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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 具有控制约束线性系统的鲁棒最优控制 摘要 在实际控制系统中，非线性约束普遍存在，一方面表现在控制系统必须 避免在不安全的模式下操作，另一方面表现在物理系统本身的限制也会带来 很多约束。在各种各样的约束中，线性系统中的控制输入约束( 饱和约束) 是 最常发生的一类，控制输入饱和约束使问题变得复杂，无论是从理论还是从 实际应用的角度，对这类问题的研究都迫切需要。因此具有控制约束线性系 统的鲁棒最优控制问题研究具有重要意义。 首先，研究具有控制约束线性系统的鲁棒镇定问题。针对时滞连续线 性系统和不确定时滞连续线性系统，在系统可镇定的条件下，利用r i c c a t i 方程的解定义开的椭球体，引入饱和函数，并利用饱和函数给出饱和控制 器的直观表达式，进而利用l y a p u n o v 方法，分别建立了相应系统全局渐近稳 定( g a s ) 和局部渐近稳定( r a s ) 的充分条件，进一步，当系统是局部渐近稳定 时，给出了系统的不变吸引椭球。 其次，研究具有控制约束的时滞离散线性系统的最优控制及渐近稳定 性问题。针对给定的二次型性能指标，提出了时滞离散系统线性二次最优控 制问题，并利用最优性原理将该问题进行了转化，进而利用数学归纳法推出 最优有记忆饱和控制序列及最优性能指标序列的直观表达式。针对时滞离散 线性系统，引入饱和函数，利用饱和函数的下确界，建立了系统全局渐近稳 定( g a s ) 和局部渐近稳定( r a s ) 的充分条件。 最后，研究具有控制约束不确定连续及离散线性系统的具有给定性能指 标期望值的最优控制问题。先将最优控制问题转化为具有矩阵不等式约束的 矩阵逼近问题，又转化为具有线性矩阵不等式( l m i ) 约束的矩阵广义特征值最 小化问题，从而设计了相应系统的线性状态反馈控制器。 关键词控制约束：时滞线性系统；最优控制：饱和函数；饱和控制器 t h er o b u s to p t i m a lc o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sw i t h c o n t r o lc o n s t r a i n t a b s t r a c t i nt h ea c t u a lc o n t r o ls y s t e m s ，n o n l i n e a rc o n s t r a i n ti sa l w a y se n c o u n t e r e d c o n t r o l s y s t e m sn e e dt oa v o i do p e r a t i n gu n d e ru n s a f e m o d e o nt l l eo t h e rh a n d t h ep h y s i c a l s y s t e m sw i l lb r i n gm u c hc o n s t r a i n tt h e m s e l v e s a so n e k i n do fv a r i a n tc o n s t r a i n t , c o n t r o li n p u t ( s a t u r a t i o n ) c o n s t r a i n ta p p e a r sm o s tu s u a l l y , a n dc o m p l i c a t e st h ep r o b l e m i t i sd e s i r e dt os t u d yo nt h e s ei s s u e si nt h e o r y0 1 p r a c t i c e ，s u c ht h a ti ti si m p o r t a n tt o d i s c u s st h er o b u s to p t i m a lc o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sw i t hc o n t r o lc o n s t r a i n t f i r s t l y , t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fl i n e a rs y s t e m sw i t hc o n t r o lc o n s t r a i n t i ss t u d i e d f o rd e l a yc o n t i n u o u sl i n e a rs y s t e m sa n du n c e r t a i nd e l a yc o n t i n u o u sl i n e a r s y s t e m s ，o p e ne l l i p s o i di sd e f i n e db yu s i n gt h es o l u t i o no fr i c c a t ie q u a t i o na n ds a t u r a n t f u n c t i o ni si n t r o d u c e d t h ed i r e c te x p r e s s i o n so ft h es a t u r a t ec o n t r o l l e ri sg i v e n t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg e n e r a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y ( g a s ) a n dr e g i o n a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y ( r a s ) i sp r e s e n t e db yl y a p u n o vm e t h o d a ni n v a r i a n ta t t r a c t i v ee l l i p s o i df o r t h er a si sg i v e n t h e n ，t h eo p t i m a lc o n t r o la n da s y m p t o t i cs t a b i l i t ya r er e s e a r c h e df o rd e l a y d i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m t h eq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fd e l a yd i s c r e t e t i m el i n e a rs y s t e mi sp r o p o s e dw i t hq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x i ti st r a n s f o r m e di n t o a n o t h e rp r o b l e mb yu s i n gt h ep r i n c i p l eo fo p t i m a l i t y t h ed i r e c te x p r e s s i o n so ft h e o p t i m a lc o n t r o ls e q u e n c ea n dp e r f o r m a n c ei n d e xs e q u e n c ea r eg i v e nb ym a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n f o rd e l a yd i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e m ，s a t u r a n tf u n c t i o ni si n t r o d u c e d t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg a sa n dr a si sp r e s e n t e db ys a t u r a n tf u n c t i o ni n f i m u m f i n a l l y , t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mw i t hg i v e ne x p e c t a t i o nv a l u eo fp e r f o r m a n c e i n d e xf o ru n c e r t a i nc o n t i n u o u s ( o rd i s c r e t e t i m e ) l i n e a rs y s t e m si sd i s c u s s e d t h i s p r o b l e mi sc h a n g e di n t ot h em a t r i xa p p r o x i m a t i o np r o b l e mw i t hm a t r i xi n e q u a l i t i e s f u r t h e r , i ti sc h a n g e di n t ot h eg e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e mw i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) i na d d i t i o nl i n e a rs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d 一一 堕玺鎏翌三奎主墨兰璺主主垡篁塞，一 k e yw o r d sc o n t r o lc o n s t r a i n t ；t i m e - d e l a yl i n e a rs y s t e m s ；o p t i m a lc o n t r o l ；s a t u r a t e f u n c t i o n ；s a t u r a t ec o n t r o l l e r 1 1 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有控制约束线性系统的 鲁棒最优控制，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人己发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承 担。 作者签名：盈l 守雷日期游3 月岬日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有控制约束线性系统的鲁棒最优控制系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权 哈尔滨理工大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密函。 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：巫宁蜃 导师躲7 专晓 日期：斫3 月阿日 ? 期节；月哕日 第1 章绪论 1 1 时滞系统最优控制问题研究进展 在实际的控制系统中，时滞现象是普遍存在的，因此引起了许多研究者 对时滞系统最优控制问题的关注。时滞系统最优控制问题的研究始于上个世 纪六十年代，随着最优控制理论的发展和实际控制系统的需要，人们逐渐将 无时滞系统最优控制的一些理论和方法推广到时滞系统中。 1 9 6 1 年，k h a r a t i s h v i l i 首先提出了用极大值原理解决时滞系统最优控制的 思想，并在其专著【1j 中给予讨论。随后，l a s l l e 分析了时滞系统的时间最优 控制问题。1 9 6 3 年，k r a s o v s k i i 2 】将r i c c a t i 方法进行了推广，提出了用于时滞 线性系统最优化的广义r i c c a t i 方法。1 9 6 6 年，o g u z t o r e l i 3 1 3 7 将动态规划的方 法应用到了时滞系统的最优控制问题中。人们主要考虑时滞系统的二次最 优【4 】【5 】【6 】和时问最优控制问题l z l 。1 9 8 2 年，p a t e l 和m u n r o s l 提出了通过建立线性 二次调节器( l q r ) 得到反馈控制律的方法，现在l q r 的理论已被应用到了时 滞系统 9 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 。7 0 8 0 年代，许多研究者 1 3 1 4 1 1 1 5 1 1 6 1 7 使用最优无记忆反馈 控制律来解决时滞最优控制问题，但所得到的最优调节器往往不具有鲁棒 性。1 9 8 7 年，m a l e k 和j a m s h i d i 1 8 】综合地介绍了时滞系统最优控制的几种重要 方法，即：极大值原理、动态规划法、广义r i c c a t i 方法以及时间最优控制。 在近二十年里，一些研究者【1 9 1 1 2 0 1 2 1 】例嘲分别应用极大值原理或动态规划 方法讨论时滞系统的最优控制问题。特别是庞特里雅金极大值原理，放宽了 求解问题的前提条件，使得许多古典变分法和动态规划法无法解决的工程技 术问题得到了解决。 1 9 9 8 年和2 0 0 1 年，k u b o 和s h i m e m u a l 2 4 j 1 2 5 1 又通过r i c c a t i 方程和线性矩阵不 等式( l m i ) 建立了最优无记忆调节器，并证明了当控制具有静态非线性扰动和 动态线性扰动时，得到的最优调节器具有鲁棒性。 在所有的方法中时滞被认为是常量，但许多情况时滞是随时间改变的， 为此2 0 0 4 年，k u b o l 2 6 】又提出了变时滞系统的最优无记忆调节器。 7 当控制变量受到一定限制时，极大值原理不要求h a m i l t o n 函数h 对连续 可微，因此获得了广泛的应用 2 r l 。 哈尔演理t 大学理学硕卜侍论史 2 0 0 5 年，m i c k a e lb a s i n 和j e s u sr o d r i g u e z - g o n z a l e zl 2 8 】通过极大值原理，得 到了状态和控制都有时滞的线性系统的最优控制，最优控制问题的解被表 示成了一个线性反馈控制律，其增益矩阵满足边界微分方程，并且方程不 含有超前项和滞后项，也不依赖于状态的改变，所获得的最优调节器要优 于1 9 1 1 2 0 】【2 1 】给出的时滞系统的一般最优结果。 另一方面随着计算机技术的发展，离散系统控制理论和技术受到人们的 广泛关注，时滞离散系统的二次最优控制成为了重要的研究领域，已经吸引 了许多研究者并取得了若干成果。 1 9 8 4 年，j a m s h i d i l a o l 利用协状态预测法研究出离散时滞非线性系统的 最优控制问题算法，该算法仅利用线性模型来求解迭代解，迭代次数较 多。1 9 9 3 年，r o b e r t s ( 3 1 l 提出了求解实际系统最优控制的动态系统优化与 参数估计集成( d y n a m i ci n t e g r a t e ds y s t e mo p t i m i z a t i o na n dp a r a m e t e re s t i m a t i o n , d i s o p e ) 算法，在模型与实际存在差异的情况下，通过迭代求解基于模型的优 化问题和参数估计问题，获得实际最优解。 一方面，时滞离散系统可以经过扩维变为无时滞系统来研究，但是对于 阶数较高和( 或) 时滞较大的系统，扩维后可能使系统的阶数变得更高，从而引 起“维数灾难”问题，导致系统模型的阶数增高，计算复杂度成几何级数增 加，1 9 9 5 年，c h u l m 】对小时滞和低维数系统采用扩维的办法变为无时滞系统来 研究。 另一方面，具有二次性能指标的离散时滞系统的最优控制问题可能会导 致既含有超前项又含有时滞项的离散线性两点边值问题( t p b v ) ，但是直接求 时滞系统最优控制律的精确解是非常困难，因此求解离散时滞系统的近似最 优控制律是科学工作者追求的目标之一。 近年来，时滞系统的最优控制近似方法研究取得了若干较好的结果，尤 其是2 0 0 3 2 0 0 4 年，唐功友等人将原有最优控制问题变为不含超前项和时 滞项的一族非齐次线性两点边值问题，提出了一种获得非线性系统次优控制 律的逐次逼近方法。 以上研究方法都是针对控制无约束的情况下得出的最优控制律，但在实 际系统中控制属于容许控制集合，即满足一定的约束条件。 2 0 0 0 年，d ed o n d l 3 s 】 3 6 i 等人对于具有控制约束的线性二次最优问题给出 了饱和控制律u = 一s a t a ( k x ) 义用线性不等式集合来表示有效的区域，同 时证明了控制律在区域内满足约束条件，2 0 0 4 年，m a r e 和d ed o n 6 【3 7 】针对具 哈尔演理r 大学理学硕1 学位论文 有控制约束的无时滞离散线性系统，给出了系统全局最优解的具体形式，也 就是用“= 一s a r a ( z i z + h n , i ) 的形式取代了文献 3 6 1 0 0 的局部最优饱和控制 律牡= - s a t ( k z ) ，并揭示了最优解的本质结构和动态性质。 在现代工业领域中，很多研究者 3 8 1 1 3 9 l 也使用m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( m p c ) 来解决具有控制约束的时滞系统的最优控制问题，但通常m p c 是通过 反复在线求解一个带约束的有限时域优化问题来实现的，而有限的开环最优 并不能保证系统的闭环稳定性。 本文将研究具有控制约束的时滞系统鲁棒最优控制问题，使所得到的控 制律既能使系统性能指标最优同时) 己能保证相应闭环系统是渐近稳定的。 1 2 非线性系统稳定。陛分析研究进展 1 3 问题的提出 非线性约束普遍存在，它广泛存在于工程系统中。例如，控制系统必须 避免在不安全的模式下操作，在过程控制中，表现为压力和温度的限制。另 外，物理系统本身的限制也会带来很多约束，所有的物理系统都或多或少地 受到约束的限制。比如泵和压缩机受到最大工作能力的限制；马达只能在一 个有限的速度范围内工作等。在各种各样的约束中，线性系统中的控制约束 是最经常发生的一类，不管控制约束是怎样存在于系统中的，它的引入都会 使问题变得复杂。因此无论从理论还是从实际应用的角度，都有研究和解决 这类问题的迫切需要。 另一方面，系统饱和会严重影响控制器的性能，在极端情况下可能会导 致系统的不稳定，造成非常严重的后果。 1 3 1 控制器受约束的特性 控制约束是由于控制系统中的电子器件本身的物理局限性造成的一种非 线性特性。, 4 t ) r ”是执行器的控制输入向量，s a t ( u ) r ”是对象的控制输 入量，s a t ( u ( t ) ) = s a t ( u l ( t ) ) s a t ( u 2 ( t ) ) s a t ( u 。( t ) ) j 。 哈尔滨理t 大孕理学硕f 学位论文 饱和特性函数描述为： 删，= b ，m m 。 1 2 3 系统稳定性分析的研究进展 控制器受约束的特性直接导致了控制器输出u 和对象输入面的不同，这就 是系统变坏的根源。根据考虑问题的不同角度，研究控制约束问题的方法可 以分为两大类：一类是在控制器设计的开始考虑控制约束问题，这种方法的 一个核心问题就是辨别出一类可以采用有界控制来达到( 全局) 渐近稳定的系 统。而另一类则被称为抗饱和控制，就是在控制受约束的时候，采用抗饱和 补偿器来改善系统在饱和情况下的性能。抗饱和控制器的设计也有两种不同 的策略。其中最常用的一种是两步法：首先忽略控制约束的限制，采用线性 系统的理论按照性能指标设计控制器。线性控制器的设计理论已经非常成 熟，我们可以采用各种各样不同的方法，比如最优控制l q r 方法以及鲁棒控 制点b 、风。等控制器设计方法。第二步，考虑控制约束时，设计各种各样的补 偿器来减小控制约束对系统性能的影响。这是一种广泛采用的方法。还有一 种就是在设计控制器的同时考虑控制器受约束的特性。 具有控制约束( 饱和执行器) 控制系统镇定问题的研究，可分为全局、半全 局( s e m i g l o b a l ，对于任意给定的紧集，无论多大，均位于闭环系统的吸引域 内) 、局部、区域( r e g i o n a l ，吸引域的估计问题) 四类，其中全局和半全局的镇 定问题需要开环系统的极点位于左半平面内。1 9 9 0 年，s o n t a g 4 0 等人的研究结 果表明，对于线性可稳系统，只有当系统没有正实部极点时，线性系统才能 够用一个有界反馈使系统全局渐近稳定。但是，一般情况下，全局稳定采用 非线性控制器。为了进一步阐明问题，我们给出下面几个定义。考虑系统： 圣( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) ( 1 - 2 ) 其中，x ( t ) e r “是状态向量，让( f ) r “是控制向量，并r l l u lr 。1 。 定义1 1 1 4 1 1 有界输入全局零可控：对于一个系统，给定一个输入控制的 一d 一 哈尔派理工大学理学硕i ：学位论文 界。在有界控制下，如果系统的任何一个状态都能够渐近地，或者在有限时 间内回到原点，那么称这个系统有界输入全局零可控。 定义1 2 1 4 1 l 有界输入半全局零可控：对于一个系统，给定一个输入控制的 界。给定状态空间中一个任意大的有界集合，在有界控制下，如果此集合的 任何一个状态都能够渐近地，或者在有限时间内回到原点，那么称这个系统 有界输入半全局零可控。 1 9 9 3 年，l i n 和s a b e r i 指出能够采用非线性控制全局稳定的系统一定能够用 线性控制半全局稳定1 4 2 】。很容易得到这样的结论：对于开环系统，如果存在 具有正实部的极点，那么采用有约束的输入是不可能使系统全局或者半全局 稳定的。 因此在一般情况下，如果存在控制约束，系统都是不能够通过线性控制 来达到全局稳定。那么，很自然，我们就会问这样的问题： ( 1 ) 对于一般的系统，怎么样确定系统的渐近零可稳空间? 在这样的空间 里面，能够采用有界控制使所有的状态都能够渐近地，或者在有限时间内回 到原点。 ( 2 ) 为了使控制器能够尽可能地在渐近零可稳空间里面工作，应该怎样来 设计控制器? 针对这两个问题，已经取得了一些研究成果。跟渐近零可稳空间意思相 同的另一种说法是可恢复集合。 定义1 3 4 1 】可恢复集合：对于一个系统，在不违背系统输入约束的条件 下，如果采用控制能使系统的初始状态回到原点，那么称这些初始状态是可 恢复的；由这些初始状态组成的集合称为可恢复集合。 而可恢复集合的概念跟吸引域( d ( ) a ) 也是密切相关的。对于系统( 1 2 ) ， 用妒( t ，x 0 ) 表示系统的轨迹，那么平衡点z = 0 n 吸引域s 被定义为： s = ( z 。舻：t l 。i r a 。妒( t ，训= o ) 0 - 3 ) 从上面的定义可以看出，可恢复集合跟稳定性问题密切相关，可恢复集 合就是能够得到的最大的受约束吸引域。因此上面的第一个问题也就等价于 设计一个控制器来使得受约束吸引域等于或者接近可恢复集合。最早关于这 个问题的结果要追溯到上个世纪六十年代。在1 9 6 4 年，l e m a y 研究了最大可恢 复集合和最大可到达集合的条件【柏】，提出了一种给予最优控制，计算最大可 哈尔演理r 大中理学硕i j 学竹论文 恢复集合的方法。他的研究把可恢复集合和时间最优控制直接联系了起来。 近一点的，s t e p h a n 等把l e m a y 的结果扩展到了输入和状态约束系统。 一般从广义上，分析控制受约束系统可稳性的方法分为两种。一种常 用的方法：设计一种控制方法，在不违背系统控制约束的条件下，使容许集 合的一些子集成为不变集。能够通过这种方式得到的容许集合的子集也被 称为正不变集。两种晟常用的正不变集是椭球体集合和多边形集合，1 9 8 3 年 至1 9 9 9 年，多面体集合的方法受到的更多的关注 4 4 1 1 4 5 1 1 4 6 1 。一般来说，多面体 集合方法本质上是不保守的，但是随着边数目的指数增长，计算负担也会相 应地指数增长。关于这个问题，1 9 9 9 年，b l a n c h i n i 做了比较详细的阐述i 删。 椭球体集合是一种控制理论中的经典集合。2 0 0 1 年，h u 等人采用有限数目的 椭球体集合可以非常好的估计可恢复集合【4 7 】，但是这种方法的计算量比较 大。 采用上述方法分析系统稳定性的时候，最常用的方法就是基于l v a p u n o v 函数的分析方法。由l y a p u n o v 稳定性理论可知，给定一个l y a p u n o v 函数，我们 可以得到一个l y a p u n o v 面。通过l y a p u n o v 面，我们可以构造一个不变集，这 个集合同时也是包含在吸引域里面的。因此，我们最终可以通过构造这样的 不变集来估计控制受约束系统的可恢复集合。我们知道饱和具有典型的非线 性特性，在用l y a p u n o v 稳定性理论分析饱和系统的时候，必须对非线性环节 进行处理。到目前为止，已经发展出了若干处理技术。1 9 9 7 年，基于p o p o v 原 理和园判据的方法最先被应用于饱和系统【鹌】，这种方法把饱和非线性转化为 一个死区，然后用一个扇区来对死区处理。这种处理饱和的方法得到了广泛 应用 4 9 】。但是这种方法忽略饱和非线性的具体特性，不可避免地会带来保守 性。为了减小处理饱和非线性时的保守性，2 0 0 2 年h u 等提出了一种多面体顶 点处理方法，有效地减少了保守性例。这种方法可以得到线性矩阵不等式的 条件，用现有的优化工具，线性矩阵不等式很容易求解2 0 0 4 年，h u 等又研 究了一类特殊的饱和系统，这类饱和可以用凸函数和凹函数的组合来无限逼 近1 5 1 】。因为这种方法考虑到了饱和环节的具体特性，所以减小了系统的保守 性。 1 3 3 时滞系统稳定性分析的研究进展 对于各种各样的工业系统，比如化工工业、电子工业系统、以及基于 网络的系统等，存在时滞的非线性模型是捕述这类系统的常用模型。控制回 路中存在的时滞可能会严重影响系统的性能，使控制器的分析与设计变得复 一6 哈尔滨珥! 工大学理学硕上学位论文 杂。这种问题目前受到了相当的关注，相关的研究结果也很多【5 2 】【5 3 】f 5 4 j 。 系统中存在的饱和也会严重影响系统的性能，并且一个系统可能同时存 在时滞和饱和。时滞和饱和的并存势必会严重影响系统的性能，必须用特孙 的方法来处理这样的系统，然而，关于这类问题的分析研究结果还是比较少 的。一般的控制约束时滞系统模型为： ( t ) = a o x ( t ) + a l x ( t h ) + b u ( t h ) u ( t ) = c z ( t ) l u “砚，i = 1 ，一，m ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 初始条件为： z ( r ) = ( 7 ) ，v t 【- h ，0 ( 1 - 7 ) 2 0 0 2 年，t a r b o u r i e c h 等把这个问题转化成了一个基于l y a p u n o v k r a s o v s k i i 方法的优化问题1 5 5 】。2 0 0 3 年，t a r b o u f i e c h 等又研究了这类时滞饱和 系统，并提出了一种迭代方法来求解系统的补偿器增益酬。这个方法类似 于c a o 等的方法【5 7 】，计算量很大。之后，2 0 0 3 年f r i d m a n 等提出了一种广义系 统的方法来改进以前的结果侧，但是这种方法对初始条件有限制，明确的优 化算法也没有给出。2 0 0 4 年，d as i l v a s s l 等人基于一个新的扇区条件，提出了 一种对状态中存在时滞的饱和系统的分析方法。同年t a r b o u r i e c h 5 9 】等人对于 一类输入饱和和输出时滞系统也有相应的研究。但是由于采用了交叉项界定 技术，以上这些方法都有很强的保守性。 1 4 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师正在进行的国家自然科学基 金项目。 1 5 本文的主要内容 总结前人所做的工作，我们看到，在控制受约束时滞系统的稳定性分析 和最优控制问题上已经取得了很多有意义的研究成果，但是这些方法仍然存 在一些局限性和亟待解决的问题。如： 一7 一 哈尔滨邢工大学邢学硕- 】：学位论文 1 当引入饱和控制律时，全局渐近稳定可能会变成局部渐近稳定，这就 需要给出判别系统是全局渐近稳定或是局部渐近稳定的方法； 2 对于控制受约束的时滞线性系统，设计最优控制器既能使相应的闭环 系统渐近稳定又能使性能指标最小： 3 当系统的性能指标是事先给定时，设计最优控制律使系统的性能指标 与给定的性能指标尽可能地接近。 针对已有研究中存在的各种问题，本文作了一部分工作，我们研究的对 象是控制受约束的线性系统。 本文的主要研究内容如下： 第一章分别介绍了时滞线性系统最优控制问题和饱和非线性系统稳定性 分析的研究进展以及所取得的研究成果，并指出研究中存在的问题，给出了 本文的研究思路以及主要的研究内容。 第二章对具有控制约束的时滞连续线性系统和不确定时滞连续线性系统 进行稳定性分析。给出了判断系统是全局渐近稳定或局部渐近稳定的充分条 件，并给出了系统局部渐近稳定时的不变吸引椭球。 第三章考虑控制受约束的时滞离散线性系统，应用最优性原理设计出了 晟优饱和控制律，得到的最优饱和控制律可使系统的性能指标最小，同时对 控制受约束的时滞离散线性系统的渐近稳定性做了分析，给出判别系统是全 局渐近稳定或局部渐近稳定的方法。 第四章对具有给定性能指标期望值的最优控制问题进行了研究。将这一 问题转变为具有矩阵不等式约束的矩阵逼近问题，并进一步把矩阵逼近问题 转变成具有线性矩阵不等式约束的广义特征值最小化问题，从而设计出最优 控制律，且可以通过m a t l a b 软件中l m i 工具箱中的g e v p 求解器解决。 最后，我们对控制受约束的时滞系统的稳定性分析和最优控制问题做了 总结，并提出了有待解决的相关问题，对日后的工作进行了展望。 哈尔滨珊t 大学邪学硕j 学何论文 2 1 引言 第2 章时滞连续系统的渐近稳定性 在控制系统的综合与设计理论中，为简化分析，通常认为控制输入是没 有约束的。然而，对实际工程系统来说，控制往往属于容许控制集合，即满 足一定的约束条件。目前关于控制约束下控制系统的分析与设计的研究，可 以归纳为两个研究方向。一个方向主要讨论如何设计控制系统以防止当控制 输入有界时，闭环系统的控制特性下降过大，至少应保证系统的闭环稳定 性1 6 0 1 1 6 1 l ；另一个方向主要研究控制约束下控制系统的闭环渐近稳定性问题， 其目标为设计控制系统保证在有界控制输入下控制系统为全局渐近稳定，或 在己知的稳定区域内为局部渐近稳定。针对第二个方向我们常常会应用饱和 控制律使相应的闭环系统是渐近稳定的，但饱和控制律会使闭环系统由全局 渐近稳定( g a s ) 变成局部渐近稳定( r a s ) 。这种现象引起了许多学者对这一问 题的关注，并且一些研究者1 4 6 1 1 6 2 1 基于线性矩阵不等式方法，在研究带饱和控 制律的线性系统的稳定性方面取得了一些成果。文献 6 2 1 讨论了具有控制约束 的无时滞离散线性系统的渐近稳定性，将用l y a p u n o v 稳定性理论研究具有控 制约束的时滞连续线性系统的渐近稳定性。 2 2 时滞连续线性系统的渐近稳定性 考虑时滞连续线性系统 士( t ) = a o x ( t ) + a 1 2 0 一h ) + b u ( t ) ( 2 1 ) z ( 7 - ) = z ，一 r 0 其中，h 是时滞，x ( t ) v _ r ”是状态向量，札( t ) 酿是控制变量，a o 幽“，a 1 r “，b r “。1 皆为已知的常矩阵，控制“( t ) 满足约束条件： u ( t ) q = 【一，+ 】，a 0 ( 2 - 2 ) 9 哈尔滨理丁大学理学硕 学位论文 条件1 设无记忆饱和控制律 u ( t ) = s a t , ( k x ( t ) ) = s i g n ( k x ( t ) ) m i n ，i k z ( t ) i ) 其中，反馈增益矩阵k r 1 “且k 0 ，同时山+ b k 是渐近稳定的， 即山+ b k 的所有特征值的实部都小于o 。 根据条件l ，对给定的对称正定矩阵p l ，存在对称正定矩阵昂，使得下式 成立 p o ( a o + b k ) + ( , 4 0 + b k ) r p o = 一( ，+ p o a l 耳1 a r , p o + p 1 ) ( 2 - 3 ) 用r 和任意正数r 定义一个开的椭球体 a ( p o ，r ) = 扛r “：x t p o z 0 ，有妒( t ，z o ) e n ( p o ，r ) ，则称q ( r ，r ) 是系统( 2 - d 的不变椭球。 定义饱和函数q ：舻一【0 ，1 ) 州班 ? ：南，：篡， c “， 从( 2 _ 4 ) 式，我们可以看到对所有的z e r ”有u ( t ) = s a t a ( k x ) = ( 1 一# 1 ) k x 。 k 石1 k t ，则 萨唧m 饿n c 酬= ：二南州f l c p o , r ) c _ l 州i ( k 的) r = 面再 ) 小仁去1 ，篡三二： c 并且，对v p l e o ，p ) ，有，+ 芦1 e 0 。 定理2 1 设系统( 2 _ 1 ) 满足条件l ，有 i ) 着a 。机( e ) 一1 ，则闭环系统( 2 _ 5 ) 式是全局渐近稳定的； i i ) 若a 。 。( e ) 一1 ，则闭环系统( 2 巧) 式是局部渐近稳定的，g u ( 岛，r ) 是 哈尔滨理丁大学理学硕：卜学位论文 不变吸引椭球。 证明取l y a p u n o v 函数y ( ) = x t ( t ) p o z ( t ) + x t ( 口) p l z ( 口) d o ，则沿闭环 ，i j t - h 系统( 2 5 ) 式有 f ( t ) = i c t ( t ) p o x ( t ) + x t ( t ) p 0 2 ( t ) + x t ( t ) p 1 2 0 ) 一x t ( t h ) p l x ( t h ) = f f r p o ( t ) + z r ( t ) p o h + x r ( t ) p ：( t ) 一x t ( t h ) p l x ( t h ) = z 二! 埘 t 酽昂+ a p 昂o w + p 1 昂a i l z j ! 九j 其中，h = a o + ( 1 一l q ) b k x ( t ) + a l x ( t 一_ 1 1 ) ，w = 山+ ( 1 一i * 1 ) b k 。 根据s c h u r * l 引理 卜斗。 ：三二昂+ 只一。昂山，。一b ，一，。a 岛， 。 将( 2 习) 式代入( 2 _ 9 ) 式中可得 f p 1 0 ，则对v z r ”，都有y ( ) 0 ，即闭环系统( 2 - 5 ) 式是全局 渐近稳定的； i i ) 若入m t n ( e ) 0 。 定理2 2 设系统( 2 - 1 0 ) 式满足条件1 。 i ) 若a 而。( e ) 一1 ，则闭环系统( 2 - 1 3 ) 式是全局渐近稳定的； “) 若a 而。( e ) 0 ，则矿( t ) 0 。其余的证明同定理2 1 的后半部分。证毕 2 4 数值算例 圣c t ，= - 2 - 7 7 5 z c 幻+ z 。一 ，+ 0 1 。 牡c t ， 设计控制札( t ) = s n 坛( i x2 z ( t ) 1 ，= 3 。对给定的对称正定矩阵p 1 = ： ，利用c 粥，式求得对称正定矩阵 局= e = 1 ：6 一：。 ，k 讯c e ，= 一z 。 一， 因此，由定理2 1 知相应闭环系统是局部渐近稳定的，- 且q ( p o ，r ) 是不变吸 引椭球。其中，r = 2 3 3 6 4 是f l j ( 2 - 6 ) 式计算得到。 例2 2 考虑不确定时滞线性系统 圣( t ) = ( a o + d f 日) x ( t ) + a l x ( t h ) + b u ( t ) 黼山七：斟肛加州 。= 二，- ：1 ，局= ：二 。 设计控制u ( t ) = s 。坛( 【o 21 。( t ) ) ，a = 2 。对给定的矩阵d 、蜀和对称正 定矩阵只：f ： ，利用c i - z ，式求得对称正定矩阵 1lllljillj o 1 2 o 卜 rl l一 ： 昂 哈尔演理丁大学理学硕l 学位论文 进一步求得 e = ：_ 2 ，k 咖c e ，= 一z a s 。 一 因此，由定理2 2 知相应闭环系统是局部渐近稳定的，且q ( 昂，r ) 是不变吸 引椭球。其中，r = 1 1 2 6 1 9 是由( 撕) 式计算得到。 2 5 本章小结 由于控制具有约束，这就需要引入饱和控制律，饱和控制律的引入会使 系统由全局渐近稳定变成局部渐近稳定。本章讨论了当控制输入有界时，时 滞连续线性系统和时滞不确定连续线性系统的渐近稳定性问题，通过定义饱 和函数u 1 和开的椭球体q ( r ，r ) ，适当的选取l y a p u n o v 函数，利用l y a p u n o v 稳 定性理论以及s c h u r b 引理利用饱和函数的上确界，给出了判断相应的闭环 系统是全局渐近稳定或是局部渐近稳定的方法，即i ) 若入而。( e ) - 1 ，则闭 环系统是全局渐近稳定的；i i ) 若。( e ) 0 ( 3 - 2 ) 性能指标 ( 3 - 3 ) zp r z+ 札 r r u+ 七 0 qt k z 脚 = ， 哈尔滨理t 大学理学硕l ：学位论文 其中，= 。x 。一k 。 ，q = 芝：三兰 是状态权矩阵，且是半正定 甜po a 吾 p a o a x + q - 一 c ， 页= r + b r p b ，m = 【k 纠= 面一1 b r p a oa x 】r 1 。2 “( ) 问题1 ：求一控制序列u = u ( o ) ，1 * ( 1 ) ，t ( 一1 ) ，使性能指 标( 3 - 3 ) 最小。 对于阶数，用u = ( 蛳，u l ，u n 一1 来表示控制序列。 对于re ( 1 ，) 和某个初始时间一r o ，1 ，一1 ) ，用一，= u n 一，缸一( ，1 ) ，u n 1 ) 来表示部分控制序列。 当控制序列【厂中的每一项满足u k q ，k = 0 ，1 ，n 一1 时，用u q 来 表示。 当控制序列巩v 一，中的每一项满足u k q ，k = n r n r + 1 ，一 1 时，用h 一，盯来表示。 对任意一个re 1 ，) ，部分控制序列吩一，q 7 ，二次型性能指标为 一l = ( 舞弧+ u r n s , k ) + x r p x j v 七= n - t 为了寻找晟优控制序列，我们将应用动态规划的方法，其理论依据为最 优性原理：一个最优策略的任何最后一段策略都是最优子策略【27 】。根据最优 性原理，对任意一个r l ，) ，有 j s = x t n p x n t ，垮。砾m i l l n z j 5 一r 铷一r + 碡一r r “- r + 班1 ) ( 3 - 7 ) 一1 8 一 哈尔滨理工大学理学硕l ：学位论文 因此，我们可以通过解决下面的问题2 来解决问题1 。 问题2 ：求部分控制序列一，= 知一，u n 一( r 1 ) ，u n 一1 ) ，使性能指标 序歹j j j ，j r - 1 ，j o ) 最小。 为了给出主要定理，对每一个r 1 ，) ，我们作如下定义 耳+ 忍一五。i o b 忍一i a 州，o a o 瓦= 塑一 ( 3 - 8 ) ，+ r - -