（应用数学专业论文）几类映象迭代序列的强弱收敛性.pdf

四川大学硕士学位论文 摘要 几类映象迭代序列的强弱收敛性 应用数学专业 研究生李雪松指导教师黄南京教授 本文在b a n a c h 空闻中分别研究了几类映象的显式与隐式迭代序列的强、 弱收敛性 在第一章中，我们对b a n a c h 空间中有界凸集上的一致拟l i p s c h i t z i a n 映象 只t 证明了带误差的i s h i k a w a 迭代序列收敛到其公共不动点的一个充要条件， 其中最? 不必连续。 在第二章中，对于b a n a c h 空间中的一簇中间意义下的渐近拟非扩张映象 的隐式迭代序列的收敛性，我们给出了一个充要条件，并在一致凸b a n a c h 空间 中讨论了该隐式迭代序列的收敛性。 在第三章中，在一致凸b a n a c h 空间中，对于一簇非自渐近拟非扩张映象 类构成的显式迭代序列，我们分别给出了一些适当的条件，并得出了一些强、 弱收敛性结论。 关键词：致拟l i p s c h i t z i a n 映象、带误差的l s h i k a w a 迭代序列、公共不动 点集；一致凸b a n a c h 空问、渐近非扩张映象、中间意义下的渐近拟非扩张映 象，一致l i p s c h i t z i a n 映象、半紧映象；限制集、非自渐近拟非扩张映象类、 次闭、o p i a l s 条件。 一一婴型盔堂堡圭兰堡堡奎 a b s t r a c t s t r o n ga n dw e a kc o n v e r g e n c ef o rl t e r a t i v es e q u e n c e so fs o m em a p p i n g s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：x u e s o n gl is u p e r v i s o r ：n a n i n gh u a n g i nt h i sp a p e r , w er e s p e c t i v e l ys t u d yt h es t r o n ga n d w e a kc o n v e r g e n c ef o re x p l i c r a n di m p l i c i ti t e r a t i o ns e q u e n c e so f s o m em a p p i n g si nb a n a c h s p a c e i nc h a p t e r1 ，as u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o ni sp r o v e df o ri s h i k a w ai t e m - f i v es e q u e n c e o f u n i f o r m l yq u a s i - l i p s c h i t z i a nm a p p i n g ss - t w i t he r r o r st oc o n v e r g et o f i x e dp o i n t s ，w h e r e 只td e f i n e do nab o u n d e dc o n v e x s e tn e e dn o tb ec o n t i n u o u s i nc h a p t e r2 w e p r o v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n 斯t i l ei m p l i c i ti t e r - a t i o ns e q u e n c ec o n v e r g e st oac o m m o nf i x e dp o i n to f af i n i t ef a m i l y o f a s y m p t o t i c a l l y q u a s i - n o n e x p a n s i v em a p p i n g si nt h ei n t e r m e d i a t es e u s ei nb a n a c hs p a c e s w ea l s o d i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo f t h ei m p l i c i ti t e r a t i o ns e q u e n c ei n u n i f o r m l yc o i i v e xb a n a c h 印a c e s i nc h a p t e r3 , f o rt h ee x p l i c i ti t e r a t i o ns e q u e n c ec o n s t r u c t e db yaf i n i t ef a m i l yo f n o n - s e l f a s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v et y p e ，w eo b t a i ns o m ec o n c l u s i o n so f s t r o n g a n dw e a k c o n v e r g e n c e , r e s p e c t i v e l yu n d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s k e yw o r d s ：u n i f o r m l yq u a s i l i p s c h i t z i a nm a p p i n g ，i s h i k a w ai t e r a t i v es e q u e n c ew i t h c t r o r s ，p u b l i cf i x e dp o i n t ss e t ；u n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e ，a s y m p t o t i c a l l yn o r e x p a n s i v em a p p i n g , a s y m p t o t i c a l l yq u a s i - n o n e x p a n s i v em a p p i n g si nt h ei n t e r m e d i a t es e n s e , u n i f o r m l yl i p s c h i t z i a nm a p p i n g ，s e m i - c o m p a c tm a p p i n g s ；r e t r a c t , n o n - s e l f a s y m p t o t i c a l l yq u a s i - n o n e x p a n s i v et y p e ，d e m i - c l o s e d , o p i a l sc o n d i t i o n 一一 四川大学硕士学位论文 第一章 一致拟l i p s c h i t z i a n 映象的迭代逼近 1 1 引言及预备知识 在b a n a c h 空间中的i s h i k a w a 迭代和m a n n 迭代序列的收敛性，近年来许多 作者( 【l - 8 】) 研究了渐近拟非扩张映象，一致拟l i p s c h i t z i a n 映象等的i s h i k a w a 迭代和m a n n 迭代序列的收敛性本章将在b a n a c h 空间e 中的非空子集d 上 讨论更一般的一致拟l i p s c h i t z i a n 映象s 丁的带误差的i s h i k a w a 迭代序列收敛 到其公共不动点的一个充要条件，其中st 不必连续 设d 是b a n a c h 空间e 中的非空子集，只t ：d d ，f ( = 如d i t x = z ) 为t 的不动点集，f 假巧= 扛d i s = = t x = $ 为墨t 的公共不动点集 定义1 1t 称为一致拟l i p s c h i t z i a n 映象，如果存在l 0 ，使得对n n ，d ，p f ( t ) 有 0 2 ”o p 0 l i i = 一p 0 定义1 2 设任意给定的x 0 d ， n t i ) ， ) ， 风 ， 以 是【o ，l 】上的实数 列由下式定义的序列 ) 称为s , t 的带误差的i s h i k a w a 迭代序列 坼1 2 ( 1 一一) + 驴+ ，( 1 1 - 1 ) 【= ( 1 一风一矗) + 库p z 。+ 矗，n = 0 ，1 ，2 、7 i 其中 t ，i 与 ) 为d 中的误差扰动。 引理3 1 7 设f k ( 风，和 ) 是三个非负实数序列，且口1s ( 14 - ) + 风，v n n ，若风 ， o o ，则n m 存在 四川大学硕士学位论文 1 2 主要内容 定理2 1 设d 是b a n a c h 空间e 中的非空有界凸集。最t ：d d 是 一致拟l i p s c h i t z i a n 映象( 只t 不必连续) ，且f ( s t ) o ，如果由( 1 1 1 ) 式 定义的带误差的i s h i k a w a 迭代序列t z 。 满足： o o ， ，则 z 。) 收敛到s t 的公共不动点的充要条件为l i r a i d(，fr)=o，其中_n_f d ( y ，d ) = = i n f d ( ! ，王) i z d ) 证明：定理的必要性是显然的。下面证明其充分性由( 1 1 1 ) 式有： 有 i i z l p l i = i i ( 1 一一) ( 一p ) + ( 酽骱一p ) + ( 一p ) 0 s ( 1 一一) 0 一训+ 工1 0 鲰- p l i + 0 t ，l p 0 一圳。l i ( 1 一风一矗) ( 一纠+ 风( p 一p ) + 矗( - p ) l i ( 1 一风一矗) l l x 。一p + 风工2 1 1 一圳+ 如0 一p 其中工1 与l 2 分别为s 与t 的一致l i p s c h i t z 常数。 故对任意的p f ( s 叨有 0 z 竹+ l p l i 【1 + q 。l l ( 1 + 厶) j 靠一训+ 0 - p l l + 工l0 一训 ( 1 + k ) 8 一p 0 + t 如( 1 2 1 ) 其中k = l 1 ( 1 + 工2 ) ，= 0 - p l i + l l0 - p l i 。由p 的任意性， d ( 岛。+ l ，f ( 只t ) ) s ( 1 + t n ) d ( x 。，f ( st ) ) + 奶。( 1 2 2 ) 因为d 是非空有界凸集，设v 茹d ，忙0 k 。则 = 0 一硎+ 工1 i i 一硎2 k ( 7 。+ l 1 ) 一2 一 四川大学硕士学位论文 又由 o o ， o 。可得到k ；l x ( 1 + 岛) o o 及 n = o n - - - - 0n=o仆=0 旦 2 5 i o n 0 ，由k ， l 时，有岛 1 ，当n 2 时， 有d ( ，f ( 只刃) 壶，故存在p l r ( s ，即使得d ( 如，p 1 ) 麦，从而由 ( 1 2 3 ) 式，对v n 2 ，m n ，有+ ，i 一8 0 + ，i a i + l 一p 1 0 2 e 0 耳。一p l0 + e 故是c a u e h y 序列。且在b a n a c h 空间中收敛。 一3 一 ( 1 2 ： 四川大学硕士学位论文 设撬2 妒，则可以断言g f ( s 1 t ) 事实上，令l = m a x l 1 ，l 2 ， 对任意的e 0 ，因为一i l m 。x n 2 ，故存在自然数3 ，当n 3 时，有 恢一y l l 疵i ( 1 _ 2 4 ) 由一l i m 。d ( x n ，f ) = 0 ，于是存在4 3 ，当n 4 时，有d ( ，f ( 只即) 币，故存在砌f 刃，使得 i i x n - - 加1 1 - 4 ，有 勖一y lj 勖一以0 + 一0 + i k 一训 l ( i l y 一靠i i + 0 一沈0 ) - t - i l y 一i i + 0 一p 2 0 e ( 1 2 5 ) 由e 的任意性可得：l i s y v lj = 0 ，即y f ( 研同理可证：矿f ( t ) 故 暑f ( e t ) 。 由定理2 1 很容易得到下面的结论： 定理2 2 设d 是b a n a c h 空间e 中的非空有界凸集，s t ：d d 是一致 拟l i p s c h i t z i a n 映象( 只r 不必连续) ，且f ( 最d 0 ，如果由( 1 - 1 ) 式定义的带 误差的i s h i k a w a 迭代序列 ) 满足：n ，l o o ， 0 ，使得对比， g 幢之l 有 i 怛”一t “暑，0 工8 z 一0 定义l 2 t 称为渐近非扩张映象，如果存在k 【o ，o o ) 攫恐k = 0 ，使得对 ，掣c 有 i p ”一t “扩0 ( 1 + 岛，) 0 z 一掣i i 定义1 3 t 称为渐近拟非扩张映象，如果存在k 【0 ，o o ) ，l i mk = 0 ，使得 对v 茁g p f ( 刃有 0 z ”一p i l 冬( 1 + k ) i l z p l 定义1 4 正， n 称为一簇中间意义下的渐近非扩张映象，如果对 f ，丑连续且 l i m s u p ( s u p l l 刀z 一可可0 一i i z f o i 霸e ) 0 n 一5 一 四川大学硕士学位论文 定义1 5 正，i n 称为一簇中间意义下的渐近拟非扩张映象，如果对 ，正连续且 l i m s u p ( s u p 刁z a 0 0 一p 0i z e a f ( 霉) ) ) 0 n + 注1 1 渐近非扩张映象是中间意义下的渐近非扩张映象，但反之不成立【1 5 】 注1 2 ( 1 ) 渐近非扩张映象是渐近拟非扩张映象，同时也是一致l i p s c h i t z i a n 映象；( 2 ) 连续的渐近拟非扩张映象是中间意义下的渐近拟非扩张映象 注1 3 如果正是中间意义下的渐近拟非扩张映象，则显然有l i r ac - i n = 0 ， n 。_ o o 其中 ：= m a x ( 0 ，s u p l l 矸一n 0 0 茁一a i | l 童g a f ( 正) ) ) 定义1 6 t 称为半紧的，如果对v h a l i m0 一2 洲= 0 蕴含着存在子 列 n ) c ) 收敛到矿o 引理1 1 【7 】设 ) ， 风) 和( 是三个非负实数序列，且o g n 4 - 1s ( 1 + ) + 风，若风 0 ，则b a n a c h 空间e 是一致凸的当且仅当存在连 续的严格单增凸函数9 ：【o ，o o ) 一【0 ，o o ) ，g ( o ) = 0 使得对铷，掣口r ，a 【o 1 】 有 0 妇4 - ( 1 一a ) y l l 4sa 8 z 胪+ ( 1 2 , ) l l y l l 4 一w 。( , x ) g ( 1 l x y 1 1 ) ， 其中目= z e 10 2 0 r ，吩( a ) = m ( 1 一a ) 4 - a ( 1 一a ) 4 近年来，有许多作者研究了非扩张映象，渐近非扩张映象以及渐近拟非扩 张映象的迭代序列的收敛性( 参见【9 - 1 5 】) x u 和o r i d 3 】提出了一簇非扩张映象 的隐式迭代序列，并证明了其弱收敛性，而s u n 1 4 将该隐式迭代序列延伸到如 下的一簇渐近拟非扩张映象的隐式迭代序列，并证明了其强收敛性 一6 一 四川大学硕士学位论文 n l ( 鼬 i j = l ，2 、。 本章将在b a n a c h 空间。一致凸b a n a c h 空间中讨论一簇中间意义下的渐近 拟非扩张映象由m s ) 式确定的隐式迭代序列的收敛性，我们的结果推广了文献 【1 3 ，1 4 】的相应结果以下均假定迭代序列皿s ) 是存在的 2 2 主要结果 定理2 1 设c 是实b a n a c h 空间f 中的非空凸子集， 正，l ，= 1 ，2 ) ) 是n 个中间意义下的渐近拟非扩张映象，f = n f ( 正) o ，知a 如果 掌l ( 1 一q t i ) o o ，则由皿s ) 式确定的隐式迭代序列 ) 收敛到f 中的一个公 共不动点的充分必要条件为l i r a i n f d ( 霉。，f ) = 0 证明：定理的必要性是显然的下面证明其充分性对坳只托= ( k 一 1 ) t i ， 0 z 。一p 8 = 0 一训 0 一训 0 ( $ 。一l 一力+ ( 1 一) ( 露一p ) 0 8 一l 一训+ ( 1 一) l i 尊一训 0 z 。l 一训+ ( 1 一) 【归? x n p l | _ 0 一p m - - p l l + 等 其中 c - i n ：= m a x ( 0 ，蹦p l l t z p 0 一i l z p 0 i z g a f ( 正) ) 由p 的任意性，有 一 一 n +蹶蛐，飞 q = 卜n dc 似 = ，(i 四川大学硕士学位论文 地，f ) d ( - 1 , f ) + 三 ( 2 2 1 ) 再由。l i m c , k = 0 以及( 1 一o t n ) 1 时有d ( ，f ) ，从而存在p 只i i - - p 0 s ；，对 v m ，n 1 ， 0 而一l i i s0 m p + 0 + l i a 一p + 8 e 因此 ) 是c a u c h y 序列设l i m = y 因为正是连续的，所以f ( 正) 闭，f = n f ( z ) 闭，由l i m 烈，d = 0 可得y 只 。 推论2 1 假设条件如定理2 1 所述，则由( u s ) 式确定的隐式迭代序列 收敛到f 中的一个公共不动点p 当且仅当存在子序列 ，) c z 。) 收敛到p 定理2 2 设f 是一致凸的实b a n a c h 空间，g 是e 中的非空有界凸子 集， 正，l i = l ，2 ”是n 个一致l i p s c h i t z i a n 中间意义下的渐近拟非 扩张映象，f = - if 慨) 口，3 9 0 a 如果( 0 0 口p 1 ，凹存在 = 1 t k 丑，i j ) 是半紧的，c i 0 0 ，则由o i s ) 式确定的隐式迭代序列 正。) 收敛到f 中的一个公共不动点 证明：因为e 是一致凸的b a n a c h 空间，由引理j 2 ，令口= 2 ，p e f ，有 0 一圳2 = 0 ( z 。一l 一纠+ ( 1 一) ( 露一p ) 1 1 2 0 一l 一训2 + ( 1 一) 0 露一p 酽 一( 1 一) 9 ( 以) 一8 一 四川大学硕士学位论文 其中如= i i 露一一1 l l = i i 露一一1 扎；忙一1 ) + i ，i i 又因为噩是 中闻意义下的渐近拟非扩张映象。所以 口( 1 一p ) 9 ( 艮) 。k ( 1 一q 。) g ( 氏) o 0 a 一1 一p 旷+ ( 1 一o 。) i i 砰x n p i l 2 一i i 茹。一p l l 2 f i x 一1 一p 0 2 0 z i p i l 2 + ( 1 一a 。) ( i i 霉a k p 0 2 一i i x 一p 酽) s a k l p 0 2 0 a 一p i l 2 + ( 1 一h ( 0 露善。- p l i + i i x - p 1 1 ) ( 2 2 3 ) 其中c 讯= m a x ，s u p ( 1 l 露一执0 一i i 。- p l l i j g a f ( 冠) ) ) 由o ) o i o 以及 仁2 j ) 式，我们不难得到磐璺0 一训存在，所以，熙( 0 z 矗l 训2 一i i x n - p l l 2 ) = o ， 再由g 有界，则但2 i 刀式的右端趋于d ，故一l i r a 。g ( 靠) = 0 由引理j - 2 知g ( z ) 是 【0 ，0 0 ) 上的严格单增凸函数，k o ) = o ，所以 熙以一舰0 露一一，0 = 0 ，熙0 z n 一札t 8 = 舰( 1 一) l l 露一一，0 = 0 ，熙恢一l 忙0 ， v j 2 n 由于正是一致l i p s e h i t z i a n 映象，= 7 k ，于是由( 2 2 旬和但2 回有 i l 一1 一r 0 0 一1 一露0 + 露一死z 。l i 靠+ 圳露一1 一i l ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 靠+ 驯j 露。一露j 一r , i i 十j | 班矗一一z 。一9 + lx n n l x i i j 靠+ l 2 0 一一0 + l ( i i 露j z 。n 一一n 1 0 + 0 一n 一1 一x i i ) 如+ z , 2 1 1 z 。一x , n - n i i + l ( 如一n + 0 一n l 一0 ) 一0 9 一 四川大学硕士学位论文 故，熙l l 霉n l 一露0 = o ，l m0 一霸0 = 0 对v z l 0 一矗+ 1 0 0 一筠州+ l i 岛州一! k l z 1 0 + i i “。“一品+ l 0 0 一$ ，州l l + 窭。“一矗+ l 茁1 0 + 圳坼i 一0 - 0 所以，熙8 一1 0 = o ( v f ，) ，从而，熙0 一五0 = 0 ( v l j ) 由于存在死 噩， e1 1 是半紧的，故存在 唧) c z 。 使得z n ，一矿又 i i 矿一正矿0 = 曼恐l i 唧一噩，= 0 ，故矿f 由推论2 j 知， 。n ) 收敛到f 中 的一个公共不勃点 注：文献f j 5 j 在假设 o o 的前提下证明了中间意义下的渐近非扩张 n = l 映象的l s h c a w a 迭代序列的收敛性其中 n ：= m a x ( 0 ，s u p l l t ”x t ”引l i l z 一引l l z ，| c ) ) 一1 0 一 四川大学硕士学位论文 第三章非自渐近拟非扩张映象类 3 1 引言及预备知识 设是赋范线性空间e 中的非空闭凸子集。自映象t ：k k 称为 渐近非扩张映象，如果存在 k ) c 【1 ，o o ) ，l i r ak = 1 使得0 p z z 8s k 她一f m v 孔! ，瓦n 1 。作为非扩张映象的一种推广，渐近非扩张映象于 1 9 7 2 年由g o e b e ! 和鼬村j 砑提出来，并在一致凸日棚a 曲空间中证明了其不动 点是存在的。由于很多映象是非自身到t j 身的，后来，许多作者唧9 ：2 2 ，2 4 ，2 7 1 ) 对于非自的非扩张映象进行了广泛的研究，并得到了一些强、弱收敛性定理。 作为渐近非扩张自映象的推广，渐近非扩张非自映象的概念由 c h i d u m e , o f o c d u 和z e g e y e 1 曰于2 0 0 3 年提出来，并定义为如下： 定义j 1 子集k c f 称为限制集，如果存在连续映象p ：f k 使得对任 意k 都有p x = $ 映象p ：e 一曰称为一个限制，如果p 2 = p 注1 1 如果p 是一个限制，则对任意z r ( p ) 就有p ：= o ，其中冗( p ) 为尸 的值域一致凸b a r e h 空间中的每个非空闭凸子集都是限制集 定义1 2 设k 是赋范线性空间e 中的非空闭凸子集，p ：e k 是e 上的非扩张限制非自映象t ：k e 称为渐近非扩张映象。如果存在 t k ) c f l ，c o ) ，l i m k = 1 ，使得对任意霸掣k ，n 之1 有 l l t ( p t ) ”1 一r ( p 功”1 f 8 0 $ 一暑，8 定义j 3 称b a n a e h 空间e 满足o p i a l s 条件，如果对任意e ，靠一4 都有i i m s u p0 一z 0 l i r a a u p8 一训，坳e ，暑，z n _ “ 四川大学硕士学位论文 对于如下的迭代序列 iz l k ， 【+ l = p c ( x 一) + o q , t ( 卯) ”1 ) ，竹1 c h i d u m e 1 6 1 在一致凸b 黝c 由空间中得到了一些强，弱收敛性定理 近来。w a n g z 6 在一致凸b a n a c h 空间中研究了两个渐近非扩张非自映象构 成的迭代序列，并得到了一些结果 定理1 1 2 6 设是一致凸空间e 中的非空闭凸子集，噩，t 2 ：k e 是两个 渐近非扩张非自映象， 磷) c 【1 ，o o ) ，且满足( 硝一1 ) 0 如果乃与疋当中有一个 是半紧的，且f ( n ) n f ( t 。) 0 ，则 $ 。) 强收敛到死与正的一个公共不动点 定理2 f 2 曰设k 是一致凸空间e 中的非空闭凸子集，e 满足o p i a l s 条 件正，t 2 ：k 一曰是两个渐近非扩张非自映象， 硝 c 【1 ，o o ) ，且满足 ( 麟一1 ) 0 ，使得对任 意z ，暑甄n 1 ， l l t ( p 即”1 $ 一t ( p t ) ”1 9 0 l 0 z 一暑，8 注j 4 显然非自渐近非扩张映象是一致工一l i p s c h i t z i a n 定义1 7 映象t 称为在p 点次闭，如果一z ，7 h p 意味着p = t x 一1 3 一 a 椰宅 陌死 h = 以队 挪 四川大学硕士学位论文 为了研究便利，我们先介绍如下的两个引理 引理i i f 2 珂设是 ) 和 风) 是两个非负实数序列且满足 q “1 s + 风，机2 1 如果至风 o o ，则，溉存在 引理_ i 2 1 2 0 l 设_ e 是一致凸b a n a c h 空间，0sp t 。口 1 ，v n 1 对于e 中的两个序列 。 ， ) ，如果存在r 0 ，使得l i r a s u p l i $ 。0 r , l i 卜r a 。s u p y n r ，且，熙0 k + ( 1 一) 8 2 n 则熙0 一0 = o 3 2 主要内容 在本节中，我们记j ； l ，2 ，f 表示个非自渐近拟非扩张映象类 正，i j 的公共不动点集，即f = 伽k 噩g = 害， n 引理2 i 设k 是赋范线性空间e 中的非空闭凸子集，同时也是e 的一个非 扩张限制集。亿：k e ， ，) 是个非自渐近拟非扩张映象类， ) 是由 0 1 d 式生成的序列。如果f o 且n f f i l o o ，则对任意q f ，熙8 一训 存在 证明：对任意q f ”= ( m 一1 ) n + i ，i l 令 i i x 。一口i | = 0 p ( ( 1 一) 一14 - b ( p 兄) 一1 z ，卜1 ) 一p q l i sl i ( 1 一) ( 一1 一曲+ ( 死( ) 一1 x n l g ) 0 ( 1 一c ) 0 舀。一l q l l + i i t c p t y - 1 髫。一1 一q l l ( 3 2 1 ) a ，：= m ( o ，5 t 妒 i i 正( p 正) “一1 $ 一儡0 一i i x q t l l l x k ，m f ( 正) ) 一1 4 四川大学硕士学位论文 显然一l i r a 。g 。n = o ，j 所以 l l z 。一g l i ( 1 一) 0 一1 一9 0 + ( i | 一1 一口0 + g m ) 0 为。一1 一q l i + a n 瓯。 因为 o ，y t ( 0 ，o o ) 使得 一t z l i 之，( d 0 ，f ( 即) ) 成立，比k 称映象簇 丑：k e ，i j ，f 日满足条件( a 9 ，如果存在单调不减 函数，：【o ，o o ) 一【0 ，o o ) ，( o ) = 0 ，( t ) o ，v t ( 0 ，o o ) 使得寺忪一五训2 ，( d ( 为f ( t ) ) ) 成立，坛k 显然，当噩= 死= = 珊，条件( a 9 退化到 条件。 下面我们就来给出本节的主要结果。 定理2 3 设耳是一致凸b a n a c h 空间e 中的非空闭凸子集，同时也是e 的 一个非扩张限制集。 正：k 一曰，i n 是个非自一致l i p s c h i m a a 渐近拟 非扩张映象类， ) 是由p j d 式生成的序列。如果f 0 ，o t n o o 且 正，i ，满足条件( a 9 ，则t ) 强收敛到( 五，i j ) 的一个公共不动点 证明：由引理2 2 可知l i m0 z 。一五靠0 = 0 。再由条件似奠则 l i md ( ，f ) = 0 。不难证明 ) 是e 中的c a u c h y 序列，设l i m 靠= g ，因 为正是连续的，所以gef ( 乃) ，v i l 即 勘) 收敛到 乃，i 毋的一个公共不 动点 由于条件似7 弱于 正，i n 之一是半紧的，于是就有下面的定理2 4 定理2 4 设k 是一致凸b a n a c h 空间e 中的非空闭凸子集，同时也是e 的 一个非扩张限制集 丑：k e ，i n 是个非自一致l i p s c h i m a n 渐近拟 一1 7 一 四川大学硕士学位论文 非扩张映象类， ) 是由p j p 式生成的序列如果f 口， 且 丑，i j ) 之一是半紧的，则 ) 强收敛到( 乃， ， 的一个公共不动点 定理2 5 设k 是一致凸b a a c h 空间e 中的非空闭凸子集，同时也是e 的 一个非扩张限制集。 正：k e ，i ，) 是个非自一致l i p s c h i t z i a n 渐近拟 非扩张映象类， 是由p ，j p 式生成的序列。如果f o ，0 e n o 。且 丑，i ，) 之一是全连续的，则 ) 强收敛到 正，i 毋的一个公共不动点 证明：由引理2 j 及引理2 2 知对比f ，i l l i m0 z 。一q l i 存在且 l i m0 一五8 = 0 则 噩) 有界不妨假设噩是全连续的，则存在 z 唧) c 使得噩，一口，从而j i m0 ，一q l l = 0 又因为对任意的i i 。 、 l i 噩q q l isl i t , a 一正3 锄0 + 0 正。一赫q 0 + 0 $ 吩一q l l ( 1 + l ) 0 a ：n | 一q 0 + 0 丑3 沁一2 沁0 ，0 所以q f 僻) ，i 由于，熙i i 一口0 存在，故舰0 一训= o 从而 定理得证 定理2 6 设k 是一致凸b 知a c h 空间e 中的非空闭凸子集，同时也是e 的 一个非扩张限制集。 五：k 一曰，i n 是个非自一致l i p s c h i t z i a n 渐近拟 非扩张映象类，f o ， 是由p j d 式生成的序列。如果j 一正是次闭 的， 且e 满足o p i a f s 条件，则 弱收敛到 正，i 毋的一个公 t = l 共不动点。 证明：由引理2 1 可知有界，故存在弱收敛的子列。设。一q l ，a 一 毗。一啦，d _ 砒由引理2 2 可知q l ，q 2 f 如果m q 2 ，则由o p 铆 s 条件，可以得出矛盾。事实上， ，熙恢一q l l l = 熙- 一吼8 l 。i m i i x 一训 一1 8 一 四川大学硕士学位论文 = 。l i mi i z t | ，一啦0 ，- 。 也黑0 石唧一吼0 ，- 。 = l i r a 0 一q , i i n + 因而q a = q 2 故 ) 弱收敛到 正：i d 的一个公共不动点 一1 9 一 参考文献 参考文献 【1 】n j h u a n g ，y j c h o ，s m k a n ge ta t , i s h i k a w aa n dm a n ni t e r a t i v ep r o c e s s e sw i t h e t r o r $ f o rs e t - v a l u e ds t r o n g l ya c c r e t i v ea n d - h e m i c o n t r a c t i v em a p p i n g s 叨， m a t h c o m p u tm o d e l ，3 2 ( 2 0 0 0 ) ，7 9 1 - 8 0 1 【2 】n j h u a n 岛c j c , a na n dx p h u a n g , n e wi t e r a t i o np r o c e d u r e sw i t he r r o r s f o r m u l t i v a l u e d - s m m g l yp s e u d o c o n t r a c t i v ea n d - s 咖g l ya c c r e t i v em a p p i n g s 阴， 。 c o m p u ta n dm a t hw i t ha p p l ，4 3 ( 2 0 0 2 ) ，1 3 8 1 1 3 9 0 【3 】g h o s hm k , d o b n a t hl ，c o n v e r g e n c eo f i s h i k a w ai t e r a t e so f q u a s i - n o n e x p a a s i v e m a p p i n g s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 0 “1 9 9 7 ) ，9 6 - 1 0 3 【4 】k g o e b e la n dw a k i r k , af i x e dp o i n tt h e o r e mf o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s 川，p r o c a m e r m a t h s o c ，3 5 ( 1 9 7 2 ) ，1 7 1 - 1 7 4 【5 1s i s h i k a w a , f i x e dp o i n t sb yan e w i t e r a t i o nm e l h o d 【j 】，p r o c a m c r m a t h s o c ， 4 4 0 9 7 4 ) ，1 4 1 5 0 【6 】s s c h a n g ，y j c h 0 3 k k i m , t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ec o n v e r g e n c eo f m o d i f i e dp i c a r d , m o d i f i e dm a n n , a n dm o d i f i e di s h i k a w ai t e r a t i o n s 川，m a t h e - m a t i c a l a n d c o m p u t e r m o d e l l i n g ，3 7 ( 2 0 0 3 ) , 9 8 7 9 9 1 川q _ h l i u , i t e r a t i v es c q i l e 妫f o ra s y m p t o t i c a l l yq u a s i - n o n e x p a n s i v em a p p i n g s w i t he r r o rm e m b e r , j m a t h a n a l a p p l ，2 5 9 ( 2 0 0 1 ) ，1 8 - 2 4 【8 】王缨，渐近拟非扩张映象的带误差的迭代序列川，西南师范大学学报 ( 自然科学版) ，2 8 ( 1 ) ( 2 0 0 3 ) ，5 2 - 5 4 f 9 】r w i t t m a n n , a p p r o x i m a t i o n o ff i x e d p o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s , a r c h m a t h ，5