（应用数学专业论文）加权pharmonic方程解的整体分支结构.pdf

项士学位论文 m a s t e r l st h e s i s 中文摘要 本文研究了加权p 一 口r 聊n 耙算子 。u = 。( 1 。u r 2 。u ) 在n 枷e r 边值条件( 即u = “= o ，霉a n ) 下的整体分支现象上式中记 埘t = d t k ( v 埘u ) ， 乳u = ( 老 柏，是”轴，老o ( 。) ) 对于任意的附。( n ，”) n 2 一( o ) ，定义 上”( 1 ”训”2 u u ) u 如2 上i ”u l ”2 ” 如， 其中”( z ) = 挑( z ) ) 为向量值函数，嚼一( q ，”) 表示加权索伯列夫空间( 具 体定义将在第二节给出) 假设n 为舻中的有界区域，其边界勰是光滑的任取p ( 1 ，) ，考虑 如下非线性特征值问题 i 。( i ”u i 一2 札) = l u l 9 2 札， q ， ( 1 1 ) lt 工= = o ， z a n 本文证明了( i 1 ) 存在着一个最小的、正的特征值 - = a l ( p ) ，且 。( p ) 是单 重的、孤立的更进一步，我们证明了( 1 1 ) 相对应于特征值a 。( p ) 的特征函 数u - = u ( p ) 严格正且满足等 o ，z a q 我们还得到a 。( p ) 作为p 的函 数是连续的 紧接着我们又讨论了如下边值问题 f ( j u l p 一2 甜u ) = a j t p 一2 “+ 9 ( 卫t ，”k z n ， ( 1 2 ) 1t ：u - 0 ，锄 卫 其中函数g ( 扎 ，“) 表示( 1 2 ) 的高阶项，且满足适当的增长性条件我们利 用工e r n ”一s c o u d e r 度理论证明了( a l ( p ) ，o ) 是( 1 2 ) 的一个分支点，进而根 据【1 0 l 中的标准分支定理得到了关于( 1 2 ) 解的整体分支结果 关键词：整体分支；加权索伯列夫空间；l e r d 一s c 妇t l d e r 度 i i a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w ed i s c u 船t h eg l o b a lb i f l l r c a t i o n r 船u l t f o rt h ep 一 口r m d n t c p 。u = 。( 1 。u l 一2 。q i nt h e 骶i g h t e ds 0 b o l e v8 p 8 c e 埘t hn a v i e rb o u n d a r yc o n d i t i o n d e n o t o u = t 正= o o 狮 。u = d t ( v 。u ) ， v 。u = ( 差”洒，是砖( 破，恚4 ( z ) ) f b ra n yu 喇一( n ，1 l ) n w 2 ，9 ( n ) ，w ed 西 上”( i ”u r 2 ”u ) ”出= 上l 。u i p - 2 ”t ”出， w h e r e ( 司= 毗( z ) ) 冬oa r e 、r e 吐o r v a l u e df u n c t i o 璐，a n dw 护( n ，叫) d e n o t e 8t h e w e i g h t e ds 0 b o k v8 p a c e ( t h ed 胡n i t i o nw i l lb eg i v e ni nt h e 弛c t i o n2 ) l e tqc 舻b eab o u n d e dd o m a i n 谢t hs m o o t hb 0 1 l n d a r y 砌f o rp ( 1 ，o o ) ， w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a re i g e m 刚u ep r o b l e m i ( 1 恤u i 一2 咐t 上) = 入l u i p 一2 u ， 茁n ， ( 1 1 ) 【“= = o ，z a q w ep r o v et h a t ( 1 1 ) h 嬲ap r i n c i p kp o s i t i v ee i g e n v a 】u e l = a 1 ( p ) w h i c hi 88 i m p l e a i 】【di s o l a t e d m o r e o v e r ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i 8 t s8 t r i c t l yp o s i t i v ee i g e n f u n c t i o n “1 = u l o ) j nna s s o c i a t e d 丽t ha l ( p ) w h i c hs a t i s 矗e s 等 o 。nd 亿w b 以s 。s h 0 w t h 8 tp _ a 1 0 ) i s c o n t i n u o 璐f u n c t i o ni n ( 1 ，。) n e 黜w ec o i l s i d e rt h ef 0 u 们l r i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e = m 忙= = p 怕 a 咄蚝n 1 l i i ( 1 2 ) w h e r e 她f u n c t i d n9 ( 茹，a ，社) d e 丑o t e 8t h eh t 薛o r d e rt e 玎no f ( 1 2 ) ，a n ds t 主s 丘e ss o m e p r o p e rg r o w t hc o n d i t i o n b ym e a i l 8o ft h el e r 叼一 n 缸d e rd e g r e et h e o mw ep r o v e t h a t ( a l ，0 ) j sab i f u r c a t i o np o j n to f ( 1 2 ) ，8 n dt h e9 1 0 b 8 lb i f i l r c 渤nr e s u l tf o r ( 1 2 ) i sa d l i e v e db yt h es t a n d a r d 西o b a lb i f i l r c a t i o nt h e o r yi n 【l o 】 k e y w d r d s ：g l o b a ib i 缸b t i o n iw e j g h t 酣s o b o l e v8 p & 蟛l b r 吲一s 吐驰如r d e g r i v 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：胡崧日期：上d 如1 月了日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：嘲樱 日期：汕p 6 年6 甬7 日 导师签名： 日期：撕 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回塞丝塞埕窑卮溢卮! 旦圭玺；旦二生；旦三生筮壶： 作者签名：葛目极 日凯如d 6 年6 月7 日 ：唇了鲻 j 匾i 珊搿og ， 导师签名：i 爹“g 搿i 】 # 喊减避 磺士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 本文中，我们主要研究了加权p h 口r m 口n c 算子 “。u = ( i 。 i ”2 。“) 在n 觚e r 边值条件( 即u = u = o ，z 勰) 下的整体分支现象上式中记 叫“= d i t k ( v 埘 ) ， v 。u = ( 是”油，是叠( 破，差矗( z ) ) 对于任意的u 咏。( q ，t t - ) n 2 ，p ( q ) ，定义 上( i ”u p “u ) 础_ 上i t t p 乱u 乱”如， 其中叫( z ) = 地( z ) 冬。为向量值函数，嚼，p ( q ，) 表示加权索伯列夫空间( 具 体定义将在第二节给出) 假设n 为舻中的有界区域，其边界鳓是光滑的任取p ( 1 ，o o ) ，考虑 如下非线性特征值问题 l 。( h 3 u i 一2 。u ) = a i 1 9 2 u ， z n ， ( 1 1 ) l = u = o ，加 本文证明了( 1 ，1 ) 存在着一个最小的、正的特征值a ，= a 。( 力，且a t ( 功是单 重的、孤立的更进一步，我们证明了( 1 i ) 相对应于特征值a 。的特征函 数“。= ”- ( p ) 严格正且满足鬻 o ，。锄我们还得到 ，p ) 作为p 的函 数是连续的 紧接着我们又讨论了如下边值问题 卜订蚰r _ 2 引h p - 2 u + 咖，九咄艇亿( 1 2 ) iu ：u 扎z 勰 。 其中函数g ( z ，a ，“) 表示( 1 2 ) 的高阶项，且满足适当的增长性条件我们利 用如m y 一眈“出r 度理论证明了( a t ，o ) 是( 1 2 ) 的一个分支点，进而根 据【l o 】中的标准分支定理得到了关于( 1 2 ) 解的整体分支结果 注，( i ) 如果对于任意的”懈一( n ，”) n 2 ，p ( n ) ，都有 ，ni 。“i p - 2 。 。口d z = 上盼j p 。t + 9 扛， ， ) 】 d z 成立，则我们称( a ，u ) r 埘9 ( n ，t ，) n 2 一( n ) 为( i 2 ) 的弱解若g ( 甄 ，o ) = o ，则对于任意的a r ，( a ，o ) 都是( 1 2 ) 的弱解，这种形式的解我们称为( 1 2 ) 的平凡解 ( i ) 如果在圣= ( ，o ) 兄x 埘。( q ， ) n 2 9 ( n ) 的任何一个邻域内，总 存在着( 1 2 ) 的一个非平凡解，则我们称垂是问题( 1 2 ) 的一个分支点 分支理论自提出后已经被应用到很多具体问题中例如：在文【9 】中 胁id r d 6 e 和m i t 8 u h a r u6 t 蚵研究了从标准p 一 m d n t c 算子的奇异点 出发的分支现象在文f 3 】中d e z 尸t 加和m m e i c j 研究了p 一如川n 方程解的整体分支问题在文【1 3 】中赵昆和陈祖樨更进一步研究了加权 p 一皿p l n c e 方程解的整体分支问题我们自然会想到能否将类似的结果推 广副加权p 一 n r m 肌 c 方程中去呢? 如果在本文中取叫( z ) = ( 1 ，1 ，1 ) ，那 么我们将得到文f 9 】中的结果，因此，本文中的结果更具一般性，并且具有 更广泛的实用价值 本文主要结果叙述如下： 定理1 1 问题( 1 1 ) 存在着一个最小的、正的特征值a = a 。( p ) ，且满 足( ) a - ( p ) 是单重的即当a = a - ( p ) 时，( 1 1 ) 的所有解构成的解空间是一维 的( “) a - p ) 是孤立的即存在一个正常数6 ，使得问题( e _ ) ，( 其中( e k ) ，为 ( 1 1 ) 取指数p 时的方程) 在区间( a 一，a t 扫) + 5 ) 中不存在任何特征值问题 ( 1 1 ) 相对应于特征值a ，( p ) 的特征函数”1 b ) 是严格正的，满足乜u l ( p ) o ，总存在一个常数g o ，使得 1 9 ( z ，a ，s ) i l s | 9 - 1 + g _ 1 对几乎处处的。q 且对所有的a j 及s 冗都成立其中 小l 盎2 p i 【o o ， n 2 p 则问题( 1 2 ) 的所有非平凡解构成的解空间的闭包r 中包含着一个极大子 闭联集t ，且( a l ( p ) ，o ) t ，满足 ( ) 闭联集t 在r 咏一( q ，t l ，) n “，2 ，p ( n ) 中无界， 或者 ( t ) 存在( e k ) ，的另一个特征值a 。，且a 。( p ) a 。( p ) ，使得( k ( p ) ，o ) t 本文结构如下：第一节为引言；第二节我们将给出加权索伯列夫空闻的 一些性质；第三节我们将给出一些辅助性结果；第四节我们将利用 1 2 】中的 定理1 和定理2 来证明本文的定理1 1 ；第五节我们将利用l e r 叫一s 曲d e r 度理论以及【1o 】中的标准分支定理来给出定理1 2 的证明 在本文中，我们约定“ c c b ”表示a 紧嵌入到b ；“a b ”表示a 强 收敛到b ；“a b ”表示a 弱收敛到b 3 _ 顼士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节加权索伯列夫空间 设n 为舻m 1 ) 中的有界开集，l o 为固定常数，t = o ，l ，n 对于n 上满足 m d 0 ) m( 2 2 ) ( 其中m ，盯 o 为固定常数) 的严格正的函数。扛) ，按如下方式定义带有权 函数n ( 功的加权空间 驴( n ，n ) 三 u = u ( z ) ：“。；护( n ) ) 在此空间中定义范数 p ( n 砷；( 上) m 功哟5 进一步定义 1 ( q ， ) e = “( z ) ：“胪( q 蛳) ，嚣驴( n ，毗) ， = l ，2 ，一，n ) 在此空间中定义范数 肛叫n ；( 上姒训9 ( 功如+ 耋上 差f 9 毗( z ) 如) ； ( 2 3 ) 为了处理齐次d i “c h i e t 边值问题，我们要利用空间 x i 埘。( q ，”) 此空间为c 护( n ) 在范数( 2 3 ) 下的闭包( x ，| f f | 喇，( n ，) ) 为自反b a n a c h 空间 耐4 ( n ，叫) 的对偶空间为w p ( q ， + ) ，其中旷= 畔= 越一，。) ，忙o ，1 ，珥 p 2 与- 关于此空间的更多细节问题，可参考文【2 】 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s j s 最后我们考虑空间y 点嘣，( q ，”) n 却( n ) ，在其中定义范数 删y ；( 加咖和胁耋上i 静州蚺五吣附o ； 引理2 1 ( 加权索伯列夫空间中的嵌入定理) 若u ”( n ) ( 或n 1 p ( q ，”) ) ，其中女2 ，则 ( ) 当 兰时，u 伊，- ( q ) ，其中当一兰不是整数时，m 与a 分别 是一；的整数部分与小数部分；当= ；+ m + 1 ( m o ) 为整数时，a ( o ，1 ) 是任意的 引理2 2 ( 加权索伯列夫空间中的紧嵌入定理) 假设lsp n ，则 ( e ) 眇( n ， ) c cl 。( n ，) ， 其中l g o 为一常数，p ( 1 ，o 。) 且，护( n ，) ； ( f i ) 怯，| | 一， f i ，f f 舭，其中i o 为一常数，1 ， 女，p ( 1 ，o o ) 且，- 矿p ( n ) ； 6 ( 讯) 对任意的u p ( q ，n ) ，”( n ，。) ，有上”a u 如= 上u a ”如 其中p ( 1 ，o 。) ，n + 一，p ，= 寺； ( f ) 给定，l * ( q ，n ) ，对任意的q ( o ，1 ) ，我们有a ，t 。( 矗) 更进一步，淞川。t ，。s 瓯i l 叫n 。) ，其中瓯 o 为一常数； ( ”) 假设，g ( n ) ，o ，对任意的n ( o ，1 ) ，我们有 u = a ，a ( 吼满足u o ，z n 且豢 l ，则 日1 ，a ，p 分别为实数，满足a l o ，b l o ，a2m n z b - 一 j a l + c jj 9 + j b l a r 2 a + b p 注：证明见文【9 】中的引理2 5 ( 3 7 ) 顾士学住论文 m a s t e r st h e s l s 第四节特征值问题 首先我们定义泛函露，露：扩( n ，o ) 一r 如下： 露( ”) = ：上川如，鬈( ”) = ：上i a ”l 很容易验证泛函露，后均为凸泛函且f r g c 鲥可微 f r 曲e t 可微的凸泛函，其次微分与其f r d 曲e t 导数相等 ( 3 ，3 ) 等价为如下形式 硝( v ) = a a 鬈( 口) 我们知道每一个 由此我们可以将 ( 4 1 ) 上式中等式两边同属于空间( n ，矿) ，其中a 露是泛函的次微分o = l ，2 ) ， 一= 寺，n + “ 接下来我们将利用【1 2 】中的定理l 和定理2 来证明我们的定理1 1 首先我们验证【1 2 】中的条件( 山) ，( ) ，( a 。) 一( e ) 在【1 2 】中，取a = a 露，b = 卵，y = p ( n ，n ) ，我们很容易验证条件 ( a 1 ) 一( a 3 ) ，( a 5 ) 一( a e ) ，( a t ) ( ) 均被满足，下面我们来验证条件( 以。) ( i t ) 我们 需要证明：对于任意的n ，w 护( n ，n ) 且对于任意的u o ，”o ，“z n 都有 后( m 扣，训) ) + 后( m i n 札，训) ) 后( u ) + 后( 训) ( 4 2 ) 成立我们知道m o 。 t ，t l ，) = t + 一u ) + ，m n 扣， ) = t t ，一似一+ ，又因为 一u 似一“) + ，故由引理3 1 ( 讥) 可知 a ( t j t ) + a ( t 上i u ) = a 叫一a t 再利用引理3 4 ，取a l = a “，b 1 = a ，q = a 一t ) + ，可得 上i a “+ a 一“) + p 如+ 上i a ”一a 一“) + l 如五i a “i 如+ 上l a 训，如( 4 3 ) 故由( 4 3 ) 知条件( 月4 ) ( “) 成立 1 0 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s j s 最后我们验证【1 2 l 中的条件( 凡) 和( a o ) 7 首先我们给出下面几个引理 引理4 1 看 护( n ，d ) 是( 3 3 ) 的一个解，则 g ( 吼 证明：首先我们来证明这样一个结论：假设”加( n ，n ) ，则 ( f ) “泸( n ，吐若伽 参且p ，= 寿 假设”沙( q t 叻且珊 2 p n 可得 a u p ( q ，n ) ，如( a ) 工盎( q ，口) ， 其中r 0 ：_ ! 墨芸紧接着由引理3 1 ( f ) 及引理2 2 可知 n z 伽 a ( a u ) w 2 ，器c c 口- ( q ， 其中r t 2 瓦f 等 瓦，故我们有 吩( a 略( a 口) ) 三嚣= 驴( n ，n ) 因此由( 3 4 ) 可知”p ，( q ，o ) ，其中p 。：r 。( p 1 ) ，即三：三一堑这就证 p l 协 t 明了结论( 1 ) 成立 假设 俨( q ，n ) 且p 0 品；若舶 ；，则由引理2 1 易知 g ( 而) 若 杀 p 0 ；( 或册= ；) ，则同样可由引理2 1 得”g ( 矗) ，故结论( ) 得证+ 任取p 0 ( 1 ，列及e | v ，使得 m 一1 琴 o ，z n ；嘉一一o o ，z 砌 证阴：令= 如( u ) ，因为”扩( n ，是( 3 3 ) 的一个解且”o ，“ z n ，则由引理3 1 ( ”) ，引理4 + 1 及( 3 3 ) 可知 伊叩) ，。( o ，1 ) ；w o ，q ；警 o ，z n 我们可得 o ，z n 且由掣 o ， 。d ) o ，茁n ，则 ，望臻a = a u i 0 ) o 这与a 在区域q 中变号相矛盾，故引理的结论成立 为了完成定理1 1 的证明，下面我们只需要证明a 。0 ) 作为p 的函数是 连续的我们知道 ) _ 一。，南， 故由引理3 1 可知，a l 扫) 一致地有正上界和正下界，其中p 属于区间( 1 ，。) 的一个紧子区间任取序列m p ( 1 ，o 。) ，故序列 a 。) 为一个有界序 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 列记”。( ) 为( 4 1 ) 相对应于特征值 a - ) 的正特征函数，且 肛l ( m ) j | b = p ( 4 4 ) 由序列 ) 有界及( 4 4 ) 易知：存在 ) 和 ”- ) 的子序列( 仍记 为 a l ( ) 和m ( m ) ) ，知r 以及函数驴( q ，n ) ，使得 a l ( 陬) 一a o ， 1 ( m ) 1t 】0 ( 4 5 ) 又由u l ( p 。) o 及( 4 5 ) 可得咖o ，n 再利用引理3 1 ( t ) 及引理2 2 可 知a ：扩+ 驴为紧算子，则由( 4 5 ) 可得在空间p ( n ，口) 中，a - ( m ) 一a 珈 故存在 a ”t ) ) 的予列( 仍记为 a ”t ) ) ) ，使得 a 钉l ( p n ) _ + a t ) 0 ， d ez q ( 4 6 ) 我们再利用推论4 2 ( i ) 及引理3 1 ( t ”) 可知，存在与n 无关的常数g ，使得 i a ”1 ) i g ( 4 7 ) 因此由( 4 6 ) ，( 4 7 ) 及引理3 1 ( t ) 可得 a ( a 口l ( m ) ) ，a 如( a 伽) ，n e z n ， 钒( a 哦n ( a u ( m ) ) ) ，吩( a 如( a t 】0 ) ) ， e z q ( 4 8 ) 任取( n ，矿) ，由( 4 4 ) ，( 4 5 ) ，( 4 7 ) ，( 4 8 ) ，引理3 1 及l e b 嘲m 控制收敛 定理可得 上a 声( m ) ( a v k ( a ”。) ) ) 妒出一上 声略一( a 如( a 咖) ) 曲出 ( 4 9 ) 又由( 4 5 ) 中 1 ( ) 一如易知 上”z ) 咖出一上咖咖如 ( 4 1 0 ) 由于( 凡) ，嘶嘛) ) 是( 3 4 ) 的一组解，故由( 3 4 ) ，( 4 9 ) 及( 4 。1 0 ) 可得 伽= a 蛎( a 如( a 伽) ) ( 4 1 1 ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 紧接着又因为 1 嘛) = 下一，我们根据( 4 6 ) ，( 4 7 ) 及l e b e s g u e 控 i a l ( m ) i “出 制收敛定理可知 1 3 规a l ( m ) 上i a l ( 肌) p 如2 1 0 厶i a 咖i 如 故如o 又由t j 0 o ，o _ e z n ，引理4 3 及( 4 1 1 ) 易知咖是( 3 3 ) 取a = 知 时的正解故由我们已证明了的定理1 1 前半部分的结论可知a o = a t ( p ) ， = ”l ) 又因为序列 p n 是任取的，故由( 4 5 ) 可知函数a 。( p ) 作为p 的函 数是连续的 综上可知，定理1 1 的结论成立 1 5 第五节整体分支结果 令x = 口( q ，。) ，x = ( n ，矿) ，则n e h 驰s k i i 算子 出p ： 。如【 ) 是从x 到x 的一一映射，其中p l ，。+ = n 1 一，= 矗 引理5 1 虬满足条件( 瓯) ，即在空间x 中 。咖， 姆翼p 厶如( ) 一珊) 出o ，n + ，i 则在空间x 中，一t ) o 证明：由如的单调性，( 5 1 ) 及( 5 2 ) 可得 o “罂攀上( ) 帆一) 如+ j “ = h 卿上( ( ) 一如( ) ) ( 一咖) 如 姆翼p ( 上i i p 出) 方一( 上l 伽j 出) 】 【( 上l i 如) 一( 上l i d 。) ；】o ( 5 ，1 ) ( 5 2 ) 因此f f 恢一l l 咖怯，再利用( 5 1 ) 可知在空间x 中，一如故引理得证 假设函数9 ：qxr 2 一r 为g n h e 6 d ”g 函数，即( t ) 对于几乎所有的 z n ，9 ( ，a ，s ) 是( a ，s ) 的连续函数；( f ) 对所有取定的( a ，s ) r 2 ，9 ( z ，a ，s ) 关于z 是n 上的可测函数，更进一步，设9 ( z ， ，o ) = o ，其中( z ， ) q r 对任意给定的有界区间jcr ，我们假定存在一指数q ( p ，p “) ，使得对任 意的e o ，总存在一个常数q o ，使得 | g ( z ，a ，5 ) i l s l _ 1 + g - 1( 5 3 ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对几乎处处的茁n 且对所有的a j 及s r 都成立其中 肛j 焉一2 n 【。， 。s 印， 同样地我们令”= ：一u ，则( 1 2 ) 可等价为 奶( 口) = a a 如( a ) + a g ( z ，a ，a ) ( 5 4 ) 故我们可以根据( 5 4 ) 式定义如下算子 a ，g ： ，a a 如( a ) + a g ( z ，a ，a ) 利用( 5 3 ) 中函数9 ( 。，a ，s ) 所满足的增长性条件，我们可以验证b 。是从空 间x 到x + 的紧算子事实上，由口x 及引理3 1 ( i ) 可知如却( q ) ，则 a 惦( a ) w 2 ( n ) ，又因q o 为空间2 ，p 嵌入到p ( n ，。) 中的索 伯列夫嵌入常数又因为g p ，我们在( 5 6 ) 中令x o ，可知命题结论 成立， 接下来我们将利用l ”吲一s c o u d e r 度理论以及 1 0 中的标准分支定 理来证明文中定理1 2 假设a o 取自于引理4 4 中相应的d ；根 据引理4 2 及l ”叫一s 曲甜如r 度在紧同伦下的不变性可得 d e g 【皿p a 9 ；b r ( o ) ，o l _ d e 9 陋p 一孔0 耳( o ) ，0 】， ( 5 7 ) 其中r o 且充分小，耳( o ) 表示以原点为中心r 为半径的球体 下面我们给出( 5 7 ) 的证明 首先我们来构造一个从一乃，到一乃m 的同伦映射，即 日( l ) = 诈( ) 一 a 如( a u ) 一r a g ( z ，a ，a ) 我们很容易验证日( l ”) 是从一b ，到一死，o 的同伦映射紧接着我 们来证明这样一个结论：若令矿；扣口( q ，n ) ：l l ，sr ) ，则对任意的 u 鲫，r 【o 1 】，我们有h 口) o ，其中r o 且充分小 假设结论不成立，则存在着铀a u 及丁b o ，1 】，使得h ( 勺，) = o 即 讳( 伽) 一 a 如( a 铀) 一匍a g ( ，a ，a 伽) = o 故二如h m 诈( a 伽) t b 如一而上a g ( z ，a ，a ) 出= o ，即 上i 咖i 如一a 上l a 珈1 9 如一而上衄( z ， ，a 咖) 珈如= o 令m 2 上a 9 ( z ，a ，a 咖) 如，则由引理5 - 2 可得，当。咖怯一。时， | m i 怕( z ，a ，a 啦) 0 驴i i i i x = d ( | f t 】0 0 f 1 ) 0 蛳| | x 又因为0 咖怯= r ，且r 充分小，故m 为一个充分小的量记吖= 口( 1 ) ，则 上伽1 9 如一1 正i a 珈i 如= 。( 1 ) ， 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这与a o 为实数紧 接着我们又定义泛函g - ( ”) ，使得 瓯( ”) = b ( ”) + q ( i n 4 z ) 我们根据本文定理1 1 中a - ( p ) 的相关性质可以得出泛函g - ( 。) 具有以下性 质： ( 1 ) 泛函毋( ) 是连续的且p r g 矾e 可微，它的临界点t j 0 x 是如下方 程的一个解 如伽一了亦a 诈a 蜘= n ( 2 ) 任取a ( a - 佃) ， l ( p ) + j ) 且咖x 是泛函g ( ) 的一个临界点，如 一果满足 以；上如) = 志_ 1 ， 则泛函g - ( ”) 在可相差一个乘子的情况下存在着唯一的非零临界点如 ( 3 ) 若伽x 是泛函( ”) 的一个临界点且满足( 2 ) 中的条件，则我们 有 ：上i 如1 9 如( k ，3 ) 更进一步，由 t ( 曲的单重性可知 存在着某个( ( 衅) ；，( 3 p k ) ；) ，使得要 么咖= 一“”- ( p ) ，要么伽= 。”- ( 力，其中a 。( p ) 和”- 扫) 分别为( 4 1 ) 的第一特 征值和第一特征函数 ( 4 ) 泛函g - ( ”) 仅存在三个临界点，即一t ”l ) ，o ，。”。( p ) ，并且它们都是 孤立的( 其中t 的定义同( 3 ) ) ( 5 ) 泛函g - ( ”) 为偶泛函且弱下半连续 ( 6 ) 泛函g a ( w ) 是强制的，即 牌。g ( ”) 2 。 2 0 ( 7 ) 口= 一。”，( p ) 和”= t - w 。) 都是泛函g a ( ”) 的整体极小点，而”= o 为 泛函g ( ”) 的鞍点 ( 8 ) ( ( u ) ， ) x o ，其中x = r ，r o 且充分大 我们根据上面给出的性质及e m 一s c o u 出r 度理论可得 d e g 【g l ；b ( 土t 口1 0 ) ) ，0 】= d 印 g i ；口r ( o ) ，o 】= l ， 其中p o 充分小，r o 充分大 同样地我们根据工e m 一& n u d e r 度理论计算可得 d e 9 【、一n ，o ；b ，( o ) ，o 】= d e 9 【g i ；b r ( o ) ，o 】= 一1 ，( 5 9 ) 其中o o ，使得当i 一 l ( p ) | e ，i p ( n ，。) = 以时，对任意 的以 a 1 如) ，使得( a 。( 讲，o ) t 1 我们知道( a ，u ) 是( 1 2 ) 的解等价于( ，”) 是( 5 4 ) 的解，其中”= ：一。“ 故定理1 ，2 中的结论成立 参考文献 【l 】a n t o n i oa v 8 t a g 西8 t i c o nc o m p 8 c t 明小e d d i n gt h e o r e m si nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e c z e c h 佣l a 瑚l 【一m a t hj ，1 9 7 9 ，2 9 ( 4 ) ：6 3 5 - 6 4 8 【2 】k a k d i m ，e a 趾o u l ，b e n k i r a n ea d 【i s t e n c eo f 蹦u 协聃f o rq u 8 m n e 盯d e 蓉唧玎8 t e e m p t i ce q u 8 t i o 衄e l e c t r o n i cj 0 恤a lo fd i d 盯印t i a le q u 时t o ，2 0 0 1 ( 7 1 ) ：1 - 1 9 3 1m d e lp i n o ，r m 删嘲v i c h g 1 0 b a ib i f u t i o n 的mt h ee 鲫v a l u 嚣o ft h ep 一 协p f 口咖n jd 证e q u a t i o ，1 9 9 1 ，9 2 ( 2 ) ：2 2 6 2 5 1 1 4 】d g i i b a r ga n dn s 仕u d i n g e r e m p t i cp 8 r t i 8 ld i 胁e n t i a le q u a t o 珊o f n do r d s e c o n de ds p r n g e r v 醯k b e r l i h e i d 出e r gn e l y o r k r o k y 0 1 9 明 【5 li v s h y p i k n 1 i n we l i i p t i cb o u n d a r y u ep r o b l e 嘲t e u b n 盱，l e 枇i g 1 9 8 6 6 1l a w r e c ec e v a 璐，p 8 r t “d i 珏e r t 瑚e q u a t i o n s g r a d u a t es t u d 岫i nm a t h e m a t 油 v b l u m e1 9 a m e r m m h s o c 1 7 】pd 劬e l 【，a k u 血e r ，f n 删i q u 啦i h n e 盯e l l i p t i ce q u a t i o 璐丽t hd 啦时8 t i o n g a n ds m g l l 缸i 妇d eg n l y t 船s e r i i nn 伽a i n e 8 ra j