（应用数学专业论文）关于kuramotosivashinsky方程平衡解的分岔问题.pdf

关于k u r a m o t o s jv a s h i n s k y 方程 平衡解的分岔问题 专业：应用数学 y7 7 5 9 9 9 研究生：钟吉玉指导老师：马天教授 摘要：本文运用了l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法，讨论了在维空间中的 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程当参数五穿过分岔值 = k2 ( k = 1 , 2 ，) 时的 平衡解的分岔情况我们得到了如下结果：在奇函数空间中， k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程从( “，五) = ( o ， 。) ( 丑= k 2 ，k = 1 , 2 ，) 处分岔 出严格的两个平衡解；在整个空问中，该方程从( ，丑) = ( 0 ，五) ( 九= k2 ，k = 1 , 2 ，) 分衍出一个圆，圆上每一点都是该方程的平衡解 关键词：平衡解；分俞；分分值；l y a p u n o v s c h m i d t 分岔方程 o nt h eb i f u r c a t i o no ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n o ft h ek u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：z h o n g j i y u a d v i s o r ：p m f t i a nm a a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h eb i f u r c a t i o no fk u r a m o t o s i v a s h i n s k y e q u a t i o n i no n ed i m e n s i o n a ls p a c eb y l i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o nw h e nt h e p a r a m e t e r 2g o e st h r o u g ht h eb i f u r c a t i n gp o i n t 以= k2 ( k = 1 , 2 ，) h e r e ，w e p r o v et h a t t h e k u r a m o t o 。s i v a s h i n s k ye q u a t i o nb i f u r c a t e sf r o m ( u , 2 ) = ( o ，以) e x a c t l yt w oe q u i l i b r i u ms o l u t i o n si no d df u n c t i o ns p a c ea n db i f u r c a t e sac i r c l ei nt h e w h o l es p a c e ，w h i c h c o n s i s t s o f e q u i l i b r i u ms o l u t i o n s ，w h e r e = 后2 ( 七= 1 , 2 ，) k e yw o r d s ：e q u i l i b r i u ms o l u t i o n ；b i f u r c a t i o n ；b i f u r c a t i n gp o i n t ； l y a p u n o v - s c h m i d tb i f u r c a t i n ge q u a t i o n 四川大学硕十学位论文关于k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程平镯解的分岔问题 介绍 对于含参数的动力系统 ( o 1 )x = f ( x ，a ) ， 当参数 变动并通过 时，如果系统失去结构稳定性，即系统的定性性态( 即 拓扑结构) 发生突然变化，则称该系统在矗处出现分岔 称为分岔值分岔 是一类常见的重要非线性现象，并与其他非线性现象( 如混沌、突变、分形、 拟序结构等) 密切相关因此，在非线性科学中分岔研究占有重要的地位 分岔问题起源于研究一些力学失稳现象早在1 8 世纪中叶，伯努利( d a n i e l b e r n o u l l i ) 和欧拉( l e u l e r ) 等人就已经研究过杆件在纵向压力作用下的屈曲 问题1 8 3 4 年，雅可比( c g 。j j a c o b i ) 在研究自引力介质的椭球形旋转液体 星的平衡图形时，首先引进“阿爸z w e i g u n g ”( 德文“分岔”) 这个术语1 8 8 5 年，庞卡莱( h j p o i n c a r 6 ) 提出旋转体星平衡图形的演化过程的分岔理论1 8 8 3 年，雷诺( 0 r e y n o l d s ) 发现在临界霄诺数时层流转变为湍流的现象， 从此 开始了流体动力学稳定性的研究固体力学的屈曲和流体动力学的失稳一直是 推动分岔研究的重要动力二十世纪3 0 年代，范德波( b v a nd e rp 0 1 ) ，安德 罗诺夫( a a a i q ) b p o h o b ) 等在非线性振动研究中即己发现大量分岔现象然 而，在相当长时间里，研究分岔主要是在应用领域中进行的直到二十世纪6 0 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学 理论，电子计算机和有效计算手段相继出现，尤其是不同领域中混沌现象的发 现，促使分岔理论迅速发展，并且在力学、物理学、化学、生物学、生态学、 医学、控制、工程技术以至社会科学中得到了广泛应用 分岔理论的研究包括两个不同的方面：一方面是与动力系统( o 1 ) 的稳定 性密切相关的动态研究；另方面是对动力系统( o 1 ) 的平衡解f ( x ，五) = 0 的静态研究 诬l 州大学硕 一学位论文关于k 衄硼o t o s i v a s h i n s 时方程平衡解酌分箭问题 在对动力系统( o 1 ) 的平衡解f ( x ，旯) = 0 的静态研究中，对于许多含参 变量的非线性方程，人们通常根据直观很容易看出它有一支平衡解，如平凡解， 而最令人感兴趣的问题是，当参变量取哪些值时，它的一支平衡解出现了分 岔? 能不能解出分岔解? 关于这方面的问题的研究最早可追溯到h p o i n c a r 6 对一族微分方程的平衡解出现分岔的描述【8 】以及a l y a p u n o v ，e s c h m i d t 等人 对流体力学中一些问题的研究【7 j l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法是研究平衡解分岔的基本方法之一，其本质是 将高维或无限维非线性方程化为低维方程的降维方法其基本思想是：利用非 线性方程中的线性化算子，将空间分解成两个不变子空间，即核空间及其补空 间；把非线性方程分别投影到两个不变子空间上，得到两个等价方程；由隐函 数定理，其中一个方程总是有唯一解的；把这个解代入另一个方程，得到一个 较低维的方程这样，将原来的方程的求解问题得以简化在许多具体问题的 研究中，特别是在一些半线性方程的研究中，采用这个过程是十分有效的 k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程， ( 0 2 ) 祟+ 等+ 笔+ “罢：o ，u 吣咄f 尺+ 优t y xo x吼 是一个非线性方程，因此，我们可以用l y a p u n o v s i v a s h i n s k y 约化方法来研究 其平衡解的分岔情况 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程具有很多的物理背景：k u r a m o t o 和 t s u z u k i l l l ( 19 7 5 ) 在研究空间三维b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i 型反应扩散系统的角相 位湍流时导出此方程；s i v a s h i n s k y 2 ( 1 9 7 7 ) 在研究空间二维层焰面的微热扩散不 稳定性时导出此方程；此方程还在其它许多领域被导出( 如见【3 ) 近些年来， 人们从不同的角度研究了方程( o 2 ) ，如关于该方程的吸收集半径【4 】、b 样条 g a l e r k i n 方法【引、惯性流形同、渐近吸因子f l q 等特别的，从分岔与稳定性的角 度对方程( o 2 ) 也有所研究，如关于该方程的非平凡解的分岔与稳定性i l l l 、 分岔理论及其应用t0 4 1 等 在这篇文章中，我们运用了l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法方法，讨论了在一 维空间中的k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程当参数 = “ 0 穿过分岔值z ：k 2 2 l 1 ) f l 大学预一= 学位论文 关于k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 ( k = 1 , 2 ，) 时的平衡解( “，a ) = ( 0 ，a ) 的分岔，在选定的空间中得到了两个 非平凡的分岔解： “，= a ( 2 ) s i n c o + o ( i 口i ) ， 和 “：= - a ( , z ) s i n k x + 0 0 口i ) 这里髓( a ) = ；三石i 趸三i 于：五i 两，( 尼= 1 ，2 ，) ，五：一一 o 明川大学硕士学位论文 关于k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分衍问题 一预备知识 1 非线性映射的f r e c h e t 微分 f r e c h e t 意义下的微分是数学分析中全微分在无穷维空间上的推广，其定义 如下： 定义1 1 1 设爿，j ，是实线性赋范空间，u 是x 中的开集，称映射 厂：【，一y 在x 0 u 处是f r i e c h e t 可微的，简称为f 一可微的，或可微的，如果 存在有界线性算子爿l ( x ，y ) ，使得当h 爿，+ 厅u 时，有 f ( x o + ) 一f ( x o ) = a h + 刃( z 。， ) ， 其中毋( x o ，_ 1 ) = d ( | ) ，即 勰掣一o 这时，称a 为，在处的f r e c h d t 导算子，简称为f 一导算予或f 一导数，记 为a f ( x 。) ，1 e 厂( x 。) 或者( x 。) 2 隐函数定理m 定理1 2 1设x ，】，以及a 都是实的b a n a c h 空间，u 是乘积空间x x a 中的开集设，：u 寸y 连续，并且在( x 。，气) u 使得f ( x 。，气) = o 对菲线 性方程，( x ，a ) = 0 ，设，关于变元x 是f r e e h e t 可微的且导映射在( x o ，矗) 处连续如果( k ，2 0 ) ：x j y 是正则算子，则存在，j 0 ，使得当 肛五0 占时，方程，( x ，五) = o 在肛一0 ，内存在唯一的连续解x ( 名) 4 四川大学硕i ：学位论史关于k u n u n o t o s i v a s h i n s 埘方程平衡解的分岔问题 3 零指标的f r e d h o i m 算子m 1 定义1 3 1 设肖和j ，是b a n a c h 空间一个有界的线性算子l ：x 一】，称 为f r e d h o l m 算子，是指： ( a )上的值域r ( l ) 是闭的； ( b ) l 的核k e r l 是有限维空间，即d i m ( k e r l ) 0 0 ： ( c ) r ( l ) 的余维数是有限维的，即c o d i mr ( l ) y 是f r e d h o l m 算予，则存在j 的闭子空间肘和y 的闭子空间，使得 ( 1 3 1 )| ) f = k e r l o m ，y = n or ( l ) 在本文中，我们主要涉及到带有零指标的f r e d h o l m 算子因为对于那样 的算予，由指标定义和( 1 3 1 ) ，我们有 d i m ( k e r l ) = c o d i mr ( 工) 在本文中，我们主要涉及到椭圆微分算予因此，对于微分算子，我们取 x 和y 是h i l b e r t 空间( q ) 的子空间，这里q 是r ”中的有界区域这个空间 有内积 = i “( 善) v ( 善) d 善 我们讨论( 1 3 1 ) 的正交补的作用，即令 m = ( k e r l ) 1 ，n = r ( 三) 1 这里，对于一个子空间s c y ，我们定义 s 1 = 恤y i = 0 ，对于所有的v 毋 一般地，对于一个无限维的空间l r ，若无限维予空间scy ，不一定有 y = s o s l 然而，对于下面两个特殊条件下： 条件( 1 ) ：s 是由限维的 e 四川大学硕士学位论文关于k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 条件( 2 ) ：s 是椭圆微分算子的值域 这个分解】，；s o s l 是成立的对于条件( 1 ) ，当d i ms m ，我们可以通过 g r a m s c h m i d t 正交化过程得到分解y = s o s l 对于条件( 2 ) ，要涉及到 f r e d h o l m 选择 ( i 3 2 ) r ( 三) 1 = k e r l ， 其中f 是上的伴随算子对于线性算子，如果月( 三) 1c y ，并且定义伴随算 子f ：y - - ) x ，则公式( 1 3 2 ) z - 般是成立的。在条件( 2 ) 中，根本点就 在于椭圆微分方程的解的正则性，因为它在我们讨论f r e d h o l m 二择一问题中 非常重要尤其，2 f f t - k e r l c y 而不仅仅是k e r l c y 这样的算子三，这个 分解 y = r ( l ) 0 r ( l ) 1 是成立的 命题1 3 1 设qcr ”，l 为 “= + 蔷nq 【亏万o u a u + c ( 跏 “= + q 【亏) 百+ c ( 善) “， 又设 x = 甜c 2 4 ( q ) i “= 0 当z a q 时) ， y = c 5 ( q ) 则l ：z 斗y 是零指标的f r e d h o l m 算子 命题1 3 2 设q c r 2 。l 为 洲+ a 斟l 粥j 这里2 是双调和算子，又设 四川大学钡j 二学位论文关于k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 x = u e c 4 , x ( 驯甜= 嘉= 。当x a q ，y ( q ) 这里嘉表示法向导数- 那么上：x 斗y 是带有零指标的f r e d h o l m 算子 当然对于其它的边界条件的选择也可以得到零指标的f m d h o l m 算子 4s o b o l e v 空间和l d e r 空间 假定q 为r ”中的有界区域，并使用如下的记号： a “= 。：a ：a 2 = 志 其中口= l ，口2 ，口。) 称为重指数，例= 口i + 吼+ + 口。 4 1h s i d e r 连续函数空间 设七是非负整数，记 c 2 ( q ) = “：孬一月1i a “在西上连续，h 七 并规定其范数为 i 4 ct o , = 。z 。s u 。p t 渤 称c ( 孬) 为七次连续可微的函数空间 又设0 1 ，汜 烈q ) - 舢嘲s u p 警掣 佃悱m ；麓万 j ，e “ 并让其范数定义为 r l u l l ，啊，2j l u lr c , 陌, + 潞 ； y u ( x ) 一a “( 叫 叫川大学颁l 学位论文 关十k u r a m o l o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分馆问题 则称c ”( 孬) 为k + p 次h 6 1 d e r 连续函数空恻另外，我们还让g ( q ) ， 讲4 ( q ) 分别表示c 。( 蕴) ，c 9 ( 五) 中所有支集包含在q 内的u 的全体，其中 u 的支集定义为扛豆iu ( x ) 0 ) 容易验证，c ( 郾，c l 4 ( 西) 都是b a n a c h 空间，并且g ( q ) ，c ：4 ( q ) 分 别是c 。( 西) ，c t 4 ( 豆) 的子空间 定理1 4 1 当，+ y 1 ) 是自反的b a n a c h 空间，并且 c 。( n ) n w 以9 ( q ) 在矿”( q ) 中稠密，其中c 。( q ) 表示q 中无穷次可微函数 的全体 4 3 嵌入定理 设q 是r ”中的有界区域，则 孵”( q ) c 旦 ”扣( q )当c p h 时， c “( 孬)当0 肼 k - 兰时 p 进一步，存在常数c = c ( 以，p ，q ) 使得对任何甜孵9 ( q ) 有 f 盎。锄- c l n i 一恤， 当咖 刀时， 1 f k o c c 西，c 8 “i i 一”。，当o ， | i 一；时 四川大学硕，l 学位论文关于k u r 帅。珏s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 定理1 4 ，3 设q c r ”是有界区域，则嵌入映射 是全连续线性算子 ( q )当印 n , q 上 时， 胛一仞 c 一。( q )当o m k - 兰时 p 5l y a p u n o v s c h mid t 约化方法” l y a p u n o v s c h m i d t 约化方法是将高维或无限维非线性方程化为低维方程 的降维方法它的基本思想如下：通过空间分解方法，把非线性方程分别投影 到两个子空间上，得到两个方程；由隐函数定理，其中一个方程总是有解的； 把这个解代入另一个方程，得到一个较低维的方程，这就将原来的方程的求解 问题得以简化下面我们分四步来叙述其过程 设x ，j ，是b a n a c h 空间，算予a ：x y 为f r e d h o l m 算子 第一步空间和y 的宜和分解 x = x 、勺x ，x ，= k e r a y = k o k ，r = r ( a ) 由于a ：x 呻一是一一到上的，故它是正则算予记x 一仨x 的直和分解为 x = x o + v + “， v x i ，“x 2 ， 第二步将方程f ( x ，a ) = 0 分成等价的两个方程 记p ：y k 为自然投影设a = r 是参数空问，u 是x a 的开集， f c ( u ，】，) ，1 ；再设( ，x o ) u ，f ( x 。，x o ) = 0 且a = ( z o ，五) ：x 寸y 是f r e d h o l m 算予，则方程f ( x ，a ) = o 等价于方程组 四川人学颂j 学位论文关十k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 叭， 忙p f w ( x o ( + j 麓各 第三步 ( 1 5 1 ) 的第二个方程有唯一解v = v ( “，五) 由于( ，一p ) ( ， ) = 爿：x 寸j 】：是f 则算子，根据隐函数定理，存在 正数q ，盯：以及f ，使得当州l 盯：，1 2 - 五i f 时，方程组( 1 5 1 ) 的第二 个方程在 o - t 内存在唯一的c 7 解v = v ( 豁，满足v ( o ，z ) = 0 第四步将v = v ( u ，丑) 代入方程组( 1 5 1 ) 的第一个方程可得 ( 1 5 2 )妒( “，五) r ( + v ( u ， ) + “，五) = 0 ， 妒( o ，九) = 0 则方程，化五) = 0 在f ( x 。，气) = 0 的前提下与( 1 5 2 ) 等价 定理1 5 1 设x ，y ，a 以及u 如上所述，设厂e c 7 ( u ，y ) ，r l ；再设 ( ，厶) u ，f ( x o ，厶) = 0 ，并且一= ( x o ，厶) ：x 寸y 为f r e d h o l m 算子，则 存在正数乃，仃：以及f 具有下面的性质； 1 。 1 2 - 4 0 l f ，删 q ，| | n | | 仃：并且x = + v + “使得( 旯) 满足方 程f ( x ，z ) = 0 ，则( “，旯) 满足方程( 1 5 2 ) 反之，若阻一九i k 2 对，则关于k u r a r n o t o s i v a s h i n s k y 方程( 2 1 1 ) 的平衡解有下面两个结论： ( 1 ) 在? 中，方程( 2 1 1 ) 的平衡解从( “，五) = ( 0 ，丑) 处分岔出两个非 平凡解n ，h ：( 其中i = 1 , 2 ) ，它们可表达为 7 , = a ( 2 ) s i n k x + d ( i a i ) ， 和 群2 = 一a ( 2 ) s i f t k x + o 球1 ) 这删舻三肛硒f 而而 ( 2 ) 在e 中，方程( 2 1 1 ) 的平衡解在( “，五) = ( o ， ) 处分岔出一个 圆，圆上每一点都是该方程的平衡解 证明显然， ，= ( o ，丑) 是方程( 2 2 1 ) 解 ( i ) 在h 中，l 有特征值 以( a ) = 女2 ( 七2 一兄) ，( k = 1 , 2 ，) 阳川大学硕士学位论文 关于k u r a r n o t o - $ i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 和特征向量 s i n k x ，c o s k x ) ，( 七= 1 , 2 ，) 即 ( 2 3 1 ) s i n 缸= 屈( 2 ) s i n o c 和l c o s k x = 屏( 2 ) c o s 缸 这些特征向量 s i n k x ，c o s o c ) ( 詹= 1 , 2 ，) 构成。和日一个正交基，即对于任何的“h 。或者“h ，有 “= ( 坼s i n k x + y kc o s h ) - l 在五= k 2 附近，这些特征值反( 丑) 满足 f k2 ， ( 2 3 2 ) 展( 五) = 0 ，当a = k2 ， i 0 ，当旯 3 ) 事实上，我们只要看x 。关于以的最低次项就可以了 当m = 2 时， 因此， 履t 工z t = 一害舡：+ 害喜c ，+ 2 ) k x a x ( 。+ ：，。， 将 列川大学硕士学位论文 关十k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分笳问题 当m = 3 时， 代入上式可知 x 2 k = 一磁+ d ( 蚶i ) 一瓦喊+ 。忱 b 一去，”z t + 去喜c 溉婚珊 = 一参磁+ 。( 蚶i ) 工2 i 一瓦碱+ 0 帆 x 。= o ( i x 。l3 ) 进一步，假设当1 s m _ ，时，有 x 。= o ( i x i ”) 则当m = j 时，( a ) 若，为奇数时，有 由假设可知 一去弦( x k x ( d _ t ) k + x 2 k 确一争 + 7 ，d ；，ty ；, ( f + ，) 妇t x t ，+ ，廿- x k z ( ，q ) 女，x 2 l x ( j 一2 ) k ，x 垡x j + l 22 关于_ 的最低次是，次，因此靠= d ( k i ) ；( b ) 若，为偶数时，有 驴一麦讹吒叫一： 一飞呻x 户一去趣 + 去融腿t 8 四川大学硕： ：学位论文关于k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程平衡解的分岔问题 由假设可知 以x 护呲x 2 x 沪2 妒r ( 枷x z ，十1 ) k x j ，, 关于x 。的最低次是，次，因此x 且= o ( i x 。i ) 所以， 由( a ) ( b ) 得 z ，。= d ( m ) 这样方程( 2 3 7 ) 可写为 眨，剐( k 2 - 2 耻一番p 3 等t 喜c m 慨。 + 去喜c 吣呲 ：一善_ 3 + g ( 丑；以) 丽_ + g ( 丑；以 根据上面归纳中的x 2 ；，x 3 。，的表达式，类似的可以归纳地得到 ( 2 3 9 ) f g ( a ；t ) = x k h ( a ；x ) ， 1h ( x ；x 。) = d ( 川2 ) 因此，根据( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 我们得到( 2 3 8 ) 的两个解： x 。= a ( a ) + o ( 忙( 五) i ) 和 x 。= 一口( 五) + o ( 1 口( a ) i ) ， 其中础) = 圭廊万硒这样c a ( 2 _ 3 1 ) ，- 得到方程( 2 1 2 ) 在研中的 两个分岔解： 和 h l = a ( a ) s i n 奴+ o ( a ( 旯) 1 ) u 2 = 一a ( 2 ) s i n c o + o ( i 口( 五) ) 1 9 四型查兰塑生学位论文 关于k u r a m o _ t o - s i v a s h i n s k y - 方程平衡解的分岔问题 ( i i i ) 在，中，若u ( x ) 是方程( 2 1 2 ) 的解，则由平移不变性知群 + 印 也是方程( 2 1 2 ) 的解因此， “j = a ( a ) s i nk ( x + 口) + o ( 陋( 五) 1 ) 和 材：= 一a ( t ) s i n k ( x + 目) + o ( i 口( a ) 1 ) 是方程( 2 1 2 ) 的解，随着口从一o 。到+ 变化可知是一个圆 i 婴业查堂堡主堂些堡壅 篓! ! ! ! 竺受竺墅翌虫堡! 堕塑堡兰塑塑塑坌笙塑堡 参考文献 fl 】yk u r a m o t o ，t t s u z o k i ，o n t h ef o r m a t i o no f d i s s i p a t i v e s t r u c t u r e si n r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s j p r o g t h e o rp h y , 1 9 7 5 ，5 4 ( 3 ) ：6 8 7 - - - - - 6 9 9 【2 】g i | s i v a s h i n s k y n o n l i n e a ra n a l y s i so fh y d r o d y n a m i ci n s t a b i l i t y i nl a m i n a rf l a m e s ， p a r ti d e r i v a t i o no f b a s i ce q u a t i o n s j a c t aa s t r o n a u t ，1 9 7 7 ，4 ( 3 ) ：1 1 7 一1 2 0 6 【3 】g i ，s i v a s h i n s k y , dm m i c h e l s o n o ni r r e g u l a rf l o wo fal i q u i df i l md o w nav e r t i c a l f l a m e j p r 踞t h e o rp m1 9 8 0 ，6 3 ( 6 ) ：2 1 1 2 - 之1 1 4 【4 】w a n gg u a n x i a n g ，l i uz e n g r o n g o n r a d i io f a b s o r b i n g s e t sf o r k u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n j a p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dm e c h a n i c s ，1 9 9 9 ， 2 0 ( 7 、：7 2 9 7 3 8 【5 1 赵琳琳，谢树森，郭翠平k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程的b 样条o a l e r k i n 方法【j 1 数 学的实践与认识2 0 0 4 ，3 4 ( 5 ) ：1 2 6 1 3 2 6 】c f o i a s ，g s e l l ，r t e m a n i n e r t i a lm a n i f o l d sf o r n o n l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s j d i f f e r e n t i a l 趵u a t d n s ，1 9 8 8 ，7 3 ：9 3 1 1 4 【7 】钟承奎， 范先令，陈文m 非线性泛函分析( 第1 版) 【m 】兰州兰州大学出 版社1 9 9 8 【8 】ms 博格非线性与泛函分折( 第l 版) 【m 】北京科学出版社1 9 8 9 ， 9 】陆启韶分岔与奇异性( 第1 版) m 】上海上海科技教育出版社1 9 9 5 【1 0 】王冠香，刘曾荣k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程的渐近吸因子【j 】应用数学学报， 2 0 0 0 ，2 3 ( 3 ) ：2 9 9 - 3 3 6 【1 1 l ic h a n g p i n , y a n gz h o n g h u a w uy u j l a n