（应用数学专业论文）几类时滞脉冲神经网络系统的稳定性分析.pdf

摘要 本篇硕士论文主要应用常微分方程稳定性理论中的l y a p u n o v 函 数法、m 矩阵理论、脉冲微分不等式和其它一些不等式技巧，来探讨 儿类脉冲时滞神经网络的动力学性质，包括平衡点的存在唯一性、稳 定性等。全文由如下四部分组成： 第一章对时滞脉冲神经网络的背景和研究意义作了一些介绍，简 要概括了近年来这方面研究出现的新趋势，并例举了一些有代表性的 工作，同时简介了本文的主要工作。 第二章讨论了神经网络系统平衡点存在唯一的充分条件，并利用 l y a p u n o v 函数法证明了当系统分别不带时滞和带有时滞时脉冲神经 网络模型平衡解的全局指数稳定性。 第三章分别通过建立时滞脉冲微分不等式、利用l y a p n o v 函数及 运用m 矩阵理论和不等式技巧给出了一类时滞脉冲神经网络全局指 数稳定的两个充分条件。 第四章通过建立脉冲微分不等式证明了一个具有脉冲影响和变 系数的时滞神经网络系统的指数稳定性，并给出了相应的例子。 关键词神经网络，时滞，脉冲，脉冲微分不等式，m 矩阵理论，平 衡点，稳定性 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd e a l sw i t hi m p u l s i v en e u r a ln e t w o r k sw i t h d e l a y sb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，m m a t r i xt h e o r y , i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s a n ds k i l l so fa n a l y s i s t h ed y n a m i c sc o n t a i n e x i s t e n c ea n du n i q u eo ft h ee q u i l i b r i u m ，s t a b i l i t yo ft h e s es y s t e m s n e p a p e r i sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m st ob es t u d i e d a n dt h es i g n i f i c a n c eo ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d w es u m m a r i z e s o m ee x c e l l e n tw o r k si nn e u r a ln e t w o r k s t h e n ，w ei n t r o d u c es o m e e x c e l l e n tw o r k sw h i c he m e r g ei nr e c e n ty e a r s i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fa u n i q u ee q u i l i b r i u mf o rt h es y s t e m t h e n ，b yu s i n gl y p u n o vm e t h o d ，w e o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h e i m p u l s i v e n e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y sa n dw i t h o u td e l a y s i nc h a p t e r3 ，b ye s t a b l i s h i n gi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya n d u s i n gm m a t r i xt h e o r y , l y p u n o vm e t h o d ，w ea n a l y z et h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e mw i t hd e l a y s ，a n dg i v et h et w o d i f f e r e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ri t i nc h a p t e r4 ，b ye s t a b l i s h i n gi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ，a s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt h ei m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e mw i t h d e l a y sa n dv a r i e dc o e f f i c i e n t a tl a s t ，a ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e t i c a lr e s u l t k e yw o r d sn e u r a ln e t w o r k s ，d e l a y , i m p u l s e ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t y , e q u i l i b r i u m ，s t a b i l i t y 中南大学 学位论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：渔溘注日期：皇趟年旦月笪日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：生垃导师签喇日期：衅卫月日 中南大学硕士学位论文 绪论 第一章绪论 1 1 问题的产生与意义 神经网络包括生物神经网络和人工神经网络，而人工神经网络是模仿生物脑 结构和功能的一种非线性的信息处理系统。神经网络由许多称为细胞的单元组 成，是局部互连的，具有网结构的模拟电路，且每个细胞与它的近邻细胞有连接。 一个细胞的基本电路单元，通常包括线性电容、线性电阻、线性或非线性压控电 源等这样一些线性与非线性电路元件。 人工神经网络的研究最早始于上世纪4 0 年代，随着研究的广泛深入，引起了 越来越多入的关注，早在1 9 4 3 年，心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 在数学生物 理学会刊 b u l l e t i no f m a t h e m a t i c a lb i o p h y s i c s ) ) 上发表文章，总结了生物神经元的 一些基本生理特性，提出了形式神经元的数学描述与结构方法，即m p 模型，从而 兴起了对神经网络的研究。1 9 4 9 年心理学家d o h e b b 提出神经元之间突触联系 强度可变的假设，根据这一假设，奠定了神经网络的学习算法基础。在此期间还有 k s l a z h l e y 对记忆定位的研究，以及1 9 6 0 年e r c a i a n i e l l o 提出的神经记忆模型 等等。上世纪5 0 年代末r o s e n b l m t 提出感知机，第一次把神经网络的研究付诸工 程实践。上世纪6 0 年代，美国著名人工智能学者m i n s k y 和p a p e r 对r o s e n b l a t t 的 工作进行了深入研究，提出隐含神经元，以及增加神经网络的层次的理论，从而可 提高神经网络的处理能力。上世纪7 0 年代后期，在人的智能行为机器再现上，从现 实世界的实例与现象中获取并总结出知识等问题上，传统计算机的表现差强人意， 也就是说计算机不具备学习能力，从而使人们认识到需要探索新的人类智能实现 途径。因此，与人脑的生理组织更为接近的神经网络模型就自然成为理想的应用 模型。同时数据交流机和并行计算机体系结构的研究，v l s i 技术，光电技术，脑科 学，神经科学的研究成果的发展也为神经网络的实现提供了很大发展，使得神经网 络在许多实际应用领域取得了成功。所有这些原因引起了人们对人工神经网络的 巨大兴趣。 神经网络的研究热潮源自于1 9 8 2 年美国生物物理学家j j h o p f i e l d 提出的 h o p f i e l d 神经网络，他利用非线性动力学系统理论中的能量函数方法研究反馈人 工神经网络的稳定性，并利用此方法建立求解优化计算问题的系统方程式。基本 的h o p f i e l d 神经网络是一个由非线性元件构成的全互连型单层反馈系统。网络中 的每一个神经元都将自己的输出通过连接权传送给所有其它神经元，同时又都接 收所有其它神经元传递过来的信息。即：网络中的神经元t 时刻的输出状态实际 上间接地与自己的以前某时刻的输出状态有关，即存在滞后现象。所以 中南大学硕士学位论文 绪论 h o p f i e l d 神经网络是一个反馈型的网络。其状态变化可以用非线性泛函微分系统 来表征。反馈型网络的一个重要特点就是它具有稳定状态。当网络达到稳定状态 的时候，也就是它的能量函数达到最小的时候。这里的能量函数不是物理意义上 的能量函数，而是在表达形式上与物理意义上的能量概念一致，表征网络状态的 变化趋势，并可以依据h o p f i e l d 工作运行规则不断进行状态变化，最终能够达到 的某个极小值的目标函数。网络收敛就是指能量函数达到极小值。如果把一个最 优化问题的目标函数转换成网络的能量函数，把问题的变量对应于网络的状态， 那么h o p f i e l d 神经网络就能够用于解决优化组合问题。 由于神经网络具有分布存储、并行处理和自学习的优点，所以在信息处理、 模式识别、智能控制等众多领域有广泛应用，且不断找到新用途。神经网络由于 其局部的连接性质，所以利于超大规模电路的实现，但电路设计以及超大规模电 路实现的正确性需要神经网络的稳定性来保证，所以保证神经网络及其学习过程 的稳定性是神经网络应用中的一个非常重要的问题。神经网络的稳定性与权值有 关，通过调整权值，可以使神经网络收敛于平衡点，从而实现信息的存储和记忆。 在控制应用中，对象模型的识别和神经网络的自适应控制都是通过权值的调整学 习实现的。正因为如此，关于神经网络的稳定性研究已经形成了一个当今发展的 热点。 另一方面，动力系统总是存在滞后现象的【1 6 】。如前所述，h o p f i e l d 神经网 络也不例外。在其它生物和人工神经网络中，时滞现象起因于信息存储和传输中。 如在模拟神经网络电子实现中，由于运放器的开关速度有限，所以时滞会出现于 神经元的通信与响应中。时滞可能会影响整个网络的稳定性而产生震荡性和不稳 定现象。在这种情况下，要精确地描述事物，就必须研究带时滞的神经网络系统 的稳定性。 如今被广泛研究的微分动力系统通常被分为两类l 离散动力系统和连续动力 系统。然而，自然界中往往还呈现出介于前面两类动力行为之间的动力系统。例 如：调频信号传输系统、经济学中的优化控制系统、飞体的运动以及许多进化过 程，特别是一些生物系统，比如：生物神经网络、病理学中的脉动模型等。所有 这些模型都具有这样一种特性，那就是在某些时刻经历突然的状态变化，即脉冲 现象。此外在电子学，自动控制系统以及信息科学中也会发现脉冲现象。许多突 然或剧烈变化以脉冲的形式在瞬间产生，这种变化不能靠纯连续或纯离散的模型 来描述。脉冲效果犹如时滞一样可能影响微分动力系统的稳定性态。因此对脉冲 系统的研究也吸引了广大学者的广泛关注。 在本文中，我们将针对几类具有脉冲干扰的时滞神经网络模型的稳定性问题 进行较为深入地分析与研究。 2 中南大学硕士学位论文 绪论 1 2 神经网络动力学中的几种数学模型 1 2 1h o p f i e l d 模型 1 9 8 2 年美国物理学家h o p f i e l d 提出了一种离散随机神经网络模型，并利用所 建立的神经网络来求解旅行推销员问题，标志着神经网络研究的复苏。这引起了 科学界、工程界以及政府和大公司的极大兴趣。 原始的h o p f i e l d 神经网络模型是一个带有复杂算法的二值神经网络：每个神 经元有两个状态值，分别用v g ，v ( 有时也经常用0 ，l 代替) 来表示，每个神经 元的输入有两个来源，外界输入，；和来自其他神经元的输入，第i 个神经元的总 输入可表示如下： 第f 个输入h ；= 7 ；匕+ ， f 引 其中瓦从生物意义上讲表示第_ 个神经元到第 个神经元的连接权值，在状态空 间中个神经元的状态运动表示这些神经元的计算。因此必须用一个模型来表 示这些状态是如何随着时间而演化的，原始模型正是表示这种演化进程的。每个笔 神经元在任意时间输入，它们的输出与初始输入阢相关： 当e 弓i + 阢时，vj v l i * j 下图是一个连续确定性h o p f i e l d 模型的一般结构( 图1 1 ) ，是h o 面e d 于 图1 1 h o p f i e l d 网络模拟电路 1 9 8 4 年提出来的，见文【7 】。h o p f i e l d 证明了他所提出的这两种模型的许多重要 性质是紧密相关的，一般来讲，在计算机仿真时，采取离散随机模型可能更加方 便，而用硬件实现时，则又采用连续确定性模型更为方便。 在图1 1 的网络中，每一个放大器就是一个神经元，其输出用一个非线性动 态方程描述，若第f 个放大器的输入为，那么非线性动态方程如下： 3 中南大学硕士学位论文绪论 c 掣= 喜 小，棚， 放大器即神经元的输出屹满足： m = f f ( u i ) ，i = 1 ，2 ，n ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中，c f 是放大器的输入电容，毛是第，个放大器输出到第f 个放大器输入的联 结权，z ( ) 是第f 个放大器输出特性，即神经元特性，它的形状为s 形曲线。通 常， z ( ) 采用s i g m o d i a l 函数。注意， 时间是可以忽略的。n 为神经元的个数， 这里我们假设了每个神经元的输出响应 t 为放大器的外部输入。在h o p f i e l d 网 络中，假定了联结权弓是对称的，即巧= 毛，此外，还要求7 ；的值可正可负， 为达到这个要求，在网络中可以采用放大器的正向和反向输出。毛的符号就可以 任意选择。那么弓大小怎样实现昵? h o p f i e l d 和t a n k 采用电导，即i 弓 1 嘞， 其中毛是第_ 个放大器输出和第i 个放大器输入之间的电阻值。在( 1 1 ) 式中，乞的 值由下式给出： 2 去+ 喜击一棚， 3 ) 其中肛是放大器的输入阻抗。一般可把i 和c j 取为常数，如c j = 1 。通过一些变 量代换和重新参数化，该神经元的模型有如下形式： j ( f ) = 一工o ) + 厂( 工( f ) ) ( 1 4 ) 考虑到生物神经元在进行信号传输过程中存在诸如细胞时滞，传输时滞及突 触时滞等原因，m a r c u s 和w e s t e r v e l t 在文【8 】及w u 在文【9 】中对连续的h o p f i e l d 模型引入了时滞，其具体的模型为： 掣一肿) 嚆硼咏) ) + ，f = 1 2 m ( 1 - 5 ) 其中，表示第f 个神经元的活动状态；常数从 0 表示衰减率，即当与网络及 外部输入断开且无自反馈时，它将以指数速度从衰减到松弛状态；常数0 表 示第，个神经元发出信号到第f 个神经元接受到信号的时间；实数瓦表示第歹个神 经元与第f 个神经元的联结权值，如果瓦 0 ，则表示联结是激励的，如果瓦 ， 是偏差电流( 或阈值) ，c 和疋分别是线性电容和电阻，岛。脚和嘞，材分别是反馈算 子和控制算子，称如盯为自反馈算子，为输出函数，由分段线性函数 1 f ( g ) = 妄( 1 0 + l i - i o - 1 1 ) 给出。 z 在生物神经网络中，存在几类时滞，如细胞时滞、传递时滞及突触时滞等( 见 【1 1 ，1 2 1 ) 。在人工神经网络中，也存在信号传递时滞，此外，电路中的开关也产 生时滞，动态像的处理也需要引入时滞，因此，r o s k a 和c h u a 在细胞神经网络 中引入线性时滞模块和非线性模块，得到了非线性时滞细胞神经网络( d c n n ) ， 中南大学硕士学位论文 绪论 其电路图和状态方程可以参看文献【1 3 】。由于网络电路中放大器的有限开关速度 和电路误差，在电子神经网络中的时滞通常是时变的，细胞中的时滞是连续的( 见 文 1 4 ，1 5 】) 。因此，文献中广泛研究的d c n n 的状态方程可推广到如下形式： 毫( f ) = 一，；毛( f ) + 口 y ) + 口 y 一乃( f ) ) + l l i ，t _ t o ，i = 1 ，2 ，l ， ( 1 7 ) 产i，= l 其中，； o ，巧，u i r 为常数；r j ( t ) 为连续函数，r o 0 表示与网络及外部输入断开且无自反馈时的衰减率，厶表示第i 个神经元 在时刻处的脉冲函数，t o t o ，都有： i 葺( f ) 一ii p 吨。咱i x , c t o ) - x ；i ， 那么称系统( 2 1 ) 是全局指数稳定的。 定义2 2 设x c t ) = o h ( t ) ，( f ) ) 是系统( 2 2 ) 的解，若存在常数m 0 和口 0 使 得对所有的t t o ，都有： ix , ( t ) - x , i 厶i l ，i = 1 2 疗 1 = 1 那么系统( 2 3 ) 有唯一解。 2 3 主要结论 ( 2 5 ) 定理2 1 假设系统( 2 1 ) 满足引理2 1 中的条件( i ) ，( i i ) 。取脉冲函数 l i k ( u ) = 一p 醯( “一# ) ，其中，= ( i ，) 为( 2 3 ) 的唯一解，若o t o ，f 气，k = 1 ，2 ， 又 x , ( t l ) - x l + = 五( ) + 气( 工( 气) ) 一# = ( 1 一如) ( 玉( 气) 一) ， 所以 ix , ( t l ) - x , + h1 一如i i 再( 气) 一il q 玉( 气) 一# l ，i = 1 ，2 ，忍，k = l ，2 ，( 2 8 ) 考虑函数 y ( f ) = y ( 五( f ) ，矗o ) ) = l 墨o ) 一# i ，t t o 由( 2 7 ) 式，当f 气时，有 ”1 d + y ( f ) = 矿i 而( ，) 一# i i = 1 ( 一口ji x , ( t ) - x , l + i i i _ ( f ) 一i ) 一耳 = 一( a , - z 泛, lb j , blx , ( t ) 一# l ， i = 1 j = l 1 2 中南大学硕士学位论文 第二章 又由( 2 5 ) 式，存在常数 o 使得： q 一厶i i ，i = i ，2 ，靠， j - - l 取拈r a l 蛐i n q ) ，则v 江1 2 ，疗，有 所以有： 又 q 一厶i i 识i = 1 2 ，忍， = l d + y ( f ) 一a v ( t ) ，t t o ，t t k ( 2 9 ) y ( 砖) = i ( 譬) 一ii t o ， 即 y ( ，) p 一口咱v ( 乇) ，t t o 所以 矗 i 玉( f ) 一ii t o i = l i = l 即( 2 1 ) 的平衡点是全局指数稳定的，证毕。 定理2 2 若系统( 2 2 ) 满足定理2 1 中的所有条件，那么系统( 2 2 ) 的解是全 局指数稳定的。 证明：类似定理2 1 的讨论，同样可得到系统( 2 2 ) 存在唯一的均衡点 ， 、 工= 【j c l ，x 2 ，) 考虑函数： f i ( e i ) = a i q 一厶i e ， j = l 其中乞0 汪1 ，2 ，力。显然对f - 1 ，2 ，力，e ( 岛) 在【o 佃) 上是连续的，且当 岛一佃时，最( 乞) 一一，又：， f i ( 0 ) = a i 一厶i p o ， j = l 1 3 中南大学硕士学位论文第二章 所以存在彳 o ，使得e ( 彳) = o 且对所有岛( o ，彳) ，e ( 乞) o ；那么可选取 = m i n e i l ，五，i l ，可得到： e ( ) = 口j 一一厶i le 唧o ，i = i ，2 ，刀 j = 1 又在系统( 2 2 ) 中，有： d + l 玉( f ) 一# 喀一qi x , ( t ) - x ；i + i i 岛i 一( f 一) 一l ， ( 2 1 0 ) 其中i = l ，2 ，l ，t o r t 气 令 y i ( f ) - - e 8 卜b i 玉o ) 一# l ，i = l ，2 ，n ，t e t o z ，) ( 2 1 1 ) 由( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式可得： d + 咒( f ) = e e ( t - t o ) d + i x i ( t ) - x ；i + e e o 嘞i 玉o ) 一# i 又 e t ( t - t o ) 一a ii 而( f ) 一ii + i i li x j ( t - z o ) - x ：1 + e e “卜岛i x , c t ) - x 7i j = l = 一( 口j 一) 咒( f ) + i i l , e 吩y j ( t - t u ) ，r o t * t k ，k = l ，2 ，( 2 1 2 ) j = l y j ( ) = 1 1 - p l kim ( 气) t o ，t & ，七= 1 ，2 ，一 所以函数y ( f ) 在【& - i 气) 上是减函数，又由( 2 1 3 ) 式易知 y ( f ：) t o ，y ( f ) y ( f o ) ，所以对v t t o 有： 窆咒( f ) 窆( y ( 岛) + 窆i 呜p 啊了乃( s 灿) i = l i = l i = 1 t o - r e ：窆( 咒( 岛) + 厶窆i k 嘞了咒( s ) 出) ( 2 1 6 ) f 5 i i = i t o - r j 由( 2 i i ) 和( 2 1 6 ) 式得： l x , ( t ) - gi 厶i b m , i = 0 9 ，l = a ： 厶i i = o 9 ， ( i i i ) 脉冲函数( 而( 于) ) 满足： k ( ( f i ) ) - - - - - 0 5 ( 而( 气) 一o ) ，0 0 5 a o g j ( u j ) + z b o f j ( 卜训+ t ，f _ 1 ，n ，( 3 1 ) 给出了该模型解存在唯一和解指数稳定的充分条件。 本章在该模型的基础上加上适当的脉冲，得到如下系统： j 掣= 吨+ 莩a o g i ( u j ( t ) ) + 莩蛳姒鹇吼慨( 3 2 ) i 吩( f ：) = 气( 蚝( f j ) ) ， k = l ，2 ，i = 1 ，2 ，n ， 其中“= ( ，“。) r 是神经元的状态向量，是传输时滞且满足o 彳， a = ( ) 脚和b = ( ) 嗍是表示神经元的度量系数的内联矩阵， 厂 ( f ) ) = ( z ( 嵋( f ) ) ，工( ( f ) ) ) r ，g ( “( f ) ) = ( g 。( 嵋( f ) ) ，g 。( “。( f ) ) ) r 为神经元的激 活函数，固定时刻气满足 乞 ，1 1 婴气= ，k = l ，2 ，厶= ( i ，k ) 表示时 刻气的状态变化。初始条件为 u , ( t o + j ) 2 仍( s ) ， 一f j o ，i = 1 ，2 ， 我们的目的是给出模型( 3 2 ) 的平衡解指数稳定的充分条件。 3 2 预备知识及引理 为叙述方便，先介绍以下符号： c x ，l ，】表示从拓扑空间x 到拓扑空间y 的连续映射空间。 p c i i ，r “】7 - 矿：，jr 4i 对所有的t e ，烈广) = 烈f ) ，认t 一) 存在：且当t t k 时， 认f - ) = 纵f ) ；其中icr 是一闭区间 ，特别的记p c = p c ( 卜f ，o 】，r “) ； 对工= ( 五，屯，毛) r 4 ， 记 s g n ( x ) = d i a g s g n ( x 1 ) ，s g n ( x 。) ，其中s g n ( ) 表示符号函数。 1 7 中童盔兰堡主堂垡笙壅一一笙兰- _ _ - _ - _ - _ i _ _ - _ _ - l _ - _ _ _ - - _ - - _ l - - - _ - _ - l _ _ _ - _ _ - - - - 一 对工r “，a e 尺胸，定义以f 符号 【工r = ( i 五l ，i i ) r ， 【a r = ( 1 1 ) 棚， i i x l l = m s ，a ，x 。i 工, i ； 对烈f ) c r ，r “】或认f ) p c i i ，r 4 】，记 【钗f ) 】f = ( 【仍( f ) 】f ，【识( f ) ，】) r ， 【钗f ) 】f + = ( 【仍( f ) 】+ ，【识( f ) 】：) r ， 其中【识( f ) 】f = s u p 识( f + s ) ，【鲵o ) 】+ = s u p l 仍( f + j ) i ； 一f s j 5 u f 3 l ，u 对缈c 或缈p c ，定义 0 吁，0 ，= m 。；a x 。 一m ，：a ，x 。 仍( s ) 1 ) 对于系统( 3 2 ) ，我们假设气，嘞，岛，4 都是常数，o f ， 兀( f ) ，g 膨) c 【尺，尺】，j = l ，2 ，肛，初始条件认s ) = ( 仍( s ) ，织( s ) ) r p c ，脉冲 函数l k ( 工) = ( t ( 五) ，k ( ) ) r c 【科，r “】， 固定脉冲时刻气满足 o ，兄 o ，使得 f l u ( t ) 一“f 匿膨1 1 0 一“i i f 已一如咱， 那么系统( 3 2 ) 的解称为全局指数稳定的。 定义3 2 对于矩阵d = ( 吒) 胂，其中以 0 ，r d o o ，i _ ，如果存在一个正向量z 使得d z 0 ，那么称矩阵d 为m 矩阵。 对于一个材一矩阵d ，定义 ( d ) = z r “i d z 0 z 0 ， 引理3 1 嗍假设对于系统 jd + “( f ) r ( “( f ) ) p “( f ) + q m ( f ) 】f ) ，r 【仃，易) ， ( 3 3 ) b 妙+ 墨) p c 墨 - r ，o 】， 其中彳 0 ，a o ，向量z = ( z l ，z 2 ，z 。) o 满足 【五e + 印+ s a e 加】z 0 向量z = ( z l ，z 2 ，乙) o 满足 【兄e + p + q e 知】z ， 一f s 0 ，i = 1 ，2 ， f i c i ( s ) = ( 缟( s ) ，唬( s ) ) r p c 。 由条件( a 1 ) 易知系统( 3 5 ) 满足条件： ( h i ) 对于工，h r ，存在正的对角矩阵g = g l ，q l 和f = 互，c ) 使得 i 季，( 工) i g ：ij i ， if j ( x ) i 巧lx i ，i = 1 ，忍 定理3 1 在系统( 3 5 ) 中，除条件( h 1 ) 外，还假设满足以下条件： ( h 2 ) 矩阵历= 一( 乒+ 孬) 是m 一矩阵，其中： 乒= 一d + a ， q 一= b 一， d = d i a g d ，d 。l o ，互= ( i g j1 ) 棚。百= ( 1 弓i ) 嗍； ( h 3 ) 对x f ，存在非负对角矩阵r 使得 【厶( 工) 】+ r k x l + ， 其中丘( x ) = ( t ( 五) ，。( ) ) ，k = l ，2 ，； ( i - h ) 存在一个常数仃使得 旦l 仃 a ，七= 1 2 ( 3 6 ) 中南大学硕士学位论文 第三章 其中对给定的z = ( z l ，z ) r r “c b ) ，兄满足： 【兄e + 歹+ 西加】z o ，即【乒+ 翻z 0 ，所以有 【工( f ) 】+ z l l 夕l l ，e - , t ( z 嘲，t o - r t , t o ( 3 9 ) 综上所述，系统( 3 8 ) 满足引理3 2 的条件，所以有 【x ( f ) 】+ zl i 矿i i fe - , 2 ( t - t o ，t o f ( 3 1 0 ) 不妨假设对k = l ，2 ，m ，以下不等式均成立： 【工( f ) r 吒一l zl l 矽l l , p 一2 卜幻， 气一i f 厶， ( 3 1 1 ) 其中= 1 由条件( h 3 ) 和( i - h ) 有 【z ( 艺) r 【己( 工( ) ) r 2 1 中南大学硕士学位论文第三章 如【工( ) r 如吒一l z 物i i f e - ( t = 咱 吒一l 吒z 怖i l fe - a f _ 吲 综上有 【工( f ) 】+ - a o 吒一l o zl l 矽l l ，e - 五( t 咱 = a o 吒i i l l fe - a ( t - t , ) z e 一互w ，t ei t 一l 乙】 而吒一l e 一2 f l 嘞z e ( 五) ，由引理3 2 得 【工( f ) 】+ - o o 吒一l a ：l l l l ，p 一2 吲，0 f 0 1 从而由数学归纳法得出，对k = 1 ，2 都有 【x ( f ) 】+ - o o 吼一i z l l 矽l l ，e 一名。咱，气一l f 0 1 定理3 3 如果系统( 3 2 ) 除满足条件( a i ) 外，还满足以下条件： ( l 1 ) 对于任意( 1 l l ，u n ) ，( h ，) r ”，存在非负矩阵丑= ( p ) 嗍使得： il a ( u ，) 一厶( 吩) 阵p u ；一ul ； ( 3 1 6 ) i = 1 ( k ) w = d i a ig lbif 是一个非奇异膨矩阵，其中： d = d i a g d i ，以) ，i a ( 1 a 口1 ) 腑，l 曰 ( i 1 ) 脚； ( l 3 ) 集合= n r ( 只) n ( w ) 是非空的； ( l 4 ) 存在一个常数r o 使得： 坠刁 m a x 1 ，p ( 最) ) ，且口满足对于给定的向量孝= ( 磊，六) ，有： 磊 一喀) + 岛i 口 fi q + 已盯缶l i 乃 o ( 3 1 8 ) 那么系统( 3 2 ) 的解是全局渐近指数稳定的。 证明：容易验证条件( l 4 ) 中的( 3 1 8 ) 式蕴含了条件( a 2 ) ，即系统( 3 2 ) 有唯一的平衡解。下面证明该解是指数稳定的。 依然把系统转化为系统( 3 5 ) ，则系统( 3 5 ) 有唯一的零解，我们讨论该零 解的指数稳定性。 因为w 是非奇异m 一矩阵，且非空，所以存在向量孝= ( 轰，色9e ，磊) r a ( w ) 使得： 一最吃+ 乞( kig ，+ l b # if p 0 ，i = 1 ，2 ，以 ( 3 1 9 ) j = l 考虑函数 日，( 谚) = 一专( 4 6 | ) + 缶( i i q + 已即i l 弓) ， i = l ，2 ，n ，( 3 2 0 ) 中南大学硕士学位论文第三章 由( 3 2 0 ) 式知函数日。( 包) 连续，r h 。( o ) o 使得 h ，( q ) = 一磊( 吐一) + 乞( i 口 fi g j + p 嘶7i i c ) = o ，i = 1 ，2 ，n j = t 选取o 口 m i n a q ，) ，则有 h f ( 口) = 一直( 4 一口) + 孝j ( 1a oig j + p 盯l if ) 0 ，i = 1 ，2 ，万 ( 3 2 1 ) j = l 令 y i ( t ) = p 邮嘞i 气( f ) i ，计算咒( f ) 的右上导数d + r a t ) ，燕j t k l f 气，有 矗n d + y i ( t ) = c t e 呻咱i x j ( t ) i + e a ( t - t o ) s g n ( 毛o ) ) 【饵玉( f ) + 嘞季j ( 勺( f ) ) + z ( t o 一巧) ) 】 j = ij = l 再n d 粤似嘞i 玉o ) i + p a ( t - t o ) 一d ii 而( f ) i + f 口 l qi x j ( t ) l + i l ci x j ( t - r o ) 1