d ；q ， 下( 嘶，) 的矩阵表示式。 2 3 j 运动测度公式在b u f f o n - r e u 问题中的应用 超平行体只之已知条件由2 2 2 节给出。假设超平行体只是e ”中一区域格的基本区 域。向e ”随机地投掷定长为，的线段贝q 与区域格边界相交的概率是多少? 先考虑为有向线段的情况此时取n 单位方向l 。，取线段n 的中点为p 则n 的 一切位置( p ，。) 对应于区域只s ”1 ，其中只与s ”1 各自的测度分别为疗维l e b e s g u e 测度 乃和( n - 1 ) 维球面l e b e s g u e 测度，钿，对应的微元分别记作咖和幽。现定义示性函 数z ( p ，。) 为 触廿雌：器 则依测度论相关理论1 9 j ，可知n 与区域格边界相交的概率矿为 舴k 孥坚：竺! 塑! ：k 轻竽立丝：! 岛。d ( p 一)丘咖k ，d u - l 注意到上式中z ( k c i m 只) 矗p 即表示保持方向一时k 在只内的平移测度用7 ( 一一) 。从 而可知 p 0 0 = 1 一l 莉f oz 呖( p i u - i 萨) d p d 厂u - i ：l 一 l q ) 以一i d 。j 其中矗( 只) 即只的体积。 再由定理2 2 ，即得 ：! ! 坠! 丝：- 一 型堕 ( 见) q 一。d 0 q 一矗( 见) p 斗而1l 。冉k f ( 坩e ，虬 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 p 和) - 1 一忑_ 了f l 。兀【q t ( a 1 ) e j a u 1 1 喁吒q l 妒讨 1 令q ，q 。j ，先考虑考虑p ”之极限形式p 则有 ( i ) ，s i n o 时 ) - l 一等 f s 访“仍嘲一( n - 1 ) 芋s i n o = f 砭2 0 磊_ 2 1 丽； ( i i ) ， a ns i n o 时 p 1 ) - 1 一鼍r 虬 小鲁 峰仍嘲+ l 。华咖- 2 q ，嘲一 一而2 卿tn 1 - ( 一半) 孚】 小等 丘华舻2 嘲一而丽l 【l - ”篮产) 孚】) 直接计算出定积分己缱哇s i n ”2 纯d 仍即得到p ( u 为： _ 一等 华薹黯瑞”半声+ 糍蒯n a s i n o 一丽1 一半) 字 ； 0 2 ) ! ! ， 印一1 ) s i n 包ll ，2 ji i 。 当嚣为奇数时， 一一等o华薹黯瑞”半产+n 4 一li ， 磊伽一2 2 七) ! ! 、 ，2 。 糍螋一而l l 面h 一半 了m ( 疗一2 ) ! ! ( 胛一1 ) s i n 晓ii ，2 j| | 事实上，p “回答了如下b u f f o n 探针问题的推广形式： ”维欧氏窄i i i je ”被问距为讲存 ：述假设中h | j a 。s i n p ，) 的超、t - i 而所覆篇，向e ”随机地投 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 掷长度为z 的小针。问，与超平面相交的概率是多少? 2 4 主要结果的证明 2 4 i 定理2 i 的证明 设置是f 中一紧凸集，p 是一凸体，： 口；巳，) 是f 的固定标准正交架。再令和 月分别表在标架月如4 ，下算得的平移测度，其中4 表任意非奇异的线性变换。则我们可锝 到如下结果 引理2 1 如前假设，则( g 瓦：g kc - p ) 爿d e t ( a ) i ( g 瓦：g k cp ) ) 。 证明令“，矗) 和( 乃，只y 分别表f 中同一点在标架厢彳，下的坐标。在标架厂f ，存 在一矩阵4 ，致彳，巳= 彳巳对每一食成立因此 “，毛y = a i ( y z9o 0 9 以) 进而可得 凼 西0 = d 呱4 ) a y , 西 再由刚体运动密度的非负性，知 a t = 幽 西爿d c t ( a , ) i a y , 西_ 故可得 m l ( g l ：g k t i n tp ) ) =l识 i g 嘎：西c i n t v ) = i嘲 呶 i ( ，：f + ( ； ，c 柚一 爿d e t ( a ) i la y , 饥 ( m ，m y ：k + a ( y l ，讲r c 妇， 爿d e t ( a ) l m n ( g 正：g kc - i n tp ) ) ， 即啊( g 瓦：g k c i n t p ) 刊d e t ( 爿) i ( g 瓦：球c i n t t , ) 。引理得证。 上述引理给出了刚体运动在固定标准正交架和另一个同始点的仿射标架下所算得的 测度( 值) 之间的关系。事实上。上述引理中的仿射标架的始点也可与固定标准正交架的始 点不同，但结论仍成立。并且，引理条件中秭印的凸性假设也是可以去掉的。此处不再给 出证明。 下面令朦中一凸体，表随机( 非退化的有限) 有向线段，其( 单位) 方向记为一 在f 的标准j 下交架下，以册表 ，在足内的刚体运动测度，再以肌( 一。) 表保持自身方向在k 内的平移运动测度。下述引理表明了m 和m ( u 。) 的关系。 引理2 2 如前段假设，有 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 m = d l q 一2im ( u n 1 ) d 巩一i 一 证明将有向线段爝于一直线三上。令”= s o n l l 齐性空间s 馥，q 。j 的不变体积元 表f 中l 维予空间在s q 作用下的不变体积元，即l 维直线包含固定点的运动密度码i 。l 从 而，我们有 挪= ，| ( g q ：g n c x ) = r e ( s o i l 】s 0 1 ) m ( g ( s q ，q l 】) 瓦：g n c 幻) = m ( s o , , t u ) m ( s o o m ( g ( s o q l 】) 瓦：g n c k ) ) = q q 一2 m ( g ( s o q l 】) z ：g n c 研) = d l q 一：i瘩 | g , 旺s o o m i i 孓；擘c f j = o , q i 口l i 埘 g e g x ：g ，c 厨地 鼢确 注意到肌( 括 g ) 瓦：g n c k ) 即表有向线段保持自身的( 单位) 方向不变时在凸体k 内 的平移测度，而班1 【o 】表单位球面s ”1 上点的球面面积元( 即0 1 ) 维单位球面l e b e s g u e 测度 元) 。则 jm ( g ， g x ：g n c k ) d g = j 研( 1 ) 机- 1 s o i h i i i s 所以m 7 = 0 0 0 l q 一：i 研( 一) 幽。一。引理得证。 为证明所得结果，以下引理也将被用到。该引理源自任德麟教授的专著积分几何学 引论。 弓l 理2 3 如前假设掰 。) = ：z 扣“( 0 , t 2 n 一，) d c r - 定理2 1 的证明 首先设 r 为 ，被赋予方向u n 一，s ”1 的有向线段，并以m 7 表7 在圾内的包含测度。 明显的， 朋( ，) = = im 。 求解m ( z ) 则转化为求解r n 。再由引理2 2 ，求解m 7 的关键在于求解m ( u 。) 。 记见一。为斜柱体的一个超底面。为了便于计算且不失一般性，不妨假设见一，位于超平 面l 一，= s p a n o ；e ，e n 一) 上。标架，： d ；q ，e n ， 是一个仿射标架，其中诸向量在标架， 下确定了一个疑阵爿。若以列向箍形式( x # y 和( x 牡。x ；? y 分别表统一点( 或向最) 分别订：杯架所1 1 1 1f 的忙杯。则 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 一= ( 。荔斟 其中。h i 删表一1 ) 伽一1 ) 单位阵，鄙”1 ( ) = ( 1 碱) ，矽1 1 ( ) ) ，o 表l x ( n 一1 ) 零矩 阵，进而 i d e t ( 彳) l 爿z 帕( ) l 爿巳i 。 取在标架厂f 的点坐标为极坐标形式 五2r s m 仍s m 纸2s m 吼i 而2 r s i n 仍s i n - 2 c o s 纯一i 矗12 r s i n 魏c o s 仍 毛2 ，c o s 魏 o r 0 ，则m i n k o w s k i 满足如下法则 ( 爿u 曰) + c = ( 彳+ c ) u ( 占+ c ) ； ( 爿n b ) + c c ( 爿+ c ) n ( 曰+ c ) ； 鲥+ s b = s ( a + 曰) ； s 爿+ 4 = ) ( j + ，) 一 3 2 2 凸集、凸集的m i n k o w s k i 加法及其相关性质 中一个集合k 被称为，1 l 集，当目仪“1 仃意x ，y k ，则对任意j ( o ，1 ) 恒有 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 s x + ( 1 - s ) y k 。设a 为中的集合，则a 的凸包e o n v a 被定义为 c o n v d = s x + ( 1 一j 沙：x ，y a ，j 【0 ，l 】) 。 一个内部非空的紧凸集被称为凸体。一个非空的紧凸集置的支撑函数被定义为 k ( x ) = m a x x y ：) ，k ，x f ， 其中工y 表x 与j ，的欧氏内积。每一个非空紧凸集皆由其支撑函数唯一确定。每一个非空 紧凸集的支撑函数皆为f 中的正齐次的次可加函数：反过来，中每一个正齐次的次可 加函数必是唯一个非空紧凸集的支撑函数。非空紧凸集的支撑函数一般被限制于- 1 上 f 中的所有非空紧凸集构成的集族，所有凸体所成子集族分别记为v ( n ) 和。代 数系统( 双哟，+ ) 和( t ? ，+ ) 都是半加法群，并且以功关于m i n k o w s k i 标量集合乘法运算满 足封闭性，t ，关于非零的m i n k o w s k i 标量集合乘法运算满足封闭性。 设j ，o ，对任意k 从疗) 恒有斌+ = o + f 逑。设上i ，厶e 肜( 帕，若存在厶2 以疗) 使得三i + 三l j = 厶，则称三l 为厶的被加集；进一步地，由( 以窃+ ) 的半可加性可知：此时z i 2 必唯一。 任意k 。工v ( n ) ，则m i n k o w s k i 加法集k + l 也可等价地被定义为 + 。= + 吃 设墨，墨，e ( 疗) 及焉，屯，s r a o ，则集合墨k + 屯坞+ + 玉0 被称为m i n k o w s k i 线性组合，它等价地被定义为 崎屯。+ = 勺。 ，i 设置( 玎) ，则x 以甜s ”为外法向量的支撑超平面 k ，被定义为 上k ，= 茸e ”：工”= ( “) ) 称集合h ； ) = i e f ：工4 茎k ( “) ) 为k 以“s ”1 为外法向量的支撑负半空间。则非空紧 凸集k 可由其支撑负半空间进行几何构造型定义，即 k = n 峨o ) 。 “矿i 借助于支撑负半空间，我们也可对非空紧凸集的m i n k o w s k i 线性组合进行几何构造型定义。 如前假设及记号， 黾墨+ s 2 如+ + x 。= n 【h ；( 甜) + 屯k ( “) + + l ( ) “】。 蚝r 4 3 2 3m i n k o w s k i 减法、凸集m i n k o w s k i 减法及其相关性质 。 为了更好地研究m i n k o w s k i 加法的性质，h a d w i g e r 引入了集合之自j 的m i n k o w s k i 减法 运算。设a 和b 为中任意两个集合，则a 和b 的m i n k o w s k i 加法运算a b 被定义为 a b = d ：订+ b c 爿 = n ( 爿一 ) ， 武汉科技大学硕士学位论文第1 9 页 并称集合4 b 为a 关于口的m i n k o w s l 【i 减法集。 设彳、曰和c 为中的任意集合，m i n k o w s k i 加法及减法满足如下关系 ( 彳+ 动b 3 彳； ( 彳曰) + a c a ，( 曰o ) ； ( 爿曰) + c c ( 彳+ c ) 曰； ( 爿一曰) c = a ( 曰+ c ) ； a + b c c c a c c b m i n k o w s “减法当限制在凸集时有着良好的性质。设k 和如为中任意两个有限凸 集，则有下述性质成立： ( 1 ) 若墨墨存在则必为凸集： ( 2 ) ( k + 玛) 一k = 局； ( 3 ) ( 赶一局) + 墨t - 局，且( 局一k ) + k = 毛成立当且仅当墨是局的被加集；进一步 地，若存在凸集墨：使得墨+ 墨j = k 2 ，则必有墨：= k ：墨。 非空紧凸集之间的m i n k o w s k i 可借助于支撑负半空间进行几何构造性定义。设 鬈，工f ( ) ，则k 可被等价地定义为 k - l = n 【峨( ) 一h l ( u ) u l 。 - e s 卜， 值得注意的是，任意k ，l f ( ) 的m i n k o w s i ( i 减法集k 上的支撑函数并不一定满足 关系“k 。= k 一”。这是因为k 一并不一定是支撑函数。但一定成立的结论是：设 x ，三( 撑) ，若趸存在则一定是非空凸集，并且有 。k 一吃 为了以支撑函数定义非空紧凸集之间的m i n k o w s k i 减法集，我们将采用偏序的定义方 式。以记号戊尸( 刀) 表示定义域限制在s ”1 上的所有非空紧凸集的支撑函数所成集合。设 ，吃妒( 功，则 ，吃满足偏序 当且仅当啊( 甜) s h r u ) 对任意s ”皆成立。如前 段假设及记号，若集合伽妒( 竹) i h 吆一吃) 非空，该集合关于偏序“ l ，则集合( s - 1 ) k , 仍为凸体，进而 墨+ ( s 一1 ) k = 【l + ( s 1 ) 】k = s k , = 局 这说明凸体k 是k 2 的被加体，所以局+ ( 局墨) = 局并且岛置= ( s - o k , 。至此即证 得墨与局一k 互为膨胀。 再证如与局一k 互为膨胀时k 与k 互为膨胀。由关系局k + 置c - 局及 b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，知 y ( 毛k ) 【y ( 坞墨+ 墨) 咖一矿( 墨) 枷】i ， s 【矿( 毛) 枷一h 五) 枷r y ( 墨) ，则k 与位似当且仅当局一k 与墨位似。 证明当凸体墨与局位似，等价于存在点a ，p 2 e “致凸体局一仍与k 一马互为膨胀a 由 性质3 1 即知凸体局一p 2 与k 一见互为膨胀等价于凸体玛一扔与( 局一岛) ( 墨一a ) 互为 膨胀。由m i n k o w s k i 减法之定义，知 ( 五一易) ( 墨一a ) = n 【( 一岛) 一x 】 艇丘一n = n ( 一办- x ) 艇一a = n ( & 一a y + p o 芦 = a 一段+ n ( 置2 一y ) ，e 此即说明( 一仍) ( k a ) 与岛k 仅相差一个平移。进而心一p ：与k 。一a 互为膨胀又 等价于凸体k 2 一n 与局k 位似，亦即凸体k 与如k 位似。命题得证。 引理3 i 设置和为为中两个含原点0 为内点的星体，则对任意绕原点的旋转作用g ， 星体g k ，皆与k ：瓦为膨胀当日仅当k 和k ：皆为以0 为中心的球体。 武汉科技大学硕士学位论文第2 l 页 证明当k 和局皆为以d 为中心的球体时，对任意绕原点的旋转作用g ，星体g 墨皆与k 重 合，所以星体蜗仍与局互为膨胀。 注意到绕原点的旋转群心( d ) 同构于矿中的正交矩阵群o ( n ) 。任意g r ( o ) ，星体g 墨 仍与墨互为膨胀等价于任意d ( 甩) ，成立 鲰， ) 氏( 甜) ；【五( 局) 乃( k ) 】枷，v u s ”1 ： 亦等价于 p t ( h ) 风( ) ；【丸( 岛) ( 墨) p ，v u s “。 从而当“s ”1 固定，风，( 妒。u ) - - 反，( ) 等价于以：( 材) = p 也( “) 对任意s ”1 成立。故而星 体k 为以原点为中心的球体。而k 和马互为膨胀，所以星体k 也是以原点为中心的球体。 至此命题得证。 性质3 3 设墨和墨为矿中两个凸体，则对任意刚体运动作用g ，g 墨皆与位似当且仅 当墨和局皆为球体。 证明设a 和p 2 分别为k 和k 2 的形心点。k i 与局位似等价于k a 与墨一仍互为膨胀。 当任意刚体运动g 作用于墨时，若g k 仍与哎位似，则等价于豳一蹈与一a 互为膨 胀，进而墨一a 与g k 一蹈互为膨胀。注意到矿( k 一见) = 矿( 墨) = r ( g k , 一g p l ) ，则墨一a 与g 墨一g p ，重合。此时k a 与g k 一踢仅相差一个绕原点的旋转作用。再者，k a 与 g 墨一g p l 的形心皆为原点且皆关于原点为星体，由上一引理的证明即知k 一只必为以原点 为中心的球体，进一步可知k 和k 2 皆为球体。 反过来，当k 和心皆为球体易知对任意刚体运动作用g ，g 墨仍与k 位似。命题得证。 性质3 4 设k 和局为中两个凸体，且满足y ( 心) 矿( 墨) ，则对任意刚体运动作用g ， 岛g k 皆与位似当且仅当墨和k 2 皆为球体。 证明由性质3 2 可知：任意刚体运动作用g 局g k 皆与位似当且仅当k 与g k 位似 再由性质3 3 可知：任意刚体运动作用g ，墨与g q 位似等价于k 和皆为球体。故而对 任意刚体运动作用g ，局g k , 皆与位似等价于墨和局皆为球体。 3 3 一集合可被另一集合平移包含与m i n k o w s k i 减法集的关系 3 3 1 包含测度的定义 设q 和d 2 分别为e ”中的有界n 维l e b e s g u e 可测集，i ! td i m ( d 2 ) = 胛，则d l 在b 内的 刚体运动测度被称为q 在b 内的包含测度。下以记号m ( d l c 毋) 表q 在b 内的包含测 皮。包含测艘( d ic d ，) 具有如卜晰羊j 分等价定义式： 第2 2 页武汉科技大学硕士学位论文 r e ( d , cd 2 ) = j ， 堙 l 暑日：擘口l c 岛 2j 1 6 ( g ) d g = 1 ( ，) 喝( r 煳，( ，) 丘 = li 吸( ，w s q ( ，) 血t e l t r ：t ( 。r t 、) c 岛l 其中右、识( f ) , s o ( t ) 分别表刚体运动群、平移运动群和旋转运动群的不变体积元， 示性函数1 0 i ( g ) 和l ( ，f ) 分别为 - 私，= ：，揣警吣： 和 廿力= ：；，怒嚣蛳晖 在下文记( ，( d i ) cd 2 ) = j d t ( t ) ，劳称之为，d i 在d 2 内的平移测度，或，( d i ) ，l ，：，( 吗) c b 在d 内的平移包含测度。 3 3 2 平移包含测度的m i n k o w s k i 减法集的体积表达公式 本章由作者提出的利用m i n k o w s k i 减法集研究包含测度的方法是建立在如下基本的定 理之上的。 定理3 1 设d l 和d e 皆为f 中的l a b e s g u e 可测集，d i m ( d 2 ) = 玎，则 ( 3 1 1 ) d l 不能经平移含于皿内等价于d 2 d l 是空集； ( 3 1 2 ) m r ( d icd 2 ) = 矿( d 2 d i ) 。 证明当d i 可经平移含于d 2 内时，为了计算d l 在d 2 内的平移运动测度，只需要将活动标 架的始点固定于d l 的某点p 处。进而d 1 的平移运动密度与点p 的平移运动密度一致，即 d d , = 劫= 识。进而， ( d l cd 2 ) =j a t q ) = j 印 1 i e ，；啦c 乌l ( ，艟： 岛c 岛 由上述积分式可以看出m t ；( d i cd 2 ) 等于集合扛e ”：x + 日cd 2 ) 的体积。再由m i n k o w s k i 减法的定义，即知缸e ”：x + d lcd 2 = d 2 日。因此 m r ( d 1cd 2 ) = y ( d 2 d 1 ) 若d f 不能经平移含于d 2 内，则等价于 ，瓦：f ( d ) t - d 2 是空集；出上述证明知：它 又等价于集合 x e “：x + 日cd 2 也是空集。所以当日不能经甲移龠于d 2 内时 武汉科技大学硕士学位论文 第2 3 页 ( d 1 cd 2 ) = 矿( b d 1 ) = o 。至此命题得证。 给定两个l e b e s g u e 可测集d l 和d 2 ，b d i m ( d 2 ) = 雄。该假设条件蕴含了d 1 和d 2 的位 置都是固定的。当平移群的每一个元素作用于d 1 ，即d l 变为另一个与其仅相差的平移 的全等集。事实上，由平移的坐标定义，对每一个t ，则存在唯一个点p ( r ) ee “使得 t ( d 1 ) = d l + p ( f ) ； 进一步地，瓦的子集 f 瓦：r ( d 1 ) cd 2 ) 与e ”的子集协e e “：z + 日cd 2 ) 是一一对应的。由 e c a r t a n 活动标架法可以知道：求解 t 瓦：f ( d 1 ) c b 的测度亦即求解的子集 红f ：j + d l c 嘎l = d 2 一日的玎维l e b e s g u e 测度。这是对上述定理的进一步阐释，也是 本文提出以m i n k o w s k i 减法研究包含测度特别是平移包含测度的基本出发点。 应用定理1 到包含测度的一般积分公式中，即可镊到如下包含测度的一般积分公式。 定理3 2 设k 。和局皆为中的l e b e s g u e 可测集，则 r e ( x , o k 0 = f 矿( 局，( k ) ) 鹕( ，) 。 墨 下面的定理表明了仿射变换对平移包含测度的影响性。 定理3 3 设d l 和d 2 皆为f 中的l e b e s g u e 可测集，d i m ( d ：) = 1 7 ，则对任意一个仿射变换 恒有 m ( f ：t ( a , d 1 ) c m d 2 ) ) 爿d e t 西i m c te ：f ( d 1 ) c b ) ) 。 为证明该定理，以下两引理将被用到。 性质3 5 设局和为e “中一个有界集且局墨存在，则对任意仿射变换m 恒有 o ( k 2 k ) = k 2 o 蜀。 证明由m i n k o w s k i 减法体定义，知托一k = 缸e “：工+ k c 墨 。进而 中( 局墨) = o x e ”：j + k i 亡k 2 = o x ：x e ”，x + kc k 2 ) = j ，：y e “，m “j ，+ 墨c 坞) = 秒：y e “，o ( o _ 1 y + k i ) c o k 2 ) ) = y ：y e “，y + o k lc o k 2 ) ) = o k 2 ， 即知o ( k 2 k ) = o k 2 o k , 。引理得证。 引理3 2 设k 为f 中一个有限町测集，则对任意仿射变换中恒有 v ( o k ) = l d e t 中l 矿( k ) 。 第2 4 页武汉科技大学硕士学位论文 定理3 3 的证明 分情况证之。当d l 可经平移含于d 2 时，m i n k o w s k i 减法体b d l 存在。注意到 肌( ，瓦：f ( 蚴) c 鸭) ) = v ( o d 2 蚋) ， 和 m ( f 瓦：，( d 1 ) 亡d 2 ) ) = y ( d 2 d 1 ) ， 由性质3 5 和引理3 2 ，有 册( ，瓦：f ( 唱) c 鸭 ) = v ( c d d 2 o d 0 = 矿( o ( d 2 d i ) ) 爿d e t o i y ( d 2 d i ) 爿d e t m i 所( f e 乃：r ( 日) cd 2 ) ) ， 即得m ( i t 瓦：t ( o d t ) c ( 1 ) d 2 ) 4 d e t ( 1 ) i 所( ，e 瓦：，( d i ) cd 2 ) 当d l 不能经平移含于d 2 时同时等价于蚴不能经任何平移含于l 内，此说明平移 运动测度( d i cd 2 ) 和”