（应用数学专业论文）几类常微分方程多点边值问题正解的存在性.pdf

摘要 本文主要研究了几类常微分方程多点边值问题正解的存在性和 多解性，由六章组成 第一章，综述常微分方程边值问题的历史背景和现状 第二章，本章研究一类具p l a p l a c i a n 算子积分边值问题 ( 砟( “( f ) ) ) + 口( f ) 厂( f ，“( f ) ，“( f ) ) = o ，t ( o ，1 ) ( 1 ) “o ) = “( 1 一f ) ， “( 1 ) = g ( f “( f ) d 矽( f ) ) ( 2 ) 的至少存在三个对称正解的存在性其中以( s ) = j ，古+ 寺= 1 ，p 1 ， q l ，筇1 = 吮；口( f ) c ( o ，l 】，【o ，佃) ) ，口( f ) = 口( 1 一f ) ，口( f ) 在【o ，l 】的任何 子区 间上不恒为零：厂c ( 【o ，1 x o ，佃) 尺，【o ，佃) ) 且厂( f ，“，) = 厂( 1 一t ，“，一v ) ， f ( o ，1 ) ；g c ( o ，佃) ， o ，佃) ) ；c “( f ) d 痧( f ) 是r i e m a n n s t i e l 矿e s 积分在一定 条件下，利用b a i - g e 不动点定理，推出边值问题( 1 ) 一( 2 ) 至少存在三个 不同的正解的结论 第三章，研究了带p l a p l a c i a n 算子微分方程多点边值问题 ( 砟( “( f ) ) ) + 口( f ) 厂( f ，“( f ) ，“( f ) ) = o t e ( o ，1 ) ( 3 ) “( o ) = “( 毒) + p , u 7 ( 磊) ，“( 1 ) = q “( 仇) 一孱“7 ( 仍) ( 4 ) 的对称正解的存在性其中九( s ) = s ，p l ，o 磊 彘 乞一： r l l 仍 巩一2 0 ，口( f ) c ( o l 】，【o + ) ) ，口o ) = a ( 1 - t ) ，口o ) 在( o ，1 ) 的任何子区间上不恒为零，o o ，o 孝 ，7 o ，o 磊 磊 乞一： 1 在一定条件下，利 用不动点指数定理得到边值问题( 9 ) 的正解存在性的结论 第六章，探讨无穷区间上二阶多点奇异边值问题 “。o ) + g ( f ) ( f ，“( f ) ，u ( f ) ) = 00 0 ) m - 一2 材( o ) = 2 二以甜o 玉) ， 甜( o o ) = 6 0( 11 ) t f f i l 正解的存在性其中o l ，q l ，万1 = 龙；a ( t ) = a o f ) ，i td o e s n th o l d t h a t 口( f ) c ( o , 1 1 ，【o ，佃) ) i sa l w a y s z e r oo na n ys u b i n t e r v a lo fi n t e r v a l 0 ，1 】，fi s c o n t i n u o u sf r o m 【0 ，1 x o ，+ o o ) xrt o 【o + ) ，m o r e o v e rw h e n f 【o ，l 】，f ( t ，“，力i se q u i v a l e n t t o f ( 1 - t ，“，- v ) g c ( 【o ，佃) ，【o ，栩) ) ， fu ( t ) d q b ( t ) i s ar i e m a n n - s n e t 8 e si n t e g r a l u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h e f i x e dp o i n tt h e o r e md u et ob a ia n dg ei sa p p l i e dt oi n d u c et h ec o n c l u s i o n t h a tt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 ) 一( 2 ) h a sa tl e a s tt h r e ed i f f e r e n t p o s i t i v es y m m e t r i c s o l u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，ak i n do fm u l t i p l ep o i n t sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w i t hp l a p l a c i a n o p e r a t o ri sd i s c u s s e d ( 以( “( f ) ) ) 7 + 口( f ) 厂( f ，( f ) ，“7 ( f ) ) = 0 t e ( o ，1 ) ( 3 ) “( o ) ：艺q “( 当) + 艺觥点) ， i = lf = i k - im - 2 “( 1 ) = 啦”( 仍) 一p , u ( 仍) 扛lf 一 ( 4 ) w h e r e 砟( s ) = h ，s ，p l ，o 毒 彘 厶一2 r h 砚 一2 o ，口( f ) ec ( 【o l 】， o ，佃) ) ，口o ) = a ( 1 - t ) ，a ( t ) i sn o ti d e n t i c a l l y z e r o i i i o na n ys u b i n t e r v a lo fi n t e r v a l 【o ，1 】，m o r e o v e ro o ，o 孝 ，7 o o 缶 磊 乞一2 1 u s i n g t h ef i x e dp o i n ti n d e x t h e o r e m w eo b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 9 ) h a s a t l e a s tap o s i t i v es o l u t i o nu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s i nc h a p t e rs i x ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o rt h e f o l l o w i n gs e c o n d o r d e rm u l t i p l ep o i n t ss i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s o nt h eh a l c l i n e ”。o ) + g o ) g ( f ，“( f ) ，“o ) ) = 0 ( 1 0 ) m - 2 “( o ) = 7 , u ( r ，) ， “ ) = 6 o f 置1 w h e r eo 篁乃 o ，f ；m o r e o v e rf ec ( o ，佃) o ，佃) r ， o ，佃) ) c o m b i n gt h e l o w 。 i v e ra n d u p p e rs o l u t i o n sm e t h o d sa n dl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m , w eg e ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v e s o l u t i o n k e y w o r d s p - l a p l a c i a no p e m t o r ，l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n ，m u l t i - p i ep o i n t sb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m , s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n s v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：高蝉日期：丛钮月车日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者躲邋导师绥缓世旦月翌日 硕士研究生毕业论文第一章绪论 1 1 边值问题的发展历史 第一章绪论 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分 方程学科的重要组成部分之一，并且在科学技术、生产实际中也提出了大量的常 微分方程边值问题特别由于现实世界中对微分方程边值问题模型的正解要求， 引起人们对这方面以及相关方面给予了深入、系统、较全面的研究 常微分方程与微积分是同时产生的，从一开始就是人类认识世界和改造世界 的有力工具随着生产实践和科学技术的发展，常微分方程逐渐演变发展为数学 学科中理论联系实际的重要分支常微分方程的一个核心而又基本的问题，是确 定一个常微分方程满足定解条件的解是否存在，即定解问题定解问题主要有初 值问题，边值问题和特征值问题 边值问题的研究最初是由十九世纪三十年代s t u r m 和l i o u v i l l e 对二阶线 性方程的边值问题的求解开始的，二十世纪h i l b e r t 等数学家为边值问题奠定了 理论基础现在线性常微分边值问题的理论已经比较成熟，国内外的研究重点都 转向了非线性常微分方程边值问题 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础 事实上，常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都得出新 的函数，可以将这些运算统一抽象为算子泛函分析正是在算子概念的基础上发 展起来的3 0 年代中期法国数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了 l e r a y s c h a u d e r 度理论【l 2 1 它们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时， 取得了巨大成功，尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用，形成了常微分 拓扑方法或泛函分析方法【3 4 j l ，其核心是各类不动点定理的建立和应用 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半 个世纪里发展十分迅速除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始研 究高阶微分方程的边值问题【6 7 1 并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方 向 首先是奇异边值问题，其次是无穷区间上的边值问题带p l a p l a c e 算子或 l a p l a c e l i k e ( 拉普拉斯型) 算子的微分方程边值问题是二阶微分方程边值问题 的推广，智利数学家较早地研究了此类边值问趔引，并很快引起数学界的重视，取 硕士研究生毕业论文第一章绪论 得了一系列研究成裂9 m 1 1 1 ，成为一个经久不衰的研究热点 经典的二阶常微分方程边值问题，无论是周期边值条件还是 s t u r m - l i o u v i l l e 边界条件，定解条件都是在给定区间的两端施加限制鉴于边界 条件的离散化，从2 0 世纪8 0 年代中期开始研究二阶常微分方程的多点边值 问题 1 2 , 1 3 ，这就是所给的两个定解条件涉及端点间其他点上的函数值，例如 “+ ( f ，“) = 0 ，( 1 1 1 ) “( 0 ) 一口“( 孝) = “( 1 ) = 00 1 2 ) 这就是一个二阶常微分方程的三点边值问题，以此类推就有四点边值问题，n 点边 值问题常微分方程多点边值问题也常称为常微分方程非局部边值问题【1 4 j 常微分方程多点边值问题不仅在理论研究中有非常重要的地位，而且在应用 数学与物理学领域中有着极为广泛的应用背景比如工程学上有n 部分不同密度 构成的金属支索丝一致截面的振动问题，弹性稳定性问题等经济学以及生物学 等领域中的许多实际问题都与相应的微分方程多点边值问题密切相关 关于二阶微分方程多点边值问题的研究，最早在1 9 8 7 年由w i n 和 m o i s e e v t l 5 - 1 6 开始研究的，受b i t s a d z e 和s a m a r s k i i 1 7 - 1 9 关于非局部的线性椭圆边 值问题的工作的启发，他们研究了二阶线性微分方程的多点边值问题因为在理 论和实际应用中，二阶非线性微分方程的多点边值问题更具有意义，故之后，有许 多数学家都围绕二阶非线性多点边值问题进行研究其中的大部分工作都是研究 的二阶多点边值问题解的存在性，对于非共振情形的多点边值问题，其研究方法 主要是使用不动点理论，例如利用l e r a y s c h a u d e r 连续性不动点定理，关于这 方面的研究可参见文献 2 0 一2 4 ：对于共振情形的多点边值问题，近几年许多作者 进行了讨论，形成了一个研究热点他们的研究基本上都是围绕着下列二阶微分 方程 “。( f ) = f ( t ，“( f ) ，u ( f ) ) + p ( f ) ，t ( o ，1 )( 1 1 3 ) 在几种多点边值条件下展开的 2 5 - 3 0 ，他们的方法都是依赖于 m a w h i n 3 1 3 2 的迭合度定理，例如，g u p t a 在1 9 9 5 年的文 2 8 中研究了共振多点 边值问题的可解性：文献 2 6 在对( 1 i 3 ) 中的厂非线性增长限制的条件下，对下 列两类三点边值问题 “( 0 ) = 0 ，u 0 ) = c r u ( r )( 1 1 4 ) “( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = a u ( e ) 0 1 5 ) 分别研究了非共振情形( b v p ( i 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 对应着口1 ；b v p ( i 1 3 ) ，( 1 1 5 ) 对应着 口形) 下解的存在性；2 0 0 2 年，文献 3 3 、 3 4 较系统地讨论了四类带共振的 ，i l m - 点边值问题的可解性 与此同时，常微分方程的脉冲效应也引起了人们的重视 3 5 ，3 6 ，3 7 ，这种脉冲效 应造成微分方程的瞬间改变，因此可以认为是微分方程和差分方程的相互结合， 2 硕 研究生毕业论文第章绪论 保加利亚数学家对此做出了大量的研究 3 8 ，3 9 在常微分方程边值问题中结合 脉冲效应，就得到常微分方程脉冲边值问题，例如 工+ 厂o ，x , x ) = 0 ，t 气，k = l ，m 0 1 6 ) , x ( t d = 以( z ( 气，x 7 ( 气) ) ) ( 1 1 7 ) 厶工7 ( 气) = 以( x ( 气，x 7 ( 气) ) ) ( 1 1 8 ) 双0 ) = 双1 ) = 0( 1 1 9 ) 其中0 乞 l ；肛o ，o 一 1 ；o 磊 岛 磊 i 1 ，磊+ 仍= l ，f = l ，2 ，n 作者运用了b a i g e 的不动点定理，得到了边值问题( 1 2 2 ) 一( 1 2 3 ) 至少 有三个对称解存在的充分条件 3 、在 5 7 中，考虑了如下四阶两点边值问题 p o ) 一( f ，f ) ) = o ，o ( 1 2 4 ) 【z ( o ) = 缸1 ) = x ( o ) = x ( 1 ) = 0 。 作者们通过利用不动点定理和度理论在满足一定条件下，得到正解的存在性、唯 一性和多解性的结论 在 5 8 中，研究了如下四阶p l a p l a c i a n 算子积分边值问题： 3 硕士研究生毕业论文第一章绪论 【砟( ，( f ) ) ) = w ( t ) f ( t ，x ( f ) ) ，o t l x ( o ) = 1 ) 2j ：g ( s ) x o ) a s ， ( 1 2 5 ) 砟( ，( o ) ) = 砟( ，( 1 ) ) = j l l ( s ) 如( ，( s ) ) 凼 作者主要通过利用一个特殊的锥和锥中不动点定理，得到对称正解的存在性和多 解性的充分条件 4 、在文 5 9 中，作者研究了高阶三点边值问题 髀z u 嚣黟u ( n 炬- 2 ) 器a u ( r t ) ：u ( o m 2 q 【“( o ) = o ，( 0 ) = 0 ，( o ) = o ， = 。 的正解存在性其中0 刁 1 ，0 l ，q l ，1 p + 1 q = l ，筇1 = 吃，且满足下列条 件： ( 4 ) 口( f ) c ( 0 ，l 】， 0 佃”，a ( t ) = a ( 1 - t ) ，f o ，1 1 ，口( f ) 在【0 ，1 】的任何子区间上不恒 为零 ( 4 ) 厂c ( 【0 ，1 x o , + o o ) x r ， 0 ，佃) ) r f ( t ，“，y ) = f ( 1 - t ，u ，- v ) ，t o ，1 】； 4 硕士研究生毕业论文 第一章绪论 ( 4 ) g c ( o 佃) ， 0 佃) ) ，r g ( v ) i t l v , m 满足椰( 1 ) o ； ( 4 ) o ，届o ，0 磊 戋 磊一2 r 仍 仇 l ，磊+ 仍= l ； ( 4 ) 0 1 ，g l ，z + z = 1 ，筇= 噍，且满足下列条 件： ( 4 ) 口( f ) c ( 0 ，1 】，【o ，佃) ) ，d ( f ) = 口( 1 一f ) ，t 【0 ，l 】，口( f ) 在【0 ，1 】的任何子区间上不恒 为零： ( 4 ) 厂c ( 【o ，1 x o , + o o ) x r ，【o ，+ ) ) r f ( t ， ，力= 厂( 1 一t ，“，一力，t o ，l 】； ( 4 ) g c ( 【o ，佃) ，【0 ，佃”，且g ( v ) ，删，m 满足，矽( 1 ) a 0 ，l 0 ，定义下面的凸集： p ( a ，；，) = x p ：口( x ) ，( x ) 三 ； p ( a ，r ；f l ，) = x p ：口( x ) ，( x ) ； p ( a ，r ；f l ，l ；v ，口) = x p ：a ( x ) 0 ，使 x c fv x p ，都有m m a x 缸( z ) ，( 力) ； ( 易) 对于v r o , l 0 ，都有尸 ，r ；f l ，三) 矽 定理2 2 1 1 5 4 】( b a i g e 不动点定理) 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的锥，存 在r 2 d b o ，厶厶 0 ，若口，p 是非负连续的凸泛函，y 是非负连续的凹 泛函，且满足对于v y p ( a ，吒；，厶) ，都有少) 口( y ) ；另外 t ：p ( a ，吒；，厶) p ( a ，乞；，厶) 是全连续算子，且以下条件成立： ( c i ) 钞p ( a ，a ；p ，厶；y ，6 ) i ( y ) b ) 矽，少( 砂) 6 ，对于y p c e c ，d ；p ，l 2 , 弘，6 ) ； ( c 2 ) 口( 砂) d ； 则丁有三个不动点咒，咒，y 3 p ( a r ，吒；，- 0 ；y l ，p ( a ，r , ；f l ，厶) ；y 2 p ，r 2 ；f l ，厶； ，6 ) l 沙( y ) 6 ) 和乃p 他，吒；，厶) ( 尸( 口，吒；，厶；杪，b ) u p ( a r ，r , ；f l ，厶) ) 引理2 2 1 设( 4 ) 一( 4 ) 成立， y ( t ) c l o ，1 】，y ( t ) 0 ，则边值问题 i ( 矽，( “( f ) ) + y ( f ) = 0 ：u o 却( 1 ) 吲批) ) 心3 i 甜( ，) =一f ) ，“( 1 ) = g ( 【“( f ) 却( f ) ) 。 有唯一解“( f ) 且 ”( f ) = g ( f “( s ) 彤( s ) ) + f 唬( y ( ，) d r ) d s ( 2 4 ) 证明：因为( 矽。( “( f ) ) ) = - y ( t ) 0 ， ( 2 5 ) 所以 ”。( f ) 0 ，( 即“( f ) 是凹函数) 又因为u ( t ) = u ( 1 - t ) ，u ( o ) = u o ) = g ( “( f ) d ( f ) ) 0 ， 所以 “( f ) = 一“7 0 一f ) ，进一步，“( f ) 在f = 达到最大值( “7 ( 兄) = 0 ) ；且 材( f ) 0 ，t 【0 ，1 1 硕士研究生毕业论文 第二章一类p - l a p l a c e 算子积分边值问题对称正解的存在性 对方程( 2 5 ) 两边同时进行积分，司以得到 以以( f ) ) 一力 ( 必) ) = 一j ：y o ) a s ， ”( f ) = 一唬( j k y ( s 灿) ， “( f ) = “( 1 ) + f 唬( 丘j ，( ，) 办) 凼， 材( f ) = g ( f “( s ) j ( s ) ) + f 噍( j ，( ，) 办) 出 ( 2 6 ) 通过引理2 2 1 ，我们可知：边值问题( 2 2 ) 的解“( f ) 等价于“( f ) 是积分方程 甜( f ) ：g ( c “( j ) d ( s ) ) + f 允( e ，口( ，- ) ( ，”( ，) ，“( r ) ) d r ) d s ) ) d r ) a s 的不动点 甜( f ) = g ( 上“( j ) d ( s ) ) + j 吃( j 必口( ，- ) ( ，”( ，) ，“ 的不动点 引理2 2 2 设( 4 ) 一( 4 ) 成立，则边值问题( 2 2 ) 的唯一解满足u ( t ) 0 ，“( f ) 是单调不增的，”( f ) 0 ，t 0 ，l 】，且u ( f ) o , t e o ，朐，甜( f ) o ，t ，1 】 定义b a n a c h 空间e = ( c 1 0 l 训忱其中l i u l l = 麟 学i “( f ) | ，m 。a 。x l u ( t ) = m a x ”( z ) ，“( o ) 在e 中定义锥p ： 尸= u elu ( t ) o ，u 是凹函数k u ( t ) = u ( 1 一f ) ，t 【0 ，l 】) ( 2 7 ) 引理2 2 3 设( 4 ) 一( 4 ) 成立，定义算子z ：p 专p ( 弛) ( f ) = g ( j c “( s ) d 矽( s ) ) + i 唬( 口( ，) ，( 删( 厂) ，“( ，) ) d r ) a s ( 2 8 ) 且t ：p p 是全连续算子 证明：显然r 是p 专p 的一个算子 因为g ，a ，f 是连续的， 所以r 是连续的 取膨为尸中的任意有界集，h i t = l r o s j 对于v “膨，有， 令m 焉豁 厂( f ，“，“) i l u l l 白 g ( e “o ) d 矽( s ) ) 研矿( 1 ) - l l u l l - - r ， f 吃( 曩口( r ) 厂( ，“( ，) ，“( 厂) ) 办) 凼f 龙( 曩口( ，- ) 厂( ，“( ，) ，“( ，) ) d r ) a s 佃， 则( 死) ( f ) = g ( f “( s ) d o ) ) + f 呜( 丘口( ，) 厂( ，“( ，) ，“( ，) ) d r ) a s o ，当i 一乞i 6 0 , , 2 厶 o 使得 砟( 乡知) t i l i n 砟( ? ) ，c ( l 2 n ) ，且满足下列条件： ( i ) 厂( f ，“，v ) 0 ，使得却( 1 ) + a 1 ： ( i i ) ( f ，“，v ) - v ( k b n ) ，对于( f ，”，d ，卜丘】 6 ，肠】【一厶，厶】 则边值问题( 2 2 ) 至少存在三个正解“。，”：，1 1 3 ，同时满足 熘“- ( f ) r - ；m 。蚓a x 。l “圳 i n ；b 6 ) 妒 “p ( o t ，勋；，厶；y ，b ) 时， 0 “【”胁；一厶u ( f ) 乞；6 “( f ) 肋，t 【，1 一必】 少( 死) = ，捌l l ( 死) l l z u l l = 必( 死) ( 必) = 组g ( f “( j ) 彩( s ) ) + j k 唬( j k 口( ，) 厂( ，“( ，) ，“7 ( ，) 炒) 凼】 丘丘噍( 曩口( ，) 竹刖，“( r ) ) d r ) a s 曼噍( 口( ，) a t ) a s 唬( 力( ) ) = 6 因此，得到 ( 死) 6 ， 当“( 口，肠；，厶；吵，6 ) 接下来，我们证明定理2 2 1 洲的条件( g ) 对于v ”( 口，i ；，厶) ，有o “o ) ，i ，- z , s “o ) 厶 则 口( 死) = m 。甜a 鲥x r u ， = ( 死) ( ) = g ( f “o ) d 矽o ) ) + 力( 口( ，) 厂( ，- ，“( ，) ，“( ，) 沙) 凼 6 从而，在条件( i ) 一( i i i ) 下，定理2 2 1 h 1 的所有条件都满足，则边值问题( 2 2 ) 至少 存在三个正解嵋，“：，“，同时满足： m 。9 a g x u , ( t ) r - ；m 。a ，x 1 u ；( t ) 厶；6 k m 空小i n 屹( ) 罢譬吃( f ) 吒；罢瞥k ( f ) l 厶；m 。g a 盟x 吃( ) 肠；艘鸭( 7 ) 6 ；学批) l 厶 推论2 3 1 假设( 4 ) 一( 以) 成立，o q 6 i 6 2 礁 ，o 1 ；以o ，o 鸬 l ；o 磊 磊 磊 0 ； 1 ( 4 ) q o ，层o ，0 螽 磊 厶2 巩 r 2 聃 1 ，磊+ 仉= 1 ； 二 k - ! ( 4 ) 0 q l ； i = l 注明：当层= o ，f = j | ，m - 2 ，则边值问题( 3 3 ) 一( 3 4 ) 可以化成边值问题 ( 3 1 ) 一( 3 2 ) 3 2 引理 定义3 2 1 5 1 1 设e 是b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸集，并且满足条件 ( i ) 工p ，见o 2 x p ( i i ) i ep ，一工p j x = o , o 表示e 中的零元素 则称p 是e 中的一个锥 硕士研究生毕业论文 第三章一类具p - l a p l a c i a n 算子型多点边值问题三个对称正解的存在性 定义3 2 2 5 1 1 函数口( 工) 称为p 上一个非负连续凹泛函，若口：p o ，栅) 连 续，并且满足 a ( t x + ( 1 - t ) y ) 船( x ) + ( 1 一t ) a ( j ，) ，v x , y p 定义3 2 3 5 1 1 函数口( x ) 称为p 上一个非负连续凸泛函，若口：p _ 【o ，佃) 连 续，并且满足 a ( t x + ( 1 - t ) y ) 衄( 石) + ( 1 一，) 口( j ，) ，v x , y p 定义3 2 4 t 5 1 1 若算子t ：p 专e 是连续的，而且又是紧的，则称r 是映p 入e 的全连续算子 设y ，秒是p 上的非负连续凸函数，口是p 上的非负连续凹函数，吵是p 上的 非负连续函数，设a , b ，c ，d r + ，定义下面的凸集p 与闭子集尺 p ( r ，d ) = 工p i 厂( x ) d ) ， p ( r ，a ；b ，d ) = x p i b 口( 功；7 ( x ) d ) ， r ( r ，0 ，a ；b ，c ，d ) = 工p l6 口( z ) ，秒( 功c ，r ( x ) d ) ， r ( r ，杪，口；d ) = x p la ( 功，r ( x ) d ) 定理3 2 1 【5 5 ( a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理) 设p 是实b a n a c h 空间e 中一个 锥，y ，9 是定义在锥p 上的非负连续凸泛函，口是定义在锥p 上的非负连续凹泛 函，杪是定义在锥p 上的非负连续泛函且满足( 五x ) 力沙( 功，对于0 b 对于石p ( r ，0 ，口，玩 c ，d ) ； ( 最) 当z p ( r ，口，b ，d ) 和护( 么( 功) = a 时，有口( 删 6 ； ( 墨) 当石r o ，a ，d ) 和y ( 工) = 口时，0 硭r ( r ，a ，d ) 和( 纠 口； 那么至少存在三个不动点五，屯，x 3 p ( r ，d ) 满足b 口( 五) ，a 吵( 屯) 和 口( 屯) 6 ，y ( 毛) 2 引理3 2 1 若( 4 ) 一( 4 ) 成立，则对x c 1 + 【0 ，l 】，边值问题 1 4 硕士研究生毕业论文 第三章一类具p - l a p l a c i a n 算子型多点边值问题三个对称正解的存在性 ( 以( “( f ) ) ) + 口( f ) 他颤f ) ，( f ) ) = o ( 3 5 ) k - im - 2k - !m - 2 “( o ) = “( 磊) + 屈“( 专) ，“( 1 ) = 嘭“( 绣) 一屈甜( 仍) ( 3 6 ) f = ii - - ki = i i = k 有唯一解u ( t ) = 恚c 沁c 竹融x v m 凼+ 跏脚 孚蒜主黧! ：篓蕊3 刀 衰洳聊m n 工p m 凼+ 跏即一 ( ，“力，( ，) ) 们+ f 吃( 曩口( ，) ( 厂，缸厂) ，z p ) ) d r ) d s ，彤f 1 证明：因为( 砟( 材7 ( f ) ) ) = 一a ( t ) f ( t ，缸力，工( f ) ) o ，所以“( f ) 是凹函数 又因为u ( t ) = u ( 1 - t ) j “( f ) = 叫7 ( 1 - t ) ，( 3 8 ) 所以 至少存在一个吒( o ，1 ) ，使得以( 吒) = o k - i 当 “( f ) = c ( c 是任意常数) ，t 【c ，a c o ，1 】，有c = q c c 矛盾 1 = i 故 “( ，) 在 o ，1 】的任意子区间不会恒为常数 所以 在【0 ，1 】上只存在唯一的吒( 0 1 ) ，使得屯( 吒) = o 因为 u ( t ) = u ( 1 - t ) “( 吒) = 一材( 1 一吒) ， ： 。 所以 吒= l 一吒，即吒= ，“( y z ) = 0 ( 3 1 0 ) 对方程( 3 5 ) 两边同时积分，得 砟 ( f ) ) 一力 ( ”= 一j ：口o ) o ，m ) ，石( j ”凼 “7 ( f ) = 一吃( j k 口( s ) 厂p ，x ( s ) ，x ( s ) ) 凼) “( f ) = 材( o ) 一f 噍( 口( ，) 厂( ( r ) ，( r ) ) 办迹 因为 “( o ) = “( 参) + 层”( 毒) 所以 们) 2 两1 善k - i ( r 吃( m m 坩) 炒一r 弘a - 2 ( 酗删，)