（应用数学专业论文）几类特殊非正则半群的性质.pdf

摘要 本文主要研究毕竟正则半群，特别是g v 半群的性质、结构和同余，以及左群 幂零扩张的半格 全文共分为四章： 第一章为引言部分给出研究背景和本文所采取的研究方法和研究内容 第二章首先借助核超迹的方法，利用弱逆为工具刻画了毕竟正则半群s 上的 矩形群同余，从而在s 的矩形群同余对的集合与s 上的矩形群同余的集合之间建立 了一个保序的双射，这个结果是对毕竟纯整半群上矩形群同余的推广和补充最 后，研究了毕竟正则半群上的最小群同余，并给出最小群同余的表示， 第三章研究g v - 半群的一些基本性质首先在g y 半群上定义类函数，并利 用这类函数可得到g v ，半群同态、同构的一些结果然后，研究g y 半群与它的各 种理想及其特殊子半群之间可保持完全正则性的性质，进一步表明了g y 一半群与 它的各种理想之闻性质的遗传性最后给出g y 半群一些与完全正则半群最相 似的特殊性质及它的最小群同余的表示 第四章利用左群的两个新定义为工具，刻画了左群幂零扩张的半格，并给出了 一系列等价条件，这些等价条件有助于对左群幂零扩张的半格结构更清晰的认识 关键词：同态；同余；g v 半群；左群；幂零扩张 a b s t r a c t t h i 8m a s t e rd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s w ei n v e s t i g a t et h ep r o p - e r t i e s ，c o n s t r u c t i o n sa n dc o n g r u e n c e so fe v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p se s p e c i a l l y , g v s e m i g r o u p s a n ds o m en e wr e s u l t so nc h a r a c t e r i z a t i o no fs e m i l a t t i c e so fn i l - e x t e n s i o n so fl e f tg r o u p sa r es t u d i e d t l 璩c h a p t e r1i sab r i e fi n t r o d u c t i o n w es h o wt h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ， r e s e a r c hw a ya n dr e s e a r c hc o n t e n to ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 t h er e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c eo na ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e n l i - g r o u ps i sf i r s td e s c r i b e db ym e s l n so ft h er e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c ep a l m f u r t h e r m o r e w ec 8 no b t a i nal a t t i c ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt h er e c t a n g u l a rg r o u p c o n g r u e n c e sa n dt h er e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c ep a i r s f i n a l l y , t h em i n i m u m g r o u pc o n g r u e n c eo na l le v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u psi si n v e s t i g a t e di nt h ew a y o fw e a ki n v e r s e t h e nt h er e p r e s e n t a t i o no ft h em i l l i m u mg r o u pc o n g r u e n c eo ns a n da ne q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h em i n i m u mg r o u pc o n g r u e n c ea r es h o w n t h ea i mo fc h a p t e r3i st os t u d yt h eb a s i cp r o p e r t i e so fg v s e m i g r o u p s w ef i r s td e f i n eaf a m i l yf l m c t i o na n du 孵i tt oc h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fg v - s e m i g r o u p s f u r t h e r m o r e ，t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h ei s o m o r p h i s mo fg v - s e m i g r o u p sa r eo f f e r e d t h e n w es t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eg y s e m i g r o u p a n di t sv a r i o n 8i d e a l s ，p a r t i c u l a rs u b s e m i g r o u p s a n dw eo b t a i nt h ec o m p l e t e l y r e g u l a r i t yo fag v s e m i g r o u pi sah e r e d i t a r yp r o p e r t yc o n c e r n i n ga ut h ek i n do f i d e a l s f i n a l l y , w eg i v e8 0 m ep a r t i c u l a rp r o p e r t i e so fg v s e m i g r o u p s ，w h i c ha r ea g e n e r a t i o no fc o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s c h a p t e r4i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t es o m eu e wr e s u l t so na c h a r a c t e r i z a t i o n o fs e m i l a t t i c e so fn i l - e x t e n a i o n so fl e f tg r o u p sb yl n e s l a 8o ft w on e q ；0 - d e f i n i t i o n so f l e f tg r o u p b yt h ea p p r o a c h w ec a ng e tm a n yn e we q u i v a l e n tc o n d i t i o n sw h i c h c o n t r i b u t et ok n o wt h es t r u c t u r eo fs e m i l a t t i c e so fn i l - e x t e n s i o a so fl e f tg r o u p s c l e a r l y k e y w o r d s ：h o m o m o r p h i s m ；c o n g r u e n c e ；g v - s e m i g r o u p ；l e f tg r o u p ；n i l - e x t e n s i o n 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 互乎 日期：7 r 年月z e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 互辱， 够铆了 日期：口7 年 日期：卜缔 j 月三e l 易月日 第一章引言 半群代数理论是二十世纪5 0 到6 0 年代发展起来的一个新的代数学分支与半 格、半环等理论和格论、环论关系不同，半群代数理论以其特有的研究对象、研究 课题和研究方法，早已独立于群论之外对半群理论的研究不仅体现于对代数学 纯理论领域的贡献，两且越来越体现出对应用数学领域的伟大贡献。它在自动机 理论、符号计算、理论计算机科学、组合数学、代数表示论、算予代数和概率论等 方面都有广泛的应用，而且联系日益紧密，因此引起了越来越多的数学家的重视 1 1国内外研究现状综述 在数学史上。对半群的研究可追述蛰1 1 9 9 4 年，然而它的系统研究始子上个世 纪5 0 年代特别是计算机科学、非线性动力系统等学科的推进使半群代数理论成 为代数学的一个重要分支回顾一个多世纪的半群代数理论历史，对正则半群的 研究一直占主导地位研究正则半群的结果已极为丰富见文献【3 ，4 ，5 1 近几十 年对非正则半群特别是毕竟正则半群( 卅正则半群) 的研究已引起越来越多学者的 密切关注如文献l l ，n 1 如b o g d a n o v i c s ，郭聿琪，任学明等都在这一领域傲了许 多工作g l g 8 l b i a t i 首先在( o nq u a s i - c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) 一文中 研究了毕竟正则半群( 丌- 正则半群) 并刻化了拟完全正则半群的基本性质和特征 s b o g d a n o v i c 也对丌- 正则半群进行了细致的研究，把完全正则半群的结构理论推广 到拟正则半群中去对卅正则半群的研究获得的大量结果在m g u l 8 rs e m i g r o u p s a n d 弧g e n e r a l i z a t i o n 中作了系统的综述另外对半群的格转关系研究也处于核 心韵地位几乎涉及半群代数理论研究的各个方面，研究成果也非常丰富所以对 半群的格林关系以及相关问题的研究构成了半群代数理论的重要研究内容，形成 了半群代数理论中独具特色的一个研究领域，它不同于群、环、域理论中的经典代 数方法，在半群代数理论中占有重要的地位，其研究方法也是研究半群代数理论的 最基本的方法之一 半群簇的研究是近年来半群代数理论的一个非常活跃的领域，许多半群专家 如：n r e i u y lm p e t r i c h ，f p a s t i j n ，s z h a n g ，e m i - i i g g i n s 等，目前都在从事这方面 的研究工作，得到了一批具有重要学术价值的研究成果，并且研究了某些格林关系 相等的半群簇另外，利用同余格，特殊子半群的格来刻画半群的性质也得判越来 越多的关注如文献f 6 ，3 0 ，3 t 1 1 几类特殊毕竟正则半群的性质 2 1 2 本论文研究思路 由于正则半群是一个特殊的舟正则半群，这样希望利用已知的正则半群的丰 富性质和以前研究正则半群的方法，对非正则半群特别是卅正则半群及其包含的 一些特殊半群如g v 半群，g v 逆半群，完全丌_ 正则半群的性质作一些研究本文 主要对正则半群的一些性质进行分析，并且看能否推广塑i 这些特殊非正则半群中， 并且研究这些特殊非正则半群本身所具有的异于正则半群的性质对这些特殊非 正则半群本身所具有的异于正则半群的性质是拟解决的关键性问题 首先，总体上采取的研究方法是利用目前代数学者在半群代数理论研究中常 用的方法，即从半群的内部构件如理想、同余以及特殊元素等出发研究半群的结 构与特征，或者是从半群的外部环境如同余格、子半群、格、s - 系范畴等出发研 究半群的内部特征来研究半群其次，在具体研究过程中充分和用归纳、类推等逻 辑方法，并力求从各类半群的定义入手，寻找各种半群之间的联系与区别 由于正则半群的研究成果已极为丰富，且正则半群即是一类特殊的霄正则半 群因此，此类非正则半群是与正则半群性质最为接近、联系也最为紧密的非正则 半群故对这类非正则半群的性质，做一些工作是非常必要的也是非常可行的 1 3 本论文的内容安排 全文共分为四章： 第一章为引言部分。给出研究背景和本文所采取的研究方法和研究内容 第二章首先借助核一超迹的方法，利用弱逆为工具刻画了毕竟正则半群s 上的 矩形群同余，从而在s 的矩形群同余对的集合与s 上的矩形群f 司余的集合之间建立 了一个保序的双射这个结果是对正则半群上的矩形群同余和毕竟纯整半群上矩 形群同余的推广和补充最后，研究了毕竟正则半群上的最小群同余，并给出最小 群同余的表示 第三章研究g v 半群的一些基本性质首先在g v 一半群上定义一类函数并利 用这类函数可得到g v 半群同态、同构的一些结果然后，研究g v - 半群与它的各 种理想及其特殊子半群之闻可保持完全正则性的性质，进一步表明了g v - 半群与 它的各种理想之间性质的遗传性最后，给出g y 一半群一些与完全正则半群最帽 似的特殊性质及它的最小群同余的表示 第四章利用左群的两个新定义为工具，刻画了左群幂零扩张的半格，给出了一 兰州理工大学硕士学位论文 3 系列等价条件这些等价条件有助于对左群幂零扩张的半格结构更清晰的认识 第二章毕竟正则半群的同余 2 1 毕竟i e n 半群的矩形群同余 2 1 1 引言与预备知识 毕竟正则半群是广义的正则半群，研究毕竟正则半群的最常用方法就是把正 则半群中巳知结果推广到毕竟正则半群中同余是正则半群研究中的一个重要 内容，并已取得广泛的结果核迹方法是正则半群中研究同余的一个重要方法， g o m e s 发展了核迹方法丽定义了核超迹方法罗彦锋教授和李小玲使用这种方 法在毕竟正则半群中研究网余本文就是利用1 17 】中的方法来研究毕竟正则半群 的矩形群同余这是对( 2 6 ，4 2 1 结果的推广和总结 首先，给出文中所需要的基本概念和引理 半群s 称为毕竟正则半群( 仃一正则半群) ，若s 的每个元素。都存在一个整数幂n ， 使得d n 是正则的半群s 的元素g 称为a 的弱逆，若茹彻= 茁，o s 用w ( o ) 表 示s 中所有a 的弱逆的集合半群s 称为矩形群，若s 是正则半群，且风是矩形带半 群s 上的同余称为矩形群同余，若s p 是矩形群 以下用艮表示s 的所有幂等元集合；( 风) 表示由风生成的s 的子半群 引理2 1 1 嘲若s 是毕竟正则半群，则( n ) ，v a s 若v a w ( o ) ， 嘲缸，d 4 ee s 引理2 1 2 1 7 】若s 是毕竟正则半群，且定义m ( e ，) = 妇 备lg e = g = ，g 若，b 墨a p ( 口) ，w ( b ) 和g m ( a n ，掰) ，n b g a w ( a b ) 引理2 1 3 【1 】若s 是毕竟正则半群，且p 是s 上的同余如果b p ( a 力，口，b s ，则存在( 口) ，使得p 6 若e ，e s ，e p ，则存在g m ( e ，) ，使得e p g p 引理2 1 4 | 2 5 1 若毕竟正则半群s 上的一个同余p 是正则的，当且仅当v a s ，存 在a ( d ) ，使得n p 耐n 引理2 1 5 f 1 , 1 2 若s 是毕竟正则半群，e p 是s 上的同余如果印是s p 的幂等 元则在s 中一定存在幂等元e 满足a p e 引理2 1 6 1 1 7 】若s 是毕竟正则半群，且。( 互) ，则w 扛) ( 硌) 设p 是半群s 的同余，定义s 的子集 口sia p e s p 为p 的核，记作k e rp 把p 限制在( e 售) 上称为p 的超迹，记为h t r p 4 兰州理工大学硕士学位论文 5 2 1 。2主要结果 以下文中如没有特别说明s 均指毕竟正则半群 定义2 1 7s 的一个子半群称为正规的，若 ( 1 ) 口k ，口，w ( a ) 净口k ； ( 2 ) 毋圮 ( 3 ) n s n w ( a ) 专n 耳一，d k a 肛 定义2 1 8s 的子半群( 西) 上的同余e 称为正规的，若对任意v z ，y ( b ) ，口 , q t c l a ( 口) ，有 z e 暑，= a j ms n v b ，口茹口oy a , 其中凹d ，a y a ，0 z 口，n ，班( e s ) 定义2 1 9 设e 是( 五譬) 上的正规同余，且( 正冶) 是矩形带，k 是s 的正规子半群， 则( e ，k ) 称为s 的矩形同余对，若它满足： ( r c p i ) v a 只w ( 曲，则存在0 w c a ) ，使得口一a f l t a o t ，0 n 口e 口； ( r c p 2 ) v 0 s ，卫( e s ) ，且k = d k 下面在s 上定义一个二元关系： iv a w ( 口) ，3 b 彬( ，使得a b ka o , b b ，a a g b b o p ( 8 b 兮1w ( ，j 0 w ( 8 ) ，使得f 口k ，口e 耐，孵如 以下用r c ( s ) 表示s 上所有的矩形群同余集合，用r c p ( s ) 表示s 上所有的矩 形群同余对集合 定理2 1 1 0 设s 是毕竟正则半群若( ，k ) r c p ( s ) ，则耿。，埘r c ( s ) ，且 使得k e rp 托硒；k 和h t r p ( 。，哟= e 反之，若p n c ( s ) ，则( h t r p ，k e rp ) n c p ( s ) 和p = p ( h p ，斯力 证明定理只需证明以下八个引理即可 在下面证明中，令p = 纯。叼，若( ，k ) n c p ( s ) ， 引理2 1 1 1 若( ，k ) r c p ( s ) ，r y a ，b k v ( 1 珞) 如果曲k ， 则a x b k ， 证明设a b k ，v a ，b s 则0 曲o k ，v b ，ew ( 8 ) 由( r c p 2 ) ，可 得b a k ，0 口( 西) 又弦墨比( e s ) 和b b a x b k ，y b ( 6 ) ， 9 l o a z b ki 由( r c p 2 ) 口 ；j l t l 2 1 1 2 若( 日k ) n c p ( s ) ，则尸是s 的等价关系 几类特殊毕竟正则半群的性质 6 证明显然，p 满足对称性又因l 珞k 和是自反的，故p 是自反的 下证p 满足传递性设口加，p 帕则对v n 彤( n ) ，3 6 ，( 6 ) ，使得 a b k ，口e 的，o 叱6 ，b 对v 6 ，w ( 6 ) ，3 c 彤( c ) ，使得 6 ，c k ，b b 0 ，b b c c ， 则由e 的传递性可得，a a j e ，a a e c c 令岔肼( ，彬) ，则由的正规性和8 b k ，可得g n w ( d b ) k 又因貊妒硌k a b b c k 和卵0 ( e s ) ， 则根据引理2 1 i i ，即得彬( g d ) c k 因两由( r c p 2 ) ，即得c k 另一方面，同理可知，对v f ( c ) ，b a ( 口) ，使得 d a k a a 矗啦j c 故a p c 因此，p 是s 的等价关系 口 引理2 ，1 1 3 若kk ) r c p ( s ) ，则腥s 上的同余 证明先证p 是左相容的设n 加，d ，b j s 对v ( c o ) w ( ) ，有 a t = ( ) c ( 8 ) ，c ，= 口( ) 7 渺( c ) ，( c = a c ，a a = c 1 c 由。矽即知，( ) c 6 = a b 彤又由p 的定义，可知存在6 ，( 砷，使得n d e b b 再由引理2 1 3 可知，存在g m ( a a ，b f f ) = m ( c c ，6 ) ，使得c 7 c = n 9 拍，设 ( 西) = b g d ，则( c b ) = b g c w c c b ) 因而 ( ) ( ) = c a a d sc ( 彬g ) c ，忙是( 1 沽) 上的带同余) = 西( 瑚 和 ( c b ) ( 西) = v g g = b g b 如因g e b b e a a 7 ) a a = a a a a = a c c a = ( c a ) ( ) 同理可得，对v ( c b ) ( 曲) ，存在( c o ) ”( c 口) ，使得 ( 曲) k ，( ) ”e c b ( c b ) ，( ) ”e ( 西) c b 兰州理工大学硕士学位论文 7 则c a p 西又由引理2 1 1 2 ，知p 是s 的等价关系，故p 是s 上的左同余 另一方面，同理可证p 是s 上的右同余因此，p 是s 上的同余 口 引理2 1 。1 4 设( 厶k ) r c p ( s ) ，则h t r p = e ，且p 忙。耳) 是趾的矩形群同余 证明首先h 正h t r p = 厶 设x p y ，霸翟( e s ) ，则由引理2 1 6 ，可知存在一w ( z ) n ( e s ) ，使得茁e z ( 是昱奢) 上的矩形带同余) 又由p 的定义，知存在矿w ( 幻n ( 五b ) ，使得勰彬， z z y 掣因此，z 翻石x e y y z e y x 和 i ，ey y y 忙是( j 强) 上的矩形带同余) eo z y x 则列，即h t r p 已 反之，设z 弘，( e s ) ，比w ( 2 ) n ( e s ) ，因此，z 分( e s ) k ， x y x 嚣e z ( 是( 五j ) 上的矩形带同余) ，即一s w ( y e ) 又由引理2 1 3 可知，存 在y 矿( ) n ( e ) ，使z e y 则z z 毫，暑，z z e y y 同理，对坳( g ) ，则存在。( 。) ，使得 y x k ，x , t ，x x y y 故x p y ，即h t r p 因此，h t r p = 己 下证p = p k j f ) 是s 上的正则同余 由( r c p l ) 知，对v n 只w ( o ) ，存在n ，( n ) ，使得 a a a ”口和a a a a c t a e a a a a 竺o 仉e p ( a n ) 彤( ( o ”n ) ) 再由引理2 1 3 和引理2 1 6 知，存在( 句w ( a ”a ) n ( e 奢) ，使( o ，n ) e n 又因 ( 口，d ) n ( ( n ”o ) o p ( ，曲( q ，n ) 口( 。) = ( n ”n ) a ”n ) 一 p ( 0 8 ) 口，( ( e s ) e 是矩形带r h t r p = ) 即( ( ，口) 7 0 咖( ( ”口) p ) ，因此由引理2 1 3 可知，存在( n 口”口) w ( a a ”口) ，使 几类特殊毕竟正则半群的性质 8 得( d 口) p ( a ”d ) 口贝j d ，口( 口o ，。o ) pn 0 口( ，口， ， p0 口a a ， ：= d 口口a n ( 由( r c p l ) ) a p a a a ( a a ”n ) 口“e d ( o h t r p ；g ) 且 ( o o ) 耐ap ( 口，n ，口 ， p8 口 ， = 口a no e 一口( o 目( r c p l ) ) r p ( a a a ) 7 n n ”n e n ，口o n ，d ( 因h t r p = ) 另一方面 w ( a ”口) ，( “) ( e s ) ev c w ( a a a ) x c a a ”o ( ) 口，7 口( ( e s ) 是矩形带) ，e p ( c o n b 碡w ( ( ) ) 又因存在善 ( ( ) ) n ( e s ) ，使得盯伽”a 现令口，= c ，则o w ( a ) 和 a ( x c ) 口，c ( 因( r c p l ) ) c 阳? c i 8 ”c ；c ( n ，口) n 并且同理，可得( z c ) 既c ( n ) 因此8 p 耐q 故由引理2 1 4 ，即知矿是s 上的正则同 余 下面设a p ，b p 岛，p ，则存在e ，e s ，使得a p e ，b p f 因( e j ) 肛是矩形带， 故e f e p e ，则( 8 妇殄= a p ，即s p 是矩形群因而，p 是s 上的矩形群同余 口 引理2 1 1 5 若( e ，k ) r c p ( 研，则p ( 。，) 是s 上的矩形群同余目k e r p = k 证明首先由引理2 1 1 4 ，已证船鲫是s 的矩形群同余 现证k e r p = k 设v a k e r p ，则存在e 毋，使得a p e ，因此存在e w ( e 1n ( e s ) ，使得e 口ek 由( r c p 2 ) ，可知n k ，故k e r p k 兰卅i 理工大学硕士学位论文 9 反之，设讹k ，因是s 的正规子半群，9 i r v a w ( a ) k ，n 铲k 设e m ( a a ，) ，由引理2 1 2 ，9 q l a e a w ( a 2 ) 又因p 是s 的正则同余和引 理2 1 4 可知，存在o ，( 口) ，使a p o , a ”a 这样 ( a e a ) a 2pa a ( d e d o n ) a a p0 d ，口( p 是矩形群同余) pa a 其中a e d a 2 ，0 口，口，口e s 贝l | 一a h t r p = ，知e 口，q 2 e 口m 另一方面 a 2 ( a e 0 ) p 口，( n e 0 ) 口0 ， pa a ”a a ( p 是矩形群同余) p a a 其中0 2 口e 0 ，a a e 譬则由h t 即= 毛知a 2 a e a t g a a 反之，设o ，= o c ，a t , 7 = ，v c w ( a 2 ) 则对0 ，w ( n ) ，有c = 口 l s a ，a a = 由n k 和k 是s 的正规子半群，可得= a t k 因此 a n a ( a t a a ”a ) a a z a ”8 ( n ) ( ( 点0 ) 肛是矩形带) 和n ，n ( ) d ，o ”口( 口，口) ，则 n ，( n ，a a h a ) a a e a ”a ( a a “) n n ( 1 ) x 因o a a a a a a a ，b p ( a a 弦w ( ( d n ) e ) ，则存在z ( d ，n ( e s ) ，使嬲口d 因 而 。簖( 口) 。= ( c a ) x d a z = c ，即t t x , w ( 那么 a ( c a x ls 甜a d ) a ( a a a a a a a t a ) a ( 因a p a a a ) e 8 b ，“8 8 ( 由( 1 ) 式) e0 , 2 = a 2 c ? 同理，可得( o 口z ) n e 口“0 n n = c a 2 ，贝l l a p a 2 ，即k e r p 因此，k = k e r p n 几类特殊毕竟正则半群的性质1 0 引理2 1 1 6 若p 是s 上的矩形群同余，则k e r p 是s 的正规子半群，目h t r p 是( 岛) 上的正规矩形带同余 证明先i 正k e r p 是s 的正规子半群 设口，b k e r p ，则存在e ，e s ，使得a p e ，b p f 因蜥p 是矩形带，则( 曲= a p b p = e p f p e ( s 力，因此，l 鼢p 是s 的子半群显然e 奎k e r p ，故k e r p 是满的 设第k e r p ，口s ，w ( 口) ，那么o p ( n p ) 又 ( a x a a x e ；p 口茁( 0 d ) 口， p 口z z 口，( 因e 跏是矩形带) pc i z 一 癣j ( a x a ) p e ( 彤p ) ，因此，a x a t k e r p 同理即得，a s 2 9 a k e r p 设g k e r p ，w ( n ) ，则印e s p ，a p w ( o 力又因口n k ，a p y ( ( a ) p ) 幕a e s p 是带，则8 p e 研因此口k ，故k e r p 是s 的正规子半群 下证h t r p 是( e s ) 上的正规矩形带同余 因p 是s 的矩形群同余，i je s ，是矩形带，故h t r p 是( e s ) 上的矩形带同余设 x h t r p y ，z ，y ( e s ) ，则x p y 又 矗t a p 矗馨n c k 鸳dp o w d ，v a s ，矗w l 曲 则 a x a h t r p a y a ，a x a h t r p a y a 其中a x a ，a y a ，a x a ，a y a ( 西) 因此，h t r p 是( 岛) 上的正规矩形带同余口 引理2 1 1 7 若p 是s 的矩形群同余，则( h t r p ，k e r p ) 是s 上的矩形群同余对 证明由矩形群同余对定义和引理2 1 1 6 ，只需证( h t r p ，k e r p ) 满足( r c p l ) 和 ( r c p 2 ) b p 可 ( r c p l ) 设a s ，w ( 曲因p 是s 上的正则同余和引理2 1 4 ，则存在a j ( n ) ，使得a p a a ”a 因此 a a p a a 0 0 ，a a p a a a “o 其中，0 0 ，a a 1 a a j ，a a a o ( 毋) 贝i j a a h t r p a a a a a a h t r p a a a ”n ( r c p 2 ) 设v d s ，z ( e s ) ，x a k ，则( z o 知e s p 又因p 是s 的正则同余 兰州理工大学硕士学位论文 1 1 则存在口”w c a ) ，使得n p 舭，o 又 口p 口 p ”( z o ) b p 矗d n 幅s f p 畏蕊形靠1 因此，a p = ( e r a a a ) p 岛p ( s a a 口，o ( 毋) ) ，即d k 则( h t r p ，k e r p ) 是s 上 的矩形群同余对口 弓i 理2 1 1 8 若p 是s 的矩形群同余，则p = 反h i r p 蛔p ) 证明设n 加， c a ( n ) ，故( 如) p ( d ) ，即6 k 由0 w ( a p ) = ( b p ) 和 引理2 1 3 ，可知存在6 ，( 6 ) ，使得因此 矗h t r 加6 ，o a h t r p b b 其中o ，口，6 ，6 ，耐e s 同理对洲w ( 6 ) ，则j 彤( 妨，使得n k ，a a h t r p b b ，a a h t r p b b ，即嗷岍船力玩 被p p ( h t t p ，k 盯 反之，设n p ( 脚妇p ) 6 ，口，b s 因p 是s 上的正则同余，则存在( d ) ，6 ， ( 6 ) ，使得a p a a “a ，b p b b b 因而存在6 ，彬( 6 ) ，使得 o o ”h t r p b b ，a a h t r p b b ，a b 噩 另一方面，存在( 妨，使得 a a h t r p b b ，a a h t r p b b ，b a k ， 因而 a p = ”a p ：；( 6 口) p = ( b b a g a ) p = ( 口n 6 ，口) p = ( 口o ) p 和 a p = ( a a a ) p = ( a b b ) p = ( 矗6 ) p = ( a b a a b ) p = ( a d 6 ) p 另外 b p = ( 彬6 ) p = ( 0 0 b ) p = ( d d n 0 6 加；( a a ”b b b ) p = ( ”6 ) p ， 则。加，即p2 以h t f p k e l r p ) 因此p = p ( b t 啦k e r p ) 口 综合以上8 个引理，定理2 1 1 0 易证 在r c p ( s ) i ：定义一个关系： ( e ，k ) ( e ，) 争e ，k k 几类特殊毕竟正则半群的性质 1 2 由”的定义，易知”是r c p ( s ) 上的偏序关系 命题2 1 1 9 若s 是毕竟正则半群，则s 上所有矩形群同余集合r c ( s ) 是格，且s 上 所有矩形群同余对集合r c p ( s ) 在关系”下也是格，并且这两个格是同构的 证明先证r g ( s ) 在包含关系下是格 设v p l ，p 2 r c ( s ) 显然p i a p 2 = p l d p 2 r c ( 回现令p = ( p l o p 2 严，易知p 是同余，又p 是s 的正则同余，故p 1 ，应也是s 的正则同余设以b e 跏，故s p s p l ( p a p , p ) ，则蜀枇e 跏：，即口，b e ( 彰m ) 因此( 曲o ) 内= 口2 p l = a p l 再由p 1 p ，则( 曲口) p = 舻p = a p ，因而s p 是矩形群，且p = p lv 艇是s 的矩形群 同余，故p c ( s ) 足格显然，r c e ( s ) 在关系”下是格 由定理2 1 1 0 可作两个映射： 西：r c ( s ) 一r c p ( s ) p 。( h t r p ，k e r p ) 和 妒：r c p ( s ) 一r c ( s ) 啦，k ) ，豫，脚 由定理2 1 1 0 ，易得庐是双射，且咖，妒都是序保持映射，因此这两个格是同构的口 2 2 毕竟正则半群的最小群同余 2 2 1引言与预备知识 研究半群的群同余、最小群同余是半群代数理论研究中的一个重要课题，在对 其研究中，元素的“逆”是一个很重要的工具在文献【1 6 l 中l a t o r r e ，0 r 对正则半群 的群同余进行研究，并给出了任意正刚半群上群同余的一种刻画文 2 0 中h a n u m a n t h a 把 1 6 中的结论推广到毕竟正则半群中，并且也给出毕竟正则半群上群同余 的一种刻画本文将以元素的“弱逆”为工具，研究毕竟正则半群上的最小群同余， 并给出最小群同余的一种刻画 设p 足s 的同余，则令k e r p = 口sa p e s p 若酬p 是群，则称p 是s 的群 同余若s p 足s 的最大群同态象，即称p 是s 的最小群同余 s 是半群，日是s 的子集，集合阿u 称为日的闭包，其中日u = 聋slj 危 詹，h x 日 被称为足闭的，若h w = 日 兰州理工大学硕士学位论文 1 3 日是s 的子集，若e s 日，称日为满的( 全的) s 是毕竟正则半群，是s 的一个子半群，若任意a s ，口，( 曲，有d k a ka k d k ，则称k 是弱自共轭的 s 是毕竟正则半群，在s 上定义二元关系：呀= ( n ，6 ) s s ：3 6 ， ( 砷，a y 爿 引理2 2 1 i l l 设p 是毕竟正则半群s 上的同余若a p e s p ，则存在幂等元e ，使 得a p e 注，若s 是毕竟正则半群，p 是s 的群同余则对忱( e s ) ，x p 是s p 的幂等元 引理2 2 2 1 1 】s 是正则半群且幂等元唯一，则s 是群 引理2 2 3s 是毕竟正则半群，打是s 的弱自共轭的、闭的全子半群若o e 音，o ，b h ，则a 曲h 证明设v w ( n ) ，6 ，( 6 ) ，因日是全的、弱自共轭的，贝1 l l d a x b h n 6 6 ， h 又口，b h ，故( a b ) l f o f a x b h 再由h 是闭的，因此，a x b h w = h 口 日i 理2 2 4s 是毕竟正则半群，日是s 的弱自共轭的、闭的全予半群，则以下条 件等价： ( 1 ) d 即6 ，o ，b s i ( 2 ) 、秽h 7 ( ，a t 日；v 0 ，i 矿( 口) ，b d h ； ( 3 ) j 6 ，w ( 6 ) ，l y a h 证明( 1 ) 辛( 2 ) 由o j 加，口，b s ，则存在矿w ( 砷，使。矿h ，故j y b b 好，v w ( 6 ) 对任意( 口) ，d a 取，则由引理2 2 3 知，b ( ，口) 6 ，= a 6 ， b a ( a y ) h 又h 是弱自共轭，闭的全的，则n 矿6 h ，故0 2 日 同理即证，v 口，( a ) ，b 0 ，h ( 2 ) = 争( 3 ) 由( 2 ) 即知，存在6 ，( 6 ) ，使得a b 日又日是弱自共轭的、 故a a y a 日，再由0 ，口e s h ，因此，矿口h ( 3 ) 净( 1 ) 因存在矽( 的，使得y a 圩故由矧的弱自共轭性知，彬彬 h 又6 6 ，h ，即口6 ，嚣u 又由目的闭性，知曲h ，即b 盯6 口 2 2 2主要结论 定理2 2 5 若别黾毕竟j 下则半群，如果= ( e 奢) u = 扣si | t ( e s ) ，红 ( 点沽) ) 是弱自共轭，闭的子半群，n a i l 是s 的最小群同余，i j k e r a x = h 反之， 几类特殊毕竟正则半群的性质 1 4 若盯是s 的群同余，且k e r a = h ，则盯是s 的最小群同余且日是满的、弱自共轭、闭 的子半群和一= “。， 证明首先证d h 是等价关系 显然，h 是满的且( e s ) h 因为，对每个n 墨存在( d ) ，使得d 口， 毋抒，故a 口f l a 满足自反性 若a a h b