（应用数学专业论文）关于软集的研究.pdf

摘要 内容摘要：软集理论是新发展起来的解决不确定问题的新型数学工 具由于软集理论在实际问题应用中的巨大潜力，得到了广大研究学者 的重视 本文主要涵盖了软集的以下几方面内容： 首先，介绍了软集、模糊软集的概念和软集、模糊软集理论以及软 集、模糊软集在决策中的应用 其次，本文用集合套的方法从另一角度给出模糊软集的概念，即用 经典软集套的等价类来定义模糊软集，并且通过经典软集的并、交、 余运算来定义模糊软集的并、交、余运算，从而完成了从经典软集到 模糊软集的扩充 最后，文章给出对偶软集的定义，并利用对偶软集研究了软群，给出 软子群，正规软子群，软集的像和原像等概念和结论最后，提出一种新 的关系一软关系，并利用对偶软集研究了软关系和等价关系之间的联 系 关键词：软集；模糊软集；对偶软集；软群；软关系 a b s t r a c t c o n t e n t ：a tp r e s e n ts o f ts e tt h e o r yi sn e wm a t h e m a t i c a lt o o l sd e - v e l o p e dw h i c hd e a lw i t hu n c e r t a i n t yp r o b l e mi nm a n yf i e l d s m a n y r e s e a r c h e r sa t t a c hi m p o r t a n c et os o f ts e tt h e o r yb e c a u s eo fi t sr i c h p o t e n t i a lf o ra p p l i c a t i o n si ns e v e r a ld i r e c t i o n s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e ds o m ea s p e c t so fs o f ts e t f i r s t ，t h ep a p e ri n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o no fs o f ts e t ，f u z z ys o f t s e t ，a n ds o f ts e tt h e o r ya n df u z z ys o f ts e tt h e o r y , a n dd i s c u s s e st h e a p p l i c a t i o no fs o f ts e ta n df u z z ys o f ts e ti nad e c i s i o nm a k i n gp r o b l e m n e x t ，i nt h i sp a p e rw ed e f i n ef u z z ys o f ts e ti na n o t h e rh a n dt h r o u g h n e s t e ds e t i no t h e rw o r d s ，f u z z ys o f ts e ti sd e f i n e db yc l a s s i c a ls o f t n e s t e ds e t ，a n dt h eu n i o n ，i n t e r s e c t i o n ，c o m p l e m e n to ff u z z ys o f ts e t a r ed e f i n e db yu n i o n ，i n t e r s e c t i o n ，c o m p l e m e n to fs o f ts e t ，s oi tf i n i s h e d t h ee x t e n s i o nf o r mc l a s s i c a ls o f ts e t st of u z z ys o f ts e t s l a s t ，t h ed u a lo fs o f ts e ti sd e f i n e da n dt h ep r o p e r t yo fs o f tg r o u p a r es t u d i e db yd u a ls o f ts e t t h e ns o f ts u b g r o u p ，n o r m a ls o f ts u b g r o u p ， i m a g ea n dp r i m a r yi m a g e o fs o f ts e ta r ed e f i n e da n dd i s c u s s e d a tl a s t ， an e wr e l a t i o n - s o f tr e l a t i o na r ed e f i n e d ，a n dt h er e l a t i o no fs o f tr e l a t i o n a n de q u i v a l e n c er e l a t i o ni sd i s c u s s e db yd u a ls o f ts e t k e yw o r d s ：s o f ts e t ；f u z z ys o f ts e t ；d u a ls o f ts e t ；s o f tg r o u p ；s o f tr e l a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者躲捣抽j 日期：渺孑j ) 多 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：爿易永h j 艚教师签名翻臼 日 期：憎j 巧 关于软集的研究 1引言 关于软集的研究 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学一个模糊的概念没有明确外延，例 如“老人”就是一个模糊概念，对一个人来说，他是否属于“老人集”无法明确回 答，他具有“亦此亦彼 的模糊性因此模糊概念不能用经典集合来刻划于是便 产生了模糊集合论f l 】它是由三a z a d e h 于1 9 6 5 年创立的，是经典集合论的扩充这 种扩充如同数系中有理数域扩充到实数域一样，既有现实背景，又有严密的理论基 础【2 模糊数学在近代科学发展中有着积极的作用，它为软科学( 如经营管理，人工 智能，心理，教育，医学等等) 提供了数学语言与工具( 如软计算方法【5 】) 模糊数学的 产生提供了把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的可能性 大部分形式建模，推理，计算的传统工具都适用于对象是确定的问题，然而在 经济学，工程学，环境学，社会科学等各门学科中遇到的问题往往都是不确定的传 统的方法和工具对这些复杂的不确定问题无能为力 于是，相继产生了一些数学理论和工具，诸如概率论，模糊集理论f 6 j ，模糊集 随机落影 7 1 ，直觉模糊集【8 1 ，粗糙集【9 1 ，模糊关联规则【1 0 1 等等k a t a n a s s o v 最先提 出直觉模糊集i s ，后讨论了区间值直觉模糊集上的算子【1 1 】z p a w l a k 弓i 入粗糙 集 9 】，基于粗糙集，出现了一系列的研究成果，如基于粗糙集的不确定决策f 捌，不确 定多属性决策方法及应用【1 3 | ，模糊多目标多人决策与对策【1 4 】等等 但是所有这些理论和结果都有其不完善的方面【1 5 1 ，这些问题都在于参数化工 具的不足后来，m o l o d t s o v 提出了软集f 1 5 1 的概念，利用软集理论解决了一些实际 问题一些研究工作表明软集理论在实际中具有很大的应用潜力 p k m a j i 等先在文【1 6 1 中给出详细的软集理论，之后，又在文【1 7 】中给出软 集在决策中的应用，r a b i t r a k u m a r m a j i 等在文【1 8 l 中地给出模糊软集的相关 定义和结论，之后还给出模糊软集的应用【1 8 】以及直觉模糊软集的相关概念和结 论【1 9 2 0 4 我们知道，在实数理论中，可以用一个有理数的退缩闭区间套的等价类定义一 个实数，并且通过有理数的运算来定义实数的运算，从而完成由有理数到实数域的 扩充在本文中，与此类似，我们可以用经典软集套【2 】2 的等价类来定义模糊软集，并 1 关于软集的研究 且通过经典软集的并、交、余运算来定义模糊软集的并、交、余运算，从而完成 从经典软集到模糊软集的扩充 本文在最后一部分提出对偶软集的概念，之后给出软群，正规软子群的定 义，并利用对偶软集研究了软群的性质，最后给出一种新的关系软关系，并利用 对偶软集研究了软关系和等价关系之间的联系 2 关于软集的研究 2预备知识 2 1软集的相关概念和结论 m o l o d t s o v 在文【1 5 】中定义的软集如下 定义2 1 1 【1 5 】令u 是初始全集，e 是一个参数集，p ( u ) 表示u 的幂集，ac e 设f ：a p ( u ) 为映射，则称( ea ) 为矿上的软集 对e a ，f ( e ) u 可看作是软集( f a ) 的元素，但这个元素事实上是集合显 然，软集不是集合为了更好的解释说明，特给出例子【1 】如下 例设泸可选房子集合令u = 1 ，h 2 ，h 3 ，h 4 ，h 5 ，h 6 ) 为六所房子的集合口参 数集每个参数代表一个词或一个因素e = 贵的；漂亮的；木质的；便宜的；绿色环 保的；现代的；装修豪华的；装修一般的 ，符号表示为 e = ( e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ，e 6 ，e 7 ，e 8 此处定义软集意在指出贵的房子，漂亮房子等等具体软集( ee ) 描述的是 顾客王先生买该所房子的“房子的吸引性” 假设f ( e 】) = i z i f ( e 2 ) = 表示六所房子的集合参数集e = 贵 的；漂亮的；木质的；便宜的；绿色环保的； ，符号表示为e = e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ) 模糊 软集( f f ) 描述的是先生某买该所房子的”房子的吸引性” 假设 f ( e 1 ) = h i o 5 ，h 2 1 ，h s o 4 ，h 4 1 ，h s o 3 ，h 6 o f ( e 2 ) = h i 1 ，h 2 o 4 ，h a 1 ，h 4 o 4 ，h s o 6 ，h 6 o 8 ) f ( e 3 ) = h t o 2 ，h 2 o 3 ，h s 1 ，h 4 1 ，h 5 1 1 ，h 6 o f ( e 4 ) = h 1 1 ，h 2 o ，h 3 1 ，h 4 o 2 ，h s 1 ，h 8 o 2 ) f ( e 5 ) = h i 1 ，h 2 o 1 ，h 3 o 5 ，h 4 o 3 ，h d o 2 ，h 6 o 3 ) 那么可以得到模糊软集 ( ee ) = 贵的房子= h i o 5 ，h 2 1 ，h 3 o 4 ，h 4 1 ，h s o 3 ，o h 漂亮的房子= 毳1 1 ，h 2 o 4 ，h s 1 ，h 4 o 4 ，h 5 o 6 ，h 6 o 8 ) ； 木质的房子= h i o 2 ，h 2 o 3 ，h s 1 ，h 4 1 ，h 5 1 ，h d o b 便宜的房子= h , 1 ，h 2 o ，h s 1 ，h 4 o 2 ，h 5 1 ，h 6 o 2 ) ； 绿色环保的房子= h l 1 ，h 2 o 1 ，b o 5 ，h d o 3 ，h 5 o 2 ，k o 3 ) ) 为了在计算机中存储模糊软集，我们给出下表4 表中值j 与房子h t 和参 数e j 有关 u 贵的漂亮的木质的便宜的绿色环保的 1 0 51 00 2l 01 0 k 1 00 40 30 o0 1 k 0 41 o1 01 00 5 k 1 00 41 00 20 3 5 0 30 61 01 0o 2 k 0 0o 80 00 20 3 定义2 3 2 1 1 8 】( 模糊软子集) ( f ，a ) ，( g ，b ) 为u 上两个模糊软集，若满足： ( 1 ) acb ( 2 ) v e a ，f ( e ) 是g ( e ) 模糊子集【6 1 则称( 只a ) 为( g ，b ) 的模糊软子集记为( f a ) c ( g ，b ) 定义2 3 3 【1 8 】( 模糊软集的相等) ( 只a ) ，( g ，b ) 为u 上两个模糊软集，若( 只a ) 为( g ，b ) 的 模糊软子集且( g ，b ) 为( f a ) 的模糊软子集，则称( f a ) 和( g ，b ) 软相等 8 关于软集的研究 定义2 3 4 1 1 8 】( 模糊软集的余) 令( 只a ) 。= ( f 。 a ) 其中 f c 一尹( ) 口一f 。( o ) = u f ( q ) 为映射 则称( f ，a ) 。为模糊软集( fa ) 的余显然有( ( 只a ) 。) 。= ( f a ) 定义2 3 5 【1 8 】( 空模糊软集) ( 只a ) 为u 上模糊软集，若对v e a 都有f ( e ) = o 那么称( f ，a ) 为空模糊软集，记为d 定义2 3 6 1 1 8 】( 全模糊软集) ( f a ) 为u 上模糊软集，若对v e a 都有f ( e ) = u 那么称( f a ) 为全模糊软集，记为a 显然有( a ) c = d ，( 1 2 i ) 。= a 定义2 3 7 1 1 8 】( 模糊软集的且运算) ( f a ) ，( g ，b ) 为u 上两个模糊软集，令 ( f a ) h ( a ，b ) = ( h ，axb ) 其d o h ( a ，) = f ( q ) n g ( p ) ，v ( q ，卢) axb ，n 为模糊集的交运算 8 1 则称( f a ) a ( a ，b ) 为模糊软集( ea ) 和( g ，b ) 的且运算 定义2 3 8 1 1 8 】( 模糊软集的或运算) ( f a ) ，( g ，b ) 为u 上两个模糊软集，令 ( f a ) v ( g ，b ) = ( 0 ，a b ) 其中0 ( q ，p ) = f ( a ) u g ( 1 3 ) ，v ( a ，p ) a b ，u 为模糊集的并运算1 6 则称( 只a ) v ( a ，b ) 为模糊软集( f ，a ) 和( g ，b ) 的或运算 命题2 3 1 1 1 8 1 ( 1 ) ( ( ea ) v ( a ，b ) ) 。= ( e4 ) 。h ( a ，b ) 。 ( 2 ) ( ( f a ) h ( a ，b ) ) 。= ( f a ) 。v ( a ，b ) 。 定义2 3 9 【1 8 】( 模糊软集的并) u 上模糊软集( ea ) ，( g ，b ) 的并是模糊软 集( 胃，c ) ，其中c = a u b r y e c ，有 h ( e ) = f ( e ) 当e a b 日( e ) = g ( e )当e b a h ( e ) = f ( e ) u g ( e )当e a n b 记为( ea ) u ( g ，b ) = ( 日，c ) 定义2 3 1 0 1 1 8 】( 模糊软集的交) u 上模糊软集( f ，a ) ，( g ，b ) 的交是模糊软 集( 日，c ) ，其中c = anb _ r y e c ，有日( e ) = f ( e ) 或g ( e ) 记为( f ，a ) n ( g ，b ) = ( h ，c ) 命题2 3 2 【1 8 1 ( 1 ) ( f ，a ) u ( 只a ) = ( ea ) ( 2 ) ( 只a ) n ( 只a ) = ( f a ) ( 3 ) ( 只a ) u 0 = ( f ，a ) ，其中o 是空模糊软集 ( 4 ) ( f a ) n 0 = d 9 关于软集的研究 ( 5 ) ( f a ) u a = a ，其中a 是全模糊软集 ( 6 ) ( e a ) n a = ( 只a ) 命题2 3 3 1 1 8 1 ( 1 ) ( ( ea ) u ( g ，b ) ) 。= ( fa ) 。u ( c ，b ) 。 ( 2 ) ( ( 只a ) n ( g ，b ) ) 。= ( f 4 ) 。n ( g ，b ) 。 命题2 3 4 1 8 】( f a ) ，( g ，b ) ，( h ，c ) 为汐上模糊软集，则有 ( 1 ) ( 只a ) u ( ( g ，b ) u ( h ，c ) ) = ( ( f ，a ) u ( g ，b ) ) u ( 日，c ) ( 2 ) ( ea ) n ( ( g ，b ) n ( h ，c ) ) = ( ( 只a ) f l ( a ，b ) ) n ( 日，c ) ( 3 ) ( f a ) u ( ( g ，b ) n ( 日，e ) ) = ( ( ea ) u ( g ，b ) ) n ( ( ea ) u ( ec ) ) ( 4 ) ( 只a ) f i ( ( g ，b ) u ( h ，c ) ) = ( ( f a ) n ( g ，b ) ) u ( ( f a ) n ( 日，c ) ) 命题2 3 5 【1 8 】( f ，a ) ，( g ，b ) ，( h ，c ) 为u 上模糊软集，则有 ( 1 ) ( f a ) v ( ( g ，b ) v ( zc ) ) = ( ( ea ) v ( a ，b ) ) v ( h ，c ) ( 2 ) ( 只a ) a ( ( g ，b ) a ( h ，c ) ) = ( ( 只a ) a ( c ，b ) ) a ( h ，c ) ( 3 ) ( f a ) v ( ( g ，b ) a ( h ，c ) ) = ( ( ea ) v ( g ，b ) ) 八( ( f a ) v ( h ，c ) ) ( 4 ) ( ea ) 八( ( g b ) v ( h ，c ) ) = ( ( f a ) a ( g ，b ) ) v ( ( f a ) a ( h ，c ) ) 在模糊软集的应用中，类似软集，也给出模糊软集对应表1 1 8 】，是指行 和列都是u 中元素h l ，k 构成的方表，表中元素g ，t ，j = 1 ，2 ，n 是整 数，0 c 0 老且g t = k ，c 易表示数值测量，即隶属度值大于或等于如隶 属度值的个数统计对应前面例子，假如王先生所选参数集p 为 漂亮的；木质 的；便宜的；绿色环保的) ，那么我们得到( f ，p ) 的表( 表5 ) 如下 u 漂亮的木质的便宜的绿色环保的 九1 1 oo 21 o1 0 k 0 40 30 00 1 b 1 01 01 00 5 h 0 41 0 0 20 3 玩 0 61 01 00 2 k 0 80 oo 2o 3 按照上述规则，得到模糊软集( f p ) 对应表( 表6 ) 1 0 关于软集的研究 u h 1k 3h 5 九1 4 3 333 4 l4o10l 34 4 44 4 k 141423 玩 242 3 4 2 030324 若对象的行和记为n ，n = ，对象的列和记为白，如= ，对象的 得分记为& ，最= n 一屯 给出具体算法如下： 1 输入模糊软集( f ，e ) 2 输入王先生选房的参数集p ，pce 3 写出模糊软集( ep ) 的表格形式 4 计算( 只p ) 的对应表格 5 计算行和n ，列和气， 6 计算h t 的得分& ， 7 找出，s k = m a x s i 则饥就是买者的最佳选择，若k 有多个值，那么可根据顾客自己的意愿任 选其中一个 应用算法，上例分别求得行和，列和，得分，于是可得表7 u 行和n 列和屯 得分& 1 2 01 19 7 2 2- 1 5 2 31 01 3 1 51 83 危5 1 7 1 52 1 21 86 1 1 关于软集的研究 这里，& = m a x s i = 1 3 ，故王先生的第一选择是h 3 ，由于s 1 的值第二大， 所以第二选择是h 1 注：算法中参数集p 可以任意选取，因此该算法适合于任何顾客 1 2 关于软集的研究 3从经典软集到模糊软集的扩充 定义3 1 若映射h ：【0 ，1 】一p ( x ) e 满足： 入1 a 2 令h ( a t ) h ( a 2 ) 即h ( x 1 ) ( 夕) 2 日( 入2 ) ( 夕) ，v g6e 则称日为一个软集套其中p ( x ) e = a i a ：e _ p ( x ) ) h ( e ，x ) = h i h 为一个软集套) 在l i ( e ，x ) 中定义： u 凰：( u 凰) ( 入) = uh t ( 入) n 吼：( n 凰) ( 入) = n 凰( a ) h 。：h 。( a ) = ( h ( 1 一入) ) 。，即日。( 入) ( 夕) = ( h ( i a ) ( 夕) ) 。 x ( a ) ( 夕) 三x ，0 ( a ) ( 夕) 兰o 则有 定理3 1 似( e ，x ) ，u ，n ，c ，x ，1 2 i ) 为一个优软代数 在u ( e ，x ) 中定义： 日1 一h 2 兮nh i ( 口) = n - 2 ( 口) ，v 入6 ( 0 ，1 ) 则一为一个等价关系 令【刎= 则有 引理1 ( 1 ) 功，岛6u ( e ，x ) ( 2 ) a l k = 争( a 1 ) 三f k ( a 2 ) ( 3 ) h 日黯 ( 4 ) 鲔( a ) = u 黯( 口) ，( a ) = n 晶( q ) ( 5 ) ! f ( a ) = ue 日( 口) ，2 ( a ) = n 日( a ) 证明：( 1 ) ，( 3 ) 显然成立 ( 2 ) h ( a 1 ) = u 日( 口) 2h ( a o ) 2n 日( q ) = 局丁( a 2 ) ，其中入l q o a 证明：只要证明 比( 0 ，1 ) ，j b ( q ) = f k ，( q ) 营v 入( 0 ，1 ) ，兰( a ) = ，( 入) 事实上，若n ( q ) = 呀( a ) ，v q ( 0 ，1 ) 贝0 uj k ( q ) = uf _ ，( q ) ，v a ( 0 ，1 ) 即日( 入) = ，( a ) ，v 入( 0 ，1 ) 另一方面，令日( 入) = 岛，( a ) ，v a ( 0 ，1 ) 贝0 n ( 入) = n ，( a ) ，v q ( 0 ，1 ) 即厢( o r ) = ，( q ) ，v q ( 0 ，1 ) 结论得证 引理3 令凰一，( 亡t ) ，h 一日，则 u 蜀c u 耳，n 风一ng ，日。一( h ) 。 i i t n ：( 1 ) 玩一h i ，( t t ) uh t ( a ) = u 巧( q ) ，入( 0 ，1 ) 号u ( ( u 日t ) ( q ) ) = u ( uh t ( q ) ) = u ( uh t ( q ) ) = u ( u 耳( q ) ) = u ( u 叫( 口) ) = u ( uq ) ( q ) ，a ( o ，1 ) 辛u 鼠一uq ( 2 ) 凰一耳， t ) 1 4 关于软集的研究 兮n 岛( 口) = n 彰( q ) ，a ( 0 ，1 ) 号n ( ( n 凰) ( 口) ) = n ( n 甄( q ) ) = n ( n 甄( o ) ) = n ( n ( a ) ) 一in ( n 叫( a ) ) = n ( n 耳) ( 口) ，久( 0 ，1 ) 兮n 凰一n t e tt t ( 3 ) h h 令u 日( q ) = uh ( q ) ：a 【0 ，1 ) 兮nh 。( 口) = n ( h ( 1 一q ) ) 。 = ( uh ( 1 一a ) ) c = ( uh ( 1 一q ) ) 。 = n ( h ( 1 一a ) ) 。= n 日七( q ) 口 aa a 辛h 。一( h ，) c 定义3 3 在( e ，x ) 中，定义运算： u 【g t 】= fu 鼠】，n 【皿1 = 【n 凰】，【日。】= 【日】。 注：( 1 ) 由引理3 知，定义3 合理 ( 2 ) 设a p ( x ) e ，令 h a ( a ) 兰a ，v 入【0 ，1 】，p ( e ，x ) = 【三k 】l a 夕( x ) e ) 贝j j p ( e ，x ) 垡p ( x ) e 令 f ( e ，x ) = ( f ，( e ，x ) 一p ( e ，x ) ) u p ( x ) e 则由代数的嵌入定理知：f ( e ，x ) ，u ，n ，c ，) 为一个优软代数 定理3 2f ：f ( e ，x ) 一丁( e ，x ) 旧】h ，( 【明) = a r t 这里a 日：e _ 芦( x ) 为一个映射，且a 日( 9 ) ( z ) = v a i z 日( a ) ( 9 ) ) ，则有 ( 1 ) 。f 1 打( a ) ( 夕) = ( a 日( 夕) ) a ，f 日( a ) ( 夕) = ( a h ( 夕) ) 盖 ( 2 ) 1 为双射 ( 3 ) ，( u 【玩j ) = u ，( 【鼠】) ( 4 ) s ( n 【凰】) = n 川琶】) ( 5 ) 川日。】) = 川日】) 。 证明：( 1 ) 由于a h ( x ) 三日，故 j ( a ) ( 夕) = ( n 日( q ) ) ( 夕) = na 口( q ) 0 ) = ( a h 0 ) ) 同理日( 入) ( 9 ) = ( u 日( q ) ) ) = ua 日( q ) ) = ( a s ( g ) h ( 2 ) 首先，我们证明，定义合理 1 5 关于软集的研究 事实上，设【卅= 【日】，x c w ( 0 ，1 ) ，有 h ( 入) = 日，( a ) 日( 入) f _ ，( 入) = _ f ( a ) 贝v a i z f 日( a ) ( 夕) ) v 入i z 日( 入) ( 夕) ) v a l z f 1 圩( a ) ( 夕) ) 令o r 入7 i x ( a ) ( 9 ) ) ，贝0 z j ( a ) ( 9 ) 贝0 对v 入 q ，有z f ( 入) ( 夕) v a l z f s , ( a ) ( 夕) ) v 入i a q ) = a 且v 入l z 兰( 入) ( 夕) ) v 【q i z f h ( q ) ( 夕) ) 因此v 入i z - p x ( 入) ( 夕) ) = v 【口l z f k ( q ) ( 夕) ) 故a h = a 可见厂定义合理 先证，是满射 事实上，设a ，( e ，x ) ，对q ( 0 ，1 ) ，令 三h ( a ) ( 夕) = x l a ( g ) ( x ) a ) ，v 入【0 ，1 】，v 白e 贝0 曰- ( a ) 厂( j e 7 ，x ) 且 v 入i z h - ( a ) ( 夕) ) = v 【a i a ( 夕) ( z ) 入) = a ( 9 ) ( z ) 因此，( 巩) = a 再证是单射 事实上，设a = ，( 【刎) ，则当z f x ( q ) ( 夕) 时， 我f 】有a ( 夕) ( z ) = v a i z - f ( a ) ( 夕) q 当z 隹毋f ( a ) ( 夕) 时，存在入o a 甘va t ( g ) ( x ) a 兮3 t t ，a t ( 夕) ( z ) 入 铮z ( u 凰( a ) ) ( 夕) 则h ( a ) = u 兰k ( a ) = ( u 互h ) ( 入) 所以【刎= i f h 】= 【u 1 - u 匹凰】- u 【玩】 因此，( u 【凰】) = u 川凰1 ) ( 4 ) 设【凰】f ( e ，x ) ，川皿】) = a t ，令 【h 】f ( e ，x ) 且a = 川明) = na t 故z f ( 入) ( 9 ) 亭( na t ) ( 夕) ( z ) a 营v t t ，a t ( g ) ( x ) 入 甘v t zz f m ( 入) ( 9 ) 甘z ( nj h ( a ) ) ( 夕) 贝0 j k ( a ) = nf m ( 入) = ( nj k ) ( a ) 所以 h i = 【f h 】= 【n 甩】= n 【f m 】= n 【日t 】 因此，( n 【鼠】) = n 川凰】) ( 5 ) 设【日】f ( e ，x ) ，a = ，( 【h 1 ) ，令【玩】f c e ，x ) 且b = ，( 【h 1 】) = a 。 贝0 z _ 2 啊。( 入) ( 夕) 亭1 一a ( 夕) ( z ) a 咎a ( 9 ) ( z ) 1 一a z 聋f 日( 1 一入) ( 夕) z ( f ( 1 一入) ) 。( 夕) 营z ( f 日) 。( 入) ( 夕) 贝j _ 。( a ) = ( f 日) 。( a ) ，v a 【0 ，1 】 所以【h 1 】- 睇】- i f 日】。= 【刎。 因此b = ，( 【h 1 】) = ，( 【日】。) = a 。= ，( 【日】) 。 1 7 关于软集的研究 4 软集的对偶 4 1经典软集的对偶 定义4 1 设h ：e _ p ( x ) ，gh 日( 夕) 为一个软集，则称 a h ：x p ( e ) zh a n ( x ) = 夕i z 日( 9 ) ) 为日的对偶 注：从上述定义可以看出，若h ：e p ( x ) 为一个软集，则a 日：x p ( e ) 也为一个软集；反之，若a ：x _ p ( e ) 为一个软集，则 h a ：e _ p ( x ) gh 上h ( 夕) = z i 夕a ( z ) 也为一个软集，我们有 命题4 1 ( 1 ) h a 日= h ，( 2 ) a 以= a 证明v 夕e ，z h ( g ) 兮g a h ( x ) z h a 日( g ) = x l g a 日( z ) ) 故h ( g ) = h a 日( 夕) 因此巩h = h 同理、矿z x ，夕a ( z ) 净。h a ( 夕) 令g a 日( z ) = g l x h a ( 夕) ) 故a ( x ) = a h a ( x ) 因此a 日。= a 预备知识部分给出了软集的例子，下面我们沿用上例给出对偶软集的例子 例设全集u = h i ，h 2 ，h a ，h 4 ，h 5 ，k ) 表示六所房子的集合参数集e = 贵 的；漂亮的；木质的；便宜的；绿色环保的) ，符号表示为e = e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ) 软 集( 只e ) 描述的是王先生买该所房子的“房子的吸引性” 而此处对偶软集( a 日，u ) 描述的是该所房子具备的“突出特点” 假设a h ( h 1 ) = e l ，e 2 ，e 3 ) ； a g ( h 2 ) = e 2 ，e 3 ，e 5 ) ； a h ( h 3 ) = e 1 ，e 5 ； a h ( h 4 ) = e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 5 ) ； a ( h 5 ) = e 3 ，e 4 ) ； a ( h 6 ) = e 5 ) 1 8 关于软集的研究 那么对偶软集( a 日，u ) = 1 号房子= e 1 ，e 2 ，e 3 ) ；2 号房子= e 2 ，e 3 ，e 5 ) ；3 号 房子= e l ，e 5 ) ；4 号房子= e l ，e 2 ，e 3 ，e 5 ) ；5 号房子= e 3 ，e 4 ) ；6 号房子= e 5 ) ) 结论：软集是从顾客角度考虑，选择什么样的房子更适合自己的需求，而 对偶软集是从相反的角度来考虑如何把房子销售出去，因“房”制宜，使卖房 者更清楚哪一种房子更适合哪类顾客，从而提高售房率 4 2 软群 定义4 2 设e 为一个群，h ：e - p ( x ) 为一个软集，若满足： ( 1 ) h ( g 1 9 2 ) 2h ( g a ) nh ( 9 2 ) ( 2 ) h ( g 。) 2h ( 9 ) 则称日为e 的一个软子群 命题4 2 ( 1 ) 若日为e 的一个软子群兮a h ( x ) 为e 的子群，v z x ( 2 ) 若a ：x _ p ( e ) ，贝l j a ( x ) 为e 的一个子群，v x x 兮日a 为e 的一个软子群 证明：( 1 ) “号”设日为e 的一个软子群，比x 令a h ( x ) = 夕i z 日( 夕) ) ( a ) 设夕1 ，9 2 a h ( x ) 兮z h ( 9 1 ) ，z h ( 9 2 ) 专z h ( 9 1 ) n h ( 9 2 ) h ( g 1 9 2 ) 号g i 9 2 a h ( x ) ( b ) 设g a h ( x ) 号z h ( 9 ) h ( 9 - 1 ) 号z h ( g 1 ) 辛g 1 a i - i ( x ) 贝i j a h ) 为e 的子群 “乍设 i x x ，a h ) 为e 的子群 设z h ( 9 1 ) n h ( 9 2 ) 号z g ( 9 1 ) ，z h ( 9 2 ) 兮g l a h ( x ) ，9 2 a m x ) 兮g i 9 2 a u ( x ) 号z h ( g 1 9 2 ) 故日( 夕1 ) nh ( 9 2 ) 日( 夕1 仍) z g ( g ) 令g a h ( x ) 兮g 一1 a h ( x ) 兮z g ( g 一1 ) 故g ( g ) h ( g - 1 ) 综合，知日为e 的软子群 ( 2 ) “兮设a ( x ) 为e 的子群 对比x 1 9 关于软集的研究 若x 五h ( 9 1 ) n ( 夕2 ) 兮z h a ( 夕1 ) ，z 厶( 夕2 ) 号g x a ( z ) ，9 2 a ( x ) 兮夕1 夕2 a ( x ) 号z h a ( 9 1 9 2 ) = 【。1 9 1 夕2 a ( z ) ) 故巩( 夕1 ) n 日a ( 夕2 ) 巩( 夕1 夕2 ) 对x h a ( 夕) 号g a ( x ) 号g - 1 a ( x ) 号x 巩 - 1 ) 故三h ( 夕) 点h ( 夕一1 ) 综合，知巩为e 的软子群 。# ”设巩为e 的一个软子群，对g e 令巩( 夕) = z i 夕a ( z ) ) ( a ) 设夕1 ，9 2 a ( x ) 令z h a ( 夕1 ) ，z 三h ( 仍) 号z 磊匕( 夕1 ) n 五匕( 夕2 ) z h a ( g a 9 2 ) 号g x 9 2 a ( z ) ( b ) 设g a ( x ) = 争z e “( 夕) h - ( 夕一1 ) = 争x h a ( 夕一1 ) = 争夕一1 a ( x ) 故a ( x ) 为e 的子群 定义4 3 设e 为一个群，h ：e _ p ( x ) 为一个软子群，若满足： ( 3 ) h ( g 1 h g ) h ( h ) ，v g ，h e 则称日为e 的一个正规软子群 命题4 3 ( 1 ) 日为e 的正规软子群兮a h ( x ) 为e 的正规子群，v x x ( 2 ) a ( x ) 为e 的正规子群，比x 营巩为e 的正规软子群 证明：( 1 ) “令”，由日为e 的正规软子群知，对v g ，h e ，有 h ( g 1 h g ) 日( 危) 对x x ，令a h ( x ) = g l x 日( 夕) ) ，故对v h a h ( x ) ，有 z h ( h ) ：孛x g ( g 一1 h g ) = g - 1 h g a 日( z ) = 夕一1 h g i x g ( g 一1 夕) ) 所d a a h ( z ) 为e 的正规子群 “”a h ( x ) 为e 的正规子群，v g e ，v h a h ( x ) ce ，有夕- 1 h 9 a h ( x ) 对v x x ，z g ( h ) 号h a m x ) 令g - 1 h g a 日( z ) ，夕e 号z g ( g _ 1 h g ) 则h ( h ) g ( g - 1 h g ) 由定义知日为e 的正规软子群 ( 2 ) “号 a ( z ) 为e 的正规子群，v g e ，v h a ( z ) ce ，有夕- 1 h g a ( z ) 对、矿z x ，z h ( ) = 争h a ( z ) = g - 1 h a a ( z ) = 争z e “( 9 1 幻) 关于软集的研究 贝0 e “( 九) “( 夕一1 夕) 因此巩为e 的正规软子群 “乍”巩为e 的正规软子群，则对的，h e ，有巩固- 1 9 ) 2 巩( 危) 对z x ，令三如0 ) = z 陟a ( z ) ，故对v h a 0 ) ，有 h a ( z ) 专z h a ( 允) 号z 匕( 夕一1 h g ) 寺g - 1 h g a ( z ) ，v 夕e 所以a ( z ) 为e 的正规子群 定义4 4 设，：e x _ 易为一个映射，h 1 ：e 1 _ p ( x ) ，1 - 1 2 ：e 2 一p ( x ) 为软 集令 ，( h 1 ) 渤) =uh 1 ( 夕1 ) f - 1 ( 飓) ( 夕) = h 2 ( ，( 9 ) ) 则，( 日- ) ，1 - 1 ( 凰) 分别为易，e 1 上的软集，称，( 玩) 为凰的像，_ 1 ( 凰) 为日2 原 像 命题4 4 么，( j 而) ( z ) = ，( a 眉j ( z ) ) ，a f z ( 王b ) ( z ) = s - 1 ( 缸( z ) ) 证明：a ，( 风) ( z ) = _ 【9 l z f ( h 1 ) ( 夕) ) 对a i ( h 。) ( z ) 兮z ，( 1 t 1 ) ( 9 ) = u 凰( 夕) f 留1 = g 3 9 7 使z h l ( 9 7 ) r g = ( g ) 营g 。a h ，( z ) 且夕= f i g ) 营g ，( 4 肌( z ) ) 故a i ( h 。) ( z ) = ，( a 日。( z ) ) 对g a f 一，( 嚣j ) ( z ) 今卫，一1 ( j 易) ( 夕) = 1 1 2 ( ，( 夕) ) 兮z h 2 ( ，( 夕) ) 兮s ( g ) a m ( x ) 兮3 9 a m ( x ) 且夕7 = s ( g ) 争夕= ，一1 ( 9 ) ，且夕a m ( x ) 兮g 广1 ( 4 奶( z ) ) 故a ，_ - ( 也) ( z ) = i - 1 (