（应用数学专业论文）信用风险中的单向违约传染定价模型.pdf

大连理工大学硕士研究生学位论文 摘要 受近期的东亚金融危机及美国个别公司破产却对整个宏观经济带来广泛影响所启 发，本文在传统的信用风险定价模型基础上，将基于强度的简约化方法推广到了违约传 染定价模型中。 首先，本文给出了单向违约传染模型的基本假设，该模型将公司分为两类，第一类 的和第二类的。其中，第一类公司的违约强度只取决于宏观经济因素，与其他因素无关； 而第二类公司的违约强度不但受宏观经济因素的影响，还与第一类公司的违约强度有 关。为便于讨论说明，本文仅考虑两公司a 、b 间的单向违约传染问题，其中a 为第一 类的，b 为第二类的。 其次，本文在给定的单向违约传染模型的基本条件下，运用概率测度、随机分析等 金融数学知识，推导出了a 、b 的违约停时的联合密度分布。 最后，本文以一篮子信用衍生品为研究对象，应用前面已推导出的违约停时的联合 密度，对于传统的一篮子信用衍生品的风险中性定价做了进一步的理论推广，并推导出 了单向违约传染条件下的首次违约合同( f d c ) 和末次违约合同( l d c ) 的定价公式。 关键词：信用风险：违约传染；违约相关性；风险中性定价 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 t h ev a l u a t i o no f u n i l a t e r a ld e f a u l tc o n t a g i o ni nc r e d i tr i s k a b s t r a c t m o t i v a t e db yr e c e n tf i n a n c i a lc r i s e si ne a s ta s i aa n dt h eu s w h e r et h ed o w n f a l lo fa s m a l ln u m b e ro f f i r m sh a da ne c o n o m y w i d ei m p a c t 。b a s e do nt h ec w t e n tl i t e r a t u r eo nd e f a u l t r i s km o d e l i n gt h i sp a p e rg e n e r a l i z e se x i s t i n gr e d u c e d - f o r mm o d e l st oi n c l u d ed e f a u l t i n t e n s i t i e sd e p e n d e n to nt h ed e f a u l to f ac o u n t e r p a r t y f i r s t l y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eu n i l a t e r a ld e f a u l tc o n t a g i o nm o d e l ，i nt h i sm o d e l ，t h e r e a l et w ok i n d so ff w m s ：p r i m a r ya n ds e c o n d a r yf i r m s t h ed e f a u l ti n t e n s i t i e so f 硼m a r yf i r m s d e p e n do n l y0 1 1c o i t i i t i o if a c t o r s , w h e r et h ei n t e n s i t i e so f s e c o n d a r yf i r m sd e p e n dn o to n l yo n c o m m o nf a c t o r s ，b u ta l s oo nt h ei n t e n s i t i e so f p r i m a r yf i r m s f o rs a k eo f c o n v e n i e n t , t h i s p a p e ro n l yf o c u s e so nt h et w of i r m s c a s e ，t h a ti s ，f i r ma i st h ep r i m a r y ，f i r mbi st h e s e c o n d a r y s e c o n d l y ，b a s e do nt h eu n i l a t e r a ld e f a u l tc o n t a 矛o nm o d e l ，t h i sp a p e rd e p d v e st h ej o i n t d i s t r i b u t i o no f t h ed e f a u l tt i m e sf r o mt h ef i n a n c i a lm a t h e m a t i c st h e o r i e s ，s u c ha st h e p r o b a b i l i t y ，m e a s u r et h e o r y ，s t o c h a s t i ca n a l y s i s ，e t e a tl a s t , f o c u s e do nt h eb a s k e tc r e d i td e r i v a t i v e s ，t h i sp a p e ra p p l yt h ej o i n td i s t r i b u t i o n a b o v et ot h ec l a s s i cr i s k - n e u t r a lv a l u a t i o n ，e s p e c i a l l y ，g e n e r a l i z e st h ep r i c i n gf o r m u l ao f t h e f i r s t - t o - - d e f a u l tc o n t r a c ta n dt h el a s t - t o - - d e f a u l tc o n t r a c ti nt h eu n i l a t e r a ld e f a u l tc o n t a g i o n m o d e i k e yw o r d s ：c r e d i tr i s k ；d e f a u l tc o n t a g i o n ；d e f a u l tc o r r e l a t i o n ；r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他入已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 母百一、1 7 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版。允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：垒 导师签名：2 曼丝监导师签名：兰艺鲣! 壑： 竺笠年尘- 月匝日 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 绪论 众所周知，在金融风险中，最重要和最基本的风险当属市场风险和信用风险。对于 市场风险的度量和定价，目前已形成较为完整的理论框架，包括： ( 1 ) m a r k o w i t z 于1 9 5 1 年提出的资产组合理论，首次以资产收益率的方差来度量市场风 险，并通过组合内各项资产收益率的方差协方差矩阵推导出最优资产组合。 ( 2 ) s h a p e r 、l i n t n e r 和m o s s i n 分别子1 9 6 4 、1 9 6 5 和1 9 6 6 年提出的资本资产定价模型 ( c a p m ) ，指出在市场均衡状态下，投资者承担市场风险所获得的回报取决于资产的b 系数。 ( 3 ) r o s s 于1 9 7 6 年提出的套利定价理论( a p ”，放松了c a p m 严格的假设条件，从无风险 套利的角度得出了与基本一致的结论。 ( 4 ) b l a c k 和s c h o l e s 以及m e r t o n 于1 9 7 3 和1 9 7 4 年提出的期权定价理论，以基础资产 波动率的形式给出期权等衍生产品的价格。 ( 5 ) b a n k e rt r u s t 和j p m o r g a n 两家银行分别于1 9 8 7 年1 9 9 5 年提出的v a r 分析框架， 分析资产组合在预定置信度条件下所能遭受的最大市场风险损失。 信用风险是指在金融交易中交易对手违约或信用品质潜在变化而导致发生损失的 可能性。比如，对于公司债券的持有者而言，面临债券市场价值随着发行者信用评级降 低而贬值的风险；对于银行而言，如果债务入不能如期偿还本金或利息，那么银行将面 临贷款损失的风险；对于信用违约互换之类的信用衍生品合同当事人，当违约事件发生 日幸，也面临损失的风险。 从来源看，信用风险可以分为交易对手风险和发行者风险两种类型，前者主要产生 于商业银行的贷款和金融衍生交易中，后者主要是和债券相联系。从组成上看，信用风 险由两部分组成，一部分是违约风险，是指交易一方不愿或无力支付约定款项而致使交 易另一方遭受损失的可能性，在违约的情况下，根据合约签定时的保护性条款的安排， 一般来说，一部分债权会得到受偿，这一比率成为挽回率；另一部分是信用价差风险， 它是指由于信用品质的变化引起信用价差的变化而导致的损失，具体由信用价差跳动风 险和信用价差波动风险组成。其中，最常见的信用风险研究对象为违约风险。 “传统的”银行信用风险管理大多凭借主观经验，采用定性的判断方法。如对申请 贷款的客户进行筛选甄别、按照风险级别对贷款迸行估价、要求第三方担保、要求补偿 余额、规定强制性的合约条款、设立呆账准备金，以及与好客户保持长期关系和对“问 题”客户采取时间不一致的宽限处理等。由于银行处于信息不对称中的劣势地位，“传 统的”银行信用风险管理方法适用范围相当有限。为了克服传统信用管理方法的滞后性 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 并适应市场发展的变化，继m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 将现代金融的理论与方法引入信用风险管理的 研究之后，在信用风险管理的研究领域产生了许多有影响的新思想，定量信用风险管理 技术受到学术界和实务界的普遍重视。 2 0 世纪9 0 年代以来，随着经济全球化和金融自由化进程的加快，以及网络经济的迅 速发展，金融市场的波动日趋剧烈，世界各国金融机构面临的信用风险越来越复杂，严 重地影响着各个国家的金融安全。2 0 0 1 年的新巴塞尔资本协议草案鼓励符合条件的 商业银行采用内部评级系统和有效的定量工具管理信用风险，使得信用风险建模和评估 技术有了长足进展，创造出各种用于内部评级的评估模型，直接接受市场实践的检验。 然而，2 0 0 1 年底至2 0 0 2 年6 月问美国发生的一系列公司财务丑闻案件，其中最大的两宗 是安然公司和世界通信公司财务造假案，给予“美国公司”国际上所谓具有最健 全的公司治理、财务会计制度、监管和法制的经济群体蒙上了浓厚的信任危机的阴影， 同时也暴露出信用风险管理中存在的种种问题及现有信用风险管理理论与方法的缺陷 和不足，经典的信用风险模型受到了严峻的挑战。 近年来一种用于控制信用风险的工具信用衍生产品的发展呈快速增长的趋势。 根据英国银行家协会( b b a ，w w w b a n k f a c t s o r g u k ) 统计资料表明，1 9 9 5 年全球信用衍 生产品的交易量仅为1 0 0 亿美元；1 9 9 6 年n 2 0 0 2 年间信用衍生产品的交易量猛增近4 0 倍， 从5 0 0 亿美元达到1 9 5 万亿美元；2 0 0 4 年全球信用衍生产品交易量高达4 8 万亿美元。 信用衍生产品的主要魅力在于为风险管理者提供了一种风险对冲机制，通过这种对冲机 制，银行能够依托市场有效地转移和分散信用风险。在信用衍生产品产生之前，信用风 险和市场风险交织在一起，而任何一种金融工具都不能同时防范信用风险和市场风险。 信用衍生产品的诞生使得信用风险管理第一次拥有了和市场风险管理同样的对冲手段， 金融机构可以将原来只能依靠内部管理或多样化分散的信用风险通过市场对冲来解决 完成了风险管理的分离和转移信用风险的循环。 国外关于信用风险评估理论和方法的研究已经有了长足发展。各种模型已经趋于成 熟。近年的研究主要集中于规范信用风险的定量管理，部分研究成果已经在实际中得到 运用，其商业银行的信用风险管理模式比较成熟，在实践和理论上形成相应的体系，尤 其对信用风险分析的定量研究不断尝试采用新的技术和方法向前发展。 综观国际上信用风险评估领域的研究和实际应用，信用风险分析方法从主观判断分 析方法和传统的财务比率评分法转向以多变量、依赖于资本市场理论和计算机信息科学 的动态计量分析方法为主的趋势发展。从信用风险管理演化的过程来看，信用风险管理 经历了以下几个过程：传统信用风险管理；强调市场风险管理的v a r 模型；利用信用衍 生产品管理信用风险。逐步地从定性的管理过渡到定量的管理。 大连理工大学硕士研究生学位论文 近代的信用风险研究模型是以现代金融理论和信息科学为支撑发展起来的，信用风 险的数量分析方法，通常有三种。一种是结构化方法，明确设定公司资产的动态性，资 本结构，以及债务、股权分配，如果公司的资产低于莱一水平，则公司违约。这时候， 公司债务可以被看作关于公司资产的期权。简约化方法不考虑违约原因，相反，违约的 动态性通过一外生的违约强度给定。在这种方法中，信用风险产品可以和无违约一样计 算，只要运用违约强度调整后的无风险利率即可。而不完全信息方法是结合了结构化方 法和简约化方法，在避免了上述两种方法的弊端的同时，它有效保留了这两种方法的一 些好的性质：即结构化方法的经济学意义及直观性，简约化方法的易处理性及实验合理 性。 近期，信用风险模型的研究大体围绕如下方面展开： 第一，分析比较各种不同信用风险模型信息集的差异，以寻求模型互补的有效途径， 建立统一的信风险评估模型及解决方案。g i e s e c k e ( 2 0 0 3 ) 详细讨论了信息不完全对结构 化模型的影响。若公司资产价值和违约障碍的信息是完全的，且公司资产价值服从连续 扩散过程，则由结构化模型可以预测公司违约；若公司资产价值的信息是完全的，但违 约障碍的信息不完全，则可根据违约障碍的部分信息和公司资产价值的信息，通过数理 统计的方法确定公司的违约概率直接为信用风险定价：在公司资产价值信息不完全的情 况下，无论违约障碍信息是否完全，均需结合强度模型导出违约强度，从而获得公司信 用状况的相关信息。 如何通过市场可测数据获得混合模型中描述突发违约事件的参数( 如跳的频率与强 度等) ，是学术界当前广泛关注的研究难题之一。c h e n 和p a n j e r ( 2 0 0 3 ) 提出，可从市场 信用价差数据和强度模型获得违约强度的信息，以此导出有关跳过程参数的期望值，并 通过结构化模型获取公司资产价值和违约障碍的完全信息，进而为公司信用状况做出评 价。 第二，实践表明，各种金融风险本质上是相互依存、相互耦合的，且呈现多样性。 仅就市场风险和信用风险而言：当公司资产的市场价值发生突然变化时，则会由市场风 险影响公司的信用级别而引发信用风险；而当公司的信用级别发生不期望的变化产生信 用风险时，必将会改变公司资产的市场价值而导致市场风险，这样就形成了市场风险和 信用风险难以分解的循环过程。若不考虑各种风险相互耦合作用的影响，将市场风险和 信用风险相分离，则易导致对金融风险的估计不足，影响决策效果。欲揭示其特性，势 必增加分析问题的难度和复杂性。因此，在现代金融风险管理中迫切需要建立能够综合 反映各种金融风险相互耦合作用影响的风险评估方法和控制体系。 y a n g ( 2 0 0 0 ) 在信用等级迁移模型的框架下，提出了一种综合考虑市场风险、信甩等 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 级变化和违约风险的v a r 度量方法。该方法用j l t 模型描述信用等级的迁移变化，并且模 拟了投资组合的v a r 风险值。以此来管理风险。b a r n h i l l 等人( 2 0 0 2 ) 在信用等级迁移模 型的基础上，综合考虑投资组合的市场风险和信用风险结合利率、信用价差、外汇汇 率风险等多种市场风险因素，给出了固定的收益投资组合的风险评估方法。 信用衍生产品是指以信用贷款为标的资产的一种金融衍生工具，它为商业银行提供 了一种风险对冲机制，实现银行信用风险的转移和分散，从而有效地解决商业银行分散 风险与发展业务之间的矛盾( 即商业银行的信贷悖论( c r e d i tp a r a d o x ) ) 。常用的信用衍 生产品主要有四种：信用违约互换( d e f a u l ts w a p ) 、信用价差期权( c r e d i t s p r e a d 0 p t i o n ) 、总收益互换( t o t a lr e t u r ns w a p ) 和信用联系票据( c r e d i t 一1 i n k e dn o t e s ) 。 信用衍生产品的主要需求来自于商业银行和机构投资者，是一类重要金融工具。对 于商业银行来说，第一，信用衍生产品既可以有效地转移和分散信用风险又可以维护良 好的银企关系。传统的信用风险管理方法( 如信贷配给、出售贷款等) 能减少信用风险， 但同时也减少了商业银行的利润和挫伤了客户的借款积极性。若商业银行能出售信用衍 生产品，则可以在不影响客户关系的情况下将信用风险转移给愿意承担信用风险的投资 者：第二，商业银行可以通过购买信用衍生产品的方式进人新的贷款市场，以分散原有 的过于集中的信用风险；第三，商业银行能发放更多的信用风险较大的贷款，同时以出 售信用衍生产品的方式将信用风险转移给具有风险偏好的机构投资者，这样，不但为机 构投资者提供了进入贷款市场的机会还提高了整个贷款市场的效率：第四，商业银行可 利用巴塞尔协议对银行资本充足率的规定的差异通过信用衍生交易提高的资本回报 率。对于机构投资者，由于信用风险的收益率较高，通过使用信用衍生产品将信用风险 分割交易，可以使得投资者在不拥有信用资产本身的同时承担某种特定类型的信用风 险，实现资产组合的增值。此外，还能有效地管理资产组合中的信用风险。 信用衍生产品的定价是信用风险管理研究领域的难点问题。目前，学术界和实务界 主要有三类定价信用衍生产品的方法：基于保险理论的定价，基于复制技术的定价和基 于随机模型( 如前面提到的结构化模型，强度模型和混台模型等) 的定价。在基于保险理 论的定价方法中，保险公司承担了投保人的信用风险，因而必须得到一定的保险费作为 补偿。这种定价方法是一种基于保险公司历史违约数据库的统计方法，应用范围很窄， 只能对存在历史违约数据的信用衍生产品提供保险。而基于复制技术的定价需要逐一确 定投资组合中所有头寸的价值，对于结构复杂的信用衍生产品来说，这种技术很难实现。 基于随机模型的定价是现在的主流方向，其中强度模型和混合模型的应用十分广泛。 z h o u ( 2 0 0 1 ) 将混合模型应用于信用衍生产品的定价，采用跳一扩散违约模型的信息 集，遥过m o n t ec a r l o 方法，给出了公司债券的数值解，同时还分析了影响公司债券收 一4 大连理工大学硕士研究生学位论文 益率的各种因素。 h u b n e r ( 2 0 0 1 ) 研究了信用衍生产品自身的违约风险对信用衍生产品的定价的影响， 采用强度模型的信息集来描述交易双方的信用征，最后得出交易双方的信息不对称会影 响信用衍生产品的价值。 s k i n n e r 和t o w n e n d ( 2 0 0 2 ) 指出信用违约互换实际上是一个p u t 期权。同时持有信用 违约互换和标的资产的多头组合能有效的复制信用风险，信用违约互换在组合中充当了 p u t 期权的角色。实证研究发现信用违约互换的价格反映了当前的亚洲金融危机。 b r o w n 和w o n g ( 2 0 0 2 ) 设计了一种信用衍生产品免疫策略，有效地防范了信用风险。 由于利率风险和信用风险是同时存在的，因此有必要设计一种综合免疫策略同时防范两 种风险。然而利率风险和信用风险交叉边界的影响使得信用衍生产品免疫策略难 以得到进一步拓宽。 目前国际上最新信用风险度量方法中得到商业应用的主要有：j p 摩根银行发展的 信用计量法c r e d i t m e t r i c s 、c s f p 发展的c r e d i t r i s k + 、k m v 公司的k m v 模型和麦肯锡公司 的c r e d i tp o r t f o l i ov i e w 方法，其中c r e d i t m e t r i c s 影响最大。这些方法已变成信用风 险管理的标准方法，其中：c r e d i t m e t r i c s 和k m v 方法是基于结构方法，而c r e d i t r i s k + 方法则源于一种对违约的精算方( a c t u a r i a la p p r o a c ht om o r t a l i t y ) 。 公司信用评级对这些模型来说是一个不可缺少的部分。这部分工作已经从模型的研 究中分离出来，单独由一些专门的评级公司来研究，如美国的标准普尔 ( s t a n d a r d & p o o r s ) 和穆迪公司( m o o d y s ) 以及英国的国际银行及信用分析 ( i b c a i n t e r n a t i o n a lb a n kc r e d i ta n a l y s t ) 。这些评级公司的评级对象主要集中在 企业和金融机构，有着比较详细的评级指标体系。n i c k e l l 等( 2 0 0 0 ) 认为：评级中的等 级迁移概率在信用风险模型中扮演非常关键的角色。等级迁移概率随时间和发行者的类 型不同而变化，忽略这些因素的影响可能导致评估信用风险的结果不精确。文章还考虑 产业、债务人所在地以及商业周期阶段等因素对等级迁移概率的影响，并采用序列概率 模型分析了这些因素的边际效应， 信用风险是金融机构风险管理中最关键、最难以度量的风险。与市场风险的研究不 同，信用风险的研究面i 临两个基本问题：一是数据缺乏，研究市场风险所需的数据频繁 发生，而研究信用风险的数据很少发生。在相当长的一段时间内，公司几乎不发生信用 事件，因此，信用数据过少，不足以估计信用风险模型中的参数。为了解决这个问题， 必须使用同一信用等级的代理人的信用数据；二是模型的有效性，信用风险模型比市场 风险模型在验证有效性方面要困难得多。市场风险模型仅仅需要几天或者几个月的数 据，而信用风险模型需要至少一年以上的数据。时间间隔越长，信用风险模型中的自相 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 关性也就越高。因此，研究市场风险模型的有效性标准不适合用于研究信用风险模型。 从国际上对信用风险模型研究的发展现状来看，以下几个方面还需进一步开展研 究。首先，对于信用风险的定量化研究还需要不断的深入。信用风险定量化理论和方法 虽然已经有了长足的发展，但模型在理论上或者在实践中还存在缺陷。例如，结构化模 型中的公司资产价值的不可观测性问题，强度模型中的违约强度和违约回收率的估计问 题等。这些工作还需继续完善。其次，公司问信用风险的互相影响，以及信用风险与其 他风险的相互影响( 如信用风险和市场风险之间的影响) 也是很值得研究的问题。此外， 信用衍生产品市场正以前所未有的速度发展。信用衍生产品的定价、利用信用衍生产品 管理信用风险、信用衍生产品自身的信用风险管理必将成为研究金融衍生产品中的热点 问题。 对于国内的信用风险研究状况，一方面，我国新兴市场的实际情况与国外发达市场 有着显著的不同，因此，在建立信用风险评估的指标和模型方面，不能完全照搬国外成 熟的信用风险度量模式，必须结合我国信用风险的实际情况，建立有中国特色的信用风 险评估指标体系。其中，建立信用风险数据库和符合国情的信用迁移矩阵是十分重要而 又基础的工作。另一方面，由于国内缺乏权威信用评级公司( 类似如m o o d y 和标准普尔等) 的信用风险统计资料，信用风险的研究就显得相当困难。解决这个问题的有效途径是： 从现有的市场数据中合理地提取信用风险信息，从而估计信用风险模型中的参数，并综 合考虑其他风险的影响，以达到最大限度规避信用风险的目的。 在当前的信用风险研究领域。违约相关性的原因及性质，特别是违约传染现象越来 越为人所关注。违约传染，通常表示一债务人违约对另一债务人违约的影响。显然，通 常有两种影响效果：一是直接的市场影响，它表现为其他债务人的信用价差的明显扩大； 二是相对不太直接的违约影响，它由其他债务人的并发违约所导致。因此，我们可以观 察到价差的扩大和并发的违约，或者只是信用价差的扩大。这一现象经常可以观察到， 比如，1 9 9 7 年亚洲金融危机，或者更近的，2 0 0 1 年安然事件，2 0 0 2 年w o r l d c o m 事件的 相继发生，以及随后的i t 泡沫的破碎。 本文首先给出信用风险定价模型中的基本假设，其次简要介绍信用风险定价中主流 的两种数量分析方法：结构化方法和简约化方法，然后在此基础上，着重关注信用风险 中的违约传染问题，并就其中的单向违约传染问题，运用测度论、随机分析等金融数学 知识，推导出其定价模型，对于信用风险中的违约传染研究有一定的借鉴意义。 大连理工大学硕士研究生学位论文 2 模型构造基本假设 2 1 模型建立的基本条件 考虑风险灵敏性合同盼规范 所有必要风险因素的可识别性 可交易( 流动性) 工具集合的选择 最便利且必需的模型的选择 自金融复制策略的构造 标准衍生产品的定价 标准衍生品市场价值的模型校正 奇异衍生品的定价 灵敏性的计算 2 2 信用衍生品的对冲 只要模型选定，我们就可以应用下面的数学方法来定价和对冲非可达的或有债权： 静态对冲：g r e e n f i e l d ( 2 0 0 0 ) 动态复制：w o n g ( 1 9 9 8 ) ，b e l a n g e r ，s h r e v ea n d w o n g ( 2 0 0 1 ) ，b l a n c h e r s c a l l i e t ， j e a n b l a n c ( 2 0 0 1 ) ，v a i l l a n t ( 2 0 0 1 ) s u p e r 对冲：c o l l i n d u f r e s n e ，h u g o n n i e r ( 1 9 9 9 ) 分位数对冲：l o t z ( 1 9 9 8 ) 基于效用的对冲：c o l l i n - d u f r e s n e ，h u g o n n i e r ( 1 9 9 9 ) 风险中性方法：b i e l e c k i ，j e a n b l a n c ( 2 0 0 2 ) 通过非连续鞅概念的引入，信用风险模型的一般理论得到了迸一步推广，信用风险 的一些特别问题包括： 信用风险与违约风险的正确区分 可交易工具的合适选择 非可交易债权的定价 特别交易策略的限定 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 3 违约事件中的结构化方法 3 1m e r t o n 模型 m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 模型中的一个简单假设就是短期利率是一个常数且等于r 。因此， 很容易看到到期日为r 的无违约零息债券在r 时刻的单位价值为b ( t ，t ) = e ”盯。而这一 公式中的，可以在确定性连续复利的情形下得到推广，这里r ：r + 专丑。我们用e ( 形) 来 表示在t 时刻的公司资产，d ( 形) 来表示在r 时刻的公司债务，公司在t 时刻的总资产满足 l = 取巧) + d ( 巧) 。我们假设公司的价值过程矿符合鞅测度，下的几何布朗运动，特别 地， d l = 巧静一i + 删l ( 1 ) 其中o - 是价值过程矿的波动系数常数，t 如果非负，则代表赔付率，否则，k 表示 对公司的资本流入。过程矿是测度，下关于某一相应滤予f 的一维标准布朗运动。注 意到公式( 1 ) 只在公司资产总价值代表可交易证券时有效。 我们假设违约事件只在债券到期日r 时刻发生。特别地，如果在到期日丁时刻，公 司资产总价值巧小于公司的总债务值三，那么公司违约，而债券持有人此时所得即为公 司价值巧。 反之，公司不违约，并且债务全部还清。 因此，我们从这里可以得到违约债权的一个最基本的例子。 d p ，r ) = l i ，汀 + 巧1 扣s r = l l v , l + 巧1 以。时 或者，等价地， d 仃，t ) = m i l l 以，上) l 以：。 + r a i n 以，三) l 坼。 = r a i n 以，上) 固定值三可以理解为到期日为r 的公司零息债券的面值。 又 d ( r ，丁) = m i i l 簖，三) = l - ( 上一) 十， 其中x + = m a x 仁o ) ，对于任意的z r ，此时一违约零息债券的价值过程d ( ，力就 等于一无违约零息债券面值三与一关于公司资产的欧式卖出期权的差，该欧式卖出期权 的交割价格为上，交割日期为r 。这一终值为仁一巧) + 的卖出期权，在当前的相关文献 中通常被称作p u t t o - d e e a u t 。 因此，公司在t 时刻的价值等于 大连理工大学硕士研究生学位论文 d 化) = d ( f ，丁) = l b ( t ，r ) 一只， ( 2 ) 其中，只是p u t t o - d e f a u l t 的价值，而为了表达上的方便，我们用d o ，丁) 来定义 一违约债券的价值： d ( f ，r ) = 马五- 瞬1 d ( z , r | z ) 由( 2 ) 可以显而易见f 时刻的工资资产满足 e 以) = k 一三b ( f ，r ) + z = c f ， ( 3 ) 其中c ，表示一交割价格为工，交割日期为丁的公司资产买入期权在t 时刻的价值。 为了证明( 3 ) 中的最后一个等式，我们可以观察到在时刻， e 以) = 巧一d 以) = 巧- m i n 嘛，三) = 坼一三) + 因此，公司资产净值可以被看作是一公司资产买入期权。或者，我们也可以直接应 用欧式期权里的p u t - c a l lp a r r t y 关系式： q 一只= k - z n ( t ，t ) 将( 2 ) 与欧式卖出期权套利定价中的b l a c k s c h o l e s 公式相比较，m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 推导出了公司债券套利定价中的一个表达式。定义为标准g a u s s i a n 累积分布函数： 一一 3 击e 丁森， 铷e r 命题3 1 对于任意的0 f t ，我们有 d e ，丁) = v , e 。口。) n ( - 4 ( g ，t f ) ) + e 曰( f ，r ) n ( 吐( k ，t f ) ) ， ( 4 ) 其中 珥，：以，丁一，：!玉!学 ( 5 ) 债券价值可以被重新表达如f ： d o ，力= l b ( t ，r ) 一d p x e d l 其中d p = ( - 吐) = p 坼工) 是( 风险中性) 违约概率，而e d l 是期望违约损失 e d l 瑚”卜而n ( - “4 ) “ 3 2 公司债券的对冲 m e r t o n 的公式可以看作b l a c k s c h o l e s 定价结论的一个变形。因此，违约债券的复 制( 自金融) 交易策略形式可以很容易地从欧式卖出期权的著名的b l a c k - s c h o l e s 对冲 策略推导出来。出于完各性的考虑，我们给出命题3 1 的如下推论，其中，我们记 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 d ( t ， = ，t j 。 推论3 1 违约债券的独立唯一复制策略为，在0 s t ： 和， 姆瓴形，) ) = 【l o , 岭v r 0 分别代表赔付比例和波动系数。和m e r t o n 模型一样，短期 利率被假定为常数，所以利率风险可以忽律。 3 4 1 安全协议 我们首先关注于公司契约规定上的安全协议。一般而言安全协议赋予公司股票持 有人破产或重组该公司的权利，也就是公司在某一既定标准下业绩表现不佳的时候，公 司债券持有人有权利破产或重组该公司。而b l a c ka n dc o x 模型中所用的判定公司业绩 不佳的既定标准为个依赖于时间的确定性障碍水平矿o ) = k e 一，p 。) ，r 【0 ，t ) ，常数 后 0 后 0 。他们假设公司资产价值一低于这一既定标准，那么债券持有人立即接管公 司。否则，违约在到期日发生或不发生，而这依赖于巧 三与否。我们设定： v 翟兽 违约事件在公司价值巧第一次低于既定标准v 0 即f 时刻发生，此时f f o ，丁】，或者 违约根本不发生。违约时间r 因此等于： f = i n f t e o ，r j ：巧 v t ) 如果违约在到期日r 发生，那么回收效益与该时刻的价值过程成一定比例，特别地， 它对常数属e f 0 ，1 】等于届巧。提前违约( r f ) 上，违约债券的价值过程 d e ，r ) = “以，f ) 为： d o ，力= 三占o ，撒瓴化，t f ) ) 一砰。娩以，t f ) ) ) + f l y , e - 。t r - , ) ( 如化，t - t ) ) 一n 瓯，t z ) ) ) + 届k p 4 懈“( 亿以，t f ) ) 一n 魄以，t f ) ) ) + 层巧僻吖阮以，t f ) ) + 群一w 魄以，t 一，) ) ) 其中马= 掣，口= 石+ l f ：仃t 归再；再j 并且盔以，t f ) ：塑虼三掣， 盯叫一r 以卜，) ：业盐掣墼坐幽， 盯、z 。一t 岛卜，) ：堂盟专掣， 盯吖一f 大连理工大学硕士研究生学位论文 化卜班些幽专掣， 盯叫一f 魄，丁一f ) ：h l v 2 ( t ) - l n ( v t l 旷) + ( o + c r 2 x t - t ) ， 盯吖一t 概) = 型趔譬粤幽， 以, t - o = 巡掣， 魄以卜，) ：堂堂嗥掣。 o - v 1 一t 3 4 2 特例 我们现在分析b l a c k c o x 定价公式的某些特例。我们假设届= 压= 1 ，并且障碍函 数哥使得k = l 。那么必须有，r ，否则，与条件( 8 ) 不符。显然，如果k = l ， d o ，力= d l ( f ，力+ d 2 ( f ，r ) ， 其中 d i ( f ，r ) = 凹( f ，r 炳瓴以，t f ) ) 一砰5 如彬，t f ) ) ) ， ( 9 ) d 2 以r ) = l 孵+ r ，t f ) ) + 砰一r 魄化，t f ) ) ) ， ( 1 0 ) 当y = ，时： 如果我们假设y = r ，那么f = 一盯- 2 舀，并且因此 巧j ，= l b ( t ，丁l l 彤一= k 砰5 “= l b ( t ，丁卫芊5 此外，很容易看出此时 岛化，) ：堂4 掣；一岛以严，) o v 1 一t 而 ，t f ) ：1 ： ( o - l n ( v 尹：。) + - 一( r - o ：，t f ) 矿v 一r 因此，我们得出，如果谁) = 厶”“) = 凹( f ，丁) ，那么d ( f ，r ) = 衄e ，砷。 这一结论是很直观地，如果违约债券的安全协议由障碍函数所表示，而且该函数等 于债券面值的折现值，那么该违约债券显然等价于一具有相同面值和到期日的无违约债 券。注意到当，：，但是量 r ，那么你可能希望d ( t ，t ) 比三b ( f ，r ) 要小一些。现在我们将证 明当，趋于无穷大( 而其他参数不变) 时，b l a c k - c o x 模型中的价值将收敛于m e r t o n 模 型中的价值，也就是说， l i m d ( t ，r ) - - v , e 一( 7 。) n ( - d l ( v t ，t f ) ) + 上b ( r ，r ) n ( - 4 ( v , ，t 一，) ) 7 帽 首先，显然啊彬，t r ) = 吐以，t - t ) 。此外，直接计算表明 l i m 砰5 n 魄，t 一0 ) - - l 哑群，魄化，t f ) ) = o 一 ， 因此，公式( 9 ) 右式第二项，和公式( 1 0 ) 右式第二项抵消。最后， l i m 群+ r 佤以，t 一功= e 4 ( “) 卜吐化，t f ) ) ， y 叶目 既然l i m 群。= e - k ( “) ，并且l i m 岛化，t f ) = 一吐，t 一，) 。 ，o，1 3 5 市场完备性 在基于结构化方法的大多数模型中，违约的发生不会导致新的不完备性。正如 m e r t o n 模型和b l a c k - c o x 模型中那样，既然违约时间是资产滤子的停时，所以如果无违 约市场是完备的，那么违约市场也是完备的。注意到完备性的定义很大程度上取决于滤 子的选择( 不考虑可交易资产的选择) 。 在上述两个模型中，违约时间也是一个可测停时。这一性质在周春生( 1 9 9 6 ) 的模 型中不再适用，该模型中，公司价值的动态性主要取决于跳跃一扩散过程。此时，不只 是违约市场，甚至无违约市场也是不完备的。 3 6 信用衍生品的定价和对冲 只要无违约市场是完各的，就可以对冲任何终端价值滤子下的或有债权，从而可以 对冲任何违约或有债权。特别地，信用衍生品的对冲类似于基本的期权对冲及第二代期 权组合的对冲。既然这方面的论述已为众人所知，在此概不赘述。 3 7 部分的观察 到现在为止，我们一直假设所有人对于公司价值的当前状况都是了如指掌。而 d u f f l e 和l a n d o ( 2 0 0 1 ) 的文章中，则使我们现在可以考虑对于公司价值的状况并不是 完全了解的情况。特别是我们只在离散的时刻，r 2 ，时才对公司状况有足够了解的情 况。 我们假设 大连理工大学硕士研究生学位论文 j k = 盼一七+ 。d 形+ ) 设户c f ”为由所知的可用的信息集所生成的滤子： 霉= 舾，q l 当f t i 霉= 群= 盯以，s 蔓 ) 当 f f 2 霉= e ? = 盯以，s 蔓工当乙 f r 旧j 。我们记= e 嘶，其中 置= o r + r 4 , ，d = ( ，盯) 一盯2 ，我们定义口= ( 1 盯) i n 以口) 。利用马尔可夫性的基本 运算，在t t 卅群) = 嚣o ，丁) p 。i n ，f x , 档) = 1 b 。 占o ，丁p 懈i n f ，x ， 口i 譬) = 1 p 叶 占( r ，丁净留，a 一置) 其中，中以刁= ，电箩妇+ 嘭) z j = 睁卜。，对琢o ，r 。 = o ，对于：0 ，t 0 ( 0 ，0 = 1 ，对于三 ) 上，跳跃为 0 ( d g ，r ) n o ，r ) ) = 西e 一。，口一爿0 ) 一1 。 陈田：信用风险中的单向违约传染定价模型 4 违约事件的基于强度的方法 结构化方法的一大缺陷在于违约时间是可测停时( 至少在m e r t o n 和b l a c k c o x 模 型中如此) 。为了描述违约事件发生的偶然性，我们可以应用完全不可达停时( 即在严 格正的概率集合上与可测停时不一致的停时) 理论。这些停时中最典型的例子为p o i s s o n 过程中的跳跃时间。 设n 为定义在概率空间心，g ，q + ) 上，强度为五的p o i s s o n 过程，我们定义r 为n 的 第一次跳跃的随机时间，也就是说， f # i n f t 0 ：m 0 j 这一时间不可预知，但其法则却为人所熟知：即参数为五的指数律。强度系数五由 补偿过程m 一刀为关于生成的滤子的鞅这一事实( 因此，停止过程i t = f ：一五( f f ) 也为鞅) 所刻画。 这可以推广到非齐次p o i s s o n 过程的情形( 非齐次p o i s s o n 过程为一随机过程， 该过程使得一e 五0 ) 为由n 所生成的滤子的鞅) 。如果五为一给定的非