（应用数学专业论文）具非线性阻尼的sinegordon型梁方程解的存在唯一性.pdf

太原理i ：人学硕士研究生学位论文 具非线性阻尼的s ir e ，6 0 r d o n 型梁方程解的存在唯一性 摘要 目前，由于实际问题及其它学科的推动，特别是数学自身发展的深入， 无穷维动力系统的研究已经成为动力系统领域中重要的研究课题之一。动 力系统中有限维动力系统的研究至少已有三十年的历史，并取得许多重要 的成果。但动力系统的问题远远不限于有限维的情况，最近物理上已发现 一大批具有孤立子的非线性发展方程。例如k d v 方程，非线性s c h r o d i n g e r 方程，z a k h a r o v 方程等，在一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌的现象。 此外某些耗散的偏微分方程，如：反应扩散方程，n a v i e r - s t o k e s 方程， k u r a m o t o s i v a s h i n s k e y 方程等都有类似现象。这些都说明对无穷维动力系 统的研究已经势在必行，它具有某些新的重要特征。 本文对物理学中提出的一类具非线性阻尼的s i n e g o r d o n 型梁方程进 行了研究，给出了该方程解的存在唯一性。具体研究内容如下： 首先，对实际应用中的某些无穷维动力系统的研究现状及研究方法进 行了总结与评述，尤其是对无穷维动力系统的门槛解的存在唯一性进行了 重点评述，特别是对一些s i n e g o r d o n 型方程的初边值问题进行了总结。 其次，在r o g e r t e m a m 所提出的s i n e g o r d o n 模型的基础上，我们研 究了更一般的非线性阻尼的s i n e g o r d o n 型梁方程 i i + a u 引一掰孙+ g ( s i n u ) 一删( 2 + 矗( 矗) = r ( x ，t ) 我们利用g l e r k i n 方法，在边界条件 太原瑗 大学磷士研究生学谴论文 及初始条件 u ( x ，- - - - - u 。 ，u ( x ，嘞= 魄积， 下给出了局部弱解的存在唯性，及它对初值的连续依赖性的证明。 关键词：s i n e g o r d o n 方程，g a l e r k i n 方法，局部解 太原理工大学硕士研究生：学位论文 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n s f o ras i n e 。g o r d o nb e a me q u a n 0 n w i t hn o n l l n e a rd a m p i n g a b s t r a c t a tp r e s e n t ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp r a c t i c a lp r o b l e m sa n ds o m eo t h e r s c i e n c e s ，e s p e c i a l l y ，w i t ht h ea d v a n c e m e n to fm a t h e m a t i c si t s e l fo nt h eo t h e r , t h er e s e a r c ho ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c ss y s t e m sh a sb e c o m eo n eo ft h e i m p o r t a n ts u b j e c t so fd y n a m i cs y s t e m s t h er e s e a r c ho ft h el i m i t e d d i m e n s i o n a l d y n a m i cs y s t e m so ft h ed y n a m i c ss y s t e m st h e r eh a sb e e n3 0y e a r s h i s t o r ya t l e a s t ，a n do b t a i nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s b u tt h ep r o b l e mo ft h ed y n a m i c s s y s t e m sd o e sn o tb el i m i t e db yt h ec i r c u m s t a n c eo ft h el i m i t e d d i m e n s i o n a lf a r a n df a r w eh a v ed i s c o v e r e dal a r g eq u a n t i t yn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nw i t h s o l i t o n ，f o re x a m p l ek d ve q u a t i o n ，n o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n ，z a k h a r o v e q u a t i o ne t c ，u n d e rt h ef u n c t i o no fd i s s i p a t i o ne v o l v ef r o mt h es o l i t o nt oc h a o s ， i n a d d i t i o n ，s o m ed i s s i p a t i o np a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s u c h a s ： r e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n ，n a v i e r s t o k e se q u a t i o n ，k u r a m o t o s i v a s h i n s k e y e q u a t i o ne t c ，h a ss i m i l a rp h e n o m e n o n t h er e s e a r c h o ni n f i n i t e d i m e n s i o n a l d y n a m i c ss y s t e m si sa l r e a d yn e c e s s i t yc e r t a i n l ya tl i n e ，i th a v et h es o m en e w i m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c ii i 太原理， 大学颈士研究生学位论文 t h i st h e s i s p r e s e n t ss o m er e s e a r c ho nn o n l i n e a rd a m p i n gs i n e g o r d o n b e a me q u a t i o na n dg i v et h ep r o o fo fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s su n d e rt h ed e t a i l s w i l lg oa sf o l l o w s f i r s t l y , t h e c u r r e n ts t u d ys i t u a t i o na n dr e s e a r c hm e t h o d sa b o u tg e n e r a l i n f i n i t e d i m e n s i o n a l d y n a m i cs y s t e m s a r es u m m a r i z e da n dc o m m e n t e d 。 p a r t i c u l a r l y , t h e t h r e s h o d o ft h ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m s - - - - t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so fs o l u t i o n sh a sb e e nd i s c u s s e d ，e s p e c i a l l y , t h ep r o b l e m o f i n i t i a lb o u n d a r yf o rs i n e g o r d o ne q u a t i o ni ss u m m a r i z e d s e c o n d l y , o nt h eb a s i so fr o g e r - t e m a m ss i n e - g o r d o nm o d e l ，w es t u d ya m o r eg e n e r a ln o n l i n e a rd a m p i n gs i n e g o r d o nb e a me q u a t i o n i i + a u 钔一蹦+ g ( s i n u ) 一彤2 ) + j l l ( 正) * i ( x ，t ) b yt h ea i do fg a l e r k i nm e t h o d ，u n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s 嚣( o ，) ：u q ， ) 。搿( 2 ) 域) 一瓣( 2 ) g ，) = 0 a n du n d e ri n i t i a lc o n d i t i o n s ： 嚣# ，谚* 鹚瓴。) ，羹瓴棼* 壤0 ，$ w ep r o v et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so fal o c a lw e a ks o l u t i o n ，a n dt h ec o n s t a n t d e p e n d e n c eo fs o l u t i o na b o u tt h ei n i t i a lv a l u e k e y w o r d s ：s i n e g o r d o ne q u a t i o n ，g a l e r k i nm e t h o d ，l o c a ls o l u t i o n i v 太纛理工大学颈磅究生学霞谂文 主要符号说明 q q f o ，f ) ； c 埘( q ) q 上m 阶连续可导的函数空间； ( q ) q 上p 次幂可积懿实值w 测函数全体； r f q q 上平方萄积的实擅可测邈数全体，簿记势嚣； r 鹣r ) - - 鹣上本牲毒雾豹实值霹测函数全体； ，哆- - - h i l b e r t 空阊影q ) 上的海辍； 缪8 妒霸驴尹渤一缸 狂及其广义导数d 嚣ue l ( f ) ( 1a 器勰； h 4 ( q ) h 荆( q ) 描矽搠 2 ( q ) ； l p 慨? ；嚣) 驮穗) 到h i l b e r t 空闯髫的妒随数全体； 蛾z ；科) 从( o ，研到h i l b e r t 空间h 的平方可积函数全体： r 瓣；拦麸溉篓型h i l b e r t 空阅譬魏本缝有赛甄数全体； 矽毛”瓣；矿) 麸姆，z 到空瓣矿瓣童婺一除广义导数本性有辨函数仝钵； 彩2 严敏影；矿从鹣t ) 到空阉矿懿直到二酚广义导数本蕤畜赛蘧数全体。 v i 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝拯兰：霉期： v ，气、毛。 关于学位论文使用权的说明1 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 导师签名： 日期：2 ：望：! ；： 日期： 太原理一| ：大学硕二卜研究生学位论文 第一章绪论 在实际应用中s i n e ，g o r d o n 型方程是很有用的模型1 9 6 2 年，j o s e p h s o n 首次将 s i n e g o r d o n 型本构关系用于超导体中的j o s e p h s o n ，其方程形式是巍一秘 2 + s i n u ：0 。 之后在1 9 8 2 年b a r o n e 2 】和1 9 8 5 年l i k h a r e v 3 1 也将s i n e g o r d o n 型本构关系解决一些模 型。h e l a l l 4 】研究了这个系统存在周期髂和孤立子解，当系统受到扰动后，在一定的扰动 参数下，会出现混沌运动。因此s i n e g o r d o n 系统成为无穷维动力系统中研究混沌吸引 子的典型模型。从二十世纪三、四十年代丌始，s i n e g o r d o n 方程在固体物理、低温物 理、电磁学及力学等领域有了越来越多的应用。我们研究麴问题是基于由哈密顿变分原 理所建立的受到弱阻尼及周期外力扰动的s i n e g o r d o n 方程 露一u 2 + p s i n u = s 卜口娃+ ，c o s ( t o t ) 】 b i s h o p i 嗣在瘸期边界条件和呼吸子的初始条件下，遴过数值的方法着重研究了微扰动力 系统的长时间渐近行为和空间结构随外力幅值的变化情况。l i nz r & x uz y i 6 1 对于具 有偶空间对偶性和周期边界条件的强阻尼的上述s i n e g o r d o n 方程提出了广义近似惯性 流形的概念。t e m a m l 7 1 菲常精细地研究了一类s i n e g o r d o n 型方程 u + a t i 一“( 2 + f l s i n u 一厂 证臻了其整体吸引子的存在性且绘懑了吸弓| 子的维数估计，在m a r e 7 l 中假设 口= 0 ，f ( t ) m0 ，= 1 即为最基本的s i n e ，g o r d o n 型本构关系。 实际上我们讨论的这个物理问题的数学模型最初就是基于由哈密顿变分原理所建 立的受到弱阻尼及周簸外力扰动豹s i n e ，g o r d o n 方程 打一u 2 + p s i n u 。s 【一口如+ 厂c o s ( m t ) 】石( o ，) 其实际背景是考虑一个长为f 的一维金属杆在受到随时闯简谐变化的轴向外力扰动 ，c o s ( t ) 作用下杆中位移波的运动方程。关于类似上述方程已被很多作者研究 过，j u n h o n gh a l 8 】研究了如下s i n e g o r d o n 方程 i i a u 一酞r s i n u h u f 其中边界条件 太原理l ：大学硕十研究生学位论文 初始条件为 u ( x ，o ) = “o ( z ，0 ) ，u ( x ，0 ) = “1 0 ，0 ) 的弱解的存在性；z h us h u 9 】研究了s i n e g o r d o n 型方程 豇+ a t i d a u + s i n u = i + b s i nc o t 他们给出了整体吸引子的存在性及整体吸引子的维数估计，其中初边界条件分别为 u ( x ，0 ) = o ，o ) ，a ( x ，0 ) = h ， ，0 ) ；u ( x ，t ) i 。q = 0 周盛凡n 们考虑了一个有阻尼的s i n e g o r d o n 型方程的狄氏问题 我+ a t i a u + s i n u = f u ( x ，t ) l a q = 0 ：u ( x ，0 ) - - - - u ox ，o ) ，a ( x ，o ) = u 1 0 ，0 ) 的全局吸引子的h a u s d o r f f 维数以偶数为上界的参数条件。肖黎明1 考虑一类三维非线 性广义s i n e g o r d o n 型方程 豇一a u = 厂( “) + ( x ，t ) x e q = r 3 证明了初边值问题的整体广义解的存在性及唯一性。z h o us h e n g f a n l l 2 1 考虑了阻尼的 s i n e g o r d o n 方程 讶+ 口五一比+ s i n u = 厂 其中具有p e r i o d i c 边界条件 u ( 0 ，t ) = u ( 1 ，f ) ，u 0 ) ( 0 ，t ) = 砧1 ( z ，t ) 初始条件是 u ( x ，o ) = u o ，0 ) ，u ( x ，0 ) = u 1x ，0 ) 他给出了吸引子的维数估计。赵怡n 3 3 等考虑了一类s i n e g o r d o n 型二阶非线性系统全局 吸引子的退化条件及能稳性，其方程形式为 彪+ a 正一“+ 卢s i n u = 厂x eq c r “ u ( x ，t ) i a q = 0 ：u ( x ，0 ) = u o ( z ，o ) ，西( 工，0 ) = u 1 ( z ，0 ) 此文证明了当卢满足定范围时，系统的全局吸引子为一个平衡点，该平衡点具有指数 2 太原理一r 大学硕+ 研究生。予：位论文 吸引性。w a n gg u a n x i a n g l l 4 j 等给出了s i n e g o r d o n 型方程 巍+ 嫂姜i 一秘+ s i n u = ，( z ) 的整体吸引予的h a u s d o r f f 维数。e n r i k ez u a z u a 1 5 】研究了阻尼波动方程 露+ 掰o 泌一妇+ f ( u ) 一0 u ( x ，t ) l a q = 0 ：u ( x ，0 ) = “0 0 ，0 ) ，u ( x ，0 ) ；u 1 ( z ，o ) 的能量的指数衰减问题。o l s e n l l 6 l 利用稳定蛙跳格式数值研究了有限域恣无外力扰动的 s i n e g o r d o n 方程 崴一“( 2 ) + s i n u = 一e a u 边界条件为 u o ) ( 0 ，t ) 一o , u 1 ( ，t ) = as i n w t 相当子从边界的一端输入周期扰动，研究了随着扰动幅值的变化，其动力性态的变化情 况。张建文汹1 等对物理学中提出的非线性s i n e g o r d o n 型方程 打+ a t i 一“2 + g ( s i n u ) = 卢z i 2 + f ( x ，t ) 具有初始条件 “o ，o ) = u o ，o ) ，西扛，o ) 一u 1 0 ，o ) 及边界条件( a ) u ( o ， ) = 0 ，秘g ， ) = 0 边界条件( b ) u ( 0 , t ) 一o , u ( d g ，t ) = 一r u ( 1 ，t ) 进行了研究，给出了该方程在不同的边界条件下以及不同空间下解的存在性及唯一性。 总之，随着非线性科学在各个学科的不断深入，作为一个典型的非线性发展方程 s i n e g o r d o n 方程有着越来越广泛的应用，从二十世纪六十年代开始菲线性科学工作者 对s i n e g o r d o n 方程一直保持着高度的热情和关注。 本文我们考虑纵横弯曲，介质阻尼及外力作用，研究了更般的强阻尼与非线性阻 尼同时作用下的广义s i n e g o r d o n 型粱方程 i i + a u 引一“2 + g ( s i n u ) 一卢五2 + 矗( 反) = ，( 爿，f ) 3 太髹理人学硬士磺究生学位论文 在边界条件：u ( o ，f ) 一u ( t ，r ) ；“( 2 ) ( 0 ，f ) = “ 2 ) ( ，f ) 。0 下局部弱解的存在唯一性，及解对初 值的连续依赖性。 具体的系统是 i i + a u ( 4 ) 一“+ g ( s i n u ) 一彤2 ) + 矗( 矗) ；1 ( x ，f ) ( 1 1 ) 具有初始条件 及边界条件 u ( x ，o ) 。h 。 ，o ) ，a ( x ，o ) = “。“，o ) ( 1 2 ) u ( o ，f ) 。u ( 1 ，f ) ；“f 2 ) ( o ，f ) 一距2 p ，f ) 一0 ( 1 3 ) 唾 太原理i ：火学硕士研究生学位论文 第二章函数空闻及s i n e g o r d o n 型方程 2 1 函数空间 蓄先说孵一些己翔豹蹑数空闻。 记r ( q ) 为q 上实值l e b e s g u e 可测函数，mf ( x ) 所组成的h i l b e r t 空间， 羔 1 1ft l = 1 1ft t ：，萁= pt tfl t z q lf l i e 瓣。咀，擘舅2 嘲2 。f 簿) 中两个函数，g 酌起积记 作( ，占) 。f of ( x ) g ( x ) d xa 其中r ( q ) 与其对偶空间相同。记r ( o 丁) 表示( o ，r ) ，t 0 ， 上本性有赛可测实值鹾数类，其中 1 1 删一。 i n q s u p | f ( t ) l 】 。 。7 伽( 岛) - o ，e o c o ，r l c e t o ，r l - e o c ”( q ) 为q 上直到磁阶的连续可微实值函数类，并i t l c 。( q 一n c “( q ) 。g g 艇( q ) ， r n - i 令i ig 1 l = 【蔫上i 学1 2 威乒，设e 州) 为使i l 苫i i 卅。o 的那些函数器组成的c 朋( q ) 的子 集。我翻定义s o b o l e v e 空闯h ”f q 势垂8 鳓在| | 歉下静完备讫，霹h ”q ) 是壹 “r ( q ) 中，具有强导数軎f ( q ) 的一切函数组成，这里。鲨忌墨册。 令d ( f 2 ) 为c 。( 鳓豹子集，它毒舆有q 中紧支集的那些函数组成，d ( f 2 ) 孛的拓羚 为严格诱导的极限，即若所有吼的支集在一个共同的紧集七内，熙对任何俄，有 s u p l l 一0 ，裂称魏- - * 0 。蚤q ) 在簿4 ( q ) 中阙包记力w ( 鼗) 。 斌 记q q 【0 ，t 】，h i l b e r t 空间( q ) 可类似定义，其元素，的一种模为 t lf 1 1 ，羡互| 号笋t z d x d t 瓣燧数) w 珈( o ，t ；v ) 是从( o ，t ) 到空间v 直到一阶广义导数本性有界函数全体；w 2 ”( o 丁；矿) 是 从 ) 到空闻矿直到二阶广义导数本性有赛丞数全侮。 5 太蹶理j ：大学硕士研究生学位论文 2 2 基本万程 本文研究如下强阻尼和非线性阻尼同时作用下的广义s i n e g o r d o n 型粱方程 軎+ 玟叫苷0 2 _ _ u u o x 2 + g ( 。s i n u ) = 袅州彬) ；触矿州丽锄li 广+ j2 声而+ ，渺j 目2 2 3 定义及引理 定义1 ：设q = ( o ，z ) ，我们定义如下s o b o l e v 空间 墨= h i ( t 2 ) s 2 = h ：( f f 2 ) f ) h 2 ( q ) s 3 = u e h 2 ( q ) l ul 柚- - o = 渺2 e s 2 h ；l e ( n ) 其中各空间按裔己的范数。则墨，s 2 ，s 3 ，墨，h 均为h i l b e r t 空闻，i ；1s 1c h = 帮7c s 1 ， ch = h c $ 2 ，其中h7 为h 的对偶空间。 引理1 ( 庞加莱不等式) 设fe h l ( q ) ，且对某个掌西，有，( 亭) = 0 ，则 l ，l l ：墨去l ，1 l | 2 ，其中q ；( o ，z ) ，磊= 【o ，z 】。 、，二 证明：首先对于c ( 两，满足日1 ( q ) c c ( 两( 连续嵌入) 。故，骋) = o 有意义，且有 l l ， ) l l z 2 or f , i 1 o 渺】2 d x 2 1 s 【| x 一亭l f | ，扛) 1 2 凼戤 - 司伊i i ：卜s i d e ) 三 = 1 1f o ，| | ：f 一吾( 孝一x ) 2 蔫十三1 ( j 一芋) 2 毒】芝1 s 圳l 厂m i l ： 6 太原瑾工大学硕士研究生学位论文 i ! fi ! z 蔓期，( 1 i i z4 引理2 i l 7 jb a n a c h 空间x 的基是指x 的线性独藏的集合，它们的有限线性组合在x 中稠密，可设瓯s i n n 硝，x ( 其中露；1 , 2 ) 是曩2 ( q ) 及f ( q ) 的基。 引理3 ( g r o n w a l l 不等式) 社7 1 ( 1 ) 设y e l 。( o ，丁) ，k 惫o c o 为常数，若对一切f q o ，丁】都有 y s c o + “y o 冲，则y s 邸矗。 ( 2 ) 设槐( ) 在( 0 ，r ) 可积，m ( ) o ，妒( ) e c o ，r 】，c 0 为常数，且 o 妒擘) gc + f o o m ( s ) c p ( s ) d s ，v t e o , r 则妒o ) _ c e x p ( f o m ( s ) d s ) ，y t o ，r 】。 ( 3 ) 设撵) 芝o , q ( t ) o , y 0 ) s 露p ) 专q 涉0 ) ，爱1 ) ，o ) s 【) ，( 0 ) + j ：口p 矽r e x p ( f oq ( v ) d f ) 弓l 理4 【 l 设x 与y 为h i l b c r t 空间或可分的b a n a c h 空间，其对偶空间分别为x ，y ， 设y 连续稠密地嵌入到x 中，若料卢_ “在r ( 0 ，丁；石，) 中弱收敛，且l i 一一z 在 r ( o ，t ；y ) 中弱枣收敛，贝, w j x - 正在r ( o ，t ；y ) 中成立。 引理5 t 拼】设x ，y 均为h i l b e r t 空间，x7 ，y 分别均为x ，y 的对偶空间，若x 连续稠 密地嵌入到y 中，则x 连续稠密地嵌入到y 中。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 第三章边界条件下的局部弱解 3 1 假设及具体系统 一基本假设 在这篇论文中我们仅仅使用了标准范数，对于函数“一u ( x ，t ) ，当变量x 不被考虑 时，u ( x ，t ) 可简单地表示为“o ) 。我们的分析是基于第二章所定义的s o b o l e v 空间，这 些空间均为h i l b e r t 空间。 对于方程( 1 1 ) ，我们有如下假设 设a i f 2 x o ，丁】，t 0 ，口0 ，卢0 ，y 0 为常数，( x ，t ) 为外力扰动项。另外本 文中的偏导数依次记为：讹f ) - 掣o t川。) 一警川2 一学等。d x批一 设二元连续函数f ( x ，t ) 满足 f ( o ，f ) 一f ( 1 ，f ) = 0 ( 3 1 ) f ( x ，t ) e l 。( o ，t ；h ) n l ( o ，t ；h ) 笪冬生存在，且笪譬生r ( o ，t ；h ) n l 2 ( 0 ，t ；日) 以 砸 一。 。 7 笪冬尘存在，且笪譬盟r ( 0 ，t ；h ) n l 2 ( 0 ，t ；日) d x d x ( m 1 ) 对于非线性函数g ( ) 满足 g ( o ) 一0 ：g o ) c 2 ( r ) ；i g ( s ) l s c ( 1 + i s f ) ；i g o ) b c ( 1 + i s l 2 ) ( m 2 ) 设j i l ( s ) 一，7 h 户s ，其中p 和叩均为非负实数 二具体系统 本章研究第一章中( 1 1 ) 一( 1 3 ) 表示的如下系统 i i + a u 引一h 2 + g ( s i n u ) 一例2 + 础卜一f ( x ，t ) 并且具有初始条件 u ( x ，0 ) = “o ( 工，o ) ，a ( x ，0 ) = u i ( 工，0 ) r ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 太原理：厂大学硕十研究生学位论文 及边界条件 u ( o ，f ) = u ( t ，f ) = 秘f ：) ( o ，f ) = h 2 ) ( z ，f ) 一o 3 2 变形问题 为了讨论问题的方便，这里我们需要考虑问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的变形闰题 首先考虑( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的变形问题，即求“0 ，t ) e s 。，对一切m h ：( q ) n 爿2 ( q ) ， 使缛 ( 露，国) + 穰( 醒犯，国2 ) + ( “疆，尊) + ( g ( s i n u ) ，) + ( 如1 l ，1 ) + ( 叩陋l p 垃，甜) - - ( i ( x ，；，缈) 下面说明系统( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的变形问题。 方程( 1 1 ) 与( 甜j ( q ) n 日2 ( q ) ) 作内积，得 由于 又 ( 3 7 ) ( 蠢，彩) + 旌( 掰引，国) 一( 秘扛，) + ( g ( s i n u ) ，) 一声( 西2 l ，) + ( ，7 陋l p 如，m ) ( 3 8 ) - - ( r ，甜 孙，山) 一f o u ( 2 ) 砒 一施国 = 硎b 缈( 1 ) 出 _ 耖) 缈 1 浓 函( 4 c o ) m j ：o u ( 4 ) 础 。f 施箨 j o m 娴辫痞u o ) o ) o ) d x m o , q ，渗释# ， ) 一掰溉 秘戳爹) 一j o u o ) 龆蛰螽 一r h 3 ) n ，1 ) 出 j 0 。一f 搿程) d u 拉 j m o j ( 0 0 ，f 姐2 8 ，f ) + ( 1 ) ( o 姐2 ( 0 ，r ) + u ( 2 ) o ) ( 2 ) d x 。f 距( 2 f 2 ) d x 3 硌 我们将上述分飘健入姆8 ) 式霹褥( 3 ，7 ) 式，默瓣有了浔题囊。l 0 3 ) 的燮澎阕题 姣c o ) + 爨狂，2 专，+ 献s i a n ，掰 十筘，阻街； ( 一f f ( x ，) ，缈) 黪拳，蛰一鼙器辑，黩锺蕊蹲= 毪秘，璐 3 ，1 0 ) u ( o ，# ) ；u ( t ，) = 搿f 2 固，f ) = 嚣2 8 ，f ) ；0 ( 3 。l1 ) 定理羔：设，# ) ，g s 满足所绘条 譬( 3 ，差一3 ，6 ) ，u o 是， 蝴；( 固n 2 ( q ) 彬尹娃( q ) ，则系统( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 存在局部弱解蹦- u ( x ， ) ，且 u e l ( o ，t ；h o ( q ) n h 2 ( q ) ) l i e l 杈；群i q 秘嚣2 q 羚 蠢0 ，f ) r ( o ，t ；l 2 q ) ) 下瑟我壤糕餍f a e d o - g a l e r k i n 遥透法诞骥3 一叛l1 ) 鳃静存在链。 太原理一j ：人学硕十研究生学位论文 3 3 近似解 设 q ( 石) ) 为胃：( q ) n 胃2 ( q ) 的基，所以哆( o ) = ，p ) = o ，对一切的m g ，令 = s p a n ， 。 我们希望寻求个函数 距m ，f ) 。善口加( f ) 哆o ) 其中瘅加) 为未知函数，使得对于任意的哆满足逼近方程 若取 ( 吒，哆) + a ( “，4 2 ) + ( “，) + ( g ( s i n “。) ，q ) 声( 羹。，哆；f 零。厂吒，吩) ( 3 。1 2 ) = ( ，( 州) ，叶) ( o ) 铂m m ( 薯o ) 2 善矗加( 。) ( z ) 飞在墨中) ( 3 1 3 ) 蠡m ) 掰糯2 矗m f 茗，o ) 2 荟a m ( o ) 哆茗) f ， ( 在日：( q ) n 2 ( q ) n p + 1 ( q ) 中) ( 3 1 4 ) 则( 3 ，1 2 ) 一( 3 ，1 4 ) 等价予一个关于窭秘鬈 的常微分方程缓的柯西润题，由p e a n o 定理知， 存在乞 o ，使得在【o ，t 。】中存在唯一的实解a i m o ) ，即存在唯一的解u mx ，f ) 。 3 4 先验估计 ( 注：下面不同式子中的c 所代表的常数不同) 下面我们将得到关于逼近解“。( 戈，f ) 的先验估计。 在 1 2 ) 式中两边阉乘以磊肺g ) ，得 帆，弦加o ) + a ( 蹦，j 2 ) 矗加o ) + ：，彬加( f ) + f g s i n u m ) ，哆) 鑫如擘) + 芦 ，叫1 瓷如o ) + ( 7 1 u 。1 尹矗。，哆 磊捧( ) ( 3 。1 5 ) 一( 厂( z ，f ) ，加( f ) 太原理了：大学磁士研究生学位论文 上式对，从1 到脚求和，得 由于 则 因为 故 则 ( 屯，矗，) + a ( 蹦) + ( “) + ( g ( s m 。) ，西。) + ( 妇孙争。h ，“) ( ，o ，f ) ，西。) , t i m ) 一三l 抄d 。| | 2 ( 枷纷翔刮2 知跏三加删2 ) ，5 ，0 ) = 硎妇0 2 ( 呀川p 峨，峨) = “川户畦。如出= “刚” d t 1 矗。| | 2 + | 眇l l ：+ o j l u 肾芦蚓| 2 + 啦i 户+ = ( ，( i ，f ) 一g ( s i n u 。x 露。) | | g ( s ；n 甜。) 8 = t 【g ( s ；n “。) 】2 出 ；s ( j ：i c ( 1 + i s ；n 甜。| 3 ) | 2 出) 三1 譬2 c i ( 2 f 0 ， ) 一2 9 ( s i n u 。) ，蠢。) g | ( 2 f ( x ，f ) ，螽。) | + l ( 2 9 ( s i n u 。) ，蠢。) | s 2 y o l a x ，f m 。虹+ 项l g ( s i n 弦。陋 当2 1 l f ( x ，t ) 正。i l + 2 1 l g ( s i n u 。) 川i 如。0 g 2 ( i ff ( x ，t ) l | + 2 c 4 1 ) i l 五。f i 司| 越。| | 2 ( nf ( x ，) | | + 2 c 以) 2 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 船。1 1 2 制i t ：+ a l l 秘踟t l 脚2 + 吲蚶+ 么 墨( 2 ，o ，) 一2 9 g 瑟) ，矗! _ )( 3 1 8 ) - 0 ，当f r 时，有 l u o8 2 + 0 “1 1 2 + 班l 卜1 1 2 s l 螽，( 茗，o ；1 2 + | i 茗，。；1 2 技| 沁；x ，。；1 2 ( 3 。1 9 ) “( o 厂 ，f ) l l + 2 c i ) 2 ) 也1 ， 因为毪磁f f 2 ) n h 2 鳓，敖按域( q ) 奠露2 ( q ) 孛拓矜，有 铁丽 吒( o ) 飞2 善( o ) 小) 1 在n 日2 ( q ) 中 y n 为u 。g 文，故按是中拓扑，有 从两 l 妇。似，o ) 1 1 c ( o ) u o m 荟脬加( o ) 哆( x ) 帅“。 在s 一中 i l u 。0 ，0 ) 0 c ，i f “( x ，o ) 1 1 c ，0 “ ，0 ) 1 1 0 ，散得 i l u 。( x ，r ) 1 1 2 + i l u 孙，f ) 1 1 2 + a 峪( 硝) 胆， 留 l f 打，l l c ，i i “i l c ，l | “1 1 c 太蒙理一大学硕士疆究生学位论文 更进一步融庞加莱不等式，得 从而 i u m 忙匆删 c lu 。黔c 估计2 ：现在让我们德到r ( q ) 范数下对子屯0 ，的一个估计。 在( 3 1 2 ) 式两边褥乘以蠢伽) ，得 吃，哆) 蠢抑o ) + a ( “，4 2 ) 蠢加( f ) + ( 托2 哆辫加) + ( g ( s i n u , 。) ，哆) 蠢加p ) + 声( 矗。国，q 瓣) 矗肺o ) + ( 叩汪。| 尹矗。，q ) 蠢m o ) ( 3 2 0 ) m ( ，( 彬) ，q ) p ) 并对_ 从1 到珑求和，得 ( 以( z ，r ) ，吒( 戈，r ) ) + 口( “( z ，r ) ，雌( x ，r ) ) 一( “( z ，r ) ，如( x ，r ) ) + ( _ f 五。r 五，( x ，r ) ，( x ，z ) ) ) + 。( s i n “。，f ) ) ，如o ，r ) ) = ( 正。，叱 ，f ) ) + ( 厂o ，f ) ，以o ，f ) ) 在上式中令t = 0 ，得 所以有 即 ( 峨( 工，o ) ，如( z ，o ) ) + a ( “( x ，o ) ，砖( z ，o ) ) 一( “( x ，o ) ，以( 蔗，o ) ) + ( ( 理虹。l 户如。( z ，o ) ，蛾( x ，o ) ) ) + 酝( s i n 。，o ) ) ，如o ，0 ) ) = ( 庙，2 ( x ，o ) ，如o ，0 ) ) + ( ，o ，o ) ，峨o ，o ) ) | l 虼( x ，o ) 8 2 + a ( “x ，o ) ，如( 戈，o ) ) 一o 2 匕( z ，o ) ，戤( 蔗，o ) ) + o k ( 工，o ) l pz 2 ，( x ，o ) ，如x ，o ) + ( g ( s i n u 。( x ，o ) ) ，蛾( 工，o ) ) = ( 五，2 ( z ，o ) ，以o ，o ) ) + ( ，( 工，o ) ，如( 工，o ) ) 敝( x ，o ) ，( 并，o ) 1 i+ 0 9 ( s i n a m ( x ，o ) ) l l + a l l “( 戈，o ) 8 + 刀9 p 。( z ，o ) 厂+ 1 l + l 卜( z ，o ) 1 + 芦l 卜( 工，o ) r l 】 太原理r 人：学硕七研究生学位论文 由于 s 枷州”i nu , 加) 卅蹿邶) 峨 + | 卜( z ，o ) l + 口i p ? ( 茗，o ) j + 声 p 孑( x ，o ) l lg ( s i n u 。o ，回) i 5 “【g ( s i n u m ，o ) ) 】2 d x 2 1 s l c m i s i 峨。，o ) d 1 2 出) 三1 2 c 撕 。u ie h ：( k 2 ) a h 2 ( q ) n r p + 1 ( q ) ，则 故 又h o s 4 ，则 故 矗。 ，峥狂，( 在掰i ( q ) n 臀2 ( q ) 门r 尹+ 1 q ) 中) 慨o ) 1 1 c ，m z ，o ) 酝p + l ，c ，拶( x , o ) l l c o ，0 ) 呻“。( 在墨中) 蚪g ，o ) l l c ，渺( 茗，o ) l i 0 ，使得 l 峨o ，黔c ，v m e n 估计3 ：下面我们打算得到2 ( q ) 范数下对于吒( z ，f ) ，“- 。( 1 o ，f ) ，t i 。( 2 x ，f ) 的一个估计。 在( 3 1 2 ) 式中分别代入t + & 和t ，得 ( 蛾；+ & ) ，国，) + a 珏；+ ，2 ；) + 暂| 搪。( ；+ 岔矿“( z + & ) ，) + ( “黜+ a t ) ，叫1 ) + ( g ( s i n u , ( f + 出) ) ，甜抄( 妇。t + a t ) ，q l ) m ( ，p + a t ) ，o ) j ) l5 太艨理一入学硪士研究生学位论文 然后两式相减，得 ( 吒( r ) ，御小a ( “靴) ，剥+ 。( r ) h ( r ) ，q ) + ( 髓黜) ， + ( g ( s i n u r e ( t ) ) ，哆) + 声( 正。渤( f ) ，c o