（应用数学专业论文）偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用.pdf

摘要 伴随计算机技术的迅猛发展，数字图像技术得以广泛的应用于众多科学与 工程领域。图像去噪、图像分割、图像分解是目标识别和分析等高层的图像处 理技术的基础，其处理效果的好坏将直接影响到后继工作的质量。 首先，本文在v e s e 和o s h e r 图像分解模型的基础上，提出了自适应参数的 卡通一纹理分解方法，该方法是根据图像梯度的变化自适应的选取参数，提高 了图像分解的质量。其次，本文根据v e s e 和o s h e r 图像分解模型提取的纹理含 噪声较少，提出基于纹理补偿的图像恢复方法，能达到一定的去噪效果和保留 一些细小纹理。最后，本文提出耦合卡通一纹理分解与边缘检测的图像处理方法， 使得图像分解与边缘检测同时进行，得到较好的图像分解和边缘提取效果。 关键词：图像去噪图像分割图像分解纹理噪声 a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , t h et e c h n o l o g yo f d i g i t a li m a g ei sw i d e l yu s e di ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gf i e l d s i m a g ed e n o i s i n g , s e g m e n t i n ga n dd e c o m p o s i n ga t eb a s i c so fh i g h e ri m a g ep r o c e s s i n gl i k ei m a g e o b j e c tr e c o g n i t i o na n da n a l y s i s t h er e s u l t so f t h e i r sw i l ld i r e c t l ya f f e c tt h eq u a l 姆o f t h el a t e rp r o c e s s i n g f i r s t l y , b a s e do ni m a g ed e c o m p o s i t i o nm o d e lo fv e s ea n do s h e r , a na d a p t i v e i m a g ed e c o m p o s i n ga p p r o a c h t h a ts e l e c t i n gt h em o s ta p p r o p r i a t ep a r a m e t e r s a d a p t i v e l yb a s e do nt h eg r a d i e n ti n f o r m a t i o no fe a c hp i x e li sp r o p o s e di nt h i sp a p e r n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dp r e s e r v es h a r pb o u n d a r i e so f c a r t o o nw h i l ee x t r a c t i n gt e x t u r e sa d e q u a t e l y s e c o n d l y , b e c a u s et h ev e s e - o s h e r m o d e lc a nr e l l l o v et h en o i s ei nt h et e x t u r ep a r t , t h em e t h o do fi m a g er e s t o r a t i o n b a s e do nt h ec o m p e n s a t i n no ft e x t u r ei sp r o p o s e di nt h i sp a p e r t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a ti tc a ni m p r o v et h eq u a l i t yo fi m a g ed e n o i s i n g l a s t l y , i nt h i sp a p e r , a nk i n do fl i l l ep r o c e s s i n gm e t h o dc o m b i n i n gt e x t u r ee x t r a c t i o nw i t hc o n t o u r d e t e c t i o ni sp r o p o s e d , a n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d c a nd e c o m p o s eag i v e ni m a g ei n t oac a r t o o na n d8 1o s c i l l a t o r yc o m p o n e n tb e t t e r w h i l ed e t e c t i n gc o n t o u rw e l la n dt r u l y k e y w o r d ：i m a g ed e n o i s i n gi m a g es e g m e n t i n gi m a g ed e c o m p o s i n g t e x t u r e n o i s e 西安电子科技大学 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：登鱼鲤e日期巡：丛 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期塑丝：! ：2 ， 日期垒堑：! ：墨弓 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 人类通过眼、耳、鼻、舌、身体接受信息，感知世界，并进而认识世界和 改造世界。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有7 5 是通过视觉系 统从图像中获得的。这里的图像是比较广义的，它是用各种观测系统以不同的 形式和手段观测客观世界获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生视知 觉的实体。常见图像是连续的，为了能用计算机对图像进行加工，需要把连续 的图像离散化，这种离散化了的图像是数字图像。近几年来，随着计算机技术 的迅猛发展，数字图像技术得以广泛的应用于众多科学与工程领域，如遥感、 工业检测、医学、气象、侦察、通信、智能机器人等 这些技术正在明显地改变着人们的生产手段和生活方式，与人们的工作和 生活息息相关，因此我们有必要对图像和图像技术进行深入细致的研究。这些 工作是在一个整体框架下进行的，这个框架就是图像工程。根据抽象程度和研 究方法等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析和图像理解。 图像处理是比较低层的操作，它主要在图像像素级上进行处理，处理的数据量 非常大；图像分析则进入了中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转 变成比较简洁的非图形式的描述；图像理解主要是高层操作，基本上是对从描 述抽象出来的符号进行运算，其处理过程和方法与人类思维推理可以有许多类 似之处。通常，人们就用图像处理泛指各种图像技术。 1 2 偏微分方程在图像处理中的历史与发展 近几年来，伴随计算机技术的迅猛发展，偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，p d e ) 在物理和工程技术中的应用也越来越成熟，而用偏微分方程现 代理论来建立图像处理模型、指导离散过程与实际计算越来越受到研究人员的 重视，也展现了偏微分方程在图像处理领域强大的生命力和巨大的应用前景。 将偏微分方程的方法运用于图像处理的思想至少可以追溯到d c _ r d b o r 和 a i c j a i n 嘲的工作，然而实质性的飞跃要归功于j 3 k o e n d e r i n d 0 1 和a p w i t l d n “引 入的尺度空间概念，即同时在多个尺度上表现图像。通过高斯滤波来实现多尺 度图像表示，这等价于通过经典的热扩散方程( h e a te q u a t i o n ) 变形原始图像，这 种扩散方式是各向同性的。他们的研究奠定了偏微分方程应用于图像处理的大 部分基础。在8 0 年代末，h u m m e l 聊提出热传导方程并不是唯一可以构成尺度空 2 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 问的方程，满足极大值原理的演化方程均可定义尺度空间，而极大值原理是因 果性准则的数学表达。p e r o n a 和m a l i k “3 提出各向异性扩散模型( p 州模型) ，在 光滑过程中引入边缘检测，通过传导系数来控制各点的扩散量，使得扩散主要 发生在图像各区域的内部，从而在去噪的同时能很好的保留图像边缘特征。 p c r o n a 和m a l i k 的工作在这个领域产生了极大的影响，他们的研究开辟了图像处 理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。o s h e r 和他的研究小组提出了几何 制约的偏微分方程，其中最著名的是曲率流，它使图像灰度值的扩散仅发生在 图像梯度的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置和清晰度的同时沿轮廓进行 平滑去噪。2 0 0 0 年，c h c ny u n m c i “”等得到了较好的非线性扩散模型。o s h e r 、 r u d i n 关于激波的研究( s h o c k f i l t e r s ) 队“3 并提出关于总变分( t o t a lv a r i a t i o n ) 去噪。“的模型，对分片光滑的图像有较好的去噪效果。2 0 0 2 年l u m i n i t aa v e s e 和s t a n l e y j o s h c r “”提出基于偏微分方程的图像分解模型，能较好地将一幅图中 的卡通( 分片光滑) 部分和纹理部分分开，同时还能分解出一小部分噪声。使得分 解出的纹理部分含噪声减少。在l u m i n i t a a v c s e 和s t a n l e yj o s h e r l 作的基础 上，偏微分方程在图像分解中的应用得到更进一步的发展，如：图像分解用于 s a r 图像嘲，在b m o 空间嘲、负h i l b e r t s o b o l e v 空间鲫的图像分解，以及自适应 变分模型嘲、对偶范数的图像分解等嘀町，这些工作充分显示了偏微分方程处理 图像的优势。 1 3 本文所做的工作 在图像处理中一项重要的工作就是从已有的图像中提取有用的信息，如将 图像噪声或多余的一些纹理去掉，得到分片光滑的卡通图像，或者提取图像中 的纹理，或者提取图像中物体的边缘，进行分类、识别等等。近几年来，偏微 分方程的方法被大量用于图像处理的这些工作，如r u d n o s h 融f a ：t e m i p 】去噪模 型，m u m f o r d - s h a h “”的图像分割模型，l u m i n i t a a v e s e 和s t a n l e yj o s h e r 【1 ”的图 像分解模型等，就是一些经典的代表。本文的工作就是在这些经典模型的基础 上进行改进，使得图像去噪、分解、边缘的提取能够得到更好的效果。 关于偏微分方程在图像分解中的应用，l u m i n i t a a v e s e 和s t a n l e y l 0 s h e r 名e r u d i n o s h * f a t e n l i 去噪模型和y m e y e r “”振荡函数空间理论的基础上，对于噪 声和纹理属于函数空间u 2 m h lj 的情况，提出了图像分解的模型，这是一个 比较新颖而且行之有效的图像分解方法，有较大的发展空间。对于图像边缘提 取的研究主要有：主动轮廓线模型、m u m f o r d s h a h 的图像分割模型，以及c h a r t 和v e s e ”提出的基于m u m f o r d - s h a h 模型的水平集图像分割方法等，但是在带有 纹理的图像中，纹理信息会干扰边缘的提取。关于图像的去噪是图像处理最基 第一章绪论 础的一个问题，有很多去噪的方法，如中值滤波、小波去噪、基于p d e 的r o f 模型、w e i c k e r t 模型等等，但对于纹理图像，在去噪同时能较好的保持纹理一直 是一个很难解决的问题。在对上述三类图像处理模型的特点充分学习和研究的 基础上，本文将v e s e - o s h e r 图像分解模型运用于纹理图像的去噪和边缘提取上， 改善了对纹理图像处理的效果。 本文的主要工作包括： 1 介绍了图像处理的一些基本知识； 2 总结了偏微分方程在图像处理中的一些应用和模型； 3 改进了v e s e - o s h e r 图像分解模型； 4 将v e s e - o s h e r 图像分解模型运用于纹理图像的去噪和边缘提取，提出一 些新的想法和算法。 创新之处在于： 1 出了自适应参数的卡通一纹理分解方法； 2 将v e s e - o s h e r 图像分解模型与w e i c k e r t 模型结合，运用于纹理图像的去 噪，提出了基于纹理补偿的去噪方法； 3 将半二次归整化方法用于v e s e - o s h e r 图像分解模型，得到耦合卡通一纹理 分解与边缘提取的图像处理模型。 ：j 全文结构如下：第二章主要介绍了图像处理中的一些基本概念以及偏微分方 程在图像处理中的几个基本模型；第三章主要介绍了r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i n 提 出的基于总变差最小化的图像去噪模型和v e s e o s h e r 图像分解模型，本文对 v e s e o s h e r 图像分解模型的改进以及v e s e - o s h e r 图像分解模型在纹理图像去噪 中的应用；第四章主要介绍了半二次归整化方法、m u m f o r d - s h a h 的图像分割模 型以及本文提出的耦合卡通一纹理分解与边缘提取的图像处理模型。第五章是对 本文工作的一些总结与展望。 第二章基于偏微分方程的图像处理方法 第二章基于偏微分方程的图像处理方法 2 1 图像处理的几个基本概念 2 1 1 图像的建模表示 客观世界在空间上是三维的，但一般从客观景物得到的图像是二维的 1 1 , 1 2 - , 1 3 , 1 8 。一幅图像可以用一个二元函数“g ，y ) ，g ，y ) q 来表示，其中q 为图 像域常取成矩形，x , y 表示在q 上的坐标点的位置，而“表示图像在点k y ) 的某 种性质的数值。如灰度图像，表示灰度值( 或亮度) 常见图像是连续的，为了 计算机对图像进行处理，需要把在坐标空间和性质空间进行离散化得到数字图像。 为了能有效的处理图像，首先需要知道如何从数学角度理解和表示图像，图像 模型和它的表示方法在很大程度上决定了图像的处理模型。这里介绍三类图像建 模和表示方法： ( 1 ) 随机场模型( r a n d o mf i e l dm o d e l i n g ) 将图像“看成是一个随机场的抽样结果，可以用一些g i b b s 或m a r k o v i a n 随机场 模型来模拟。它在描述纹理丰富的自然图像方面比较理想。 ( 2 ) 小波模型( w a v e l e t sr e p r e s e n t a t i o n ) 无论在生物学还是数学图像上，一幅图像都是通过一组微传感器的响应得来 的，这些局部的响应就可以用小波来近似。小波变换作为一种数学工具，每一种 小波变换都有其一定的适用范围，实际应用中，只有结合小波变换的固有特性， 才能更好地发挥它的特点。 ( 3 ) 正则空间( r e g u l a r i t ys p a c e s ) 在传统图像处理的线性滤波理论中，图像被认为是s o b o l e v 空间里的一个元 素，因为s o b o l e v 空间的函数具有连续性，所以对处理光滑区域有较好的效果，但 容易将边缘模糊掉。目前有两个经典的模型：m t a n f o r d - s h a h i l 6 】的图像分割模型， 和r u d i n - o s h e r - f a t e m i s l 的有界变差( b o u n d e dv a r i a t i o n ) 模型( b y 模型) ，它们在处 理分片光滑的图像上有较好的效果。 2 1 2 图像的退化 图像在生成和传输过程中，总会由于仪器或环境等因素，导致图像质量的退 化。图像的退化“”可以模型化为一个作用在原图像( 输入图像) “g ，y ) 上的系统 6 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 a ，它与一个加性噪声疗g ，y ) 的联合作用导致产生退化图像伉y ) 。退化模型如图 2 1 ： r l x 卉 如y 1 一口一如舣访 图2 i 中的输入和输出具有如下关系： a u ( x , y ) + 甩b y ) = 厂g ，y ) ( 2 - 1 1 ) 2 1 3 噪声 各种噪声的干扰是导致图像质量退化的主要因素，例如，图像传输过程中，受 到强干扰时会产生脉冲噪声，在激光和超声波图像中常存在乘性椒盐噪声，因照 明不稳定、镜头灰尘以及非线性信道传输引起的图像退化等都将产生不同类型的 噪声o ，3 噪声对图像会产生很多破坏效果，主要有两方面： ( 1 ) 影响主观视觉效果。噪声污染会使图像的视觉效果降低，严重时让人看 不清细节或产生错误的信息，导致图像没有任何价值。人眼尤其对图像光滑区域 的噪声非常敏感。 ( 2 ) 影响中层和高层的图像技术。噪声降低了图像处理的质量和精度，导致 中、高层的图像技术产生更多误差。如因为噪声会导致图像分割中产生虚假边缘 或漏检边缘，尤其是一些细节与噪声无法分辨，导致后继的目标识别等工作无法 进行。 噪声的分类大致如下： ( 1 ) 从噪声的概率分布情况来看，可分为短拖尾噪声，中拖尾噪声和长拖尾 噪声。下面是几种常见的噪声分布形式的概率密度函数，b ) 。 短拖尾噪声( 均匀分布噪声) ： fli 厂0 ) = 瓦l 叫如 ( 2 一1 2 ) l0其它 中拖尾噪声( 高斯分布噪声) ： 第二章基于偏微分方程的图像处理方法 7 删= 去e x p ( 一吾) z 死o 、上口l ( 2 - 1 3 ) 长拖尾噪声( 双指数分布噪声) ： 删= 去d 一蜘 ( 2 - 1 4 ) ( 2 ) 根据对图像信号的污染方式，可分为加性噪声、脉冲噪声和乘性噪声。 受加性噪声污染图像的退化模型为： 以，) = ”( f ，) + 押( f ，_ ，) ( 2 1 5 ) 受脉冲噪声污染图像的退化模型为： 椭，乇剖柰妻 受乘性噪声污染图像的退化模型为： 几，j ) - 9 0 ( f ，跏( f ，) + 甜g - ，) ( 2 1 7 ) 其中o ，_ ，) 为图像原始信号，巾，) 为噪声污染的图像信号，比_ ，) 为噪声，p 为脉冲噪声的概率。 对于同时受高斯噪声和脉冲噪声污染的图像的退化模型为： fk概率为只 厂o ，) = ，矗概率为b ( 2 - 1 8 ) 【“g - ，) + 行( f ，j )概率为l 一只一b 改善图像质量的方法，主要是消除噪声，但是有相当的困难： 首先，我们看到噪声的类型是多样化的，也有可能多种噪声同时出现。乘性噪 声( 系统噪声) 多与图像系统有关，加性噪声多与外部干扰有关。在本文的实验 中主要对加性高斯白噪声进行去噪处理；其次，噪声的随机性质比较复杂。最后， 噪声的形状特性不规则，容易与图像的细节混淆，如图像的边缘，纹理等。尤其 是对纹理较复杂的图像去噪时，要得到较好的光滑性，则纹理细节就被抹掉，反 之，要保留细节，则去噪效果就不好，它们总是一对矛盾体。 2 1 4 图像处理技术中的一些基本概念 图像处理技术的工作是在图像工程的整体框架下进行的“”。图像工程的内容非 常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同可分为三个层次( 如图2 2 ) ：图像处 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 理、图像分析和图像理解，它们是既有区别又有联系的有机整体。人们也常用图 像处理来泛指各种图像技术。 抽 象 程 度 高 低 语 义 高层 中层 低层 图2 2 图像工程三层次示意图 目标 象素 操 作 对 象 小 大 数 据 量 图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉学科。从它 的研究方法来看，它与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、计算机科学等 许多学科可以相互借鉴，从它的研究范围来看，它与模式识别、计算机视觉、计 算机图形学等多个专业又相互交叉，另外，图像工程的研究进展与人工智能、神 经网络、遗传算法、模糊逻辑等理论和技术都有密切的联系，它的发展应用与医 学、遥感、通信、文档处理和工业自动化等许多领域也是不可分割的。从图2 3 w 以看到图像工程三个层次各自不同的输入输出内容以及它们与计算机图形学、模 式识别、计算机视觉等的关系。 图2 3 图像工程与相关学科和领域的联系和区别 下面介绍图像工程的低层和中层处理技术中的几个基本概念，也是本文中将 要讨论的几个主要问题。 ( 1 ) 图像恢复 第二章基于偏微分方程的图像处理方法 9 图像恢复就是认为图像在某种情况下退化或恶化了( 图像质量下降) ，现在 需要根据相应的退化模型和知识恢复原始的图像。换句话说，图像恢复是要将图 像退化的过程模型化，并据此采取相反的过程以得到原始的图像。但由于图像退 化过程中一些信息的丢失及退化过程的复杂性，使得图像完全的恢复是不可能的， 也常常是没有必要的。从广义来讲，图像的恢复还包括对在图像采集过程中产生 的几何失真进行校正，这是将图像的几何失真看成一种退化，对其校正则看作一 种恢复；以及根据对物体的多个投影重建图像的技术，它是将投影看作一种退化 过程，而将重建图像看作一种恢复手段。 ( 2 ) 图像增强 图像增强技术作为一大类基本的图像处理技术，其目的是对图像进行加工， 以得到对具体应用来说视觉效果更“好”，更“有用”的图像。由于具体应用的 目的和要求不同，“好”和“有用”的含义也不相同，并且所需要的具体技术也 可以大不相同。目前，根据处理所进行的空问不同，可分为基于图像域的方法和 基于变换域的方法；前边是把整幅图一起考虑，实际中有时需要增强图像中的某 一部分，所以增强技术也可以根据处理策略分为全局的和局部的；针对处理对象 可分为用于灰度图像和彩色图像的。图像恢复与图像增强相同之处是，它们都要 得到某种意义上改进的图像。 、 ( 3 ) 图像分割 在对图像的研究和应用中，人们往往仅对各幅图像中的某些部分感兴趣。这 些部分常称为目标或前景( 其它部分称为背景) ，它们一般对应图像中特定的、 具有独特性质的区域。图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴 趣目标的技术和过程，这些特性可以是灰度、颜色、纹理等，目标可以对应单个 区域，也可以对应多个区域。图像分割是由图像处理进到图像分析的关键步骤， 也是一种基本的计算机视觉技术。 2 2 偏微分方程在图像处理中的应用 近年来，偏微分方程和变分方法在图像处理中得到了广泛的应用。典型的例 子，诸如：图像分割、恢复和去噪，以及图像增强等。其基本的思想在于将图像 视作二( 三) 维空间中的一个连续函数，满足描述给定问题的一个时变偏微分演 化方程，而偏微分方程的解则给出在尺度t 上处理的图像。 偏微分方程可以由很多种方式导出，例如源于约束最优化、能量最小化的变分 问题推得，其基本思想是将所研究的问题归结为一个泛函极小化问题，然后用交分 方法导出一组偏微分方程，用数值计算的方法求解此偏微分方程组，得到的数值 解就是处理后的图像。或者偏微分方程亦可从演化方程直接得来，比如由 1 0 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 k a s s ，w i t k i n 和t e r z o p o l o u s 啪1 提出的经典m a k e 模型，删p c r o n a 和m a l i l 【6 】得到 的各向异性扩散方程。 接下来，我们将讨论偏微分方程在图像去噪和分割中应用的几个经典例子。 2 2 1 偏微分方程在图像恢复中的应用 我们从方程出发给出图像恢复的一般p d e 模型吼1 ： o ，u 、- t ，力+ f ( x ，“( f ，力，v “o ，曲，v 2 u ( t ，x ) ) ：0 加( o ，r ) q( 力 讲 嘉= o 矾d m ( 6 ) ( 2 - 1 9 ) u ( o ，功= )0 ) 其中f 是一个二阶微分算子，( 功为退化的初始图像，“( r ，刁是u o ( x ) 过 恢复后得到的等价图像。( 6 ) 式诺伊曼条件表示在区域边缘上沿法线方向不扩散， p ) 式为初值条件。与能量法不同的是，基于p d e 的方法是从初始图像( 开始， 经过( 2 1 9 ) 式运算得到逐次恢复后的图像族函( ，功) f 。，即如果f 表示时间变量， 那么图像族中的o ，曲就表示，u o ( x ) 经过( 2 一1 9 ) 式运算到t 时刻时所得到的恢复 图像。我们希望随t 增加，得到的图像( f ，d 越接近于真实图像。 热传导方程 偏微分方程在图像恢复中应用的研究工作较早始于j j k o e r d e r i n k t ”和 a p w i f l d n 嘲的研究。他们严格地介绍了尺度空间理论，并指出图像与具有递增方 差的g a u s s i a n 函数作卷积实现低通滤波等价于求解以退化的原始图像为初值的 热传导方程： 詈) 一缸) = o ，o ，x 鲋( 2 - 2 0 ) 【( o ，功= u 0 ( x ) 这里x e 五2 ，通常( 力主要定义在区域【o ，l 】【o ，l 】上，通过对称扩充到区域 c = 【- 1 ，l 】 - 1 ，l 】上再到整个平面当k ( x ) 陋 o 。 j 我们可得，方程( 2 - 2 2 ) 描述了切线方向上及法线方向上的总扩散。当变量工处于 区域q 内部时，由于梯度很小，c ( s ) 趋近于1 ，此时方程近似于线性热方程各向 同性、均匀扩散。而在边界附近时，由( 2 2 2 ) 式得切线方向扩散比法线方向扩散 快，并且当梯度不断增大时，c ( s ) * 下1 趋近于0 ，此时正则化停止，边界就被保 v s 留下来。 p e r o n a - m a l i k 模型能保留边界，但去不掉噪声，甚至错误的将噪声检测为边 界保留下来。 w e i c k e r t 模型 为了能够考虑梯度方向上的局部变差，而不仅仅是梯度的大小，w e i e k e r t 4 州提出了一个抛物型的非线性扩散方程： 1 2 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 ( 2 - 2 3 ) 其中是边界上的单位外法线，d ( ，。) 是一个扩散张量， 以( v ) - - - k , * v u o v u 是一个半正定对称矩阵。与p e r o n a - m a l i k 模型相比， p e r o n a - m a l i k 模型中函数c 日v “1 2 ) 只考虑了梯度摸的大小没考虑方向，而w e i c k e r t 模型中包含了更多的细节上的信息。矩阵以( v u d 的特征值能够表示出轮廓的线 状结构、拐角结构，它的特征向量给出了最大灰度值的波动方位，和更好的局部 光滑方向。并且通过做g a u s s i a n 卷积消除噪音，避免了p e r o n a - m a l i k 模型中出现 错误检测噪音的情况。w e i c k e r t 模型可以看作是p e r o n a - m a l i k 模型的一个扩展。 2 2 2 偏微分方程在图像分割中的应用 图像分割和轮廓提取在计算机视觉和计算机图形学研究中具有重要意义，是 一个基本问题，也是一个经典难题。偏微分方程在图像分割中的应用主要有两个基 本方向：基于边缘信息的曲线演化模型，如s n a k e 模型跚、几何主动轮廓模型嘲等； 以及，基于区域信息的分割模型。如m u m f o r d e s h a h 模型“”。 m u m f o r d e - s h a h 模型 m u m f o r d e s h a h 模型在理论上是一类具有体积能量和低维测度的变分问题： 缸，c = i n f p 0 ，c ) ：c c 置2 的闭集甜q 、c ( 2 2 4 ) 其中， g 0 ，c ) = l 工( c ) + a i “g ，y ) - u 。g ，y 1 2 d x d y + vv k y l 2 妫 ( 2 2 5 ) on 、c 式中，。k ) ，) 为开集q r 2 上给定的含噪声图像；闭集c r 2 为越。k y ) 在q 上 的不连续集，对应图像中的一条闭合曲线；p ，a ，v 为调节参数；三( c ) 为闭曲 线c 的1 维h a u s s d o r f f 测度。式( 2 2 5 ) 右端第一项使得分割的曲线尽可能短；第二 项使得恢复的图像和原图像尽可能相似；第三项使得恢复的图像灰度变化尽可能 小。通过最小化式( 2 2 5 ) ，就可以同时进行图像的恢复和分割。 帅砸枇巾触诹 哪悯啪纛 争鬻 第二章基于偏微分方程的图像处理方法 1 3 m u m f o r d e - s h a h 模型在图像恢复和去噪、分割和分类、形状匹配等方面的应用 已取得大量成果。目前，对m u m f o r d e - s h a h 模型的研究有两个主要的方向，一个为 a m b r o s i o 州等人提出的基于椭圆逼近的辅助变量模型；另一个为c h a r t 和v e s e “。捌 等人建立的水平集模型，他们还提出了无梯度主动轮廓水平集算法。 s n a k e 模型 s n a k e 模型又称活动轮廓模型，是m k a s $ ，a w i t k i n 和n t e r z o p o l o u s 提出的一 种曲线演化模型。定义图像g ) ：q c r 2 一r ，形变曲线c b ) = k o l 砖) 】，s e 【o ，1 】 使如下能量最小： j t ( c ) = d c g 】2 d s + ar g2 0 v “( c g 朔必( 2 - 2 6 ) 其中第一项称为“内能”，控制曲线的光滑度，第二项称为“外能”，吸引轮廓 线朝图像中梯度大的区域运动。函数g v 叫) 称为边缘检测算子，在边缘处取值接 近零，而在同质区域严格取正值。如g v “1 ) 2 再孓研1 ，p 1 ，其中包g ) 为 高斯函数，对图像进行预处理。 这个模型具有一定的有效性，但过度依赖初始曲线的选择，初始曲线选择不恰 当容易陷入局部最小解，并且不能处理演化过程中曲线的拓扑变化。 为克服以上困难，c a s e l l e s , 洫啪e i 和s a p i r o 捌提出了测地活动轮廓模型 ( g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u rg a c ) ： j 2 ( c ) = 2 万r 9 0 v ( c g 朔】c g ) 陋( 2 - 2 7 ) 计算上式的e u l e r - l a g r a n g e 方程如下： 等= g v ( c 】如一( v g ，) ( 2 - 2 8 ) 其中，i c 是欧拉曲率，n 是内法向，g ( ) 是包含图像边缘信息的权值函数。为使上 式在边界演化时能自然处理拓手卜变化，可将其表示成以下水平集函数的形式： 脚v ( 小v 喘柚v 叫刷詹 ：。， 【( o ，0 = 九g ) ，r 2 其中添加常数，其作用是加快演化速度，吸引曲线朝边缘运动，并且构成了一个 额外的面积项。 m a l l a d i 和s e r b i a n 嘲也提出了类似的基于边缘的几何主动轮廓模型，这类主动轮 1 4 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 廓模型已经在计算机视觉领域、医学图像分割以及运动跟踪中得到了广泛的应用 和研究。 2 3 本章小结 本章首先介绍了图像处理中的一些基本概念；由于本文主要做的工作是图像 去噪和图像分割，所以在本章第二节中介绍了几个偏微分方程在图像去噪和分割 中的模型，它们都是一些简单而又经典的模型，能够让我们对本文的工作有一个 大致上的认识。 第三章基于偏微分方程的图像分解方法 第三章基于偏微分方程的图像分解方法 在图像处理中一项重要的工作就是从已有的图像中提取有用的信息，这就需 要从一幅图中分解出有意义的部分。一个典型的例子就是图像去噪，从原图厂中 分解出一幅近似于，的图像“，甜是由清晰的边界和分片光滑的区域构成，被看 作是“真实”的图像。在大部分模型中，厂与“的关系被叙述为：f = 甜+ v ，其 中v 是噪声或细小的纹理部分。通常，v 被当作噪声扔掉，只保留“的部分。这些 模型的代表有r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i l 7 1 的总变差最小化去噪模型( r o f 模型) ， m u n f f o r d - s h a h 1 q 模型，p e r o n a - m a l i k n 模型等。 有时，v 中包含了重要的纹理信息。在文献 1 4 中，y v e sm e y e r 讨论了用振 荡函数表示纹理或噪声的方法。结合r o f 模型及y v e sm e y e r 的纹理表示模型， v e s e 和o s h e r 提出了新的卡通纹理分解模型( v e s e - o s h e r 模型) ，f 与站，v 的 关系可以叙述为：f = u + v + w ，其中甜是卡通图像，v 是纹理或带噪声的图像，w 是被扔掉的噪声或小部分纹理的部分。本文在v e s e o s h e r 模型的基础上，提出了 根据图像梯度的变化自适应选取参数算法，有效的保护了卡通图像的边缘，从而 更好的提取纹理特征。本文还利用v e s e o s h e r 模型提取的纹理结合r o f 模型、 w e i c k e r t 模型，提出了基于纹理补偿的图像去噪模型。 3 1 基于总变差最小化的图像去噪方程 在第二章中提到，图像处理的偏微分方程可以由很多种方式导出。这里主要 讨论源于约束最优化、能量最小化的变分问题推出的偏微分方程。 设带噪声的原图像f r ( r 2 ) ，表示为 f ( x ，力= 力+ “力 ( 3 - 1 ) 其中u 由分片光滑的区域及清晰的边缘构成，被视为我们所求的真实图像，1 ，就 是被扔掉的噪声或细小的纹理。 1 9 7 7 年f h t f f , h o n o v 和a r s e n i n t 5 7 1 提出基于r 范数的各向同性扩散( 调和) 去噪模 型为： 1 6 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 警f ) = j 1 v ”1 2 + a | ，一u 1 2 幼( 3 - 2 ) 其中甜w 1 2 ( q ) = 0 e r ( q ) ；v “r q ) 2 j ，由变分法得到欧拉方程为： 一a u + 2 $ ( u 一，) = 0 ( 3 3 ) 该方程的扩散项a u 的扩散系数是1 ，它朝各个方向的扩散度相同，于是它在去噪 的同时也使边缘模糊化。 1 9 9 2 年r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i n 7 1 提l i lt 基于口范数的模型，即总变差最小化 ( r o f ) 模型： 撼f ) = 护“i + a j l s 一- 1 2 蚴( 3 - 4 ) 其中“b v ( r 2 ) ，参数a 0 是一个l a g r a n g e 乘数，控制解的保真度的尺度，式 中第一项是正则项，在保持重要特征和边缘的基础上抹去噪声和细小的纹理，第 二项是逼近项，保持图像与原图像f 的逼近程度。对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程 为 州+ 上2 x 枷f t , 旦l v 。i ( 3 - 5 ) 从该方程可以看出，扩散系数为圳v 卅。在边缘处，l v “i 较大，扩散系数较小，因 此沿边缘方向扩散较弱，能够较好的保持边界；而在光滑的区域，l v “i 较小，相 反扩散系数较大，因此在光滑区域扩散较强，从而能够在较好的除去噪声的同时 保持边界。 其数值计算的初值条件为。= 厂，边界条件为尚g ，b ) = 。，其中k ，b ) 为 边界的外法线，方程( 3 - 5 ) 的求解主要有五类方法4 ”：时间进步法、定点延迟扩散 迭代法、牛顿方法、延拓方法、主对偶方法。这里主要介绍时间进步法，通过引 入人工时问，构造非线性抛物型方程： 等= ，+ _ i a d l y l ( 剐v u ( 3 - 6 ) 百5 _ ，+ 2 ai 酬j u 叫 隐式差分格式如下： 第三章基于偏微分方程的图像分解方法 1 7 其中 “孑= 1 + 赤g + c 3 托) + 去1 , 1 4 - c 2 u ：l j4 - c 3 u ，。, j + l + c 4 u 抽) c i = 白2 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 - i o ) ( 3 一1 1 ) 式中h 为时间步长，实验中通常取h = l 。由于l v “l 位于分母部分，为了避免出现 奇异情况，实际实现时添加一个微扰动： r ：一 l v 1 - - , i v i 2 + a ( 3 1 2 ) d 是一个很小的正常数。 实验结果 实验中我们以一幅分片光滑和一幅带纹理的图像为例，都加入c - a u s s i a n 噪声， 方差口2 = 3 0 。实验结果如图3 1 ，比较两幅图去噪的结果，虽然去噪后它们都不能恢 复到原来的效果，但是从感官上可以明显的看出分片光滑的图像去噪的效果比带 纹理图像去噪的效果好，带纹理的图像若想要得到较高的光滑度，则细小的纹理 很容易就被磨掉了，所以去噪的效果不是很好对纹理图像的去噪仍然是一个比 较难解决的问题。 1 3 偏微分方程在图像分解及边缘检测中的应用 图3 1 用r o f 模型去噪结果 3 2 基于偏微分方程的图像分解方法 在r o f 模型中，能量泛函最小化模型也可以表示为： 撼p ) = j l v u l + 圳1 ，| 2 2 ，= “+ v j v = ，一“= 一! ：ad j l i v t m 。1 记g l = 一去南9 2 = 一万1 而u y ，；= ( g i 黝g ，记g l 一芴而9 2 一万而g 。( 岛，：) 且对任意的点( x ，y ) 有 爵y ) + 霞 ，y ) = 瓦1 于是 ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 阼厨焉删v = 咖；，并 ( 3 - 1 5 ) r = l 阿硐i ，= 去 伊 在上述讨论的r o f 模型的基础上，文献 1 4 中ym e y e r 提出了如下函数空 间的定义： 定义个b a n a c h 空间g = v ，y ) = a ，蜀( x ，y ) + a ，9 2 0 ，力，9 1 ，9 2 r ( r 2 ) ，范 驯小刎讥= 糍8 厨硐r ，其中；9 2 ) ，l ；| = 厢。 y m e y e r