（应用数学专业论文）伴随超临界分支特征的同宿轨分支.pdf

毒氟 ? ， t h eb i f u r c a t i o no fh o m o c l i n i cc y c l e s a c c o m p a n i e d w i t ht r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n t o fm a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u p e r v i s o r ：x i n g b ol i u ( a s s o c i a t ep r o f e s s o r ) m a s t e rc a n d i d a t e ：l i n as h i 2 0 11 5 l 一 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文伴随超临界分支特征的同宿轨分支，是在华东 师范大学攻读啄芦博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示 谢意 作者签名： 日期：如1 年f 月g 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 伴随超临界分支特征的同宿轨分支系本人在华东师范大学攻读学位期间在 - , - 9 j j i l i 指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 v 有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关 f 机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位论 文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用 影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木，于 年月日解密，解密后适用上述授权 ( ) 2 不保密，适用上述授权 导师签名：赳羔1 主 本人签名 如i 髓 ； 翅 j 堍研竹硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学数学系 主席 汪志鸣副教授华东师范大学数学系 傅显隆副教授华东师范大学数学系 本文主要讨论了两类伴随超临界分支的高维非退化系统在非通有假设下的同宿轨 道分支问题第二章研究的是伴随超临界分支的高维系统，在同时发生轨道翻转及倾斜 翻转的情况下的同宿轨道分支问题通过构建局部活动坐标架，建立p o i n c a r 舌映射，进 而经过简单的计算导出系统的分支方程，将问题转化为求分支方程的非负解的存在性 首先讨论当超临界分支不发生时，同宿轨、周期轨的存在条件；其次在伴随超临界分 支的假设下得到同宿轨的保存及分支出周期轨道的条件，其中还考虑了倾斜翻转强度 对于分支结果的影响 第三章讨论了伴随超临界分支的高维系统，在发生双轨道翻转的情况下的同宿轨 道分支问题在其它的一些非通有假设下，同样利用局部活动坐标架法构建后继函数， 进而得到新的分支方程组之后仍然从是否伴有超临界分支两个方面来讨论同宿轨道 的存在、保存及分支出周期轨道的条件与此同时，也得到了一些相关的结果 关键词：超临界分支；倾斜翻转；轨道翻转；同宿轨；异宿轨；周期轨 a b s t r a c t t h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t c o m p o n e n t so ft h et h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti si m p o r t a n ti nal o to ff i e l d s o fs c i e n c e ，e s p e c i a l l yi nt h ec h a o sa n dt h er e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n ds oo n s i n c et h e l o c a lc o o r d i n a t em e t h o da p p e a r s ，t h eb i f u r c a t i o np r o b l e mi se x t e n d e d i nt h i sp a p e lt w ot y p ep r o b l e m so fh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o na c c o m p a n i e dw i t ht r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o na r es t u d i e df o rt h eh i g hd i m e n s i o n a ls y s t e mu n d e rt h en o n g e n e f i ch y p o t h e s i s i nc h a p t e r2 ，t h ep r o b l e mo fh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o na c c o m p a n i e dw i t ht r a n s c r i t i c a ib i f u r - c a t i o na n do r b i t - i n c l i n a t i o nf l i p si si n v e s t i g a t e d b y c o n s t r u c t i n gt h el o c a lc o o r d i n a t es y s t e m s ， w ee s t a b l i s h e da p o i n c a r 垂m a pt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs u f f i c i e n t l ys m a l ln o n e g a t i v e s o l u t i o n so ft h ei n d u c e db i f u r c a t i o ne q u a t i o n s f i r s t l y , w ed i s c u s sb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i c o r b i tw h e nt r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o nd o s en o th a p p e n ，t h ep e r s i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t ，t h e e x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i ta n dp e r i o d i co r b i ta r ee s t a b l i s h e d ；s e c o n d l y , w ea n a l y z eb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i co r b i ta c c o m p a n i e dw i t ht r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n 也ep e r s i s t e n c eo f h o m o c l i n i co r b i ta n db i f u r c a t i o no fp e r i o d i co r b i tf r o mt h eh o m o c l i n i co r b i ta r eo b t a i n e d m e a n w h i l e ，w ea l s oc o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo ft h ei n c l i n a t i o ns t r e n g t hi nt h et w oc o n d i t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mo fh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o na c c o m p a n i e dw i t ht r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o ni ss t u d i e du n d e rt h eh y p o t h e s i so fd o u b l eo r b i t - f l i p u s i n gt h em o v i n gf r a m ea n d p i o n c a r 否m a p ，w eo b t a i nt h eb i f u r c a t i o ne q u a t i o n s b a s e do nt h ee q u a t i o n s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nt og u a r a n t e et h ep e r s i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t s ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c o r b i t sa n dh e t e r o c l i n i co r b i t s m e a n w h i l e ，s o m ek n o w nr e s u l t sa l ee x t e n d e d k e yw o r d s ：t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ；i n c l i n a t i o nf l i p ；o r b i tf l i p ；h o m o c l i n i cb i f u r - c a t i o n ；h e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o n ；p e r i o d i cb i f u r c a t i o n 目录 第一章引言1 1 1 分支理论的研究背景、成果及意义l 1 2 分支理论的基础知识3 1 3 文章结构概述3 第二章伴随超临界分支的轨道倾斜翻转的同宿轨分支5 2 1 预备知识5 2 2p i o n c a r 舌映射及相应的后继函数7 2 3 主要结果及证明1 1 2 3 1 l = 0 的分支结果1 2 2 3 2a 0 的分支结果1 7 第三章伴随超临界分支的双轨道翻转的同宿轨分支2 4 3 1 预备知识2 4 3 2p i o n c a r 否映射及相应的后继函数2 6 3 3 主要结果及证明3 0 3 3 1 五= 0 的分支结果3 0 3 3 2a 0 的分支结果3 2 第四章文章小结3 4 参考文献3 5 致谢3 9 华东师范大学硕士论文第一章引言 第一章引言弟一早 jl 苗 1 1 分支理论的研究背景、成果及意义 1 9 1 2 年美国数学家g d b i r r d a o f f 提出了动力系统的概念，之后1 9 3 7 年a a n d r o n o v 和l p o n t r y a n i n 在动力系统中引进“结构稳定”的概念由韩茂安、朱德明撰写的 微分方程分支理论从基础理论研究的角度指出，微分动力系统的一个重要方向是 刻画结构的稳定性平面动力系统结构稳定性的概念早在1 9 3 7 年就有人提出了，并在 解析情况下给出了结构稳定的充要条件，而对于结构不稳定的动力系统的研究则产生 了分支理论 一般分支理论分为两个不同的方向，即静态分支和动态分支静态分支理论是有 关函数中一些参数改变时，零点集合的结构所产生的变化；而动态分支理论就是关于 向量场中一些参数变化时对微分方程轨道的极限集结构中所产生的变化这些年中， 大多数学者把研究的重点放在了动态分支理论上它主要是带参数的动力系统，当参 数在某个特定值附近作微小变化时，其动力学行为( 即相空间轨道的拓扑结构) 发生本 质变化的情况 微分方程分支理论是微分方程理论的重要组成部分分支理论起源于十九世纪 末，由于在实际问题中应用的推动，有关这方面的研究有了很大的发展众所周知，在物 理、力学、工程、化学反应、生态学、社会经济、金融等领域的科学研究中，经常以 微分方程( 组) 为其数学模型进行研究( 文献【1 1 【4 】) 在每一个模型中都含有一个物理 参数，他们可以在某些特定的集合中变动，利用分支理论去寻找一个合适的参数值对于 指导我们进行科学研究是有很重要意义的 近些年来，随着大家对分支问题的研究越来越深入，同宿轨、异宿轨分支问题成 了许多学者关注的热点之一当然相应的研究结果也不计其数，如文献【5 】 1 2 】从不同 囊“j_。涉。 华东师范大学硕士论文第一章引言 的方面进行了讨论其中【5 】【7 】主要研究了同宿轨分支而【8 】- 1 2 】研究了异宿轨分支 现象文献【6 】讨论了与无限周期的极限处的双周期轨类似的同宿轨道分支现象文献 【8 】介绍了伴有两个鞍点的粗异宿轨分支现象文献【9 】在自治的动力学系统中即涉及 了同宿轨分支又包括了异宿轨分支 关于高维系统的高余维分支问题如因发生各种共振、轨道翻转或倾斜翻转及这几 种情况交叉发生而引起的同宿、异宿轨道分支问题的研究也取得了较大的进展，如文 献【1 3 一【2 1 】其中文献【1 3 】在可逆系统中对八字形的伴有轨道翻转的同宿轨分支现象 进行了研究；文献【1 5 】在四维系统中讨论了具有共振特征值的轨道翻转双同宿环分支； 文献【1 8 】对一类特殊的三维向量场的开折做了数值模拟，明确的得到了具有倾斜翻转 或轨道翻转的同宿环；而文献【1 9 】和【2 0 】中不仅具有倾斜翻转还具有轨道翻转 然而，从以往的研究来看，大多数的文章是在双曲平衡点附近研究它的分支问题， 相对地连接非双曲平衡点的分支问题得到的关注较少我们都知道非双曲平衡点都 是不稳定的且经常经历鞍结点分支或超临界分支或又型分支明显地，伴有非双曲 平衡点的轨道分支问题的研究会更加困难和具有挑战性，所以这方面的文献较少，如 ( 【2 2 】【2 7 】) 其中文献【2 3 】讨论了伴有一个非双曲平衡点p i 及一个双曲平衡点p 2 的异 宿轨道分支问题，其中p l 处发生超临界分支；文献 2 4 】研究了伴有非双曲平衡点的余 维l 的同宿轨道分支问题；文献 2 6 】考虑了伴有超临界分支的通有同宿轨道的保存及 分支出周期轨道的情况；文献【2 7 】在非通有的假设下讨论了与文献【2 6 】相同的问题 本文的思路主要来源于文献【2 6 】与【2 7 】，全文分为两部分讨论了伴随超临界分支 的高维非退化系统在非通有假设下的同宿轨的分支问题第一部分在具有超临界分支 特征的高维非退化系统中，假设正向即发生轨道翻转又发生倾斜翻转，在该假设下同宿 轨道的保存及分支出周期轨道的条件同时也得到了该条件对倾斜翻转强度的依赖 第二部分在同样的系统中，假设其发生双轨道翻转，此时得出的分支方程比较复杂，主 要通过隐函数定理从理论上讨论了同宿轨道保存及分支出周期轨道的条件在这两部 分的讨论中，都利用了局部坐标架构建p o i n c a r 吾映射，进而得到分支方程( 组) ，将问题 转化为求分支方程( 组) 的非负解 2 华东师范大学硕士论文 第一章引言 1 2 分支理论的基础知识 本小节主要是针对文章中普遍出现的一些名词作出简单的解释 定义1 1 设有一向量场的相轨线，如果这轨线不是奇点( 或闭轨) 本身，而且它的t l 极 限集与t o 极限集都等于这个奇点( 或闭轨) ，则称该轨线为奇点( 或闭轨) 的同宿轨；如 果相轨线的t l 极限集与t o 极限集是不同的奇点或闭轨，则称其为异宿轨 定义1 2 一般情况下，同宿轨或异宿轨总是沿着弱稳定( 弱不稳定) 方向进入( 走出) 奇点，如若不是，则称这条同宿轨或异宿轨正向( 负向) 发生轨道翻转；如果轨线既不是 沿着弱稳定方向进入奇点，又不沿着弱不稳定方向走出奇点，则称这条轨线发生双轨道 翻转 定义1 3 当时间t _ 一o o ( + o o ) 时同宿轨或异宿轨的稳定( 不稳定) 流形上的向量一般 趋向较强的稳定( 不稳定) 方向，则称稳定( 不稳定) 流形满足强倾斜性质如若不具有 该性质，则称该轨线负( 正) 向发生倾斜翻转 定义1 4 强稳定叶层( 强不稳定叶层) 称为强倾斜翻转，如果当t - 一o o ( + o o ) 时，它是 倾斜翻转的且它的强稳定( 强不稳定) 分量当t l 时在t = 一t ( 7 ) 处等于o 1 3 文章结构概述 全文内容一共分为四章 第一章，主要介绍了分支理论的研究背景、基础知识及现在已有的结论 第二、三章是本文的核。i 、j 、部分，主要研究了伴有非双曲平衡点的同宿轨的分支情 况 第二章在高维系统中假设伴有超临界分支特征的同宿轨正向不仅发生轨道翻转同 时还发生倾斜翻转通过建立局部活动坐标架得出p i o n c a r 舌映射进而得到分支方程 3 华东师范大学硕士论文第一章引言 利用基本的数学方法分析分支方程的非负解的存在条件，其中不仅考虑了参数l 是否 为零情况，而且还讨论了中心不稳定流层胪“是否发生强倾斜翻转的情况最终相应 地得到了同宿轨道的存在、保存及分支出周期轨的条件及异宿轨存在的条件 第三章在高维系统中，假设伴有超临界分支特征的同宿轨发生双轨道翻转之后 仍然从a = 0 与a 0 两方面讨论分支方程组的非负解的存在性，其中最重要的是应用 了隐函数方程组的解的存在性及函数单调性等的方法来考虑的最终得出了同宿轨保 存和分支出周期轨的条件 最后一部分针对本文的结果及不足进行了总结 4 华东师范大学硕士论文 第二章伴随超临界分支的轨道一倾斜翻转的同宿轨分支 第二章伴随超临界分支的轨道一倾斜翻转的同宿轨分支 2 1 预备知识 首先对系统进行适当的假设，利用不变流形理论在非通有的假设下，对具有超临界分支 特征的带有小扰动的高维非退化系统在奇点的邻域内给出了比较简洁的规范型 考虑系统 d = g ( t o ，a ，e ) ( 2 1 1 ) 及未扰系统 d = f ( t o ) ( 2 1 2 ) 其中山彤，a r ， r ，0 i e i 1 ， 只g c 7 ，4 ， g ( t o ，0 ，o ) = f ( 曲 以下对系统( 2 1 2 ) 进行假设 1 ) 系统具有一条同宿轨道f = 厂( f ) ，t 励，“士o o ) = 0 ，d w f ( o ) 具有特征值 - h i ，0 ， 待1 n l ， j = 1 n 2 ( n l + 1 1 2 + 1 = n ) 其中- , t l ，l 全部为单实特征值， 其他的特征根满足- r e a i a p l 0 ，其中口，b 为两个常数由 此可见，非双曲奇点= 0 具有n 1 维稳定流形w 5 ，n 2 维不稳定流形胪，以及1 维中 心流形 ( h 2 ) d i m ( t q 胪t 3 w 盯) = d i m ( t q 胪”n w 5 ) = l v 留r ( 力 其中胪与胪。分别为原点的中心不稳定流形，中心稳定流形，w 盯是强稳定流形由 假设知同宿轨道r 是沿着中心流形远离原点，沿着强稳定流形趋近于原点的 ( 飓) l i mh f ) 胪“= e l + e 2 ，l i m 珏f ) ke l + e 2 f + o oi - - o o 其中e l t o w 盯，e 2 t o w c ( 凰) 记参数a 是超临界分支的控制参数，y 为系统( 2 1 1 ) 的中心流形方向， 5 华东师范大学硕士论文第二章伴随超临界分支的轨道倾斜翻转的同宿轨分支 鼢，a ，) 为系统定义在中心流形上的向量场且满足 e ) - 0 争o 0 ) - o ，铷o ，o ) o ，舄( o 。，o ) 。，罴( o 0 0 ) _ o 注2 1 ：( 飓) 和( 飓) 表示系统在其正方向上即发生轨道翻转又发生倾斜翻转 注2 2 ：若( 凰) 成立，则系统( 2 1 1 ) 具有超临界分支特征奇点0 分支出两个奇点 q 0 与q l ，其中a o = 0 ，q l = ( o ，o o a ，o ) + d ( a 2 ) 4 - o ( a e ) ，o o = 一翥( o ，0 ，o ) 雾( o ，0 ，o ) 且q o 具有7 1 1 + 1 维稳定流形及n 2 维不稳定流形；q l 具有n 2 + l 维不稳定流形和n l 维稳定流形 根据不变流形定理，存在一个c ，变换，在原点的小邻域中把系统的稳定流形 w ，不稳定流形，强稳定流形w 鼬，中心流形，c ，中心不稳定流形刖及中心稳定 流形w 拉直记工= 0 l ，x 2 ) ，则上述拉直的局部不变流形表示为 w 麓= ( z ，y ，z ) ：y = 0 ，z = 0 1w = “弘z ) ：工= 0 ，) ，= 0 馁= ( x ，y ，z ) ：z = 0 w 7 嚣= ( z ，y ，z ) ：工= 0 w 馁= ( x ，y ，z ) ：x l = 0 ，y = 0 ，z = 0 = i ( z ，) ，z ) ：x = 0 ，z = 0 则系统( 2 1 1 ) 化为 矗= f u 0 ，y ，z ，a ，f ) x 2 = f l e ( x ，) ，z ，a ，e ) ( 2 1 3 ) 夕= f i i ( x ，y ，z ，a ，e )之= 歹( 工，) ，z ，a ，) 在原点的砜邻域内，系统( 2 1 ) 具有下述的形式 戈l = 【- , l l ( t z ) + 】工l + ( d + d ( z ) ) d ( 砭) 夕= 一毋+ ) j 2 + e h ( x ，) ，z ) + h o t 癌= 【a l ( 口) + 】娩+ x l 【o ( x i ) + 0 ( y ) + d ( z ) 】 之= 陋l ( 叻4 - 】z ( 2 1 4 ) 其中口= ( a ，e ) ，x l r ，x 2 r t 一1 ，y r ，a l ( o ) = a l l ( 0 ) = p l ，- r e ( o ( a l ( 口) ) ) b ，而i 胆：= o = d o 声) 6 华东师范大学硕士论文第二章伴随超临界分支的轨道一倾斜翻转的同宿轨分支 2 2 p o i n c a r o 映射及相应的后继函数 以下通过构建活动坐标架，利用系统所定义的流建立相应的p o i n c a r 百映射记 a ( 力= d ，( “力) ，考虑线性变分系统及它的伴随系统 u = a ( t ) u( 2 2 1 ) 击= - a ( 力( 2 2 2 ) 在原点的充分小邻域u o 内，取t 1 使得“一t ) = ( o ，6 , 0 ，o ) ，r ( t ) = ( o ，0 ，正o ) 其中6 充分小且满足 弦z ) ：i 州，m ，i z l ；6 cu o 引理2 1 记“力= ( r l ，r 2 ，r 3 ，r 4 ) ( f ) ，系统( 2 2 1 ) 存在基解矩阵u ( 0 = ( u l ( f ) ，u 2 ( t ) ， u 3 ( o ，“4 ( 观满足 u i ( t ) ( h f ) w 5 广n ( h r ) 胪“) c 以f ) = 一篇h ，) w 5 nh r ) 酽 u 3 ( t ) h r ) w 5 【h f ) w 。nh f ) 酽】 u 4 ( t ) 乃，) w 纠【h f ) w 5nh f ) 胪】 且有 u ( 丁) = 厅l l01u 4 1 000 1 4 2 0i d0 d 4 3 i d00r 4 4 u ( - t ) = 1 10u 3 10 u 1 2u 2 2u 3 20 001 3 30 u 1 40u 3 4l d 其中u 2 2 o ，u 4 2 ，u 3 3 ，t i l l 0 ，且当t 1 时，i u 4 i l 1 ( 江1 ，3 ，4 ) ， l “i ：“l f i 1 ( f _ 2 ，4 ) ，l u s u 3 1 1 1 ( f = l ，2 ，4 ) 证明：由u 2 ( t ) 的定义易选取u 2 ( t ) 与u 2 ( - t ) ，且由于，( d 是由中心流形的切方向走出 的，故u 2 2 0 根据u 3 ( t ) h r ) w 5 【玖r ) 5nh r ) 胪】，可选取u 3 ( t ) = ( 1 ，0 ，0 ，0 ) 由于 u 3 ( - t ) h r ) w 5 【h 一7 ) w 。n 致一n 胪】由倾斜翻转的条件( 马) 知u 3 3 0 ，同理可选取 u 4 ( t ) 与u 4 ( 一丁) 7 华东师范大学硕士论文第二章伴随超临界分支的轨道一倾斜翻转的同宿轨分支 接下来设历l ( 丁) = ( 0 ，0 ，0 ，i d ) ( r ) w 5 ) cf l ( h r ) 胪) 。，露l ( f ) 为满足初始条件 历i ( 丁) 的解，同时记f i l ( - t ) = ( i i l l ，豇1 2 ，豇1 3 ，豇1 4 ) + 令u l ( 力= i 2 l ( d u 3 扣1 3 “3 ( 0 ，易知 u l ( t ) ( h t ) w 5 ) cn ( h ，) w 删) 。且仍是系统( 2 2 1 ) 的解，从而得到d i ( 丁) 及u l ( 一丁) 其 中“l f = 历“一u 3 1 u 1 3 u 3 j ，厅l l = 一“蠹历1 3 由于胪“在正方向上发生倾斜翻转，所以易知 u 4 2 0 同时根据刘维尔公式以及d e t u ( t ) 0 ，我们可以得到“l l 0 对于f h 衰“舢i l 等类似的证明可以参阅文献【3 0 ，3 1 1 记( 力= ( u 1 ( f ) ) + = ( 科( 力，噶( 力，q o ；c t ) ，峨( f ) ) ，则d o ( t ) 是伴随系统( 2 2 2 ) 的基解矩阵 下面将在坐标系( u l ( d ，u 2 ( t ) ，u 3 ( f ) ，u 4 ( f ) ) 下建立由系统的流在r 邻域内诱导的 p o i n c a r 舌映射 首先在r 邻域内作变换 s ( f ) = “f ) + ( ，( d ( o = r ( d + u t ( t ) n l + u 3 ( t ) n 3 - i - u 4 ( t ) n 4 其中( 力= ( 1 , 0 ，n 3 ，n 4 ) t 卜t 刀 定义系统( 2 2 1 ) 在r ( t ) 与“一丁) 处的p i o n c a r 毒截面 s o = ( x ，y ，z ) = j ( 丁) ：i n i i 6 l s l = ( 工，y ，z ) = s ( - t ) ：i n i i 0 ， 妒l ( d 满足当t _ + o o 时，e - 3 t t p l ( f ) 一o ；当t 一一o o 时，妒l ( d 指数级地趋于o 同时由于 厂( f ) = ( 0 ，0 ，x 2 ( t ) ，o ) t t ，“f ) = ( o ，) ，( f ) ，0 ，o ) t 一t 从而易证( 可参照文献【3 1 】) m l _ = e 科g a ( r ( f ) ，0 ，0 ) d r = e 瞄g ( “力，0 ，0 ) d t m l 。= 丘妒：g 。( ，( f ) ，0 ，0 ) d t = 工：妒：g 。( ，( f ) ，0 ，0 ) d t 第二步：构建奇异映射的表达式 考虑由系统( 2 2 1 ) 在邻域的流诱导的映射p o ：s o - s l q o ( x l o ，y i o ，x 2 0 ，z o ) hq z ( x l l ，y l l ，恐l ，z o 令了为系统( 2 2 1 ) 的轨线由口。到口l 所经历的时间，为简洁计，不妨设, t l o ) ，此时令j = o 且( 2 3 1 ) 式变为m l e e + h d f = 0 从而得出 定理2 2 假设条件旧1 ) 一一( 凰) 成立且满足m l 。0 ，l = o ，0 0 时，易知直线n o ( s ) 与曲线上o ( j ) 无交点故系统此时不 存在任何周期轨与同宿轨共存 ( 2 )当“乏( 飓f e ) o 时，此时( d = 雎乏f 萨与磊等曲线 l o ( j ) 有间断点s o2e a l 一，拐点而= 一i 广1 - 2 且l ，i _ + m 。t o 0 ，u l i m 3 。e 0 ，则有厶( s ) 0 ，k ( d 0 ，当0 i e i 1 时，结 合图像易知此时直线n o ( s ) 与曲线l o ( s ) 仍然无交点即周期轨与同宿轨仍然不能共存 共存 定理2 3 假设条件( h 1 ) 一一( - 4 ) 成立且满足m l 。0 ，a = 0 ，0 0 ，d 4 4 u 4 2 u l l 坞。 0 时，系统在r 的小邻域内不存在周期轨 证明：在假设u 4 4 o , a = o 下，可将( 2 3 1 ) 式化成丁竺筹+ 比i 卜坞。e + m - 。+ 死仉六= 0 记 l ( s ) = “i 卜尬。f + m i f f l t c s ，= 一t 兰专荤琶妄i + 。， 由于n l ( o ) = m l 。e ，l l ( o ) = 0 1 3 j ：( s ) = h 矗坞。f 炯= 一石u 4 4 丽u 4 1 a l l 6 2 + 胁 华东师范大学硕士论文第二章伴随超临界分支的轨道一倾斜翻转的同宿轨分支 ( i ) 不妨假设u l i m 3 。f 0 ，m 1 。e 0 ，显然当n i ( 0 ) 0 ，l l ( o ) = 0 ，l ：( s ) 0 使得 l ( s o ) = l i ( 两) 即系统( 2 1 1 ) 在r 的小邻域内存在唯一的周期轨 ( i i ) 不妨设u l l m 3 。e 0 ，m l 。e 0 ，u 4 4 u 4 2 0 ，从而有n l ( o ) 0 ，吖( s ) 0 ，l l ( o ) = 0 ，上( j ) 0 上无任何交点故n i ( s ) = l l ( j ) 无正解， 即系统( 2 1 1 ) 在r 的小邻域内不存在周期轨对于其他的情况可以类似的讨论 以下是对于( h l lm 3 。e ) ( m l 。) 0 ，u 4 4 u 4 2 u l lm 3 。e 0 ，m l f e 0 ，u 4 4 u 4 2 0 点相切的充要条件是l ( d = ，( d 和( j ) = n ( s ) 同时成立 即在原点的充分小邻域内存在一正解满足下列方程组： 砷眼椭c c 一一者篙慨叫 h 了j 毛。e = 一茄+ 。r 通过计算可以先去求等式 ( “矗坞。) 2 ，+ ( 2 u ；i i m 3 。e m l 。e + h 4 4 删a l “矗坞。f ) s + ( m l 。d 2 + h o t = 0 的正解的存在性从而只需满足 = ( u l f m 3 f f ) 2 ( 2 m l e e + u 4 4 u 4 1 1 ) 2 4 ( “吾坞e ) 2 ( m l f e ) 2 = u 4 4 a l ( u 4 4 a l + 4 m l 。e ) + | 1 0 t 0 和 ( “- i l 毛。) ( 2 订l 。e + 1 1 4 4 “矗a 1 ) 0 时，则相应地可以得到两个正解 记j l = 印一 由于 札2 = 型鼍铲 、， 2 啦丽丽万 2 ( u l ? m 3 f e ) 2 晚2 印+ 2 ( u 矗m = 一3 , e ) 2 、， l ( o ) = m 1 e e 0 ， ( 0 ) = 0 l i m n ( 占) = s - - * o + h o t 知曲 f ( j ) = “矗飓。e 0 ( s ) = 一万u 4 4 丽u 4 1 a l l 0 2 + 胁 。 l i 啦( s ) = o o s r 故在原点的充分小邻域内方程组解$ 1 = $ 0 - - 2 ( u t ? 讴m 3 e e ) 2 从而得到系统的双周期 轨分支曲面s n ： 卵卜阳抽胀堋甜者， 定理2 5 假设条件( 日1 ) 一一( 1 4 4 ) 全部满足，a = 0 ，“4 4 0 且( 蹦1 i m 3 。) ( m l 。) 0 ，“1 1