（应用数学专业论文）具有两类相关索赔的二元风险模型的若干问题.pdf

摘要 摘要 古典的复合p o i s s o n 风险模型主要考虑了同一类风险构成的风险模型。但是 由于现阶段保险公司经营的规模不断扩大，考虑到用单一险种的风险模型来描 述风险经营的局限性，本文将古典模型的框架打破，构造了一个更加切合实际 的风险模型，在这个风险模型中，允许两类相关风险同时存在，建立了具有两 类相关索赔的二元风险模型并且主要研究了该风险模型的三个性质：由两类相 关风险的索赔额构成的二维索赔额随机变量在互斥的情形下，当索赔总次数服 从p o i s s o n 过程时，证明了两类索赔分别服从p o i s s o n 风险过程；并且验证了这 两类风险之间具有独立性；进而讨论了在古典风险模型下，两类索赔所构成的 盈余过程仍具有独立的性质。 关键词：相关索赔复合p o i s s o n 过程p o i s s o n 风险过程稀疏过程 二 维互斥随机变量 a b s t r a c t c l a s s i c a lc o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lm a i n l yc o n s i d e r st h er i s km o d e l c o m p o s e do ft h es a m et y p eo fr i s k s h o w e v e r , b e c a u s ea tt h i ss t a g et h es c o p eo ft h e i n s u r a n c ec o m p a n i e sc o n t i n u o u s l ye x p a n d s ，i nv i e wo ft h el i m i t a t i o no fd e s c r i b i n gt h e r i s kb u s i n e s sw i t has i n g l et y p eo fr i s km o d e l ，t h i sp a p e rb r e a k st h ef r a m e w o r ko ft h e c l a s s i c a lm o d e l ，a n dc o n s t r u c t sam o r er e a l i s t i cr i s km o d e l i nt h i sr i s km o d e l ，t w o t y p e so fc o r r e l a t e d r i s k sa r ea l l o w e dt oc o e x i s tw i t ht h ee s t a b l i s h m e n to f t w o d i m e n s i o n a lr i s km o d e lr e l a t e dt oc o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s ，a n dt h et h r e e p r o p e r t i e s o ft h er i s km o d e la r em a i n l ys t u d i e d ：i nt h em u t u a l l ye x c l u s i v e c i r c u m s t a n c e so ft w o d i m e n s i o n a lc l a i ms i z er a n d o mv a r i a b l e sc o n s t i t u t e db yt h et w o t y p e so fc o r r e l a t e dr i s kc l a i m s ，w h e nt h et o t a lc l a i m n u m b e rp r o c e s si sp o i s s o n p r o c e s s ，t h et w ot y p e so fc l a i m s a r ep o i s s o nr i s kp r o c e s s e sr e s p e c t i v e l y ；t h e i n d e p e n d e n c eb e t w e e nt h e s et w or i s k si sc e r t i f i c a t e d ；i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ， s u r p l u sp r o c e s s e sc o n s t i t u t e db yt w ot y p e so f c l a i m ss t i l lh a v ea ni n d e p e n d e n tn a t u r e k e y w o r d s ：c o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s ，c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，p o i s s o n r i s kp r o c e s s ，t h i n n i n gp r c c e s s ，b i v a r i a t em u t u a l l ye x c l u s i v er a n d o mv a r i a b l e s i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：锨川参 叫年月矽日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时 间：年 月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最k1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最k2 0 年，可少丁2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：甏叉嗽坠 嘲年| r e t 第一章引言 第一章引言昂一早 jl 甬 风险理论的发展经历了很长一个时期，较为系统的理论见l u n d b e r g ，c r a m e r ( 1 9 5 5 ) 和1g e r b e r ( 1 9 7 3 ，1 9 7 9 ) 的著作，他们建立了风险理论与随机过程理论之间的 联系，其中对于古典j x l 险模型的研究已经相当完善，其数学描述如下： j v t t ) 尺( f ) = “+ c t - z f t 0 i - 1 其中r ( f ) 代表保险公司在t 时刻的盈余，u 代表初始准备金，u 0 ；c 为固 定的正常数，表示保费率，( f ) 是以a 为参数的p o i s s o n 过程，表示到t 时刻为 止发生的索赔次数； z a ，是- y d 独立同分布的非负随机变量，z ，表示第i 次索 赔的索赔额；其中 z 矗。与 ( f ) 御相互独立。 虽然古典模型形式上很简单，但是对现实的描述并不深刻，因此众多学者 对古典模型进行了推广，作出了许多重要的成果，对当前保险业的发展具有重 要的指导作用。古典j x l 险模型及其拓广模型为描述风险经营过程提供了各种数 学模式，在这些风险模型中，绝大多数都只考虑了模型险种的单一性。但是现 阶段保险公司风险经营的规模不断扩大，即风险经营业险种的多元化和新险种 的不断开发，有必要为这类多险种风险经营提供较单一险种更为客观实际的风 险经营模型。基于这种想法，本文将仅考虑一类索赔的情形推广为索赔为多类 的风险模型，主要对具有两类相关索赔的风险模型进行研究。本文的第二章主 要介绍模型的构建和一些基本概念定义。第三章是核心内容，主要引用了郭军 义教授研究二元复合p o i s s o n 风险过程的思想方法：讨论了在两类相关风险的索 赔额构成的二维随机变量互斥的情形下，当索赔总次数服从p o i s s o n 过程时，二 元风险模型的若干性质。 第二章风险模型理论 第二章风险模型理论 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，考虑到用单一险种的风险模型来 描述风险经营的局限性，我们来建立含有两类相关保险业务的风险模型。这一 部分主要介绍此模型和一些相关概念。 第一节模型的构建 首先建立含有两类相关保险业务的风险模型。设x ，u = 1 , 2 ，) 是第一类索赔 额随机变量，且独立同分布；r o = 1 , 2 ，) 是第二类索赔额随机变量，且独立同分 布。 我们用留， o ，i = o ) o = 1 , 2 ，) 表示只有第一类业务单独要求索赔， 用 忸，= o ， o ) o = 1 , 2 ，) 表示只有第二类业务单独要求索赔，用 x t = o ，= o ) ( f = 1 , 2 ，) 表示没有索赔发生。假设由过去的历史经验知，对第一 类业务单独要求索赔的概率为p ( x ； o ) = r ( 0 r o ) 是只有第一类业务单独发生索赔的点过程， 矿( f ) = 竺，( 置= o ) 是只有第二类业务单独发生索赔的点过程，则总索赔次数 ( f ) = n 缸) + n ，( f ) 。 2 第二章风险模型理论 第二节基本概念和定义 定义2 2 1 ( 复厶p o i s s o n 过程) 设 ( f ) k 旷是一强度为名的p d 洳伽过程， 佤，i = 1 , 2 ，) 是独立同分布随机变量列，且( f ) 与置相互独立，若令 ，( f ) 】，( f ) = 墨t 0 i = 1 则称口( f ) ) f 矿是一由 n o l 。矗+ 复合而成的复合助沁d ，z 过程。 定义2 2 2 ( 稀疏过程) 假设事件e 的发生形成强度为五的p o i s s o n 过程 仁( f ) ，t o ) ，如果每一发生的事件只以概率7 7 ( 0 r o ) = o ( f ，f ) 则称( x ，) 是二维互斥随机变量。 由定义2 2 5 知，如果将2 1 罩我们所建立的模型的两类业务的索赔额构 成一个二维随机变量，那么这样所形成的二维随机变量就是二维互斥随机变量。 4 第三章主要结果 第三章主要结果 第一节稀疏风险过程 在这节中，我们仅对两类相夫业务中的一类业务( 小妨设第一荚业务) 进 行分析，从而得到一些相关的结论后再推广到两类业务中。 定理3 1 1 随机过程 缸) ) f 。足+ 是一个计数过程。 证明：已知( f ) l 。矿是计数过程，对，( f ) = ：”，( 五 o ) ( i ) 显然缸) 0 ； ( i i ) ，( f ) 为整数值； ( i i i ) 当j o ) ，( f ) = 竺，( 置 o ) ：因 0 ) ( f ) ，所以7 0 ) o ) = 篓州，( 置 o ) 等于区 间( s ，t 中发生事件的次数。 由( i ) ( i v ) 可知随机过程 缸) ) f 。是一个计数过程。 口 现在我们用h ( z ) 来表示一个集簇，它是协k ，) 的集合，其中 协，k l ，) cn 是严格递增序列，对日= 协j k 1 ， h ( ，) ， 定义 ，( 日) = 1 ，刀，) 日 引理3 1 1 对v ，所有的日= 协，k l ，n h ( ，) ，有下面两个等式成立。 ( i ) 杉：刀，) ：n 忸。 o nn x 。：o ) ( 3 1 1 ) i = 1 * 日 * ，( 日) 5 何d ， ( i i ) 第三章主要结果 v ，1 = 疗， = 刀7 c 一刀，唧- ， ( 3 1 2 ) 证明：显然，对v ，集簇h ：。亿= n ，圾州，是互不相容的，则 杉= 刀) = n 忸。 o ) nn 阢= o ) ，即( 3 1 1 ) 式成立。 杉 厂 = 叫n l * 推论3 1 1 v ie n ， h e h ( ) 证明：，= 1 时，h 。= 伽，) ， l = 2 时，h 2 k 挖，时，h 嘶 = 伽：) ， = 1 ，2 ，n ，) ， 日l 1 = n j 仆= 1 - j 即( 3 1 2 ) 式成立。 口 p = n 1 卜c ：，矿0 - r t ) 科 日= 驴时，j ( 日) = 1 ，2 ，刀，) ， = ，z ， = c 置刁2 ( - 一刁) 嘶一2 = 忍， = c 2 刁嘶( 1 7 7 ) 。 = ，z ，) = c n 。i 刀。o 一刁，嘶 因，h l ，h 2 ，h m 是h ( ，) 的一个划分，则 h e h ( ，) ：v z 二一 p 1 + p v 滓甩。) + 日l 6 h 2吐壳 v ；= 刀， + + ，n芦 。l p ，n同 ，n同 厂纠l 杉 ，n芦 广1 ，v ：n 冈 l 眺 ， ，v ，n 同 ， ， ，n 闩 l 尸 ， l v ，n芦 l p ， y ，n 冈 l p 第三章主要结果 = c 唧。刁o ( 1 - r ) 唧+ q ，r 1 ( 1 - r ) 嘶- 1 + 吒7 7 2 ( 1 一刁) 一- 2 + + c = ：刀唧( 1 一刁) 。 = 切+ ( 1 一刀) 】卿 = 1 口 由推论3 1 1 知，每一个吒是有限的，结合定义2 2 5 中第一类业务在每个 点发生时刻的索赔总额= ，如：= k x kp e n ) ，我们证明下面这个引理， 这个引理将为证明本节进一步的结论提供有力的工具。 引理3 1 2对v k ，n ，且k ，v 局，b i b ( r ) 及每一个序列 协，k 仉以h ( m 有 尸l 僻垦) n 知；：玎川：血尸瞄e 】| 仁 o ) 】7 7 一扩一， 证明：对每一个序列协，k l ，- 一，) h ( ，) ，有 尸i 仁名垦) n f li p ，p ：咒= p l 忸一色) n 髟：咒川 l i = 1 j = ljl f l l j - l j = 尸l 仁一e ) n 忸。， o nn 忸。：o ) i ：d 忸巩垦nr + ) n 仁。， o nn 帆：o ) l ：血p 瞄b , n r + n 1 尸肛 o ) 】1 - i p f f x ：o 1 t = l j = k + ln e j ( t t ) ：血尸瞄e 】| 忸 o ) 】lp 瞄 o 1 1 l p x ：o ) 】 l = 1 i = 1 n e j ( h ) ：丌kp 瞄e 】| 忸 o ) 】刁，( 1 一r ) 叫 口 定理3 1 2 ( 稀疏索赔额过程) 序列忸：k i i d ，且对b ( r ) 满足 7 尸比x 7 b ) 】= 尸【b 】i 忸 o 】 第三章主要结果 证明：对v 尼，v b 。l ，一，吼b 俾) 及每一个序列协，k l ，。i ) h ( 七) ，有 1 1 剐j 3 r r i 尸【c x 垦 i 忸 o 1 刁( 1 一，7 ) h i 兀 p 【 | y 骂】i 忸 。) 】p 自 v ；= 刀， 由引理3 1 1 和引理3 1 2 ，对日= 协k l ，i ) i - i ( k ) ，有 h ( t ) i = l 又 h h ( 女) 髟 1 1 跏牛1 召，) n 自如；= 咒，) ，= 1i b i 】| 忸 o 1 o ) 】 o ) 】 日l - l ( k ) 髟 杉= 僻b f ) n p ：刀 = 1 j 忸；置) n 如：= ) + w b ，) n j = l 如；= 咒， i r e ) n 研 【 毡) ) 刀明 僻皑，n 眇l = l 小+ i = ，z 。) u 自。；= 咒，) u u 臼。：= ，z ，畸 8 ，j ，p 。n芦 n 1 l ， b 。n卢 。l p on瑚 l p 。n瑚 。l 尸 r r 难 悱 淞 肛 心舯m m 一。p爿。p 艉 枷。与=阔。铘 。n瑚 。l p 。n瑚 。l p 。n：e 。l p 。n瑚 。l p 。n阻 厂1 i l 第三章主要结果 2 啪悱鲋n 吲 = 啪悱量) 所以p 价l i = i 忸名b ) = 血i = 1 _ 暇e 】| 忸 。) 】 下面我们证明这一节的主要结论。 口 定理3 1 3 ( 稀疏风险过程) 序列组) f e 矿，k ) 是一个风险过程。 证明：由定理3 1 1 已证得，( f ) 是计数过程；由定理3 1 2 证得序列 忸：) 腱i i d ，下面只需要证明序列组k 矿，忸：k ) 独立，即可得序列组 ( 协；) f 矿，忸：k ) 是风险过程 对v m ，甩n ，v 曰：，b ：b ( r ) ，t o ，t 朋r + ，且o = t o t l t 。； 对k o ，k l ，k 。n o ， 且0 = k o k l k 。；l o ，厶，m n o 且 又 1 ，聊) ，k ，- k 川，- i 一； 定义以。= o ，l - - m a x t l ，k 。+ 1 ) ，对日= 协，k i 川j ) h ( o ，令h 表示协k l ，) 的集合，满足对w 1 ，聊) ，刀- ， 。，= 巧) n 。：笔登j 乙= 。，= 尼；) 1 0 。_ = 力， | = 僦耄弘堋= 小谑l 擎i 删州怕虹毡 j = 僦奢c 令驴巧) n 惜删州) 2 丐m 后k ；j ) 7 巧c 1 一刁，巧 又p l 虹一_ 一= 后川= n 尸k 一f 川= t | l j = 1j j = l = 妒。等乎 第三章主要结果 因此 p 价k j 一吆。= 巧) n 虹一吆。= 巧) l ij = ll 2 吐 k k 一。= 巧) nk 一吆。= k 。j 二rjj=lj = l 一。= 一 j lil 怕y = lk 吨。= 卅 ll = 善至( 乏) 7 巧c ，一刁，巧垂p 一钡。 = 妒弛叶。掣 ，= l ； 叶。) ( 名( 厂) ) 弓m了p一五(11。1。1)!=!望掣 则计数过程 ( f ) l 。詹+ 的分解过程缸) k 矿，协( f ) k 胄+ 相互独立，且分别 一服从强度为名刁和五( 1 7 7 ) 的p o i s s o n 过程。 口 类似于上一节定义的集簇h ( i ) ，下面我们定义这样一个集簇o ( m ，n ) 。m ， 咒o ，聊+ ，l ，设枷，k l ，一，t ) ，协k f l ，) s 为严格递增序列，定义 d ，( 朋，z ) 为序列组胁，k 1 一斟，协t 1 ，) j 的集合，且满足k = m ，z ， n t 。，= j ( 3 1 ) ( i i ) p i 如净m f ) n 髟：疗= r k ( 1 一刁) ， ( 3 2 2 ) 1 2 第三章主要结果 证明：( i ) 显然，对m ，n n o ，m + n en ， 集簇= 则 d e d ( m ， ，) m f ) n f lm m ：万，) = 忸鸭 j = l i = 1 rk ( i i ) p ln i v ；= m ，) n l i = 1 rk - p 旧口，胡j 是互不相容的， 毡州触 k ：胡 j ：o ) ，即( 3 2 1 ) 式成立。 o ) n 触l = l = 叫l = n p k o ) 1 1 p k ，= o ) = 矿( 1 一r ) ，即( 3 2 2 ) 式成立。 i = 1 j = l 推论3 2 1 对v m ，n n o ，m + ，z n ，有等式 d e d ( m ，h )i v ；= m r ) n 睁靠小成辛。 证明：用数学归纳法 ( i ) 对v m ，n n o ，当m + n = 1 时，只有m = 0 ，n = 1 或m = 1 ，n = 0 两 种情况。我们分别来讨论。 ( i ) 当m = 0 ，n = 1 时，d 7 ( o ，1 ) = 妒，d ，( o ，1 ) = ( 妒， 1 ： ) ) ，则 d ( 0 ，1 ) = d 7 ( o ，1 ) + d 气o ，1 ) 此时y d e d ( o ，1 ) d e d ( 0 ，l y i v 净m ，) n他码) ，= l j d ：m ，) nn l 髟：刀川+p ln 扣；= m ，) n n 如；= 刀，) l + i f = l j = l i = p ( 矽) + ( 1 一刀) = ( 1 一刀) 1 3 d e d ( 0 。1 ) i v 净m ，) n ( 3 2 3 ) d 丫 疗 = ， l r ，n用 n 1 l ， m 忸 ，n闩 n 田 ，1 。n鲥 ， p ，n芦 ，n芦 l p 。n瑚 l p 。n：e l p u _ 以 = ， l v ，n一 。n脚 l p 第三章主要结果 ( i i ) 当m = 1 ，甩= 0 时，d 7 ( 1 ，o ) = ( l l 妒) ) ，d ( 1 ，o ) = 矽，贝l j d ( i ，0 ) = d ，( 1 ，o ) + d 弋l ，o ) 此时y d e d ( 1 。o ) d ed ，( 1 ，0 ) = 刁+ p ( 矽) 2 刁 = m ，) n 彬= m ，) n 他氇) j = l j 限j = 1 刀小l o e d ( 1 ，o ) 厂k 尸ln 如；= l i = l m ，) n他氇) ，= i j ( 3 2 4 ) 由( 3 2 3 ) 式和( 3 2 4 ) 式，可得对v m ，l n o ，当m + 力= 1 时，有 d d ( m ，n ) = ( 1 一叩) + 刀 = m ，) n m ，) n限j = l 咒廿 j = l ( i i ) ( i ) 假设对v ( m 一1 ) ，n n d d ( m 一1 ，n ) ， d e d ( 1 ，0 ) 彤= m ，) n他氇 户1 j 当m + 万一1 n 时，有 d 臼 = m 1 ) n j = lp ；= 拧，) = 成立； 叫n = ) nn p ；= 拧川= 1 成立； l 扭ll ( i i ) 假设对v m ， 一1 ) n y 厶 d e d ( m ，n - 1 ) ，当m + n 一1 n 时，有 和；= m ，) n 臼如；= 刀，) = - 成立。 ( ) 对v m ，n n ，m + n n 时的情况，我们把d ( m ，n ) 分成两部分： d 1 ( m , n ) 和d 2 ( 聊，玎) ，其中d 。( 朋，疗) 表示序列组胁，k l 。，七) ，协，k l ，) j d ( m , n ) l 构j 1 4 。n鲥 。，。l p o 1u_ 万 = ， l v ，n一 。n捌 。l p 。n阔 。l p ，吩 。n斟 p 磊 。n瑚 。l q _ 第三章主要结果 集合，且满足聊。= 1 ；d 2 ( m ，刀) 表示序列组胁，k f l ，。) ，协，k l ，) j d ( m ，刀) 的集合， 且满足刀l - - - 1 。那么有d ( m ，n ) = d 1 ( m ，刀) + d e ( m ，n ) 。 ( i ) 对q ( 聊，n ) ，因为固定要求m 。= 1 ，所以可以建立一个双射 妒：d l ( 聊，刀) hd ( m - 1 ，n ) ，那么 d e d i ( 脚， ) = 玎y o j 一 。7 7 d ed i ( m 一1 ，n ) 厂七 纠n = l 闰 聊，) n他码 ，= i j ( i i ) 对d 2 ，z ) ，因为固定要求咒。= 1 ，所以可以建立一个双射 缈：d 2 ( 朋，n ) hd ( m ，n - 1 ) ，那么 d e d 2 ( m ，n ) 厂七 尸ln 如； l 捌 = 聊0 n 知；码) 户l j = ( 1 - r ) p in i v ； i七 d e d l ( 肌，n - 1 )i f = 1 = l 一刀 由( 3 2 5 ) 式和 厌d ( m 。n ) 厂k p in f v = l f - 1 d e 国( m ，n ) = m ，) n他码 1 户l j m i 讹：刀川+in =1 = 刀川+ l t = 1 = 1 d 2 刀+ ( 1 一刁) n n ，m + n n 时， d e d 2 ( m ，n ) 广七 尸ln l f l l = m ，) n ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 他码) j r l = 1口 由推论3 2 1 可知，每个，：和v ：都是有限的。对我们已经定义的两类业务的 1 5 r_u_ 万 = ， ，p ，n卢 n ，j m = ，吩rt 。n瑚 。l p m v 对_ 得 ， = 式 )， d ，n 倒 乙 n 蔓 j ( m 第三章主要结果 索赔总额x ：和巧( v n 忉，存在仃暇：) 舱矿) u a ( 】m + ) c 仃暇。k + ) 。 引理3 2 2 对v n n ，v b i , - - , 髟b ( r ) ，0 ，群b ( r ) 及每一个序 列组l m ，) f e 1 斟，协j k l j ) j d ( 挖，咒) ，有等式 n p 【 e b ：) 】n p 心曙 h = l = m ，) n他毡 1 ，= l j 群) 】1 彬：) nn ip m i ”：万捌成立。群) 】ln 彬= ) nn 以= 聆川成立。 i f = l j = l l 证明：由引理3 2 1 和定理3 1 2 有 尸in 慨a ； nn 簖 lh = l h = l 厂玎， = p ln k ， l = 1 m ，) n b ：) n n k ，b ；) n n k v ；：聊，) n f ii p ，m ：甩，) i h = li = 1 j = l j 咽 叫 n 尸瞄b ：nr + n 尸眵鼢n 忸= o ) r i p 瞄 o ) 】1 1 p 瞄= o ) 】 h = lh = il = n + l j = n + l 血尸陋耳】| 忸 o ) 】血尸【 y b 3 x = o ) 】兀kp 暇 o ) 1 血尸瞄：o 1 h = lh = l 兀p 【c x ：b ：) 】兀p 比曙 h = lh = l 群) 】r f f ( 卜r ) 7 n 尸 x ：b ：) 】兀p 巧b ：) 】 h = l h = l k p ln = m ， i = 1 ) n j = l 他孔 1 j = l j 定理3 2 2 ( 索赔额过程的分解)两类业务的索赔额过程 相互独立。 1 6 口 k 和戤r ) 腱 。n鲥 n 、， ， b 巧 rl 。n料 n ，j ，厅 8y r。l 。n料 。一u。 p _ 聆 = ， l p ，n闩 ，1p 。n瑚 n 1 l r j一 8 k ，n芦 n 1 l r j 0 k。 ，n n 曲 k 七n n ， n ” 0 | i ，厅 口 敏 。n料 n 1 ，j ，矗 8 敝 。n 树 n 1、rj 足n 嘭 嘶口 。n糊 l p = 辨防 。n槲 。l p = 第三章主要结果 证n y j 由引理3 2 2 已证得，对v n n ，叫，b ：b ( r ) ，0 ，群b ( r ) 及每一个序列组，k l ，。) ，协，k 1 ， j d ( 刀，刀) ，有 娃： n 尸【 x ：b ：) 】n p 【 巧b ：) 】 h = l 由推论3 2 1 亦证得v m d g d ( 小， ) 则 d e d ( n ，n ) m ，) n 厂k p in = l f - 1 枷睁j = l 中 i 忸：b ：) n n r h = 兀j p 【 b ：) 】n 尸f l y ；曰：) 】 d e d ( n ，n ) ih = i h = l 兀尸【 - x ：b ：) 】n p 【 巧b ：) 】 h = l 兀 h = l 尸瞄：占：) 】 又 d g d ( n ， ) 拍 n 尸阱b ：) 】 h = l 阮硝) n = p ln 仁：召：) nn l h = l h = l过： = p ln 讧：b ： n n r h l h = l = l y h e d e d ( 月，h ) 1 ) ，- l j m ，) n他1 j = l j = m ，) n f ，1 p j2 刀，j l j p l = 1 和；= 所，) n 臼i = 1 v ；= n ，) p ln 和；= 所，) n n v ；= n ，) l | l 讹：以问 ln 如耽1 彬= 以川 l t = 1 j = l j k h n n v 净m ，) n i = l 1 f ，1l p 2 刀j i j b：)n厌。u。，fiv；=聊，)nn7v，-i=lj = l = 聆，抖j ) b ：) n = 耽，= 聆，j i 【厌d ( ) ljl 1 7 ，吩r r l 。n瑚 n ，i ，j， 8 。n柑 n 1 l r j， 8x r t 。n槲 。广陌u。 q _ 。n鲥 厂纠l ，n芦 ，f 矿 r 。n尚 n 1 l ，j， b 柑。n柑 l p ，n闩 。n树 嘭 r，l 。n柑 n 、，矗 口 ，矗 第三章主要结果 因此有尸in 忸：b ； nn 簖b 圳= n 尸眦b m n p 阱曰：) 】，即 索赔额过程仁：k 和亿怠相互独立。 口 因计数过程协( f ) l 。矿是以五为参数的p o i s s o n 过程，所以风险过程 k ，仁。k ) 是一个尸。洳d ，z 风险过程。下面我们证明这一节的主要结论。 定理3 2 3 ( p d 沁伽风险过程的分解)若风险过程) f e 矿，忸。k ) 是一个 p o i s s o n 风险过程，那么k 矿，忸：k ) 和慨，亿气) 是独立的p o i s s o n 风险过程。 证明：由定理3 2 1 证得计数过程 ( f ) ) f e 矿的分解过程 缸) ) f e 矿， 矿( f ) l r + 是相互独立助汹d 咒过程；由定理3 2 2 证得索赔额过程忸：k ，犯怠相互 独立。 - v i 正o 一代数仃( 心) k u 砸) k 胄+ ) 和仃暇：k u 亿九) 是独立的。 对v m ，n n ，v 曰：，b ：b ( r ) ，v 曰0 ，曰：b ( r ) ，t o , t l ，f 肌r + ，且 0 = t o t l t 辨，群，尼_ = l n o ，耳，k m n o ，且k l 后：，矸 后：；x 寸v je 1 ，聊 ，定义尼，= k ；+ 后歹。 定义p = m a x n ，k ，k ) ，d 表示所有序列组胁；k 1 一埘，i n ，k l 一f j d ( p ，p ) 的集合，r 、满足_ nv je 1 ，聊) ，m a x 切髟，”j = k ，。 由引理3 2 2 和定理3 2 2 的结论，可得 p 瞄h = l 慨硝) n n h = l 僻船n n l = 1 倭r = lk 加，= 杉) p ln 慨硝) nn 僻彰) nn k 加) = 杉 l l【ji = 尸i 慨巧) n n n 研群) n 曲a x k ，哆) = 乃) l 1 8 d d 第三章主要结果 p ln 忱b ；t nn 髀群) n i舡-1矗=l in p 眦巧) 】兀 d e d h = l - 1 因此 ：m ，) n 以：) l j = l i p 陈珊机卅， 4nb：iny；uh=l研) j 刁( 1 一功。 巧) n 簖鼢| 7 7 ( 1 - r ) 7 id e d b ：i n 毽： 厂疗 = 尸ln 阮 l = 1 厂玎 = p ln 慨 l 桔1 r1 虹= 圳 j b ；i n y ；珊n n k = 巧) n 奴= 洲 j = li 磷) n y h eb ； n q 三t e l 厶r = l 4 如，= 巧) n - = 乃 | 4 如) = 巧 n f ，= 乃j l ，= iiil = 吐q 。吒彰，n 僻群，n 一7 = 1 兰r = lt 置如，= 杉) 吐0 一= 乃 | i 矗= liii ，= ll = j p in 阮髟) n 簖群”刁t ( 1 一刀) ，dn k ， u h = lj 庚dij = r 巧) n 簖 = p | n 慨髟) n 簖 ih = l 群) 郴l j = i k = 洲 = 卅 ：衫司 j r1 织= 圳 j 故仃一代数仃( 协缸) ) f 旷u n 龟) k 矿) 和盯肛：k u 亿卫) 是独立的。 口 1 9 n 两 呦 ， 。n柚吐 = n 1 l j巧 = 一m 。n 芦 n 1 ，酹 ， 口， 。n柑 。l q _ ，口 。n柑 。l p 二un 第三章主要结果 第三节古典风险模型下两类相关保险业务的盈余过程 在古典风险模型下，我们来分析一下两类相关保廷业务的盈余过程。第一 类业务的盈余为s ( f ) = “+ c t 一：ox o 第二类业务的盈余为 s 。( f ) = “+ c f 一：o z 。，下面我们来考查一下两类盈余过程的独立性。 定理3 3 1 设第一类业务的盈余为s ( f ) = “+ c t 一：o x 第二类业务的 盈余为s ( f ) = “+ c t y ：v u i 。，那么s ( f ) 和s ”( f ) 是两个独立的古典风险过程。 _ 1 2 - 证明：由3 2 证得( 0 t e r + 讧： 。) 和“n ，f f 砌+ ， 巧) 。) 是独立的泊松风险 过程，那么对古典风险过程s ( f ) = “。+ g t 一竺d 掣，s ( f ) = “，+ c t f 一：o i 。， 可得和s ”是两个独立的古典风险s “) 过程。 口 2 0 参考文献 参考文献 【l 】d u f r e n s e e a n dg e r b e rh u ( 19 91 ) r i s kt h e o r yf o rt h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s st h a ti s p e r t u r b e db yd i f f u s i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 0 。5 1 5 9 【2 】f u r r e rh j a n ds c h m i d l ih ( 1 9 9 4 ) e x p o n e n t i a li n e q u a l i t i e sf o rr u mp r o b a b l i t i e s i t i e so fr i s k p r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s15 2 3 3 6 【3 】g r a n d e l lj ( 19 91 ) a s p e c t so f r i s kt h e o r y s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k 【4 r o l s k it ，s c h m i d l ih ，s c l u n i d tva n dt e u g e l s ，j ( 1 9 9 9 ) s t o c h a s t i cp r o c e s s e sf o ri n s u r a n c e a n df i n a n c e j w i l e y & s o n s ，n e wy o r k 【5 】d a s s i o sa a n de m b r e c h t sp ( 1 9 8 9 ) m a r t i n g a l e sa n di n s u r a n c er i s k c o m m u n s t a t i s t s t o c h m o d e l s5 ，1 8 1 - 2 1 7 【6 】d a v i sm h a ( 1 9 8 4 ) p i e c e w i s e d e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s e s ：ag e n e r a lc l a s so f n o n d i f f u s i o ns t o c h a s t i cm o d e l s j r 。s t a t i s t 。s o c 。b ( 4 6 ) ，3 5 3 。3 8 8 【7 】f e l l e rw ( 1 9 7 1 ) a ni n t r o d u c t i o nt op r o b a b i l i t yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n sv o l l i i ，2 n d ，j w i l e y & s o n s ，n e wy o r k 【8 】d u f r e n s ee ，g e r b e rh u a n ds h i ue ( 1 9 9 1